Quan hệ vuông góc trong hình học không gian

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 1PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC  Phương pháp 1 d2' d2 d1' Nếu đường thẳng a P thì mọi đường thẳng b P đều vuông góc với a.. Giáo

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 1

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

 Phương pháp 1

d2' d2 d1'

Nếu đường thẳng a( )P thì mọi đường thẳng b( )P đều vuông góc với a

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì

nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại



b / /c , a  b   a c

 Phương pháp 7 (Định lý ba đường vuông góc - tr 100 - sgk)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mp (P) và cho đường thẳng b nằm trong mp (P) Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 2

a  (P), b  P ,a ' la hinh chieu cua a tren (P)     a b a ' b

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bổ sung :( Sử dụng định nghĩa) : Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng đó

 Phương pháp 1( ĐL 1 - tr 97)

P c b a I

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp (P) thì đường thẳng d vuông góc với mp (P)

Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại

a / /b ; P a  P b

 Phương pháp 3 (tc 4 - tr99-sgk)

P a

Q

Đường thẳng nào vuông góc với một

trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

N Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt cách đều ba đỉnh của ABC

thì d vuông góc với mp (ABC)

Q P

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 3

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH : HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

 Phương pháp 1(s d đn) Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90

b H

Q P

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt

phẳng đó vuông góc với nhau

và d2’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với d1và d2

d2' d2 d1'

trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

.

a

a' a

P

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 4

3) Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

a b

P

Chú ý : Khi hai mặt phẳng (P) và Q cắt nhau theo giao tuyến d , để tính góc giữa chúng, ta chỉ

việc xét một mặt phẳng (R) vuông góc với d , lần lượt cắt (P) và (Q) theo các giao tuyến p và q

Lúc đó góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng p, q

B

B' C'C

D' E' A'

A

E D

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)

1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD

S

1.a/ * CMR: MN BD

+) Ta có: SAB SADAM AN (2 đường cao tương ứng)

BM ND (do MAB NAD)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 5

2 Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SAa 2, AB = a

+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 6

O

B

C

D A

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

A' H

Vậy AH BC (định lý ba đường vuông góc), tức là H thuộc một đường cao của tam giác ABC

Tương tự như trên, ta cũng có H thuộc đường cao thứ hai của tam giác ABC Vậy H là trực tâm của tam giác ABC

* Cách 2: Nếu K là trực tâm của tam giác ABC thì AK BC , mặt khác OA BC nên

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 7

B

C S

A'

a/ Gọi AAlà đường cao của tam giác ABC, do SAABCnên SA BC (định lý ba đường vuông góc)

Vì H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác SBC nên H thuộc AA, K thuộc SA

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A

b/ Do H là trực tâm của tam giác ABC nên BH AC , mà BHSA nên BHSC

Mặt khác K là trực tâm của tam giác SBC nên BK SC

Giải

a/

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 8

A

B

C S

A

B

C

S C1

Dễ thấy AB SC Vì (P) đi qua A và vuông góc với SC nên AB nằm trong (P) Kẻ đường cao AC1

của tam giác SAC thì (P) chính là mpABC 1

Do tam giác SAC cân tại S nên điểm C1 nằm trong đoạn thẳng SC khi và chỉ khi  0

1

3

3

3 2

2

a a b

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 9

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó

Giải

P

Q R

S

N M

Tương tự, ta chứng minh được N, P, Q, R, S cũng có tính chất đó (N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của CD, DD D A A B B B     , , , )

Vậy thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mp   là MNPQRS Dễ thấy đó là lục giác đều cạnh bằng 2

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 10

O

D A

S

O1

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OO1 vuông góc với SC, dễ thấy mpBO D vuông góc với SC 1 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) bằng góc giữa hai đường thẳng BO1 và DO1

1

.tan 60 3

B

D A

a/ Vì J là trung điểm của CD và AC = AD nên AJ CD

Do mp ACD mp BCD  nên AJmp BCD 

Mặt khác: AC = AD = BC = BD nên tam giác AJB vuông cân,

suy ra AB AJ 2,AJ2 a2x2 hay AJ a2x2

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 11

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC

a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J

Giải

D

B A

C

S

I

J

a/ Vì BC // AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD

Từ giả thiết, ta có SA BC nên SAAD

Mặt khác SA bằng cạnh của hình thoi ABCD, nên  0

45

SDA là góc phải tìm

Vậy góc giữa BC và SD bằng 0

45

b/ Do ABCD là hình thoi nên ACBD

Mặt khác IJ // BD nên ACIJ tức là góc giữa IJ và AC bằng 900 không đổi

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 12

a/ Vì ABCD là hình bình hành và OACBD nên OA = OC và OB = OD

Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và

BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng

a/ ACH và BFK là các tam giác vuông

Vậy ACH là tam giác vuông tại H

Tương tự, ta có BKF là tam giác vuông tại K

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 13

a/ Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc

b/ Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng của H qua I Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau

Giải

I

M A

B

C D

H

a/ Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC Từ đó

2 2

Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc

b/ Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mp(ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 14

a/ Chứng minh rằng mp SAB mp SAD  và mp SAB mp SBC 

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng mp SHC mp SDI 

a/ Gọi H là trung điểm của AB thì SH AB

Do SAB  ABCD nên SHABCDSH AD

Mặt khác AD AB

Vậy ADSAB

Từ đó SAD  SAB

Tương tự như trên ta có SBC  SAB

b/ Giả sử SAD  SBCSt, dễ thấy St // AD, từ đó mp ASB St

Do ASB600nên góc giữa hai mặt phẳng SAD và  SBC bằng  600

c/ Vì ABCD là hình vuông; H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HCDI, mặt khác

để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc

a/ Vì MN  AB SO,  AB nên ABSMN SAB  SMN

Vậy góc giữa SMN và  SAB bằng  900

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 15

Tương tự như trên, góc giữa SMN và  SCD cũng bằng  900

Như vậy với AB = a, BC = 2a, h tuỳ ý thì SMN vuông góc với cả hai mặt phẳng  SAB và  SCD 

b/ Dễ thấy SAB  SCDSt St, //AB

Như vậy StSMN, từ đó MSN hoặc 0 

180 MSN là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính MSN

a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp

b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp

Giải

D A

B I

tanSBA 1 SBA45

Vậy mp(SCD) tạo với mp(ABCD) góc bằng  mà tan 1

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 16

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng 0

90 Tương tự, ta cũng có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 0

90

Ta cần phải tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

Trong mp(ABCD), qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AC, nó cắt hai đường thẳng BC và DC lần

tan

256

tan

26

a/ Tam giác ASC vuông

b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau

Giải

O

B C

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 17

Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông cân tại S

b/ Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA1 vuông góc với SA thì SAmpA1BD

F

D

C B

A

a)Vì AD vuông góc (DBC) nên AD vuông góc BC

Mặt khác AE vuông góc BC Vậy BC vuông góc (ADE), từ đó ta có (ABC) vuông góc (ADE)

vì K là trực tâm tam giác DBC nên BK vuông góc DC Theo giả thiết AD vuông góc(DBC)

Vậy BK vuông góc với AC ( định lý 3 đương vuông góc)

Kết hợp với BF vuông gọc với AC ta có

AC vuông góc (BFK) từ đo (ABC) vuông góc (BFK)

b) từ a) ta có (BFK) vuông góc (ABC)

và (ADE) vuông góc (ABC)

HK là giao của (ADE) và (ABC)

Vậy HK vuông góc (ABC)

D'

E

F

K H'

Trong mặt phẳng (P), cho hình chữ nhật ABCD với AB = b, BC = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC Trong mặt phẳng qua EF và vuông góc với (P)

Bài làm

Vì (SEF) vuông góc (ABCD)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 18

và AD vuông góc EF

nên AD vuông góc (SEF)

Từ đó (SEF) vuông góc (SBC)

Dễ thấy (SAD) giao (SBC) tại St, St//AD

Do AD vuông góc (SEF), từ đó St vuông góc (SEF), tức là cung ESF hoặc 180o

- cung ESF là góc giữa hai mặt phẳng (ASD) và (SBC)

Vì S thuộc đường tròn đường kính È nên cung ESF là 90o

Bài 19 (BT 52 - tr 124-SBT)

Hình lập phương ABCD, A'B'C'D' cạnh a

a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC' và A'B

b) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh A'B', BC, Đ'

Chứng minh rằng AC' vuông góc với mp( MNP)

M

D'

C' B'

A'

P N

D

C B

A

Bài làm

a) ta có C B' 'ABB A' ' , ' B AA B'

nên A B' AC'( định lý ba đường vuông góc)

Vậy góc giữa AC’ và A’B bằng 90o

b) b) Ta có

Bài làm

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 19

Q

P N

M

D'

C' B'

A'

D

C B

A

Vì ABCD.A'B'C'D' là tứ diện đều

Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNPQ

Trong đó M, N,P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB', AD', D'C,B'C

Do AB'CD' là tứ diện đều nên B'D' vuông AC

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông nên có diện tích là (a2

:2) Bài 21 ( BT 55a - tr 124 - sbt)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Gọi C1là trung điểm của C'C tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A'B' Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC)

Cũng từ kết quả trên, ta có CMC''AB và CMC’’ là tam giác vuông tại C

Nên góc giữa mpBAC v'' à CAB là  CMC''

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 20

ĐỀ BÀI

Bài 1: (VD – tr 101 – SGK)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD)

1 Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

a/ Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn

b/ Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC

Bài 6: (BT 23 – tr 111 – SGK)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’)

b/ Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’ Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều Tính diện tích thiết diện đó

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 21

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA = AB và SA vuông góc với BC

a/ Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC

b/ Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ // BD Chứng minh rằng góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I và J

Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và

BF vuông góc Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF Chứng minh rằng

a/ ACH và BFK là các tam giác vuông

a/ Chứng minh rằng mp SAB mp SAD  và mp SAB mp SBC 

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c/ Gọi h và I lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng mp SHC mp SDI 

Bài 14: (BT 43 – tr 122 – SBT)

Cho hình chữ nhật ABCD với tâm O, AB = a, BC = 2a Lấy điểm S trong không gian sao cho SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , đặt SO = h Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD a/ Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a

để mp(SMN) vuông góc với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) Tính h theo a để hai mặt phẳng đó vuông góc

Bài 15: (BT 44 – tr 122 – SBT)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = a Tính:

a/ Các góc giữa hai mặt phẳng chứa các mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp

b/ Góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt bên liên tiếp hoặc hai mặt bên đối diện của hình chóp

Bài 16: (BT 46 – tr 123 – SBT)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 22

Trong mp (P), cho hình thoi ABCD với AB = a, 2 6

3

a

AC Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB = a Chứng minh rằng:

a/ Tam giác ASC vuông

b/ Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau

+) Ta có: SAB SADAM AN (2 đường cao tương ứng)

BM ND (do MAB NAD)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 23

2 Tính góc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD) khi SAa 2, AB = a

+) Vì AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)  góc giữa (ABCD) và SC là góc giữa SC và AC

Lời giải

a

I H

C' B'

A'

B

C A

VËy AB I' vu«ng t¹i A

+)Chó ý r»ng ABC chÝnh lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña AB I' nªn ta cã:

Lời giải

Giỏo viờn: Nguyễn Quốc Việt Page 24

M H

C' B'

A'

B

C A

Gọi H là trực tâm ABC Theo giả thiết A H' (ABC) nên AH là hình chiếu của A A' trên

33

.3cos 3cos

BCC B

a a

Bài19 ( Đề CĐ Giao thụng Vận tải 2007)(Đề số 35 – tr 46- stt ĐTTS 2002-2003 đến 2008-2009)

Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc vuụng tại A, biết AB = AC = AA’ = a (a > 0) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AC và BC’

C

B A

Chonj trục hệ toạ độ 0xyz sao cho các đỉnh của hình lăng trụ có toạ độ là:

Giỏo viờn: Nguyễn Quốc Việt Page 25

S

C

B A

Gợi M là trung điểm của BC ta có BCAM(ABC đều)

Giáo viên: Nguyễn Quốc Việt Page 26

Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc BC, AD = a và khoảng cách từ D đến BC bằng a Gọi H, I lần lượt là trung điểm của BC và AH Chứng minh BC vuông góc mặt phẳng (ADH) và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD, BC

KH lµ ®-êng vu«ng gãc chung cña AD vµ BC

Theo gt ta cã: DH a DHA c©n t¹i DDI AH

MC IC

' 11/ 2 1/ 2 ' '