Phương trình vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên (Tập 1) - Đại học Thủy lợi

-3-LỜI TựA CỦA BAN BIÊN DỊCHĐể phục vụ cho quá trình dạy và học theo phương thức tín chỉ, đáp ứng quá trình hội nhập quốc tế, khao khát hiêu biết toán học và ứng dụng, bộ môn Giải tích,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

(Lưu hành nội bộ)

Hà Nội 2008

BIÊN DỊCH: PGS TS PHÓ ĐỨC ANH (Mục 1.1 - 1.6), TS NGUYỀN HỮU

THỌ (Mục 1.7 - 2.3), ThS (NCS) TRỊNH TUÂN (Mục 2.4 - 3.1), ThS NGUYỄN THỊ LÝ (Mục 3.2 - 4.2), ThS NGUYỄN ĐỨC HẬU (Mục 4.3 - 5.2), CN (HVCH) THIỀU QUANG TÙNG (Mục 5.3 - 5.8), ThS PHAN THANH LƯƠNG (Mục 6.1 - 7.2), ThS PHAN THỊ THANH HUYỀN (Mục 7.3 - 8.2), ThS NGUYỄN QUÝ LĂNG (Mục 8.3 - 9.2), ThS ĐÀO TẤN QUY (Mục 9.3 - Đáp số 2.7), CN ĐỎ HỮU THANH (Đáp số 2.8 - trang 603)

HIỆU ĐÍNH: GS TSKH vủ NGQC PHÁT

PGS TS NGUYỄN XUÂN THÀO

-2-LỜI GIỚI THIỆU

Ngay sau khi các cuốn sách về Giải tích một biến và Giải tích nhiều biến số được biên dịch ra tiếng Việt, Trường Đại học Thủy lợi đã bắt tay ngay vào biên dịch tiếp cuốn sách “Elementary diferential equations with boundary value problems” của tập thê tác giả C.Hendry Edwards và David E.Penney thuộc trường Đại học Georgia Đây chính là một cuốn cấm nang cung cấp các kiến thức cơ bản và ứng dụng của phương trình vi phân, các bài toán Cauchy và các bài toán giá trị biên khác nhau Cuốn sách đã mô tả nhiều kiến thức cơ bản về lý thuyết thông qua các ví dụ ứng dụng cụ thê và phong phú của các dạng phương trình vi phân thông dụng

Cuốn sách có số lượng đồ sộ các bài tập (khoảng gằn 2000 bài) gắn với nhiều vấn đề trong đời sống hoạt động kinh tế xã hội như các vấn đề dân số, phát triên bền vững, môi trường, tính toán sức bền vật liệu, tính quỹ đạo của vệ tinh, tên lửa, phân tích các mô hình, các hệ sinh thái, sơ đồ pichfork, sự hấp dẫn kỳ dị Laurenz, thiên văn học, âm nhạc,

Cuốn sách cũng dành nhiều thời lượng cho các phép biến đôi tích phân, các hàm đặc biệt, một số hiện tượng phi tuyến điên hình, phân tích về sự rối loạn và phân nhánh trong hệ động lực

Cuốn sách được viết công phu và rất dễ đọc, bạn đọc đang là sinh viên thì có thể

tự đọc, tự tập dượt nghiên cứu và giải quyết một số tình huống của thực tế Cuốn sách này sẽ có đóng góp tích cực cho giai đoạn mới trong đôi mới giáo dục đại học theo phương thức đào tạo tín chỉ, sinh viên có thếm nhiều chuyên đề, nhiều nội dung

đê đọc hiêu, thực hành và làm việc theo nhóm, hoạt động semina và ngoại khóa phong phú

Xin trân trọng giới thiệu cuốn sách “Các phương trình vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên” tới bạn đọc Chắc chắn cuốn sách này sẽ là tài liệu tham khảo quý cho các giảng viên, sinh viên khối các trường kỹ thuật và những ai quan tâm đến Toán giải tích và các ứng dụng của chúng

Hà Nội ngày 19 tháng 5 năm 2008

GS TSKH Nguyễn Văn Mậu

-3-LỜI TựA CỦA BAN BIÊN DỊCH

Để phục vụ cho quá trình dạy và học theo phương thức tín chỉ, đáp ứng quá trình hội nhập quốc tế, khao khát hiêu biết toán học và ứng dụng, bộ môn Giải tích, Trường Đại học Thuỷ Lợi trân trọng giới thiệu với bạn đọc quyển sách “Phương trình vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên” của các tác giả c Henry Edwards and David E Penney Quyển sách này cung cấp đầy đủ những kiến thức cơ bản về phương trình vi phân với bài toán giá trị biên, các ứng dụng phong phú gắn liền với cuộc sống và các phương pháp giải bài toán này: phương pháp chuỗi lũy thừa, phương pháp toán tử Laplace, phương pháp số, phương pháp chuỗi Fourier, ứng dụng các hàm đặc biệt Quyến sách trình bày dễ hiêu, lôi cuốn, phù hợp cho quá trình tự học và có số lượng bài tập phong phú, đa dạng Quyến sách “Phương trình

vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên” là giáo trình giảng dạy của trường Massachusetts Institute of Technology (USA) và nhiều trường đại học kỹ thuật khác Chắc chắn rằng quyến sách này sẽ là người bạn tốt, không thế thiếu đối với các bạn sinh viên, các bạn đọc yêu toán và là tài liệu tham khảo quý cho các giảng viên Đê hiêu được quyến sách này, bạn đọc cần nắm vững các kiến thức cơ bản trong các quyển sách “Giải tích một biến số” và “Giải tích nhiều biến số” của George F Simmons Quyến sách bao gồm 9 chương, phụ lục và phần trả lời các bài toán Do

có khối lượng lớn, để tiện cho bạn đọc sử dụng, chúng tôi in quyển sách này thành hai tập, trong đó:

- Tập 1: gồm các chương 1, 2, 3, 4, 5, phụ lục và lời giải

- Tập 2: gồm các chương 6, 7, 8, 9, phụ lục và lời giải

Đe cuốn sách sớm đến được tay bạn đọc, chúng tôi cảm ơn sự giúp đỡ có hiệu quả của ban giám hiệu trường Đại học Thuỳ Lợi, cảm ơn những góp ý hữu ích của

GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, cảm ơn sự giúp đờ đầy nhiệt huyết và trách nhiệm của

GS TSKH Vũ Ngọc Phát trong việc hiệu đính bản dịch

Cuốn sách “Phương trình vi phân cơ bản với bài toán giá trị biên” được biên dịch trong khoảng thời gian ngắn nên khó tránh khỏi sơ xuất, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của bạn đọc và đồng nghiệp Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ:

Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Thuỷ Lợi,

175 Tây Sơn, Đống Đa, Hà Nội,

hoặc qua hộp thư:

-4-LỜI NÓI ĐẦU

Chúng tôi đã viết cuốn sách này để cung cấp một văn bản cụ thể và dễ đọc, dành cho một môn học truyên thông vê các phương trình vi phân cơ bản mà sinh viên các ngành khoa học, kỹ thuật và toán học cân học sau môn Giải tích Cuôn sách được biên soạn với mục đích trình bày nhẹ nhàng, uyên chuyên đê các bạn sinh viên quan tâm, thích thú và dê tiêp cận

Những ứng dụng của các phương trình vi phân đã và đang đóng một vai trò đặc biệt trong sự phát triên mang tính lịch sử của môn học và toàn bộ lĩnh vực nghiến cứu vê chúng tôn tại chủ yêu là do những ứng dụng này Vì thê, chúng tôi mong các sinh viên trước khi học cách giải các phương trình này hãy thường xuyên quan tâm tới những ứng dụng thú vị của chúng Do đó, chúng tôi sẽ đưa vào các ứng dụng cân thiêt đê khởi động và miêu tả các kỹ thuật chuân sơ câp nhăm giải các phương trình vi phân

Giáo trình đầu tiên về phương trình vi phân còn như một cửa sổ nhìn ra thế giới toán học Trong khi việc chứng minh các định lý cơ bản vê sự tôn tại yà duy nhât nghiệm trong một giáo trình cơ sở là khồng khả thi cũng như khồng cân lăm, sinh viên cân thây rõ các trình bày chính xác của những định lý này và hiêu được vai trò của chúng với môn học Trong phân phụ lục, chúng tồi sẽ đưa vào các chứng minh sơ lược vê sự tôn tại và duy nhât nghiệm, đông thời thường xuyên nhăc tới chúng trong suôt cuôn sách

Mục lục các chủ đề về phương trình vi phân được đưa vào sách hầu như rất chuân, thoạt nhìn vào tên các chương mục, bạn đọc sẽ chăng thây ngạc nhiên, mặc

dù chúng tôi đã thêm vào khá nhiêu đê cho câu trúc cuôn sách được hoàn hảo Trong phân lớn các chương, chúng tôi sẽ giới thiệu các ý tưởng chính của chủ điếm ở một vài mục đầu tiên của chương sẽ phát triến và nêu các ứng dụng trong các mục còn lại Vì vậy, giáo viên sẽ có nhiêu khả năng chọn lựa nội dung sâu săc

đê dạy

Sự tiếp cận của chúng tôi trong nhiều vấn đề phản ánh việc sử dụng rộng rãi các chương trình máy tính đế giải bằng số các phương trình vi phân Tuy nhiên, chúng tôi tin răng các phương pháp giải tích cơ bản vân rât quan trọng cho sinh viên Một lý do nữa là việc ứng dụng hiệu quả các phượng pháp sô tin cậy thường đòi hỏi phân tích ban đầu bằng các kỹ thuật cơ bản; cấu trúc một mô hình số tin cậy thường phải dựa trên việc nghiên cứu mô hình giải tích đơn giản hơn

Cuốn sách này được biên soạn lại và nâng cao thêm từ cuốn Các phương trình

vi phân cơ bản với các bài toán giá trị biên (Eỉementaiy Differential Equations with Boundary Value Problems), Xuât bản lân thứ tư Sau đây là các diêm mới và nâng cao:

Gần 20% của hơn 1900 bài tập trong cuốn sách xuất bản lần này là mới hoặc

đã được viêt lại đê thêm nội dung hoặc đô hoạ

-5-Các phần phụ lục, thảo luận và chừng 15% các ví dụ trình bày trong cuốn sách

là mới hoặc được viêt lại

Gần 700 hình đồ họa bằng máy tính, tức là quá nửa số hình vẽ trong lằn xuất bản này là mới và phần lớn được vẽ bằng các phần mềm Mathematica hay Matlab, cung cấp cho sinh viên những hình vẽ sinh động về hướng trường, các đường cong tích phân và mặt phang pha nhằm đưa các cách giải phương trình vi phân vào thực tê Chăng hạn, hình vẽ ngoài bìa là một phiên bản có màu của Hình vẽ 4.3.5 trong sách, nó miêu tả dao động cưỡng bức tăt dân của một hệ khôi lượng-lò xo nào đó Có khoảng 15 mô đun ứng dụng sau các phân tương ứng của tài liệu là mới hoặc được duyệt lại, nhằm mục đích đưa thêm các ứng dụng cụ thể

đế các sinh viên nghiên cứu sâu hơn nữa thông qua các bài toán và ví dụ điên hình

Chương 6 về các phương pháp số đã tập trung vào các thuật toán giải bằng số tông quát đáng tin cậy cùng với một số minh họa bằng đồ thị vẽ bằng máy tính theo BASIC và MATLAB Với khả năng trợ giúp của máy tính, một viễn cảnh đang cho phép chúng ta đi vào các chủ đề kinh điên (mặc dù đã hoàn thiện) như là các phương trình vi phân toàn phần và biến phân các tham số, được trình bầy trong các Chương 1, 2 và 5 Đồng thời, một vài chủ đề truyền thống như là các phương trình cấp hai giảm cấp được ở Mục 1.6 và các phương trình Euler trong một loạt bài toán trong các Mục 3.2 và 3.3 cũng đã được viêt lại trong lân xuât bản này

Cấu trúc và nội dung cuốn sách

Cấu trúc truyền thống của cuốn sách này được bổ sung thêm các tư liệu và chủ đê mới Chăng hạn:

Hai mục cuối của Chương 1 (về dân số và cơ học sơ cấp) cung cấp giới thiệu ban đầu về mô hình toán học với các ứng dụng có ý nghĩa

Mục cuối của Chương 2 dành đế trình bày sớm hơn bài toán điểm cuối và giá trị riêng cùng các ứng dụng thú vị vào dây rung và dầm uốn

Chương 3 trình bày cách xử lý đầy đủ và tin cậy được về các phương pháp chuỗi vô hạn với các áp dụng thú vị của các hàm Bessel trong mục cuối chương.Chương 4 viết đầy đủ và chính xác về các phương pháp biến đổi Laplace cùng với nội dung chính về các hàm delta và các ứng dụng của chúng trong mục cuôi

Chương 5 cung cấp một cách xử lý mềm dẻo khác thường về các hệ tuyến tính Các Mục 5.1 và 5.2 đưa ra giới thiệu ban đầu, mang tính trực giác về các hệ

và mô hình cấp một Chương này tiếp tục với một nội dung vừa phải về những kiên thức Đại sô tuyên tính cân thiêt trong Mục 5.3, sau đó giới thiệu cách tiêp cận theo giá trị riêng với hệ tuyên tính Chương này còn có khá nhiêu ứng dụng (từ những bế chứa nước đến những xe điện) trong mọi trường hợp khác nhau của phương pháp giá trị riêng Trong Mục 5.7, vấn đề ma trận mũ đã được mở rộng hơn so với những lân xuât bản trước

Chương 6 về các phương pháp số được bắt đầu từ Mục 6.1 với phương pháp Euler cho các phương trình và kêt thúc ở Mục 6.4 với phương pháp Runge-Kutta đôi với hệ phương trình và những ứng dụng vào việc tìm quỹ đạo của tên lửa và

vệ tinh

Chương 7 nói về các hệ phi tuyến và các hiện tượng được sắp xếp từ việc phân tích mặt phăng pha đến các hệ cơ học, hệ sinh thái cho tới mục cuối cùng về sự rối loạn hay phân nhánh trong các hệ động lực Mục 7.6 giới thiệu sơ lược vê các chủ

đê đương thời như là hiện tượng nhân đôi chu kỳ trong sinh học và các hệ cơ học,

-6-sơ đồ pitchfork, sự hấp dẫn kì dị Lorenz (tất cả đều được mô tả bởi đồ họa máy tính sinh động)

Chương 8 trình bày về các chuỗi Fourier và các ứng dụng đế giải các phương trình truyên nhiệt, truyên sóng và phương trình Laplace

Chương 9 bắt đầu với các bài toán Sturm-Liouville và kết thúc bằng mục 9.5 với các ví dụ chọn lọc về các hiện tượng PDE số chiều cao hơn

Quyến sách này bao gồm nội dung vừa đủ cho một giáo trình mang tính chất nhập môn đề dạy trong khoảng thời gian từ một quý đến hai học kỳ Phiên bản ngắn gọn của nó là cuốn Các phương trình vi phân sơ cấp, kết thúc ở Chương 7 về các hệ và các hiện tượng phi tuyến (vì thế cũng bỏ luôn các nội dung về chuỗi Fourier, tách biên và các phương trình vi phân đạo hàm riêng)

• Điều gì tạo nên sự khác biệt giữa ngày tận thế và diệt chủng trong các quân thê cá sâu? (Mục 1.7)

• Xe một xích và xe hai xích phản ứng khác nhau như thế nào khi bị xóc trên đường? (Mục 2.6 và Mục 5.5)

• Vì sao các cột cờ phải chôn vào những nơi đất cứng? (Mục 3.6)

• Neu người ta dùng búa đập vào một khối lượng trên lò xo một cách tuân hoàn, thì hình dáng của khôi sẽ phụ thuộc như thê nào vào tân sô đập của búa? (Mục 4.6)

• Nếu một cái tầu hỏa chuyển động chạm vào đuôi của một dãy các ô tô ray đang đứng yên, liệu có thế một ô tô ray bị bật ra khỏi đầu của dãy này hay không? (Mục 5.5)

• Bạn có thể dự đoán thời gian xuất hiện lần sau của một sao chối vừa mới quan sát được như thể nào? (Mục 6.4)

• Điều gì là quyết định đế cho hai loài cộng sinh sống hài hòa với nhau hoặc là tranh đấu với nhau đế dẫn tới một loài sống sót còn loài kia bị diệt vong? (Mục 7.4)

• Vì sao và khi nào tính phi tuyến dẫn tới sự rối loạn trong các hệ cơ học và hệ sinh học? (Mục 7.6)

• Giải thích sự khác biệt giữa tiếng đàn guitar, đàn phiến và tiếng trống? (Mục 8.6, 9.2 và 9.4)

Các bài tập ứng dụng Lời giải các bài tập

Trong lần in này, mục trả lời đã được tăng thêm một cách đáng kể để nhằm tăng thêm những kiến thức bô trợ có giá trị Mục này bao gồm hầu hết đáp số của

các bài tập lẻ cũng như với khá nhiêu bài tập chăn Cuôn tài liệu 600 trang Bài

giải cho các giáo viên (0-13-145777-2) đi kèm với cuốn sách này cung cấp đầy đủ

lời giải của hằu hết các bài tập trong sách Cuốn Bài giải cho sinh viên có 340 trang (0-13-145778-0) bao gồm lời giải cho phần lớn các bài tập lẻ

-7-Khoảng gần 15 mô đun ứng dụng trong sách gồm các bài tập bố sung và tài liệu nâng cao nhằm đê các sinh viên khai thác và ứng dụng công nghệ tin học Mục đích này được thực hiện trong cuốn sách 320 trang: sỏ tay ứng dụng (0-13- 047577-7) giới thiệu thêm khoảng 30 mô đun ứng dụng, ơ tài liệu này, mỗi mục đều có kèm thêm các mục con “Dùng Maple”, “Dùng Mathematica” và “Dùng MATLAB” nhằm hướng dẫn chi tiết các phương pháp và kỹ thuật cần áp dụng cho từng hệ và tạo cơ hội cho các bạn sinh viên đánh giá và so sánh các hệ thống tin học khác nhau.

Các tài liệu kỹ thuật và trang Web

Các sách bài tập mô tả trên đây do tác giả viết cùng với các tài liệu kế tên dưới đây và có thế tìm kiếm dễ dàng với các chỉ số ISBN

• Bài giải cho sinh viên (0-13-109564-1)

• Phương trình vi phân thường với việc sử dụng MATLAB của John

Polking & David Arnold, xuất bản lần thứ ba (0-13-150480-0)

• Hướng dân sử dụng công nghệ máy tính đê giải Phương trĩnh vi phân

của Alexandra Skidmore & Margie Hale (0-13-109563-3)

Các tài liệu trợ giúp cho cuốn sách này có thể lấy xuống từ trang web DE:

www.prenhall.com/Edwards như là các sách chuyên sâu hơn về Toán của David Calvis và các bảng tính theo Maple của John Maloney Nhiêu hình vẽ trong sách này được đồ họa theo các chương trình MATLAB của Polking dfield và ppỉane, chúng đều có đường dẫn tại trang web này Một số tài liệu về phương trình vi phân thường giải băng MATLAB khác được tham khảo trong sách này là lode (xem

www.math.uiuc.edu/iode), chúng có khả năng đồ họa rất ấn tượng

Arthur Wasserman

University of Michigan

Chúng tôi cám on Bay ani DeLeon vì ông đã thường xuyên theo dõi rất hiệu quả quá trình xuât bản Chúng tôi hêt sức biêt on biên tập viên George Lobell vì những lời khuyên và động viên nhiệt tình trong nhiều lĩnh vực liên quan đến in ấn cuôn sách này Và thật đáng ca ngợi Dennis Kletzing vì chê bản tuyệt vời của ông làm cho cuốn sách được trình bày một cách hấp dẫn

-9 9

10-MỤC LỤC

Lòi giói thiệu 3

Lời tựa của ban biên dịch 4

Lời nói đầu 5

Chương 1 Phương trình vi phân cấp một 13

1 1 Các phương trình vi phân và Mô hình toán học 13

1.2 Nghiệm tông quát, nghiệm riêng dưới dạng tích phân 24

1 3 Trường độ dốc và các đường cong nghiệm 35

1.4 Phương trình vi phân phân ly biến số và ứng dụng 51

1.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 69

1.6 Phương pháp thế và Phương trình vi phân toàn phần 84

1.7 Mô hình tăng trưởngdân số 101

1.8 Mô hình gia tốc-Vận tốc 115

Chương 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 134

21 Mở đầu: Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 134

2.2 Nghiệm tống quát của phương trình vi phân tuyến tính 149

2.3 Phương trình vi phân thuần nhất với hệ số hằng 162

2.4 Các dao động trong cơ học 173

2.5 Phương trình vi phân không thuần nhất và các hệ số bất định 189

2.6 Dao động cưỡng bức và cộng hưởng 202

2.7 Mạch điện 216

2.8 Bài toán điếm cuối và các giá trị riêng 225

Chương 3 Phương pháp chuỗi lũy thừa 239

3.1 Giới thiệu và nhắc lại chuỗi lũy thừa 239

3.2 Nghiệm chuỗi gần điểm thường 251

3.3 Điểm kỳ dị chính quy 261

3.4 Phương pháp Frobenius: Các trường hợp ngoại lệ 275

3.5 Phương trình Bessel 288

3.6 Các ứng dụng của hàm Bessel 298

Chương 4 Phương pháp toán tử Laplace 308

4.1 Phép biến đổi Laplace và biến đổi ngược 308

4.2 Phép biến đồi của các bài toán với giá trị ban đầu 320

4.3 Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản 332

4.4 Đạo hàm, Tích phân, và Tích các phép biến đối 342

11

-4.5 Hàm tuần hoàn và liên tục từng khúc 352

4.6 Xung lực và Các hàm Delta 366

Chương 5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 379

5.1 Các hệ bậc nhất và ứng dụng 379

5.2 Phương pháp khử 394

5.3 Ma trận và Hệ tuyến tính 405

5.4 Phương pháp Giá trị riêng cho Hệ thuần nhất 423

5.5 Các hệ bậc hai và ứng dụng trong cơ học 441

5.6 Các nghiệm giá trị riêng bội 455

5.7 Ma trận mũ và các hệ tuyến tính 471

5.8 Hệ tuyến tính không thuần nhất 485

Phụ lục: vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm 495

Trả lời các bài tập chọn lọc 510

Tài liệu tham khảo 594

Bảng các phép biến đổi Laplace và các tích phân cơ bản 597

-

12-Chương I

1.1 Các phương trình vi phân và Mô hình Toán học

Các quy luật trong vũ trụ đều được viết theo ngôn ngữ Toán học Môn Đại

số đủ đề giải rất nhiều bài toán tĩnh, tuy nhiên hầu hết các hiện tượng tự nhiên đáng quan tâm lại liên quan tới sự biến đổi và thường được mô tả bởi các phương trình có liên quan đến sự thay đổi về lượng

Do đạo hàm dx/dt = f’(t) của hàm/ là suất biến đổi của đại lượng X - f(t) theo biến độc lập t, nên các phương trình có chứa đạo hàm thường được sử dụng đế mô tả vũ trụ thay đôi Phương trình chứa một hàm chưa biết và một hay nhiều đạo hàm của nó được gọi là phưong trình vi phân.

Ví dụ 1 Phương trình vi phân

dx 2 O

~p = x+ t dt

liên quan tới cả hàm chưa biết x(í) và đạo hàm của nó x’(t) = dx/dt Phương trình vi phân

7v_()

dx dx

có chứa hàm chưa biết y của biến độc lập X cùng các đạo hàm y ’ và y” của y.

Nghiên cứu các phương trình vi phân nhằm ba mục tiêu cơ bản:

1 Khám phá được phương trình vi phân mô tả một hiện tương vật lý nào đấy

2 Tìm được nghiệm thích hợp của phương trình đó, hoặc là nghiệm chính xác hoặc là nghiệm gần đúng

3 Giải thích về nghiệm tìm được

Trong môn Đại số, chúng ta thường tìm những số chưa biết thoả mãn một phương trình, chăng hạn: X3 + 7x2-1 lx + 41 = 0 Ngược lại, khi giải một phương trình vi phân, chúng ta cần tìm một hàm chưa biết y = y(x) thoả mãn một đồng

nhất thức như là: y’(x) = 2xy(x) trên một tập nào đó của các số thực - đó là,

phương trình vi phân:

= 2xy dx

Thông thường, nếu có thể, chúng ta sẽ muốn tìm tất cả các nghiệm của phương trình vi phân

-

Như thế, mỗi hàm số y(x) có dạng trong (1) thỏa mãn—và do đó là

nghiệm - phương trình vi phân

dx

với mọi X Đặc biệt là phương trình (1) xác định cả một họ gồm vô so các

nghiệm cùa phương trình vi phân này, mỗi nghiệm ứng với một cách chọn hằng

số tuỳ ý c Bằng phương pháp phân ly biến số (Mục 1.4) có thể chứng tỏ rằng các nghiệm của phương trình vi phân (2) có dạng như trong phương trình (1)

Các phương trình vi phân và Mô hình Toán

Ba ví dụ sau đây mô tả quá trình diễn giải các quy luật và nguyên lý khoa học thành các phương trình vi phân Trong mỗi ví dụ này, biến độc lập là thời gian t, nhưng chúng ta sẽ còn gặp nhiều ví dụ khác trong đó có nhiều đại lượng không phải thời gian là biến độc lập

Ví dụ 3.

Hình 1.1.1 Quy luật giảm nhiệt của Newton,

Phương trình (3) mô tả một hòn đá nóng bị nguội đi trong nước

Quy luật giảm nhiệt của Newton có thể phát biểu như sau: Suất biến đổi đối

với thời gian của nhiệt độ T(t) của một vật thế tỷ lệ với hiệu số giữa T và nhiệt độ

A của môi trường xung quanh (Hình 1.1.1) Nghĩa là:

dt

trong đó, k là một hằng số dương Nhận thấy rằng nếu T > A, thì dT/dt < 0, do

đó nhiệt độ là một hàm giảm theo t và vật thể nguội đi Nhưng nếu T < A, thì dT/dt > 0, và T sẽ tăng lên

Vậy, một quy luật vật lý đã được diễn giải thành một phương trình vi phân Neu ta đã biết các giá trị của k và A, thì ta có thế tìm được một công thức tường minh cho T(0, rồi dựa vào công thức đó, ta có thế dự đoán nhiệt độ sau đó của vật thê

-

14-Ví dụ 4 Quy luật của Torricelli nói rằng suất biến đối theo thời gian của khối

luợng nước V trong một bể chứa (Hình 1.1.2) tỷ lệ với căn bậc hai của độ sâu y của nước trong bê:

dt

với k là một hang so Neu bê chứa là một hình trụ tròn xoay với diện tích đáy là

A, thì V = Ay, và dv/dt = A (dy/dt) Khi đó phương trình (4) có dạng:

(5)

dt

trong đó h = k/A là một hằng số

Ví dụ 5 Suất biến đổi theo thời gian của dân số p (t) trong nhiều trường hợp

đơn giản với tỷ lệ sinh, tử không đổi thường tỷ lệ với số dân Nghĩa là:

dt

với k là hằng số tỷ lệ.

Hình 1.1.2 Quy luật thoát nước của Torricelli.

Phương trình (4) mô tả quá trình thoát nước khỏi bê chứa

Chúng ta sẽ thảo luận Ví dụ 5 sâu hơn Đầu tiên chú ý rằng mỗi hàm số có dạng:

Như vậy, ngay cả khi giá trị của hằng số k chưa biết, phương trình vi phân

dP/dt = kP có vô số nghiệm khác nhau ở dạng P(í) = c ekt, mỗi nghiệm ứng với

một cách chọn hằng số c Đây là một đặc tính của phương trình vi phân Đây cũng

là một điều may mắn, bởi vì nó có thế cho phép cho chúng ta sử dụng thông tin bô sung đế chọn trong số nhừng nghiệm này một nghiệm cụ thê phù hợp với tình huống đang nghiên cứu

Ví dụ 6 Giả sử P(0 = Cek' là số lượng vi khuẩn trong một đám vi khuẩn tại

thời điểm t, mà tại thời điểm t = 0 (giờ) số lượng bằng 1000, và cứ sau 1 h số lượng lại tăng gấp đôi Đây là thông tin bô sung về P(t) dẫn đến những phương trình sau đây:

-

15-1000 = P(ớ) = CeQ = c,

2000 = P(l) = Cek

Từ đây suy ra rằng c = 1000 và ek = 2, nên k = ln2 ~ 0,693147 Với giá trị

này của k phương trình vi phân trong (6) là

số lượng trong tương lai của đám vi khuân đó Chăng hạn, số lượng dự đoán về

vi khuẩn sau một giờ rưỡi (khi t = 1,5) bằng

P(l,5) = 1000?23/2 « 2828Điều kiện P(0) = 1000 trong Ví dụ 6 được gọi là một điều kiện ban đầu bởi

vì chúng ta thường viết những phương trình vi phân mà đối với nó t = 0 là "thời điểm ban đầu" Hình 1.1.3 chỉ ra một số đồ thị khác nhau của dạng P(t) =

Cekt với k = In 2 Đồ thị của tất cả (vô hạn) các nghiệm của dP/dt = kP thực ra lấp đầy toàn thế mặt phang, và đôi một không giao nhau Ngoài ra, việc chọn một điểm nào đó po trên trục p chung quy là xác định P(0) Bởi vì có duy nhất một nghiệm đi qua mỗi điểm như vậy, trong trường hợp này ta thấy rằng điều kiện ban đầu P(0) = po xác định duy nhất một nghiệm phù hợp với dữ kiện cho trước

1 Sự hình thức hóa một bài toán thực tế theo ngôn ngữ toán học có nghĩa

là xây dựng một mồ hình toán

2 Phân tích hay giải bài toán đã thu được

3 Giải thích những kết quả toán học theo bối cảnh của tình huống thực tiễn khởi đầu, như trả lời câu hỏi đặt ra ban đàu

Trong ví dụ về dân số, bài toán thực tế là xác định dân số tại một thời điểm

-

16-nào đó trong tương lai Một mô hình toán gồm một dãy biến (P và t) đế mô tả tình huống đã cho, cùng với một hay nhiều phương trình liên quan tới các biến này (dP/dt = kP, P(0) = po) mà đã biết hoặc được giả thiết là đúng Những phân tích toán học chứa đựng việc giải những phương trình này (trong đó, p như là một hàm của t) Cuối cùng, chúng ta áp dụng những kết quả toán học này đê trả lời câu hỏi thực tế ban đầu.

Thục trạng

Mô liinli toán

Giãi tliícli

Kef quà Phun tích

bài toán

Tlũẽtlập hài toán

Hình 1.1.4 Quá trình mô hình toán

Tuy nhiên, hoàn toàn có thể xảy ra việc không một nghiệm nào của phương trình

vi phân phù họp với thông tin đã biết Trong trường họp như vậy ta phải hoài nghi phương trình vi phân có thể không mô tả thích đáng thế giới thực Chẳng hạn, nghiệm của phương trình (6) có dạng P(í) = Cekt, trong đó c là một số dương, nhưng ta không thể chọn những hằng số k và c để P(t) mô tả đúng sự tăng trưởng thực sự số lượng người trên thế giới trong một vài thế kỷ qua

Do đó, có lẽ ta phải viết một phương trình vi phân đầy đù hơn, trong đó tính đến những ảnh hưởng do áp lực dân số, tỉ lệ sinh, việc cung cấp thức ăn suy giảm, và các yếu tố khác Không nên coi đây như là một thất bại của mô hình trong Ví dụ 5, mà như một sự hiêu biết sâu sắc về các yếu tố bố sung nào cần xét đến trong khi nghiên cứu sự tăng dân số

Thật ra, phương trình (6) là hoàn toàn đúng trong những hoàn cảnh đang xét, như sự tăng trưởng số vi khuắn dưới những điều kiện thức ăn và không gian không hạn chế

Nhưng trong ví dụ về dân số ta đã bỏ qua những ảnh hưởng của những yếu

tố về sự biến đối của tỉ lệ sinh và tỉ lệ tử Điều này làm cho việc phân tích toán học khá đơn giản, có lẽ là không thực tế Một mô hình toán phù hợp không tránh khỏi hai yêu cầu trái ngược : Nó phải mô phỏng đầy đủ tình huống thực tiễn với độ chính xác tương đối, tuy nhiên nó phải đơn giản đến mức cần thiết

đế có thế tiến hành phân tích toán học Neu mô hình toán mô phỏng quá chi tiết thực tiễn, thì có thế gặp khó khăn trong việc phân tích toán học Còn nếu mô hình toán quá sơ sài, thì các kết quả thu được có thế không còn chính xác nên không có ý nghĩa.Vì thế phải có sự kết hợp tốt nhất giữa yếu tố nào cùa thực tiễn với yếu tố thuận lợi nào của toán học Do đó, việc xây dựng một mô hình toán mà trong đó giảm được độ chênh một cách thích hợp giữa thực tiễn và tính khả thi là rất cần thiết và tinh tế nhất trong tiến trình trên Phải tìm ra những cách thức đế đơn giản hóa mô hình toán mà không mất đi những nét cốt yếu của thực tiễn

Các mô hình toán là đối tượng được thảo luận trong suốt cuốn sách này Đê kết thúc phần giới thiệu ta đưa ra vài ví dụ đơn giản và thuật ngữ chuẩn được sử dụng trong quá trình thảo luận về các phương trình vi phân và nghiệm của chúng

-

17-Các ví dụ và thuật ngũ’

Ví dụ 7 Nếu c là hằng số và y(x) = 1/(C -x), thì

- = —L-t = v2ố/x (C-x)2

dy/dx = y2, mỗi nghiệm tương ứng với một giá trị của “tham số” c nào đó Với

c = 1 ta thu được một nghiệm riêng

1-xthoả mãn điều kiện ban đầu y(0) - 1- Như trong chỉ dẫn ở Hình 1.1.5, nghiệm này liên tục trên khoảng (-00,1) và đồ thị có một tiệm cận đứng tại X = 1

Ví dụ 8 Hãy kiểm tra, hàm y(x)= 2xỉ/2 - xỉ/2 Inx thoả mãn phương trình vi phân

Thực tế là ta có thế viết ra một phương trình vi phân và chưa thế đảm bảo là

nó có nghiệm Chăng hạn, rõ ràng rằng phương trình

(/)+/=-! (11) không có nghiệm (nhận giá trị thực), bởi vì tông của các số không âm không thế bằng một số âm Cũng tương tự như vậy, ta thấy rõ ràng là phương trình

18-là phương trình cấp bốn Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n với biến

độc lập X và ẩn hàm hay biến phụ thuộc y = y(x), là

F(x, y,y’,y y(n)) = 0trong đó F là một hàm n + 2 biến nhận giá trị thực, cho trước

Hình 1.1.5 Nghiệm của phương trình y’ = y2 là hàm số: y(x) =1/(1—x)

Cho đến nay, ta đã sử dụng từ nghiệm là có đôi chút ngộ nhận Để chính xác,

ta nói những hàm liên tục u = u(x) là một nghiệm của phương trình vi phân (13)

trên khoảng / nghĩa là các đạo hàm u\ u”M(n) tồn tại trên 1 và

Ví dụ 7 (tiếp theo) Trên Hình 1.1.5 là hai nhánh “ liên kết” của đồ thị hàm y

= 1/(1- X ) Nhánh trái là đồ thị của nghiệm (liên tục) của phương trình vi phân y’

= y2, được xác định trến khoảng (-00, 1) Nhánh phải là đồ thị của nghiệm khác của phương trình vi phân, nghiệm này xác định (và liên tục) trến khoảng khác (1, co) Do đó cồng thức y(x) = 1/(1 - x) thực ra là xác định hai nghiệm khác nhau (với tập xác định khác nhau) của cùng một phương trình vi phân y’ = y2

Ví dụ 9 Neu A, B là những hằng số và

khi đó lấy đạo hàm liên tiếp hai lần, ta được

y '(x) = -3 A sin 3x + 3Bcos3x

y "(x) = -9Acos 3x - 9B sin 3x = -9y(x)

với mọi X Bởi vậy, phương trình (14) xác định một cách tự nhiên họ hai tham so

của các nghiệm phương trình vi phân cấp hai

trên toàn bộ trục số Hình 1.1.6 mô tả các đồ thị của một số nghiệm như vậy

-

19 sL

X

Hình 1.1.6.Ba nghiệm Ỵi(x) = 3cos3x; ya(x) = 2sin3x;

y3(x) = -3cos3x +2sin3x

Những phương trình vi phân (11) và (12) chỉ là các trường hợp đặc biệt Ta nhận thấy rằng một phương trình cấp n thông thường có một họ n tham số của các nghiệm,

và mỗi nghiệm chứa n hằng số bất kì khác nhau là các tham số.

Trong cả 2 phương trình (1 1) và (12), sự xuất hiện của y’ như một hàm ẩn gây

ra phiền toái Vì thế, thồng thường ta sẽ giả sử rằng bất kì một phương trình vi phân nào được nghiên cứu đều có thê giải được hoàn toàn theo đạo hàm cấp cao nhất xuất hiện trong phương trình đó; tức là, phương trình có thế được viết theo dạng được gọi là dạng chuẩn

y"" =G^x,y.y\y" V1”-1’) (16)Trong đó G là một hàm n+1 biến nhận giá trị thực Hơn nữa, ta thường chỉ tìm những nghiệm nhận giá trị thực nếu không nói gì thêm

Cho đến nay, tất cả những phương trình vi phân mà ta đề cập đến đều là phương trình vi phân thường, nghĩa là hàm phải tìm (đại lượng biến đối phụ thuộc) chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập Neu đại lượng biến đối phụ thuộc là một hàm của hai hay nhiều biến độc lập, thì ta sẽ phải đưa vào các đạo hàm riêng; khi đó, phương trình sẽ được gọi là phương trình đạo hàm riêng Ví dụ,

nhiệt độ u = u(x) của một thanh kim loại dài, mỏng đều tại diem X và tại thời diêm

t thoả mãn (với các điều kiện thích hợp) phương trình đạo hàm riêng

Trong chương này, ta tập trung vào những phương trình vi phân cắp một có dạng:

dx

Ta cũng sẽ đưa ra những ví dụ tiêu biếu về những ứng dụng rộng rãi của các phương trình như vậy Một mồ hình toán điến hình của tình huống ứng dụng là một

bài toán giá trị ban đầu, bao gồm một phương trình vi phân có dạng (17) cùng với

điều kiện ban đầu y(x0) = y0 Lưu ý rằng ta luôn gọi y(x0) = yo là điều kiện ban đầu không cần có xo = 0 hay không Đê giải bài toán giá trị ban đầu

-20-Ví dụ 10 Lấy nghiệm y(x) = 1/(C - x) của phương trình vi phân dy/dx

= ỵ1 2 đã có trong Ví dụ 7 đế giải bài toán giá trị ban đầu

Giải Chúng ta chỉ cần tìm một giá trị c sao cho nghiệm ỵ(x)= l/(C-x) thoả mãn điều kiện ban đầu y (1) = 2 Thế các giá trị X = 1 và y =2 vào nghiệm

Hình 1.1.7 Nghiệm của phương trình y’ = y là y(x) = 2/(3-2x)

Vấn đề chính mà ta cần quan tâm đến là: Cho trước một phương trình vi phân

để có một nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu, thì ta cần tìm hoặc tính nghiệm đó như thế nào? Và, khi đã tìm được nghiệm, thì ta có thề làm gì với nó? Ta sẽ thấy một vài kĩ thuật tương đối đơn giản: tách biến (Mục 1.4), giải các phương trình tuyến tính (Mục 1.5) và những phương pháp thế cơ bản (Mục 1.6) đủ để cho ta giải các dạng phương trình bậc nhất với nhiều ứng dụng rất sâu sắc

1.1 Bài tập

Trong các Bài tập từ 1 đên 12, băng cách thế môi hàm đã cho vào phương trình đế thấy nó là một nghiệm của phương trình vi phân tương ứng Trong các bài tập này, các dấu ' là kí hiệu của đạo hàm đối với X.

1 y' = 3x2; y = X3 +7

2 y’+2y = 0;y = 3ể-2x

21

-3 y"+ 4y = 0; = cos2x, y2 = sin 2x

4 y" = 9y;yl=e3x,y2=e~3

5 y' = y+ 2e~x;y = ex—e~x

6 y"+ 4y ’+ 4y = 0; = e~2x, y2 = xe~2x

7 y2y'+ 2y = Q\yi= ex cos X, y2 = ex sin X

8 y"+ y = 3cos2x; = cos X — cos2x, y2 = sin x-cos2x

12 x2y"— xy'+2y = 0;yl= xcos(lnx),y2 = xsin(lnx)

Trong các Bài tập 13 đến 16 Hãy thay y = erx vào phương trình vi phân đã cho

đê xác định các giá trị của hăng sô r sao cho y = erx là một nghiêm.

17 y'+ y = 0; y(x) = Ce x, y(0) = 2

18 y' = 2y; y(x) = Ce2x, y(0) = 3

19 y' = y +1; y(x) = Cex -1, y(0) = 5

20 y' = X-y; y(x) = CeA+x-Ị y(0) = 10

21 y'+3x2y = 0;y(x) = Ce_x,y(0) = 7

22 exy' = l;y(x) = ln(x + C),y(0) = 0

23 x-ặ- + 3y = 2x5; y(x) = 4 X5 + Cx-3; y(2) = 1

24 xy 3y = X3; y(x) = X3(C + In x); y(l) = 17

25 y' = 3x2 (y2 +1); y(x) = tan(x3 + C), y(0) = 1

26 y'+ y tan x=cos x; y(x) = (x + C) cos X, y(7ĩ) = 0

Trong các Bài tập 27 đến 31, hàm y = g(x) được mô tả bởi một vài tính chất hình học trên đồ thị của nó Hãy viết một phương trình vi phân ở dạng dy/dx = f(x, y) nhận hàm g làm một nghiệm (hoặc là một trong các nghiệm của nó).

27 Độ dốc đồ thị của g tại điểm (x, y) là tổng của X và y.

-22-28 Tiếp tuyến với đồ thị của g tại điểm (x,y) giao với trục X tại điểm (x/2;0).

29 Mọi đường thắng vuông góc với đồ thị của g đều qua điểm (0; 1)

30 Đồ thị của g vuồng góc với mọi đường cong có dạng y = X2 + k (k là mộthằng số) tại giao điếm của chúng

31 Tiếp tuyến của đồ thị g tại điếm (x; y) đi qua diêm (-y; x)

Trong các Bài tập từ 32 đền 36, dựa theo cách thiêt lập các phương trình (3) đến (6) của mục này đế viết một phương trình vi phân cho mô hĩnh toán của tình trạng được mô tả.

32 Suất biến đồi theo thời gian của số dân p thì tỷ lệ với căn bậc hai của p

33 Suất biến đổi theo thời gian của vận tốc V của một cái thuyền máy thì tỷ lệ

với bình phương của V

34 Gia tốc dv/dt của một cái xe Lamborghini thì tỷ lệ với hiệu số giữa 250 km/h và tốc độ của xe

35 Trong thành phố có số dân là p người cố định, suất biến đối theo thời gian của số N người đã nghe được một tin đồn nào đó thì tỷ lệ với số người chưa được nghe tin đồn này

36 Trong thành phố có số dân là p người cố định, suất biến đổi theo thời gian của số N người đã nhiễm phải một căn bệnh hay lây nào đó thì tỷ lệ với tích số người đã nhiễm bệnh và số người không bị nhiễm

Trong các Bài tập từ 37 đến 42, hãy xác định băng cách phỏng đoán ít nhất một nghiệm của phương trình vi phân đã cho Nghĩa là, dùng kiến thức của bạn về đạo hàm đê đoán nhận, sau đó, thử lại giả thiêt của mình.

43 (a) Neu k là một hằng số, hãy chứng tỏ rằng nghiệm tổng quát (với một

tham số) của phương trình vi phân dx/dt = kx2 được cho bởi x(t) = l/(C-kt) với c

là một hằng số tùy ý

(b) Xác định bằng cách phỏng đoán một nghiệm của bài toán giá trị ban đầu x’ = kx2, x(0) = 0

44 (a) Tiếp tục Bài tập 43, biết rằng k dương, hãy vẽ các đồ thị của nghiệm

của phương trình x’ = kx2, với một vài giá trị dương tiêu biểu của x(0)

(b) Neu như hằng số k âm, thì các nghiệm này sẽ thay đối thế nào?

45 Giả sử rằng số con vật p thuộc loài gậm nhấm thoa mãn phương trình vi phân dP/dt = kP2 Đầu tiên, có P(0) = 2 con, và số này tăng lên theo tốc độ dP/dt =

1 con trong một tháng khi đã có p = 10 con Hỏi sau bao lâu số con vật này tăng đến 100? Tăng đến 1000? Điều gì sẽ xẩy ra?

46 Biết rằng vận tốc V của một cái thuyền máy chạy ven biến thỏa mãn phương trình vi phân dv/dt = kv2 Tốc độ ban đầu của thuyền máy là v(0) =10 mét một giây (m/s), khi V = 5m/s thì V giảm đi với suất biến đổi là lm/s2 Hỏi mất bao lâu đế tốc độ của thuyền giảm đến lm/s? đến 1/10 m/s? Khi nào thuyền dừng lại?

47 Trong Ví dụ 7 ta đã biết rằng y(x) = l/(C-x) xác định một họ nghiệm đơn

tham (phụ thuộc một tham số) của phương trình vi phân dy/dx = y2

Hình 1.1.8 Đồ thị các nghiệm của

phương trình y’ = y2

Hình 1.1.9 Đồ thị y = Cx4 với các giá

trị khác nhau của c

48 (a) Chứng tỏ rằng y(x) = Cx4 là một họ nghiệm khả vi phụ thuộc một tham

số của phương trình vi phân xy’ = 4y (Hình 1.1.9)

(b) Chứng tỏ rằng

—X4 khix<(), y(x) =

Phương trình vi phân cấp một dy/dx = f(x,ỵ) có dạng đặc biệt đơn giản nếu/ là hàm độc lập với biến phụ thuộc ỵ:

Đây là một nghiệm tống quát của (1), nghĩa là nó chứa một hằng số c bất kỳ,

và với mỗi sự lựa chọn c thì đó là một nghiệm của phương trình vi phân (1)

Neu G(x) là một nguyên hàm cúa/(x) - tức là G' (x) = f(x) - thì:

Đồ thị của bất kỳ hai nghiệm (x) = G(x) + C ị và y2(x) = G(x) + C2 trên cùng một khoảng I là “song song” với nhau theo nghĩa như minh họa trên các Hình 1.2.1

-24-và 1.2.2 Ở đó ta thấy hằng số c - về phương diện hình học - là khoảng cách thẳng đứng giữa hai đường cong y(x) = G(x) và y(x) = G(x) +c

-X

Hình 1.2.1 Đô thị của y = —x + c với

4các giá trị khác nhau của c

Hình 1.2.2 Đồ thị của y = sin X + c với các giá trị khác nhau của c.

Để thỏa mãn một điều kiện ban đầu y(x0) = y0, ta chỉ cần thay X = x0 và y = y0 vào (3), thu được y0 = G(x0) + c, từ đó có c = y0 - G(x0) Với sự lựa chọn này của

c, ta thu được nghiệm riêng của phương trình (1) thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu:

Chú ý: Như một thuật ngữ được dùng cho phần mở đầu ở trên, nghiệm tống quát

của phương trình vi phân cấp 1 đơn giản là một họ nghiệm chứa một tham số Một câu hỏi tự nhiên là nghiệm tống quát có bao gồm mọi nghiệm riêng của phương trình vi phân hay không? Khi điều đó xảy ra, ta gọi nó là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Ví dụ, vì hai nguyên hàm bất kỳ của cùng hàm/(x) chỉ có thể sai khác nhau một hằng số, dẫn đến mọi nghiệm của (1) đều có dạng (2) Do đó, (2)

là nghiệm tổng quát của (1)

Ví dụ 1 Giải bài toán giá trị ban đầu:

-25-Hình 1.2.3 Đường cong tích phân của phương trình vi phân trong Ví dụ 1.

Hình 1.2.3 cho thấy đồ thị của y = X2 +3x + c với một vài giá trị của c Nghiệm

riêng ta quan tâm là đường cong đi qua điểm (1,2), do đó thoả mãn điều kiện ban đầu:

nó Ta có thể lấy tích phân một lần để thu được:

1

ở đó G là một nguyên hàm của g và Cj là một hằng số bất kỳ Tiếp tục tích phân một lằn nữa, ta được:

với Cọ là hằng số bất kỳ Thực ra , phương trình vi phân cấp 2 ở (4) là phương trình

có thể giải được nhờ việc giải các phương trình bậc nhất:

-26-động của phần tử dọc theo một đường thắng (trục x) được diễn tả qua hàm vị trí của nó:

ở đây m là khối lượng của phần tử Neu đã biết lực F, thì có thể lấy tích phân hai lần phương trình x"(í) = F(f)l m để tìm hàm vị trí x(t) dưới dạng tích phân chứa hai hằng số Hai hằng số này được xác định bởi vị trí ban đầu xữ = x(0) và vận tốc

ban đầu v0 = v(0) của phần tử.

Tích phân lần thứ hai cho ta:

x(t) = j v(f)dt = Ị(at + v0 )dt = —at2 + vot + C2,

số và vận tốc ban đầu v0, vị trí ban đầu x0 của nó

Ví dụ 2 Một đĩa bay rơi xuống bề mặt Mặt trăng với vận tốc 450 m/s Tên lửa

hãm của nó, khi cháy, sẽ tạo ra gia tốc 2,5 m/ s2 (gia tốc trọng trường trên Mặt trăng được coi là bao gồm trong gia tốc đã cho) Với độ cao nào so với bề mặt Mật trăng

-27-thì tên lửa cần được kích hoạt đê bảo đảm “sự tiếp đất nhẹ nhàng”, tức là V = 0 khi chạm đất?

Hình 1.2.4 Đĩa bay trong Ví dụ 2

Ta ký hiệu x(í) là độ cao của đĩa bay so với bề mặt Mặt trăng, như minh hoạ trong Hình 1.2.4 Đặt t = 0 là thời điểm mà ten lửa đẩy lùi cần được kích hoạt Khi

đó v0 = —450m/ s (nó âm vì độ cao x(t) giảm dần), và a = 2,5m/ s'2 vì sự đẩy lên

trên làm tăng vận tốc (mặc dù nó làm giảm tốc độ |v|) Phương trình (10) và (11) trở thành:

và

ở đó xữ là độ cao của đĩa bay tại thời điếm t =■ 0 và là lúc tên lửa cằn được kích hoạt

Từ phương trình (12) ta thấy, V = 0 (tiếp đất nhẹ nhàng) xảy ra khi:

Đon vị vật lý

Việc tính toán số đòi hỏi các hệ đơn vị để đo các đại lượng vật lý như khoảng cách, thời gian Đôi khi ta sử dụng những đơn vị không theo thế thức - như là khoảng cách đo bởi dặm, kilômet hay thời gian đo bởi giờ - trong những tình huống đặc biệt (như vấn đề về chuyến động của ô tô) Tuy nhiên, các hệ đơn vị foot - pao - giây (fps) và mét - kilogam - giây (mks) được sử dụng phổ biến hơn cả trong khoa học và kỹ thuật Thực tế, hệ đơn vị fps thường chỉ được sử dụng ở Mỹ (và vài nước khác), trong khi hệ đơn vị mks tạo thành hệ đơn vị quốc tế chuân cho khoa học

Đon vị fps Đon vị mks

-28-Dòng cuối của bảng trên cho biết giá trị cúa gia tốc trọng trường g trên bề mặt Trái đất Mặc dù đó là giá trị xấp xỉ nhưng là đủ cho các ví dụ và bài toán, giá trị

chính xác hơn sẽ là 9,7805m/s2 và 32,088/í/s2 (đo tại mực nước biên ở xích đạo).

Cả hai hệ đơn vị này đều tương thích với định luật 2 Newton F = ma Theo đó, 1

N là lực gây ra một gia tốc là 1 m/s2 khi tác động vào một khối lượng là 1 kg

Tương tự, 1 slug là khối lượng mà nó sẽ có gia tốc 1 ft/ s2 dưới tác dụng của lực 1

Ib (ta sẽ sử dụng hệ đơn vị mks cho tất cả các bài toán đòi hỏi đơn vị của khối lượng

và như vậy, sẽ rất hiếm khi slug được sử dụng)

Inch và centimet (tốt như dặm và kilomet) cũng thường được sử dụng trong diễn đạt khoảng cách, về sự chuyên đối giữa đơn vị fps và mks, ta cần nhớ rằng:

Vận tốc chuyển động và gia tốc trọng trường

Trọng lượng w của một vật thể là lực tác dụng lên vật thể đó bởi trọng lực Thay

a = g và F = w vào định luật 2 Newton cho ta:

Đó là trọng lượng w của khối lượng m tại bề mặt Trái đất, trong đó

g~32ft/s2 ~9,8m/s2 Ví dụ, vật có khối lượng m = 20 kg sẽ có trọng lượng

w = (20kg)(9,8m/ s2) = 196N Tương tự, vật nặng 100 pao trong hệ mks sẽ có trọng

Đê nghiên cứu chuyên động thắng đứng, một cách tự nhiên là ta chọn trục y làm

hệ toạ độ chỉ vị trí, với y = 0 là tương ứng với mặt đất Neu ta chọn chiều hướng lên

trên làm chiều dương, thì tác động của trọng lực lên vật thể chuyển động thẳng đứng

sẽ làm giảm độ cao của nó và cũng làm giảm cả vận tốc V = dvldt cúa nó Do đó, nếu

bỏ qua sức cản của không khí, thì gia tốc a = dvldt của vật thể được cho bởi:

-29-Ở đây, y0 là độ cao ban đầu (khi t = 0) của vật thể và v0 là vận tốc ban đầu của nó.

Ví dụ 3.

(a) Giả sử rằng có một quả bóng được ném thẳng đứng từ mặt đất (y0 = 0) với vận tốc ban đầu v0 = 96 ftls (do đó ta dùng g = 32flls2 theo đơn vị fps) Khi đó nó đạt độ cao cực đại khi vận tốc của nó (ở phương trình (16)) bằng không: v(í) = —32t + 96 = 0,

và như vậy là khi t = 3s Do đó, độ cao cực đại mà quả bóng đạt được là:

và do đó nó bay 10 5 trong không trung

Bài toán về người boi

Hình 1.2.5 Bài toán về người bơi (Ví dụ 4)

Hình 1.2.5 biểu diễn một dòng sông chảy về hướng bắc có chiều rộng w=2a Các đường thắng X = biếu thị hai bờ sồng và trục y là chính giữa của nó Giả sử rằng

vận tốc VR tại nơi nước chảy tăng dần khi vào gần giữa dòng sông, và thực chất nó

phụ thuộc vào khoảng cách X tính từ chính giữa dòng sồng như sau:

-30-véctơ vận tốc của người ấy (so với mặt đất) có thành phần nằm ngang là vs và thành phần thắng đứng VR Do đó, góc a của hướng bơi cho bởi

Tích phân được: y(yx) — j (3 - 1 Zx2 )dx = 3x- 4x3 + c

là quỹ đạo của người bơi Điều kiện ban đầu y(——) = 0 cho ta c = 1, nên:

20.

Hình 1.2.6: Đồ thị hàm vận tốc v(í) của Bài tập 19

Hình 1.2.7: Đồ thị hàm

vận tốc v(f) của Bài tập 20.

Hình 1.2.8: Đồ thị hàm vận tốc v(í) của Bài tập 21

a) Độ cao cực đại so với mặt đất của viên đạn?

b) Khi nào viên đạn rơi ngang đỉnh của toà nhà?

c) Tổng thời gian nó bay trong không trung là bao nhiêu?

27 Một quả bóng được ném thẳng xuống đất từ đỉnh của một toà nhà Vận tốc ban đầu của quả bóng là 10 m/s Nó chạm đất với vận tốc 60 m/s Hỏi chiều cao của toà nhà là bao nhiêu?

28 Một quả bóng rổ được ném thẳng xuống đất với vận tốc ban đầu 40 ft/s từ đỉnh của đài kỷ niệm Washington (cao 555 ft) Nó sẽ rơi bao lâu thì chạm đất và vận tốc lúc chạm đất là bao nhiêu?

29 Một xe diesel dần dần tăng tốc trong 10s đầu với gia tốc cho bởi:

^ = (0,12)í2+(0,6)í (/r/s2)

dt

Neu chiếc xe bắt đầu từ trạng thái nghỉ (x0 = 0;v0 = 0), hãy tìm quãng đường nó

đi được sau 105 đầu và vận tốc của nó tại thời điểm đó

30 Một chiếc xe đang đi với vận tốc 60 dặm/giờ (88/rÁs-) bị trượt đi 176 ft sau

khi đột ngột hãm phanh Giả sử rằng hệ thống phanh tạo ra sự giảm tốc đều Hỏi sự giảm tốc ấy là bao nhiêu? Thời gian chiếc xe trượt đi là bao nhiêu?

-33-31 Đường trượt được tạo ra do một xe ô tô hãm phanh cho tới khi dừng lại có độ dài là 75m Chiếc ô tô này giảm tốc đều đặn là 20m/s2 trong những điều kiện đã cho Hỏi vận tốc - tính theo km/h - của chiếc xe khi nó bắt đầu hãm phanh?

32 Giả sử rằng một chiếc xe trượt đi 15m nếu nó đang đi với vận tốc 5Qkm/h và hãm phanh Biết chiếc xe giảm tốc đều, hỏi nó sẽ trượt đi bao xa nếu lúc hãm phanh vận tốc của nó là 100 kmlhl

33 Tại hành tinh Gzyx, một quả bóng được thả từ độ cao 20 ft và chạm đất sau 2

s. Neu thả quả bóng đó từ đỉnh toà nhà cao 200ft trên Gzyx, thì nó chạm đất sau bao lâu? Vận tốc lúc chạm đất là bao nhiêu?

34 Một người có thê ném thắng đứng một quả bóng từ mặt đất lên tới độ cao cực đại là 144 ft. Hỏi độ cao mà người đó có thê ném quả bóng này trên hành tinh Gzyx ở bài 33 là bao nhiêu?

35 Một hòn đá được thả rơi từ độ cao h xuống mặt đất Hãy chỉ ra rằng vận tốc của nó khi chạm đất là y/lgh 2

36 Một phụ nữ có thể nhảy thẳng lên 2,25 ft từ mặt đất Hỏi cô ta có thể nhảy thắng lên bao nhiêu ở trên mặt trăng, biết gia tốc trọng trường trên bề mặt mặt trăng xấp xỉ 5,3 ft/s2l

37 Vào giữa trưa, một ô tô khởi hành từ A với gia tốc không đối, đi tới B trên một đường thắng Nó tới B lúc 12.50 PM, và với vận tốc 60 dặm/giờ Tính khoảng cách giữa A và B?

38 Vào giữa trưa, một ô tô bắt đầu đi từ A thẳng tới c với gia tốc không đổi Quãng đường AC dài 35 dặm Khi tới c, vận tốc của xe là 60 dặm/giờ Hỏi xe tới c lúc mấy giờ?

39 Trong Ví dụ 4, nếu a = 0,5 dặm và v0 = 9 dặm/giờ, thì vận tốc của người bơi

phải thế nào để anh ta chỉ bị trôi xuôi dòng 1 dặm khi vượt qua sông?

40 Giả sử trong Ví dụ 4, a = 0,5 dặm, v0 = 9 dặm/giờ, vs = 3 dặm/giờ nhưng vận tốc của dòng sông được cho bởi hàm bậc 4 :

c X4

v«=v0 1-A

k a )

Tính xem khi bơi qua sông, người bơi sẽ bị trôi xuôi dòng bao xa?

41 Một quả bom được thả từ một máy bay đang bay ở độ cao 800 ft so với mặt đất Ngay 2s sau khi quả bom được thả ở phía dưới máy bay, một quả tên lửa được phóng lên Hỏi quả tên lửa được phóng với vận tốc ban đầu là bao nhiêu đế nó chạm vào quả bom ở độ cao 400/í?

42 Một con tàu vũ trụ rơi tự do xuống bề mật Mặt trăng với vận tốc 1000 mph (dặm/giờ) Tên lửa hãm của nó, khi cháy, sẽ tạo ra sự giảm tốc đều là 20,000

mH n Tại độ cao nào so với bề mặt Mặt trăng thì nhà du hành nên phóng tên lửa hãm để bảo đảm hạ cánh nhẹ nhàng? (Như Ví dụ 2, ta bỏ qua trường trọng lực của Mặt trăng)

43 Cuốn Gió thôi từ mặt trời (1963) của Arthur Clarke miêu tả con tầu vũ trụ Diana bị gió từ mặt trời đây đi Quạt gió bằng nhôm trên tầu giữ cho nó có một gia tốc không đổi 0,00 Ig = 0,0098 m/s2 Biết rằng tầu khởi hành từ trạng thái nghỉ vào thời điểm t = 0 và đồng thời bắn ra một tên lửa (cùng hướng thẳng về phía trước) với vận tốc bằng 1/10 vận tốc ánh sáng c = 3x 108 m/s Hỏi sau bao lâu, con tầu vũ trụ đuối kịp tên lửa và tới lúc đó, nó đã đi được bao xa?

44 Một lái xe gây tai nạn tuyên bố rằng anh ta chỉ đi với vận tốc 25 mph (dặm/giờ) Khi cảnh sát kiếm tra xe của anh ta, họ thấy khi phanh xe với vận tốc 25

-34-mph, chiếc xe chỉ bị trượt đi 45 ft rồi dừng lại Nhưng dấu vết trượt đi cúa chiếc xe ở hiện trường vụ tai nạn đo được là 210 fi Giả sử rằng gia tốc không đổi, hãy xác định vận tốc anh ta đang đi khi gây tai nạn?

1.3 Trường độ dốc và các đường cong nghiệm (Các đường cong tích phân)

vẻ đơn giản như y'=x2 + y2 không thể biểu diễn được theo các hàm sơ cấp đã

được học trong các cuốn sách giải tích Tuy nhiên, các phương pháp bằng số và đồ thị ở chương này và chương sau có thể được sử dụng để xây dựng nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân

Trường độ dốc và các đồ thị nghiệm

Có một phương pháp hình học đơn giản đê hình dung về nghiệm của một phương trình vi phân cho trước y'= f(x,y) Tại mỗi diêm (x, ỳ) trên mặt phăng xy, giá trị/(x,y) xác định một độ doc m =f(x,y) Một nghiệm của phương trình vi phân đơn giản là một hàm khả vi mà đồ thị của nó có “hệ số góc” này tại mỗi điếm (x,y(x)) mà nó đi qua - do y'(x) = y(x, y(x)) Cho nên, một đường cong nghiệm của phương trình vi phân ỵ'= f(x, y) - hay đồ thị của nghiệm phương trình - là một đường cong trên mặt phăng xy mà tiếp tuyến của nó tại mỗi diêm (x,y) có độ dốc m =f(x,y) Ví dụ, Hình 1.3.1 cho thấy một đường cong nghiệm của phương trình

vi phân y'= x-y với các tiếp tuyến của nó tại 3 diêm điên hình

Hình 1.3.1 Một đường cong nghiệm của phương trình vi phân y'= X- y

với các tiếp tuyến có độ dốc; độ dốc mẢ = xl — tại điếm (Xị,yị);

độ dốc m2 = x2 — y2 tại điểm (x2, y2); độ dốc m3 = x3 — y3 tại điểm (x3, y3)

-35-Ví dụ 1 Hình 1.3.2 (a)-(d) chỉ ra các trường độ dốc và các đường cong nghiệm

của phương trình vi phân:

ày

với các giá trị k = 2; 0,5; -1; -3 cho tham số k của phương trình (2) Chú ý rằng mỗi trường độ dốc mang lại các thông tin định tính quan trọng về tập tất cả các nghiệm của phương trình vi phân Ví dụ, Hình 1.3.2 (a) và (b) cho thấy mỗi nghiệm y(x) tiến

ra ±oo khi X —»4-00 nếu k > 0, hay ở Hình 1.3.2 (c) và (d) cho thấy y(x) -ỳ 0 khi

X 4-00 nếu k < 0 Hơn nữa, mặc dù dấu của k xác định sự tăng hay giảm của y(x), giá trị tuyệt đối \k\ của nó mới xác định tốc độ của sự thay đổi của y(x) Tất cả những điều này có được từ trường độ dốc như trong Hình 1.3.2, ngay cả khi không biết nghiệm tổng quát của phương trình (2) được cho cụ thể là ỵ(x) = Cệ

Hình 1.3.2(a).Trường độ dốc và đường

cong tích phân của y’= 2ỵ

Hình 1.3.2(b).Trường độ dốc và đường cong tích phân của ý= (0,5)ỵ

-4 -3 -2 -1

Hình 1.3.2(d).Trường độ dốc và đường cong tích phân của ỵ'= — 3ỵ

cong tích phân của ý= —ỵ

Một trường độ dốc gợi cho ta hình dạng chung của các đường cong nghiệm của phương trình vi phân Qua mỗi điểm, một đường cong nghiệm sẽ tiến theo hướng

mà tiếp tuyến của nó là gần như song song với các đoạn thăng ở gần nó trên trường

độ dốc Bắt đầu tại điểm (a,b) bất kỳ, ta cố gắng vẽ bằng tay một đường cong nghiệm xấp xỉ rồi đưa nó vào trường độ dốc, theo các đoạn thẳng nhìn thấy được càng khít càng tốt

-36-Ví dụ 2 Xây dựng trường độ dốc cho phương trình vi phân y'= x-ỵ và sử dụng

nó đế phác họa gần đúng một đường cong nghiệm mà nó đi qua (-4;4)

Giải Hình 1.3.3 cho thấy bảng các độ dốc của phương trình đã cho Các độ dốc

m = X - y là số xuất hiện ở giao của dòng X và cột y trong bảng Neu bạn xem xét kĩ

phần đường chéo từ góc trái trên tới góc phải dưới của bảng, bạn có thế thấy nó được xây dựng dễ dàng và nhanh chóng (tất nhiên, còn có nhiều hàm/(x,y) phức tạp khác ở vế phải của phương trình vi phân cần nhiều tính toán phức tạp hơn)

Hình 1.3.3 Giá trị các độ dốc y'= X — y với - 4 < x; y < 4.

-4 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -3 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -2 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 —6 -1 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 "5

-4

-5 -5

5

4

3 2

X

> 0

Hình 1.3.4 Trường độ dốc của phương

trình y’ = X - y tương ứng với Bảng 1.3.3

Hình 1.3.5 Đường cong nghiệm đi qua (-4,4)

Mặc dù ta có thê xây dựng được một chương trình tính một bảng độ dốc như Hình 1.3.3, sẽ rất tẻ nhạt khi phải vẽ bằng tay một lượng khá lớn các đoạn độ dốc như trong Hình 1.3.4 Tuy nhiên, phần lớn các hệ tính toán đại số bao gồm các lệnh nhanh và dề dàng để xây dựng trường độ dốc với nhiều đoạn thẳng như mong muốn; những lệnh như thế được minh hoạ trong các ứng dụng quan trọng ở phần này Càng nhiều đoạn thẳng được xây dựng, các đường cong nghiệm được hình dung và phác hoạ càng chính xác Hình 1.3.6 biêu thị một trường độ dốc “tốt hơn” cho phương trình vi phân y'= X — y cùa Ví dụ 2, cùng với các đường cong nghiệm tiêu biếu với trường độ dốc này

Neu nhìn kỹ Hình 1.3.6, bạn có thê nhận ra một đường cong tích phân là một đường thẳng Thực vậy, bạn có thể kiểm tra rằng hàm tuyến tính y = X - 1 là một nghiệm của phương trình y’ = X - y, và nó xuất hiện như là đường tiệm cận mà các

-37-đường cong nghiệm khác tiến đến nó khi X —y +°° Kết luận này minh hoạ cho

thực tế là trường độ dốc có thế cho biết thông tin xác thực về nghiệm mà thông tin này không thể suy được từ phưong trình vi phân một cách hiền nhiên Bằng cách dùng các đường cong nghiệm xấp xỉ trong hình vẽ này, liệu bạn có thê suy luận được y(3) — 2 đối với nghiệm y(x) của bài toán giá trị ban đầu y' = X - y , y(-4) = 4 hay không?

Hình 1.3.6 Trường độ dốc và các đường cong nghiệm tiêu

biểu cho phương trình y’ = X - y

Hai ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng trường độ dốc để thu thập thông tin có ích trong các bài toán vật lý được mô hình hoá theo phương trình vi phân Ví dụ 3 được căn cứ vào thực tế về quả bóng chày chuyên động trong không khí với vận tốc

V chấp nhận được (nhỏ hơn 300 chịu sức cản không khí xấp xỉ tỳ lệ với V Neu quả bóng được ném thắng xuống từ đỉnh một toà nhà hay từ một chiếc trực thăng đang bay, thì nó chịu cả gia tốc hướng xuống của trọng trường và gia tốc hướng lên của sức cản không khí Neu trục y được định hướng xuống dưới thì vận tốc V = dy/dt của quả bóng và gia tốc trọng trường g = 32 jft/s2 đều dương, trong khi gia tốc bởi sức cản không khí là âm Do đó, gia tốc tống cộng có dạng :

dt

Một giá trị điên hình của tỷ lệ sức cản không khí là k = 0,16

Ví dụ 3 Giả sử bạn ném một quả bóng chày thắng xuống dưới từ một máy bay trực thăng đang bay ở độ cao 3000 ft Bạn tự hỏi ai đó đang đứng dưới đất có thể bắt được nó hay không Đê ước lượng vận tốc lúc mà quả bóng chạm đất, bạn có thế dùng các hệ đại số máy tính để xây dựng trường độ dốc cho phương trình vi phân:

-38-Kết quả được biểu diễn trong Hình 1.3.7, với một số đường cong nghiệm tưong ứng với các giá trị khác nhau của vận tốc ban đầu v(0) mà bạn đã ném quả bóng

xuống Chú ý rằng tất cả các đường cong nghiệm đều tiệm cận với đường thăng V =

200 Điều này cho thấy rằng - dù cho bạn ném nó thế nào - vận tốc quả bóng sẽ tiến dần tới giới hạn V = 200 ft/s mà không gia tăng vô hạn (như trường hợp thiếu sức cản của không khí) Đổi 60 mi/h = KSftls được:

v= 200—X — — 136,36——

Có lẽ người bắt phải làm quen với quả bóng tốc độ 100 mi/h mới có khả năng bắt được nó

Lòi bình: Neu vận tốc ban đầu của quả bóng là v(0) = 200, thì phương trình (4)

là v’(0) = 32 - 0,16.200 = 0, nên quả bóng không có gia tốc ban đầu Vận tốc của nó

sẽ không thay đổi, và do đó v(0 = 200 là “nghiệm cân bằng” không đổi của phương trình vi phân Neu vận tốc ban đầu lớn hơn 200, thì gia tốc ban đầu được cho bởi (4)

sẽ âm, nên quả bóng rơi xuống chậm Nhưng nếu vận tốc ban đầu nhỏ hơn 200, thì gia tốc ban đầu cho bởi (4) sẽ dương, nên quả bóng rơi xuống nhanh hơn Điều này

có vẻ hợp lý: vì sức cản của không khí, vận tốc quả bóng chày sẽ tiến dần tới giới hạn là 200 ft/s - bất kể với vận tốc ban đầu là bao nhiêu Bạn cũng có thề kiềm tra lại rằng - trong điều kiện không có sức cản của không khí - quả bóng này sẽ chạm đất với vận tốc trên 300 mi/h

Trong Mục 1.7, ta sẽ khảo sát chi tiết phương trình vi phân logistic:

300 250 200 150 100 50

0 „

0 25 50 75 100

i

Hình 1.3.8 Trường hệ độ dốc và các đường cong tích phân

tiêu biểu cho P’ = 0,06P - 0,0004P2

-39-Hình 1.3.8 biêu thị trường độ dốc của phương trình (6), cùng với một số đường cong nghiệm ứng với các giá trị khác nhau hợp lý của dân số ban đầu P(0) Chú ý rằng, tất cả các đường cong nghiệm này đều tiệm cận với đường thắng p = 150 Nó cho thấy rằng - bất kế với dân số ban đầu là bao nhiêu - dân số P(t) sẽ tiến dần tới dân số giới hạn p = 150 khi t —> 4-00.

Lời bình: Neu dân số ban đầu P(0) = 150, thì phương trình (6) là

P’(0) = 0,0004.150.(150 - 150) = 0,nên dân số không thay đối so với ban đầu Điều đó có nghĩa P(í) = 150 là “nghiệm cân bằng” không đối của phương trình vi phân Neu dân số ban đầu lớn hơn 150, thì tốc độ thay đổi ban đầu được cho bởi (6) sẽ âm, nên dân số lúc đầu sẽ giảm Nhưng nếu dân số ban đầu nhỏ hơn 150, thì tốc độ thay đổi ban đầu cho bởi (6) sẽ dương, nên dân số lúc đầu sẽ tăng lên Ta có thế kết luận rằng dân số sẽ dần tiến tới giá trị giới hạn 150 - bất kế dân số ban đầu là bao nhiêu

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Trước khi bỏ thời gian đế giải một phương trình vi phân, ta hãy nên xét xem có thực sự tồn tại nghiệm của nó hay không Ta cũng cần biết có phải chỉ có một nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện ban đầu cho trước hay không - tức là nghiệm có duy nhất hay không

Ví dụ 5 (a) [Sự không tồn tại] Bài toán giá trị ban đầu:

CÓ hai nghiệm phân biệt (x) = X và ỵ2 (x) = 0 (xem Bài tập 27)

Ví dụ 5 minh hoạ một thực tế là, trước khi nói nghiệm của một bài toán giá trị ban đầu, ta cần hiếu rằng nó có một và chỉ một nghiệm Câu hỏi về tính tồn tại và duy nhất nghiệm cũng gắn liền với quá trình mô hình hoá toán học Giả sử rằng ta đang nghiên cứu một hệ vật lý mà hoạt động của nó là hoàn toàn xác định bởi điều kiện ban đầu, nhưng mô hình toán được đưa ra gồm một phương trình vi phân không

có nghiệm duy nhất thoả mãn những điều kiện đó Điều này dẫn đến ngay một câu hỏi, liệu mô hình toán đó có biếu diễn tương xứng với hệ vật lý không?

Định lý sau đây sẽ cho thấy, bài toán giá trị ban đầu y’ =f(x,ỳ); y(a) = b có một

và chỉ một nghiệm xác định trên lân cận của điểm X - a trên trục X, với điều kiện là

cả hàm f và đạo hàm riêng 3y / ỉfy của nó là liên tục trên lân cận của điếm (a,b)

trong mặt phăng xy Cách chứng minh định lý tồn tại và duy nhất nghiệm được nêu

ở phụ lục

ĐỊNH LÝ 1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Giả sử cả hàm/(x,y) và đạo hàm riêng Dyf(x, y) của nó là liên tục trên một hình

chữ nhật R nào đó trong mặt phẳng xy chứa điểm (ớ,z?) ở bên trong Khi đó, với khoảng mở I chứa điếm a, bài toán điều kiện ban đầu: