Giải tích một biến số - Đại học Thủy lợi

Thực hiện chủ trương đôi mới chương trình và giáo trình đào tạo môn Toán học của Nhà trường, Bộ môn Giải tích đã hoàn thành bản dịch lần đâu cuốn “Giải tích một biến số” của tác giả Geor

PGS.TS NGUYỄN XUÂN THẢO

PGS.TS PHÓ ĐỨC ANH

ThS TRỊNH TUÂN

Thực hiện chủ trương đôi mới chương trình và giáo trình đào tạo môn Toán học của Nhà trường, Bộ môn Giải tích đã hoàn thành bản dịch lần đâu cuốn “Giải

tích một biến số” của tác giả George F Simmons Bản dịch này đã phục vụ kịp thời cho việc giảng dạy cho khoá 49 và 50 là hai khoả đầu tiên đào tạo theo chương trình mới và theo học chê tín chỉ.

Do thời gian biền dịch quả ngắn, bản dịch lần đầu không khỏi mắc một vài sai sót, nhiều câu vãn dịch còn chưa thoát ý và còn một số lôi về soạn thảo và ỉn ấn.

Kê từ ngày tải lập lại Bộ môn Toán học, nhiệm vụ hàng đâu của Bộ môn là hoàn thiện lại toàn bộ chương trình và giảo trình giảng dạy và cuốn “Giải tích

một biến số” được tập trung hiệu đỉnh, chỉnh sửa đế kịp tải bản lần 1.

Bộ môn xin cảm ơn Thư viện trường, Nhà xuât bản và các thây cô đã tham gia hiệu đỉnh, chỉnh sửa, đã làm việc rất tích cực trong thời gian qua đế kịp tái bản lân này Tuy nhiên, chăc chăc là bản dịch tái b

ản lần này có thể vẫn còn những sai sót và vẫn còn phải tiếp tục hoàn thiện trong thời gian tới Bộ môn rầt mong nhận được ý kiên góp ỷ của các độc giả trong quá trình sử dụng bản dịch lân này.

Trưởng Bộ môn Toán học

PGS.TS NGUYỀN HỮU BẢO

Thật lạ kỳ là người ta đã viết ra hàngngàn trang sách mà vẫnthấy cần viết lời nói đầuđế giải

thích mục đích của mình Có thể ai đó cho rằng, đủ lắm rồi, nóithêm mà làm gì Tuynhiên, mọicuốn sách - không loại trừcuốn này -đều cần phải vừa bày tỏ sự chưa thoả mãn với những quyếnsách đã xuất bản trước,vừa như một tuyên bốvềsuy nghĩcủatác giả cho nội dung mà sách cần có

Lời nóiđầusẽ là cơ hội sau cùng đế bạn đọc có thế lắngnghe vàthấu hiếuýtưởng củatác giả Hơn

nữa, bất kỳ ai muốn viết thêmmộtcuốn sách nhập môn giải tích, vốnđãrất nhiều, cũng cần được phép thanh minh (thậmchí xin lỗi) cho hành động nàyvớicác đồng nghiệptrong cộng đồngcác nhà

toán học

Cuốnsách này làmộttài liệuchủđạovềgiảitích, phù hợp với mọi chương trình và mọi trìnhđộ

Nóđược thiếtkế đặc biệt với khóa học chuấncó 3 kỳ dành cho sinh viên ngànhkhoa học, kỹthuật

hay toánhọc Cácsinhviêncầncónhữngkiến thức nền tảngvềđại số và hình họcở phố thông.Mặtkhác, cuốn sách không đề cập đến các kiếnthứcchuyênsâunên những sinh viên triết học,lịch sử hoặc kinh tế có thể đọc và hiểu các ứng dụngdễ dàng như mọi người khác Không có luật

nhân bản nào quy định rằngnhững ngườicó mối quantâmđặcbiệt đến các ngành khoahọc nhân văn

hay xã hộithì khôngđược hiếu biết và say mê toán học Dĩnhiên, toán là môn học chứanhiềuthành

tựu sáng tạo lớn nhất của nhân loại vànócó sức hút không thế cường lại được đối với những nhà

nghiêncứu nhân văn nhưcánh đồng đầy hoa quyến rũ đàn ong Người tađã nóirất đúng làtoán học

có thể soi sángthế giới haylàm thư giãn đầu óc, hoặc làm đượccả hai điều này Vì vậy, rõ ràng mộtsinh viên triết (chẳng hạn) một khikhông có những kiến thức cụ thế của môn học lớn này, dườngnhư còn chưa hoàn thiện y như một sinh viên lịch sử không hiểubiếtbao quát vềkinh tếvà tôn giáo.Làmsao các sinh viên lịch sửcó the bở qua sựkiệnnổi bật trong thế kỷ 17 là toán học và khoa học

nởrộ và có ảnh hưởng quyết định đến sự phát triến của thế giới hiện đại, một sự kiện mang ý nghĩalịch sử sâu sắc hơn các cuộc cách mạng Mỹ, Pháp và Nga gộp lại? Các giáo viên toán chúng tacó

bốn phậngiúp cácsinhviênnày một phần kiến thức vàGiảitích làmột điếm khởi đầu hoàn hảo.Bản thân cuốn sách này - với 21 chương, không kể các phụ lục - có bố cục và cơ cấu truyền

thống Tôi muốn nhấn mạnh nhiều đếnđộng cơ thúc đẩy vàcách hiểu trực quan,đồng thời trình bàynhững điều tinh tế trong lý thuyết.Hầu hếtcác sinh viên thiếu kiên nhẫn với lý thuyết môn học, đấycũng là mộtđiều chính đáng, vì bản chất của Giải tích không nằm trong các địnhlýhay cách chứngminh chúng mà hơn thế, nó lànhữngcông cụ vàcách sử dụngchúng thế nào Mục tiêu trên hết của

tôi là giới thiệu Giải tíchnhư một nghệ thuật giải quyếtcác bài toán vớikhả năngkhông hạn chế và

nókhông thể thiếu được trong tấtcả các ngànhkhoa học địnhlượng.Bằng cách tự nhiên, tôi muốn thuyết phụcsinh viên rằng các công cụ chuẩn của giải tích là hợplý và hợppháp, nhưngkhông thế

biến môn học này thành một thứ khuôn mẫu logic chán ngắt do các định nghĩa chi tiết, những câu

chữcứng nhắc trongđịnh lý với các chứngminhtỉmỉ chi phối Tôihy vọng rằng nhữngphần giải

thích toán học trong những chương sách sẽ làm cho sinh viên hiểu kỹ một cách tự nhiên, không thểkhác được như lànước chảy theo sườn núi, xuôi xuống phía dưới Chủ đề chính trong cuốn sáchnày

là những điều haycủa Giải tích - những điều màta có thế hiêu được và làm được - chứkhông phải

bản chat logic được nhìn nhận theo quan điếm chuyên môn (vàhạn chế) củacác nhà toán học thuần

tuý hiệnđại

Có một vài nétđặc trưng riêng của cuốn sáchnàymàtheo tôi, cần phải chú thích thêm

Yêu cầu kiến thửc trước khi học Giải tích: Do nội dung cần học của mônnày quá lớn, cầnnhanh chóng bắt đầu và đưa đạohàm vào sớm, đồng thời phảidành ít thờigian đủđể ôn lại những

kiến thức có trước khi học giải tích Tuy vậy, sinh viên năm thứnhấtrất khác nhauvề trìnhđộvà kiến thức toán học Vì thế, trong chương đầu, tôi đã đề cập đến các kiến thức cần có trước khi học

vàđề nghị các giáo viên nên loại bỏ toàn bộhoặcdạy lướt qua phầnhọ nghĩlà cóíchcho sinh viên

thu nhiều nhất.1

Lượng giác: Trong các giáo trình Giải tích, vấn đề liên quan đếnLượng giác chưa được giảiquyết thoả đáng Nhiều tác giả giới thiệu môn này sớm, mộtphần đế có thế sử dụng các hàm lượnggiác trong việc dạy quy tắc dây chuyền Cáchtiếpcận này có một nhược điểmlà đưa vào các chương

đầu tiên của Giải tích nhiều vấn đề mang tínhkỹthuật, khôngthực sự cần thiết cho mục tiêu cơbảncủasinhviênởphầnnày, đó làcầnnắmđượcý nghĩa vàứng dụng của đạo hàm vàtích phân.Nhược điểm kháccủaviệc đưaLượng giác vàophần mởđầu là nhiều sinh viên chỉ họctoán trong một học

kỳvà đối vớihọ,Lượng giác làmộtphầnrắc rối, không cần thiết và có thế lược bỏ.Thực tế là lượng

giác thực sự không thể thiếu đượcchỉ khi tacầnxét đến các phương pháp chínhđế tính tích phân

Vì vậy, tôi đưa Giải tích hàm lượng giác vào Chương 9để khichuyển sang Chương 10 về cácphương pháp tích phân, sinhviênvẫncòn nhớ tấtcảcácýtưởng trong chương trước Mục 9.1 sẽ tóm

tắt toànbộmônlượnggiác Với hầu hết các sinh viên, đây là dịp ôn lại kiếnthức cần thiết đã được

học (nhưng quên gằn hết) ởphổ thông.Cònvới những ngườihoàn toàn chưađược học lượng giác,

nhữngđiềugiải thích trong phần này đủ chohọ có thểhiểunhữnggì cằn thiết

Với các giáoviên, những người thích dạy lượnggiác sớm hơn - và điều này cũng hợplỷ - tồi đề

nghịcó thế dễ dàng giới thiệu ngay hai mục 9.1 và 9.2 sau mục 4.5, còn các mục 9.3 và 9.4 để sau Chương 6 cần nóithêm làphải thông báovới sinh viênbỏ qua các phần(b), (c) và (d) của ví dụ 2mục 9.2, và không cho các bài tập ở nhà: 15-18 mục 9.2; 12, 16, 17, 29 mục 9.3; và 11, 12 và 24 ởmục 9.4

Phần bài tập: Đối với sinh viên, phần quan trọng nhất trong Giáo trình Giải tích có lẽ là hệ thống bàitập, vì họsẽ phải dành hầu hếtthời gianvà sức lực đeluyệntập Có hơn 5800bài tập trongquyến sách này, bao gồmnhiều bài tập dựphòng cũ quenthuộcvới tất cảcác giáo viênGiải tích có

ngay tò thời Euler và thậm chí sớmhơn Tôiđãcố gắng trả nợ quá khứ bằng cách tạo ranhững bàitập mới bất cứ khi nào có thể Hệ thống bài tập được sắp xếp theo trình tự, bắt đầu với các bài tập

thực hành đơn giản và tăng dần lênvới các bài tập phức tạp đòi hởi trình độ tư duy và kỹ năngcao hơn Cácbàitập khó được đánhdấu hoa thị(*) Nói chung, mỗidạng baogồm gần gấp đôi sốbàitập

mà phần lớn giáoviên muốn chovềnhà, giúp sinhviên có nhiềubàitậpđế ôn luyện

Phần lớncác chương đềucó nhiềubàitập bố sung Nhiều bài trong đó chỉdành để cungcấpkiến

thứcsâu sắc vàđa dạnghơn ởcuối mỗi phần Tuy nhiên, thày cũng nhưtrò nên hết sức cấn thậnkhigiải những bài tập bố sung này, vì một số bài rất khó và tinhtế, mà chỉ những sinh viên kiên trì, cố

gắngmới giải quyếtđược

Cũng cần lưu ý là có một sốphần được rải ra khắp cuốn sách mà hoàn toàn không có bài tậptương ứng Đôikhi những phầnnày được tìm thấytrong các nhóm nhở và chúng chỉ là cách phân

chiatiện lợi củamột chủ đề mà tôicóý xử lý riêng, như cácmục 6.1, 6.2, 6.3 và 6.4, 6.5 Trong cáctrường hợp khác (mục 9.7, 14 12, 15.5, 19.4 và 20.9) việc thiếu cácbàitập ngụ ý làchỉ nên tiếp cận

nhẹ nhàng và lướt qua cácphầnđó

Rải rác trong toàn cuốn sách, có nhiều bài tập dạng “bài tập kế chuyện” Các giáo viên đều biết

rằngsinh viên rất sợcácbài tập kiểu này, vìchúng thường đòihỏisuy nghĩ khác với lệ thường Tuy nhiên, lợi ích của toán học đốivới các khoa học khác nhauđòihỏichúng ta cố gắng dạy sinh viêncáchlàm để thấu hiếu được ý nghĩa củabàitập kế chuyện, phán đoán được cáigì liên quan tới nó, rồidiễn giải nó từ các câu chữthành những bản vẽ vàphương trình Không có những kỹ năng này -

những kỹ năng cần thiết cho cảnhữngsinh viênsẽ trở thành bác sĩ, luật sư, nhà phân tích tài chính

1 Có thể tìm trong cuốn sách nhỏ của tôi, Tóm tắt Toán học sơ cấp, 119 trang, trình bày đầy đủ nhưng gọn và súc tích hơn về Toán pho thông (Đồng tác giả William Kauffman, Los-Altos, Calif 1981).

Chuỗi vô hạn: Nhàtoán học nào xem qua Chương 14 đều thấy ngay: đây là một trong những

chủ đềưa thích củatôi Tôi đã hăng háiphát triển chủ đềnày sâu sắc và chi tiết hơnso với mộtgiáo

trình Giải tích thông thường Tuy nhiên, đế thuận tiện cho những giáo viên không muốn mất nhiềuthời gian quan tâmđến chủđề này, trongChương 13,tôitrìnhbày ngắn hơn, nhưng vẫn đủ đáp ứngcho đại đa số các sinh viên khôngcóýđịnhnghiêncứu sâu hơn toán học cao cấp Những giáo viên

nào thấy chủ đề này làquantrọnggiốngnhưtôithì có thểsửdụng cả hai chương, chương 13 để cungcấp tồngquan cho sinh viên, chương 14 để xây dựngnềntảng vừng hon cho những khái niệmcơ

bản Tinhthầncủahai chương này khá khác nhau nhưngcũng có đôi điều lặp lại

Phưong trình vi phân và Giải tích véctơ: Đây làhai nhánh riêng biệt quan trọng củatoánhọc.Sau môn Giải tích, có the dạy chúng thànhnhững giáo trình riêng, với nhiều thời gian để khai tháchết những phương pháp và ứng dụng đặc biệt của chúng Một trongnhững tráchnhiệm chính củagiáo trình Giải tích là chuẩn bị đường đi tới các môn nâng cao này và nêu ravài bước đầu tiên theo

hướng đó, tuynhiên chuẩn bị đếnđâulàmột vấn đềcòngâytranh cãi Một vài tácgiảvềGiảitích đã

cố gắng đưa hai môn trên như những giáo trình - con vào trong các chương lớn ởcuối sách Tôikhông đồng ývới cách làm nàyvà tin rằng vẫn cómột số giáo viên sử dụng các chương này Thực

ra, tôi thích giới thiệu chủđề Phương trìnhviphâncàng sớm càng tốt (Mục 5.4) và sau đó nhắc lạitheo nhiều cách bất cứ khi nào có thể (Mục 5.5, 7.8, 8.5, 8.6, 9.6, 17.7, 19.9) về phần Giải tíchvéc

tơ, tôi cho là nên kết thúc ở định lý Green, còn định lý Stokes nên dành cho một giáo trình khác

-Đây là một trong các địnhlý sâu sắc vàcó ảnh hưởng rộng rãi nhất trong tấtcả các ngành củatoánhọc Với các giáoviên muốn đưa Giải tíchvéc tơ nhiều hơn vào chươngtrình, tôiđã đưa vào định lýphân kỳ và định lý Stokes- cùng các bài tập- trong các Phụ lục A.22 và A 23 (nằm trong quyếnsách: Giải tích nhiều biến số)

Có thể coi việc xét các phụ lục là mộttrong các phương thức chính duy nhất của giáo trình nàykhác hắn với các cuốn sáchtương tự khác Bâygiờ, tôi sẽ bình luận ngắn gọn vấn đề này Trướchết,

xinnhấn mạnh rằng phần phụ lục hoàn toàn tách biệt với giáo trình chính vàcó thể phải nghiên cứu

cấn thận, đôikhirất sâu sắc, hoặc có thể bỏ qua hoàn toàn, tùy theo ý định của mỗi sinh viên haygiảngviên

Phụ lục A Saunhiềunăm dạy Giảitích,tôiđã thu thập được một sốnhữngchủđề đáng chú ý từcác lý thuyết, hình học, khoa học, Tôi đãdùng chúng đế nhập đề và đế liên kết với các chủ đề

khác đồng thời cũngđểphá bỏ lệ thường,gợi hứngthú cho người học Nhiều sinhviên của tôi đã thíchthú khai thác những “thỏi vàng” này Tôi đã thu thập được phầnlớn các chủ đề này trong phụ

lục A với hy vọng sẽ làm thay đối quan niệm về toánhọc là môn cựckỳ thú vị chứ không nhàm chán

và buồn tẻ

Phụ lục B Phần này đưa ratiếu sửngắn gọn củacác nhà Toán học, từ thuở sơkhai đến giữa thế

kỷ XIX.Phụ lục này có hai mụcđíchchính:

Thứ nhất, tôihy vọng có thế “nhân văn hoá” môn học, tạo nên bởicố gắng thiên tài của những

con người vĩđại, nhờ đó gâyhứngthú cho các sinh viên về các vấn đề đang học.Tâm trícon ngườithường tránh né cácbài toán đặt ra,không muốn tiếpcận, tránhtiếp xúc, muốn thay đối chủ đề,hoặc nghĩ về một điều khácđánggiáhơn Những ngườinày - chiếmđa số nhân loại - luôntìm kiếm sự an

ủi và hài lòngvới những cái đã biếthayquen thuộc; tránh né những điềuchưabiết hoặc chưa quen

với mình, như thê tránh sa mạc và rừng rậm Họ khó có thê kiên trì suynghĩ vê một bài toánphức

tạp, như ta khó có thế ghép các cực bắc của hai nam châm mạnh với nhau Ngượclại, có một số

2 Tôi không thể bỏ qua một bài tập kể chuyện cổ điển xuất hiện nhiều năm trước trên Tạp chí New York “Bạn có biết những bài toán số học dễ sợ về ” và đây là một bài toán như vậy: “Cha tôi 44 tuổi, con chó của tôi 8 tuổi Nếu con chó cũng sống như người đến 56 tuổi Hỏi tới khi đó, tuổi cha tôi cộng tuổi chó là bao nhiêu?”

mậtcủa chúng Chínhnhững con ngườiđóđàdạychúng ta phần lớn những kiến thức và công việc

cóthể làm, từ bánhxevà đòn bấy đến ngành luyện kim và thuyết tương đối Trongphụ lục này, tôi

đã viếtvề một số nhà Toán học tiền bối như vậy vớihyvọngđộng viên những ngườitrong thế hệ

tiếp theo

Mụcđích thứ hai củatôiliên quan đến một thực tếlà nhiều sinhviên trong ngành xã hội và nhân

văn bịbuộc phải học Giải tích theo chương trình đào tạo Những liên kết sâu sắc giữa toán học vớilịchsửvàtriết học,với các trithứcrộng hơn và lịch sửxã hội của nền văn minh phương Tây có khả

năng tác động đến cácsinhviênthờ ơ này, làmcho họ thêm saymêvàhứngthú

Phụ lục c Trong giáotrình, tuỳ theo bản chất của nội dung được đề cập đến mà mức độkhó

được tăng lên hay giảm xuống Trong các chương về hình học, tôi đãđưa tri giác vào cùng vớimô

tả trực giác nêncó thể tiếp thu dễ hơn.Trong chương nói về chuỗi vô hạn lại không phải như vậy

Neu không nghiên cứu kỹ lưỡng, ta sẽkhông thế hiếu được bản chất của nó Tôi luôn cholà hầuhết các sinh viên, do lợi ích bảnthân, thường khôngquan tâm lắm đến những lập luận thuần tuý toán học,vì thế tôi đã cố gắnghết mức để làm giảm nhẹ các vấn đề nàyvàchỉ đưa vào nhữngđiều

thật cầnthiết Tuy nhiên, mộtsố sinh viên hamthích lýthuyết và một sốgiảng viên cũng thấy là về

nguyên tắc cần cho các sinh viên có được một số kiến thức nào đó về lý thuyết,giúphọ hoàn thiện hơn Phụ lục c baogồm hầu hếtcác nội dung lýthuyết thích hợpđenghiêncứu Giải tích theo một

cáchhình dung tống quát nhất Với quanđiếmtoánhọc thuần túy, các giáo viêncó thế dạy giáo

trìnhnày theo các mứcđộ tinh tế khác nhau, bằng cách dùng-hoặckhông dùng - nhữngnộidung

đã chọn trong phụ lụcnày

Tóm lại, có thể thấy, phần chính của cuốn sách này được viết theo cách truyền thống và liềnmạch, trong khi các phụ lục giúp cho giáo viên với những quan tâm và ý kiến khác nhau soạn ra chương trình phù hợp theo yêu cầu củariêngtừnglớp Tôi đãhướngvào mục đíchđế sách này được

sửdụngthật linhhoạt

Hiển nhiên,mỗidự án nhưcuốn sách này phụ thuộcvào sựnỗ lựchọp tác của nhiều người Với

Ban biên tập, tôi rất cámơn Peter Devine, đã biên tập tốt vớinhiều chỉdẫn hay và luôn đếcho tôi đi

theo con đường riêng của mình; Cảm ơn Jo Satloff, Trưởng ban biên tập, làm cho tồi thấy rõ sự thôngcảm, tế nhị vàtínhchuyênnghiệp cao trongcông việc; Cảm ơn nhà thiếtkế Joan O’Connor, với thiệný lắngnghenhữngđềxuấtnghiệp dư, làm cho tôi thực làcảmkích

Tôi cũng trân trọng cảm ơn các phản biện: Joe Browne, Trường công nghệ cộng đồngOnondaga; Carol Crawford, Học Viện Hải quân Mỹ, Bruces Edwards, Đại học Florida; Susan L.Fridman, Trung cap Baruch, Melvin Hausner, Trường Đại học New York; Louis Hoelzle, Trường

Country Community; Stanley M Lukawecki, Đại học Clemsom; PeterMaserick, Trường Đại học

bang Pennsylvania; và David Zitarelli, Đại học Temple Những ngườinày đã chia sẻ kiến thức và

nhận xétvớitôi trong nhiều vấn đề quan trọng

Chắc chắn sẽ còn những thiếu sót và sai lầm, mà ngoài tôi ra, không ai phải chịu trách nhiệm.Tôi sẽ rất hoannghênhnếu các bạnđồng nghiệp, cũngnhư bạn đọc và sinh viênvui lòngthôngbáocho tôi bất kỳ sai sót nào tìmđược, để có thesửa giáo trình trong những lần xuất bảnsau

George F.Simmons

CÓ thếnói,không tác giả nào cố ý viếtmộtcuốn sách khôngngười đọc Vì vậy, chúng tôi đã

gắng làm tất cả những gì có thể và hy vọng là tốtnhất Dĩnhiên, tôi cũnghyvọngrằngvăn phongcủa mình dễ hiểu và giúp được sinh viên, nhưng cuối cùng chỉ có các bạn mới có thể đánh giá điềunày Tuy thế, mộtđiềurất cần cho chúng ta - giáo viênhay sinh viên cũngvậy - là gợiỷ thêm cho

các sinhviêncáchđọcsáchtoán,cáchđọc này khácxa với cáchđọctiểuthuyết hay báochí

Trongchương trìnhtoán cao cấp, phần lớn sinh viên có thói quen làm bài tập về nhà ngay, họ

không kiên nhẫn trước sốbàitập nặng nề vàmuốnlàm chúng choxong, càngnhanhcàng tốt Chỉkhi

nào khôngthế làmđượcbài tập, nhữngsinhviên này mới chịu đọc phần giảithích trong giáotrìnhlý

thuyết Điều này là cách làmkỳ cục, vô lý, giống nhưviệc xỏ giầy trướckhiđitất Tôi đề nghị cácsinhviên, đầutiênnênđọc phần lý thuyết, sau khỉ và chỉ sau khỉhiếuthấuđáo lý thuyết mới làmbàitập Suy cho cùng, mục đích của những bài tập này chỉ nhằm khắc sâu những ý tưởng và những

phươngpháp đã được phát biếu vàgiảithích trong phần lý thuyết

Với một quyến sách kiếu này, sinh viên nên đọc phần lý thuyết thế nào? Nên đọc chậm và đọc

kỹ, cần nhậnthức sâu sắc rằng có rất nhiều chi tiếtquan trọng đã bị bỏqua một cách cố ý.Neu cuốn

sách này bao gồm mọi chi tiết cần thảo luận thì nó sẽ dài gấpnăm lần, ai cho như vậy! Cómột câungạnngữ cố củaPháp: “Ai muốn giải thích mọi điều ngaylập tứcsẽ thấy như mình đang trò chuyện

trong mộtcănphòng rỗng” Mọitác giảcủaloại sách này thường cố gắngđể không nóiquá nhiều và

tính toán đã được bỏ qua Những cách viếtnhư vậy gợiý cho sính viên thấy đây hắn là một ý tưởng

hay, nên đọc và hơnnữa nênđọc cần thận để hiểu được cảnhững chi tiết bị bỏ qua, hoặc có thể ghi

ragiấy đểkiểm tra lại những phéptínhchưa liệt kê đầy đủ Tiện hơnnữa,bạn đọc có thế dùng luôn

lề trong mỗi trang, đế ghi vào đó những trọng tâm, các câu hỏiphátsinh,thực hiện những phép tính

ngắn và sửa nhữnglồi inấn

LỜINÓI ĐẦU 3

4.1 Hàmtăngvàhàmgiảm, cực đại và cực tiêu 119

4.3 Nhữngbài toán ứngdụng cực đại, cực tiểu 127

4.6 Phương pháp Newton đếgiảiphương trình (tuỳchọn) 149

4.7 Những áp dụng đối với kinh tếvà kinh doanh (tự chọn) 151

Chương 5 TÍCHPHÂN BẤTĐỊNH VÀ PHƯƠNGTRÌNH VI PHÂN 169

5.3 Tích phân không xác định - tích phân bằng phép thế 176

5.5 Chuyển động dướilực hấpdẫn vận tốc thoát và nhữnglỗđen 185

6.2 Bài toán về diện tích 196

6.4 Tínhdiệntíchcủamiền hình thang cong.Định nghĩa tích phân 199

8.5 ứng dụng - tốc độ tăngtrưởngdân sốvàsự phân rã phóng xạ 2578.6 Cácứng dụng khác Kiềm chếtăngtrưởngdânsố 260

9.3 Tích phân các hàmsinxvà cosx Bàitoáncáikim 278

10.6.Phươngpháp phân thức đơn giản 315

Chương 12 CÁCDẠNG VỒ ĐỊNH VÀCÁCTÍCHPHÂN SUY RỘNG 357

12.2 Giới hạn vô định dạng 0/0 và quy tắcL’Hospital 359

14.7 Tiêuchuấnchuỗi luânphiên (đandấu) Hội tụtuyệt đối 435

15.2 Một cách nhìn khácvề đường tròn và Parabol 481

15.6 Phương trình bậchai Phép quay trụctoạ độ (tự chọn) 502

16.2 Đồ thị của một số phương trình cực khác 515

16.3 Phương trình cực củacác đường tròn, đườngcônicvàcácđường xoắnốc 521

Chương 17 PHƯƠNGTRÌNH THAMsố.VECTƠ TRONG MẶT PHANG 545

17.2 Đườngcycloid và cácđường cong đồng dạng (tự chọn) 554

17.4 Đạohàmcủahàmvéc tơ, vậntốcvàgiatốc 570

17.6 Cácthành phần tiếp tuyến và pháp tuyến củagiatốc 584

17.7(Tự chọn) CácĐịnh luậtcủa Kepler và Định luật vạn vật hấp dẫncủaNewton 589

Chương 1

1.1 GIỚI THIỆU

Chúng ta đều biếtthế giới mà chúng ta đang sống luôn bị chi phối bởisự vận động và thay đối

Trái đất di chuyển quanh mặt trời; sự gia tàng của các lớp vi khuẩn, một hòn đá đuợc ném lên,

chuyển động chậm dầnròi dừnglại, sau đó rơi trở lại trái đất với tốc độ tăng dần; các nguyên tố

phóng xạ bịphân rã.Đây chỉ làvài ví dụ tronghàng loạt các hiện tượng mà toán học chính là trunggian tự nhiên nhắt giữathôngtin vàtri thức Cách đây 300 năm, Galile đã nóirằng: “Cuốn sách vĩ

đại củatự nhiên đượcviết bằng cácký hiệu toán học”

Giảitích làmột phần củatoán học với mục đích đầu tiên lànghiên cứusự vậnđộng và thay đổi

Đó làmột công cụkhông thế thiếu của quátrình suy nghĩ trong hầu hếtmọi lĩnh vựckhoa học thuần

túy và ứng dụng - trong vật lý, hóa học, sinhhọc, thiên văn học, địachất, thiết kế và thậm chí trong

cả một số ngành khoa học xãhội Nó cũng được sử dụng nhiềutrong những ngànhtoán học khác,

đặc biệt là tronghình học Theo tiêu chuẩn nào cũngvậy, phương phápvà nhữngứngdụngcủa Giải

tích luôn được coi là một trong những thành tựu trí tuệbậc nhất trong nền vănminh

Đối tượng nghiên cứu chủỵếu trong giải tíchlà hàm số Nhưng hàm số là gì? Nóimột cách đơn

giản nhất, hàmsố là một quy tắc hay luật lệ chỉ ra sự phụ thuộc về lượng của mộtbiếnnày đối với

một biếnkhác Đâylàkhái niệm baotrùm trong những môn khoa học chínhxác Nócũng mang đến

cho chúngtaviễn cảnh của trithức vàsự liênkếthiệntượngtự nhiên bằng bộ máy toán họccủamộtsức mạnh vĩ đại đôikhi huyền bí Trongcông việc của tấtcả chúng ta, khái niệm về hàm số cực kỳ

quan trọng đến mức cần hiểu về nóthật rõràng, tránh sự nhầm lẫn Mục đíchđó chính làchủ đề củachươngnày

Những phần sau đây chứanhiều nộidung mà các độc giảđãtừnghọc trước kia Tuy vậy, chúng

cũng cho ta cơ hộiđểtồng kết và nhớ lại kiến thức Nhữngngười cảm thấy nhàm chánkhiđọc mãinhững kiến thức cũ có thế khámphá ra những mấu thông tin và những thử thách thú vịtrong phầncâu hỏiở cuối mồi chương.Chương nàychỉcó mục đích tống kết Nócó thể được nghiên cứu mộtcách cấn thận hay lướt qua, hoặc thậm chí hoàn toàn bỏ quatuỳ theo trình độ của độc giả vấnđề chínhyếu củagiáo trình thực sựbắt đầu từ chương 2 và rất tiếc nếu có một sinhviên nào đó thấycó

nhiều khó khăn hơn làtìm được nguồn bố trợ trong chươngđầutiênnày

hiểu sâuhơn về bản chấtcủacác số thực thì có thể tham khảo phần phụ lục c.1 ở cuối sách

Tính từ “thực” được dùng đế phân biệt những số này với những số như là ỰTĨ ? được coi là những số “không thực” hay “ảo”.

Hệ thốngcác số thực bao gồm nhiều dạng số, đặc biệt đáng quan tâm là:số nguyên dương(hay

Ghi chú : với mỗi số dưong a, kýhiệu 77 luôn cónghĩa làcăn bậc hai dương của a Nhưvậy,

7Ĩ bằng2,chứkhông thể bằng (-2), mặc dù(- 2)2 = 4 Nếu muốn chỉ rõ cả hai kết quả của cănbậchai của 4,chúng taphảiviết±74 Tương tựnhưvậy, 77 luôn có nghĩa làgiá trị dươngcủacănbậc n của a

TRỤC THỰC

Việc sử dụng các số thực để đođạc được phản ảnh theo thói quen bằng cách mô tảnhữngconsố

này trên hình vẽ bằng cácđiểm biểu diễntrênmộtđường thẳng nằm ngang

◄ -►

Khoảng cách đơn vị

Hỉnh ĩ ỉ Trục thực

Sựmô tả này bắt đầuvới việc lựa chọnmột điểm tuỳýnhư là một điềm gốc (điểm 0), vàđiểm

tuỳ ý khác ở phía bên phảicủa nó (điểm 1).Khoảng cách giữa hai điểm này(khoảng cách đơn vị)được coi như mộttỷ lệ xích, nhờnóchúng ta có thế đặt trên đường thángnhững số nguyên dương

hay âm, cũng như số hữu tỷ, như mô tả trên Hình 1.1 Chúng ta cần đặc biệt chú ý là tất cả các số

dươngnằm bên phải số 0 và tấtcả các sốâm nằm phía trái Cách đặt điểm số thậpphânđược biếudiên ởHình 1.1 cho sô 4=24: khoảng cách giữa 2 và 3 được chia nhỏ bởi hai diêm thành 3 đoạn

băng nhau, và diêm chia đâu tiên trong đoạn này là diêm 2 -.Phương pháp sử dụng những đoạn chia

nhỏ bằng nhau này đượcdùng để xác định những điểm trên đường thẳng tương ứng vớisố thậpphân

nào đó Hơnnữa, sựtương ứng giữa số thập phân và các điếm có thể mở rộng chosốvô tỷ, vì nhưchúngta sẽ thấy ở cuốimụcnàykhaitriểnthập phân củasốvôtỷ, như là:

72=1,414 , 73 = 1,732 ,71 = 3,14159

có thể biểu diễn bằng mộtdãycácđiểm dẫn tớivị trí chínhxáccủađiểmtươngứng

Tacó thế mô tả tương ứng “một- một” giữa tất cả các số thực và các điểm trên đường thắngđược thiết lậpbởi nhữngsố này theo nhữngtoạ độ tương ứng.Đường thẳng có toạ độ này được gọi

làtrục thực(hay đôikhigọi là trụcsố) Đây làcách thuận tiện và thông dụng đếhợpnhất một cách

logic hai khái niệm khác nhau vềhệ thống các sốthực vàtrục thựcvà chúngtacóthế nói mộtcách

thoải mái về các điểm trên trục thực như là những số thựcvàngược lại, về nhữngsốthực cũng lànhững điếm được vẽ trên trục thực Như vậy, các cáchdiễn đạt hỗn hợp như là “điếm vô tỷ” và

“đoạnnằmgiữa 2 và3” là hoàntoàn tự nhiên vàsẽ được sửdụngkhông cần giải thích thêmtrong

những phần sau

BẤT ĐẲNG THỨC

Sự tiếp nối tuyến tính từtrái qua phải của các điếmtrêntrục thựctương ứng vớimột phầnquan trọng trong mônđại số của hệ thống số thực, liên quan đến các bất đắng thức Những ý tưởngnày có tầmquantrọngđốivới Giải tích hơn là với các giáo trìnhtoán học sơ cấp, vì thế chúng ta nhắc lại

một cách ngắn gọn mộtsốđiếmcần thiết

Ý nghĩa hình học củabất đắng thức a < b (đọc là a nhỏ hơn b) đơn giảnlàa nằm phía bên trái b\

bất đắngthức tương đương b > a (b lớn hơna) có nghĩa là b nằm phía bên phải của a. số a dương

hayâm tương ứng với a > 0hoặc a < 0 Những quy tắcchính được sử dụng trong quá trình làmviệc

với bất đẳng thứclà:

1 Neu a > 0vàb < c, thì ab < ac.

2 Neu a < 0vàb < c, thì ab > ac.

3 Neu a < b, thìa + c < b + c với mọic.

Quy tắc 1 và 2 thườngđược diễn tả là một bất đẳng thức khôngđồi chiềutrong phép nhân với

sốdương và đối chiềutrong phép nhânvới dấu âm Quy tắc 3nói làbất đắng thức không đối chiều

khi cộng vào hai vế một số bất kỳ(dươnghoặcâm) Ta thường thay thế bất đắngthức a > b bằng

bất đẳng thức tươngđươnga - b > 0, và quytắc 3thường được dùng để thiết lập bất đẳngthức

tươngđương

Neu ta muốn nóisốa dương hoặc bằng không, chúng ta có thế viết a >0 và đọc là “ữ lớnhơn hoặc bằngkhông ” Tương tự như vậy a > b có nghĩa là a > b hoặc a = b. Nhưvậy, 3 > 2 và 3 > 3

đều làbất đẳng thứcđúng

Chúng tôicũng nhắc lại rằng tíchcủahai hay nhiều số bằngkhôngkhi và chỉ khicó ít nhất một

trong các thừa số của tích bằng không Neu không có bất kỳ thừa số nào bằng không, thì tích số dương hoặcâmsẽtuỳthuộc vào số thừa số âmcủa nó chẵn haylẻ

Giá trị tuyệt đốicủa số a được kýhiệulà I a I và được định nghĩa:

khi a > 0,khia < 0

H-u

Ví dụ, I 3 I= 3,1-21 = - (-2)= 2, và I 01 = 0 Rõ ràng là phép toán tìmgiátrị tuyệt đối giữlại số

dương không thayđối vàthay thế mỗi số âm bởi số dương tươngứng Những tính chất chính của

phép toánnàylà

I ab I = I a 11b I và |a+b|<|a| + |b|

Theo ngôn ngữ hình học, giá trịtuyệt đối của số a đơn giản là khoảng cách từ điếm a đến điểm

gốc Tươngtựnhưvậy,khoảngcáchtừađếnb chính là \a - b\

Để giải phương trình IX + 2 I = 3, chúng ta có thể viết theo dạng I X - (-2)I = 3 và hiểu là

“khoảng cách từ X đến (- 2) bằng3 Dựa vào Hình 1.1, hiển nhiên các nghiệm làX = 1 và X =- 5

Ta còncó thể giải phương trìnhnày bằng cách cho I X + 2 I=3 nghĩa làX + 2 = 3 hoặc X + 2 = - 3,

cácnghiệmlà X = 1và X = - 5 nhưtrên

KHOẢNG

Tập hợp các số thực mà chúng ta hay gặp nhất làkhoảng Khoảng đơn giản là một đoạn trêntrục

thực.Neu các đầumút của đoạn là avàb, thì khoảng này baohàm tất cảcác điểm nằmgiữa avà b

Tuynhiên, chúng ta có thể coi hoặc không coi các đầu mútcủa đoạn nàylànằm trong khoảng

Đe chính xác hơn, giả sử rằng a và b là hai số, với a < b Khoảng đóngtừ a đến b,kýhiệu là[a,b],bao gồm cả hai đầumút,vànhưvậybao gồm tất cả cácsố thực X, thoả mãn điều kiệna <x <b.

Dấu ngoặc đơnđược sử dụng đế chỉ raviệc loại bở điểm đầu mút Khoảng (a, b), bỏ đi cả haiđiếm đầu mút đượcgọi là khoảng mở từ a đếnb,bao gồmtấtcả các soX thỏa mãn điều kiện a < X < b.

Đôikhi, ta chỉ muốn thêm vào một điểm đầumút của khoảng Như vậy, khoảngđượcký hiệu [a,b)

và (a,b] đượcđịnh nghĩa bởi bắt đẳng thứctương ứnga <x < b và a < X <b.Trong mỗi trườnghợp,

số c bất kỳ thỏa mãnđiều kiện a < c < bđược gọi làđiếm trong cùa khoảng (Hình 1.2)

Các điềm đầu mút Điếm trong

Nói đúng ra, ký hiệu a <x <b và [a,b] mang ý nghĩa khác nhau - ký hiệuđầutiên biểu diễnmột

điều kiện cho so X,trongkhiký hiệu thứ hai mô tả một tập hợp-nhưngcả hai đều mô tả cùng một

khoảng Chúng ta sẽcoichúng như nhauvà sử dụng chúng thay thế cho nhau, và độc giả nên làmquen vớicả hai ký hiệu này Tuy vậy, ý nghĩa hình học củaký hiệua <x <b dễnhận thấy hơn và vì

thế, chúng tathườngdùngnónhiều hơn ký hiệu kia

Một nửa đường thẳng thườngđược coi làmột khoảng mở rộng đến vô cùng theo một chiều nào

đó Ký hiệu 00 (đọc là “vôcùng”) thường đượcsử dụng để tạo ra những khoảng nhưvậy Như vậy,

với bất kỳ một số thực anào, khoảng được xác định bởibất đẳng thức a< X vàa >x có thể được viết

là a < X < oo và -co < X <a, hoặc tương đương với (a, oo) và (-00, a] Tuy nhiên, cần nhớ là các kýhiệu co và-00khôngbiểu thị bất cứ số thực nào; chúng chỉ được dùngđể nhấn mạnhrằngX được phép

lớn tùyý (hoặc về phía dương hoặc về phía âm) Như vậy, để dễ nhớ, có thể nghĩ -covà 00 như là

những “con số tưởng tượng” đặt ở “điểmcuối”phíatráivàphíaphải củatrụcthực,nhưtrong Hình 1.3

Cũngnhưvậy, để thuậntiện có thể nóibản thântoàn bộ trục thực cũng làmột khoảng, -00 < X < +oo

hoặc (-00, +oo).

Tập họp các số được biểudiễn bằng cácbắt đẳng thức và giá trị tuyệt đốithường làcác khoảng

Đó là điềurõ ràng, ví dụ, tập hợptấtcả các sốXthỏa mãn điều kiện IX I<2 là khoảng -2 < X < 2

hoặc(-2, 2) Ví dụ dưới đây môtả một vàikỹ thuật hữu ích trong cáctrường hợp khác nhau

Ví dụ: Giảibất phương trình X3 > X.

“Giải” một bất phươngtrình như trên cónghĩa là tìm tất cả các so X làm cho bất phương trình

nghiệm đúng Chúngtabiến đổi bất phươngtrình đầu tiênthànhX 3 -X > ớ, và sau đó chuyển chúng

thành dạng tích

Biểu thức vế trái bằng không khiX = 0; X = -1, X = 7 Ba điếm nàychia trục thực thành 4khoảng, như trong Hình 1.4 Trong mồi khoảng này, biểuthứcX (x + l)(x - ỉ) xác địnhcùng mộtdấu Ví dụ, khi X< -7, ta có thể kiểm chứng đượcrằng cả ba thừa số của biểu thứcđều âm Vì thế,

biếuthức X (x + 1)(x - ỉ) sẽcó dấu âm Khi -1 < X < 0, chúng ta thấy X và X -1 âm, nhưng X + 7dương, vànhưvậy X + 7%x - 7^ sẽdương.Ta thử xétmỗi khoảng theo cách này và đưa racáckếtquả như đã thấytrong hình vẽ Saukhi hoàn thành, ta dễ dàng tìm được các khoảng, trên đó biểuthức (1)thoả mànvàcó thế viết được lời giải: - 7< X < 0 và7< X, hoặc tươngđươngvới (-1,0) và

Điều này lần lượt có nghĩa là điểm tương ứng nằm trên mỗi khoảng đóng sau đâycó các điểmmút là số hữu tỷ: [1, 2], [1.4, 1.5], [1.41, 1.42], Dãy các khoảng “lồng nhau” trên đây được biếudiễntrên Hình 1.5 Vê hình học, rõràng là có mộtvà chỉmột diêmnăm trong tât cả các khoảng này,theo ý nghĩa đó, khai triểnthập phân của 72 có thể hiểu nhưlàmộttập các chỉ dẫn chính xác tới vị

trí của điểm 72 trên trục thực Vì 72 là một số vô tỷ, nó sẽ là điểmtrong của tất cả các khoảng

trong dãy

Có thể nhấn mạnh rằng mục đích củacuốn sách này chủ yếu là thực hành Tuy nhiên,chúng tôithường đưa rathảo luận những câu hỏi “không thựchành” đôichút đế một sốđộcgiảcó the thấy thú

vị và cuốn hút, nhưvídụ làmthế nàođể biết số 72 là vôtỷ? Với các độc giả muốn dành thời gianchocâu hỏi này - và chúng tôi cũngcho rằng các câu trả lời sẽ giúphọbiết thêm về các điểm còn yếucủa mình -chúng tôicung cấp nhữngvấn đề cần suy nghĩ thêm trongphụ lục đặc biệt (xem Phụ lụcA.l trong “Giảitíchnhiều biến số”).

(b) X4 5 *<X2;

(d) X2 - 2 > X ;(f) (2x + l)8(X + 1) < 0 ;

(h) 2x2 + X <3 ;

(j) 4x2+10 X - 6 < 0;(1) X2 +2 X + 4>0

3 Nhớ lại là Vỡ là mộtsố thựckhi và chỉ khi a> 0 Hãytìmgiá trị của X sao cho mỗi số dưới đây

4. TìmgiátrịcủaXđểmỗi biểu thức sau đây dương

5 Bằng vídụcụ thế, chỉ ramệnh đề sauđây khôngđúng:Neu a < b và c < d,thì ac < bd (Mệnh

đềnày đúng, nghĩa là nó phải đúng với mọi số a, b, c, d thỏa mãn các điều kiệnđãnêu Chỉ cần

một ngoại lệ - được gọi làmộtphản ví dụ - đủ đểchúng minh rằngmệnhđề này làkhông đúng)

6. Neu a, b, c, dlàcác số dương thoả mãn —<—, hãy chứngminh:

Hãy chỉ rarằng số (a + b), được gọi làtrung bình cộng củaa và b, là trung điểm của đoạn a <

X <b (Gợi ý: Trung điểm là a cộng thêm nửa chiều dài của đoạn).Hãy tìmcác điểm chia bacủa

khoảng

Nếu 0 < a < b, hãy chứng minh a 2 < b2 và VÃ<VK

Nếu 0 < a < b, số VỠK được gọi làtrung bình nhân của a và b Chỉra rằng a < y[ãb < b

Nếu avàb làsốdương, chứng minh rằng 4ãb <^a + by

1.3 MẶT PHẢNG TỌA Độ

Cũng nhưcác số thựcđược sử dụng làm tọađộ cho các điểm trên đường thắng, mộtcặp số thực

có thể dùng làm toạ độ trên một mặt phang Với mục đích này, sauđâychúng ta thiết lập hệ toạ độ

vuông góc trênmặt phăng

Vẽ hai đườngthăng vuônggócnhau trên mặtphang, mộtđường nằm ngang và đườngkia thắng

đứng, như trong Hình 1.6 Nhữngđường thẳng này tương ứngđược gọi làtrụcXvàtrụcy, giaođiểmcủa chúng đượcgọi làgốc toạ độ. Tọa độ được đặt trên các trục nhưcách đãđược mô tả trước đây,

với điểm gốc là điểm 0 và khoảng cách đơn vịnhư nhau ở cả hai trục Chiều dươngcủatrụcXởphíaphải điểm gốc tọa độ, chiều âm ở phía trái Chiều dương củatrụcy ở phía trên gốc toạ độ và chiều

âm ở dưới

Góc phấn tư

Bây giờ, ta sẽ đặt điêm p ở mộtvị trí bâtkỳtrên mặtphăng Vẽ mộtđường thăng điqua p songsong với trục y, cắt trục X tại điểm có tọa độ là X Tươngtự như vậy, vẽ đường đi qua p, song song

với trục X, cắt trụcytại điểm có toạ độ là y So X và yđược xác định theo cáchnày được gọi là toạ

độ X và toạ độ y của p Đegán cáctoạđộ cho p, ngườita thường viết chúng thành đôi theo thứ tự (x,

y), với toạ độ X được viết trước; ta có thể nói rằng p có toạđộ là(x,y)* Sự tương ứng giữa điểm p và

các toạ độ của nóthiết lập tương ứng “một- một” giữa một điếm bất kỳ trên mặt phang và cặp số

thực có thứ tự; với điếm p sẽ xác địnhđược toạ độ tương ứng duy nhất của nó, và theo quy trình

ngược lại, ta thấy rằng mỗi cặp số thực được sắp xếp thứ tự sẽ xác địnhđược điểm p với toạ độtương úng là những số này Giống như với trục thực,thôngthường không có sự khác biệt giữamột

điếm vàtoạ độ củanó, vàta nói “điếm (x, y)”thay cho việc nói “điếm cótoạ độ là (x, y)”.Toạ độ X

và y củađiếm p còn được gọi làhoành độvà tung độ củađiếm p Độc giảnênđặcbiệtchú ý đến các

điếm (x, 0) nằmtrêntrụcX, các điếm (0, y) nằm trêntrục y và điếm (0, 0) nằm trêngốctọa độ Cũngnhư vậy, hai trục sẽ chia mặt phang thành 4 góc phần tư, như Hình 1.6, và những góc phần tư nàyđượcđặctrưngbởi dấu của X vày: góc phầntư thứ nhất, X > 0 và y > 0; góc phần tư thứ hai, X < 0 và

y > 0; góc phần tư thứ ba, X < 0và y< 0; góc phần tưthứ tư, X>0 và y < 0

đơn giảnnhất Giảsửchiềudài haicạnh góc vuông là a và b, cạnhhuyềnlàc xếp 4tamgiácnhưvậyvào 4 góc của một hình vuông có cạnh là a + b, xem Hình 1.7 Khi đó, diện tích của hình vuông lớn bằng diệntíchcủa4 hình tamgiác vuông cộng với diệntích hình vuông nhỏ, nhưsau:

(a+ b)2 = 4 (-^ ab) + c 2

Trên thực tế, việc sử dụng cùng một ký hiệu cho một cặp số có thứ tự và cho một đọan mở không bao giờ dẫn tới hiểu lầm, vì chúng luôn được xác định được rõ ràng trong từng ngữ cảnh.

Sau khi rútgọn,ta có ngay: a2 + b2 = c2, chínhlà định lý Pitago*.

Một trong nhiều ứng dụng đầutiêncủa định lý này cho chúng ta thu được công thứctính khoảngcách d giữa hai điếm trong mặtphangtoạđộ Neu hai điểm có tọa độ P1= (xi,yi)và P2 = (X2,y2),khi

đóđoạn nối chúng là cạnhhuyền của tam giác vuông (Hình 1.8) vớihai cạnh gócvuông là I X1 - x2

Hình 1.8.

Ví dụ 1 Khoảngcách d giữa các điểm (-4, 3)và (3,-2) trong Hình 1.6là:

d= 7(-4-3)2+(3 + 2)2 =V74

Chú ý rằng khi áp dụng công thức(1), thứ tự hai điếm là không quan trọng

Ví dụ 2 Hãy tìm độ dài củacạnh tam giác màcác đỉnh củanótạobởi 3 diêm P1= (-1, -3),p2 =(5,-1), p* 3 = (-2,10)

Áp dụng công thức (1), độ dài các cạnh là:

P l P1 = 7(-l-5)2+(-3 + l)2 = V4Õ = 2VĨÕ,

p^ = 7(-l+ 2)2+(-3-10)2 =VĨ7Õ,

P2P3 =7(5+ 2)2 +(-l-10)2 =VĨ7Õ

Những phép tínhtrênchỉrarằngtamgiác này cân,vớihai cạnh P1P3và P2P3 bằng nhau

* Những sinh viên quan tâm muốn biết thêm về những con người phi thường, xây dựng nên toán học có thể tìm ở cuối sách (trong Phụ lục B), những nét chính của hầu hết những người có đóng góp được nêu trong giáo trình này.

CỒNG THÚCTÌMTRƯNGĐIẾM

Ta thườngmuốnbiếttọađộ trung điểm của một đoạn nối hai điếm khác nhau chotrước Neu các

điếm cho trước là P1(X1, Ỵ1) và P2(X2, yỉ), và nếu P(x, y) là trung điếm, thì từ Hình 1.9 rõ ràngX là

trungđiểm của hình chiếu đoạnnày trên trục X, và tương tự vớiy Điều này cho chúng ta thấy rằng(xemcâu hỏi7, Phần1.2):

X = X1 + (X2 - X1) và y= yi+ (y2 -yi),nhưvậy:

Hình 1.9.

Cáchkhác đế tạothànhcông thức này làchú ý đếnHình 1.9, ta có X - X1 = X2 - X, như vậy 2x=

X1 + X2 hoặc X = — (X2 + X1),cũng lập luận nhưtrên, ta cóy Tương tự,nêu p là điêm chia ba đoạn

nốiP1 và P2 thì cáctoạ độ của nócũngcó thể tìmđược vớiX và ylà các điểm chia 3 tương ứng củacác hình chiếu đoạn nàytrêntrục Xvàtrụcy

Ví dụ 3 Trong một tam giác bất kỳ, đoạn nốitrung điểm của hai cạnhbao giờ cũngsong song

với cạnh thứ ba và có độ dài bằng nửa cạnh này Để bắt đầuchứng minh điều này, chúng ta chú ỷ

rằng tamgiác luôncóthể được đặtở vị trínhưở Hình 1.10, với cạnh thứ ba nằm trên phía dươngcủa

trục X và điếm đầumútphía trái trùngvới gốc toạ độ Sau đó, taxác định trung điếm của hai cạnh

còn lại, như tronghìnhvẽ và thấy rằng hai trungđiểm nàycó chung toạ độ y,đoạn nối giữachúng

song song với cạnhthứ ba nằm trên trục X.Độ dài của đoạn này đơn giản là sự chênh lệch toạ độ Xcủahai trung điểm

a + b b _a

2 2_ 2tức làmột nửa chiềudàibằngcủacạnh thứ ba

Ví dụ trên mô tả cách sử dụng các toạ độ để chứng minh các định lý hìnhhọc bằng đại số.Phương thứcđượcdùng ở đây làđặt hình vàonhững vị trí thích họp trong hệtoạđộ - hoặc tương tự,

chọn hệ toạđộtheomột vịtrí thích hợp với hình - với mụcđích đơn giản hóa các phép tínhđại số

3 Chứng tỏ ràng điểm(6, 5)nằmtrên đường trung trực của đoạn nối hai điểm (-2, 1) và (2, -3)

4 Chứng minh rằng tamgiác có đỉnh làba điểm (3, -3),(-3, 3)và (3 V3,3 V3 ) làtamgiácđều

5 Điểm (2, -2) và (-6, 5) là haiđiểm đầumút của đường kính một đường tròn Hãytìmtâmđiểm

vàbán kính đường tròn đó

6 Tìmcácđiếmcókhoảngcáchđếnhai trụctoạđộ bằng khoảngcách đến điểm(4, 2)

7 Hãytìmđiểmcách đều ba điểm ( -9, 0), (6, 3), (-5, 6)

8 Neu avàblàhai sốbất kỳ,chứng minh là:

(g) Các điểm (a,b)và (a, -b)là đối xứng với nhau qua trụcX

(h) Các điểm (a,b)và(-a, b) là đối xứng với nhau qua trục y

(i) Các điềm (a,b) và(-a,-b)là đối xứng vớinhau gốctoạđộ

9 Điểm (a, b)và(b, a) sẽ đối xúng nhau theokiểu nào?

10 Trong mỗi trường hợp sau, đặt những hình tương ứng vào vị tríthíchhợp trong hệ toạ độ đế

chứng minhmệnhđềđã cho bằng phương pháp đại số:

(j) Đườngchéocủa hình bình hành cắtnhautại trung điếm mỗi đường

(k) Tống bình phươngcủacác đường chéo hình bình hành bằng tống bình phươngcác cạnh.(l) Trung điểm cạnh huyền mộttamgiác vuông cách đều bađỉnh

Sử dụng kết quả câu(c) để chứng tỏ rằngkhi hai góc nhọn của tam giác vuông là 30° và 60°,

cạnh đối diện với góc 30° bằng nửa cạnhhuyền

11 Trongtam giác vuông cân, cảhai góc nhọn đều là 45° Nếu cạnh huyền là h, hãytính độ dài haicạnhgócvuông

12 P1 =(xi,Ỵ1) và P2= (X2, yỉ) làhai điểm phân biệt Nếup= (x, y) là điếm nằmtrên đoạn P1P2và

chiaba khoảng cách từ P1 đến P2, chứng minh rằng:

X = -ị(2xi + X2) và y = I(2yi + y2)

Hãytìmcác công thứctương ứng với trường hợp p chiakhoảngcáchtừ P1đến P2 theo tỷ số: 2/3

13 Cho một tam giác bất kỳ có bađỉnh là (xi, yi), (x2, 72) và (x3, y3) Hãy tìm điểmnằm trên mỗi

trung tuyến và chia khoảng cách từ đỉnh đến trung điểm cạnhđối diện theo tỷsố: 2/3.Hãy tính

riêng cho từng trung tuyến đề thấy rằng bađiểm này trùng nhau, với tọađộ là:

ĐỘ DỐC CỦAMỘTĐƯỜNGTHẰNG

Bất kỳ đường thắng không nằm ngangnàođều có mộtsốtươngứngđếchỉ phương của nó,gọi là

độ dốc Sốnày được định nghĩa nhưsau (Hình 1.11)

Hình 1.11

Chọn hai điểm bấtkỳtrênđườngthẳng, P1=(xi, yi)vàP2 = (X2, 72) Khiđó, độ dốc được ký hiệu

làmvà được xác định bởicông thức:

x2 - XjNeu tađảo theo thứ tựphép trừ ở cả tủ’ số và mẫu số, khi đó dấu củacả tử số vàmẫu số sẽ thay đồi nhưng độ dốcmkhôngđổi:

phụ thuộc vào vị tríchọn điếm P1 và P2 trênđườngđó Dễ dàng nhận thấyviệc dịch chuyến P1 vàP2

đến những vị trí khácnhau trên đườngthắng sẽ tạo nênnhững tam giác vuông đồng dạng, vìthế mà

tỷ số trong (1) không thay đổi

y '

Hình 1.12 Các độ dốc khác nhau

Neu tachọn vị trí P2 sao choX2 - X1= 1, cónghĩa là nếu ta chọn điếm P2 ở phía phải P1 vàcách

P1 một đơn vị, khi đó độ dốc m = y2 -yi.Điều này cho tathấyrằng độ dốcchính là sự thay đối củatoạ độ y,khi điểm (x, y) chạy trênđường thẳng để tăngX lên một đơn vị Lúc này y có thể dương, âmhoặc bằng0,phụ thuộc vào hướng của đường thẳng Ta có thể thấy mối tươngquan giữa dấucủađộdốc m và hướng củađườngthắngnhưsau:

m > 0; đường thẳng đi lên về phía phải;

m < 0; đường thắng đi xuống về phía phải;

m = 0; đường thẳng nằm ngang

Hơnnữa, giá trị truyệt đối của m là số đođộ dốc của đường thắng (xem Hình 1.12) Rõràng từ

biểu thức(1) ta thấy vì sao đườngthẳngđứngkhông có độ dốc, vìtrong trường họp này haiđiểm có

toạđộ X bằng nhau, vìthếmẫusố của biểu thức (1) bằng không

Nếu đường thẳng đang xét cắt trục X, góc ơ giữa chiều dương của trục Xvớiđường thẳng, tính

ngượcchiều kim đồnghồ,đượcgọi làđộ nghiêng -đôi khi làgóc nghiêng - củađường thắng Cácsinhviênđãhọclượnggiác sẽthấytrong Hình 1.11, độdốc chính làtangcủa góc này, m = tan ơ

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Một đường thắngđúng trên thực tế có đặc tính làmọi điểm trên nócó cùng mộttoạ độX Neu

đưòng thang này cắttrục X tại điểm (a, 0), thì mọi điểm (x, y) nằm trênđường này khivà chỉkhi

(a, 0)

Hình 1.13

Tiếptheo, taxét đến những đường không thắng đúng, và đựơc coi là “đã cho” nếu tađãbiếtmột

điểm(xo, yo) trên đường vàđộ dốc m của nó (Hình 1.14) Neu (x, y) là mộtđiếm nào đó trên mặtphẳng khôngnằm trên đường thẳng đứng điqua (xo, yo), thì dễ dàngthấyrằngđiểm này nằm trênđường thắng đãcho khi và chỉ khi đường tháng đượcxác đinh bởiđiếm (xo, yo) và (x, y) có cùng một

độ dốc nhưđườngthẳng đã cho:

y-yọ

(3)

Điều này sẽ tạo nên phương trình đường thẳng ngoạitrù’ mộtnhượcđiểmlàtoạ độ điểm (x0, yo)

-điểm chắc chắn nằmtrênđường thắng-khôngthoả mãn phương trìnhnày(dochúng sẽbiến đối vế

trái thànhdạng biếu thứcvôđịnh0/0) Tadễ dàng loại bỏnhượcđiếmnàybằngcách viết phương trình (3) dưới dạng

Tuyvậy, chúng ta vẫnthường ưa thíchdạng(3) hơn, do liên quan trực tiếp giữa dạng này với ýtưởng hình họcđượcmô tả ở Hình 1.14cóvẻ dễ nhớ hơn Cảhai phương trìnhnày đều được gọi là

phương trình điếm - độ dốc củađường thắng, bởi lẽđường này được xác định ngay từđầukhi đã biết

một điếmtrên đó vàđộ dốccủanó Đehiếurõ hơn vềý nghĩa của phương trình (4),hãy tưởng tượng một diêm (x, y) chạy trên đường đã cho Trong khi diêm này di chuyên, tọa độXvà y của nó thay

đối; nhưngdù thay đôi, cáctoạ độ này luônràng buộc lẫn nhau bằng một quanhệcố định được mô tả

bởi phươngtrình(4)

Neu xảy ra trường họpđiểmđà biết trên đường thắng trùng với giao điếm của nó và trục y, và nếu điểm này đượcký hiệu là (0, b), thì phươngtrình (4) trở thành y - b= m X hoặc

Số b đượcgọi làkhoảng chắn - ycủađườngthăng, và (5)đượcgọi làphương trình đọan chắn

-độ dốc củađường thẳng.Dạng này rất tiện vìnócho tamộtcái nhìn khái quát về vị trívàhướngcủa

một đường thắng.Ví dụ, nếuphươngtrình

vẻ (6) và (7) làhai phương trình khác nhau, (6) chota “một” phương trình đường thắng,còn (7)sẽ là

một phương trình đường thắng “khác”.Tuy vậy, chúng tanêncoi chúng chỉ lànhững dạng khác nhau

củamột phương trình Có thểcó nhiều dạngkhác nhau củamộtphuơngtrình, changhạn:

trường họp thăng đứng hay không thăngđứng Vìlý do này màphương trình (8) đượcgọi làphương

trình tông quát của đường thăng.

ĐƯỜNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNGVUÔNG GÓC

Hai đườngthẳngnghiêng với độ dốc là mi và m2 là hai đường thẳng song song khi và chỉ khichúng có độ dốc bằng nhau:

mútphía phải của đoạn này vẽ mộtđoạnthắng đứng lên trên và một đoạnthắng đứng xuống phíadưới Từ ý nghĩa của các độ dốc, hai tam giác vuôngđược vẽ theo cách này sẽcóđộ dài cạnh bêncònlại làmi; m2 Vìcácđường thẳng vuông góc với nhau, ta có cácgócđược đánh dấu bằng nhau vàhai tam giác này là đồngdạng Tính đồng dạng này làm cho các tỷ lệ của các cạnhtương ứng phải

bằng nhau:

—L = <^>mi.m2 = -l

1 -m 2

Điều này tương đương với (9), vì thế khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì hệthức (9)

đúng Có thế dễ dàng đảo lại kết luận vừa nêu, tức là nếu (9) đúng, thì hai đường thắngnày vuông góc với nhau Vì phương trình (9) tương đương với:

mx = -và m2

ta thấyrằng hai đường thắng nghiêng vuônggócvới nhau khi và chỉ khiđộdốc của một đường là

nghịch đảo củasố đối độ dốc đườngthắngkia

Các ý tưởng trong phần nàychota những công cụmạnh hơn đế chứng minhcác định lý hình học bằng phương pháp đạisố

Ví dụ: Nếu các đường chéo của một hình chừ nhật vuông góc với nhau thì hình chừ nhật này là

hình vuông Đe xácđịnhđiềunày, chúngtađặt hình chữ nhậtvào vị trí thích hợp nhưtrongHình 1.16

2 Vẽcác bộ 3 điểm chodưới đây, trong mỗi trường hợp hãysử dụng cách tính độ dốc đểxác định

bađiếm này có nằm cùngtrên một đường thắng haykhông?

(a) (5,-1), (2, 2), (-4,6);

(b) (1,1),(-5,-2),(5,3);

(c) (4, 3), (10, 14), (-2,-8);

(d) (-1,3), (6,-1), (-9, 7)

3 Vẽcác bộ 3 điểm chodưới đây, trong mỗi trường hợp hãysử dụng cách tính độ dốc đểxác định

bađiểm này có tạonên một tam giác vuông hay không?

(a) (2,-3), (5,2), (0,5);

(b) (10, -5), (5, 4), (-7,-2);

(c) (8,2),(-1,-1),(2,-7);

(d) (-2, 6), (3,-4), (8, 11);

4 Hãy viết phương trình mỗi đường thẳng trong Bài tập 1 bằng cách sử dụngdạng phương trình

điểm -độ dốc, sau đó viếtlạicác phương trình đường thắng này bằng cách sử dụng dạng y= mx

+bvàtìm điếm chắn-y

5 Tìmphương trình của đường thăng:

(e) qua điếm(2,-3)vớiđộ dốclà-4;

(f) qua điểm (-4,2)và (3, -1);

(g) có độ dốc bằng 2/3 và điểm chắn - y bằng-4;

(h) qua diêm (2,-4)vàsongsong với trục x;

(i) qua điếm(1, 6) vàsongsongvớitrục y;

(j) qua điếm(4,-2)vàsongsong với đường X + 3y =7;

(k) qua điểm (5, 3) và vuông gócvới y + 7 = 2x;

(l) qua diêm (-4, 3) và songsong với đường thăng xác định bởihai diêm (-2, -2) và (1, 0);(m) là trung trực của đoạn nối hai điểm (1,-1) và (5, 7);

(n) qua điểm(-2, 3)vớiđộnghiênglà 135°

6 Neumột đường thăng cắttrục X tại điếm (a, 0), số a đượcgọi là điếm chắn - X Neu một đường thẳng có điểm chắn - X làa+ 0vàđiểmchắn - y làb 0,chứng minh rằng, phươngtrình củanó

có dạng:

a b

Đâylà phương trình đoạn chắn. Chú ý rằngkhi choy = 0ta thấy đường thẳng cắttrục X tạiđiểm

X=a, khi choX = 0, tathấyđường thẳng cắt trụcytại điểm y =b

7 Viết mỗi phương trìnhsau dưới dạng chắn và vẽ đường thắng tương úng

(a) 5x+3y +15 = 0; (b) 3x = 8y - 24;

(c)y = 6 - 6x; (d)2x - 3y = 9

8 Tập hợp cácđiểm (x, y) cách đềuhai điểm P1 =(-1, -3) và P2 = (5, -1) làđường trung trực của

đọan thẳng nối hai điểmđó Hãytìm phương trìnhcủađường trung trực này

(o) bằngcáchchokhoảngcáchtừ (x; y)đếnPivà P2 sau đó rút gọn phương trình thu được;(p) bằngcáchtìm trung điếm củađoạn đã chovàtìm độ dốc phù hợp

9 Vẽ đườngthắng 3x + 4y = 7 và X-2y = 6, tìm giao điểm của chúng Gợi ý: Giao điểm củachúnglà điếm (x, y)màcáctoạ độ củanó thoa mãn đồng thời cả haiphương trình

10 Hãy tìmgiao điếm củacác cặpđường thăng sauđây:

12 Hãytìmgiá trị của hằng số k để đườngthẳng(k - 3)x - (4 -k2)y+k2 - 7k + 6 = 0

(t) song song với trụcX

(u) song song với trụcy

(v) đi qua điểm gốc tọađộ

13 Chứng minh rằng các đoạnthắngnốitrung điểm củahai cạnhkềnhautrong một tứ giác bấtkỳtạothành hình bình hành.

14 Chứng minh rằng các đường thắngqua một đỉnh bất kỳ của một hìnhbìnhhành và trung điểmcủacác cạnh đối diệnchiabađường chéo

15 Cho (0, 0), (a, 0) và (b, c) là ba đỉnh của một tam giác bất kỳ có mộtcạnh nằmtrên phía dươngtrục X, với điếm mút phía trái trùng với gốctọa độ Biết bình phương của cạnh này bằngtống bìnhphương của haicạnh kia, hãy sử dụngđộ dốcđế chứng tỏ rằng tam giác nàyvuông Như

thếtasẽchứng minh được địnhlý đảo Pi-ta-go

1.5 ĐƯ ỜNG TRÒN VÀ ĐƯ ỜNG PARABOL

Mặt phẳng toạ độ haymặt phẳng - xythường được gọi là mặt phẳng Descartes, X và y thườngđược coi làtoạ độDescartes củađiếm p= (x, y).Từ Descartes cónguồngốc từ Cartesius, làtên La

tinh của triết gia toánhọc người Pháp Descartes, một trong hai người sáng lập chính mônhìnhhọc

giải tích* Ý tưởng cơ sởcủa môn học này rất đơn giản: tìm hiểu tươngquan giữa các điểmvàtọađộcủa chúng để nghiên cứu các vấn đềhình học - đặc biệt làcác tínhchấtcủađường cong - bằng công

cụ đại số Độc giả sẽ thấyý tưởng đóbao trùmcả quyển sách này Nói một cách tổng quát, hình học

làmônhọc của trực giác và thịgiác,trong khi đại số lại giầu khảnăng tính toán, mỗi môn cóthể hỗtrợmônkiatheo nhiều cáchrấthiệuquả

Phần lớn những người đãhọcđại số đều biếttrên thực tế phương trình:

thường để xác địnhđườngcong(đồthị của nó) bao gồm mọi điểmp= (x, y) có toạ độthoả mãn

phương trình đã cho Ngược lại, một đường cong được xác định bởi một số điều kiện hình họcthường có thể được mô tả bằng đại sốnhư dạng (1) Rõràngtheotrực giác, đường thắng là đườngcong đơn giản nhất, và công việc đã làm ở Phần 1.4 cho ta biết rằng các đường thắng trên mặtphang toạ độtương ứng với những phương trình tuyến tínhtheoXvày Bây giờ chúng ta tiếp tục

mô tảbằngđại số một vàiđường cong khác, chúngsẽcó íchnhư lànhững vídụ mô tảtrongmột số

chương sau

ĐƯỜNG TRÒN

Công thứckhoảng cách trong Phần 1.3 thường rất có ích trong việc thiếtlập phương trình đường

congmà hình dạng củanó phụ thuộcvào một hay nhiều khoảng cách

Một trong cácđường cong códạng đơn giản nhất làđườngtròn Đường tròn cóthể coi làtập hợp

các điểm cách một điểmđã cho(tâm)một khoảng cách không đối (bán kính).Nếu tâmlàđiềm (h, k)

và bán kính làmột số dương r (Hình 1.17), vànếu (x, y) là một điểm tùyý trên đườngtròn, thì điều

kiện nói trênlà

7(x-/z)2 + (y-k) 2 =r

* Người thứ hai (cũng là người Pháp) là Fecma, ít nổi tiếng hơn Descartes nhưng là nhà toán học vĩ đại hơn.

Hình 1.17 Đường tròn

Đểchotiệntaloạibở dấu cănbằngcáchbìnhphương hai vế,khi đó:

Đây là phương trình đường tròn có tâm (h, k) và bánkínhr Neu tâm đường tròn trùng vớigốc

toạđộ,thì h = k = 0, phươngtrìnhđườngtròn sẽ là:

Ví dụ 1 Nếu bánkính của đườngtròn là VTÕ vàtâm là (-3, 4), thì phương trình của đường

tròn là:

(x+ 3)2 + (y - 4)2 =10

Chú ý rằngtọađộcủatâmlàcác số được trừ đi từ Xvà y trong ngoặcđơn

Ví dụ 2 Góc nội tiếp trongnửa đường tròn là gócvuông Để chứng minh điều này, ta đặt nửa

đườngtròn có bán kính r vàtâmlàgốc tọađộ (Hình 1.18),khi đó phương trình củanó làX2 +y2 = r2 với y > 0 Góc nội tiếp là góc vuông khi và chỉ khi tích các độ dốc hai cạnh của chúngbằng (-1),nghĩalà:

x-r x + r

Dễ dàngthấy rằngđiềunày tương đương với X2 + y2= r2,đúngvới bất kỳ điểm(x, y) nào trênnửađườngtròn,như vậy đúnggóc nội tiếp làgócvuông

Rõ rànglàbất cứ phương trình nào ở dạng (2) đều cóthể được giải thích dễ dàng dưới dạnghìnhhọc Ví dụ,

được nhận ra ngay lập tức là phương trình đường tròncó tâm (5, -2) và bán kính là 4,những thông

tinnày cho phép tavẽ đường tròn khôngkhókhăn gì Tuy nhiên, nếu phươngtrình này được viết lại

“đơn giản hơn” theo đại số,nó sẽ códạng:

Đây là một phương trìnhtương đương với (4), nhưng được xáo trộn đi, và các hệ số trong đó

không trực tiếp gợi cho tabất cứ điều gì về dạng tựnhiên của đồ thị Đe xác định dạng củađồ thị, tacần phải “xáo trộn lại” để làm xuất hiện dạng bình phương.* Muốn vậy, tabắtđầu bằng cáchviết lại

phương trình (5)theodạng:

(x2-10x+ )+(y2 + 4y+ ) = -13

với hệ số tự do được chuyến sang vế phải và các vị trítrốngsẽ được điền vào nhữnghằng số thích

hợp Khi đó bình phương của một nửa hệ số của X được thêm vào vị trí trống đầu tiên và bìnhphương của một nửa hệ số yvào vị trí trống thứ hai, và để cân bằng hai vế, ta cũng phải cộng thêm

vào vếphảiphương trình hai hằng số nhưvậy, ta có:

(X2 - lOx+ 25) +(y2 + 4y+4) = -13 + 25 + 4hay

Tacóthể áp dụng cách làmtươngtựvới dạng phương trình tồng quát của (5):

Tuy nhiên, không cần thiết phải viết một cách chi tiết trong trường họp tống quát này Tuy

nhiên, cầnlưu ý lànếuhằngsố 13 trong (5) được thay thế bằng 29, thì (6)sẽ trởthành:

(x - 5)2 + (y + 2)2 = 0

ĐỒthị của nó chỉ là điểm (5, -2) Tươngtự, nếu hẳng số đóđượcthay thế bằng một số lớnhơn

29,thìvế phải của (6) trở nên âmvà đồ thị làtập rỗng theo nghĩa là không có điểm (x; y) nào trongmặt phang có toạ độthoả mãn phương trình Như vậy, ta thấy đồ thị của (7) có khi là một đườngtròn, có khi làmột điếm và đôi khi lạilà tập rỗng - hoàn toàn tuỳ thuộc vào cáchang so A,B, c

PARABOL

Định nghĩa: đường parabol là đường cong bao gồmtất cả các điếm có khoảng cách đến một

điểm cốđịnh F (được gọi là tiêu điếm)và đến một đường thắng cố định d(được gọi làđường chuẩn)

bằng nhau (Hình 1.19a) Khoảng cách từ một điếmđến một đường thắng luôn được hiếu là độ dàiđường vuông góc

* Dạng của phương trình (x + a)2 = X2 + 2 ax + a2 là chìa khoá của việc làm xuất hiện dạng bình phương Chú ý vế phải là dạng bình phương đầy đủ - bình phương của X + a - cho ta xác định chính xác hệ số tự do của nó bằng bình phương của nửa hệ số của X.

Hình 1.19 Hình parabol

Đểtìmmột phương trình đơn giản cho parabol, tađặt nó vào mộthệtọa độ như Hình 1.19b, với

tiêu điểm và đường chuẩn cách đều trụcXvề phía trênvà phía dưới Đường thẳng điqua tiêu điểm và vuông góc đường chuấnđược gọi làtrục của parabol, đó làtrục đối xứng củađường cong,và là trục

y của đồ thị.Điểm nằm trên trục cách đều tiêu điểm và đường chuẩn được gọi là đỉnh của parabol;

trên đồthị này, đỉnh parabol nằm ở gốc toạ độ Neu (x, y) là điểm bất kỳ trên đường parabol, điềukiệntheo định nghĩa được thiết lậpbằngđại số nhờ phươngtrìnhdạng:

chuân

Nếu ta đổi vị trí của parabol đối với hai trục tọa độ, ta sẽthayđổi một cách tựnhiênphương trình của nó Ba vị trí khác nhau được chỉ ra ở Hình 1.20, với các phương trình tương ứng và với

p>0 Các sinh viên nênkiểm tra tính đúng đắn của cả baphươngtrình Ta cũng thấy đềucó thề đưa

đượccảbốnphương trình trênvề dạng:

hoặc X = ay2

Hình 1.20 Các dạng parabol

Những dạng nàykhôngchứa hằng số p, cũng như khôngnêu rõ ý nghĩa hình học, nhưng bù

lại chúng giúp ta dễ nhận ra trường hợp tống quát của đồ thị Chang hạn,trong (10) biến X đượcbình phương nhưng biến y thì không Điều này nói lên rằng một điểm (x, y) di chuyến trên

đường cong, ytăng nhiều vànhanh hơn X, và vì thế đường cong thu hẹp về phía trục y, quay bềlõm lêntrên hayxuống dưới phụ thuộc vào hệ số a dương hoặc âm Điều này cũng nói chotabiết

đồ thị này đối xứng quatrục y, vìX làbìnhphương, nên ta sẽ nhận cùng một giá trị của y ứng với

hai giátrị X đối nhau

Ví dụ 3 Xétđồthị của phương trình 12x 4- y2 = 0? Nếu viếttheo dạng y2 = -12 X vàso sánhvới

phươngtrìnhphía phải của Hình 1.20, ta thấy rõ ràng đồ thị là một hình parabol cóđỉnhnằm trêngốc toạ độ vàbề lõm quayvề phíatrái Vì 4p = 12,nên p = 3,và điếm (-3, 0) là tiêu điểm, X = 3 là

Hình 1.21

Đồthị của phương trình này rõ ràng là một parabol quaybề lõm lên trên, cóđỉnh tại điểmgốc

của hệ tọađộXY Theo phương trình (13), điếmgốctrên hệ toạđộXY là điểm (2, 1)trong hệtoạđộ

xy, như Hình 1.21 Điềuxảy raở đâylàhệtoạđộ đãdịch chuyển sang một vị trí mớitrênmặt phẳng

và các trục đã được đối tên Các phương trình (13) biểu thị mối quan hệ giữa các tọa độ của một

điểm bất kỳ trong haihệtoạ độ tươngứng Cũng theo cách đó, bất kỳ phươngtrình nào códạng

y = ax2 + bx + c, a 0,đều biểu diễn một parabol có trục thắng đứng, bề lõm quay lêntrênhoặc xuống dưới tùy thuộc vào a

dương hay âm Tươngtự,phươngtrình

X = ay2 + by+ c, a 0,biểu diễnmột parabol có trục nằm ngang, bềlõm quay về phía phải hay phía trái phụ thuộc vào a> 0

hay a < 0

Trong phần trên, ta đã dùngkhái niệm tĩnh về đường cong, coi nó nhưmộttập cố định cácđiểmhay một hình hình học Ta còncó thể dùng quan điểm động, coi đường cong như là quỹ đạo củamột

điếm chuyến động Ví dụ, một đường tròn sẽ là quỹ đạo của mộtđiếm chuyếnđộng sao cho khoảng

cách của nó đến một điểm cố định cho trước là khôngđổi Theocách nghĩnày - với lợithế về sự

sống độngtrực quan củanó - một đường cong thường được gọi là một quỹ tích. Như vậy, đường

parabol sẽ là quỹ tích củamột diêmchuyênđộng sao cho khoảng cách từ diêm đóđên mộtdiêm và đến một đường thẳng chotrước luôn bằng nhau

2 Trongmỗi trường hợp sau, tìm phương trình của đường trònđược xác định theo các điều kiện

cho trước:

(a)Tâmlà(2, 3) và đi qua điểm (-1,-2)

(b) Điềm mút của một đường kính là(-3, 2) và (5, -8)

(c)Tâmlà(4, 5) và tiếpxúc với trụcX

(d) Tâmlà(-4, 1) vàtiếpxúc với đường thắng X = 3

(e)Tâmlà (-2, 3)vàtiếp xúc với đườngthắng4y-3x + 2 = 0

(f) Tâm nằm trên đường thẳng x + y = 1, điqua điểm(-2, 1) và (-4, 3)

(g) Tâm nằm trênđường thắng y = 3x,tiếpxúc với đườngX = 2y tại điểm (2, 1)

3 Trong mỗi trường họp sau, bằng cách làmxuấthiện bình phương đủ, hãyxác định bảnchấtcủa

đồ thị phương trình đã cho dưới đây:

(a) Tổng bìnhphươngcáckhoảngcáchtừ p đếncác điểm (a,0)và(-a,0) bằng 4b2, với b > a> 0

(b)Khoảngcách từ p đến điếm (8, 0)gấp đôi khoảng cách từp đến điểm (0, 4)

5 Công thức tính cácnghiệmcủaphương trình bậchai ax2 + bx + c =0là

-b± a/ó2 - Aac

X = - — -.

2a

Tacó công thức này bằngcách chiahai vế phương trình cho a,chuyển hằng số sang phía phải

rồi làm xuất hiện dạngbình phương đù Trong trường họpnào phương trình sẽcó các nghiệm

phânbiệt, nghiệm képhay không cónghiệm thực?

6 Đường tròn X2 + y2 - 8x - 6y - 11 = 0 cắtcácđườngthẳng dưới đây tại các điểm nào?

(a)trụcX

(b) trụcy

(c)đường thẳng X + y = 1

Vẽ hình vàdùnghình vẽ để phán đoánxemcác câutrảlời củabạn có hợp lý hay không?

7 Tìm phương trình của tất cả các đườngthắngđi qua điểm(0, 4) và tiếpxúc với đườngtròn

X2 + y2 = 2y Gợi ý: Đường thẳng y = mx + 4 tiếp xúc vớiđườngtròn nếu hai đường có một

điểm chung duy nhất

8 Tìmtiêu điêm vàđườngchuâncủamỗi parabol dưới đây,vẽcác đường congđó

9 Vẽ parabol sau và viếtphương trình của nó nếu biết:

(a) Đỉnh là(0, 0) và tiêu điểm (-3, 0);

(b) Đỉnh là(0, 0) và đường chuẩn lày= -1;

(c) Đỉnh là(0, 0)vàđườngchuânlàX = -2;

(d) Đỉnh là(0, 0) và tiêu điểm(0, - — );

(e)Đường chuân làX= 2 vàtiêu diêm (-4,0);

(f)Đường chuẩn là y = -1 vàtiêuđiểm(3,3);

10 Xác định tiêu điềm và đường chuẩn củacác parabol sauđây, vẽ cácđường đó:

(a) y = X 2+1;

(b)y = (x-l)2;

(c) y=(x-l)2+ 1;

(d)y = X2 - X

11 Nước phun từ vòi nằm ngang cao 4 ft so với mặt đất, vẽ ra một đường parabol với đỉnh là vòi

nước Biết rằng dòng nuớc hạ xuống 1 ft đầu tiênứng với chuyển động ngang 10 ft, hỏi khoảngcáchtheochiều ngang từ vòi nước đến chỗ nước rơi xuống đấtlà bao nhiêu ft?

12 Chứng tở rằng chỉ có đúng một đường thẳng có độ dốc m cho trước và tiếp xúc với đường parabol X2 = 4py, viếtphương trình củađường thắng này

13 Chứngminh rằng hai tiếp tuyến parabol từ cùng mộtdiêm bất kỳ trên đường chuẩn thì vuông

góc với nhau

1.6 KHÁI NIỆM HÀM SỐ

Hàmsố là nộidung quan trọng nhất trong các bộ môn toán màtaxemxét kể cảđại số, hình học,

lý thuyết số, xác suất, hay các bộ môn toán khác Tắtcảcác bộ môn này đều cho thấy hàmsố là lĩnh

vực đầutiêncầnkhámphá Điều này đặcbiệt đúng với giải tích, môn học mà phầnlớn công việc liênquan đến việc phát triển công cụ để nghiên cứuhàm số và ứng dụng công cụ này cho các vấn đề trong khoa họcvà hình học