Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán PTTH

TÀI LIỆU BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MOT SO BAI TOAN CHON LOC BOI DUONG HOC SINH GIOI MON TOAN VIET BO’: PHAM KIM CHUNG - THANG 12 NAM 2010 MUC LUC Trang PHƯƠNG TRINH - BPT - HPT - CAC B

TÀI LIỆU BÔI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

MOT SO BAI TOAN CHON LOC BOI DUONG

HOC SINH GIOI MON TOAN

VIET BO’: PHAM KIM CHUNG - THANG 12 NAM 2010

MUC LUC Trang PHƯƠNG TRINH - BPT - HPT - CAC BAI TOAN LIEN QUAN DEN DAO HAM

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

GIỚI HẠN cỦA Ủ㇠$ỗ— ÌE=—F UV E 1£ C—YI T]

'

Il sLrudenE:

HÌNH HỌC KHÔNG GIÁN'”

ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn :

www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,

Đề thi HSG Quốc Gia, Dé thi HSG các Tỉnh - Thành Phố trong nước, Dé thi Olympic 30-4

Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến ) Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ

Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ( Trần Phương - Lê Hồng Đức )

Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải )

Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải )

Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) Sáng tạo Bất đẳng thứ c ( Phạm Kim Hùng )

Bất đẳng thức - Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương )

340 bài toán hình học không gian ( LE Sharygin )

Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) và một số tài liệu tham khảo khác

Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website

MATHVN.COM + Phạm Kim Chung - THPT DANG THUC HUA- DT : 0984.333.030 — Mail : p.kim chung@gmail.com Tr.1 #4

Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM

PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y =-2x+2+mvx? -4x+5 có cực đại ÐĐS : m < -2

Cho ham sé: f(x)= [east 1,x#0 Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu

Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS:2

log, xlog, y=1

yÌ + 4x + In( (y’ +2x) +1=0

elie Jad ST) n ugent

Giải bất phương trình : 98-2x+T—-2x<6

2x—1

Giải phương trình : 3x(2+V9x! +3)+(4x+2)(Vi+x+x’ +1)=0

Giai phwong trinh: x’ — 4x’? —5x+6=7x’? +9x-—4

Cho ham sé: f(x)=cos’ 2x + 2(sinx+cosx)’ —3sin2x+m Tim m sao cho f’(x)<36, Vm

Trong các nghiệm(x;y) của BPT : Ì0B ; 2 (x+y) >1 Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN

(Dé thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009) Giải phương trình: 20097 (vx? +1- x] =1 DS:x=0

( Đề thi HSG Tinh Nghé An ndm 2009) Timm déhé phuong trinh sau cé ba nghiém phan biét:

3 Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM

4 Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM

38 ( Đề thi HSG Tinh Quang Ninh nam 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : x? +3x? —1< m(vx —Vx-1)

3

HD: Nhân liên hợp đưa về dạng : (x+xx-1) (xÏ +3x” -1)<m

39 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010) Giải phương trình :

( T †m.38ếhệ tónghiậm (5;y) tti6amnẤi điÐý Miệề x> 9

HD: Đứng trước bài toán cha tham số;cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát :

4—Jx=Jy>05x<16 Dat t=Vx,t €[3;4] và khảo sát tìm Min ĐS: a>4+2x/2

y* — 4x + 2xy-2x+4 =5

2*+x'=y`+2

42 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008) Cho hệ: (a là tham số)

43 Giải hệ phương trình : |

44 Xác định m để bất phương trình sau nghi ệm đúng với mọi x: (e™ —e+ 1} —2e"™ len —(e—1)sinx— 1| <1

45 ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT : log ig (x’ -2x-11)= log, pg —2x—12)

46 Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: (4m -3)Nx+ 3+ (3m - 4)V1 —-x+m-1=0

2 y2x2 _ X +1

47 (Olympic 30-4 lan thi VIII ) Giải hệ phương trình sau: y +1

3log,(x+2y + 6)=2log,(x+y+2)+1

48 Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :

Cho '6)~| (x+1)e”,x>0 Tìm a để tồn tại f(0)

r

®” Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biét x,;x,;x, x,

Phần I: PHƯƠNG TRÌNH - BPT - HPT - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ð ẾN ĐẠOHÀM

Tính giới hạn: N„ = limY$——XS —~ Tính giới hạn: N, = jim *

4) PG), P"Ge) | Pe)

Pí(x) P4) P'(x,) b) i + 1 + + 1 =0 P'(x,) P4) ” P'(x,) Tính các tổng sau :

a) T,(x)=cosx+ 2co0s2x+ + ncosnx b) T.(x)= tanŠ+.ˆ tan Š + +.T tạn

8)

a" +b"

2 Chứng minh rằng với a >3,n>2 ( neN,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm :

(n+1)x”'?—-3(n+2)x"°+a" =0

Cho œcR:a+b>0 Chứng minh rằng : aso <

` w „ ` N a N A Xx Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị: y =(m+ 9)

Cho các số thực a,b,c,d,e Chứng minh rằng nếu phương trình : ax + (b + c)x +d+e=0 cé nghiém thuc thudc

[1;+œ) thì phương tình : ax” +bxỶ +cx” +dx+e=0 có nghiệm

Cho phương tình : P(x)=x” —5xf + 15x” —x” +3x —7 =0 Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực

MATHVN.COM + Phạm Kim Chung - THPT DANG THUC HUA- DT : 0984.333.030 — Mail : p.kim chung@gmail.com Tr.5

6 Phần II: PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC

2 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x-f(y))= f(x+ y”*)+f(f(y)+y”*)+ 1, Vx,yeR

3 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x + cos(2009y)) = f(x) +2009cos(f(y)), Vx,yeR

4 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :

c) f(x)>e””*

d) f(x+y)> f(x)f(y), Vx,yeR

5 Tìm hàm số: f:R->R thoả mãn điều kiện sau : f(x+ y)= f(x)e”?,vx,yeR

Tim ham sé: f:R ->R thoả mãn điều kiện sau : F(x.f(x+y)) = f(y.f(x))+ x’

( Dé thi HSG Tinh Hai Phòng năm 2010 ) Tim ham f:R—R théa man:

f? (x) + 2yf(x)+ f(y) = f(y + f(x)), V,x,ycR

(T1C—C\C.F¬ YTT!\C_ CYI T}†

WaGentcts

Cho a,b,ceR:a? +b +c? =3 Chứng minh rằng : a*b+bˆc+c?a<3

Cho các số thực không âm a,b,c Chứng minh rằng :

a?b? (a-b} +b*c? (b-c} +ca? (c-a) >(a -bŸ (b-c) (c-a}

g tuỳ ý xy iy hề: (os V2

Cho a,b,c >0 Tim GTNN cua: P =——_r—

abfc Cho các số thực dương xy,z thõa mãn: x” +y“ +z” =1

2 2 2

CMR: 2x —(y —-Zz) + 2y —-(z—Xx) + 2z—(x-y)

Cho các số thực dương a,b,c CMR : bc + ca + ab < arb+rc

a+3b+2c b+3c+2a c+3a+2b 6 Cho các số thực dương a,b,c CMR: 1 + 1 + 1 < 1

a'+bl+abc b+cl+abc cổ+ai+abc abc

Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 1 + 1 + 1 =1.CMR: ab+bc+ca<3

a’+2 b*+2 +2

Cho các số thực dương tho tian diéirkiéh-—ai +b Hc Pa Se T1

2 2 2 2

Cho các số thực dương a,b,c CMR : 4 LP C va hrcj MA

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1.CMR: — 1 + 1 1

a(b+c) b (cta) c(a+b) Cho 3 số thực xy,z thỏa mãn : xyz=1 và (x-1)(y-1)(z—1)#0 CMR:

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a? +bỶ +c? =9 CMR : 2(a+b+c)<10+abc

Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 CMR : >t >t 5 2—

(l1-a)’ (1-b)’ (1-c)’ 4

(Chon DTHSG QG Nghé An nam 2010 ) Cho cac sé thực dương a,b,c thỏa mãn :

9(a“ +b +c?)—25(a” + bf +c”)+48 =0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức :

MATHVN.COM + Phạm Kim Chung - THPT DANG THUC HUA- DT : 0984.333.030 — Mail : p.kim chung@gmail.com Tr.7 &

8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

Từ giả thiết : 9(a* +b +c?)—25(a? + bˆ +c?)+ 48 =0 >2B(a + bŸ +c?)=48+9(af + b” +c“)> 48+ 3(a” + bÝ + c?}

—=3(a? +bŸ +c?}? —25(a? +b? +c?) +48 <0 >3<a’? +b’? +c? < 16

Ta lại có :

= + + = + + >

b+2c c+2a a+2b a*(b+2c) b*(c+2a) c’*(a+2b) (a*b+b’c+c’a)+2(a’c+b’a+c’b)

ae 2 24 — 2 We c2AT22h2 ¡ h2c2 „ 222 Ja? 27 |(a*+b* +c’) Lại có : a“b+bfc+c a =a{(ab) + b(bc)+ c(ca)<-j(a +b +c]a“b +bfc +ca“]<va“ˆ +b“+c —

F> (a! +b? +c’) -sía +b+c)(a’ +b’ +c’) >-(a” +bỶ +) -g(a' +b? +c’) 3(a’ +b? +c? )

Dat t=, l3(a” +b?+ c?) , từ giả thiết ta có:

25(a” +b? +c’ ) — 48 = s(a' +b‘ +c*) > 3(a’ +b? +c" )

=>3(a’ +b* +c? ý -25(a? +b* +c? )+48 <0 >3<a’+b*+c’< 16,

Do đó F>Tt—-—t'=f(t) với te[3;4] (***)

Vậy minF=1) xảy ra khi a=b=c=1

21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng :

11 1 ii 1 36

x y 7 _—= +y?z +z2y?

Lời giải :

BĐT đã cho tương đương với : (9+x’y’ +yˆZ cá [tiệxŸ) >36

Ta có : (xyz) =(xy)(yz)(zx)< [re

Và 9+ x2y2 + z2y2 +x2z2 > 12 14lx*y1z* hay 9 + x2y2 + z2y2 +x2z2 > 12 ‡Íxyz (2)

Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:

(xy + yz + zx)(9 + x¢y2 + z2y2 +x2z2) > 36xyz (đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1

22 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x+y+1=3xy Tìm giá trị

lớn nhất của: M= + —_—_—-_—

y(x+1) x(y+1) xỉ y?

Lời giải : tas ¬ YT) Co cory;

Ta có : 3xy 2x+ÿ#122Vxy +1— |xý31SSxÿy>1) 7°”

Ta có :

M= 3x + 3y 1 1 1 + 1 _ Bxy(x+y)-(x+y) + 2xy _ 3xy (3xy —1)—(1—3xy} +2xy

yˆ(3x-1) x”'(3y-1) xŸổ y’ y(3x-1) x”(3y-1) x’y*| Oxy —3(x+y)+1 | 4x?y?

23 ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c CMR:

24 ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010) Cho x, y, z >0 thỏa mãn : x” +y” +z” =1 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức: P=6(y +z—x)+27xyz

HD: P<6|J2(y' +z°)—x|+27x.* = =6{ a(t x?) —x]+27%- > (Pus = 10)

25 (Dé thi HSG Tinh Hai Phong nam 2010) Cho a,b,c>0:a’°+b’ +c’ =1 Chimgminh rang:

a +2b" +3ct >

HD: Có thế dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ

26 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: xyz=1_ Chứng minh rằng :

(a” +bˆ} =(a° +a*b’ + a*b? + a*b’)+(b° +a’b* +a°b* + a’b* )> 44/a°b® (a° +b’)

é thi inh Dong Nai nam Cho a,b,c > 0 Ching minh rang:

Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > 0 Ch?ng minh rằng

HD: vt=y 2-28 +b* +c") > (atb+c) >a+b+c

( Đề thi chọn HSG QG 'ñũnh Eình Ùịmh-¬iäm 2030) Ì chủ sz=ứxm4 bản Ì 2Jxy +Vxz =1 Tim gid tri nhd

methematics 4 teachers n' students

Tìm giá trị nhỏ nhất của : P= xyz

( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b,c >0:a” +b“ +c? =3 Chứng minh bất đẳng thức :

1 + 1 + 1 <1

4-xab 4-vbce 4-Yca

( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010) Cho các số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ nhất của :

2 2 2 2

BĐT đã cho trở thành: 2-42.40, 3abc_ ,[Atbtcj, c ab ab+bc+ca at+bt+c (a+b+cỶ 2 với;a+b+c>3Vabc =3

36 ( Đề thi chon đổi tuyển ĐH Vĩnh năm 2010 ) Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] va a+b+c=1.Tim gia

Lời giải 2: Ta có : ab? +ab? +bc? >33J(a?b?c?)b =3b

39 (Chon ĐT HSG QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho a,b,c >0 Chứng minh bất đẳng thức :

deta) Wes) es) 2 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng T

41 ( Đề dự bị HSG Tỉnh Ee anil a’ +b? +c’ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất

V2avb? +c? Nbi +c - i +2(b? +c” Ï

v2 KP 3 Lại có : a(bÍ+e”)=———————=————

3 3 3

42 ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005) Cho a,b,c>0 CMR: a zt b zt = ->3

(a+b) (b+cy (ct+a)y 8 Loi gidi: » fy —z ;—> xyz =1 Bất đẳng thttc da cho tré thanh: 1 zt 1 zt 1 ->3

a bc (l+xy (1+y)y (1+zy 8

lời giải 1: —*>-x)ei=x[t~Vt=xf)>0eV1=x +X x?

46 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC Tìm GTNN của : P | 2a tị 2b + 2c

2b+2c-a 2a+2c—b 2b+2a-c

2b+2c-a _ 4(3a)(2b+2c—a) P(a+b+©)

47 Cho a,b,c>0:a+b+c=1.TimGTLN, GTNN cia: P=Va?+a+14+ Vb? +b4+14¢ Ve +c+1

Bổ đề: CM bất đẳng thức: A1+a+a? +A1+b+b2 <1+1+(a+b)+(a+b}

Bình phương 2 vế ta có: 2J(1+a+a?)(1+b+bẺ) <ab+xJ1+a+b+(a+bŸ ©2j1+a+b+(a+b} +(1-a—b)>0

48 ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Hải Dương năm 2008) Cho a,b,c>0:a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức : P=

2 3 3

Tacé: — s=a— 2ab sa— 2ab =a— “ba? >a—“b(a+a+1)=a—^b— “ab

MATHVN.COM + Phạm Kim Chung - THPT DANG THUC HUA- DT : 0984.333.030 — Mail : p.kim chung@gmail.com Tr 13%

Cho a,b,c>0 Chứng minh ring: 142414 M > : + : + :

a b c arb+c a+b a+c brc HD:

s bực cVa axb 343

a(V3c + Jab) bị 3a + bc] c(/3b + Vac)

Cho a,b,c>0.CMR: ——@_, _P g 3a°+2b°+c° 3b°+2c°+a° 3c°+2a°+b° C psi(2+242] 6la b c

Cho a,b,c>0:ab+bc+ca=3 CMR: a + b + > abc

2a°+be 2b’+ca 2c’ +ab

bva avc evb >1

4b\c— cla dab — be 4cxla — avb 7

Cho a,b,c>0:t+ + =1 CMR: A_ b 6 „a+b+c

a bec a+bc b+ac c+ba 4

Cho x,y,z>0 Tìm Min của : PAA a) TOP) HS He 2 SN)

HD: Dat x=,/—;y= be —=>xyz=1.Apdung Bo dé: + < xy <1

Vb” Íc” Va ý poses 1+x’ 1+y’ Tay )

Chứng minh các Bất đẳng thức :

a) log,,,a° +log,,, b’ +log,,,,c’ >3 (a,b,c> 2)

b) 2 log,¢ | log.a | log, b+c cta atb P a+b+c

(a,b,c >1)

c) Cho x,y,z>0: xy +yz+zx=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P= x'y? +y”z” +zˆx” +(x- 1] +(y - L +(z- 1

16 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ

x, =1

Chứng minh dãy số có giới han và tính giới han đó

x„„ =7—log; (x? +11) 5 yee OBO _

x # ' —2

Lại xét hàm số : g(x)=7 —log,(x” + 11)—x, xe(0;5) Ta có : g'(x)= — 1<0,Vxe(0;5)

(x* +11)In3

Suy ra phương tình f(x)=x có nghiệm duy nhất x= 4

Theo định lý Lagrage 3c c(x,;4) sao cho : |f(x,)— f(4) (x, 54) | |“ 4 <4 -4

n-1

Feel (c ah ite nd “Tima A X111n3 x.-4

2 Cho phươngtình: x”"“ =x+1 với nnguyên dương Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm

+) Nếu x<0: Hàmy= f (x) liên tục trên R và f(0)= -1; lim f(x)=—œ, suy ra phương trình không có

nghiệm trên khoảng (0;—œ)

+) Nếu x >1rttsfc—fn aml —E=rr= lim f(x)= +00 , suy ra phương trình

có nghiệm x -e(1;+œ):duy nhất

Xét hiệu :

Fiat (%,)—f,(X,) = (x2? —x, =1)— (xen xi =1)=x"(x, -1)>0,Vx, >1 > £,.,(x,)> 6.)

Hay: f._.(x,)>f,(x,)=0=f.,, (x ) >, >X,,,: (Do ham f(x) tang)

Vậy dãy {x,} là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn Giả sử : limx, =a(a > 1)

n+1

Ta sẽ chứng mỉnh a=1 Thật vậy, giả sử a> 1

Gia str {un} bi chan trên Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn : limu, =a(a >1) Do đó, tr:

17 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

Do dé: |x,,, -v2| <2, -⁄2) (*) Từ (Z) cho n = 1,2, và nhân lại với nhau ta có :

n-1

Xo -V2 4#] (x, -⁄2) Mà un 2 (x, -⁄2) =0=limx, =A2

_1 u81 rÿn>]1 °Í n+1 2

18 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

Từ (*) cho n= 3,4 ta có : x„_ X, X.; x; |(n-1Ÿ(n-2Y (2Ÿ|[ n n-13] 12) _— 4

4(n+1}Í _ n(n+1)_

Bằng quy nạp ta chứng minh được x, >0,Vn>0

+) TH1:Nếu x„ =1, quy nạp ta được x_ =1,Vn >0 Hiển nhiên limx, =1

one MORSE eT, 0 age corm) un VỚI X >1

18k địa t xi 4 3x erfche r = tudents

Từ đó ta có : x, >x, > >x, >x,.„ >1 Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn

a(a’ +3) 1

“> a=

Lại cO: x, <x, &

Giả sử : limx, =a>O0>a=

19 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

( Dé thi HSG Tinh Hải Dương năm 2006) Cho dãy số thực x, =2006;x n+1 =

( Đề thi HSG Tỉnh Phi Tho nam 2008 ) Cho day sé {x_} théa man:

Lại có :

2010x,., =x? +2009x, > 2010(x,, -x,)=x,(x, -1)>—2 = 2010-12 — = 2010] LÔ |

mathematics 4 ¥eabhers n’ student x2 x23 x23

( Bài tương tự ) Cho dãy số: (x,): x24 Tim giéi han lim) —+_—®—+ +—

( Dé thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) Đặt f(n)=(n” +n+ 1} +1 với n là số nguyên dương Xét dãy số

(x, ):x, = 1)4(3)445)-1U6n - 1) Tính giới hạn của dãy số: u_ =n”.x

20 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

Xéthàm số: f(x)=————————, tacó : f'{x)=————+~>0,Vx>0

4Nx? +4x Lại có : x, =f(x,)>0,(do x, >0) bằng quy nạp ta chứng minh được x, >0,Vn

Vậy dãy {x, } tăng và không H chặn trên nên: limx =+œ

Do đó dãy {x,} giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử : limx, =a(a>0), ta có pt:

a =ÄŸ'6a—6sina ©a” =6a—6sina Xét hàm số : g{(t)=t” +6sint—6t , ta có :

ø'{t)= 3t +6cost—6, g"{(t)= 6t—6sint> 0,Vt >0 —>g'{t)> g(0)= 0— g(t)>g(0)=0 Do đó pt có nghiệm duy nhất a=0

Xia = VOX, +11x, +3; n>1,neN n

HD: Chứng minh dãy (x, ) tang va khong bi chan :

21 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

24 Cho dãy số (u, ) xác định bởi công thức

u, = 2008 u,„= u: -4013u, +20077; n>1,neN

HD: Chứng minh dãy gi ảm và bị chặn dưới

27 Cho phươngtình: x"+x"” + +x—1=0 Chứng tổ rằng với n nguyên dương thì phương trình có nghiệm duy

29 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho phươ ng tình:

28 Cho dãy số {u, } xác định bởi |

-x+n=0 (1) Chứng minh rằng: với mỗi n

e N” phương tình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x n Xét dãy (xn), tìm lim (xn+1 - Xn)

I[I ICB_IC—C.Fr TY Y Ị Coord Cc

Voi n € N*, xét f (x) = ———-xin; xeR

Khi đó lim (Xn-1 - Xn) =lim{[Xn+1- (n+ 1)] - (kn-n) + 1}=1

MOT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TONG QUAT CUA DAY SO

u¿ =2

30 Cho dãy số (u, ): u = “9,47 24 Tim limu, =?

5u, ; +13 Giải :

MATHVN.COM + Phạm Kim Chung - THPT DANG THUC HUA- DT : 0984.333.030 — Mail : p.kim chung@gmail.com Tr 21%

Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ

35 Cho day sé:

eo FP aug U2 =U,+2U,,,,nEN* > ˆ LÍ Cả nae

sin—

HD: Đặt: x =_—*—>x =cos—— và chú ý: ——“—>=x_ x X =—— : n 2 n gui 2n 152 n 2n

sin wd

23 Phần IV: GIỚI HẠN DẤÃY SỐ