Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối

Đ i t ố ượ ng và ph m vi nghiên c u………………………………………… ạ ứ 2 3 M c tiêu nghiên c u .ụứ

1 Đ i t ng ố ượ : H c sinh l p 12 Trung h c ph thông ọ ớ ọ ổ

H c ọ sinh l p 12, ớ h c sinh gi i Toán ôn ọ ỏ thi TNTHPT.

Giúp học sinh có phương pháp giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số, hàm ẩn chứa trừu tượng Đối với giáo viên, cần phân loại các dạng bài tập và vận dụng cao trong phần kiến thức liên quan đến hàm số.

Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn

Nội dung bài viết tập trung vào việc trình bày ý nghĩa và phân loại các đề thi trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia Bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ bản chất bài toán và áp dụng đúng trong các kỳ thi học sinh giỏi và tốt nghiệp THPT.

5 NHI M V VÀ PH Ệ Ụ ƯƠ NG PHÁP NGHIÊN C U Ứ

1 Nhi m v ệ ụ Đ đ t đ ể ạ ượ c m c đích trên, đ tài có nhi m v làm rõ m t s v n đ sau: ụ ề ệ ụ ộ ố ấ ề

Chú tr ng cho h c sinh thao tác t duy t ọ ọ ư ươ ng t hóa gi a các d ng toán liên quan ự ữ ạ

C n chú tr ng rèn luy n cho h c sinh năng l c ch ng minh, suy di n ầ ọ ệ ọ ự ứ ễ

Tô ch c day th c nghi m đê b ̉ ư ́ ̣ ự ệ ̉ ướ c đ u kiêm nghi m tính kh thi các bi n pháp ầ ̉ ệ ả ệ đ ra ề

Trong quá trình nghiên cứu, đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm nghiên cứu lý luận, điều tra, quan sát thực tiễn và thực nghiệm sản phẩm.

6 D BÁO NH NG ĐÓNG GÓP M I C A Đ TÀI Ự Ữ Ớ Ủ Ề

Cung c p nh ng ph ng pháp và ấ ữ ươ đ nh h ng ị ướ gi i nhanh các d ng bài t p v c c ả ạ ậ ề ự trị c a ủ hàm h p, hàm ợ n ch a tr tuy t đ i ẩ ứ ị ệ ố

Làm phong phú h n kho tài li u v d y và h c môn Toán h c ơ ệ ề ạ ọ ọ

Phát triển các năng lực như tư duy phản biện, xử lý thông tin, năng lực ngôn ngữ và năng lực nghiên cứu khoa học giúp học sinh học tập toàn diện Những năng lực này không chỉ hỗ trợ trong việc ghi nhớ kiến thức khoa học mà còn nâng cao khả năng tư duy logic và sáng tạo.

Thời gian thi môn Toán là 90 phút với 50 câu hỏi cho chương trình lớp 12 và 11 Do đó, trong quá trình giải đề, nếu các em không lựa chọn được phương pháp phù hợp, thời gian sẽ không đủ để hoàn thành 50 câu hỏi, dẫn đến số lượng câu hỏi chưa làm ngày càng tăng.

Cách nh n bi t và gi i nhanh giúp h c sinh n m v ng cac phân kiên th c, làm cho nôi ậ ế ả ọ ắ ữ ́ ̀ ́ ư ́ ̣ dung hoc co y nghia h n, h ng thú, hâp dân h n v i cac em hoc sinh ̣ ́ ́ ̃ ơ ứ ́ ̃ ơ ơ ́ ́ ̣

Phương pháp dạy học này sử dụng phần mềm GeoGebra để tăng cường khả năng quan sát của học sinh Đồng thời, phương pháp truyền thống như phân tích trên bảng đen cũng được áp dụng để nâng cao khả năng ghi nhớ Việc kết hợp với sử dụng bản đồ tư duy và thảo luận nhóm mang lại hiệu quả cao trong việc học tập của học sinh.

Việc giải các bài toán liên quan đến hàm số và phương trình là rất quan trọng trong toán học Tuy nhiên, học sinh thường gặp khó khăn khi áp dụng các phương pháp truyền thống để tìm ra lời giải Điều này không chỉ tốn thời gian mà còn có thể dẫn đến những kết quả không như mong đợi, gây ảnh hưởng đến sự hứng thú và động lực học tập của học sinh Do đó, cần có những phương pháp giải quyết hiệu quả hơn để hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập.

Qua thực tế giảng dạy các lớp khối 12, chúng tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải quyết các bài tập động Vào tháng 9 năm 2021, khi áp dụng đề tài cho học sinh lớp 12 Trường THPT Cửa Lò làm bài khảo sát, kết quả thu được cho thấy sự lúng túng trong việc xử lý các bài toán.

SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)

Gi thuy t khoa h c ả ế ọ

Ba bài toán c b n v c c tr hàm s ơ ả ề ự ị ố

 3.2.1 Bài toán c b n 1 ơ ả :Tìm s đi m c c tr c a đ th hàm s ố ể ự ị ủ ồ ị ố

B ướ c 2 :Tìm các giá tr ị đ t i đó y’=0 ho c không xác đ nh ể ạ ặ ị

B ướ c 3 : L p b ng bi n thiên và k t lu n s đi m c c tr ậ ả ế ế ậ ố ể ự ị (Chú ý: S đi m c c tr b ng s nghi m đ n (ho c nghi m b i l ) c a y’ ố ể ự ị ằ ố ệ ơ ặ ệ ộ ẻ ủ

Ví d 1 ụ Sô điêm c c tri cua ham sô ́ ̉ ự ̣ ̉ ̀ ́ là

Tâp xac đinh: ̣ ́ ̣ Bang biên thiên: ̉ ́

D a vao bang biên thiên suy ra ham sô co 3 điêm c c tri ự ̀ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ự ̣ Ch n C ọ

Ví d 2 ụ Cho hàm s có đ o hàm v i m i ố ạ ớ ọ S đi m c c ố ể ự trị c a hàm s là ủ ố

L i bình ờ : Ta th y s đi m c c tr c a hàm s b ng s nghi m đ n ho c ấ ố ể ự ị ủ ố ằ ố ệ ơ ặ nghi m b i l c a ệ ộ ẻ ủ

 3.2.2Bài toán c b n 2 ơ ả : Đ th hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ? ồ ị ố ể ự ị

Ph ươ ng pháp gi i ả

B ướ c 1 : Tìm s ố đi m ể c c tr ự ị c a hàm d ủ ướ ấ i d u tr tuy t đ i ị ệ ố

B ướ c 2 : Tìm s các nghi m ố ệ đ n ơ nghi m b i l c a ệ ộ ẻ ủ ph ươ ng trình

B ướ c 3 : K t lu n ế ậ s đi m c c tr c a hàm s b ng: ố ể ự ị ủ ố ằ Cách 2: S d ng phép bi n đ i đ th ử ụ ế ổ ồ ị

Ví d 1 ụ Cho hàm s có nh hình v sau S đi m c c ố ư ẽ ố ể ự tr c a hàm s là: ị ủ ố

Ta th y có 2 nghi m đ n, có 3 nghi m đ n ấ ệ ơ ệ ơ Nh v y, ư ậ có 5 nghi m đ n, suy ra ệ ơ hàm s có ố 2 + 3 = 5 đi m c c tr ể ự ị Ch n B ọ

 3.2.3Bài toán c b n 3 ơ ả : Đ th hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ? ồ ị ố ể ự ị

Ph ươ ng pháp gi i: ả Cách 1.

(Áp d ng đ nh nghĩa tr tuy t đ i) ụ ị ị ệ ố

S nghi m c a ta d a vào đ th , b ng bi n thiên suy ra ố ệ ủ ự ồ ị ả ế

Bước 2: Lập bảng biến thiên cho bài toán Cách 2: Vì hàm số là hàm số chẵn nên đặt điểm đối xứng trên trục Oy Do đó, chúng ta có công thức tính giá trị cực trị là $x = -x_0$ và $y = f(x_0)$, từ đó xác định được các điểm cực trị của hàm số.

Năng lực giải toán của học sinh được phát triển thông qua hoạt động và bài tập, với 5 dạng toán cơ bản liên quan đến hàm hợp và hàm ngược Những dạng toán này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề từ dễ đến khó, đồng thời tạo điều kiện cho giáo viên định hướng và hỗ trợ quá trình học tập Bài viết sẽ đi sâu vào nội dung chính của đề tài này.

Phát tri n năng l c gi i toán cho h c sinh thông qua bài toán c c tr hàm ể ự ả ọ ự ị h p, hàm n ch a tr tuy t đ i ợẩứịệ ố …

3.3.1 D ng 1 Tìm s đi m c c tr c a hàm ạ ố ể ự ị ủ h p ợ d ng ạ trong đó là hàm s đ i ố ố và là h ng s , ằ ố

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B ướ c 1: Tìm s đi m c c tr c a hàm s d ố ể ự ị ủ ố ướ ấ i d u tr tuy t đ i ị ệ ố

Ta th c hi n nh sau: ự ệ ư

+) Tính đ o hàm ạ +) Gi i ph ả ươ ng trình +) Tìm s nghi m đ n ho c b i l và các đi m mà ố ệ ơ ặ ộ ẻ ể không xác đ nh ị Suy ra s đi m ố ể c c tr c a hàm ự ị ủ

B ướ c 2: Tìm s nghi m ph ố ệ ươ ng trình ta th c hi n nh sau: ự ệ ư

L p b ng bi n thiên c a hàm s , ậ ả ế ủ ố k t h p t ế ợ ươ ng giao đ ườ ng th ng đ suy ra s ẳ ể ố nghi m đ n ệ ơ , nghi m b i l ệ ộ ẻ c a ph ủ ươ ng trình

B ướ c 3: K t lu n: s c c tr c a b ng ế ậ ố ự ị ủ ằ s đi m c c tr c a hàm s c ng v i s ố ể ự ị ủ ố ộ ớ ố nghi m đ n, c ng s nghi m b i l c a ph ệ ơ ộ ố ệ ộ ẻ ủ ươ ng trình

Ví d 1 ụ Cho hàm s xác đ nh, liên t c trên ố ị ụ ﾡ và có b ng bi n thiên nh hinh ve ả ế ư ̀ ̃ d ướ i S đi m c c tr c a hàm s là: ố ể ự ị ủ ố

Phân tích: Đây là d ng bài đ m s c c tr c a hàm s cho b i đ th , h c sinh th y ạ ế ố ự ị ủ ố ở ồ ị ọ ấ c c tr hàm h p đã khó r i gi l i còn thêm c tr tuy t đ i thì qu là r i r m, r t ự ị ợ ồ ờ ạ ả ị ệ ố ả ố ắ ấ

Để giải quyết những khó khăn trong việc học tập, chúng ta cần xác định rõ các bước cần thực hiện Đầu tiên, hãy liên hệ với giảng viên hoặc bạn bè để nhận được sự hỗ trợ Tiếp theo, hãy tìm hiểu các tài liệu và nguồn học tập phù hợp để nâng cao kiến thức Cuối cùng, hãy lập kế hoạch học tập cụ thể và kiên trì thực hiện để đạt được kết quả tốt nhất.

B ướ c 1: Tìm s c c tr c a hàm s (là hàm d ố ự ị ủ ố ướ ấ i d u tr tuy t đ i) ị ệ ố

B ướ c 2: Tìm s nghi m đ n, nghi m b i l c a ph ố ệ ơ ệ ộ ẻ ủ ươ ng trình

B ướ c 3: K t lu n s đi m c c tr c a hàm ế ậ ố ể ự ị ủ (d a vào ự m nh đ 1 ệ ề m c 3.1.1 ở ụ đ k t lu n) ể ế ậ

Xét hàm s Ta có Ta có đ i d u khi đi qua 2 nghi m này nên hàm s có 2 ố ổ ấ ệ ố c c tr ự ị

Xét ph ươ ng trình Trong 2 nghi m này thì là nghi m đ n (không trùng v i 2 đi m c c tr c a hàm s ); ệ ệ ơ ớ ể ự ị ủ ố là nghi m b i ch n Do đó PT có 1 nghi m đ n và có 0 nghi m b i l ệ ộ ẵ ệ ơ ệ ộ ẻ

V y hàm s có đi m c c tr ậ ố ể ự ị Ch n C ọ

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá cách tìm sự cực trị của hàm bậc nhất, một nhiệm vụ không quá phức tạp Tuy nhiên, khi đối diện với hàm đa thức có bậc cao hơn, độ khó sẽ gia tăng Hãy cùng tìm hiểu bài toán sau để làm rõ hơn về vấn đề này.

Ví d 2 ụ Cho hàm s có đ th nh hình v bên ố ồ ị ư ẽ

B ướ c 1: Tìm s c c tr c a hàm s d ố ự ị ủ ố ướ ấ i d u giá tr tuy t đ i ị ệ ố

B ướ c 2: Tìm s nghi m đ n, b i l c a ph ố ệ ơ ộ ẻ ủ ươ ng trình

B ướ c 3: K t lu n s c c tr c a hàm ế ậ ố ự ị ủ (d a vào ự m nh đ 1 ệ ề m c 3.1.1 ở ụ đ k t ể ế lu n) ậ

Xét hàm s có b ng bi n thiên: ố ả ế

Xét th y 9 nghi m này là các nghi m đ n phân bi t c a ph ấ ệ ệ ơ ệ ủ ươ ng trình , mà hàm đ i ổ d u khi đi qua 9 nghi m trên Suy ra hàm s có 9 c c tr ấ ệ ố ự ị

Bây gi ta tìm s nghi m ph ờ ố ệ ươ ng trình Căn c đ th c a và b ng bi n ứ ồ ị ủ ả ế thiên c a hàm s trên ta có: ủ ố ở

Ta có có 8 nghi m đ n phân bi t, các nghi m này không trùng v i các đi m ệ ơ ệ ệ ớ ể c c tr c a hàm s ự ị ủ ố V y hàm s ậ ố có đi m c c tr ể ự ị Ch n C ọ

L u ý: ư Chúng ta c n kh c sâu m u ch t tìm s c c tr c a hàm d ầ ắ ấ ố ố ự ị ủ ướ ấ i d u tr ị tuy t đ i và tìm s nghi m đ n, b i l c a ph ệ ố ố ệ ơ ộ ẻ ủ ươ ng trình

Ví d 3 ụ Cho hàm s có đ th đ o hàm nh ố ồ ị ạ ư hình v d ẽ ướ i đây, bi t Hàm s có t i đa bao ế ố ố nhiêu đi m c c tr ? ể ự ị

B ướ c 1: Tìm s c c tr c a hàm s d ố ự ị ủ ố ướ ấ i d u tr tuy t đ i ị ệ ố

Ph ươ ng trình đ o hàm ạ

Suy ra hàm s có đi m c c tr ố ể ự ị

Xét ph ươ ng trình

Vì có 8 c c tr và ự ị nên có b ng bi n thiên ả ế

Do đó ph ươ ng trình có t i đa 9 nghi m đ n phân bi t không trùng v i các đi m c c ố ệ ơ ệ ớ ể ự tr c a hàm s ị ủ ố

V y ậ có t i đa 8 + 9 = 17 đi m c c tr ố ể ự ị Ch n B ọ

Ví d 4 ụ Cho hàm s có đ th nh hình v Bi t ố ồ ị ư ẽ ế t t c các đi m c c tr c a hàm s là ; ; ; ; v i ấ ả ể ự ị ủ ố ớ

Xét hàm s T đ th ta có 2; 0; 2; ; 6 là t t c các nghi m c a Ta có: ố ừ ồ ị ấ ả ệ ủ

Ta có b ng bi n thiên c a hàm s ả ế ủ ố

Dựa vào biến thiên của hàm số, ta suy ra rằng đây là nghiệm kép của phương trình Do đó, nghiệm kép này cũng là nghiệm của phương trình Vì vậy, nghiệm này là nghiệm bội ba của phương trình.

Các nghi m khác và c a đ u là nghi m đ n Nên hàm s đã cho có 11 c c tr ệ ủ ề ệ ơ ố ự ị

Bây gi ta tìm s nghi m ph ờ ố ệ ươ ng trình Căn c đ th c a hàm ta có ứ ồ ị ủ

Căn cứ vào biến thiên của hàm số, ta có phương trình vô nghiệm với hai nghiệm đan phân biệt Hai nghiệm này không trùng với bất kỳ điểm cực trị nào của hàm số trên Do đó, có 2 nghiệm đan phân biệt.

Ví d 5 ụ Cho hàm s là hàm s b c 3 có đ th là đ ố ố ậ ồ ị ườ ng cong nh hình v ư ẽ

Bi t Hàm s có m y đi m c c ti u? ế ố ấ ể ự ể

T đ th ta th y do đó ta có ừ ồ ị ấ Xét ta có

Ta có b ng bi n thiên c a hàm s nh sau: ả ế ủ ố ư

Hàm số $ s $ là hàm bậc 3, do đó suy ra là hàm bậc nhất có hệ số bậc nhất âm Vì lý do này, theo giả thuyết, hàm số không thể hợp với biến thiên của hàm số suy ra hàm số có 6 điểm cực trị.

L i bình: ờ Khi đã quen v i quy trình gi i toán, n u không còn là đa th c ta cũng ớ ả ế ứ gi i quy t t ả ế ươ ng t Ta nghiên c u các bài toán sau ự ứ

Ví d 6 ụ Cho hàm s có đ o hàm Hàm s có t i thi u bao nhiêu đi m c c tr ố ạ ố ố ể ể ự ị

Khi đó Suy ra hàm s có 6 đi m c c tr ố ể ự ị

Căn c b ng bi n thiên thì ph ứ ả ế ươ ng trình có t i thi u 1 nghi m ố ể ệ

V y Hàm s có t i thi u 6 + 1 = 7 đi m c c tr ậ ố ố ể ể ự ị Ch n D ọ

Khi học sinh đã quen với môi trường học tập, giáo viên không cần phải định hướng quá chặt chẽ mà nên khuyến khích các em tự tìm tòi và phát triển khả năng tư duy Việc này giúp học sinh chủ động hơn trong việc học và khám phá kiến thức mới.

Ví d 7 ụ (Đ thi th THPT L ề ử ươ ng Th Vinh 2021) ế

Cho hàm b c ba có đ th nh hình v Hàm s có bao nhiêu đi m c c ậ ồ ị ư ẽ ố ể ự tr trên đo n ị ạ

Xét hàm s Ph ố ươ ng trình cho m t nghi m thu c đo n ộ ệ ộ ạ Ph ươ ng trình cho nghi m thu c đo n ệ ộ ạ

Ta có: , (Vì ) Hàm s có m t đi m c c tr thu c tr c hoành ố ộ ể ự ị ộ ụ

V y hàm s có đi m c c tr ậ ố ể ự ị Ch n D ọ

Ví d 8 ụ Cho hàm s là hàm đa th c b c b n Bi t và đ th hàm s ố ứ ậ ố ế ồ ị ố có hình v bên d ẽ ướ i Hàm s có bao nhiêu đi m c c tr trên đo n ? ố ể ự ị ạ

Ta có qua nên Suy ra B ng bi n thiên c a ả ế ủ

Ta có b ng chuy n đ i giá tr ả ể ổ ị

Khi đó có b ng bi n thiên c a v i ả ế ủ ớ

Hàm s có 17 c c tr trên đo n ố ự ị ạ

Ph ươ ng trình có có 16 nghi m phân bi t trên đo n ệ ệ ạ Suy ra Ph ươ ng trình có 16 nghi m phân bi t trên đo n ệ ệ ạ

V y hàm ậ có đi m c c tr trên đo n ể ự ị ạ

Ví d 9 ụ Cho hàm s y=f(x) có đ th hình v G i S là t p h p các giá ố ồ ị ẽ ọ ậ ợ tr nguyên d ị ươ ng c a tham s m ủ ố đ đ th hàm s ể ồ ị ố có 5 đi m c c tr ể ự ị

T ng giá tr t t c các ph n t c a S b ng ổ ị ấ ả ầ ử ủ ằ

Sự giao điểm của hai đường thẳng có thể được xác định bằng cách tính toán tọa độ giao điểm trên mặt phẳng Để tìm được điểm này, ta cần xác định hàm số của hai đường thẳng và giải hệ phương trình Cụ thể, ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau để tìm ra tọa độ giao điểm chính xác.

Trong trường hợp 1, hàm số có 7 điểm cực trị (loại) Trong trường hợp 2, hàm số có 5 điểm cực trị (thỏa mãn) Tương tự, trong trường hợp 3, hàm số cũng có 5 điểm cực trị (thỏa mãn) Cuối cùng, trong trường hợp 4, hàm số có 3 điểm cực trị (loại).

V y t ng giá tr t t c các ph n t c a b ng ậ ổ ị ấ ả ầ ử ủ ằ

Đối với phương trình có nghiệm phân biệt, phương trình cũng sẽ có nghiệm phân biệt Điều này dẫn đến việc phương trình phải có 2 nghiệm khác nhau hoặc 2 nghiệm trùng với nghiệm của phương trình đầu tiên.

V y t ng giá tr t t c các ph n t c a b ng ậ ổ ị ấ ả ầ ử ủ ằ Ch n D ọ

L i bình ờ : Trong 2 cách gi i trên ta nên đ nh h ả ị ướ ng cho các em gi i theo cách th ả ứ

2 vì đây là cách nhanh nh t và d ti p thu nh t đ i v i các em! ấ ễ ế ấ ố ớ

Ví d 10 (Trích đ thi th chuyên Lam s n Thanh Hóa l n 2 năm h c 2021 2022) ụ ề ử ơ ầ ọ

Cho hàm s , v i là tham s Có bao nhiêu giá tr nguyên c a thu c đo n đ hàm s ố ớ ố ị ủ ộ ạ ể ố có s đi m c c tr nhi u nh t? ố ể ự ị ề ấ

Hàm s có s đi m c c tr nhi u nh t là khi và ch khi ph ố ố ể ự ị ề ấ ỉ ươ ng trình có nghi m ệ phân bi t hay ph ệ ươ ng trình có nghi m phân bi t ệ ệ

Suy ra có nghi m phân bi t khi và ch khi có nghi m phân bi t khác và ệ ệ ỉ ệ ệ 1 t c là ứ do nguyên thu c nên ộ có 2021 giá tr th a mãn ị ỏ

Ví d 11 ụ Cho hàm s có đ th nh hình v Có bao nhiêu giá tr ố ồ ị ư ẽ ị nguyên m trên đ hàm s có 3 đi m c c tr ? ể ố ể ự ị

G i ọ Suy ra y=g(x) có 2 c c tr Đ hàm s ự ị ể ố (1) có 5 c c tr thì ph ự ị ươ ng trình g(x)=0 có 1 nghi m đ n (ho c 1 đ n, 1 kép) ệ ơ ặ ơ có 1 nghi m đ n (ho c 1 đ n, 1 kép) suy ra có 20 ệ ơ ặ ơ 20 giá tr c n ị ầ Ch n A ọ

3.3.2.D ng ạ 2 Tìm s đi m c c tr c a hàm ố ể ự ị ủ ẩ n d ng ạ trong đó là hàm s đ i ố ố và là h ng s khác ằ ố

Ph ươ ng pháp chung:

B ướ c 1: Tìm s đi m c c tr c a hàm s d ố ể ự ị ủ ố ướ ấ i d u tr tuy t đ i ị ệ ố

Ta th c hi n nh sau: ự ệ ư

+) Tính đ o hàm ạ +) Gi i ph ả ươ ng trình +) Tìm s nghi m đ n ho c b i l và các đi m mà ố ệ ơ ặ ộ ẻ ể không xác đ nh ị Suy ra s đi m ố ể c c tr c a hàm ự ị ủ

B ướ c 2: Tìm s nghi m ph ố ệ ươ ng trình ta th c hi n nh sau: ự ệ ư

L p b ng bi n thiên c a hàm s , ậ ả ế ủ ố k t h p t ế ợ ươ ng giao đ ườ ng th ng đ suy ra s ẳ ể ố nghi m đ n ệ ơ , b i l ộ ẻ c a ph ủ ươ ng trình

B ướ c 3: K t lu n: s c c tr c a b ng ế ậ ố ự ị ủ ằ s đi m c c tr c a hàm s c ng v i s ố ể ự ị ủ ố ộ ớ ố nghi m đ n, c ng s nghi m b i l c a ph ệ ơ ộ ố ệ ộ ẻ ủ ươ ng trình

Ví d 1 ụ Cho hàm s v i Bi t đ th f’(x) nh hình v H i hàm s ố ớ ế ồ ị ư ẽ ỏ ố có bao nhiêu đi m c c tr ? ể ự ị

D a vào đ th hàm ự ồ ị ta suy ra có hai nghi m và và ệ Đ t ặ

D a vào t ự ươ ng giao đ th f’(x) và đ ồ ị ườ ng th ng y=x suy ra có ba nghi m , , ẳ ệ

Ta có b ng bi n thiên c a ả ế ủ

D a vào b ng bi n thiên ta suy ra có 2 nghi m đ n ự ả ế ệ ơ

V y hàm s có 5 ậ ố có 3 + 2 = 5 đi m c c tr ể ự ị Ch n B ọ

Ví d 2 ụ Cho hàm s đa th c có đ o hàm trên , ố ứ ạ và đ th hình bên d ồ ị ướ i là đ th c a đ o hàm ồ ị ủ ạ

H i hàm s có bao nhiêu c c tr ? ỏ ố ự ị

L i gi i: ờ ả Đ t ặ , , Theo đ th c a hàm s thì ph ồ ị ủ ố ươ ng trình có nghi m ệ

Ta có b ng bi t thiên ả ế

Theo b ng bi n thiên ta có ph ả ế ươ ng trình có hai nghi m và (do có ) Khi đó ta có ệ x 2

Ví d 3 ụ Cho hàm s Hàm s có đ th nh hình v ố ố ồ ị ư ẽ bên Hàm s có t i đa bao nhiêu đi m c c tr ố ố ể ự ị

Xét hàm s có: ố Đ ườ ng cong c t parabol t i ba đi m có hoành đ l n l ắ ạ ể ộ ầ ượ t là

Và đ i d u khi đi qua các đi m nên có ba đi m c c tr ổ ấ ể ể ự ị

Ta có b ng bi n thiên ả ế

V y ph ậ ươ ng trình có t i đa b n nghi m ( đ n ho c b i l ) ố ố ệ ơ ặ ộ ẻ

V y hàm s có t i đa đi m c c tr ậ ố ố ể ự ị

Ví d 4 ụ Cho hàm s có đ th đ o hàm nh hình v ố ồ ị ạ ư ẽ d ướ i đây H i hàm s có t i đa bao nhiêu đi m c c ỏ ố ố ể ự tr ? ị

T đ th ta th y ph ừ ồ ị ấ ươ ng trình có ba nghi m phân bi t là ệ ệ

Suy ra hàm s có ba đi m c c tr có t i đa đi m c c tr ố ể ự ị ố ể ự ị Ch n D ọ

Ví d 5 ụ Cho là hàm s đa th c b c 5 v i Bi t ố ứ ậ ớ ế hàm s có đ th nh hình bên Hàm s có bao nhiêu ố ồ ị ư ố đi m c c tr ể ự ị?

D a vào đ th hàm b c b n và ta có ự ồ ị ậ ố Suy ra , d u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ

Do đó không có đi m c c tr nào ể ự ị

Vì hàm s đa th c b c 5 nên liên t c trên cũng là hàm s đa th c b c 5 do đó liên ố ứ ậ ụ ố ứ ậ t c trên liên t c trên , mà L i có ụ ụ ạ

Do đó ph ươ ng trình có nghi m duy nh t ệ ấ

V y hàm s ậ ố có đi m c c tr ể ự ị Ch n C ọ

Ví d 6 ụ (Trích đ thi th TN THPT Tr ề ử ườ ng L ươ ng Th Vinh Hà ế

Cho hàm s liên t c trên Đ th c a hàm s nh hình v hàm s ố ụ ồ ị ủ ố ư ẽ ố có t i ố đa bao nhiêu đi m c c đ i ể ự ạ

Xét hàm s liên t c trên ố ụ Khi đó nên Đ t, khi đó xét hàm V đ th hàm s cùng h t a đ v i đ th hàm ặ ẽ ồ ị ố ệ ọ ộ ớ ồ ị s ta đ ố ượ c nh hình d ư ướ i

Do đó Ta có b ng bi n thiên sau ả ế

V y hàm s ậ ố có t i đa 3 c c tr ố ự ị Ch n B ọ

Bài toán này khá khó khăn vì giá trị cho đầu vào không phải là một số thực Chúng ta cần phải biết chuyển đổi giữa các hệ số để xét tương giao giữa đầu vào và đầu ra của hàm xác định.

Ví d 7 ụ Cho hàm s b c b n có Hàm có đ th nh ố ậ ố ồ ị ư hình v bên Hàm s có bao nhiêu đi m c c ti u? ẽ ố ể ự ể

(Các nghi m trên ta ch ra đ ệ ỉ ượ c nh v y là do ph ư ậ ươ ng trình và tính t ươ ng giao c a 2 đ th hình sau) ủ ồ ị ở

Ta có b ng bi n thiên nh sau: ả ế ư

T b ng bi n thiên suy ra hàm s có đi m c c ti u ừ ả ế ố ể ự ể Ch n D ọ

L i bình: Đây là m t bài toán v n d ng cao v c c tr , có s d ng đ n t ờ ộ ậ ụ ề ự ị ử ụ ế ươ ng giao c a đ th hàm đa th c và hàm mũ ủ ồ ị ứ

3.3.3.D ng ạ 3 Các bài toán c c tr c a hàm ự ị ủ s ố d ng ạ trong đó là các hàm đ i x; ố là h ng s khác ằ ố

Ph ươ ng pháp chung:

Quy trình gi i d ng này v n qua 3 b ả ạ ẫ ướ c:

B ướ c 1: Tìm c c tr hàm s ự ị ố +) Tính đ o hàm v i ạ ớ là hàm d ướ ấ i d u tr tuy t đ i ị ệ ố+) Gi i ph ả ươ ng trình

+) Đ t t đó d a vào t ặ ừ ự ươ ng giao c a đ th đ suy ra nghi m ủ ồ ị ể ệ đ n ơ , b i l và các ộ ẻ đi m mà ể không xác đ nh ị

B ướ c 2: Tìm s nghi m c a ph ố ệ ủ ươ ng trình

L p b ng bi n thiên c a hàm s ậ ả ế ủ ố k t h p t ế ợ ươ ng giao đ ườ ng th ng đ suy ra s ẳ ể ố nghi m đ n c a ph ệ ơ ủ ươ ng trình

B ướ c 3: K t lu n s c c tr c a hàm b ng s c c tr c a hàm c ng v i s nghi m ế ậ ố ự ị ủ ằ ố ự ị ủ ộ ớ ố ệ đ n, c ng s nghi m b i l c a ph ơ ộ ố ệ ộ ẻ ủ ươ ng trình

Ví d 1 ụ Cho là hàm s b c b n th a mãn Hàm s có b ng bi n thiên nh sau: ố ậ ố ỏ ố ả ế ư

Hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ? ố ể ự ị

Xét hàm s ta có ố Cho Đ t ta có ặ Xét hàm s ta có ố BBT:

Khi đó ta có đ th hàm s : ồ ị ố

D a vào đ th ta th y ự ồ ị ấ Hàm s có 1 đi m c c tr ố ể ự ị

D a vào BBT ta th y Do đó ph ự ấ ươ ng trình có 2 nghi m phân bi t ệ ệ

Ví d 2 ụ (Mã 101 – 2020 L n 2) ầ Cho hàm s có Bi t là hàm s ố ế ố b c b n và có đ th là đ ậ ố ồ ị ườ ng cong trong hình bên S đi m c c tr ố ể ự ị c a hàm s là ủ ố

L i gi i ờ ả Xét , Đ t ph ặ ươ ng trình (1) tr thành: ở

V đ th hàm trên cùng h tr c t a đ v i hàm ẽ ồ ị ệ ụ ọ ộ ớ

D a vào BBT ta th y hàm s có 5 đi m c c tr ự ấ ố ể ự ị Ch n A ọ

Bài t p t ậ ươ ng t ví d 2: ự ụ Cho hàm s ố có đ th nh hình v sau ồ ị ư ẽ

Bi t H i hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ế ỏ ố ể ự ị

Ví d 3 ụ Cho hàm s có Bi t là m t nguyên hàm c a hàm s có ố ế ộ ủ ố đ th nh hình v S đi m c c tr c a hàm s là ồ ị ư ẽ ố ể ự ị ủ ố

D a vào đ th ta th y ự ồ ị ấ v i m i do đó ớ ọ v i m i ớ ọ

D a vào b ng bi n thiên có ph ự ả ế ươ ng trình có 2 nghi m đ n ệ ơ

Ví d ụ 4 Cho là hàm s b c 4 th a mãn Hàm s b ng bi n thiên nh sau: ố ậ ỏ ố ả ế ư

Hàm s có bao nhiêu c c tr ? ố ự ị

Ta có b c ba có đi m c c tr là nên Suy ra T BBT ta có ậ ể ự ị ừ

Khi xem xét vấn đề, chúng ta cần nhận thức rõ ràng về các yếu tố ảnh hưởng Để đạt được kết quả tốt nhất, việc phân tích và đánh giá các biến động là rất quan trọng Điều này giúp chúng ta đưa ra những quyết định chính xác và hợp lý, đồng thời tránh những sai lầm không đáng có.

L i có: và nên có đúng 1 nghi m Khi đó đ i d u khi đi qua nghi m này Có nên ạ ệ ổ ấ ệ Xét b ng bi n thiên c a ả ế ủ

Vì nên và ph ươ ng trình có hai nghi m th c phân bi t, khác ệ ự ệ

T đó s có đi m c c tr ừ ẽ ể ự ị Ch n A ọ

Ví d 5 ụ Cho là hàm b c b n th a mãn Hàm s đ th nh sau: ậ ố ỏ ố ồ ị ư Hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ? ố ể ự ị

Do là hàm b c b n và t đ th c a , ta có: b c ba có 2 đi m c c tr là nên ậ ố ừ ồ ị ủ ậ ể ự ị Suy ra

Dựa vào biến thiên, ta có sự ảnh hưởng của hàm số Suy ra rằng hàm số này có không quá một nghiệm Hơn nữa, hàm số liên tục trên miền xác định cũng cho thấy tính chất ổn định của nó.

Nên có đúng 1 nghi m ệ B ng bi n thiên c a: ả ế ủ

D a vào b ng bi n thiên có ph ự ả ế ươ ng trình có 2 nghi m phân bi t ệ ệ

T đó hàm s có ừ ố 1 + 2 = 3 đi m c c tr ể ự ị Ch n A ọ

Ví d 6 ụ Cho là hàm b c ba có Hàm s có ậ ố b ng bi n thiên sau ả ế

Hàm s có bao nhiêu c c tr bi t ố ự ị ế là giá tr l n nh t c a ị ớ ấ ủ

Mà ; Theo bài ra Đi u ki n có nghi m là Nên ề ệ ệ Khi đó

Do đó có nghi m đ n.V y hàm s có c c tr ệ ơ ậ ố ự ị

Xét ph ươ ng trình Ta có Đ t , khi đó PT tr thành Hàm s ặ ở ố

Do đó ph ươ ng trình có đúng 1 nghi m; ph ệ ươ ng trình có 3 nghi m phân bi t; ệ ệ

Ph ươ ng trình cũng có 3 nghi m phân bi t Do đó ph ệ ệ ươ ng trình có 7 nghi m đ n phân ệ ơ bi t ệ

V y hàm s ậ ố có 8+7 b ng 15 c c tr ằ ự ị Ch n C ọ

Ví d 7 ụ Cho là hàm b c b n th a mãn Hàm s có đ th nh ậ ố ỏ ố ồ ị ư hình v Hàm s có bao nhiêu đi m c c tr ? ẽ ố ể ự ị

Xét Đ t Khi đó (*) tr thành Ta v đ th hai ặ ở ẽ ồ ị hàm s và trên cùng m t h tr c t a đ ố ộ ệ ụ ọ ộ

D a vào đ th ta th y ự ồ ị ấ Khi đó:

Ví d 8 ụ Cho hàm s có đ th đ o hàm nh hình v d ố ồ ị ạ ư ẽ ướ i đây H i hàm s có t i đa ỏ ố ố bao nhiêu đi m c c tr ? ể ự ị

Xét ph ươ ng trình Đ t ặ

Ta có đ th nh sau: ồ ị ư

D a vào đ th , ta th y đ o hàm c t đ ự ồ ị ấ ạ ắ ườ ng th ng t i đi m phân bi t ẳ ạ ể ệ Suy ra hàm s có đi m c c tr ố ể ự ị

Suy ra hàm s có t i đa đi m c c tr ố ố ể ự ị

Ví dụ 9 Cho hàm s ố có đ o hàm liên t c trên R và f( 3)=0 và có b ng xét d u nh ạ ụ ả ấ ư sau

Hàm có bao nhiêu đi m c c đ i? ể ự ạ

Ta có , d a vào bbt ta th y có 3 c c tr và 2 nghi m đ n nên hàm s có 5 c c tr ự ấ ự ị ệ ơ ố ự ị trong đó có 2 c c đ i ự ạ Ch n A ọ

Ví d 10 ụ Cho hàm s b c ba có đ th nh hình v Hàm s ố ậ ồ ị ư ẽ ố có bao nhiêu đi m c c tr ? ể ự ị

D a vào t ự ươ ng giao đ th v i ồ ị ớ đ th hàm s ồ ị ố

(đây là hai hàm s đ ng bi n) có đ th ố ồ ế ồ ị là đ ườ ng s (1) và (2) hình v ố ẽ

Ta suy ra đ u có 2 nghi m phân bi t ề ệ ệ V y ph ậ ươ ng trình có 6 nghi m đ n phân bi t ệ ơ ệ

Ta th y là ph ấ ươ ng trình b c 3 nên s nghi m có th có:3 nghi m đ n, 1 đ n 1 ậ ố ệ ể ệ ơ ơ kép, 1 đ n ơ

Để đạt được kết quả chính xác trong việc chọn hàm, cần phải dựa vào sự nghiệm của phương trình Việc chọn hàm không đúng có thể dẫn đến kết quả không chính xác Trong trường hợp này, chúng ta có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép, do đó có tổng cộng 7 điểm trên trục Ox, trong đó có một điểm tiếp xúc tại nghiệm kép.

T đó ta suy ra g(x) có 7 đi m c c tr k t h p v i s nghi m c a suy ra hàm ừ ể ự ị ế ợ ớ ố ệ ủ s ố có 13 c c tr ự ị Ch n A ọ

Ví d 11 ụ Cho hàm s có đ o hàm liên t c trên và có đ th nh ố ạ ụ ồ ị ư hình v bên S đi m c c tr c a hàm s là ẽ ố ể ự ị ủ ố

Ta có Quan sát đ th hàm s hàm s có hai đi m c c tr do đó ồ ị ố ố ể ự ị và k đ ẻ ườ ng th ng c t đ th hàm s t i duy nh t m t đi m có hoành đ V y ẳ ắ ồ ị ố ạ ấ ộ ể ộ ậ

V y đ i d u khi qua các đi m do đó có ba đi m c c tr ậ ổ ấ ể ể ự ị

Ph ươ ng trình có ba nghi m phân bi t v i ệ ệ ớ

Ph ươ ng trình có m t nghi m duy nh t ộ ệ ấ

Ví d 12 ụ Cho hàm s b c ba có đ th c a hàm đ o hàm nh hình v và S giá tr ố ậ ồ ị ủ ạ ư ẽ ố ị nguyên c a đ hàm s có đúng 5 đi m c c tr là ủ ể ố ể ự ị

Ta có b ng bi n thiên c a : ả ế ủ

Pt có nghi m phân bi t có đi m c c tr ệ ệ ể ự ị Xét Đ có 5 đi m c c tr khi và ch khi PT có 2 nghi m đ n ho c nghi m b i l phân ể ể ự ị ỉ ệ ơ ặ ệ ộ ẻ bi t Xét hàm s ệ ố

Ta có B ng bi n thiên c a : ả ế ủ

T YCBT có hai nghi m đ n ho c nghi m b i l pb ừ ệ ơ ặ ệ ộ ẻ

Ta có b ng bi n thiên c a hàm s : ả ế ủ ố

T YCBT có 5 đi m c c tr khi: ừ ể ự ị

Ví d 13 ụ (Trích đ HSG Hà Tĩnh 2021 2022) ề

Cho hàm s có đ o hàm liên t c trên Đ th c a hàm s nh ố ạ ụ ồ ị ủ ố ư hình v Có bao nhiêu giá tr th c c a tham s thu c kho ng ẽ ị ự ủ ố ộ ả tho mãn và hàm s có 5 đi m c c tr ? ả ố ể ự ị

L i gi i ờ ả Đ t Khi ặ có 3 đi m c c tr thì có 3 đi m c c tr và ể ự ị ể ự ị

Xét hàm số có 3 đi m c c tr ể ự ị Xét ph ươ ng trình Đ t ặ

S nghi m b ng s nghi m ph ố ệ ằ ố ệ ươ ng trình Đ ể có 5 đi m c c tr thì ể ự ị có 2 nghi m đ n phân bi t ệ ơ ệ Suy ra

Vì và nên có 26 giá tr ị Ch n A ọ

N u bài toán cho đ th thì ta tìm s nghi m h(x)=0 b ng cách l p b ng ế ồ ị ố ệ ằ ậ ả bi n thiên ế

N u bài toán cho b ng bi n thiên, đ th thì ta tìm nghi m h(x)=0 b ng ế ả ế ồ ị ệ ằ t ươ ng giao đ th ồ ị

Bài 1 Cho hàm s có đ o hàm trên , Đ th hàm s ố ạ ồ ị ố nh hình v bên d ư ẽ ướ i.

Bài 2 Cho la ham sô bâc bôn thoa man Ham sô co bang biên thiên nh sau: ̀ ̀ ́ ̣ ́ ̉ ̃ ̀ ́ ́ ̉ ́ ư

Ham sô co bao nhiêu điêm c c tri? ̀ ́ ́ ̉ ự ̣

Bài 3 Cho là m t hàm đa th c và có đ th c a hàm s nh hình v bên Hàm s có ộ ứ ồ ị ủ ố ư ẽ ố t i đa bao nhiêu đi m c c tr ? ố ể ự ị

Bài 4 Cho hàm s có f(0)=0 vàlà đa th c b c b n có đ th nh hình v bên S ố ứ ậ ố ồ ị ư ẽ ố đi m c c tr c a hàm s là ể ự ị ủ ố

A 3 B 5 C 2 D 4 Bài 5 Cho hàm s là hàm s b c b n th a mãn Hàm s có b ng bi n thiên nh ố ố ậ ố ỏ ố ả ế ư sau:

Bài 6 (Mã 102 2020 L n 2) ầ Cho hàm s có Bi t là hàm s b c ố ế ố ậ b n và có đ th là đ ố ồ ị ườ ng cong trong hình bên S đi m c c tr c a ố ể ự ị ủ hàm s là ố

Bài 7 (Chuyên Thái Bình 2020) Cho là hàm đa th c b c và có ứ ậ đ th nh hình v Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ồ ị ư ẽ ị ủ ố thu c đo n đ hàm s có đi m c c tr ? ộ ạ ể ố ể ự ị

Bài 8 Cho hàm s có đ o hàm trên và b ng bi n thiên nh sau ố ạ ả ế ư

Bài 9 Cho hàm s b c ba có đ th nh hình v d ố ậ ồ ị ư ẽ ướ i đây T t c các s th c c a ấ ả ố ự ủ tham s đ hàm s có đi m c c tr là ố ể ố ể ự ị

Bài 10 Cho hàm s có b ng bi n thiên nh hình v sau: ố ả ế ư ẽ

Có ban nhiêu s nguyên d ố ươ ng đ hàm s có 7 đi m c c tr ? ể ố ể ự ị

Bài 11 Cho hàm s có đ th nh hình v d ố ồ ị ư ẽ ướ i đây S giá tr nguyên c a tham s ố ị ủ ố đ hàm s có đi m c c tr là: ể ố ể ự ị

Bài 12 Cho hàm s có đ th nh hình v d ố ồ ị ư ẽ ướ i đây S giá tr nguyên c a tham s ố ị ủ ố đ hàm s có đi m c c tr là: ể ố ể ự ị

Bài 13 Cho hàm s có đ th nh hình v bên d ố ồ ị ư ẽ ướ i:

Tìm t t c các giá tr c a tham s đ đ th hàm s có đúng c c tr ấ ả ị ủ ố ể ồ ị ố ự ị

Bài 14 Cho hàm s có đ th nh hình v d ố ồ ị ư ẽ ướ i đây H i có t t c bao nhiêu ỏ ấ ả giá tr ị nguyên c a tham s đ hàm s có đúng đi m c c tr ? ủ ố ể ố ể ự ị

Bài 15 Cho hàm s có đ th nh hình v d ố ồ ị ư ẽ ướ i đây H i có t t c bao nhiêu giá tr ỏ ấ ả ị nguyên c a tham s đ hàm s có đúng đi m c c tr ? ủ ố ể ố ể ự ị

Bài 16 Cho hàm s liên t c trên ố ụ bi t và ế có đ th nh hình v d ồ ị ư ẽ ướ i.

Bài 17 Cho hàm s có đ o ố ạ hàm liên t c trên và có đ ụ ồ th nh hình v bên Khi hàm ị ư ẽ s có s đi m c c tr là ít ố ố ể ự ị nh t Giá tr nh nh t c a ấ ị ỏ ấ ủ tham s ố m thu c kho ng ộ ả nào d ướ i đây?

Bài 18 Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố đ hàm s sau đây có t t c đi m ể ố ấ ả ể c c tr ự ị

Bây gi khai thác t “bài toán c b n 3” ( m c 3.2.3) chúng tôi xây d ng hai ờ ừ ơ ả ở ụ ự d ng toán m r ng sau ạ ở ộ

3.3.4.D ng ạ 4 Tìm s đi m c c tr c a đ th hàm s d ng ố ể ự ị ủ ồ ị ố ạ

Ph ươ ng pháp gi i: ả

B ướ c 2 Tìm các giá tr x đ y’=0 ho c không xác đ nh ị ể ặ ị

B ướ c 3 L p b ng bi n thiên và k t lu n ậ ả ế ế ậ

Ví d 1 ụ Cho hàm s liên t c trên và hàm s Bi t đ th hàm s ố ụ ố ế ồ ị ố nh hình v ư ẽ

Xét pt(1): Đ t D a vào t ặ ự ươ ng giao hai đ thì ta có ồ

V y hàm s có 5 đi m c c tr ậ ố ể ự ị Ch n A ọ

Ta có , Đ ườ ng th ng đi qua các đi m , , ẳ ể

D a vào t ự ươ ng giao c a hai đ th trên hình v ta suy ra ủ ồ ị ẽ có các nghi m là 1; 1; 3 ệ trong đó có 2 nghi m d ệ ươ ng x=1, x=3

Lí do là phương pháp giải quyết khá dài dòng Đặc biệt, nếu làm trực nghiệm thì mất nhiều thời gian Còn nếu dùng công thức, ta có thể rút ngắn thời gian và có hai nghiệm dương, từ đó suy ra có 5 cách giải nhanh chóng!

Ví d 2 ụ Cho hàm s có đ o hàm v i m i Có bao nhiêu giá tr nguyên âm c a tham ố ạ ớ ọ ị ủ s đ hàm s có đúng m t đi m c c tr ố ể ố ộ ể ự ị

Ta có: Để hàm s có đúng 1 đi m c c tr ố ể ự ị khi hàm s khô ố ng có đi m c c tr nào thu c kho ng ể ự ị ộ ả

Tr ườ ng h p 1: ợ Ph ươ ng trình vô nghi m ệ ho c có nghi m kép ặ ệ (*)

Tr ườ ng h p 2: Ph ợ ươ ng trình có hai nghi m phân bi t tho mãn ệ ệ ả

T (*) và (**) suy ra Vì là s nguyên âm nên: ừ ố Ch n D ọ

Ví d 3 ụ Cho hàm s có đ o hàm v i m i Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ố ạ ớ ọ ị ủ ố đ hàm s có 3 đi m c c tr ? ể ố ể ự ị

Do hàm s có đ o hàm v i m i nên liên t c trên , do đó hàm s liên t c trên Suy ra ố ạ ớ ọ ụ ố ụ là m t s h u h n ộ ố ữ ạ Xét trên kho ng : ả

TH1: thì Khi đó là nghi m b i l c a nên đ i d u m t l n qua suy ra hàm s có ệ ộ ẻ ủ ổ ấ ộ ầ ố duy nh t m t đi m c c tr là ấ ộ ể ự ị

TH2: thì vô nghi m, suy ra v i m i ệ ớ ọ Hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ế ả

C hai tr ả ườ ng h p trên đ u có: hàm s có duy nh t m t đi m c c tr là ợ ề ố ấ ộ ể ự ị

V y có 5 giá tr nguyên c a ậ ị ủ Ch n A ọ

Ví d 4 ụ Cho hàm s Có t t c bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s đ hàm s có ố ấ ả ị ủ ố ể ố đúng đi m c c tr ? ể ự ị

TH1: hoành đ c a đ nh là 1 s d ộ ủ ỉ ố ươ ng nên có đi m c c tr ể ự ị

V y th a mãn nh n ậ ỏ ậ TH2: Đ hàm s có đi m c c tr thì có nghi m phân bi t và th a ho c ể ố ể ự ị ệ ệ ỏ ặ +)

K t h p tr ế ợ ườ ng h p ta đ ợ ượ c có giá tr nguyên c a tham s ị ủ ố Ch n D ọ

Ví d 6 ụ Cho hàm s v i là tham s th c Bi t r ng hàm s có s đi m c c tr l n ố ớ ố ự ế ằ ố ố ể ự ị ớ h n 5 khi ơ Tích b ng ằ

Hàm s có s đi m c c tr l n h n 5 Hàm s có 3 đi m c c tr d ố ố ể ự ị ớ ơ ố ể ự ị ươ ng Ph ươ ng trình có 3 nghi m d ệ ươ ng phân bi t ệ

Ví d 7 (Đ thi TN THPT Qu c gia đ t 2 – 2021) ụ ề ố ợ

Cho hàm s v i là tham s th c Có bao nhiêu giá tr nguyên c a đ hàm s có ố ớ ố ự ị ủ ể ố đúng 7 đi m c c tr ? ể ự ị

Ta th y ấ Hàm s có đúng 7 đi m c c tr khi và ch khi có ba nghi m d ố ể ự ị ỉ ệ ươ ng phân bi t ệ Đ t , ta có ặ

Tiêu đề	Phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua bài toán Cực trị hàm hợp, hàm ẩn chứa trị tuyệt đối
Trường học	Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Nghệ An
Chuyên ngành	Giáo dục và Đào tạo
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2021-2022
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	2,16 MB