một số bài toán để hình thành các kỹ năng giải các dạng toán mang nội dung hình học.

đã tìm ra được một số cách giải các dạng toán ở tiểu học giúp cho người dạy cóthể thuận lợi hơn trong việc hướng dẫn các em, làm cho các em bớt khó khănhơn trong việc giải các dạng toán

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LỜI NÓI ĐẦU

Bậc tiểu học là bậc học nền tảng rất quan trọng trong việc hình thành vàphát triển nhân cách cho học sinh trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa họcban đầu về tự nhiên và xã hội, phát triển các năng lực nhận thức, trang bịphương pháp và kỹ năng ban đầu về hoạt động nhận thức và hoạt động thựctiễn, bồi dưỡng và phát huy tình cảm, thói quen, đức tính tốt đẹp của con ngườiViệt Nam Mục tiêu nói trên được thực hiện thông qua việc dạy học các mônhọc và thực hiện các hoạt động định hướng theo yêu cầu giáo dục

Toán học với tư cách là một môn khoa học nghiên cứu một số mặt củathế giới hiện thực có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức

cơ bản cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động Đó cũng chính là nhữngcông cụ rất cần thiết để học các môn học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới

Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn nó có nhiều khảnăng để tư duy lô gic, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết đểnhận thức thế giới hiện thực như trừu tượng hóa, khái quát hóa, phân tích vàtổng hợp, so sánh và dự đoán, chứng minh (phân tích tổng hợp) và bác bỏ Nó

có vai trò to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suyluận, phương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác

nó có nhiều tác dụng trong việc rèn luyện nề nếp, tác phong, phong cách làmviệc khoa học rất cần thiết trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người; gópphần giáo dục ý trí và đức tính tốt như cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn

Với vị trí và tầm quan trọng về khả năng giáo dục của môn Toán nóichung và môn toán trường tiểu học nói riêng, người giáo viên cần phải làm gì?làm như thế nào để nâng cao hiệu quả dạy học môn toán ?

Qua kinh ngiệm giảng dạy đặc biệt là trong việc phụ đạo cho đối tượnghọc sinh giỏi môn toán ở các lớp 3;4;5 cùng với việc nghiên cứu các tài liệu, tôi

đã tìm ra được một số cách giải các dạng toán ở tiểu học giúp cho người dạy cóthể thuận lợi hơn trong việc hướng dẫn các em, làm cho các em bớt khó khănhơn trong việc giải các dạng toán này.

Trong khuôn khổ đề tài này, tôi xin mạnh dạn đề ra một số cách giải dạngtoán thường gặp mang nội dung hình học chủ yếu dành cho đối tượng học sinhkhá giỏi các lớp 3;4;5 Hy vọng với sự quan tâm và khả năng sáng tạo phongphú của thầy cô giáo đồng nghiệp, đề tài sẽ nhận được những ý kiến quý báu đểhoàn thiện hơn và thực sự có ứng dụng thiết thực, rộng rãi trong thực tế giảngdạy

II THỰC TRẠNG CỦA VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN MANG NỘI DUNG HÌNH HỌC CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC

Mục đích của việc dạy các yếu tố hình học ở tiểu học là góp phần củng

cố kiến thức số học phát triển năng lực thực hành và năng lực tư duy đối với

học sinh tiểu học, đồng thời dạy các yếu tố hình học là biện pháp quan trọnggắn học với hành, nhà trường với đời sống.

Trong chương trình môn Toán ở tiểu học, các đối tượng hình học đượcđưa vào đều cơ bản, cần thiết và thường gặp trong đời sống như: điểm; đoạnthẳng, đường thẳng, hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hìnhtròn, hình trụ

Tuy nhiên các yếu tố hình học không được cấu thành chương trình riêng

mà sắp xếp xen kẽ các kiến thức khác, thậm trí nhiều nội dung hình học đưa vàodưới dạng bài tập liên quan với các kiến thức khác, do đó việc dạy học hình học

ở bậc tiểu học mang ý nghĩa quan trọng trong việc chuẩn bị học hình học mộtcách có hệ thống ở các lớp trên

Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học ở các lớp đầu cấp là : năng lựcphận tích tổng hợp chưa phát triển, tri giác còn dựa vào những hình dạng bênngoài, nhận thức chủ yếu dựa vào cái quan sát được, chưa biết phân tích để

nhận ra thuộc tính đặc trưng nên khó phân biệt các hình khi thay đổi kích thước

vị trí đến các lớp cuối cấp, trí tưởng tượng của học sinh đã phát triển nhưng vẫncòn phải phụ thuộc vào mô hình thực, suy luận của học sinh phát triển song vẫncòn là một dãy phán đoán nhiều khi cảm tính Do đó việc nhận thức các kháiniệm hình học theo lôgíc Toán học đối với các em không phải dễ dàng, bởi vậytrong việc giải các bài toán mang nội dung hình học với các em rất khó khăn

Chính vì vậy trong việc dạy học người giáo viên phải biết khai thác cácbài toán mang nội dung hình học bằng cách từ những bài Toán khó, tổng quátcần phân tích ra thành các bài toán đơn giản hơn và ngược lại từ những bài toánđơn giản chúng ta phải đề ra một số bài toán khó hơn, phức tạp hơn và mangtính tổng quát để hình thành cho các em nắm vững hơn các kỹ năng giải cácdạng toán mang nội dung hình học

Ở đơn vị trường tiểu học Thống Nhất, việc nâng cao chất lượng thực sự

nhất và được tất cả các giáo viên nhận thức sâu sắc Chính vì vậy mà việc họctập, nghiên cứu tìm ra những biện pháp tối ưu trong dạy học luôn được phát huycao ở bất kỳ một môn học nào.

Môn Toán là một trong những môn học chủ đạo được các đồng chí giáoviên rất quan tâm Tuy nhiên do các yếu tố hình học trong môn toán tiểu họcđược sắp xếp xen kẽ với các yếu tố khác nhiều khi không xây dựng thành bàidạy mà được đưa ra dưới dạng bài tập nên trong quá trình giáo viên còn khókhăn trong việc xây dựng hệ thống dạng bài và đề ra các phương pháp dạy hiệuquả dẫn đến việc học sinh vẫn còn lúng túng và ngại với những loại bài tập này

1 Ví dụ: 1 Với dạng đếm hình:

Học sinh thường mắc sai lầm như chỉ đếm các AB

hình đặt rời nhau hoặc hình đơn lẻ dễ nhận thấy

mà không đếm được các hình tạo thành khi

ghép các hình đơn lẻ với nhau do khả năng tưởng D

C

tượng kém và chưa nắm chắc dấu hiệu đặc trưng

và các yếu tố tạo thành hình hình học tương ứng cũng như hạn chế về khả năngsuy luận, không nắm được cách đếm

Khi dùng chữ để đọc, kể tên các hình học, học sinh thường tự tiện đổichỗ các chữ trong tên gọi chẳng hạn: các em coi viết tứ giác ABCD cũng như tứgiác ACDB; ADBC do khả năng suy luận của các em thường dựa vào phánđoán không có căn cứ, cũng có thể do các em bị ảnh hưởng tính chất giao hoáncủa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên, số thập phân, cũng có thể bị ảnhhưởng của phép đo đạc trong thực hành là đoạn thẳng AB và BA có độ dài nhưnhau

2 Với dạng toán cắt ghép hình.

(Các em thường chia theo cảm tính) Đây là dạng toán khó, trừu tượng và rất ítđược quan tâm đối với các em ở dạng toán này, các em chủ yếu chỉ thực hiệnđược trên mô hình vật thật còn thực hiện qua việc vẽ hình là rất khó Trong quatrình xác định lát cắt các em chủ yếu làm mô hình mà không có phương phápsuy luận, bởi vậy các em đa số rất ngại dạng này.

3 Với dạng toán chia hình:

Các em thường chia theo cảm tính mà ít khi dựa vào mối quan hệ giữa các yếu

tố trong hình, nó thể hiện ở việc học sinh lúng túng trong việc giải thích cáchchia hình

Dựa trên cơ sở khoa học của việc dạy các yếu tố hình học ở bậc tiểu học,dựa trên những tồn tại của việc dạy và học của bản thân và qua việc nghiên cứutài liệu cùng những kinh nghiệm được rút ra trong quá trình giảng dạy, Tôi đãrút ra những biện pháp giúp học sinh giải một số dạng toán mang nội dung hìnhhọc

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Xây dựng hệ thống ví dụ bài tập cho mỗi dạng từ đơn giản đến phức tạp vàhướng dẫn một số bước giải từ đó khái quát thành các bước chung

2 Xử lý các tài liệu về môn toán có liên quan đến các yếu tố hình học như SGK

từ lớp 1 đến lớp 5 Tài liệu bồi dưỡng môn toán dành cho học sinh tiểu học Tàiliệu hướng dẫn giảng dạy môn toán từ lớp 1 đến lớp 5 Một số chuyên san toánhọc và tài liệu phương pháp dạy học Toán ở tiểu học

3 Dự giờ Toán của giáo viên cũng như khảo sát kết quả học tập của học sinh đểrút ra những tồn tại cần giải quyết

4 Qua quá trình giảng dạy rút ra những kinh nghiệm để tìm cách khắc phục

II CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Qua việc khai thác các ví dụ theo các mức độ từ đơn giản đến phức tạp,rút ra cách giải tổng quát hoặc các bước chung để giải từng dạng bài Cụ thểnhư sau:

A- Nhận dạng các hình hình học:

1 Nội dung: Cho các hình hình học cùng với các điều kiện nào đấy (cụ thể bằng

hình vẽ hoặc đồ vật) Yêu cầu học sinh:

- Tô mầu hoặc chỉ ra một loại hình hình học nào đấy.

- Đếm số các hình hình học được tạo thành

- Gọi tên các hình hình học

2 Ví dụ:

Bài 1: Cho một đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng đã cho lấy 3 điểm tùy ý không

trùng với đầu mút Có bao nhiêu đoạn thẳng được tạo thành ?

Hướng dẫn : Để làm được bài này, học sinh cần nắm được đặc điểm của đoạn

thẳng là đường nối hai điểm Từ đó học sinh suy ra cứ chọn hai điểm ta sẽ cóđược một đoạn thẳng và sẽ tìm được cách đếm ra số các đoạn thẳng có trênđoạn AB

Cách 1: Sử dụng sơ đồ cây:

CA

tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ( đoạn thẳng)

Cách 2: Đánh số thứ tự các đoạn thẳng riêng lẻ:

1 2 3 4

A C D E B

Ta đánh 4 đoạn thẳng riêng lẻ theo thứ tự 1; 2; 3; 4 ( như hình vẽ) ta có 4 đoạnthẳng

- Đếm số đoạn thẳng được tạo thành do ghép hai đoạn thẳng riêng lẻ ta có:

3 đoạn (đoạn 1 + 2 ); (đoạn 2 + 3 ); (đoạn 3 + 4 )

đoạn thẳng (đoạn 1 + 2 + 3 ) (đoạn 2 + 3 + 4)

đoạn thẳng [đoạn (1+2+3+4) ]

Vậy số đoạn thẳng được tạo thành là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng)

Bài 2 : Hình vẽ bên có bao nhiêu tam giác

Hướng dẫn: A

B E FC

Để làm được bài này học sinh cần nhận dạng được đặc điểm của tamgiác: có 3 cạnh; 3 góc; 3 đỉnh Từ đó thấy được cứ 3 điểm không cùng nằm trênmột đoạn thẳng ta sẽ vẽ được một tam giác và sẽ tìm ra cách đếm tam giác

Từ nhánh thứ nhất ta có tam giác : ABE; ABF; ABC

Từ nhánh thứ hai ta có tam giác: AEF; AEC

Từ nhánh thứ ba ta có tam giác: AFC

Vậy số tam giác ở hình bên là: 3+2+1=6 (tam giác)

Cách 2: Đánh số thứ tự các tam giác riêng lẻ A

Ta đánh số 3 tam giác riêng lẻ theo thứ tự

1; 2; 3 (như hình vẽ) Ta có được 3 tam giác

- Đếm số tam giác tạo thành do 1 2 3

ghép hai tam giác riêng lẻ thành

một tam giác ta có 2 tam giác là: B E F CTam giác (1+2) và tam giác (2+3)

- Đếm số tam giác tạo thành do 3 tam giác riêng lẻ ghép lại thành một tam

giác ta có: 1 tam giác là: Tam giác (1+2+3)

Cách 3 : Phương pháp suy luận

Ta nhận thấy đỉnh A nối với hai đầu mút của một đoạn thẳng bất kỳ trên

BC bằng hai đoạn thẳng ta sẽ được một tam giác Do đó để xác định được số

tam giác tạo thành ta chỉ cần đếm số đoạn thẳng tạo trên cạnh BC là: 3+2+1=6(đoạn thẳng) Như vậy số tam giác được tạo thành là 6 tam giác.

Qua hai ví dụ và các cách giải ở trên ta rút ra được các bước chung giảicác dạng toán nhận dạng hình hình học như sau:

Bước 1 : Xác định yêu cầu của bài toán là nhận dạng các hình dựa vào hìnhdạng hay đặc điểm của hình

Bước 2: Nhắc lại định nghĩa các hình liên quan đến bài toán (bằng cách mô tảhoặc bằng vật mẫu) và đặc điểm của các hình đó

Bước 3: Nhớ lại một số phương pháp đếm hình thường sử dụng

- Đếm trực tiếp trên hình vẽ hoặc trên đồ vật

nhận dạng

- Đánh số thứ tự các hình riêng lẻ dễ nhận biết

Với các bước thực hiện như trên, hy vọng các bạn sẽ dễ dàng hướng dẫn các emnhận dạng hình đầy đủ và chính xác hơn.

B Dạng cắt, ghép hình:

1 Nội dung: Cho trước một hoặc một số hình hình học bằng một số lát cắt hãy

chia một hình đã cho thành những mảnh rời rồi ghép những mảnh rời đó thànhnhững hình đã học thỏa mãn yêu cầu nào đấy

2 Ví dụ:

Bài 1: Em hãy cho biết, nếu cắt một hình vuông theo một đường chéo của nó

thành hai mảnh thì có thể ghép hai mảnh đó thành những hình nào ?

Nhận xét: Đây là bài toán đơn giản giúp cho học sinh dựa trên mô hình vật thật

cắt, ghép hình theo yêu cầu từ đó nắm vững hơn về bản chất của dạng cắt, ghéphình (thực chất là bài toán về diện tích thao tác cắt ghép sao cho diện tích hìnhkhông đổi)

Hướng dẫn: Trước hết ta có thể cho học sinh thao tác trên vật thật và đánh dấu

điểm vào vật đó Học sinh khi ghép xác định đúng tên các đỉnh lúc đầu và ghépcác hình đó để được các hình Nhận xét điểm nào trùng với điểm nào, từ đóhình dung ra cách ghép bằng hình vẽ và cách giải thích cách ghép

Ghép 2 mảnh sao cho đỉnh B trùng D ta được một hình tam giác vuông cân(hình b)

Ghép hai mảnh sao cho đỉnh B trùng với đỉnh C được hình bình hành (hình c)

Bài 2 : Hãy cắt một hình chữ nhật có chiều dài 16 cm, chiều rộng 9 cm thành 2

mảnh sao cho khi ghép lại ta được một hình vuông

Nhận xét : Bài toán này cho ta biết kích thước của hình đã cho bởi vậy ta có thể

dựa vào diện tích của hình để xác định cạnh hình vuông từ đó tìm ra cách cắtghép

Hướng dẫn:

Bước 1 : Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là :

16 x 9 =144 (cm

2)

Vì 144 = 12 x 12 nên hình vuông cần tìm cócạnh là 12 cm

Bước 2: Để có hình vuông cần tìm ta cần giảm chiều dài của hình chữ nhật 4cm

và tăng chiều rộng của hình chữ nhật lên 3(cm)

Bước 3: Cắt hình chữ nhật theo đường gấp khúc EFGHLM sao cho BE=12cm,

các đoạn song song với chiều rộng là 3 cm, các đoạn song song với chiều dài là

4 cm (Hình vẽ)

IH

- Bước 4: Ghép hình (như hình vẽ): B

G

IH

Bài 3: Cắt hình chữ thập (hình bên) bằng hai lát cắt và ghép lại thành hìnhvuông.

Nhận xét :

Đây là bài toán khó tưởng tượng, khó xác định được cơ sở để xác địnhlát cắt Giáo viên cần giúp học sinh lựa chọn điểm cắt trên hình chữ thập saocho độ dài các lát cắt bằng nhau để khi ghép các mảnh cắt ta được hình vuông.Hướng dẫn:

Lát cắt thứ nhất theo đường AC

Lát cắt thứ hai ta cắt theo đường BD

Ghép các mảnh 1; 2; 3 như hình vẽ ta được hình vuông.

B

2

1C

Bước 2: Tính diện tích của hình ban đầu để suy ra cạnh của hình cần ghép (nếu

có)

Bước 3: Xác định điểm cắt và cắt hình

Bước 4 : Ghép hình theo yêu cầu

C/ Dạng “Chia một hình hình học theo một yêu cầu nào đó”

1 Nội dung: Bằng một số nét kẻ hãy chia một hình cho trước ra thànhnhững phần có diện tích tỉ lệ với các số cho trước

3 2 3 8Vậy ta có cách cắt sợi dây như sau:

Gập đôi sợi dây ; rồi tiếp tục gập đôi sợi dây vừa gập, gập đôi một lần nữa.Bằng cách đó sợi dây sẽ được chia thành 8 phần bằng nhau, lấy ra 3 phần từphía đầu sợi dây thì đoạn dây đó dài 0,5 m.

Bài 2 Hãy chia một hình chữ nhật thành 4 hình tam giác có diện tích bằngnhau

Nhận xét hướng dẫn: Để làm được bài toán này cần hướng dẫn học sinh nắmđược :

- Hai tam giác có cùng chiều cao và số đo của đáy bằng nhau thì diện tích

bằng nhau ( Hai tam giác tương đương)

tích bằng nhau

Để giải được bài toán này trước hết ta kẻ đường chéo AC để chia hìnhchữ nhật thành hai tam giác có diện tích bằng nhau Sau đó ta chia mỗi tam giác

ABC và ADC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau Vậy ta sẽ được lời giảimột bài toán.

Cách 1: Chọn AC làm đáy chung của B Chai tam giác sẽ chia ra

tích bằng nhau có cùng đường cao hạ từ

B (và từ D) xuống AC, thì ta phải chia

đáy AC thành hai phần bằng nhau tại

điểm O Nối BO và DO ta được các tam A DGiác ABO; BOC; COD và DOA có diện tích bằng nhau

Cách 2: Chọn hai cạnh BCvà AD làm đáy của các tam giác sẽ chia ra Như vậy các tam giác được chia ra từ tam giác ABC có chung đường cao AB cho nên ta phải chia đáy BC thành hai phần có số đo

B M Cbằng nhau bởi điểm M và điểm N

(Chia AD bởi điểm N) Nối AM, CN

Ta được 4 tam giác ABM; AMC;

CAN; CND có diện tích bằng nhau

Cách 3: A N D

Chọn 2 cạnh AB và CD làm đáy của tam

giác sẽ chia ra Như vậy các tam giác

được chia ra từ tam giác ABC có chung B C

đường cao CB cho nên ta phải chia đáy

AB thành hai phần có số đo bằng nhau

bởi điểm P P H

Tương tự ta chia CD thành hai phần bởi

điểm H Nối CP và AH ta được 4 tam

giác ACP; CPB; ADH; AHC có diện tích A D

bằng nhau

Cách 4: Phối hợp cách 1 và cách 2