luận văn thạc sỹ toán:vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi’.

luận văn làm rõ lý luận về phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp đàm thoại, khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh thpt trong học toán, các dạng toán bất đẳng thức áp dụng phương pháp dạy học mới, các biện pháp sư phạm trong dạy học bất đẳng thức nhằm áp dụng phương pháp phát hiện giải quyết vấn đề.

Trang 1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình hình thành và phát triển tư duy của học sinh thì Toánhọc có vai trò đặc biệt quan trọng Người giáo viên cần rèn luyện cho họcsinh thấy được nhiều hình thức có thể diễn tả cùng một nội dung Toán họcđồng thời phải rèn luyện cho học sinh biết lựa chọn hình thức phù hợp nhấtthể hiện nội dung đó Theo quan điểm của triết học duy vật biện chứng, bất kì

sự vật nào cũng mang trong nó hai yếu tố nội dung và hình thức Nội dung cóthể được thể hiện bằng nhiều hình thức khác nhau, nội dung quyết định hìnhthức và hình thức tác động trở lại nội dung

Bất đẳng thức là một trong những nội dung hay của Toán phổ thông vàthường xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán Đây cũng là một nội dungquan trọng nhằm rèn luyện trí tuệ cho học sinh Nhìn bất đẳng thức dướinhiều phương diện khác nhau sẽ giúp học sinh linh hoạt trong lựa chọn hìnhthức thể hiện nội dung này Điều đó kích thích tư duy biện chứng, tư duysáng tạo cho các em

Tuy nhiên, bất đẳng thức cũng là một nội dung khó, nếu không đổimới phương pháp dạy học thì có thể dẫn đến tình trạng truyền thụ một chiều.Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hóa việc họccủa người học Để giải quyết mâu thuẫn trên đây người thầy cần tăng cườnggiao lưu giữa thầy và trò trong quá trình dạy học Có như vậy mới có thể vừatích cực hóa được việc học của người học vừa rèn luyện được tính linh hoạtnhìn nhận một vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau cho học sinh

Trang 2

Từ những lý do trên, đề tài được chọn là :‘Vận dụng phương pháp

đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi’.

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu là vận dụng một số phương pháp dạy học tíchcực trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi

Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu về phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyếtvấn đề

- Xây dựng các câu hỏi đàm thoại phát hiện trong dạy học nộidung bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi

- Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quảcủa đề tài

3 Nội dung nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp dạy học tính cực đặc biệt là phươngpháp đàm thoại phát hiện

- Nghiên cứu về bất đẳng thức

- Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện trong dạy học bất đẳng thức

- Nhìn nhận đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khácnhau dựa vào mối liên hệ tương ứng giữa các số với các đại lượng hình học

và lượng giác

- Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theonhững phương diện mới

- Đề xuất giải pháp sư phạm

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận

Trang 3

Tìm hiểu, nghiên cứu những vấn đề liên quan đến đề tài định hướngcho việc nghiên cứu; phân tích và tổng hợp những quan điểm dựa trên các tàiliệu về tâm lý học, giáo dục học, phương pháp dạy học môn toán và các tàiliệu về bất đăng thức.

4.2 Thực nghiệm sư phạm

Đối tượng thực nghiệm: học sinh lớp 11 T2 Khối THPT Chuyên ĐHSP

Hà Nội

Xử lý kết quả bằng một số phương pháp thống kê toán học

5 Cấu trúc luận văn

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.1 Lịch sử của vấn đề.

1.1.2 Quan niệm về dạy học đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề.

1.1.3 Những ưu điểm, nhược điểm của dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề

1.2 Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức.

1.2.1 Định nghĩa, tính chất bất đẳng thức.

1.2.2 Nhìn nhận, đẳng thức, bất đẳng thức theo nhiều phương diện khác

nhau dựa vào mối liên hệ tương ứng giữa các số với các đại lượng hìnhhọc và lượng giác

1.3 Một số khó khăn và sai lầm thường gặp trong học sinh khi chứng minhbất đẳng thức

Chương 2 Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đềtrong dạy học bất đẳng thức

2.1 Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện

2.2 Đàm thoại phát hiện giải quyết vấn đề trong dạy học một số bất đẳngthức

Trang 4

2.3 Sáng tạo bất đẳng thức bằng cách nhìn bất đẳng thức đã có theo nhữngphương diện mới.

2.4 Đề xuất giải pháp sư phạm

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích, nội dung tổ chức thực nghiệm sư phạm

3.2 Triển khai thực nghiệm sư phạm

3.3 Đánh giá thực nghiệm sư phạm

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 5

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN1.1 PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤNĐỀ

1.1.1 Lịch sử của vấn đề

Phương pháp đàm thoại phát hiện có từ thời Socrate, thế kỉ thứ IIItrước công nguyên Phương pháp này dựa trên các câu hỏi - đáp, học sinhkhông tự khám phá mà chỉ theo từng bước lý luận do giáo viên đưa ra Bởivậy, phương pháp này có thể gọi là phương pháp khám phá thụ động

Các phương pháp dạy học truyền thống được chia thành ba nhóm lànhóm các phương pháp dùng lời, nhóm các phương pháp trực quan, nhómphương pháp thực hành Trong nhóm các phương pháp dùng lời có phươngpháp vấn đáp được sử dụng nhiều hơn trong dạy học

Trong các phương pháp vấn đáp có vấn đáp tìm tòi - vấn đáp phát hiệnhay đàm thoại, vấn đáp giải thích- minh hoạ, vấn đáp tái hiện

Vấn đáp tìm tòi được gọi là vấn đáp phát hiện hay đàm thoại Vớiphương pháp này giáo viên tổ chức đối thoại, trao đổi ý kiến tranh luận giữathầy và cả lớp, có khi giữa trò và trò, thông qua đó học sinh nắm được trithức mới Hệ thống câu hỏi được sắp đặt hợp lý giữ vai trò chỉ đạo, tìm tòi,

sự ham muốn hiểu biết Giáo viên đóng vai trò người tổ chức sự tìm tòi cònhọc sinh thì tự lực phát hiện kiến thức mới, vì vậy kết thúc cuộc đàm thoạihọc sinh có được niềm vui của sự khám phá Cuối giai đoạn đàm thoại, giáoviên khéo léo vận dụng các ý kiến của học sinh để kết luận vấn đề đặt ra, có

bổ sung chỉnh lý khi cần thiết

Trang 6

1.1.2 Quan niệm về dạy học đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề Trong quá trình dạy học, để tích cực hoá hoạt động nhận thức và sửdụng kinh nghiệm đã có của người học, người giáo viên thường sử dụng hệthống các câu hỏi và hoạt động Cũng nhiều khi để hiểu sâu sắc hơn, rộnghơn một vấn đề nào đó, người học cũng đưa ra các câu hỏi cho giáo viên Khi

đó giáo viên đã sử dụng phương pháp đàm thoại để dạy học Yếu tố quyếtđịnh để sử dụng phương pháp này là hệ thống các câu hỏi

Theo nhiệm vụ dạy học, có: câu hỏi tái hiện, câu hỏi gợi mở, câu hỏicủng cố kiến thức, câu hỏi ôn tập hệ thống hoá kiến thức

Theo mức khái quát của các vấn đề, có: câu hỏi khái quát, câu hỏi theochủ đề bài học, câu hỏi theo nội dung bài học

Theo mức độ tham gia của hoạt động nhận thức của người học, có: câuhỏi tái tạo và câu hỏi sáng tạo

Mỗi loại câu hỏi đều có ý nghĩa, vị trí nhất định trong quá trình dạyhọc Việc xây dựng lựa chọn và sử dụng câu hỏi phải phù hợp với nhiệm vụdạy học và khả năng nhận thức của người học

Phương pháp vấn đáp, nếu vận dụng khéo léo, sẽ có tác dụng điềukhiển hoạt động nhận thức của học sinh, kích thích học sinh tích cực độc lập

tư duy, bồi dưỡng cho học sinh năng lực diễn đạt bằng lời các vấn đề khoahọc Giáo viên có thể thu được tín hiệu ngược nhanh chóng từ học sinh đểđiều chỉnh kịp thời hoạt động dạy và hoạt động học đồng thời vấn đápthường xuyên sẽ tạo không khí sôi nổi trong giờ học Tuy nhiên, với phươngpháp này, nếu vận dụng không khéo sẽ dễ làm mất thời gian, ảnh hưởng đến

kế hoạch đã dự kiến, hoặc cũng dễ trở thành cuộc đối thoại kém hiệu quả

Yêu cầu xây dựng câu hỏi:

Trang 7

- Câu hỏi chính xác, thể hiện trong hình thức rõ ràng đơn giản.

- Câu hỏi chính xác rõ ràng giúp người học hình thành được câu trảlời đúng, nếu câu hỏi đa nghĩa phức tạp sẽ gây khó khăn cho sự tư duy củahọc sinh

- Câu hỏi xây dựng theo hệ thống logic chặt chẽ Để xây dựng hệthống câu hỏi theo yêu cầu này cần căn cứ vào cấu trúc nội dung bài học

- Hệ thống câu hỏi được thiết kế theo quy luật nhận thức và khảnăng nhận thức của đối tượng cụ thể:

+ Xây dựng câu hỏi từ dễ đến khó

+ Từ cụ thể đến khái quát, từ khái quát đến cụ thể

+ Câu hỏi từ tái tạo đến sáng tạo

+ Số lượng câu hỏi vừa phải, sử dụng câu hỏi tập trungvào nội dung ‘phải biết’ trong bài học (trọng tâm bài học)

Những yêu cầu khi đặt câu hỏi:

- Câu hỏi được đưa ra một cách rõ ràng

- Câu hỏi hướng tới cả lớp

- Chỉ định một học sinh trả lời, cả lớp lắng nghe và phân tích câutrả lời

- Giáo viên có kết luận

Trong dạy học môn Toán, GV thường tạo ra các cuộc đàm thoại đểhọc sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, để tìm cách giải một bài toán (có thểtheo bảng gợi ý của Polya) Thậm chí, trong quá trình tìm lời giải một bàitoán, học sinh có khi tự đối thoại với chính mình Các câu hỏi được lặp lạiqua các bài bất đẳng thức giúp học sinh tập luyện tri thức ăn khớp với tri thứcphương pháp Bất đẳng thức là một nội dung hay và khó Nếu khả năng củahọc sinh còn hạn chế, người thầy cần làm cho học sinh có cảm giác rằng tự

HS làm được, do đó thầy phải giúp đỡ kín đáo mà không bắt học sinh lệ

Trang 8

thuộc vào mình Người thầy phải đặt vị trí mình là một học sinh, nghiên cứutrường hợp cụ thể của HS, cố gắng hiểu xem HS nghĩ gì, đặt ra câu hỏi đểhọc sinh có thể tự mình trả lời được Để có thể đặt mình vào vị trí người học,người thầy phải nghĩ đến những kinh nghiệm của bản thân mình, nhớ lạinhững khó khăn và những thành công của mình trong việc giải toán.

Khi người thầy đặt câu hỏi cần nhằm vào hai mục đích: thứ nhất giúp học sinh giải được một bài toán cụ thể, thứ hai là phát triển những khả năng của học sinh để họ có thể tự lực giải những bài toán sau này Hai mục đích

này liên hệ mật thiết với nhau Nếu học sinh giải được bài toán cụ thể thì từ

đó HS cũng có thể có khả năng giải được bài toán tổng quát Như vậy những

câu hỏi mà thầy đặt ra cho học sinh phải tổng quát và áp dụng vào nhiều

trường hợp Nếu dùng nhiều lần một câu hỏi, học sinh sẽ chú ý đến nó mộtcách trực giác và HS có thể tự đặt ra được câu hỏi đó trong trường hợp tương

tự Nếu HS có thể tự đặt được câu hỏi đó nhiều lần thì HS có thể rút ra được

những ý kiến xác đáng Người thầy phải làm cho học sinh thấm nhuần những

câu hỏi và những câu hỏi này sẽ góp phần phát triển một thói quen của trí óc.

Đàm thoại có thể hiểu là câu hỏi gợi ý Gợi ý và câu hỏi là các cáchgiáo viên đứng lớp giúp học sinh sử dụng vốn hiểu biết có sẵn về một chủ đề.Gợi ý liên quan đến ‘các dấu hiệu’ về những kinh nghiệm có sẵn của họcsinh Giáo viên gợi ý cho học sinh, chờ đợi những kiến thức mới, điều này sẽkhiến trong óc các em nảy ra những dự đoán về những thông tin mới Việcđặt ra các câu hỏi cũng có một chức năng như vậy Khi đàm thoại, cần tậptrung vào những vấn đề quan trọng, trọng tâm chứ không phải là vào những

gì bất thường Khoảng thời gian ‘chờ đợi’ trước khi tiếp nhận nhận câu trả lờicủa học sinh có tác dụng làm cho hiểu biết của các em sâu sắc hơn

Trang 9

Khi thầy hướng dẫn học sinh qua một hệ thống câu hỏi đàm thoại, họcsinh từng bước suy nghĩ trả lời, tìm kiếm kiến thức mới Qua đó tư duy vàmột số phẩm chất đạo đức nảy nở và phát triển như tính chủ động, tự tin,niềm phấn khởi, hứng thú dẫn đến tư duy sáng tạo trong việc chọn câu trả lờichính xác Tư duy và tính cách hầu như vô hình, khó thấy nhưng lại thấm dầnvào trí tuệ, hình thành nên nhân cách người lao động sáng tạo sau này Tưduy và tính cách không hình thành theo kiểu kiến thức mà thấm dần theokiểu ‘lắng đọng phù sa’, mỗi ngày một tí rất khó thấy, tích luỹ lâu ngày mớithấy rõ, giống như từng hạt cát nhỏ li ti coi như không đáng kể, lâu ngày tíchlại thành bãi phù sa Một vài hạt cát nhỏ thì chẳng có ý nghĩa gì nhưng bãicát phù sa thì rất có ý nghĩa.

Sáng tạo bắt đầu từ việc phát hiện ra vấn đề, sau đó mới tìm cách giảiquyết vấn đề và khi giải quyết được thì sẽ có một cái gì mới ra đời giúp họcsinh vượt qua được một khó khăn để tiến về phía trước Nhưng làm thế nào

để có khả năng phát triển vấn đề ? Điều này liên quan đến vấn đề phát triển

tư duy biện chứng Nếu A chỉ là A thì tư duy chỉ quanh quẩn trong A, khôngthoát ra được để hướng tới một cái mới khác A, nghĩa là không thấy có vấn

đề Tư duy biện chứng thừa nhận sự thống nhất của các mặt đối lập nênkhông chịu ép một bề, trong khó khăn vẫn nhìn ra thuận lợi, vì vậy sẽ pháthiện ra vấn đề Cần tìm ra hết các mặt thuận lợi nhưng cũng phải cảnh giác

để thuận lợi không chuyển hoá thành khó khăn Nếu ta đề cao sáng tạo thìphải rất đề cao tư duy biện chứng Không những nó giúp ta phát hiện vấn đề

mà khi đã phát hiện ra thì nó cũng giúp ta tìm hướng giải quyết vấn đề Tabiết rằng một cái riêng có thể là trường hợp đặc biệt của nhiều cái chungkhác nhau tuỳ theo cách nhìn cái riêng đó Ta sẽ sáng tạo nhiều hay ít tuỳthuộc vào ta trí tưởng tượng rồi rào đến đâu khi đi tìm các góc độ khác nhau

Trang 10

để nhìn nhận cái riêng, điều này lại liên quan đến tư duy hình tượng Như vậy

tư duy hình tượng cũng góp phần tạo nên ‘tư duy sáng tạo’

Bất đẳng thức là một nội dung khó và phương pháp giải rất đa dạng,chính vì thế nó cũng làm cho nhiều giáo viên phổ thông khó khăn trong việcdạy học theo phương pháp tích cực cho học sinh Việc đưa ra được quy trìnhđàm thoại sẽ giúp giáo viên giải quyết được khó khăn này Không những thế,quy trình đàm thoại phát hiện còn có tác dụng tích cực đến tri giác, tư duy

của học sinh Trí nhớ là hoạt động của phản xạ có điều kiện; thông tin cần

lặp đi lặp lại nhiều lần mới thành lập được phản xạ có điều kiện Do đó đưa

ra một quy trình đàm thoại và lặp đi lặp lại là một phương pháp hiệu quả giúptăng cường sức nhớ

M.I.Makhmutnov đã nhấn mạnh: ‘trong việc tích cực hoá hoạt độngnhận thức của học sinh các câu hỏi bao giờ cũng có ý nghĩa tiên quyết’.Trong quá trình dạy học cần tăng cường thảo luận thông qua hệ thống câuhỏi Biện pháp này được sử dụng để giúp đỡ học sinh tìm kiếm chiến lượcgiải quyết vấn đề Hệ thống câu hỏi phải thoả mãn một số điều kiện

Mỗi khái niệm, mệnh đề toán học đều có cấu trúc logic nhất định Ta

có thể phân giải thành các yếu tố cấu thành và diễn đạt một cách tường minhbên ngoài người học, đồng thời lại có thể sắp xếp các yếu tố đó theo một trật

tự liên tiếp nhau Vì vậy, hệ thống câu hỏi (được xây dựng nhằm nghiên cứucấu trúc đó) cũng phải được sắp xếp ‘gần’ tương ứng với trật tự đó (gần là vìnhiều khi cần có câu hỏi rẽ nhánh theo yêu cầu sư phạm), tức là trong hệthống, mỗi câu hỏi sau phải được suy ra từ câu hỏi trước

Các câu hỏi phải được đặt ra sao cho kích thích tối đa hoạt động nhậnthức của học sinh Muốn vậy trong mỗi câu hỏi phải chứa đựng một tìnhhuống có vấn đề (vấn đề ở đây là những tìm tòi, những nghiên cứu nhỏ được

Trang 11

phân, tách từ vấn đề chính), tức là mỗi câu hỏi phải hướng học sinh tớinhững mục tiêu đã được sắp đặt logic.

Bằng con đường nghiên cứu trả lời các câu hỏi mà học sinh giải quyếtđược vấn đề đặt ra

Bên cạnh đó các câu hỏi cần được xây dựng ngắn, gọn, dễ hiểu, rõràng và có tính đến đặc điểm lứa tuổi, trình độ nhận thức chung của cả lớpcũng như từng học sinh Giáo viên không những phải suy tính cả một hệthống câu hỏi mà còn phải suy tính đến cả những câu trả lời của học sinh, tới

sự ‘gỡ nút’ có thể có (trong trường hợp các em đi chệch khỏi phương hướngtìm tòi đúng đắn) Sự gỡ nút này có khi là câu hỏi phụ trợ, có khi là lời gợi ý,

là điều giải thích, chỉ rõ sự nhầm lẫn trong suy nghĩ của học sinh Cuốicùng, học sinh tự rút ra được kết luận đúng đắn

Tư tưởng chỉ đạo đối với giáo viên: không trực tiếp cung cấp thông tin

có sẵn mà chỉ đặt ra các tình huống liên tiếp để hướng ý nghĩ của học sinhvào việc nghiên cứu, phân tích đối tượng và tìm cách giải quyết

Đàm thoại phát hiện là một phương pháp dạy học truyền thống, nó có

phần giống với phương pháp dạy học giải quyết vấn đề (phương pháp dạy học không truyền thống)ở cấp độ thầy trò vấn đáp phát hiện giải quyết vấn

đề Tuy nhiên hai phương pháp này thật ra là không đồng nhất với nhau.

Điểm quan trọng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải lànhững câu hỏi mà là tình huống gợi vấn đề Trong nhiều trường hợp, việcphát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh có thể diễn ra chủ yếu là nhờ tìnhhuống gợi vấn đề chứ không phải là nhờ những câu hỏi mà thầy đặt ra Tuy

nhiên trong quá trình dạy học sinh khá giỏi thì đàm thoại, phát hiện giải

quyết vấn đề vẫn có những ưu điểm nhất định Đứng trước nhiều bài toán

khó, nhiều khi học sinh không hoàn toàn phải sáng tạo cái mới mà phải biếttổng hợp những kết quả đã học Những câu hỏi của thầy giáo không hẳn là

Trang 12

câu hỏi gợi vấn đề mà có khi nhằm vào mục đích giúp học sinh tái hiện lạinhững kết quả đã có, nhớ lại những bài toán phụ, những bổ đề áp dụng giảiđược bài toán trước mắt.

1.1.3 Những ưu điểm, nhược điểm của dạy học đàm thoại phát hiện giải

a) Ưu điểm của phương pháp:

- học sinh làm việc tích cực, độc lập

- thông tin hai chiều

b) Nhược điểm của phương pháp:

- tốn thời gian

- thầy dễ bị động khi bị trò hỏi lại

- Thực tế thì đàm thoại kiểu ấy có kích thích được phần nào tính

tích cực của học sinh, song chưa phát huy được tính chủ động, tự giác, sáng tạo của người học, bởi người học hoàn toàn lệ thuộc vào câu hỏi của

ông thầy Như vậy, đàm thoại một chiều cũng tham dự vào phát huy tính

thụ động của học sinh Học sinh vẫn là khách thể, bị “giật dây” và thụ

động trả lời gióng một theo các câu hỏi vụn vặt của ông thầy Câu hỏi vụnvặt, nội dung hỏi đáp tủn mủn khiến HS rất khó giải quyết vấn đề ra ‘tấm’

ra ‘miếng’

c) Yêu cầu sư phạm đàm thoại

- Phải làm cho HS ý thức được mục đích của toàn bộ hay mộtphần lớn của cuộc đàm thoại

Trang 13

- Hệ thống câu hỏi phải logic, thống nhất.

- Mức độ khó của câu hỏi phụ thuộc vào trình độ của học sinh

- Sau khi giải quyết xong vấn đề phải tổng kết vấn đề

- Phải đảm bảo nguyên tắc: đàm thoại với cả lớp

1.2 Những kiến thức cơ bản liên quan đến bất đẳng thức

1.2.1 Khái niệm bất đẳng thức

a) Quan hệ thứ tự trong R

Trong tập hợp các số thực có quan hệ thứ tự, tức là : Với mỗi cặp số thực a, b bất kì , luôn xảy ra một và chỉ một trong bakhả năng:

- hoặc a bằng b, ký hệu a = b.

- hoặc a lớn hơn b, ký hiệu a > b.

- hoặc a nhỏ hơn b, ký hiệu a < b.

b) Định nghĩa bất đẳng thức

Giả sử A, B là hai biểu thức(trường hợp đặc biệt A, B có thể là hai số).Mệnh đề ‘A lớn hơn B’, ký hiệu A > B được gọi là một bất đẳng thức A, Bgọi là các vế của bất đẳng thức ấy Người ta cũng viết bất đẳng thức dướidạng B<A, đó là mệnh đề “B nhỏ hơn A” tương đương với mệnh đề trên Như bất cứ một mệnh đề toán học nào, bất đẳng thức A>B có thể đúng hoặc

Trang 14

Do vậy, người ta sử dụng mệnh đề sau đây dưới dạng ký hiệu:

AB : “A lớn hơn hoặc bằng B”

AB : “A nhỏ hơn hoặc bằng B”

Các mệnh đề trên cũng được gọi là bất đẳng thức, rõ hơn: bất đẳngthức suy rộng, để phân biệt với các bất đẳng thức nghiêm ngặt dạng A>B,A<B

b b a





c c

;

) 0 (

;

c c b c a

c c b c a b

Tính chất 6:

Trang 15

a) Nhỡn theo phương diện lượng giỏc.

Để cú thể nhỡn nhận bài toỏn theo phương diện lượng giỏc, HS cầnhiểu biết những bất đẳng thức lượng giỏc cơ bản và một số hệ thức lượnggiỏc trong tam giỏc, cần nắm vững tập giỏ trị của cỏc hàm số lượng giỏc, sựliờn hệ giữa cỏc số với sự liờn hệ giữa cỏc hàm lượng giỏc

Một số dấu hiệu để nhận biết một bài toán có thể giải bằng phơngpháp lợng giác

- Có một trở ngại đại số cần khắc phục Vớ dụ chứng minh bất

Trang 16

- Trong đề bài(ở giả thiết hoặc kết luận) có một bộ phận tơng tựvới một công thức lợng giác nào đó Chẳng hạn:

- Với ba số bất kỡ x, y, a thỏa món x2 +y2 =a2 thỡ luụn tồn tạigúc  để x = a.cos, y = a.sin

- Với ba số dương bất kỡ m, n, p thỏa món m +n =p luụn tồn tạigúc  thỏa món m = p.sin2  , n = p.cos2 

- Với ba số dương x, y, z thỏa món x + y + z = xyz luụn tồn tạitam giỏc nhọn ABC thỏa món x =tanA, y=tanB, z= tanC

- Với ba số dương x, y, z thỏa món x2 + y2 + z2 +2xyz = 1 luụntồn tại tam giỏc nhọn ABC thỏa món x =cosA, y=cosB, z= cosC

- Với ba số dương x, y, z thỏa món xy+yz+zx = 1 luụn tồn tạitam giỏc nhọn ABC thỏa món x=cotA, y=cotB, z=cotC

- Với ba số dương x, y, z thỏa món xy+yz+zx = 1 luụn tồn tại

2 tan

; 2

- Bộ phận 4x3-3x tơng tự với công thức: 4cos3t-3cost=cos3t

- Bộ phận 2x2-1 tơng tự với công thức 2cos2t-1=cos2t

- Bộ phận 2 2

1

x x

 tơng tự với công thức t

t

2 tan tan

1

tan 2

 tơng tự với công thức t

t

2 sin tan

1

tan 2

tan tan

- Nói chung trong mọi trờng hợp đều có thể đặt x=tant

- Nếu có 2 đại lợng x, y biến thiên thoả mãn x2+y2=a2(a>0).thì luôn có thể đặt x=acost, khi đó y=asint với 0  t 2 

Trang 17

- Hoặc x=asint, khi đó y=acost với 0  t 2 

- Nếu x a a(  0) có thể đặt

sin

a x

b) Nhỡn theo phương diện hỡnh học

Để cú thể nhỡn nhận bài toỏn theo phương diện hỡnh học, HS cầnnắm vững những biểu thức, cụng thức, đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản củahỡnh học, sự liờn hệ về tập xỏc định của cỏc số với độ đo cỏc đại lượng hỡnhhọc, chẳng hạn:

- Mỗi số dương a luụn tồn tại đoạn thẳng AB cú độ dài bằng a

- Ba số dương a, b, c thỏa món: tổng hai số bất kỡ lớn hơn số thứ baluụn tồn tại một tam giỏc nhận a, b, c là độ dài cỏc cạnh

- Với ba số dương bất kỡ x, y, z thỡ x+y, y+z, z+x là độ dài ba cạnh tamgiỏc

- Chuyển bài toỏn bất đẳng thức hỡnh học, tam giỏc với ba cạnh a, b, c

về bất đẳng thức với ba số dương bằng cỏch đặt x = b+c-a, y=c+a-b,

z =a+b-c

- Nếu x2 + y2 = a2 và x, y, a > 0 thỡ tồn tại tam giỏc vuụng sao cho a là

độ dài cạnh huyền cũn x, y là độ dài cỏc cạnh gúc vuụng.- Ba số dương x, y,

z cú tổng bằng a luụn tồn tại tam giỏc đều ABC cạnh 2a3 và điểm M nằm

trong tam giỏc sao cho khoảng cỏch từ M đến 3 cạnh lần lượt là x, y, z.c) Nhỡn theo cỏc phương diện khỏc

- Với phương diện bất đẳng thức đại số, cần nắm vững cỏc tớnh chấtcủa bất đẳng thức, cỏc bất đẳng thứ cổ điển, bất đẳng thức bỡnh phương vàbất đẳng thức chứa dấu giỏ trị tuyệt đối

Trang 18

- Với phương diện hàm, cần hiểu biết những định hướng cơ bản ứngdụng hàm chứng minh bất đẳng thức.

- Với phương pháp véc tơ và tọa độ, cần nắm vững bất đẳng thức về

mô đun véc tơ

- Với phương pháp tam thức bậc hai, cần nắm vững điều kiện cónghiệm và định lý về dấu tam thức bậc hai

- Với phương pháp biến đổi tương đương, cần nắm vững tính chất cơbản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức thuộc các phương diện trên

- Phương diện đổi biến số đại số, đổi biến

+ Nếu ba số dương a, b, c có tích bằng 1 thì tồn tại các sốdương x, y, z thoả mãn c x z

z

y b y

y b

z y x

x a

Trang 19

Ví dụ : Cho a, b, c dương Chứng minh

.Rất nhiều học sinh làm như sau:

) )(

Trường hợp 1: a+b-c, b+c-a, c+a-b không âm Sử dụng kết quả trên

Trường hợp 2: Một trong ba đại lượng a+b-c, b+c-a, c+a-b có ít nhất một đạilượng âm Khi đó có đúng một đại lương âm vì tổng hai đại lượng bất kìdương Vì vậy (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) < 0 < abc

- Học sinh quên điều kiện sử dụng bất đẳng thức

1 1

 aa  a   a  a 

Các em quên rằng không đủ điều kiện để khẳng định a và 1-a không âm Ta

2

1 4

1 ) 1 (

Trang 20

- Ngoài ra, học sinh có thể sai lầm khi sử dụng các phương pháp củagiải tích như ngộ nhận: tích hai hàm đồng biến là hàm đồng biến, hiệu haihàm nghịch biến là hàm nghịch biến,

CHƯƠNG 2VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÀM THOẠI PHÁT HIỆN VÀ GIẢIQUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC

2.1 Đề xuất quy trình đàm thoại phát hiện

Để điều khiển hoạt động của học sinh, vấn đề quyết định là giáo viênphải tìm được cấu trúc logic của nội dung dạy học Để vận dụng phương

Trang 21

pháp đàm thoại phát hiện giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức chohọc sinh khá giỏi ta có thể vận dụng theo một quy trình như sau:

Quy trình đàm thoại – phát hiện.

Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa các đại lượng hoặc các điều kiện của biến trong bài toán.

Bước 2: Thiết lập sự tương ứng, mối quan hệ theo phương diện mới.

Bước 3: Phát biểu bài toán theo phương diện mới.

Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức theo phương diện mới.

Quy trình này được vận dụng, minh hoạ trong các mục tiếp theo

2.2 Đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề dạy học một số bất đẳngthức

2.2.1 Đàm thoại trong các bài dùng tính chất của hàm số lượng giác.Qua nghiên cứu các bài toán chứng minh bất đẳng thức, nhờ tínhchất của hàm số lượng giác và để cụ thể hoá quy trình đã đề xuất ở trên,chúng tôi đưa ra mô hình gồm các câu đàm thoại theo kiểu sau đây:

- Mối liên hệ giữa các đại lượng trong bài toán được xác định bởi biểu thức nào ?

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua các hàm

số lượng giác như thế nào ?

- Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

- Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

Một số bài toán minh hoạ

Bài 1

Cho x2 + y2 =1 Chứng minh

Trang 22

Đặt x sin ,  y c os 

2 ) cos (sin

5 ) cos (sin

20 ) cos (sin

16 ( ) sin 5 sin 20 sin

Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh bất đẳng thức

13 48

36 15

Đặt x sin ,  y c os 

13 cos

48 cos 36 sin 15 sin

Trang 23

13 ) cos 4 cos 3 ( 12 ) sin 3 sin 4

Cho (a-2)2 + (b-1)2 =5 Chứng minh 2a +b  10

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a-2 và b-1 được xác định như thế nào ?

(a-2)2 + (b-1)2 =5

Đặt a 2  5 cos  ;b 1  5 sin 

Trước hết, ta có a 2  5 cos  ;b 1  5 sin 

Ta phải chứng minh 2a+b=5 +2 ( 2  5 cos  )  ( 1  5 sin  )  10

Áp dụng Bất đẳng thức A sin  B cos   A2 B2

2 5  5 10 5

) sin 5 cos 5 2

Trang 24

a + b = 2, a, b 0.

Đặt a =2cos2 , b=2sin2 

- Bất đẳng thức cần chứng minh đựơc chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào?

16(cos8  + sin8  ) 8(cos6  + sin6  )

2(cos8  + sin8  ) - (cos6  + sin6  )  0

cos6  (2cos2 -1) - sin6  (1-2sin2  ) 0

cos2 (cos6  - sin6  ) 0

cos2 (cos2  - sin2 ).(cos4  +cos2  sin2  +sin4 )0

cos22.(sin4  +sin2  cos2  +cos4  )0

Nhận xét: Ta có thể tổng quát

an+1 + bn+1 an +bn

2n+1(cos2n+2  + sin2n+2  ) 2n(cos2n  + sin2n  )

2(cos2n+2  + sin2n+2 ) - (cos2n  + sin2n  )  0

cos2n  (2cos2  -1) - sin2n  (1-2sin2 ) 0

cos2 (cos2n  - sin2n  ) 0

cos2 (cos2  - sin2  ).(cos2n2 + cos2n4  sin2 + + cos2  sin2n-4  +

sin2n-2  ) 0 Bất đẳng thức cuối luôn đúng, ta có đpcm

Bài 5

Cho x, y > 0 thoả mãn x + y = 1 Chứng minh

2

17 1 1

4

4 4 4

- Mối liên hệ giữa các đại lượng x, y được xác định như thế nào ?

x + y = 1

Trang 25

Tồn tại a để x= cos2a, y = sin2a

2

17 sin

1 sin

cos

1

4 4

a a

4

4 4

4

cos sin

1 1

cos sin

sin

1 sin

cos

1 cos

2

17 2

sin

16 1

) 2 sin 2

1 1 ( 2 sin

16 1 cos sin

2

4 2

.

Trang 26

1 8 sin 1 4 cos 4 sin 2 1 4 cos 2 cos 2

5 2

Trang 27

Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào?

1 cos

5 2

tan cos

cos

1 1

cos

1 1

cos cos

1 cos

cos

) sin(

b a

a a

c c

b

trong đó a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 1

- Với điều kiện a  1; b  1; c  1 thì có thể biểu diễn các đại lượng

qua các hàm số lượng giác như thế nào ?

Tồn tại  





 2

; 0 ,

,y z 

y

b x

a

sin

1

; sin

1

; sin

cos

1 1

cos

1

2

Trang 28

sin sin

1 sin

sin

1 sin

sin

1 sin

sin

1 sin sin

1 sin

x x

x z

z y

y

x

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1  sinx siny1  siny sinz1  sinz sinx1  sin 2 x1  sin 2 y1  sin 2 z

1  sinx siny1  siny sinz1  sinz sinx cos 2x cos 2 y cos 2z

Ta có

y x y

x y

sin

x z x

z x

,y z 

x nên nhân các vế tương ứng ta có đpcm

Như vậy, rất nhiều bài toán bất đẳng thức đại số phức tạp, nhờ việc đặt

ẩn phụ với ẩn phụ là hàm lượng giác thì bất đẳng thức đại số được chuyểnsang bất đẳng thức lượng giác đơn giản Ưu điểm của việc chuyển sang bấtđẳng thức lượng giác là chúng ta được sử dụng rất nhiều công thức lượnggiác cũng như tính chất của hàm số lượng giác để biến đổi và đánh giá cácbiểu thức

Điều quan trọng với người giáo viên là phải đưa ra được hệ thống câuhỏi đàm thoại để học sinh nhận ra ngay là có sự tương ứng giữa điều kiện củacác biến, các điều kiện đã cho với tập giá trị của hàm lượng giác hay đẳngthức lượng giác, sự tương ứng giữa bất đẳng thức đại số cần chứng minh vớimột bất đẳng thức lượng giác mà học sinh phải tìm ra Những câu hỏi được

cos cos sin

sin ) cos(

sin

.

sin

Trang 29

lặp đi lặp lại sẽ giúp các em có kỹ năng chuyển đổi bài toán, nhìn bài toántheo phương diện mới.

2.2.2 Với các bài dùng hệ thức lượng trong tam giác

Như đã khẳng định, nhiều câu hỏi của giáo viên không đưa học sinhvào tình huống có vấn đề mà chỉ giúp học sinh tái hiện những tri thức đã học.Với các bài toán bất đẳng thức dùng hệ thức lượng trong tam giác thì tri thứccần trang bị trước cho học sinh đó chính là sự liên hệ đẳng thức giữa các sốthực với đẳng thức của các giá trị lượng giác các góc trong một tam giác

Qua nghiên cứu, chúng tôi thấy cần thiết phải bổ sung cho học sinhcác bổ đề sau:

tan 2 tan 2

A

 ABC.b) Nếu ba số dương x, y, z thoả mãn xy+yz+zx=1 thì tồn tại tam giác

2 tan

; 2

A

Bổ đề 3

a) cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC = 1  ABC

b)Nếu ba số dương x, y, z thoả mãn x2+y2+z2+2xyz =1 thì tồn tại tam giácnhọn ABC thoả mãn x=cosA, y=cosB, z=cosC

Một số bài toán minh hoạ

Bài 11

Cho các số dương x, y, z <1 thỏa mãn xy +yz +zx = 1

Trang 30

A tan 2

tan 2 tan 2

; 2

A

1 2

A tan 2

tan 2 tan 2

tan 2

tan 1 2 tan 2

tan

1

2

A tan

2 2

B

3 3 2 tan 1

2 tan 2 2 tan 1

2 tan 2 2 tan

1

2

A tan

2

2 2

B

3 3 tanC tanB A

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có

tan A tanB tanC

27 ) tanC tanB A (tan C

A.tanB.tan tan

3 tanC tanB

Trang 31

- Có thể biểu diễn các đại lượng x, y, z qua các hàm số lượng giác

tương ứng với đẳng thức trên được không ?

1

1 tan

1

1 tan

1

2 2

Bất đẳng thức tương đương với

cosA + cosB + cosC23

Ta có cosA + cosB +cosC = (cosA+cosB).1 – (cosA.cosB-sinA.sinB)=

=(cosA+cosB).1cosA.cosB+sinA.sinB (cos cos ) 2 1 2

Trang 32

Chứng minh 2 2 2 2 2 1 2

1 1

2 1

2

z y

x z

z y

y x

A tan 2

tan 2 tan 2

; 2

A

1 2

A tan 2

tan 2 tan 2

C B

B A

2 tan 1

1 2

tan 1

1 2

tan 1

1

2 2

Ta có

2 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 sin

Cộng các vế tương ứng ta có

2

cos 2

cos 2 cos sin

sin

Trang 33

cos 2

cos 2 cos sin

sin sinA B C A B C đpcm

A tan 2

tan 2 tan 2

; 2

tan 2 tan 2

1

2

A tan

2

 2 tan 1 2 tan

2 B

B

8 9 2 tan 1 2 tan

4

9 2

sin 2

sin 2 sin

8

9 1

1 1

2

2 2

y x

x

Trang 34

4 cos 4 sin 2 ) 4 sin 2 1 (

0 2 4

sin 4 cos 2 4 sin

4

9 4 cos 2 0

8 4 4 cos

C B

đpcm Bài 15

Cho các số dương x, y, z thoả mãn x2+y2+z2+2xyz =1 Chứng minha) x, y, z <1

a) Nhận xét 0<x2, y2,z2 < 1 0 <x, y, z < 1

b)

- Đẳng thức x2+y2+z2+2xyz =1 tương ứng với hệ thức lượng giác nào

giữa các góc trong một tam giác ?

cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1

- Có thể biểu diễn các đại lượng x, y, z qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không ?

;

0  sao cho x=cosA, y=cosB, z=cosC

Theo giả thiết cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1 ABC 

3 cos

1

cos 1 cos

1

cos 1 cos

B A

3 1

1 1

y x

x b

Trang 35

Ta có 1

2

A tan 2

tan 2 tan 2

tan 2 tan

tan 2

A tan

tan 2

tan 2 tan 2

A

2

A tan 2

tan 2 tan 2

A tan 2

tan 2

A tan 2 tan 2 2 tan 2 tan 2 2 tan 2

A tan 2 2 tan 2 2 tan

A tan 2

tan 2

2.2.3 Với các bài dùng biến đổi đại số

Để rèn luyện cho học sinh nhìn bài toán theo phương diện mới, cần bổsung cho học sinh những bổ đề sau:

k k

x k a

Trang 36

Nếu các số dương a1;a2; ;a n có tổng bằng k (k là hằng số dương cho

trước) thì tồn tại các số dương x1;x2; ;x n thoả mãn

n x x

x

x k

1

n

i i

x x

x

x k

x a x

x

n i

Khi đó ta nói a, b, c được biểu diễn qua ba biến số trung gian.

Một số bài tập minh hoạ

Bài 16 Đề thi vòng 1 Chuyên Amsterdam 2006-2007

Cho các số dương x, y thoả mãn x+y=2 Chứng minh x2y2(x2+y2)2

x + y = 2

Trang 37

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua một biến

số trung gian như thế nào?

Bài 17 Indian Mathematical Olympiad 2003

Cho hai số x, y không âm thỏa mãn x +y =2

Chứng minh x3y3(x3+y3)2

x+y = 2

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua một biến

- Chứng minh bất đẳng thức với biến số trung gian này như thế nào ?

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số không âm 2-2t2, 2-2t2, 2-2t2,

2+6t2 , ta có (2-2t2)3.(2+6t2) 2 16

4

6 2 ) 2 2 (

4 2 2

Trang 38

3

z y x

- Chứng minh bất đẳng thức với ba biến số trung gian này như thế nào?

 x y z xyz  3 xy yz zx

3 )

z y

Trang 39

- Mối liên hệ giữa các đại lượng a b c d

1

; 1

1

; 1

1

được xác định như thế nào ?

1 1

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua bốn biến

Tồn tại x, y, z, t dương thỏa mãn

- Chứng minh bất đẳng thức bốn biến số trung gian như thế nào?

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương

3 3

Trang 40

1

; 1

1

; 1

1

d c

1 1

1

4 4

- Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua bốn biến

t z y x

t d

t z y x

z c

t z y x

y b

t z y x

1

; 1

1

; 1

x t z b x

t z y

a4   ; 4    ; 4    ; 4   

Tiêu đề	Vận dụng phương pháp đàm thoại phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh khá giỏi
Tác giả	Nguyễn Sơn Hà
Người hướng dẫn	PTs. Nguyễn Văn A
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn Thạc sĩ
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	1,82 MB