skkn phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toánPhân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giảI toán Trong chơng trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thứ

Trang 1

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán

Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giảI toán

Trong chơng trình đại số lớp 8 có một mảng kiến thức hết sức quan trọng,việc nắm vững phơng pháp giải loại toán này sẽ giúp cho các em rất nhiều trong

việc giải các bài toán khác đó là dạng toán: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đợc ứng dụng rất nhiều trong các bàitoán khác nh giải phơng trình, rút gọn phân thức, tính giá trị của biểu thức Qua

đến trang Phần thứ nhất: đặt vấn đề

1 Lý do chọn đề tài - mục đích nghiên

Những vấn đề cần giải quyết

Phần I - các bài toán phân tích đa thức

Trang 2

nhiều năm giảng dạy bộ môn toán 8 tôi thấy rất nhiều học sinh lúng túng khi gặpbài toán phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt đối với học sinh trung bình,học sinh yếu Ngợc lại đối với học sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích phân tích

đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích thú, say mê học tập Trong

tôi lúc nào cũng đặt ra một câu hỏi “làm thế nào để cho các đối tợng học sinh

đều thích thú, say mê học đối với dạng toán này?" Trong phạm vi đề tài này

tôi muốn đa ra các phơng pháp để giúp các em học sinh lớp 8 có một kĩ năngthành thạo, phơng pháp giải tốt nhất đối với dạng toán này Vì vậy việc tập hợp

hệ thống các bài toán ở dạng này là rất cần thiết đối với các đối tợng học sinh,

đặc biệt là các em học sinh khá giỏi Qua đó giúp các em biết vận dụng dạngtoán này để giải các bài toán khác Trong chơng trình đại số 8 sách giáo khoa có

đa ra các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là:

- Đặt nhân tử chung,

- Dùng hằng đẳng thức,

- Nhóm các hạng tử và phối hợp các phơng pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử

Trong thực tế có những bài toán ở dạng này rất phức tạp không thể áp dụng cácphơng pháp trên mà giải đợc Gặp các bài nh vậy thì các em lại lúng túng khôngbiết làm thế nào và sử dụng phơng pháp nào để giải

từng loại là rất cần thiết nó giúp các em thấy đợc sự đa dạng và phong phú về nộidung của từng loại toán Đồng thời giúp cho các em có một cách nhìn nhận dớinhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sựtìm tòi sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiềuhứng thú khi học bộ môn toán Với hi vọng nhỏ là làm sao cho các em học sinh

có thể thực hiện đợc các bài toán phân tích một đa thức thành nhân tử một cáchsay mê và hứng thú đã giúp tôi chọn chuyên đề:

“Phõn tớch một đa thức thành nhõn tử và cỏc ứng dụng trong giải toỏn”

B/GiảI quyết vấn đề

Trang 3

2- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng

a Đặt nhân tử chung

b Dùng hằng đẳng thức

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

f Đổi dấu một hạng tử A=-(-A)

g Cho đa thức f(x), đa thức này có nghiệm x=a khi và chỉ khi f(a)=0

h Cho đa thức f(x) = a n x n + a n -1 x n-1 + + a 1 x + a 0

Đa thức này nếu có nghiệm là số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của a 0

II- Những vấn đề cần giải quyết

Nh đã nêu trong phần đầu các bài toán phân tích thành nhân tử đợc sắp xếp ởngay đầu chơng I sau các bài nhân đa thức và hằng đẳng thức, với thời lợng chỉ

có 6 tiết bao gồm 5 tiết lí thuyết và 1tiết luyện tập thì các em học sinh chỉ kịphoàn thành phần bài tập chứ cha nói đến việc khai thác và xem xét các ứng dụngcủa các phơng pháp phân tích đó

Để rèn kĩ năng cho học sinh trong quá trình giải các bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử tôi đã phân dạng các bài toán thành hai loại:

- Bài tập thông thờng và các bài tập đợc khai thác từ đó.

- Các bài toán ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử Phần I - Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và khai thác các kết quả của chúng

I - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp thông thờng

(đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử )

Trang 4

Đây là các phơng pháp đợc dùng cho các bài toán phân tích ở mức độ đơngiản Tuy nhiên có những đa thức cần phải biến đổi một số bớc

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

d 14x2y - 21xy2 + 28x2y2 = 7xy(2x - 3y + 4xy)

Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a 5x2 (x - 2y) - 15xy(x - 2y)

Nhận xét: ở hai ví dụ trên việc phân tích thức đa thức thành nhân tử ở mức độ

đơn giản Học sinh nhận thấy ngay đợc nhân tử chung Nhiều khi để xuất hiệnnhân tử chung phải đổi dấu các hạng tử có trong đa thức nh ví dụ sau:

Trang 5

= 5x(x - 2000) - (x - 2000)

= (x - 2000)(5x - 1)Lỗi thờng gặp của các em học sinh khi giải bài toán ở dạng này chính là khôngbiết nhóm hay đổi dấu các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung nên cần hớngdẫn học sinh chi tiết để các em có thể thực hiện đợc một cách dễ dàng

Tuy nhiên trong các ví dụ đã nêu các em học sinh chỉ cần có một chút cố gắngthì sẽ thực hiện đợc bài toán nhng cũng là phân tích đa thức bằng cách đặt nhân

tử chung thì bài toán sau đây đòi hỏi các em phải có một cố gắng nhất định thìmới thực hiện đợc:

= (a + b - c)x2 + (a + b - c)x

= (a + b - c)x(x + 1)

Nhận xét: Trong hai ví dụ vừa nêu thì trong ví dụ 1 học sinh có thể biết đổi dấu

ở hạng tử thứ hai từ b - a thành a - b để xuất hiện nhân tử chung nh ng đối vớihạng tử thứ ba thì các em dễ bị nhầm lẫn và cho rằng không có nhân tử chungnhng chỉ cần hớng dẫn các em đổi vị trí của a và b thì sẽ có nhân tử chung, cũngbằng nhận xét tơng tự nh vậy ta có cách làm tơng tự đối với ví dụ thứ hai

Vận dụng các hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử đây làcách làm thông dụng nhất đợc áp dụng nhiều nhất Để áp dụng phơng pháp nàyyêu cầu học sinh phải nắm chắc bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Trang 6

em phải có một sự biến đổi thì mới có hằng đẳng thức

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

đó thì phân tích

Phơng pháp thứ ba để phân tích một đa thức thành nhân tử đó là phơng phápnhóm các hạng tử Đối với phơng pháp này cần lu ý cho học sinh khi nhóm cáchạng tử phải chú đến dấu trớc ngoặc đặc biệt là dấu trừ ở ngoài ngoặc

Trang 7

ba để làm xuất hiện nhân tử chung là a + b

Trang 8

= (a - b)(a - c) (b - c)(ab + ac + bc)

Chú ý:Ta có thể khai triến hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất hiện

nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung

= bc(c - a) + bc(a + b) + ca(c - a) - ab(a + b)

= [bc(c - a) + ca(c - a)] + [bc(a + b) - ab(a + b)]

= (c - a)(bc + ca) + (a + b)(bc - ab)

= c(c - a)(a + b) + b(a + b)(c - a)

= (a + b)(b + c)(c - a)Bài tập tơng tự: Phân tích đa thức thành nhân tử

A = x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x)Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nh thế nàocuối cùng cũng phải đạt đợc mục đích là có nhân tử chung hoặc vận dụng đợchằng đẳng thức đáng nhớ nh vậy yêu cầu đặt ra với ngời thầy là hớng dẫn chocác em nhóm nh thế nào cho hợp lí để xuất hiện nhân tử chung sau đó tiến hànhphân tích các đa thức đó

Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tửbằng các phơng pháp thông thờng đã nêu trong SGK tuy nhiên nếu chỉ dừng lại ởcác phơng pháp đó thì sẽ thích hợp với các em học sinh ở dạng trung bình còn

đối với các em học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em nhàm chán vì vậy có thểgiới thiệu thêm cho các em các phơng pháp bổ sung khác để giúp cho học sinhkhá giỏi tìm hiểu

II - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt các hạng tử

a - Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Phơng pháp này cho các đa thức cha phân tích đợc ngay thành nhân tử Ta táchmột hạng tử thành nhiều hạng tử để vận dụng các phơng pháp đã biết

Trang 9

Ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tö vµ c¸c øng dông trong gi¶i to¸n

Trang 10

= (x - 1)(4x + 4 - 3)

= (x - 1)(4x + 1)Với bài toán này khi phân tích đa thức trên thành nhân tử có ba lời giải t-

ơng ứng với ba cách tách học sinh có thể chọn một trong ba cách

Cần tổng kết cho học sinh thấy đợc có nhiều cách tách hạng tử nhng trong đó cóhai cách tách thông dụng nhất đó là:

- Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức:

(mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq nh vậy trong tam thức ax2 + bx + c,

hệ số b đợc tách thành hai hạng tử b = b1 + b2 sao cho b1.b2 = ac

- Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử nh trong ví dụ 1 phần a ta tách 12 = -16 +28

- Hoặc đôi khi có thể tách một hạng tử thành 3 hạng tử để phân tích thành nhântử

= x(x - 5)(x - 6)

Trang 11

Trong phần a ta thấy vẫn còn đa thức bậc hai mà không thể phân tích đợcnữa Vậy làm thế nào để biết đợc một đa thức có phân tích đợc hay không ta dựavào định lí sau:

Một đa thức: a n x n + a n - 1 x x - 1 + + a 1 x + a 0 Đa thức này nếu có nghiệm là

số nguyên thì nghiệm đó phải là ớc của hệ số tự do a 0

Ví dụ: Đa thức: x2 + 2x + 4 không phân tích đợc thành nhõn tử với cỏc hệ sốnguyờn bởi vì: Nếu phân tích đợc thì đa thức này phải có nghiệm nguyên là ớccủa 4 Ta thấy Ư(4) = {± 1; ± 2; ± 4} thử các giỏ trị đó đều không phải là nghiệmcủa đa thức

x2 + 2x + 4 nên đa thức này không phân tích đợc thành nhân tử với cỏc hệ sốnguyờn Nhưng thực tế đa thức đó cho vẫn cú thể phõn tớch được thành nhõn tửvới cỏc kết quả hệ số là vụ tỉ:

x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 - 5 = (x + 1 - 5)(x + 1 + 5)

b- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng ph ơng pháp thêm, bớt hạng tử:

Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng của mộthằng đẳng thức cũng không thể nhóm số hạng Do vậy ta phải biến đổi đa thứcbằng cách thêm bớt cùng một số hạng tử để có thể vận dụng đợc phơng phápphân tích đã biết

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3a2b - 3ab2 - 3abc

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) + c3 - (3a2b + 3ab2 + 3abc)

Trang 12

= (x2 + x + 1)( x3 - x + 1)b) x5 + x + 1

Cách 1: Ta sẽ thêm bớt x4, x3, x2 vào đa thức giống cách làm nh phần a để xuấthiện nhân tử chung x2 + x + 1

Tuy nhiên bài toán này có thể giải đợc bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đơngiản hơn nh sau:

x8 + x4 + 1= (x8 + 2x4 + 1) - x4

= (x4 + 1)2 - (x2)2

= (x4 + x2 + 1)(x4 - x2 + 1) = [(x4 + 2x2 + 1) - x2] (x4 - x2 + 1)

= [(x2 + 1)2 - x2] (x4 - x2 + 1) = (x2 + x + 1) (x4 - x2 +1)

c- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

Phơng pháp này thờng áp dụng với những đa thức có dạng

Trang 13

A(x) B(x) + C Trong đó A(x) và B(x) có thể biểu diễn đợc qua nhau Ví dụA(x) có thể viết dới dạng của B(x) hoặc ngợc lại Ta xét một số ví dụ sau:

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x2 + x)2 - 2(x2+ x) - 15

b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24

c) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15

Giải:

Trang 14

Trang 15

2 3 4

Trang 16

Nói chung đây là một bài toán tơng đối phức tạp đòi hỏi phải biến đổi đathức mới đặt đợc ẩn phụ Bài toán này cho ta một cách đặt ẩn phụ khác hẳn vớicách đặt ẩn phụ của các ví dụ trớc

Cách 1: Với các phơng pháp phân tích đã biết ta có thể phân tích đợc đa thức

trên thành 2 đa thức theo đúng yêu cầu của đề bài

x3 - 19x - 20 viết dới dạng một tích của 2 đa thức: một đa thức bậc nhất và một

đa thức bậc 2 Vậy tích (x + 2)( x2 - 2x - 15) đã thoả mãn yêu cầu của bài toán

Cách 2: Kết quả phải có dạng:

x3 - 19x - 20 = (x + a)( x2 + bx + c)

= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac = x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac

Ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:

a + b = 0

c + ab = -19

ac = -30Vì a, c Z và tích ac = -30 do đó a, c {1; 2; 3; 5; 6; 

dàng kiểm tra đợc 1 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức không

Trang 17

có nghiệm nguyên mà chỉ có nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ Nh vậy, nếu đa thức trênphân tích đợc thành thừa số thì phải có dạng:

x4 + 6x3 + 7x2+ 6x + 1 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x +bd

Vậy ta phải tìm hệ số a, b, c thoả mãn:

Cách 2: Dùng phơng pháp nhẩm nghiệm ta thấy trong các ớc của hệ số tự do 2

có 1 là nghiệm Vậy đa thức viết đợc dới dạng:

x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x+ 1)(x2 + ax + b)

Trang 18

x2 + ax + b = (x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1)Bằng cách chia hai đa thức ta tìm đợc:

(x3 + 4x2 + 5x + 2) : (x+ 1) = x2 + 3x + 2Vậy x3 + 4x2 + 5x + 2 = (x + 1)( x2 + 3x + 2)

Ta có thể xét một ví dụ về phơng pháp này nh sau:

P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) cũng có bậc

ba đối với tập hợp các biến nên thơng bằng hằng số k Trong hằng đẳng thức ab(a - b) + bc(b -c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a), ta cho các biến nhận giá trịriêng

a = 2, b = 1, c = 0 ta đợc : 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1(-2), do đó 2 = -2k, suy ra k = -1Vậy P = (a - b)(b - c)(a - c)

Vì thế khi làm dạng toán này không phải lúc nào cũng áp dụng một khuôn mẫutheo một phơng pháp giải cố định nào đó Khi học xong các phơng pháp phântích đa thức thành nhân tử thì tuỳ từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mìnhmột phơng pháp giải thích hợp để có một cách phân tích nhanh nhất và có hiệuquả nhất

Nh trong phần đầu tôi đã đề cập là quá trình phân tích một đa thức thành nhân tửhọc sinh chỉ áp dụng theo kiểu xuôi chiều nghĩa là chỉ phân tích đa thức thànhnhân tử chứ không tổng kết và vận dụng các kết quả đó vào trong một số các bàitoán quan trọng khác, trong phần sau đây tôi xin nêu một vài các ứng dụng củaphân tích đa thức thành nhân tử để giải các bài toán

Phần II -Một số lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Trang 19

Chúng ta đều biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thànhmột tích của những đơn thức và đa thức khác Do vậy đối với một số dạng toánnếu ta áp dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giải đợc dễ dàng nh một sốcác dạng toán sau:

Trong các ví dụ trên ta thấy để thực hiện đợc việc tính nhanh thì phơng

pháp chung là : Phân tích các biểu thức cần tính nhanh ra thừa số rồi tính

Dạng 2 : Tính giá trị biểu thức:

Ví dụ 1 : (Bài 40, trang 19 SGK)

Tính giá trị các biểu thức sau:

a 15.91,5 + 150.0,85

b 5x5(x - 2z) + 5x5(2z - x) với x = 1999 ; y = 2000 ; z = -1

Giải:

a 15.91,5 + 150.0,85 = 15.91,5 + 15.8,5

Trang 20

- Trớc hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử

- Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính

Ví dụ 3

Tính giá trị của biểu thức x(x - 1) - y(1 - x) tại x = 2000, y = 1999

Nếu theo cách làm thông thờng học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào biểuthức để tính giá trị Cách làm đó phải tính rất phức tạp mới cho kết quả Vì vậygiáo viên gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi mới thay sốtính giá trị biểu thức

Tiêu đề	Phân tích một đa thức thành nhân tử và các ứng dụng trong giải toán
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Môn Toán
Thể loại	Báo cáo khoa học
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	531,5 KB