luận văn thạc sỹ toán: VẬN DỤNG TRIẾT học DVBC vào VIỆC PHÁT TRIỂN tư duy sáng tạo

luận văn trình bày làm rõ lý luận về năng lực sáng tạo. tư duy sáng tạo, năng lực tư duy sáng tạo. khả năng sáng tạo của học sinh trong học toán, dùng triết học soi sáng toán học, đưa ra cá biện pháp sư phạm trên cơ sở triết học DVBC nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thpt trong học toán

LêI C¶M ¥N -*** -

Em xin được b y ỏ lòng cảm ơn sâu sắc ới TS Nguyễn Ngọc Uy, người đã

tận ình hướng dẫn em rong suốt quá rình em hực hiện đề ài

Em xin rân rọng cảm ơn các hà ,cô giáo rong ổ Phương Pháp Giảng Dạy,Ban chủ nhiệm Khoa Toán – Tin,Phòng Quản lý khoa học;Ban giám hiệu và các

đồng nghiệp rường THPT Hàn Thuyên – Thành phố Bắc Ninh đã ạo điều kiện thuận lợicho em rong suốt quá rình học ập và hoàn hành luận văn này

Bắc Ninh, tháng 10 năm 2007

Tác giả

NGUYỄN THẾ SƠN

2

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

I - Thực tiễn việc dạy học giải bài tập toán ở trường THPT I 1 – Mục tiêu và nhiệm vụ dạy học môn Toán ở trường THPT 7

I.2 – Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học 8

I.3 – Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 10

I.4 – Thực trạng của việc dạy và học giải bài bài tập toán học ở

nhà trường THPT 11

II - Các cơ sở khoa học II 1 – Cơ sở triết học duy vật biện chứng 13

II.2 – Cơ sở toán học 21

II.2.1 – Tư duy toán học

II.2.1.1 – Tư duy là gì ? 21

II.2.1.2 - Nội dung của tư duy toán học 22

II.2.1.3 – Các thao tác tư duy toán học 23

II.2.1.4 – Một số loại hình tư duy toán học 25

II.2.2 – Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 30

II.2.3 – Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán 34 Chương II: VẬN DỤNG TDBC VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU BÀI TẬP TOÁN HỌC A – Tìm lời giải bài toán

A.1 Cái chung – Cái riêng 38

A.2 Nội dung – Hình thức 48

A.3 Vận động - Đứng yên 51

A.4 Tất nhiên - Ngẫu nhiên 57

3

A.5 Suy diễn – Quy nạp 60

A.6 Phân tích - Tổng hợp 63

A.7 Cụ thể - Trừu tượng 67

B – Nghiên cứu lời giải bài toán

B.1 Cái chung – Cái riêng 78

B.2 Nội dung – Hình thức 87

B.3 Vận động - Đứng yên 92

B.4 Bản chất - Hiện tượng 96

B.5 Suy diễn – Quy nạp 101

B.6 Phân tích - Tổng hợp 103

Kết luận chương II

Bài tập vận dụng 110

Chương III: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 114

I - Bước đầu tìm hiểu thực trạng của việc vận dụng TDBC vào giải toán

ở trường THPT 114

II - Mục đích - Nội dung - Tổ chức thực nghiệm 120

III - Đánh giá về kết quả thực nghiệm 125

KẾT LUẬN 128

TÀI LIỆU THAM KHẢO 130

PHỤ LỤC 133

- CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa.” (Điều 27.1)

Mục tiêu này đã được cụ thể hoá trong mục tiêu dạy học môn Toán Trong các mục tiêu của dạy học môn Toán thì mục tiêu phát triển trí tuệ của học sinh được đặt lên hàng đầu

Tư duy sáng tạo có vai trò đặc quan trọng trong việc phát triển trí tuệ của học sinh Tư duy sáng tạo giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo trong học tập

Sáng tạo là sự vận động của tư duy từ nhữnng hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới Vận động đi liền với “biện chứng” nên tư duy biện chứng luôn gắn liền với sự sáng tạo “Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lí, hiểu chứng minh định lí, cố gắng tập vận dụng các công thức, các định lí để tính toán, để chứng minh khi làm bài tập mà ở đã cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cái gì phải tính toán, phải chứng minh là rõ ràng Nhiều học sinh thường thắc mắc không biết giả thuyết và kết luận của bài toán ở đâu mà ra, ai nghĩ ra đầu tiên và làm thế nào mà họ nghĩ ra được.[28, tr4,5]

2 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Đề xuất một số gợi ý, hướng dẫn giáo viên vận dụng tư duy biện chứng vào giải bài tập Toán qua đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Nghiên cứu vai trò của tư duy duy biện chứng trong việc phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh

Xác định rõ vai trò của bài tập Toán trong việc phát triển tư duy sáng tạo

cho học sinh

Nghiên cứu việc vận dụng tư duy biện chứng vào hướng dẫn học sinh

giải bài tập Toán

Làm sáng tỏ vai trò của việc vận dụng tư duy biện chứng vào giải bài tập Toán đối với việc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

• Nghiên cứu lý luận dạy học môn Toán, trong đó chú trọng về tư duy,

tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng và vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học Toán

• Nghiên cứu nội dung Sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên, các tài liệu về tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng …

• Phương pháp điếu tra quan sát: Bước đầu tìm hiểu khả năng vận dụng

tư duy biện chứng vào việc giải bài tập Toán của học sinh và tác dụng của việc vận dụng này đối với việc phát triển tư duy sáng tạo của học sinh thông qua điều tra học sinh khối 10,11 của trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh

• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kêt những kinh nghiệm rút

ra từ thực tế giảng dạy và nghiên cứu của bản thân, vận dụng những kinh

7

CHƯƠNG I

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN Ở TRƯỜNG THPT

I 1 Mục tiêu và nhiệm vụ dạy học môn Toán ở trường THPT

Luật giáo dục nước ta quy định: “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là

giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc ” (Luật giáo dục, Chương II, mục 2, điều 23)

“ Giáo dục Trung học phổ thông nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển

những kết quả của giáo dục Trung học Cơ sở, hoàn thiện học vấn phổ thông

và những hiểu biết thông thường về kỹ thuật về kĩ thuật và hướng nghiệp để tiếp tục học Đại học, Cao đẳng, Trung học Chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động ” (Luật giáo dục, chương II, mục 2 , điều 23)

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục phổ phông nước ta, từ đặc điểm, vai trò, vị

trí và ý nghĩa của môn Toán, việc dạy học môn Toán có các mục tiêu chung sau đây:

• Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học

• Phát triển năng lực trí tuệ

• Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học

• Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động Các mục tiêu thành phần không tách rời nhau mà trái lại chúng liên hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ và bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người học sinh thế giới quan và nhân sinh quan cách mạng, năng lực nhận thức và hành động, động cơ đúng đắn và lòng say mê học tập, lao động, xây dựng

8

và bảo vệ Tổ quốc Điều đó thể hiện sự thống giữa dạy chữ và dạy người,

giữa dạy học và phát triển ( [15], tr56)

Đặc biệt, đối với cấp Trung học phổ thông, do nhiệm vụ cấp học và đặc

điểm đối tượng, việc dạy học môn Toán ở cấp Trung học Phổ thông có những yêu cầu đặc biệt sau đậy:

• Về tri thức và kĩ năng, cần chú ý tới những tri thức phương pháp, đặc

biệt những tri thức phương pháp không có thuật giải và những kĩ năng tương ứng, chẳng hạn tri thức và kĩ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kĩ năng chứng minh toán học, kĩ năng tư duy hàm v,v…

• Về năng lực trí tuệ, cần có yêu cầu cao về một số phẩm chất trí tuệ như

tính độc lập, tính tự giác, …

• Về chính trị, tư tưởng, cần nhấn mạnh yếu tố hình thành thế giới quan

• Về yêu cầu tạo cơ sở để học sinh học tiếp hoặc đi vào cuộc sống lao động, cần chú ý đúng mức đặc thù phân ban

Tóm lại, các mục tiêu dạy học môn Toán cùng với những yêu cầu đặc biệt

ở cấp Trung học phổ thông chi phối nội dung và phương pháp dạy học ở cấp trung học phổ thông Cần nhấn mạnh rằng các mục tiêu dạy học không tách rời nhau mà quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau nhằm hình thành ở người học sinh năng lực nhận thức, năng lực hành động, những cơ sở của nhân cách con người Việt Nam mới

I.2 Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

Luật giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy định:

“ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồì dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập

và ý chí vươn lên” ( Luật giáo dục 1998, chương I, điều 4)

“Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận

Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay, phương pháp dạy học ở nước

ta có những nhược điểm phổ biến:

• Thầy thuyết trình tràn lan;

• Tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện;

• Thầy áp đặt, trò thụ động;

• Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của người học;

• Không kiểm soát được việc học

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người xây dựng xã hội công nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH ở nước ta đã làm nảy sinh

và thúc đẩy cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong nghành Giáo dục và Đào tạo từ một số năm nay Những ý tưởng này đều bao hàm những yếu tố tích cực, có tác dụng đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo Tuy nhiên cần nêu bật bản chất của tất cả các ý tưởng này như là định hướng cho sự đổi mới PPDH

PPDH cần hướng vào việc tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định Đó trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng dụng những tri thức được bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó Trong quá trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những hoạt động có tác dụng củng cố tri thức, rèn luyện những kỹ năng và hình thành những thái độ có liên quan

Điều căn bản của phương pháp dạy học là khai thác những hoạt động như trên tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt được mục tiêu dạy học

10

Hoạt động liên hệ với các yếu tố: chủ thể, đối tượng, mục tiêu, phương tiện, kết quả; riêng hoạt động học còn liên hệ với một yếu tố nữa, đó là thầy giáo Cụ thể hoá định hướng trên liên hệ với những yếu tố này, ta thấy rõ những hàm ý sau đây đặc trưng cho PPDH hiện đại:

1 Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo của hoạt động học tập được thực hiện độc lập

hoặc trong giao lưu

2 Tri thức được cài đặt trong tình huống có dụng ý sư phạm

3 Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học

4 Tự tạo và khai thác những phương tiện dạy học để tiếp nối và gia tăng sức mạnh của con người

5 Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của bản

thân người học

6 Xác định vai trò mới của thầy với tư cách người thiết kế, uỷ thác, điều khiển và thể chế hoá

I.3 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện nhiều hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì vậy vai trò của bài tập được thể hiện trên cả ba bình diện này:

1) Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông

là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán :

11

• Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau

của quá trình dạy học, kể cả ứng dụng Toán học vào thực tiễn

• Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình

thành những phẩm chất trí tuệ

• Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức của người lao động mới

2) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập là giá mang hoạt động

liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung

để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

3) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang

hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, và sáng tạo, được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố, kiểm tra…Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập

là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh…

I.4 Thực trạng của việc dạy và học giải bài bài tập toán học ở nhà trường trung học phổ thông

Thực trạng việc dạy và học nói chung và việc dạy học giải bài tập toán ở nhà trường phổ thông nói riêng còn một số tồn tại sau:

1 Việc học của học sinh diễn ra chủ yếu là quá trình tiếp thu và lĩnh hội,

qua đó sẽ hình thành kiến thức, kĩ năng, tư tưởng, tình cảm Trong khi

đó, vai trò của giáo viên là truyền thụ tri thức, truyền thụ và chứng minh những chân lí

12

2 Nội dung kiến thức học sinh được tiếp cận là từ SGK và những kinh nghiệm tích luỹ được của giáo viên Dẫn đến phương pháp dạy học của

GV chủ yếu là diễn giảng, truyền thụ kiến thức một chiều

3 Mục tiêu dạy học thường chú trọng cung cấp cho học sinh tri thức, kĩ năng, kĩ xảo Học thường để đối phó với thi cử Sau khi học xong những điều đã học bị bỏ quên hoặc ít được dùng đến Các hình thức tổ chức học tập thường bị bó hẹp, chủ yếu diễn ra trên lớp học, ở đó GV đối diện với học sinh

4 Hiện nay ở nhà trường phổ thông thường chỉ chú trọng đến việc truyền thụ tri thức mà không quan tâm đến việc dạy tìm tòi, vậy nên các phương pháp thực nghiệm, quy nạp để suy đoán thường bị coi nhẹ

Đứng trước thực trạng của việc dạy học, để khắc phục những hạn chế của PPDH truyền thống đòi hỏi phải đổi mới PPDH Đổi mới phương pháp dạy học cần kế thừa, phát triển những mặt tích cực của hệ thống phương pháp dạy học quen thuộc, đồng thời cần học hỏi, vận dụng một số phương pháp mới, phù hợp với hoàn cảnh, điều kiện dạy và học ở nước ta Đổi mới phương pháp dạy học giúp cho học sinh :

1 Học được quá trình kiến tạo một tri thức (học sinh nắm được bản chất được mỗi vấn đề đặt ra) ; Học sinh tự tìm tòi, khám phá, phát hiện,

luyện tập, khai thác và xử lí thông tin…tự hình thành hiểu biết, năng lực phẩm chất

2 Không những biết được cách chứng minh một chân lí, học sinh còn học được cách tìm ra chân lí đó

3 Chú trọng và việc hình thành ở học sinh các năng lực: sáng tạo, hợp

tác… Dạy cho học sinh phương pháp và kĩ thuật lao động, dạy cách học

4 Nội dung học tập của học sinh không bị bó hẹp, có thể xuất phát từ nhiều nguồn khác nhau: SGK, GV, các tài liệu khoa học phù hợp, thí nghiệm, bảo tàng,… gắn với:

- Vốn hiểu biết, nhu cầu, kinh nghiệm của mỗi học sinh

- Tình huống thực tế, bối cảnh môi trường địa phương

- Những vấn đề mà học sinh quan tâm

13

5 Hình thức tổ chức học tập rất cơ động và linh hoạt, học sinh có thể học trên lớp, học ở phòng thí nghiệm, học trong thực tế…

II CÁC CƠ SỞ KHOA HỌC

II.1 Cơ sở triết học duy vật biện chứng

Triết học duy vật biện chứng thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển tự nhiên, xã hội và tư duy con người Nó là cơ sở phương pháp luận của mọi khoa học, trong đó có PPDH môn Toán Nó giúp ta hiểu được đối tượng và phương pháp của khoa học Toán học một cách đúng đắn và sâu sắc, giúp hình thành thế giới quan duy vật biện chứng ở thế hệ trẻ Nó cung cấp cho ta phương pháp nghiên cứu đúng đắn: “xem xét những hiện tượng giáo dục trong quá trình phát triển và trong mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau, trong

sự mâu thuẫn và thống nhất, phát hiện những biến đổi về số lượng dẫn đến những biến đổi về chất lượng v.v…” ( [28], tr 22 )

Toán học là môn học đặc biệt thuận lợi cho việc rèn luyện tư duy biện

chứng, nếu chúng ta coi học sinh là “chủ thể” Trong toán học chúng ta thường xuyên gặp các cặp phạm trù: “cái chung – cái riêng”, “chủ quan – khách quan”, “nội dung – hình thức”, “bản chất - hiện tượng”, “ngẫu nhiên - tất nhiên”, “suy diễn – quy nạp”, “phân tích - tổng hợp” Đặc biệt cặp phạm trù “chung – riêng” là phổ biến vì hầu hết từ bài trước, chương trước sang bài

sau, chương sau là chuyển từ một trường hợp riêng sang trường hợp chung v.v…([3] – Tr 394)

Các quy luật của triết học duy vật biện chứng

• Quy luật mâu thuẫn là động lực của sự phát triển

• Quy luật phủ định của phủ định

• Quy luật lượng đổi chất đổi

Các cặp phạm trù đối lập của triết học duy vật biện chứng:

Quy luật mâu thuẫn chỉ ra nguồn gốc bên trong của sự phát triển Khi

mọi việc đều ăn khớp, đều thuận buồm xuôi gió, không gặp khó khăn gì thì không có gì thúc đẩy người ta tìm tòi, suy nghĩ và đo đó cũng không có cái mới ra đời, trái lại khi có sự không ăn khớp, có sự khó khăn thì điều đó sẽ thúc đẩy người ta cố gắng nghiên cứu và sớm muộn thì từ sự nghiên cứu, tìm tòi đó sẽ có cái mới ra đời Người ta diễn tả điều này bằng ngôn ngữ triết học như sau: “ Mâu thuẫn là động lực của sự phát triển” Khi nói tới “mâu thuẫn”

là nói tới một sự trái ngược, một sự không ăn khớp giữa lí luận và thực tiễn, hoặc trong nội bộ lí luận Nói tới “động lực” là nói tới một sức mạnh thúc đẩy Khi học sinh đã học xong bài phương trình bậc hai 0, gặp phải trường hợp ∆ 4 0 thì đều bằng lòng với kết luận :

”phương trình vô nghiệm”, và với những phương trình như vậy xuất hiện trong các bài toán thực tế không có lời giải Ví dụ có thể xây dựng được một phòng học diện tích 50m2 mà chu vi chỉ là 20m ( cho đỡ tốn vật liệu) không ?

Điều này là không thể !!!

Khi đã biết cách giải phương trình bậc hai, một cách rất tự nhiên sẽ thúc

0 (*), qua quá trình biến đổi (phương pháp Cac-đa-nô) thì việc giải (*) đưa

về việc giải phương trình 0 (**), và bài toán coi như đã giải xong Tuy nhiên, nếu kiểm tra lại bằng một ví dụ cụ thể như áp dụng nó để

giải phương trình :

0 (***)

Nếu áp dụng phương pháp trên để giải thì (**) trở thành: 0 , nhưng phương trình này không có nghiệm thì làm sao (***) có nghiệm ?

15

Trong khi đó thực tế thì phương trình (***) lại có ba nghiệm là 1, 0 à 1

Như vậy ta đang đứng trước một hiện tượng kỳ lạ, một khó khăn (mâu thuẫn)

thôi thúc ta tìm hướng giải quyết ? Trước tình huống này làm nảy sinh một ý

tưởng táo bạo: “cứ thử chấp nhận căn bậc hai của số âm xem sao?” Và thật

bất ngờ, theo hướng đó ta chỉ ra được ba nghiệm của phương trình

1 ; 0; 1 từ đó dẫn đến sự xuất hiện của một tập số mới, đó là số phức

Một ví dụ khác, ta xét bài toán quen thuộc về bất đẳng thức lượng giác

trong tam giác:

Cho , , là các số thực dương thoả mãn 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Xét về hình thức, bài toán sau đưa ra hoàn toàn khác bài toán trước, mà việc giải bài toán 2 không đơn giản, trong khi đó bài toán 1 dễ giải quyết hơn bởi lẽ các đối tượng được xem xét trong bài toán 1 được giới hạn trong tam giác đồng thời các phép biến đổi lượng giác xem ra dễ giải quyết hơn, hơn

nữa hình thức của bài toán 1 rõ ràng hơn ( bài toán chứng minh bất đẳng thức) bài toán 2 (tìm GTLN)

Tuy nhiên, xét về nội dung (bản chất) thì hai bài toán này có cùng một nội dung Mối quan hệ phức tạp giữa các đối tượng của bài toán 2 làm cho hình

thức của bài toán che lấp nội dung của nó Khiến cho việc nghiên cứu nội dung của nó khó khăn hơn

16

Nếu giáo viên cho học sinh thấy được những mâu thuẫn như trong ví dụ này sẽ kích thích và phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc tìm ra câu trả lời Không những thế, học sinh sẽ tìm tòi và rút

ra được những kiến thức bổ ích :

có thể đưa về bài toán 1

• Trong tam giác bất kỳ thì bài toán 1 vẫn đúng, vậy bài toán 2 sẽ ra sao?

• Khi nào thì có thể đưa bài toán 2 về bài toán 1 ? …

• Dấu hiệu nào có thể “lượng giác hóa” một bài toán ?

Muốn học toán sáng tạo, muốn tìm ra cái mới thì trước tiên phải xuất hiện

“vấn đề” để nghiên cứu Vấn đề ở đây có thể do tự mình phát hiện hoặc do

người khác đề xuất cho mình giải quyết Nhưng muốn trở thành người có khả năng chủ động, độc lập nghiên cứu thì cần phải chăm lo, bồi dưỡng năng lực

“phát hiện vấn đề”

Triết học duy vật biện chứng chỉ ra “mâu thuẫn là động lực của sự phát triển”, một “vấn đề” xuất hiện khi nảy sinh “mâu thuẫn” Do đó, cần chăm lo

bồi dưỡng việc vận dụng các quy luật triết học duy vật biện chứng trong việc

học tập và nghiên cứu “toán” cũng như “phi toán”

Khoa học nói chung, toán học nói riêng tiến lên không ngừng, như vậy có

nghĩa là không bao giờ hết “mâu thuẫn”, giải quyết được mâu thuẫn này thì

“mâu thuẫn” mới xuất hiện, là động lực cho sự phát triển của khoa học, của toán học Mỗi lần “mâu thuẫn” xuất hiện rồi được giải quyết thì hiểu biết của

loài người được tiến thêm một bước theo quy luật “phủ định của phủ định”

Khi nói có “mâu thuẫn” xuất hiện nghĩa là có một sự bất lực nào đó của kiến

thức hiện có trước nhiệm vụ giải quyết một sự việc (hiện tượng) nào đó; như vậy sự việc (hiện tượng) này đã phủ định (theo nghĩa là bác bỏ hoặc do thiếu rộng, thiếu sâu nên bất lực) kiến thức hiện có Trước tình hình đó đòi hỏi ta phải nghiên cứu, tìm hiểu để giải thích sự việc (hiện tượng) đó Những nghiên

17

cứu khoa học sẽ dẫn tới những kiến thức mới cho phép ta giải quyết sự việc hay giải thích hiện tượng này, và những kiến thức này lúc đầu tưởng như mâu thuẫn với các kiến thức cũ nhưng cuối cùng là thống nhất với kiến thức cũ ở chỗ kiến thức mới bao trùm lên kiến thức cũ, kiến thức cũ là một trường hợp

đặc biệt hay giới hạn của kiến thức mới Như vậy sự phủ định trước đây lại bị phủ định

Trong dạy học toán, nếu cho học sinh nắm bắt được tư tưởng của các quy luật triết học duy vật biện chứng sẽ giúp cho học sinh đi sâu vào việc nắm được bản chất (nguyên nhân) của một sự việc, phát huy được vai trò tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc bước đầu làm quen với nghiên cứu toán học

Ta đi xem xét một ví dụ sau đây:

Từ trước đến nay học sinh đều biết đến định lí côsin trong tam giác và họ

cũng biết dùng định lí này để đi giải quyết các vấn đề khác nhau Tuy nhiên, không phải ai cũng biết mở rộng định lí này bởi vì ở họ thiếu tư duy biện chứng, họ không biết tới quy luật phủ định của phủ định để mở rộng định lí

mống của cái mới xuất hiện

Lúc này đoạn suy biến 0

Vậy có thể cũng xuất hiện

18

Phủ định lần thứ hai

Để làm rõ nghi vấn trên ta sẽ đi phủ định tính chất “có hai đỉnh trùng

nhau” của tứ giác bằng cách cho hai đỉnh à tách nhau ra :

Đến đây ta có nhận định:

tổng quát, nhưng biết rằng khi 0

Có thể nhận thấy các hạng tử ở (1) đều có bậc hai Nên để đảm bảo tính

đẳng cấp ta dự đoán biểu thức chứa trong hệ thức sẽ là một bội của

Vậy nên ta có dự đoán:

Bây giờ ta sẽ đi kiểm tra xem dạng nào đúng ? Bằng cách áp dụng vào một

trường hợp đặc biệt, khi tứ giác là hình vuông

(2) trở thành 1 ∞ do vậy dạng (2) sai

19

Vậy (3) có thể đúng khi ta thay 1, ta được:

Để chắc hơn dự đoán này, ta thử áp dụng nó vào một trường hợp khác:

Khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật thoả mãn 2 2

Đến đây càng củng cố niềm tin cho ta rằng

công thức :

đúng, với là góc đối diện với cạnh a

Có thể phát biểu: “ Trong tứ giác, tổng bình phương hai cạnh đối diện bằng

tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích hai đường chéo nhân

với cosin của góc giữa hai đường chéo (đối diện với hai cạnh đó)”

Nhận xét

• Như vậy, nhờ quy luật phủ định trong triết học duy vật biện chứng, từ định

lí côsin trong tam giác, ta có thể mở rộng đến định lí trong tứ giác và tất

nhiên khi cho một cạnh của tứ giác bằng không ta được định lí côsin trong

tam giác

• Phủ định ở đây không có nghĩa là bác bỏ sạch trơn mà chỉ phủ định mặt

tiêu cực, mặt bất lực của kiến thức cũ đồng thời kế thừa những mặt tích

cực trong kiến thức cũ Sự phủ định có tính kế thừa, được gọi là phủ định

“biện chứng” Chính sự “kế thừa” là cơ sở cho sự thống nhất về sau

20

• Trong ví dụ trên ta thấy tuy định lí côsin là công thức tổng quát cho tam

giác bất kì (mà định lí pitago quen thuộc là một trường hợp đặc biệt) nhưng công thức đó bất lực trong việc giải thích trường hợp đặc biệt của tứ

giác khi cho một cạnh bằng không ( không xác định được công thức cụ thể trong trường hợp này, định lí côsin chỉ là dạng rút gọn nhờ 0) đồng thời định lí côsin chỉ là một trường hợp đặc biệt của một hệ thức lượng

trong tứ giác Thật là “biện chứng”!

• Không chỉ có vậy, ta còn gặp quy luật phủ định ở trong thiên nhiên, trong

xã hội và trong tư duy con người bao giờ cũng là sự thống nhất giữa các mặt đối lập, không bao giờ chỉ có một mặt này mà không có mặt kia, một

ví dụ gần gũi chẳng hạn như: muốn học toán một cách sáng tạo thì phải

tuân theo quy luật: Ban đầu có thầy giáo dạy cho học, dần dần học một cách tích cực “học” sẽ biến thành “tự học” Càng tự học dẫn đến tư duy độc lập càng phát triển rồi sẽ có tư duy phê phán, rồi tư duy sáng tạo Lúc này “tự học” lại bị phủ định đột biến thành “nghiên cứu khoa học” Như

vậy, tư duy biện chứng thuộc lĩnh vực phi toán lại là một cầu nối giữa

“toán” và “phi toán”

Trong sự vận động (biến đổi) của thế giới khách quan, những sự thay đổi từ

từ về số lượng, tích luỹ đến một giới hạn nào đó thì sẽ gây ra một thay đổi về chất lượng

Ví dụ: Nguyên hàm của hàm luỹ thừa là hàm luỹ thừa , ớ

0 Khi m biến đổi, nguyên hàm giữ chất lượng là một hàm đại số, cho đến giới hạn m = 0 thì chất lượng thay đổi, trở thành một hàm số siêu việt: ln|x| 1⁄ (Chú ý rằng một hàm đại số của x là một hàm số có thể diễn

tả theo x bằng một số hữu hạn các phép toán đại số + , - , *, / ,√ ) Trong hình học, độ cong dương giảm dần rồi triệt tiêu và chuyển thành độ

cong âm Sự thay đổi từ từ đó của độ cong khi đạt đến giới hạn độ cong bằng

0 thì xảy ra một sự đột biến tạo nên sự thay đổi về chất đang từ hình học eliptic trở thành hình học Ơclit rồi chuyển thành hình học hypecbolic Bản thân hình học ơclit và hình học Lôbasepski là mâu thuẫn nhau vì dựa vào hai

21

hệ tiên đề trái ngược nhau nhưng lại thống nhất với nhau ở chỗ hình học Ơclit

là giới hạn của hình học Lôbasepski khi bán kính cong tiến tới 0 ( 0 )

Kết luận

Mâu thuẫn xuất hiện dưới muôn hình vạn trạng, nếu không rèn luyện để

có một sự nhạy bén trong tư duy (tư duy biện chứng) thì sẽ không phát hiện được và sẽ cho qua Tuy mâu thuẫn đa dạng như vậy nhưng người ta cũng cố gắng sắp xếp thành từng cặp phạm trù đối lập nhau và chính sự đối lập đó giúp ta phát hiện ra vấn đề nghiên cứu rồi đi đến sáng tạo và sự sáng tạo này

lại phủ định sự đối lập nói trên (phủ định của phủ định) Ta thường nói tới các

cặp phạm trù đối lập sau đây :

II.2 Cơ sở toán học

II.2.1 Tư duy toán học

II.2.1.1 Tư duy là gì ?

• Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,

những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng

• Theo quan điểm của chủ nghĩa DVBC thì tư duy là “sản vật cao cấp

của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của

sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán…Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất – với sự hoạt động của óc… Khoa học hiện đại đã chứng minh được rằng

tư duy là đặc tính của vật chất” Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lý

22

Ông viết “…Hoạt động tâm lý là kết quả của hoạt động sinh lý của một bộ

phận nhất định của óc ”

II.2.1.2 Nội dung của tư duy toán học

Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Do vậy, khi đề cập đến nội dung của tư duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểm của

toán học với tư cách là đối tượng của tư duy toán học

™ Đối tượng của toán học

Toán học nghiên cứu cái gì?

• Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh ”: “Đối tượng của toán học

thuần tuý là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là một tư liệu rất cụ thể Tư liệu này biểu hiện dưới hình thức cực kỳ trừu tượng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nó trong thế giới hiện thực”

• Theo V.I Lênin trong “Bút ký triết học” : “Cái mà toán học dạy chúng

ta, đó là những giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính”

• Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn : “…về toán học thì có hai góc độ

để nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học:

- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dáng và lôgic trong thế giới khách quan

- Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người

ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề

Đối tượng của toán học được cụ thể hoá và mở rộng dần, qua từng giai đoạn: Giai đoạn 1 Giai đoạn toán học sơ cấp ( từ thế kỷ VI – TrCN đến thế kỷ XVII ):

Ứng với nền sản xuất thủ công, toán học nghiên cứu các số và hình ở dạng tĩnh tại, cùng với lôgic cổ điển

Giai đoạn 2 Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (thế kỷ XVII đến thế kỷ XIX)

Ứng với nền sản xuất cơ khí, toán học nghiên cứu các đại lượng biến thiên và hàm số, Ănghen đã phát biểu: “Đại lượng biến thiên của Đêcac là

23

một bước ngoặt trong toán học… nhờ nó mà vận động và cả biện chứng nữa

đi vào toán học… Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiên khả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả quá

trình” và lôgic cổ điển được phát triển thành đại số mệnh đề

Giai đoạn 3 Giai đoạn toán học hiện đại (từ thế kỷ XIX đến nay)

Ứng với nền sản xuất tự động hoá, toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lôgic toán

Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta có toán học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập nhau nhưng

bổ sung cho nhau Trong ứng dụng, cấu trúc và thuật toán là hai mặt liên quan mật thiết với nhau, là cơ sở của phương pháp mô hình hoá và thuật toán hoá của điều khiển học

II.2.1.3 Các thao tác tư duy toán học

™ Phân tích - Tổng hợp

A Phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa

biết Nếu gọi A là phán đoán cần chứng minh và 1, hoặc là tiên đề, định lý hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp như sau:

24

™ So sánh – Tương tự

So sánh

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc

điểm khác nhau ở một số đối tượng Mục đích thứ nhất dẫn đến tương tự và

thường đi đôi với khái quát hóa

Tương tự

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan

hệ của những đối tượng toán học khác nhau Kết luận dựa theo sự tương tự

có thể được mô tả như sau :

Đối tượng A có các tính chất a; b; c

Đối tượng B có các tính chất a; b Đối tượng B có tính chất c

Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụng

trong việc giảng dạy toán học Tuy nhiên cần lưu ý rằng, cũng như phương

pháp quy nạp không hoàn chỉnh, tương tự có thể dẫn đến kết luận sai

Ví dụ, trong mọi tam giác các đường cao đồng quy tại trực tâm Nếu cho

rằng, tương tự, trong mọi tứ diện đều có các đường cao đồng quy tại trực tâm

là sai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với

nhau mà thôi

™ Khái quát hoá - Đặc biệt hóa

Khái quát hoá

- Khái quát hoá là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất

nào đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất đó có ngoại

diên rộng hơn, bao gồm tập hợp các đối tượng ban đầu (khái quát

hoá ngoại diên)

- Khái quát hoá cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính

chất nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm

khái niệm hay tính chất ban đầu (khái quát hoá nội hàm)

.Đặc biệt hoá

- Đặc biệt hoá là thao tác tư duy ngược của khái quát hoá Đặc biệt

hoá là thao tác tư duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ

25

ngoại diên rộng sang tập hợp các đối tượng có ngoại diên hẹp, chứa

đựng trong tập hợp ban đầu ( đặc biệt hoá về ngoại diên )

- Đặc biệt hoá cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá về

nội hàm)

Mối quan hệ giữa khái quát hoá và đặc biệt hoá:

thường được vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào

đó ta muốn khái quát hoá (về ngoại diên hay nội hàm) ta thử đặc

biệt hoá Nếu kết quả của đặc biệt hoá là đúng thì ta mới tìm cách

chứng minh dự đoán từ khái quát hoá Nhưng nếu sai thì dừng lại

™ Trừu tượng hoá

- Trừu tượng hoá là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế giới khách quan ) để nghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tượng hoá thoát ra khỉ mọi nội dung có tính chất chất liệu

- Trừu tượng hoá có liên hệ mật thiết với khái quát Nhờ trừu tượng

hoá ta có thể khái quát hoá rộng và sâu hơn Trừu tượng hoá và khái quát hoá là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học

II.2.1.4 Một số loại hình tư duy toán học

1 Tư duy hình thức (dựa vào lôgic hình thức)

• Lôgic hình thức nghiên cứu cơ cấu của các hình thức tư duy (khái niệm, phán đoán, suy luận, chứng minh) Lôgic hình thức không đề cập đến sự nảy sinh và phát triển của các hình thức ấy Lôgic hình thức chỉ quan

tâm đến các đối tượng dưới dạng tĩnh tại, cô lập Nhiệm vụ chủ yếu là

xây dựng các quy tắc, quy luật mà sự tuân thủ là điều kiện cần thiết để đạt được những kết quả chân thực trong quá trình thu nhận tri thức

• Trong Lôgic hình thức có những quy luật cơ bản:

i) Luật đồng nhất

ii) Luật không có mâu thuẫn

iii) Luật bài trung

iv) Luật có lý do đầy đủ

26

2 Tư duy biện chứng (dựa vào lôgic biện chứng)

Lôgic biện chứng với tư cách là học thuyết triết học về những quy luật

chung nhất của sự nảy sinh và phát triển của tự nhiên, xã hội, tư duy giúp chúng ta nắm được nội dung của đối tượng

Đối tượng của tư duy biện chứng là những đối tượng vận động, biến đổi trong mối quan hệ liên hệ, phụ thuộc lẫn nhau Ănghen cho rằng khi

nghiên cứu các đại lượng biến thiên “bản thân toán học đã bước vào lĩnh vực của phép biện chứng rồi ”

Niutơn, người sáng lập ra phép tính vi phân, tuyên bố rằng: “Tôi coi

những đường cong rất nhỏ là những đường thẳng” (Câu nói này vi phạm

cả luật đồng nhất và luật không mâu thuẫn của lôgic hình thức, nhưng nó lại phản ánh hiện thực chân thực hơn, nó giúp ta hiểu sâu một dạng vận động của vật chất)

Mối quan hệ giữa lôgic hình thức và lôgic biện chứng

Lôgic hình thức đề cập đến tư duy về các đối tượng tĩnh tại, cô lập, tức là

chú ý đến mặt ổn định tương đối của sự vật Trong trường hợp đó những qui luật của lôgic hình thức là có cơ sở Chẳng hạn, qui luật đồng nhất nói rằng

“A là A”, tức là đường tròn là đường tròn, đường elip là đường elip, chứ

đường tròn không đồng nhất với đường elip Điều này đúng khi xem xét mặt tĩnh của không gian Tuy nhiên thực tiễn đòi hỏi nghiên cứu quá trình thay

đổi, nghiên cứu sự phát triển của sự vật, nghĩa là đòi hỏi xem xét mặt động thì

quy luật nói trên của lôgic hình thức không còn phù hợp nữa (phép biến hình

trong tôpô thì đường tròn và elip đồng nhất với nhau)

Ănghen đã nói: “Ngay cả lôgic hình thức trước tiên cũng là một phương

pháp tìm tòi những kết quả mới, để đi từ cái đã biết đến cái chưa biết; phép biện chứng cũng thế, chỉ khác là có ý nghĩa cao hơn nhiều, thêm vào đó phép biện chứng đã chọc thủng chân trời nhỏ hẹp của lôgic hình thức và bao hàm mầm mống của thế giới quan trọng hơn” (Chống Đuyrinh, NXB Sự Thật, Hà Nội 1971, tr 228)

Có thể kết luận rằng:

Lôgic biện chứng đã phần nào thâm nhập vào toán học, nhưng các lí thuyết toán học đòi hỏi tính hình thức trong nội bộ chúng Bản thân sự phát

27

triển của toán học - như một ngành của nhận thức – thì lại tuân theo những quy luật biện chứng của sự phát triển

3 Tư duy phê phán

Tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:

• Tôi sẽ tin vào điều gì ?

• Tôi sẽ lựa chọn cách nào ?

Loại hình này được đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sự tin tưởng và hành động, kiên định thái độ của “phản xạ hoài nghi” và chỉ đưa ra phán đoán cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có

4 Tư duy giải toán

Tư duy giải toán hướng về quá trình tổng hợp, phân tích theo đó

chúng ta sử dụng những gì đã biết để tìm ra cái chưa biết (we use what is known to discover what is not known)

Vào năm 1950, G.Pôlia đưa ra tiến trình 4 bước trong giải toán, song

song với những thành tựu của các nhà tâm lý học về các bước trong giải những bài toán về cuộc sống

1 Tìm hiểu bài toán

(understand the problem)

2 Kế hoạch giải (devise a plan)

3 Thực hiện kế hoạch giải

(carry out the plan)

4 Kiểm tra (verification)

5 Tư duy sáng tạo

• Tư duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản phẩm

hay, quá trình độc đáo Tư duy sáng tạo được ghi nhận nhờ những tiếp

cận tưởng tượng, phân kỳ đối với bài toán… và trực giác (hay linh cảm) là nguồn cung cấp ý tưởng hữu ích

• Lecne cho rằng: “ Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới

về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ

• GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói: “Người có óc sáng tạo là người

có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đã đặt ra”…

Những thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo

1 Tính mềm dẻo (Flesibility): chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang

5 Tính nhạy cảm vấn đề (Problem’s Censibility): nhanh chóng phát

hiện vấn đề, liên tưởng tốt

Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo

1 Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức kĩ năng, kĩ xảo sang tình huống mới gần hoặc xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các

hệ thống kiến thức

2 Nhìn thấy những nội dung mới trong những tình huống bình thường

3 Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng

4 Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết, tạo thành cái

mới

5 Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng quen thuộc

6 Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể có, tiến hành giải theo theo

từng cách và lựa chọn cách tối ưu

29

7 Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với phương pháp

quen thuộc đã biết

8 Khái quát hoá tri thức và phương pháp quen thuộc đã biết (vì khái quát hoá là năng lực cơ bản của các năng lực toán học)

Mối quan hệ giữa tư duy phê phán, tư duy

giải toán và tư duy sáng tạo

(a) Tư duy phê phán

(b) Tư duy giải toán

(c) Tư duy sáng tạo

6 Tư duy thuật toán

Thuật toán là một bản qui định chính xác mà mọi người đều hiểu như nhau

về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác định nhằm giải quyết một loạt bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó

Các thuật toán phải thoả mãn 3 yêu cầu cơ bản :

• Tính xác định: Ai cũng hiểu theo cùng một cách, mỗi giai đoạn của quá

trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất

• Tính số đông : Phải dùng được để giải một loạt (kiểu) xác định bài toán

• Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra

thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn

7 Tư duy hàm

• Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến trình những tương ứng riêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng (kể cả kĩ năng vận dụng chúng), thể hiện rõ nét tư tưởng lớn trong giáo trình toán học ở trường phổ thông – tư tưởng hàm

• Những hoạt động trí tuệ liên quan đến tư duy hàm được định hướng theo 4 tư tưởng chủ đạo sau đây:

30

1 Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng những sự tương ứng trong khi và nhằm vào việc truyền thụ kiến thức và rèn luyện kĩ năng toán học

2 Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thành khả năng gợi động cơ nội tại toán học

3 Hình thành ở học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức về tương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức về tư duy hàm

4 Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độ trực quan của đối tượng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt động của học sinh

Kết luận

Để có một phương pháp học tập tốt, người học cần phải biết rèn luyện cả

bảy loại tư duy trong mối quan hệ với “sáu mọi” ( học mọi lúc, mọi nơi, mọi người, trong mọi hoàn cảnh, bằng mọi cách, qua mọi nội dung ) Rèn luyện tư

duy không đưa lại kết quả có thể “đếm” được như là học “kiến thức” Tư duy hình thành theo kiểu các hạt cát tích lũy lâu ngày thành bãi phù sa Mỗi lần học được một cách tư duy đúng hay phát hiện ra một cách tư duy sai coi như

đã giành thêm được một hạt cát Biết bao nhiêu là hạt cát mới hình thành được bãi phù sa nên phải có rất nhiều cơ hội rèn luyện tư duy và càng có nhiều, hơn nữa, vì ta có bảy loại tư duy cần rèn luyện Phải thực hiện “sáu mọi” thì mới có cơ hội để rèn luyện và phải học các kiến thức phổ thông cơ bản một cách toàn diện thì mới có thể gặp đủ các loại tư duy

II.2.2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Có thể rèn luyện, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh theo các hướng sau

• Theo 5 thành phần của tư duy sáng tạo ( tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề )

• Dựa trên các hoạt động trí tuệ: Dự đoán, bác bỏ, khái quát hoá, tương

tự hoá,…

• Tìm nhiều lời giải một bài toán, khai thác, đào sâu kết quả bài toán…

31

Học sinh học tập một cách sáng tạo không vội vã bằng lòng với giải pháp

đã có, không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới Việc đánh giá tính sáng tạo được căn cứ số lượng tính mới mẻ, tính độc đáo, tính hữu ích của các đề xuất Tuy nhiên tính sáng tạo cũng mang tính

chất tương đối: Sáng tạo đối với ai? Sáng tạo trong điều kiện nào? …

Mối quan hệ giữa TDBC và TDST

Quan điểm của GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn khi nói về tư duy biện chứng cho rằng: “ Muốn học toán một cách sáng tạo thì chỉ tư duy lôgic thôi chưa đủ; tư duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề

và định hướng tìm tòi cách giải quyết vấn đề; nó là cái giúp chúng ta củng cố lòng tin rằng rồi sẽ có một ngày thành công và hướng tìm đến thành công là

cố nhìn cho được một khái niệm toán học theo nhiều hướng khác nhau, càng nhiều càng tốt”

Toán học tiến lên theo quy luật “thống nhất biện chứng giữa các mặt đối lập” : ngẫu nhiên và tất nhiên, gián đoạn và liên tục, hữu hạn và vô hạn, đơn

giản và phức tạp, vận động và đứng yên, v.v… Ví dụ: từ xa xưa, người ta đã biết coi “liên tục” như là vô vàn những gián đoạn vô cùng nhỏ, một cái gì đó

“phức tạp” như là tổng của vô vàn cái “đơn giản”… để xử lí những sự vật phức tạp, thay đổi, uốn éo Ví dụ đơn giản nhất là tính chu vi đường tròn bằng cách coi vòng tròn như là giới hạn của một đa giác đều nội tiếp có số cạnh vô cùng lớn Việc thay thế “phức tạp” bằng “đơn giản”, “liên tục” bằng “gián đoạn” như vậy, trước đây thường chỉ là một thao tác tư duy (tưởng tượng), ít khả thi vì phải xử lí với một số cực kì to lớn những “gián đoạn”, những “đơn giản” Nhưng máy tính điện tử ra đời, với tốc độ xử lí thông tin ngày càng cao, đã ngày càng tăng tính “khả thi” của việc xử lí nói trên Điều đó làm cho toán học trở nên mềm mại như con rắn, chui vào ngóc ngách nào cũng được Phức tạp và thay đổi uốn éo như tư duy, người ta cũng mô phỏng để lập trình cho máy tính “tư duy”

-

Một số biểu hiện của

Tư duy sáng tạo

Thành phần của cấu trúc TDST

Các cặp phạm trù của triết học DVBC

Dễ dàng chuyển từ hoạt

động trí tuệ này sang

hoạt động trí tuệ khác

Tính mềm dẻo (Flesibility)

BT có nhiều cách giải

Có nội dung biến đổi Loạt BT khác kiểu Bài tập thuận nghịch

Nội dung- hình thức Suy diễn – quy nạp Phân tích - tổng hợp Vận động - đứng yên

trong điều kiện quen

Tính nhuần nhuyễn BT có nhiều kết quả

BT “câm”, toán vui, nguỵ biện

Cái chung – cái riêng

Khả năng tìm ra

những liên tưởng và

những kết hợp mới

Tính độc đáo (Originality)

BT không theo mẫu, Toán vui, nguỵ biện, câu đố

Cái chung – cái riêng

Nội dung – hình thức

Nhìn ra những mối

liên hệ trong những sự

kiện, bên ngoài tưởng

như không có liên hệ

với nhau

Tính độc đáo - BT không theo mẫu,

- Toán vui, nguỵ biện, câu đố

Bản chất - Hiện tượng Tất nhiên - ngẫu nhiên Chủ quan – khách quan Nội dung – hình thức

34

II.2.3 – Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập Toán

• Theo nghĩa rộng, bài tập (bài toán) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện

đó

• Cần phải có sự phân biệt giữa bài tập và bài toán Để giải bài tập chỉ yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật toán đã học Nhưng đối với bài toán để giải được, phải tìm tòi, giữa các kiến thức có thể sử dụng và việc áp dụng để xử lí tình huống còn có khoảng cách, vì các kiến thức đó không dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lí thích hợp Muốn sử dụng được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích hợp với tình huống

• Nói về chức năng của bài tập, bài toán : “Thế nào là nắm vững môn toán? Đó là phải biết giải toán, không những chỉ những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa” [G.Polia] J.Adama viết: Giữa một bài toán đại số hay hình học của người học sinh và sự phát minh, cái khác nhau chỉ là mức độ chất lượng, bởi vì cả hai đều có cùng một tính chất

chung đó là: “sáng tạo”

• Một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả trong việc giải một bài toán cũng có ít nhiều phát minh Bài toán anh giải có thể là bình thường, nhưng nếu nó khêu gợi trí tò mò và buộc anh phải sáng tạo và nếu tự mình giải lấy bài toán đó thì anh sẽ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi [9]

• Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu

họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự tìm tòi độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết Như vậy một bài tập cũng được xem như mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải của nó không bị mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay

hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi chưa biết trước

35

• Việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng vào việc khai thác, nghiên cứu bài tập toán học mang những biểu hiện đặc trưng của sự sáng tạo [tr17] Do vậy, cần phải đặc biệt coi trọng yếu tố tư duy biện chứng trong việc giải và nghiên cứu bài tập toán học

Ta xem xét ví dụ sau đây :

Cho bất đẳng thức 2 , dấu “ ” xảy ra khi , đây là một bất đẳng thức cơ bản và quen thuộc

• Bất đẳng thức này đúng với mọi số thực , và khi thay à bởi những giá trị chứa biến khác nhau ta được vô số các bất đẳng thức mà

huy tác dụng! Nếu khéo léo khai thác học sinh có thể xây dựng được nhiều

bài toán khác nhau (hình thức) điều này giúp cho học sinh khái quát hoá

được hệ thống kiến thức, phát huy được tính linh hoạt và sáng tạo trong việc học toán

Tiếp tục vận quy luật “phủ định của phủ định” vào khai thác bài toán trên:

Phủ định lần thứ nhất

Ta đã biết 2 ớ ọ , (tổng quát) Đã bao giờ bạn

nghĩ rằng có một bất đẳng thức nào khác “chặt” hơn không ? (có nghĩa là liệu

Như vậy, ta có thể dự đoán rằng biểu thức , ứ , để đảm

bảo tính đồng bậc ( bậc 2) ta dự đoán biểu thức , ó ể à:

“chặt” hơn bất đẳng thức thuỳ theo mức độ gần 1 của

• Từ đó ta có thể xây dựng được một số bất đẳng thức mạnh hơn những

bất đẳng thức quen thuộc đã biết :

1 Với , , 0 à 0 , , 1 ó:

Nhờ việc vận dụng quy luật triết học duy vật biện chứng vào khai thác bài

toán (*) đã giúp ta nhận ra được những cấu trúc mới trong đối tượng quen thuộc ( trong đó đối tượng quen thuộc chỉ là một trường hợp đặc biệt, một thành phần của cấu trúc mới ) Đó chính là một biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo Như vậy, việc vận dụng tư duy biện chứng vào nghiên cứu bài

tập toán có tác dụng rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh Điều này hoàn toàn phù hợp với những hàm ý của định hướng đổi mới phương pháp dạy học

ở trường phổ thông

F G

38

CHƯƠNG II VẬN DỤNG TDBC VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU

BÀI TẬP TOÁN HỌC

A TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN

A.1 Cái chung – Cái riêng

Các phát minh lý thuyết chủ yếu dựa trên sự mở rộng

- Toán học là lĩnh vực đặc thù để xét mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng Sự sắp xếp chương trình học toán nói chung là dẫn dắt học sinh đi từ những trường hợp riêng rồi khái quát lên dần những cái chung VD từ tập

số tự nhiên rồi đến số nguyên, số hữu tỉ, vô tỉ, số phức Từ tam giác vuông đến tam giác thường rồi đến tứ giác…Khi học sinh làm bài tập thì cần phải vận dụng những khái niệm chung, những định lý chung vào từng trường hợp cụ thể cho từng bài toán

- Nói rộng ra, những phát minh lý thuyết tầm cỡ trong toán học luôn luôn là

sự mở rộng từ một cái “riêng”đã biết đến một hay nhiều cái chung mà

trước đó chưa ai biết (trong đó cái riêng đã biết chỉ là một trường hợp đặc biệt)

- Cũng có những phát minh chỉ là phát hiện ra một trường hợp riêng mà

trước đó chưa ai biết của một cái chung đã biết (thường là những phát minh nhỏ)

- Cái “mới” bao giờ cũng từ cái cũ mà ra, các nhà phát minh thế hệ sau bao giờ cũng đứng trên vai các nhà phát minh thế hệ trước, kế thừa những thành quả của họ Các thành quả này chỉ sinh ra các vấn đề cho thế hệ sau nghiên cứu khi chúng bất lực trong việc giải quyết các vấn đề lý luận hay thực tiễn mới đặt ra Kết quả nghiên cứu sẽ là một lý thuyết mới vừa kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết cũ (mặt thống nhất giữa lí thuyết cũ

và mới), lại vừa phủ định những mặt tiêu cực của lý thuyết cũ (theo nghĩa giải quyết được những yêu cầu mới mà lí thuyết cũ bất lực)

39

- Ví dụ lí thuyết số phức ra đời kế thừa những mặt tích cực của lí thuyết số thực, đồng thời nó cũng phủ định mặt tiêu cực của lí thuyết số thực là bất lực trước việc lấy căn bậc hai của một số âm

Mối quan hệ giữa “cái chung – cái riêng”

* Một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chung khác nhau

* Một cái chung đem đặc biệt hoá từng bộ phận khác nhau, theo những cách khác nhau sẽ cho nhiều cái riêng khác nhau

Đứng trước việc tìm tòi lời giải của một bài toán giáo viên có thể yêu cầu học sinh đặc biệt hóa từng bộ phận của bài toán theo những cách khác thức nhau

1 Dự đoán kết quả của một bài toán

Ví dụ 1 Xây dựng công thức tính diện tích của một tứ giác lồi ?

Dự đoán

Chúng ta đã biết một công thức quen thuộc về diện tích của tam giác:

Phải chăng công thức trên là

trường hợp đặc biệt của công thức

tính diện tích của tứ giác lồi khi ta

cho hai đỉnh liên tiếp của tứ giác

40

Ta được:

Tương tự, khi cho hai đỉnh A và B trùng nhau thì AB = a = 0 và hai trong bốn

góc ở đỉnh của tứ giác suy biến thành 00

Ta được:

Vậy ta có thể dự đoán công thức tổng quát tính diện tích của tứ giác lồi là :

trong đó : , là một biểu thức chứa số

đo các góc tạo bởi các cạnh trong tứ giác

, , , … là biểu thức chứa độ dài các cạnh

của tứ giác

Lưu ý rằng:

• không chứa độ dài các cạnh của tứ giác

để đảm bảo bậc của biểu thức là 4

Đặc biệt hoá bằng cách cho tứ giác ABCD là hình vuông

Như ta đã biết , đồng thời theo công thức trên ta có :