luận văn thạc sỹ toán: dạy học giải bài tập toán theo hướng tăng cường khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề

luận văn trình bày lí luận về phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, lí luận liên quan đến khả năng phát hiện giải quyết vấn đề của học sinh trong học toán, đưa ra các biện phát sư phạm nhằm tăng cường cho học sinh khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề....

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Luật giáo dục (Năm 2005) đã nêu: “ Phơng pháp giáo dục phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của ngời học, bồi dỡngnăng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vơn lên

” (Điều 2 khoản 5) “ Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinhphát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năngcơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng tạo…” (Điều 27khoản 1)

“Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tựgiác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từnglớp học, môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học; khả năng làm việc theonhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đếntình cảm; đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh” (Điều 28khoản 2)

Trớc những yêu cầu đòi hỏi của xã hội đã đợc cụ thể hoá trong Luậtgiáo dục, việc hình thành và phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề là quan trọng và cần thiết đối với học sinh phổ thông

Thực tế giảng dạy toán hiện nay ở các trờng phổ thông cho thấy họcsinh thụ động nhiều trong giải toán, thờng phụ thuộc vào thầy hoặc cácthuật toán định sẵn, cha phát huy đợc tính độc lập, sáng tạo, ngời thầy cònhạn chế trong việc dẫn dắt học sinh tìm ra lời giải đứng trớc bài toán chosẵn (Rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề) và hớng dẫn học sinh xây dựng

đề toán (Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề) Để góp phần giải quyếtthực trạng trên chúng tôi lựa chọn đề tài: “Dạy học giải bài tập toán học ởtrờng phổ thông theo hớng tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn

đề cho học sinh”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Tìm các biện pháp s phạm để tăng cờng khả năng phát hiện và giảiquyết vấn đề cho học sinh khi dạy học giải bài tập toán học ở trờng trunghọc phổ thông

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán

và vấn đề rèn luyện t duy cho học sinh qua dạy học bài tập toán

- Đề xuất một số biện pháp s phạm để tăng cờng cho học sinh khảnăng phát hiện và giải quyết vấn đề trong khi dạy học bài tập toán

- Thực hiện vài biện pháp s phạm đã đề xuất khi dạy học một số nộidung cụ thể

3 Phơng pháp nghiên cứu

3.1 Phơng pháp quan sát điều tra

Tìm hiểu tình hình thực tế dạy và học nội dung bài tập toán ở các ờng THPT

Tìm hiểu năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề của các đối tợnghọc sinh trong các trờng THPT

3.2 Phơng pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu luật giáo dục xác định rõ mục tiêu và phơng pháp giáodục và phơng pháp dạy học

Nghiên cứu lý thuyết về phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề và các phơng pháp dạy học tích cực khác

Nghiên cứu các hình thức và thao tác t duy toán học, vận dụng tronggiải bài tập toán phổ thông

Từ đó đề ra các biện pháp s phạm để tăng cờng khả năng phát hiện vàgiải quyết vấn đề

1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2.1 Đặc điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2.2 Những hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 2.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2 Rèn luyện t duy học sinh qua giải toán

1.1 Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp

1.2 Rèn luyện kỹ năng so sánh tơng tự

1.3 Rèn luyện kỹ năng khái quát hoá, đặc biệt hoá

1.4 Rèn luyện t duy thuật giải

1.5 Rèn luyện t duy hàm

1.6 Rèn luyện t duy sáng tạo

Chơng 2 Một số các giải pháp s phạm nhằm tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh:

1 Một số biện pháp s phạm tăng khả năng giải quyết vấn đề cho học sinh

1.1 Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải 1.2 Tìm nhiều lời giải cho bài toán

1.3 Tìm sai lầm của một lờ giải bài toán

2 Một số biện pháp s phạm tăng khả năng phát hiện vấn đề cho học sinh

2.1 Sử dụng đặc biệt hoá, khái quát hoá và tơng tự hoá 2.2 Sáng tác bài toán

2.3 Chuyển đổi bài toán

Chơng 3 thực nghiệm s phạm

1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm

2 Nội dung và phơng pháp thực nghiệm

3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

4 Một số nhận xét sau thực nghiệm

Kết luận

Chơng 1 Cơ sở lý luận

1 dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn toán

1.1 Đặc điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Học sinh đợc đặt vào một tình huống gợi vấn đề chứ không phải là

đợc thông báo tri thức dới dạng có sẵn

Học sinh hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo tận lực huy

động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề chứkhông phải chỉ nghe giáo viên giảng một cách thụ động

Mục tiêu dạy học không chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội kết quả củaquá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ pháttriển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy hay học sinh đợc học bảnthân việc học

1.2 Những hình thức và cấp độ dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.2.1 Ngời học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề

Giáo viên chỉ tạo tình huống gợi vấn đề, ngời học tự phát hiện và giảiquyết vấn đề đó Hình thức này phát huy đợc cao độ nhất tính độc lập củahọc sinh

1.2.2 Ngời học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề

Hình thức này có sự hợp tác giữa giáo viên với học sinh, học sinh vớihọc sinh Quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề không diễn ra đơn lẻ, cóthể học theo nhóm, tổ hoặc làm dự án

1.2.3 Giáo viên và học sinh vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn

1.2.4 Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

Hình thức này mức độ độc lập của học sinh thấp hơn các hình thứctrên, khi đó giáo viên là ngời tạo tình huống gợi vấn đề sau đó lại phát hiện

và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết

Những hình thức trên đợc sắp xếp theo mức độ độc lập của học sinhtrong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề vì vậy nó cũng là cấp độ dạyhọc phát hiện và giải quyết vấn đề theo phơng diện này, tuy nhiên trongdạy học luôn có sự đan xen, pha trộn giữa các hình thức dạy học với nhau.

1.3 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Bớc 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề:

Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề, thờng do thầy tạo raGiải thích và chính xác hoá tình huống để hiểu đúng vân đề đặt raPhát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bớc 2: Tìm giải pháp

Khi phân tích vấn đề cần làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cáiphải tìm, khi đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề cùng với việc thuthập và tổ chức dữ liệu, huy động tri thức thờng hay sử dụng những phơngpháp, kĩ thuật nhận thức, tìm đoán, suy luận nh hớng đích, qui lạ về quen,

đặc biệt hoá, chuyển qua những trờng hợp suy biến, tơng tự hoá, khái quáthoá, suy xuôi, suy ngợc tiến, suy ngợc lùi…

Phơng hớng đợc đề xuất không phải là bất biến trái lại có thể phải

điều chỉnh, có thể bác bỏ cho đến khi hợp lý

Kết quả của việc đề xuất và thực hiện hớng giải quyết vấn đề là hìnhthành đợc một giải pháp Việc tiếp theo là kiểm tra tính đúng đắn của giảipháp và tìm giải pháp tối u nhất

Tìm một cách giải quyết vấn đề thờng thực hiện theo sơ đồ sau:

Bớc 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết đợc vấn đề đặt ra học sinh phải trình bày lại toàn

bộ từ việc phát biểu vấn đề cho đến giải pháp khi trình bày, phải tuân thủcác chuẩn mực đề ra

Bớc 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Tìm hiểu những khả năng ứng dụng hệ quả

Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tơng tự hoá, kháiquát hoá, lật ngợc vấn đề… và giải quyết nếu có thể

3 Rèn luyện t duy học sinh qua giải toán 2.1 Rèn luyện kỹ năng phân tích, tổng hợp

Đứng trớc một bài toán học sinh phải đặt ra cho mình câu hỏi : Giảthiết bài toán cho điều gì? kết luận của bài toán yêu cầu gì? muốn giảiquyết yêu cầu của bài toán ta phải làm gì ? vận dụng kiến thức nh thế nào,muốn thế ta phải thực hiện thế nào? Đứng trớc một lời giải của bài toánhọc sinh phải biết tự đặt câu hỏi: Bài toán tại sao lại đợc giải nh vậy? dựa

Kết thúc+

trên cơ sở nào? giải bài toán tổng quát nh thế nào? liệu có cách giải nàokhác không? nếu thay đổi một số giả thiết thì bài toán thay đổi thế nào? cáctrờng hợp đặc biệt của bài toán ra sao?

Rèn năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh là yếu tố rất quantrọng trong dạy học, học sinh có năng lực này sẽ nhìn nhận các bài toánmột cách hệ thống, biết phán đoán, biết cách suy luận để tìm lời giảikhông những cho bài toán cụ thể mà còn cả hệ thống bài toán, biết nêu bàitoán tổng quát dẫn đến khả năng giải quyết vấn đề đợc phát huy cao độnhất

Phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đã biết trongcác lời giải bài tập toán thờng hay sử dụng phép phân tích:

Phân tích đi lên (Suy ngợc lùi): để chứng minh mệnh đề A ta suy

ng-ợc lại cần phải chứng minh A1, muốn chứng minh A1 ta phải chứng minh A2 cứ nh vậy cho đến khi có Ak là mệnh đề đúng ta dừng lại Khi trình bàylời giải lại theo trình tự ngợc lại từ Ak ta suy ra đến A1 Ta có sơ đồ sau:

Ak ⇒ Ak-1 ⇒ … ⇒ A1

Phép phân tích đi lên thờng dùng để tìm lời giải Đây là một trongcách thức để tìm ra lời giải của bài toán một cách thông dụng và phổ biếnnhất, qua bớc phân tích này học sinh sẽ tìm ra cách giải quyết một vấn đề Giáo viên rèn luyện cho học sinh năng lực này giúp cho học sinh dễ dàngtìm ra lời giải cho một bài toán, thờng là những bài toán mà cha biết thuậttoán để giải nó

Phép phân tích đi xuống (Suy ngợc tiến): Giả sử đã có A ta suy raA1 tức là A ⇒A1 ; từ A1 ⇒A2 … ; từ Ak-1 ⇒Ak khi nào gặp Ak sai thì dừnglại khi đó kết luận A là sai Còn Ak đúng thì không kết luận đợc gì Phépphân tích này thờng dùng trong chứng minh phản chứng, muốn phủ địnhmột vấn đề ta thờng sử dụng phơng pháp này từ đó suy ra muốn chứngminh một mệnh đề ta thờng giả thiết mệnh đề phủ định

Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chabiết Nếu A là hệ thức cần chứng minh ta suy theo sơ đồ sau:

2.2 Rèn luyện kỹ năng so sánh, tơng tự

Đứng trớc nhiều bài toán, dạng toán khác nhau nhng có một số điểmchung ở phần giả thiết, các yêu cầu của kết luận học sinh phải biết liên hệlôgic với nhau qua phép so sánh và tơng tự Từ đó tăng khả năng phân biệt,nhận biết các dạng toán và nhận biết nhanh đờng lối giải các dạng bài toán

đó

So sánh bao gồm hai thành phần chính đó là phát hiện đặc điểmchung và phát hiện đặc điểm khác nhau giữa các bài toán Nhờ đó có thểphát hiện hàng loạt bài toán có cách giải hoặc ý tởng giải giống nhau Qua

đó luyện tập cho học sinh phép tơng tự Không những thế còn phát triểncho học sinh hàng loạt bài toán giống nhau để đi đến dạng tổng quát của nóhoặc từ một bài toán tổng quát có thể đi vào giải từng bài toán cụ thể Rènluyện kỹ năng này giúp học sinh phân biệt các ý tởng của các dạng bài toán

mà cùng vận dụng một kiến thức những suy nghĩ theo nhng hớng khácnhau hoặc so sánh lời giải các bài toán trong cùng một dạng giúp cho họcsinh hiểu sâu hơn về dạng toán đó

2.3 Rèn luyện kỹ năng khái quát hoá, đặc biệt hoá

Khái quát hoá là thành phần cơ bản của năng lực toán học, năng lựcnày chỉ có thể hình thành và phát triển trong hoạt động, Những dạng kháiquát hoá thờng gặp có thể đợc biểu diễn theo sơ đồ sau:

Đặc biệt hoá là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mốiquan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm đợc nhiều tr-ờng hợp riêng lẻ từ một bài toán xuất phát

Các kỹ năng này giúp học sinh có cách nhìn tổng quát về các bàitoán sau khi giải Trên cơ sở đó, học sinh có thể phát triển thành các bàitoán mở rộng hơn, hoặc trong mỗi trờng hợp có thể xét bài toán ở các trờnghợp đặc biệt

Khái quát hoá

Khái quát hoá từ cái riêng lẻ đến cái tổng quát Khái quát hoá từ cái tổng quát đến cái riêng lẻ

Khái quát hoá tới cái tổng quát đã biết Khái quát hoá tới cái tổng quát ch a biết

Từ đó việc suy luận đến lời giải sẽ nhanh chóng hơn đối với cácdạng toán đó.

2.4 Rèn luyện t duy thuật giải

Thuật giải là một qui tắc chính xác và đơn trị, qui định một số hữuhạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự nhất định trên những đối tợngsao cho sau một số hữu hạn bớc thực hiện các thao tác đó ta thu đợc kếtquả mong muốn

T duy thuật giải là phơng thức t duy biểu thị khả năng tiến hành cáchoạt động sau:

HĐ 1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợpvới một thuật giải

HĐ 2: Phân tích một quá trình thành những thao tác đợc thực hiệntheo một trình tự xác định

HĐ 3: Khái quát hoá một quá trình diễn ra trên một số đối tợngriêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tợng

HĐ 4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

HĐ 5: Phát hiện một thuật giải tối u để giải quyết một công việc.Trong dạy học hệ thống những qui định nghiêm ngặt đợc thực hiệntheo một trình tự chặt chẽ dẫn tới cách giải quyết đúng đắn một bài toán.Trong dạy học bài tập toán cái khó khăn lớn nhất, phổ biến nhất cho họcsinh đại trà là các dạng toán cha biết thuật giải Trong chơng trình THPT đa

số các bài toán đều có thuật giải để giải quyết, còn lại một số ít các bàitoán dành cho học sinh giỏi phát huy trí tuệ của mình Do vậy việc trang bịthuật giải một dạng toán cho học sinh là vấn đề quan trọng, cần thiết Họcsinh nắm vững thuật giải một dạng toán thì về cơ bản học sinh đó sẽ giảiquyết đợc bài toán thuộc dạng đó Tạo điều kiện cho học sinh lĩnh hội kiếnthức và rèn luyện kỹ năng kỹ xảo trong việc giải quyêt một bài toán

2.5 Rèn luyện t duy hàm

Các hoạt động đặc trng cho t duy hàm đó là:

HĐ 1: Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng

HĐ 2: Nghiên cứu những sự tơng ứng

HĐ 3: Lợi dụng những sự tơng ứng

T duy hàm thể hiện ở sự nhận thức đợc tiến trình những tơng ứngriêng và chung giữa các đội tợng toán học hay những tính chất của chúngrèn luyện t duy hàm cho học sinh tạo điều kiện phát triển những hoạt độngtrí tuệ sau:

Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụngnhững tơng ứng trong khi và nhằm vào truyền thụ kiến thức và rèn luyện kỹnăng toán học.

Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động t duy hàm trở thànhnhững khả năng gợi động cơ nội tại toán học trong các giờ dạy học giải bàitập toán

Hình thành ở học sinh những biểu tợng, tiến tới những tri thức về

t-ơng ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với nhữngtri thức phơng pháp

2.6 Rèn luyện t duy sáng tạo

T duy sáng tạo là dạng t duy độc lập tạo ra ý tởng mới, độc đáo và cóhiệu quả giải quyết vấn đề cao thể hiện là giải pháp lạ, hiếm và duy nhất

Rèn luyện cho học sinh t duy sáng tạo trong giải bài tập toán nhằmtăng cờng năng lực khám phám kiến thức trong mỗi dạng toán tạo điềukiện phát huy năng lực tiềm ẩn của mỗi học sinh; tạo cho học sinh môi tr-ờng nghiên cứu khoa học; học sinh năng động trong việc chuyển từ hoạt

động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác vận dụng linh hoạt các hoạt

động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá…

Học sinh có t duy sáng tạo thể hiện trong các suy nghĩ không dậpkhuôn, không áp dụng máy móc, có kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng vậndụng linh hoạt vào hoàn cảnh mới, có khả năng thoát khỏi ảnh hởng, kìmhãm của những kinh nghiệm, phơng pháp, cách nghĩ có từ trớc; dễ dàngnhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mớicủa đối tợng quen biết

Rèn luyện t duy sáng tạo trong hoạt động dạy học giải bài tập toáncòn thể hiện ở sự đa dạng của các cách xử lý khi giải bài toán; khả năngxem xét đối tợng theo nhiều khía cạnh khác nhau; khả năng tìm ra nhữngliên tởng và kết hợp mới; nhìn ra những mối liên hệ có trong những sự kiệnbên ngoài tởng nh không có liên hệ với nhau; khả năng tìm ra giải pháp lạtuy đã biết các giải pháp khác

T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sảnphẩm hay quá trình độc đáo, t duy sáng tạo đợc ghi nhận nhờ những tiếpcận tởng tợng, phân kỳ đối với bài toán và trực giác là nguồn cung cấp ýtởng hữu ích

Theo Lecne: Sự sáng tạo là quá trình con ngời xây dựng cái mới vềvật chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem nh là hệ thống

các thao tác hoặc hành động đợc mô tả thật chính xác và đợc điều hànhnghiêm nghặt.

Rèn luyện t duy sáng tạo là một trong các vấn đề thiết yếu trong việctăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạyhọc bài tập toán ở các trờng phổ thông trong xu hớng dạy học hiện nay

Chơng 2 Một số biện pháp s phạm nhằm tăng cờng khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong quá trình dạy học bài tập

toán học

1 Một số biện pháp s phạm tăng cờng khả năng giảI quyết vấn đề cho học sinh

1.1 Khai thác triệt để giả thiết của bài toán để tìm lời giải

Một bài toán mà học sinh cha biết lời giải hay cha biết thuật giải làmột vấn đề đối với học sinh; giáo viên có thể đa ra ngay thuật giải và làmmẫu sau đó cho học sinh luyện tập nhiều lần cứ nh vậy học sinh sẽ đợctruyền thụ kiến thức một cách thụ động không phát huy tối đa khả năngnhận thức của học sinh Song nếu dẫn dắt học sinh tự tìm ra thuật giải đómới giúp học sinh hiểu rõ và sâu hơn bài học, tạo điều kiện cho học sinhphát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc giải toán và nghiêncứu lời giải bài toán.Tạo cho học sinh niềm tin, niềm say mê học tập

Giải bài tập toán là một kỹ thuật thực hành vận dụng lý thuyết mộtcách linh hoạt, chính xác và sáng tạo Có thể theo một đờng lối mẫu mực,cũng có thể phải tìm tòi một số yếu tố nào đó chẳng hạn nh mối liên hệgiữa giả thiết và kết luận, điều kiện ràng buộc của các dữ kiện Dạy học ph-

ơng pháp tìm lời giải bài tập toán theo Polya : Có thể hình dung qua các

b-ớc sau:

Bớc 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Phân tích các dữ kiện của bài toán để phát hiện vấn đề trong bàitoán

Bớc 2: Xây dựng chơng trình giải

Bài toán này có thuộc dạng quen thuộc hay không? hay có bài toánnào liên quan đến nó không? bài toán này vận dụng đợc các kiến thức nào?dữ kiện của bài toán cho biết những thông tin gì? có cần các yếu tố phụ,yêú tố trung gian để giải quyết hay không?

Bớc 3: Thực hiện chơng trình giải

Kiểm tra lại các bớc có đúng không có thể chứng minh tính đúng

đắn của lời giải hay không?

Bớc 4: Trở lại lời giải

* Trong quá trình giải bài toán nên làm cho học sinh biết các nộidung của logic hình thức một cách có ý thức, xem nh vốn thờng trực quan

trọng để làm việc với toán học cũng nh để sử dụng trong quá trình học tậpliên tục, thờng xuyên Để thực hiện điều này sau khi giải xong mỗi bài toáncần có phần nhìn lại các phơng pháp đã sử dụng để giải Dần dần nhữnghiểu biết về logic sẽ thâm nhập vào ý thức của mỗi học sinh Hệ thống hoácác bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để học sinhthấy đợc những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và các mô hình đó.

* Để tăng cờng rèn luyện t duy cho học sinh trong giờ dạy học giảitoán giáo viên đa ra các bài toán, học sinh tự tìm tòi ra cách giải, trao đổi,thảo luận trong tập thể học sinh; đa ra ý kiến đã đợc thống nhất hay chathống nhất Giáo viên làm trọng tài để tổng kết những cách giải đúng, cáchgiải gọn gàng, độc đáo, cũng nh phát biểu ý kiến về những điều học sinhcha thống nhất

Trong bốn bớc giải bài tập toán trên thì bớc tìm hiểu nội dung bàitoán tạo tiền đề cho việc tìm ra lời giải Do vậy giả thiết của bài toán phải

đợc khai thác triệt để Muốn vậy học sinh phải luôn trả lời các câu hỏitrong sự suy nghĩ là: giả thiết bài toán cho ta biết những thông tin gì? cácthông tin đó liên quan gì đến các kiến thức đã đợc học? các thông tin đóliên quan gì đến yêu cầu của bài toán?

Một số ví dụ về khai thác giả thiết để tìm lời giải

Bớc 1: Chọn x = u(t) hoặc t = v(x) với u(t) và v(x) là các hàm sốthích hợp

Bớc 2: Lấy vi phân dx = u’(t)dt hoặc dt =v’(x)dx

Bớc 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt giả sử là g(t)dt sau đó tính các cậnα,β tơng ứng theo a và b

B4 : Tính tích phân I= g t dt( )

β

α∫ thay cho việc tính tích phân trên

Nh vậy vấn đề ở đây là bài toán dạng nào thì vận dụng đợc phơngpháp đổi biến số này và việc chọn ẩn phụ dựa vào các dấu hiệu gì? ta phảitìm hiểu bài toán đã cho để phát hiện ra điều đó Việc đặt ẩn phụ rất đadạng tuỳ thuộc vào hàm số đã cho dới dấu tích phân; nhiều khi còn phụthuộc vào cận a và b nữa Dới đây là một số dấu hiệu và các gợi ý đặt ẩnphụ khi dạy học sinh giải bài tập tính tích phân :

* Phép đổi biến số dạng 1:

• Khi đặt x = u(t):

Cần chú ý các vấn đề sau:

+ f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

+ x=u(t) là hàm đơn điệu, khả vi liên tục trên đoạn [α; β]

ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn

+ Phát hiện và đặt x = u(t) cho đúng là vấn đề then chốt của phơngpháp giải bài toán tính tích phân

Giáo viên cho học sinh nhận xét giả thiết để tăng cờng khả năng pháthiện lời giải dựa trên một số gợi ý:

- Những bài toán có dạng nh thế nào thì vận dụng phơng pháp đổibiến số đợc

- Các dạng quen thuộc nào để vận dụng phơng pháp đổi biến sốSau đây là một số dấu hiệu đổi biến số cần rèn luyện cho học sinh:

STT Dấu hiệu của hàm

Bài toán 2 Tính tích phân sau: 2 2 2

a x khi giả thiết cho a > 0

Đặt x= a.sint ta có dx = a.cost.dt với t ∈ 0;

Nhờ các dấu hiệu trên ta có suy nghĩ tới việc đổi biến số nh sau:

Đặt x = tant ta có dx = 2

2

1 dt (1 tan ) t dt

Bài toán 4 Tính tích phân sau:

HD Giải: Với hàm số dới dấu tích phân với tập xác định [-a; a) ta

liên hệ với công thức : 1 cos 2

x ta liên tởng đến sinx và cosx cũng có tập giá

trị [-1; 1] khi đó ta có cách đổi biến số của bài toán nh sau:

dx t dt cos t

=

Suy ra:

π π

cos

t dt cos t

I

t cos t

= 4 26

1.sin sin1

.cos

t dt cos t

t

t cost

π π

4

(1 )

ln(1 )

.1

* Phép đổi biến số dạng 2

• Khi đặt t = u(x):

ý nghĩa của việc đổi biến số trong bài toán:

+ Thay việc tính tích phân khó bởi một tích phân dễ hơn

+ Phát hiện và đặt t = u(x) cho đúng vấn đề của phơng pháp giải bàitoán

Trong phơng pháp này chủ yếu là học sinh xác định đợc thành phầnnào là f(u(x)), thành phần nào là u’(x) Do vậy giáo viên cần dẫn dắt họcsinh nhận biết các thành phần đó trong mỗi bài toán tính tích phân

Giáo viên cho học sinh phát hiện các dấu hiệu đặc trng khi chọn hàmu(x) trong phép đổi biến số

Một số dấu hiệu đặt ẩn phụ dạng 2 theo bảng gợi ý sau:

STT Dấu hiệu của hàm dới dấu

Tính tích phân sau: b(1 ) với n Nn

a

I =∫ +α x dx ∈Bài toán 2 Tính tích phân sau: 12

2

dx I

phân ta có: d(x2+1) = 2x.dx suy ra 1 2

2

x dx= d x + từ đó ta có giải phápsau:

Bài toán 3 Tính tích phân sau: 1 ln 2

x khi đó dễ nhận ra u(x) = lnx

việc còn lại là vận dụng phơng pháp đổi biến số

.sin 7.sin 10

cosx dx I

u(x) = tanx Suy ra cách giải bài toán bằng phơng phơng pháp đổibiến số nh sau:

Đặt t = tanx ta có

2

1

dt dx cos x

=

suy ra: tan 4 tan 2

Đặt t= e x +1 ⇒ t2 = + ⇒e x 1 ex = −t2 1

2

2

.1

Khi đổi biến nh vậy vấn đề khi chuyển về biến mới thì biểu thức hàm

số trong tích phân mới không còn căn thức và dễ dàng tìm đợc nguyênhàm

x t

1.1

111

với x 01

x x

Ta có 2 2

4 1

1.1

11

.1

x dx x

x

−+

ln / = ln

t t

0

.( 1)

x dx I

x

=

+

∫HD: Từ biểu thức của hàm số dới dấu tích phân ta dẫn đến cách đổi biếnquen thuộc:

Cách 1: Đặt t= x2 +1

Cách 2: Đặt x= tant

Bài 2.Tính tích phân sau:

1 2

2 1

dx I

x x dx I

Bài 4 Tính tích phân sau: 2

0 2 cos sin 3

dx I

x

x

e dx I

e

−

−

=+

∫HD: đặt u= +1 e−x

x

π

=+

∫HD: đặt t = sinx

Qua các bài toán trên cho thấy nếu khai thác tốt giả thiết thì học sinh

dễ tìm đợc lời giải bởi vì trong giả thiết chứa các gợi ý cho lời giải Vấn đềtìm ra lời giải là điều kiện cần để giải quyết bài toán còn trình bày lời giải

là điều kiện đủ Nh vậy khai thác triệt để giả thiết của một bài toán là mộttrong các giải biện s phạm cho việc tăng cờng khả năng giải quyết vấn đềcho học sinh phổ thông

Thờng giải bài toán này bằng cách vận dụng công thức tính tích phântừng phần sau đây:

Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b]thì:

Muốn xác định đúng đờng lối giải bài toán ta phải nghiên cứu kĩ giảthiết của bài toán, khai thác triệt để dạng của hàm số đã cho dới biểu thứctích phân

* Một số ví dụ khai thác giả thiết để vận dụng công thức tính tích phân từng phần:

Bài toán 1 Tính tích phân sau:

Nếu qua phép đạo hàm thì bậc của hàm đa thức sẽ giảm

Nếu coi một hàm là u(x) và một hàm là v(x) thì việc tìm nguyên hàmcủa hàm u’(x).v(x) phải đơn giản hơn u(x).v’(x) Vậy chọn hàm đa thức

đóng vai trò u(x) trong phơng pháp trên là phù hợp Từ đó suy ra cách giảisau:

Đặt u = x ; dv = cos3x.dx suy ra du = dx ; v = 1

3sin3x

Ta có:

2 0

ợc ra sao? Từ đó khắc sâu đợc kỹ thuật vận dụng cho học sinh

Cụ thể lời giải bài toán nh sau:

Đặt u = x2 ; dv = sinx.dx suy ra du = 2x.dx ; v = - cosx

Qua các lời giải trên có thể cho học sinh phát hiện ý tởng của lời giảidạng toán thứ nhất sử dụng đợc công thức tính tích phân từng phần nh sau:

- Nếu đa thức P(x) bậc n ta phải tính tích phân từng phần n lần

Bài toán 4 Tính tích phân sau:

3 2

( lnx )’ = 1

x và ( lnu(x) )’ =

'( )( )

P(x) lµ hµm ®a thøc bËc n ; hµm mò; hµm lîng gi¸c…

Q(x) lµ hµm l«garit c¬ sè e hoÆc a ( 0 < a ≠ 1 )

( Do hµm logarit kh«ng cã trong b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n )

+ Khi đó muốn áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta phải

đặt:

u = Q(x); dv = P(x).dx

*Ta xét một số ví dụ thuộc dạng khác:

Bài toán7 Tính tích phân sau: 2 2

+ Vai trò của hai loại hàm số này là nh nhau

+ Cả hai hàm số khi đạo hàm đều không giảm về bậc nh hàm đa thức

Nh vậy chọn hàm nào đóng vai trò u(x) Khi đó giáo viên cho họcsinh xét cả hai trờng hợp chẳng hạn:

không phát hiện đợc thì phải có sự gợi ý của giáo viên Rõ ràng bài toánnày đã đa học sinh đến mức độ cao hơn so với các dạng trớc.

HD Giải: Ta cũng nhận xét biểu thức hàm số dới dấu tích phân cũng

có dạng: Tích của hàm mũ với hàm lợng giác

Đặt

x

du=e suy ra 1

Bµi to¸n 1 TÝnh tÝch ph©n sau: 2

suy ra

1

x

I dx x

x dx I

Bài toán 7 Tính tích phân sau: 1 2

x dx x

2

12

v= x

Nh vậy nhờ việc nhận xét các biểu thức của các hàm số dới dấu tíchphân học sinh có thể vận dụng thành thạo công thức tính tích phân từngphần Từ đó bài toán đợc giải quyết, ta cũng thấy rằng nếu việc nhận địnhsai về dạng toán thì lời giải dẫn đến sai hoặc bế tắc

ý tởng của những bài toán này giống nh các bài toán trên khi phântích đặc điểm của các hàm số dới dấu tích phân học sinh sẽ nhận ra cáchgiải của nó

1.1.3 Khai thác tính chất đặc biệt của hàm số dới dấu tích phân

Việc phát hiện ra tính chất đặc biệt của hàm số dới dấu tích phânnhiều khi giúp ta có cách giải dễ dàng và đơn giản hơn rất nhiều Ta hãy xétmột số dạng đặc biệt sau: (Luôn giả thiết f(x)là hàm số liên tục trên [a; b])

f(x) là hàm số chẵn khi: f(x) = f(-x) với mọi x thuộc tập xác định D

Khi đó đặt t = - x ta chứng minh đợc kết quả sau:

x a

f x

dx f x dx a

−

=+

b ( )

1

a

x a

f x dx a

−

=+

1

a

t a

f t

dt a

t a

f t a

dt a

−

=+

1

t a

t a

f t a

dt I a

−

=+

f x dx a

−

++

1

t a

t a

f t a

dt a

−

=+

a

f x dx

−∫Suy ra

f x dx = f x dx

f(x) là hàm số lẻ khi: f(x) = - f(-x) với mọi x thuộc tập xác định D

Khi đó đặt t = - x ta chứng minh đợc kết quả sau:

f(x) là hàm số tuần hoàn chu kỳ T khi: f(x+T) = f(x) với mọi x

f(x) nhận giá trị bằng nhau tại những điểm đối xứng qua

HD Giải: Bài toán này thuộc dạng 1 (Hàm số y = ecosx là hàm số chẵn)

Ta có nhận xét hàm số dới dấu tích phân là hàm số chẵn, cận của tíchphân có tính đối xứng

Ta có thể chuyển tích phân về dạng : cos 0 cos cos

Vậy I = 1.

Bài toán 3 Tính tích phân sau:

4 1

∫

HD Giải:

Tơng tự bài 2, do y = x là hàm số chẵn nên ta đặt t = - x ta có:4

4 1

a Ta dễ dàng tìm đợc một nguyên hàm của g(x) là:

G(x) = 1sin 2 1 sin 4 1 sin6 1 sin8

Phần này gợi ý cho phần sau

b Ta thấy g(x) là hàm chẵn nên ta cũng đặt x = - t thì suy ra I = 0.Bài toán 5 Tính tích phân sau:

HD Giải: Do hàm số sin6x +cos6x là hàm chẵn nên ta cũng giải bài

toán bằng cách đặt x = - t suy ra: 2 4 6 6

4

10(sin cos )

Bµi to¸n 6 TÝnh tÝch ph©n sau:

1

2

1(1 x)(1 )

dx I

1

2 (1 )

dx I

b

1 2

1 2

1cos ln

( )f x = 1 cos2− x tuÇn hoµn víi chu kú T = π nªn ta cã

π π −+

∫

0

sin

1 sin

t dt t

ππ

u u

Giải: Với các nhận xét tơng tự ta thấy:

Các hàm số dới dấu tích phân có chứa sinx

Các cận lấy tích phân có dạng a + b = π

Dẫn đến cách chứng minh các biểu thức tích phân nh sau:

a Đặt x = π - t ta có: dx= - dt