Tuyển tập các bài toán thi học sinh giỏi các tỉnh năm học 2012 - 2013 và VMO 2013

Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BRS luôn đi qua hai điểm cố định.. a Chứng minh rằng đường tròn IHK luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.. Vậy tâm IHK b Gọi O là đường tròn đư

MATSCOPE.ORG

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HH THI HSG CÁC TRƯỜNG CÁC TỈNH THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2012 - 2013

VÀ VMO 2013

NGƯỜI THỰC HIỆN TRẦN XUÂN BANG - TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH

1 (Nam Định, KTra đội ĐT - ngày 1) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác trong góc A cắt BC tại A và cắt (O) tại 1 A Định nghĩa tương tự 2với các điểm B , B ,C ,C tương ứng Chứng minh rằng: 1 2 1 2

a) CA AB2 BA AC2 BC.AA2

BA A CCB B AAC C B 4

HD a) Áp dụng Ptoleme cho tứ giác ABA2C

b) Sử dụng câu trên kết hợp với BA2 = CA2 suy ra: AA2.BC = A2C(AB+AC)

AB cắt đường tròn đường kính BD tại N ( ND) Gọi P là giao điểm của AD và đường tròn đường kính BC (PA) Chứng minh rằng MPN90

HD Gọi P' là giao điểm của BN, CM ; H, I là hình chiếu của D trên AC, AB Khi

đó dễ thấy rằng P' thuộc đường tròn (ABC)

Ta có BN ID PB

CM  IA  PC

Mặt khác (BP, BN) = (BP, BP') = (CP, CP') = (CP, CM) (mod()) Suy ra hai tam giác PBN và PCM đồng dạng cùng hướng Do đó hai tam giác PBC và PNM đồng dạng cùng hướng

giao điểm của DA' với BC, DB' với AC, DC' với AB Chứng minh rằng A'', B'', C'', H

Chú ý: Có thể mở rộng bài toán như sau :

Cho tam giác ABC nội tiếp (O),P là điểm bất Kì nằm trong tam giác.Gọi A',B',C' lần

lượt là giao điểm của AP, BP, CP với (O).D là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn (O)

(khác các điểm trên).Gọi A'',B'',C'' lần lượt là giao điểm của AD' và BC,B'D và

AC,C'D với AB Chứng Minh rằng A'',B'',C'', P thằng hàng

Chứng minh nhờ pascal

4 (Hà Tĩnh-Chọn ĐT- vòng 2) Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng (theo thứ

tự đó) Gọi d và  lần lượt là các đường thẳng vuông góc với đường thẳng AC tại A

và C; M là một điểm di động trên  Từ M kẻ các tiếp tuyến MD, ME đến đường tròn

đường kính AB với D, E là các tiếp điểm Các tiếp tuyến đó cắt d tương ứng tại các

điểm P, Q Gọi R và S lần lượt là giao điểm của d với các đường thẳng BD và BE

a Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BRS luôn đi qua hai điểm cố định

b Xác định vị trí của điểm M trên để tam giác MPQ có chu vi nhỏ nhất

a) Gọi O là trung điểm của AB, r = AB/2

DE cắt OC tại I, OM vuông góc DE tại H Tứ giác MHIC nội tiếp nên

không đổi, mà B, I cố định nên K cố định

Vậy (BRS) luôn đi qua hai điểm cố định B, K

b)  RDP = MDB = DAB (do MD là tiếp tuyến) suy ra

RDP = DRA ( cùng phụ với DAR )

nên  PDA = PAD

Từ đó ta có: RP = PD = PA , AP = AR/2 Tương tự AQ = AS/2

Suy ra AP.AQ = AR.AS/4 = AB.AK/4 không đổi.(**)

Ta có SMPQ = pr với r không đổi Chu vi tam giác MPQ nhỏ nhất khi SMPQ nhỏ nhất

PQ = AP + AQ nhỏ nhất

( đường cao d(M, PQ) = d(, d) không đổi)  AP = AQ ( = 1 .

2 AB AK ) (do (**) và BĐT CôSi) suy ra M  C

5.(PTNK) Cho tam giác ABC Các diểm M, N thuộc cạnh BC sao cho

     (M nằm giữa B, N) Gọi I là trung điểm BC Kẻ

BHAM, CKAN lần lượt tại H, K

a) Chứng minh rằng đường tròn (IHK) luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

b) Tính  theo ABC và ACB sao cho (IKH) tiếp xúc với đường tròn đường kính AB hoặc đường tròn đường kính AC

LG.(thedragonray)

a) Gọi AT là đường cao của tam giác ABC Suy ra tứ giác AHTB và ATKC nội tiếp

Do đó Suy ra I,H,T,K đồng viên Vậy tâm (IHK)

b) Gọi (O) là đường tròn đường kính AB

Ta có tứ giác AHTB nội tiếp (O) Do đó (O) giao (IHK) tại T và H

Để (O) và (IHK) tiếp xúc thì T trùng H dẫn đến AM là đường cao của tam giác ABC

Lời giải của Nguyễn Trần Duy - 10T Chuyên QB)

a) Gọi J là trung điểm HK, BH cắt CK tại L

Xét tích:

Dựng AD là đường cao tam giác ABC, ta có ABDH và ACKD là 2 tứ giác nội tiếp, suy ra HDCBAHCAKCDK, thêm HI=IK, ta có DHIK phải là tứ giác nội tiếp,

nên tâm đường tròn IHK luôn đi qua trung trực của DI

b) Đường tròn đường kính AB cắt đường tròn (IHK) tại D và H 2 đường

tròn này tiếp xúc nhau thì H D Vậy BAM = BAD = 900 – ABC

Lại có đường tròn đường kính AC cắt đường tròn (IHK) tại D và K 2 đường tròn này tiếp xúc nhau thì K D Tương tự ta có CAN = CAD = 900 – ACB

Vậy (IHK) tiếp xúc với đường tròn đường kính AB hoặc đường tròn đường kính AC khi và chỉ khi 0 

HD Gọi O là tâm của ABCD G là giao của SO và AM G là trọng tâm tam giác SBD

B'D' đi qua G Bài toán được chuyển về tìm min, max của diện tích tam giác SB'D'

7 (KHTN, vòng 1, ngày 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB không

là đường kính của (O) Gọi P là điểm di chuyển trên cung CD không chứa A, B của (O) Giả sử PA cắt DB, DC lần lượt tại E và F Giả sử PB cắt CA, CD lần lượt tại G

và H Biết GF giao EH tại Q Chứng minh rằng PQ luôn đi qua điểm cố định khi P di chuyển

Lời giải của Nguyễn Trần Duy - 10T Chuyên QB)

Dựng các tiếp tuyến của (O) tại A và B, chúng cắt nhau tại I

AI cắt BD ở N, BI cắt AC ở M AB và CD vắt nhau ở K

Theo định lí Pascal cho 6 điểm A,P,B,D,C,A thì F,G,N thẳng hàng

Tương tự áp dụng Pascal cho 6 điểm B,P,A,C,D,B thì H,E,M thẳng hàng

Lại có theo Pascal với 6 điểm A,A,C,D,B,B thì N,M,K thẳng hàng

Khi đó áp dụng định lí Desargues cho 2 tam giác ANF và BMH, ta thấy AB,

NM, FH đồng quy tại K nên P,Q,I thẳng hàng

Vậy PQ luôn đi qua I cố định khi P di chuyển trên cung CD không chứa A, B

8 (KHTN, vòng 1, ngày 2) Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O) Gọi P là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC và không trùng O Giả sử AP cắt (O) tại D khác A Gọi DE, AF là đường kính của (O) Giả sử EP, FP lần lượt cắt (O) tại G và H khác E,

F Giả sử AH giao DG tạiK Gọi L là hình chiếu của K lên đường thẳng OP

a) Chứng minh rằng 4 điểm A, L, K, D cùng thuộc một đường tròn Gọi đường tròn này là (S)

b) Chứng minh ràng đường thẳng OP cắt EF tại điểm T thuộc (S)

Lời giải của Nguyễn Trần Duy - 10T Chuyên QB)

hay K,L,A,D cùng thuộc 1 đường tròn

b) Ta có AO=OF và AP song song với EF nên PATF là hình bình hành

Khi đó DAT PFTHGEHLPTLD

Vậy A,L,D,T cùng nằm trên 1 đường tròn Ta có điều phải chứng minh

9 (Mai Sơn - Sơn La) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

IA.IB.ICT

a.IA b.IB c.IC

a IA aIA bIB cIC aIA bIB cIC IA aIA bIB cIC IA bIB cIC

bIB IB IA cIC IC IA bIB AB cIC AC bHB AB cKC AC

r

A , ta có:

3 3

3 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi tam giác ABC đều

Cách khác: Gọi D là chân phân giác trong góc A Khi đó:

a b c

3(a b c) 27 3 3

10 (Chuyên Sơn La) Cho tứ giác ABCD nội tiếp Gọi P,Q,R là chân các đường cao vuông góc hạ từ D lần lượt xuống các đường thẳng BC,CA,AB Chứng minh rằng

PQQR khi và chỉ khi các phân giác của góc ABC và ADC cắt nhau trên AC

Lời giải của Nguyễn Trường Nhật(10T - Chuyên QB)

Q

P R

O

C D

khi và chỉ khi các phân giác của góc ABC và ADC cắt nhau trên AC

11 (Chuyên Sơn La) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi SA vuông góc với đáy, SA Gọi M là điểm thay đổi trên đoạn AC, AMa x, (0x 2)

a) Tính diện tích thiết diện đi qua M theo a và x , biết thiết diện song song với BD và

vuông góc với mp(ABCD)

b) Khi thiết diện có diện tích lớn nhất thì nó chia hình chóp thành hai phần có tỉ số thể

  : Thiết diện là tam giác có

cạnh đáy song song BD bằng2 2( )

Gọi S là diện tích tứ giác EFNKT

Khi đó S = dt(hcnEFNT) + dt(NTK) = EF.MJ + 1

  Xem S là hàm số của x, ta có S đạt

max khi 2

3

a

x  (khi đó M là trọng tâm tam giác ABD)

12 (Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I

Gọi D là một điểm thuộc cạnh BC Xét đường tròn  tiếp xúc trong với đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với DC; DA tại E; F tương ứng Chứng minh các

điểm E; I; F thẳng hàng

HD(hungqh)

Vẽ cắt (O) tại Theo kết quả quen thuộc thì là phân giác Gọi là giao

của và Ta sẽ chứng minh chính là Hay ta chỉ cần chứng minh

Ta dễ thấy tứ giác nội tiếp từ đó dễ dàng suy ra nên ta có

13 (Chuyên Bến Tre) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn Gọi M, N, P lần lượt là

hình chiếu của D trên AB, BC, CA Chứng minh rằng PMPN khi và chỉ khi

E

T

N K

D

C B

A S

AB DA CN AM CP PA PC KCAB.CD AD.BC

HD

Không mất tính tổng quát giả sử EF, FD, DE theo thứ tự là trung trực của

AG, BG, CG (h.11)

Đặt M = BG ∩ AC; N = CG ∩ AB; K = EO ∩ DF; L = FO ∩ DE

Dễ thấy OK  CM;OD  CB; KD  MB và OK  AM;OF  AB;KF  MB.

Vậy các cặp tam giác OKD, CMB và OKF, AMB đồng dạng (cùng hướng)

F

E

D G

A

Vậy các điều kiện sau tương đương

1 O là trọng tâm của  DEF.

2 KD  KF; LD  LE.

3 MA  MC; NA  NB.

4 G là trọng tâm của  ABC.

Chú ý, hiển nhiên 12; vì (1) và (2) nên 23; hiển nhiên 34

15.(Quảng Bình - Vòng 1) Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC, N là chân

đường phân giác góc BAC Đường thẳng vuông góc với NA tại N cắt các đường thẳng

AB, AM lần lượt tại P, Q theo thứ tự đó Đường thẳng vuông góc với AB tại P cắt AN

tại O Chứng minh OQ vuông BC

Đáp án

Chọn hệ trục tọa độ Nxy sao cho A, N nằm trên trục hoành

Vì AB không song song với các trục tọa độ nên phương trình của nó có dạng :

  a (vì B, C không thuộc trục hoành, BC không song song với AB và AC)

B là giao điểm của BC và AB nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

Do đó QO

là một vectơ pháp tuyến của BC nên QO vuông góc BC

+) Nếu BC nằm trên trục tung thì tam giác ABC cân tại A nên M N, do đó O thuộc

AN nên QO vuông góc BC

(Đây là đề APMO 2000 Ngoài cách trên Tuyển tập các bài toán HHP Mathscope

còn trình bày thêm 2 cách khác)

16.(Quảng Bình - Vòng 2) Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của DB, AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng

DN lấy điểm Q sao cho PQ CM// Tính độ dài PQ và thể tích khối AMNP

Mặt khác: NI là đường trung bình của  ACM  I là trung điểm của AM

Nên PI là đường trung bình AME Hay:

2 1

2

(O )tiếp xúc với ( )T và theo thứ tự tại H, L

a) Chứng minh rằng khi di động trên ( )T thì các đường thẳng và luôn cùng

đi qua một điểm cố định

b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1)với và M, B, E là giao điểm của CN với và là giao điểm của với Chứng minh rằng khi di động trên ( )T , ta luôn có bất đẳng thức , trong đó là chu vi tứ giác

HD a) Gọi K là giao điểm của MN với nửa đường tròn còn lại của (T)

CNDN AMNBMN  hay MK là tia phân giác của góc AMB Vậy K

là trung điểm của cung AB và K là một điểm cố định

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có HL đi qua K (đpcm)

AFNBENENF  hay tứ giác NEKF là hình chữ nhật

Từ đó chu vi tứ giác ABEF được tính bởi:

p ABBEEFFAABBEEKNKABBKNK  RR NK

Mà NKOK R Đẳng thức chỉ xảy ra khi N O hay (O1) là đường tròn tiếp xúc AB

tại O  PB  điều này không thể xảy do giả thiết BP

Vậy NK R hayT R(3  2 ) (đpcm)

D C

M

D C

B A

18 (Tphố Hải Phòng Bài 5) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) từ điểm D trên cung nhỏ AB của đường tròn kẻ đường thẳng vuông góc AD, đường thẳng này cắt

BC tại M Đường trung trực của đoạn thẳng DM cắt các cạnh AB,AC,BD,DM,MA lần lượt tại E,F,N,K,I Chứng minh rằng:

a) B,N,F,C nằm trên 1 đường tròn

b) Tứ giác AEMF là hình bình hành

HD.a) P là điểm chính giữa cung BC thì D, M, P thẳng hàng DNF = 900- BDP =

900 - BCP = ACB Suy ra tứ giác BNFC nội tiếp

b) ABC = ACB = DNF = FNM Suy ra tứ giác BNEM nội tiếp, do đó

BEM = BNM = 180^0 – 2(DNF0 =1800 – 2(ACB) = BAC Suy ra EM//AF Tương tự MF//AE Suy ra AEMF là hình bình hành

19 (Đồng Nai - Vòng 1)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) Biết AB = a, BC = 2a, SA = a 3(với aR a,  0) Gọi M, N là trung điểm của SB và AD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN

HD Tứ diện SABN có AS, AB, AN đôi một vuông góc, AB = AN = a, AS = a 3 Gọi E là trung điểm BN Khi đó BN  AEBN(SAE) Mặt phẳng qua AM song song BN cắt SN tại K, MK//BN MK cắt SE tại F EF = d(BN, (AMK)) Do đó EF =

d(BN, AM)

Bài giải của Trần Thanh Bình(10T - Chuyên QB):

Trong mp(SAB) dựng tia Bx // tia AS

Kéo dài AM cắt Bx tại Q dễ dàng chứng minh được QB = SA và M là trung điểm QB Bài toán đã cho trở thành: "Cho tứ diện Q.ABN với đáy ABN là tam giác vuông cân

tại A AN=AB=a, QB vuông mp(ABN) vá QB = a 3 tính khoảng cách giữa QA và

BN."

Lấy I trung điểm BN thì AI vuông BN Kẻ tia Ay // NB

Kẻ BK vuông Ay tại K (  BK = AI)

Ta chứng minh được AK vuông mp(QBK)

Kẻ BH vuông QK

Từ đó ta có BH vuông mp(QAK)

Mà AK // BN hay BN // (QAK)

Nên d(BN, AM)= d(BN, AQ) = d( BN, (QAK)) = d( B, (QAK))= BH

mà BH là đường cao trong tam giác QBK vuông tại B, nên ta tính được

HD(o0osoipro0o) Ta nhận thấy chính là quỹ tích trung điểm Ý tưởng tự nhiên nhất là thiết lập tam giác mà H, K và trung điểm lần lượt nằm trên 3 cạnh rồi

áp dụng định lý menelaus vào tam giác đó

Gọi là trực tâm của tam giác

trung điểm EF thuộc HK cot cot

C B

A

(C2) tại N Chứng minh rằng:

DADE  MN Bài giải của Trần Thanh Bình(10T - Chuyên QB)

Gọi ( C) là (O)

N' M'

N

M A

E O

C

B

C2 K

Gọi K là giao điểm của tiếp tuyến tại B và C khi đó:

KB,KC là tiếp tuyến của (C1); (C2) nên

 K thuộc trục đẳng phương của (C1); (C2) => KAE

=> ABEC là tứ giác điều hòa AC BE AB CE.

Áp dụng định lý Ptolemy vào ABEC ta được

tiếp xúc (C) tại B, C nên đường thẳng

MN là tiếp tuyến chung của hai đường

A

HD (Huynhcongbang)

1) Gọi D' là điểm đối xứng với A qua D Ta có AD' = 2AD

Cần tìm điểm cố định mà MN luôn đi qua với M, N thỏa mãn

AB AD' 4

AM  AN 

Khi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD' thì MN là đường trung bình song song với BD' của tam giác ABD'

Khi N trùng D' thì M chia đoạn AB theo tỉ lệ 1:3

Kết hợp 2 trường hợp này, dễ thấy điểm cố định cần tìm là trung điểm của đường trung bình của tam giác ABD'

Gọi I là trung điểm của AB Điểm cố định cần tìm là trung điểm của DI Thật vậy,

Giả sử M thuộc đoạn IA thì AB 2

AM  nên N thuộc đoạn DD'

Gọi K là giao điểm của DI là MN

A

Từ (1) suy ra KD = KI hay K là trung điểm của ID là điểm cố định

2) Đặt V1 = VAMN thì V = V1 + V' và ta cần chứng minh

1 1 1

V V

BQAPBABCAAHE BCAHAC AHEHAC

Tương tự AHCR nội tiếp

Từ đóAHX ACRCAP, HAXQBE AKE

(K là giao điểm của BE và AP)

AHX CAPAKE

Tứ giác AHEX nội tiếp cho ta HXEHAEHAC HRC

Ghi chú: Nên trình bày lại theo góc định hướng

24 .(Ninh Bình Vòng 2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các đường cao

AM, BN Điểm D trên cung BC không chứa A của đường tròn (O) và khác B, C Hai đường thẳng DA và BN cắt nhau tại Q, hai đường thẳng DB và AM cắt nhau tại P Gọi

I là trung điểm của PQ Chứng minh rằng ba điểm M, N, I thẳng hàng

HD(huynhcongbang) Đặt số đo cung nhỏ CD là 2x

Ta có:

NQ/NH = S[ANQ]/ S[ANH] = AN.AQ sin x/AN.AH.sinHAC

= AQ sin x /AH.cos C

MP/MH = S[BMP]/S[BMH] = BM.BP.sinHBC/BM.BH.sin x

25 (Thái Nguyên) Cho đường tròn tâm O bán kính R , AB là đường kính cố định của đường tròn (O) Điểm M thay đổi trên (O) , N là điểm chính giữa của cung MB Xác định M để diện tích tứ giác AMNB đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

Bài giải của Trần Thanh Bình(10T chuyên QB)

2 ≥

2

3 q(p+1)  3

4 R

2, khi M hợp với OA một góc bằng 600

26 (Phú Yên Vòng 1) Cho Tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Trên DE lấy K sao cho DK = DH Qua K dựng đường thẳng vuông góc với DE cắt AD tại I Gọi M là trung điểm BC Chứng minh BM = MI + IK

 BC tan

BAC

AH  (1) (1) là hiển nhiên vì nếu lấy G đối xứng B qua O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) ta có AHCG là hình bình hành Suy ra AH = CG Mặt khác BAC =BGCtanBAC = tanBGC = BC

là trung điểm của DM cắt AE tại N Chứng minh rằng HN song song với

LG.(thanhorg) Gọi I là giao điểm của BC và AF

* trước hết ta CM B,D,F thẳng hàng hay AG, DF, IC đồng quy

Điều đó tương đương với : GF DC IA 1

ABI FBI

(Do tứ giác ABFD điều hòa)

Như vậy ta có AG,CI,DF đồng quy tại H

* Chứng minh HN //AF

Goi S là giao điểm của DE và AF,Q là giao điểm của DF và AE

Do AG,DF,CI đồng quy tại H nên

Ta có

Suy ra NQ, NF, NH, ND lập thành chùm điều hòa hay NA, NF, NH, NM lập thành chùm điều hòa

Kết hợp với M là trung điểm của AF ta được HN//DF (đpcm)

*Ta có thể CM lại đoạn sau bằng menelaus như sau :

Ap dụng menelaus cho tam giác AFQ với cát tuyến DNM ta có :

Do M là trung điểm của AF nên suy ra DQ NQ

Cho ABC cân tại A và ABC là tam giác nhọn D là một điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho ADB < 900 Từ điểm C kẻ các tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (M,N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD) Gọi P, Q lầm lựot là trung điểm CM, CN Giả sử PQ cắt đoạn thẳng BC tại E Lấy điểm F trên đoạn thẳng

AE sao cho EFC =DAC Chứng minh rằng:BEF = BAC

HD(ratuno) Dễ thấy PQ là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

và C Suy ra ED.EB = EC2 EC/EB = DC/BC (1)

Kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại K Ta có tam giác ADC đồng dạng với tam giác FCK  FK/AC = KC / DC (2)

Dễ thấy KC/KB = EC/EB kết hợp với (1) ta có KC/KB = DC/KC/DC = KB/BC(3)

Từ (2) (3) suy ra BK/ BC= FK/AC}  Tam giác BFK đồng dạng với tam giác BAC BEF = BAC

30.(Quảng Ngãi - Chọn ĐT- ngày 1) Trong mặt phẳng cho đường tròn tâm O, bán

kính R và điểm P cố định nằm trong đường tròn với OP = d Hai dây cung AB, CD thay đổi luôn đi qua P và tạo thành một góc  không đổi (0o <  < 90o) Tìm giá trị lớn nhất của (AB + CD)

Lời giải của Trần Đình Phước Anh (L10T - Chuyên Quảng Bình)

Xét khi O nằm ngoài APC

Gọi OH, OK lần lượt là các đường vuông góc từ O đến AB,CD

Xét 2 dây cung A'B' và C'D' đồng quy tại P hợp với nhau một góc A PC' ' nhận

OP làm phân giác

Gọi OH', OK' lần lượt là các đường vuông góc từ O đến A'B',C'D'

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

Từ (1) và (2) ta có ABA B' ', CD < C'D' ( trong đường tròn dây cung gần bán kính hơn thì lớn hơn)