Kát thực cừa hai a thực
Tữỡng tỹ, gồi β 1 , , β m l tĐt cÊ cĂc nghiằm (kº cÊ bởi) cừa g trong K , tùc l g(x) = b(x − β 1 )(x − β 2 ) (x − β m ), vợi b ∈ K n o õ
Ta ành nghắa kát thực cừa f v g , R(f, g) l
Ta liằt kả dữợi Ơy mởt số tẵnh chĐt cừa kát thực.
Tẵnh chĐt 1.1.1 R(g, f ) = (−1) mn R(f, g) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta cõ iãu phÊi chựng minh
Tẵnh chĐt 1.1.2 R(f, g) = 0 náu f v g cõ mởt nhƠn tỷ chung bêc d÷ìng.
Chứng minh rằng nếu \( h(x) \in F[x] \) và \( \alpha \in K \) là một nghiệm của \( h \) trong \( K \), thì tồn tại \( i, j \) sao cho \( \alpha_i = \alpha \) và \( \beta_j = \alpha \) Từ đó, suy ra rằng trong tích thành nghĩa \( R(f, g) \) có nghiệm tỷ \( \alpha_i - \beta_j = 0 \), do đó \( R(f, g) = 0 \) Tính chất 1.1.3 cho thấy rằng \( R(f, g) = a m n \).
Chựng minh Vẳ g(x) = b Q n j=1 (x − β i ), nản ta cõ g(α i ) = b Q n j=1 (α i − β j ), vợi mồi i = 1, , n Do vêy a m n
Tữỡng tỹ (ho°c sỷ dửng Tẵnh chĐt 1.1.1) ta suy ra
Tẵnh chĐt 1.1.4 Náu g(x) = f q + r , thẳ R(f, g) = a m−deg r R(f, r) Chựng minh Tứ Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ
[f (α i )q(α i ) + r(α i )]. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vẳ α i l nghiằm cừa cừa f , nản f (α i ) = 0 v do vêy f (α i )q(α i ) + r(α i ) = r(α) Do â ta câ
M°t khĂc, cụng theo Tẵnh chĐt 1.1.3 R(f, r) = a deg r Q n i=1 r(α i ) Do vêy
Tẵnh chĐt 1.1.5 R(f, b) = b deg f náu b l vổ hữợng.
Chựng minh °t g(x) = b Theo Tẵnh chĐt 1.1.3
Các tính chất 1.1.1, 1.1.4, 1.1.5 cho phép ta tính toán các thực của bất kỳ hai a thực n o bông thuật toán chia của Euclid Các tính chất này cũng giúp ta chứng minh rằng R(f, g) là một phân tỷ của trường F mặc dù nó được ảnh hưởng dựa theo các phân tỷ trong trường lớn hơn K.
Tẵnh chĐt 1.1.6 Ta cõ R(f, g) nơm trong F Chựng minh Ta chựng minh bơng quy nÔp theo deg f Náu g = b l hơng số thuởc F Thẳ theo Tẵnh chĐt 1.1.1 v 1.1.5, R(f, g) = R(b, f ) =
Giá trị sỹ không ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa các số thực và bậc của chúng Khi thực hiện phép chia hai số thực, tồn tại hai số thực q và r trong F[x] sao cho g = f q + r, với r = 0 hoặc bậc của r nhỏ hơn bậc của f Theo các tính chất đã nêu, ta có R(f, g) = R(f, r) = ±R(r, f) trong trường hợp F Cần chứng minh điều này.
2 Náu g = g 1 g 2 thẳ R(f, g) = R(f, g 1 )R(f, g 2 ) Chựng minh Suy ra tứ Tẵnh chĐt 1.1.3.
Biằt thực cừa a thực
Biằt thực cừa f ữủc ành nghắa l
D(f ) = (−1) n(n−1)/2 R(f, f 0 ), ð ¥y f 0 l ¤o h m cõa f v n = deg f Theo Tẵnh chĐt 1.1.2, ta cõ D(f ) 6= 0 náu v ch¿ náu f v f 0 khổng cõ thứa số chung.
Chúng ta cõ thº tẵnh toĂn D(f ) bơng cĂch sỷ dửng thuêt toĂn Euclid trản f v f 0 Dữợi Ơy l mởt số vẵ dử.
Vẵ dử 1.2.1 X²t f (x) = x − a Khi õ f 0 (x) = 1, vẳ vêy
= 2 deg f −deg r (−1)R(f 0 , r) ( theo Tẵnh chĐt 1.1.4)
= −4r = a 2 − 4b. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vẵ dử 1.2.3 Cho f (x) = x 3 + qx + r Thẳ f 0 (x) = 3x 2 + q v thỹc hiằn thuêt toĂn Euclid, ta cõ x 3 + qx + r = (3x 2 + q) x
Vẵ dử 1.2.4 X²t f (x) = x n − 1 ∈ F [x] Ta i tẵnh biằt thực cừa f (x) Gồi α 1 , , α n l n nghiằm trong K (mởt trữớng õng Ôi số chựa F ) cừa a thực f (x) = x n − 1 Ta cõ f 0 (x) = nx n−1 Do vêy
Vẳ theo ành lỵ Vi²te α 1 ã ã ã α n = (−1) n a thực f (x) ∈ F [x] ữủc gồi l mởt a thực chuân (monic) náu hằ số ựng vợi số mụ cao nhĐt cừa nõ bơng 1.
Mằnh ã 1.2.5 Cho f l mởt a thực monic v α 1 , , α n l cĂc nghiằm luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si cõa nâ trong tr÷íng âng ¤i sè K Khi â
Chựng minh Vẳ α 1 , , α n ∈ K l cĂc nghiằm cừa f nản f (x) = (x − α 1 )(x − α 2 ) (x − α n ) Do â f 0 (x) = (x − α 2 )(x − α 3 ) (x − α n ) + (x − α 1 )(x − α 3 ) (x − α n )
Nhữ vêy f 0 (α i ) = Q n j=1,j6=i (α i − α j ) Theo Tẵnh chĐt 1.1.3, ta cõ
Chú ỵ rơng trong tẵch cuối cùng cũng ð cổng thực trản, có n(n − 1) thứa số Trong đó, các thứa số dÔng α i − α j với i < j và một nỷa là các thứa số dÔng α i − α j với i > j Nhơn mọi thứa số dÔng thự hai vợi.
(−1) ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 1.2.6 Ta i tẵnh biằt thực cừa a thực monic bêc 2 v bêc 3 sỷ dửng cổng thực tẵnh biằt thực trong mằnh ã trữợc.
(a) X²t f (x) = x 2 + ax + b ∈ F [x] Gồi α 1 , α 2 l hai nghiằm cừa f (trong mởt trữớng õng Ôi số n o õ chựa F ) Khi õ biằt thực cừa f l
(b) X²t a thực f (x) = x 3 + qx + r ∈ F [x] Gồi α 1 , α 2 , α 3 l cĂc nghiằm cừa f Khi õ biằt thực cừa f l
Ta câ x 3 + qx + r = (x − α 1 )(x − α 2 )(x − α 3 ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
LĐy Ôo h m hai vá theo x , ta suy ra
Do vêy, thay x = α 1 , α 2 v α 3 ta ữủc
D(f ) = −[27r 2 + 4q 3 ] = −4q 3 − 27r 2 Mằnh ã 1.2.7 Cho f v g l hai a thực monic trong F [x] Khi õ
Chựng minh Gồi n = deg f v m = deg g Khi õ m + n = deg(f g) Ta câ
= R(f, f 0 g + f g 0 )R(g, f 0 g + f g 0 ) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Tứ õ ta cõ iãu phÊi chựng minh vẳ
Mằnh ã 1.2.8 Cho f 1 , , f r l cĂc a thực monic trong F [x] Khi õ
Chựng minh Ta chựng minh quy nÔp theo r Cổng thực úng vợi r = 2 GiÊi sỷ nõ Â úng vợi r − 1 a thực vợi r ≥ 3 Theo Tẵnh chĐt 1.1.7 v theo quy n¤p ta câ
Tỹ ỗng cĐu Frobenius
trữớng cõ p phƯn tỷ l cĂc số nguyản modulo p Gồi K l mởt trữớng bĐt ký chựa F p X²t φ p : K → K l Ănh xÔ cho bði φ p (a) = a p , vợi mồi a ∈ K
! a p−k b k + b p = a p + b p = φ p (a) + φ p (b). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(é Ơy ta  sỷ dửng nhên x²t rơng p | p k ) Nhữ vêy φ p l tỹ ỗng cĐu cừa trữớng K nh xÔ φ p nhữ trản ữủc gồi l tỹ ỗng cĐu Frobenius cừa
Bờ ã 1.3.1 Cho a l mởt phƯn tỷ trong K Khi õ φ p (a) = a khi v ch¿ khi a thuởc F p
Chựng minh Náu a thuởc F p thẳ theo ành lỵ Fermat nhọ, ta cõ φ p (a) = a p = a.
Giả sử \( \phi_p(a) = a \) Ta suy ra \( a \in K \) là nghiệm của phương trình \( x^p - x \) Theo định lý Fermat, các nghiệm của \( x^p - x \) trong \( \mathbb{F}_p \) chính là các nghiệm của phương trình này Do đó, \( x^p - x \) có bậc \( p \) và các nghiệm của \( x^p - x \) là các phần tử trong \( \mathbb{F}_p \) Vì \( a \) là một trong các nghiệm, nên \( a \) thuộc về các nghiệm này.
Ta mð rởng Ănh xÔ φ p lản Ănh xÔ tứ K [x] v o K [x] nhữ sau Vợi f (x) = a n x n + ã ã ã + a 1 x + a 0 , ta ành nghắa φ p (f (x)) = φ p (a n )x n + ã ã ã + φ p (a 1 )x + φ p (a 0 )
Bờ ã 1.3.2 Cho f (x) ∈ K [x] Khi õ φ p (f (x)) = f (x) khi v ch¿ khi f (x) ∈ F p [x] Chựng minh Suy ra ngay tứ bờ ã trữợc. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ch÷ìng 2 ành lþ Stickelberger
Chữỡng n y trẳnh b y vã ành lỵ Stickelberger là một số ví dụ minh họa, mởt tữỡng tỹ cừa ành lỵ n y cho a thực thỹc Tài liệu tham khảo sỷ dửng cho chữỡng n y là [3, Chapter 15] và [2, Section 6.6].
Cho hàm \( f(x) \in \mathbb{Z}[x] \) là một đa thức thực chuẩn (monic) với số nguyên bậc \( n \) và \( D(f) \) là biệt thức của \( f \) Giả sử \( p \) là một số nguyên tố và \( \ell = p - D(f) \) Đặt \( \overline{f}(x) \in \mathbb{F}_p[x] \) là đa thức thu được từ \( f \) bằng cách lấy số modulo \( p \) Gọi \( r \) là số nhân tỷ lệ bất kỳ của \( \overline{f} \) Khi \( r \) là một số nguyên Stickelberger, có thể chứng minh rằng \( r \equiv n \mod 2 \) khi \( D(f) \) là bậc chính phương modulo \( p \) Kết quả này nằm trong một kết quả của Stickelberger Nó cũng được chứng minh bởi Skolem (1952) và liên quan đến trường hợp \( p = 2 \) của Stickelberger (được trình bày trong Chương 3, Mục 3), cũng như được chứng minh bởi Carlitz (1953) và Dalen.
Nghiằm cừa a thực bĐt khÊ quy trong F p [x]
Bờ ã 2.1.1 GiÊ sỷ α ∈ K l mởt nghiằm cừa a thực f (x) ∈ F p [x] Khi õ α p cụng l nghiằm cừa f (x) Chựng minh Ta viát f (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ã ã ã + a 1 x + a 0 ∈ F p Khi õ 0 = f (α) = P n i=0 a i α i Sỷ dửng ỗng cĐu Frobenius φ p , ta cõ
X i=0 a i α pi = f (α p ). é trản ta  sỷ dửng tẵnh chĐt φ p (a) = a vợi mồi a ∈ F p luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Mằnh ã 2.1.2 Cho f (x) l mởt a thực monic bĐt khÊ quy trong F p [x] vợi bêc d Cho K l mởt trữớng chựa F p , v α ∈ K l mởt nghiằm cừa f (x) Khi â trong K[x] , ta câ f (x) = (x − α)(x − α p )(x − α p 2 ) (x − α p d−1 ).
Chứng minh rằng theo bờ ã trữợc, ta có các giá trị $\alpha, \alpha_p, \alpha_{p2}, \ldots$ đều là nghiệm của hàm $f(x)$ Hàm thực $f(x)$ chỉ có hữu hạn nghiệm trong khoảng $K$, và tồn tại hai số nguyên dương $k < l$ sao cho $\alpha_p^k = \alpha_p^l$ Ta có $0 = \alpha_p^l - \alpha_p^k$.
(α p l−k − α) p k Suy ra α p l−k = α Nhữ vêy tỗn tÔi số tỹ nhiản nhọ nhĐt r sao cho α p r = α
Ta có các số thực $\alpha, \alpha_p, \alpha_{p_2}, \ldots, \alpha_{p_{r-1}}$ là những phần biệt, với điều kiện rằng $\alpha_{p_k} = \alpha_p$ và $k, 1 \leq k < h < r$ Thêm vào đó, ta có thể nhận thấy rằng $\alpha_{p_{h-k}} = \alpha$, và mẫu thuẫn với tính nhọn nhất của $r$ Do đó, hàm $f$ có ít nhất $r$ nghiệm phân biệt trong $K$ Điều này dẫn đến việc $r$ phải nhỏ hơn hoặc bằng bậc của $f$, tức là $r \leq d$ Hàm $g(x)$ được định nghĩa là $(x - \alpha)(x - \alpha_p)(x - \alpha_{p_{r-1}})$.
Do vêy g(x) nơm trong F p [x] Hiºn nhiản α l mởt nghiằm cừa g(x) Chia a thùc f (x) cho g(x) ta câ f (x) = g(x)q(x) + h(x), vợi q(x), h(x) ∈ F p [x] v h = 0 ho°c deg h < r Vợi mồi i = 0, , r − 1 ta câ h(α p i ) = f (α p i ) − g(α p i )q(α p i ) = 0.
Nhữ vêy, a thực h cõ ẵt nhĐt r nghiằm phƠn biằt α, α p , , α p r−1 Do õ h phÊi l a thực 0 v do vêy f (x) = g(x)q(x) Vẳ f (x) l bĐt khÊ quy v monic nản f (x) = g(x) v r = d Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
ành lþ Stickelberger
Cho p là một số nguyên tố lẻ, f(x) là một đa thức thực monic bậc m với các hệ số trong F_p Giả sử D(f) ≠ 0 Gọi r là số các nhân tỷ bất khả quy của f(x) trong F_p[x] Khi a ≡ m (mod 2) thì D(f) là một bậc phương trong F_p.
Chứng minh rằng ưu tiên chúng ta chứng minh ảnh lý cho trường hợp \( r = 1 \) Trong trường hợp này, \( n \) là một biến số và \( f(x) \) là một hàm không bị quy định bởi \( m \) Gọi \( K \) là một trường số chứa \( F_p \) Gọi \( \alpha \in K \) là một nghiệm của \( f \) Khi \( \alpha \) là nghiệm của \( f \), các nghiệm của \( f \) sẽ là \( \alpha, \alpha^p, \alpha^{p^2}, \ldots, \alpha^{p^{m-1}} \) theo Mệnh đề 2.1.2 Chú ý rằng \( \alpha^p = \alpha \) Do đó, \( \delta(f) = m - 1 \).
Khi õ δ(f ) ∈ K v D(f ) = (δ(f )) 2 Do vêy D(f ) l mởt bẳnh phữỡng trong F p khi v ch¿ khi δ(f ) nơm trong F p Ta kiºm tra δ (f ) nơm trong
F p bơng cĂch kiºm tra ¯ng thực φ p (δ(f )) = δ(f ) Ta cõ φ p (δ(f )) = Y
Thay êi ch¿ sè ta câ φ(δ(f )) = Y
= (−1) m−1 δ(f ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nhữ vêy ành lỵ úng vợi r = 1 BƠy giớ ta giÊ sỷ f = f_1 f_2 \ldots f_r l tẵch cừa r nhƠn tỷ bĐt khÊ quy phƠn biằt Ta ành nghắa δ(f) v δ(f_i) tữỡng tỹ nhữ trong trữớng hủp r = 1 ð trản.
D(f ) = D (f 1 f 2 f r ) = D(f 1 )D(f 2 ) D(f r )R 2 , vợi R n o õ thuởc F p Do õ, trong K ta cõ δ(f ) = δ(f 1 )δ(f 2 ) δ(f r )S, vợi S = ±R ∈ F p Theo trữớng hủp r = 1 , vợi mồi i = 1, , r, ta cõ φ p (δ(f i )) = (−1) d i −1 δ(f i ), ð nìi d i = deg f i Do â φ(δ(f )) = δ(f 1 )δ(f 2 ) δ(f r )S(−1) d 1 −1 (−1) d 2 −1 (−1) d r −1
(Chú ỵ rơng d 1 + ã ã ã + d r = deg f = m ) Tứ õ ta cõ
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Chựng minh ành lỵ Stickelberger ữa ra ð trản l chựng minh (vợi sỷa ời thẵch hủp) cừa Swan(1962) v Berlekamp (1968).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đa thức \( f(x) = x^2 + x + 1 \) thuộc \( F_2[x] \) với bậc \( d = 2 \) Ta có \( f(0) = f(1) = 1 \neq 0 \) trong \( F_2 \), do đó \( f(x) \) không có nghiệm trong \( F_2 \) và vì vậy \( f(x) \) là một đa thức không khả quy Trong trường hợp này, số nhân tỷ lệ khả quy monic của \( f(x) \) là \( r = 1 \).
M°t khĂc biằt thực cừa f (x) l D = 1 − 4 ã 1 = 1 l bẳnh phữỡng trong
F 2 Hiºn nhiản kh¯ng ành r ≡ d ⇔ D l bẳnh phữỡng mod 2 l sai trong trữớng hủp n y Nhữ vêy phĂt biºu cừa ành lỵ Stickelberger khổng cỏn úng nỳa cho trữớng hủp p = 2
Hằ quÊ 2.2.3 Cho p l mởt số nguyản tố l´ v f (x) = x 3 + qx +r ∈ F p [x] Gồi D = −4q 3 − 27r 2 l biằt thực cừa f GiÊ sỷ p - D Gồi N p (f ) l số nghiằm cừa f trản F p Khi õ
( 0 ho°c 3 náu D l bẳnh phữỡng trong F p
1 náu D khổng l bẳnh phữỡng trong F p
Chựng minh Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f (x) trản F p Ró r ng r ch¿ cõ thº nhên cĂc giĂ trà
1 r = 1 , tực l f bĐt khÊ quy trản F p v N p (f ) = 0 ,
2 r = 2 , tực l f cõ duy nhĐt mởt nghiằm trản F p v N p (f ) = 1 ,
3 ho°c r = 3 , tực l f cõ 3 nghiằm phƠn biằt trản F p v N p (f ) = 3 ành lỵ Stickelberger nõi rơng
Ta cõ iãu phÊi chựng minh Vẵ dử 2.2.4 X²t a thực f (x) = x 3 − x − 1 Biằt thực cừa f l
• Náu p = 3 thẳ D = −23 ≡ 1 2 (mod 3) l bẳnh phữỡng modulo 3. Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f ) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 − x − 1 l bĐt khÊ quy modulo 3.
Náu p = 5 và D = −23 là các giá trị quan trọng trong lý thuyết số modulo 5 Theo hàm giá trị Np(f) = 1, chúng ta có thể xác định các nghiệm của phương trình x^3 − x − 1 Thực tế, x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình này Tài liệu luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ về modulo 5 có thể được tải xuống từ địa chỉ email z z @gmail.com.
• Náu p = 7 thẳ D = −23 = 5 (mod 7) khổng l bẳnh phữỡng modulo
7 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f ) = 1 Thỹc tá x = 5 l nghiằm duy nhĐt cừa x 3 − x − 1 modulo 7 v phƠn ta cõ phƠn tẵch
• Náu p = 11 thẳ D = −23 = 10 (mod 11) l khổng bẳnh phữỡng modulo 11 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f ) = 1 Thỹc tá x = 6 l nghiằm duy nhĐt cừa x 3 − x − 1 modulo 11 v phƠn ta cõ phƠn tẵch
• Náu p = 13 thẳ D = −23 ≡ 3 = 4 2 (mod 13) l bẳnh phữỡng modulo
13 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f ) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 − x − 1 bĐt kh£ quy modulo 13.
• Náu p = 59 thẳ D = −23 ≡ 36 = 6 2 (mod 59) l bẳnh phữỡng modulo
59 Theo hằ quÊ trản thẳ N p (f ) = 0 ho°c 3 Thỹc tá x 3 − x − 1 cõ 3 nghiằm phƠn biằt modulo 59 v ta cõ phƠn tẵch x 3 − x − 1 = (x − 4)(x − 13)(x − 42) (mod 59).
a thực nguyản khÊ quy modulo mồi số p nguyản tố
tè Kát quÊ sau l hằ quÊ trỹc tiáp cừa ành lỵ Stickelberger.
Hàm số \( f(x) \) là một đa thức thực monic bậc chẵn với hệ số nguyên Giả sử rằng thực D của \( f \) là một số chính phương khác 0 Khi \( D \) là một số nguyên tố \( p \), thì \( f(x) \) không có nghiệm trong trường hợp modulo \( p \).
Chựng minh Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic modulo p cừa f (x)
Ró r ng D l số chẵn phức modulo p, theo ảnh hưởng của Stickelberger, có thể được xác định bởi điều kiện r ≡ deg f mod 2, từ đó suy ra rằng r là số chẵn Nếu r khác 1 và f(x) là khối quy modulo p, điều này cho thấy sự quan trọng của các số chẵn trong lý thuyết số.
Bờ ã 2.3.2 Cho f (x) = x 4 + ax 2 + b ∈ F [x] Khi õ biằt thực cừa f l
D = 16b(a 2 − 4b) 2 Chựng minh Gồi α , −α v β , −β l 4 nghiằm cừa a thực f (x) (trong mởt trữớng õng Ôi số K n o õ chựa F ) Ta cõ α 2 = u, β 2 = v l hai nghiằm cừa x 2 + ax + b
Mằnh ã 2.3.3 a thực x 4 + 1 l bĐt khÊ quy trản Z những l khÊ quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p
Chựng minh Biằt thực cừa x 4 + 1 l D = 16 ã 4 2 l mởt số chẵnh phữỡng.
Do vêy theo hằ quÊ trản thẳ x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố m p 6= 2 Ta cõ x 4 + 1 = (x + 1) 4 (mod 2) Nhữ vêy x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố.
Ta chựng minh x 4 + 1 bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x 4 + 1 l khÊ quy trản Z Khi õ
(x 4 + 1) = (x 2 + ax + c)(x 2 + bx + d), vợi a, b, c, d ∈ Z n o õ Ta cõ
(x 2 + ax + c)(x 2 + bx + d) = x 4 + (a + b)x 3 + (ab + c + d)x 2 + (ad + bc)x + cd.
Do vêy a + b = 0 , ab + c + d = 0 , ad + bc = 0 v cd = 1 Tứ cd = 1 ta suy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = −(c + d) = ±2 Do vêy a 2 = ±2, phữỡng trẳnh n y khổng cõ nghiằm nguyản.
Mằnh ã 2.3.4 a thực x 4 + 3x 2 + 1 l bĐt khÊ quy trản Z những l khÊ quy modulo p vợi mồi số nguyản tố p
Chứng minh rằng phương trình \$x^4 + 3x^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}\$ có nghiệm là một số chẵn phương Theo đó, với các số nguyên tố \$p\$ khác 2 và 5, ta có thể viết lại phương trình dưới dạng \$x^4 + 3x^2 + 1 = (x + 1)^4\$.
Nhữ vêy x 4 + 1 l khÊ quy modulo p vợi mồi p nguyản tố.
Ta chựng minh x 4 + 3x 2 + 1 bĐt khÊ quy trản Z Thêt vêy, giÊ sỷ x 4 + 3x 2 + 1 l khÊ quy trản Z Khi õ
(x 4 + 1) = (x 2 + ax + c)(x 2 + bx + d), vợi a, b, c, d ∈ Z n o õ Ta cõ
(x 2 + ax + c)(x 2 + bx + d) = x 4 + (a + b)x 3 + (ab + c + d)x 2 + (ad + bc)x + cd.
Do vêy a + b = 0 , ab + c + d = 3 , ad + bc = 0 v cd = 1 Tứ cd = 1 ta suy ra c = d = −1 ho°c c = d = 1 Suy ra ab = 3 − (c + d) = 1 ho°c 5 Do vêy a 2 = −1 ho°c −5 , phữỡng trẳnh n y khổng cõ nghiằm nguyản.
Nhên x²t 2.3.5 Hai mằnh ã trản l vẵ dử vã a thực trũng phữỡng bêc
Bài viết này đề cập đến các quy tắc trong lý thuyết số, đặc biệt là các quy tắc modulo p với p là số nguyên tố Để kiểm tra xem D(f) có phải là một bậc phương mod p hay không, chúng ta cần áp dụng các phương pháp hiệu quả Một trong những phương pháp quan trọng là sử dụng lý thuyết Stickelberger, cho phép chúng ta chứng minh các tính chất liên quan đến bậc hai một cách chặt chẽ Những kết quả này sẽ được trình bày chi tiết trong các phần sau của bài viết.
T÷ìng tü cõa ành lþ Stickelberger cho a thùc thüc
ành lỵ 2.4.1 Cho f (x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f ) 6= 0 Gồi r l số nhƠn tỷ monic bĐt khÊ quy thỹc cừa f Khi â d ≡ r (mod 2) ⇔ D(f ) > 0.
Chứng minh rằng hàm số \( f(x) = f_1(x) \cdots f_m(x) \) là một đa thức monic bậc \( n \) với các nghiệm thực \( a_1, a_2, \ldots, a_m \) Trong đó, \( f_1(x), \ldots, f_m(x) \) là các hàm số bậc 2, và \( f_{m+1}(x), \ldots, f_{m+n}(x) \) là các hàm số bậc 1 Từ đó, ta có thể rút ra các kết luận quan trọng về tính chất của đa thức này.
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Hằ quÊ 2.4.2 Cho f (x) l a thực chuân (monic) hằ số thỹc vợi bêc d v biằt thực D(f ) 6= 0 Khi õ (a) Náu D(f ) > 0 thẳ f cõ d − 4k nghiằm thỹc, vợi k ≥ 0 n o õ;
(b) Náu D(f ) < 0 thẳ f cõ d − 2 − 4k nghiằm thỹc, vợi k ≥ 0 n o õ. Chựng minh Gồi m l số c°p nghiằm phực (khổng thỹc) cừa f v gồi n l số nghiằm thỹc cừa f Khi õ theo ành lỵ trản
GiÊ sỷ D(f ) > 0 Khi õ m l số chđn Viát m = 2k vợi k ≥ 0 n o õ. Khi õ, số nghiằm thỹc cừa f l d − 2m = d − 4k
GiÊ sỷ D(f ) < 0 Khi õ m l số l´ Viát m = 2k + 1 vợi k ≥ 0 n o õ Khi õ, số nghiằm thỹc cừa f l d − 2m = d − 2 − 4k luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghàch bêc hai 21
Kỵ hiằu Legendre
ành nghắa 3.1.1 Cho p l mởt số nguyản tố l´, v a l mởt số nguyản khổng chia hát cho p Khi õ kỵ hiằu Legendre a p ữủc ành nghắa nhữ sau a p
−1 náu a khổng l bẳnh phữỡng modulo p
Mởt số tẵnh chĐt Cho p l số nguyản tố l´, a v b l hai số nguyản khổng chia hát cho p Khi õ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau.
2 (mod p) (Tiảu chuân Euler). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
5 −1 p bơng 1 ho°c −1 tũy theo p ≡ 1 (mod 4 ) hay p ≡ 3 (mod 4 ).
6 Khi õ 2 p = 1 v náu p ≡ 1 (mod 8 ) ho°c p ≡ 7 (mod 8 ); v
Vẵ dử 3.1.2 Tẵnh kỵ hiằu Legendre 45 37 Líi gi£i Ta câ 45 37 = 37 8 = 37 2 37 4 = 37 2 = −1 ành lỵ 3.1.3 (Luêt thuên nghàch bêc hai Gauss) GiÊ sỷ p v q l cĂc số nguyản tố l´ phƠn biằt Khi õ p q
Vẵ dử 3.1.4 Tẵnh lỵ hiằu Legendre 1234 199 Líi gi£i.
ành lỵ Stickelberger v luêt thuên nghàch bêc hai
Ăp dụng định lý Stickelberger, cho hai số nguyên tố p và q là phân biệt Gọi e là cấp của q mod p, tức là e là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho \( e \equiv 1 \, (\text{mod} \, p) \) Cũng tức là e là cấp lặp của nhóm nhân.
Ta s³ Ăp dửng ành lỵ Stickelberger cho a thực x p − 1 trong F q [x] Trữợc tiản ta cõ bờ ã sau.
Bờ ã 3.2.1 Gọi f(x) là một nhơn tỷ bĐt khê quy bĐt ký cừa a thực (x^p - 1)/(x - 1) trong F_q[x] Khi bậc của f(x) bằng e, cấp của q mod p Chứng minh Gọi K là một trường hữu hạn số chửa F_p Gọi α là một nghiệm trong K của f(x) Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có f(x) = (a - α)(x - α^q)(x - α^{q^2}) (x - α^{q^{n-1}}), với n là một số tự nhiên nhỏ nhất mà α^{q^n} = α Ta suy ra rằng n = e Nếu α^p = 1 và α ≠ 1, bậc của α (trong nhóm K^*) phải bằng p Điều này suy ra, nếu α^r = 1 với r ∈ N nào đó, thì p là ước của r.
Vẳ α q n = α , nản α q n −1 = 1 Do vêy p | q n − 1 , tực l q n ≡ 1 (mod p)
Do vêy e ≤ n M°t khĂc, vẳ p e ≡ 1 (mod p) , nản p | p e − 1 Do vêy α p e −1 = 1 Ta suy ra α p e = α v n ≤ e Nhữ vêy n = e v ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Bờ ã 3.2.2 Số cĂc nhƠn tỷ bĐt khÊ quy phƠn biằt r cừa x p − 1 trong
F q [x] l r = 1 + (p − 1)/e Chựng minh Bêc cừa (x p − 1)/(x − 1) l p − 1 , v mội nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x p − 1)/(x − 1) ãu cõ bêc l e theo bờ ã trữợc Do vêy cõ
(p − 1)/e nhƠn tỷ bĐt khÊ quy (monic) phƠn biằt cừa (x p − 1)/(x − 1)
Bờ ã 3.2.3 Gồi D l biằt thực cừa x p − 1 ∈ F q [x] Khi õ D = (−1) (p−1)/2 p p
Chựng minh Theo Vẵ dử 1.2.4, D = (−1) p(p−1)/2 p p Vẳ p l số l´ nản p(p − 1)
2 l số chđn Do vêy (−1) p(p−1)/2 = (−1) (p−1)/2 v D = (−1) (p−1)/2 p p Chựng minh cừa luêt thuên nghàch bêc hai Chúng ta s³ Ăp dửng ành lỵ Stickelberger cho a thực x p − 1 trong
Trong trường hợp của đa thức \( f \in F_q[x] \), điều kiện \( \deg(f) \equiv 0 \, (\text{mod} \, 2) \) tương đương với việc \( D \) là bậc chẵn modulo \( p \) Để tải luận văn tốt nghiệp mới nhất, vui lòng gửi email đến z z @gmail.com Luận văn thạc sĩ có dạng \( Ð \, ¥y \, r = 1 + p - e \, 1 \) với số nhận thức bất kỳ quy monic của \( f \) trong \( F_q[x] \).
D = (−1) (p−1)/2 p p l biằt thực cừa x p − 1 ∈ F p [x]. Vẳ p l´ nản r = 1 + p − 1 e ≡ p (mod 2) ⇔ 2 | p − 1 e ⇔ e | p − 1
Vẳ e l cĐp cừa q (mod p) nản e | p − 1
Chúng ta phƠn tẵch phẵa bản trĂi:
2 chia p − e 1 náu e chia cho p − 2 1 Khi e l thù tü cõa q cõa p , e chia p − 2 1 náu q (p−1)/2 ≡ 1( mod p)
= 1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nhữ vêy tứ ành lỵ Stickelberger chúng ta cõ q p
Luêt thuên nghàch bêc hai ữủc chựng minh.
Vẵ dử 3.2.4 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x 257 − 1)/(x − 1) trản F 19
Do vêy 19 128 ≡ −1 (mod 257)(theo tiảu chuân Euler) Gồi e l bêc cừa 19 modulo 257 Khi õ e l ữợc cừa 256 = 2 8 (vẳ 19 256 = 1 (mod 257), theo ành lỵ Fermat nhọ) Những e khổng l ữợc cừa 128 = 2 5 vẳ 19 128 ≡ −1
(mod 257) Do vêy e = 256 v a thực x 257 − 1 x − 1 = x 256 + ã ã ã + x + 1 l b§t kh£ quy modulo p
Vẵ dử 3.2.5 Tẳm bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa f (x) = (x 257 −1)/(x−
1) trản F 11 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
GiÊi Gồi e l bêc cừa nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa (x 257 − 1)/(x − 1) trản F 11 Khi õ e chẵnh l bêc cừa 11 modulo 257 Ta cõ 11 4 ≡ −8 (mod 257).
Do vêy 11 32 ≡ 8 8 ≡ −1 (mod 257) Suy ra 11 64 ≡ 1 (mod 257) Nhữ vêy e l ữợc cừa 64 những khổng l ữợc cừa 32 Do vêy e = 64 v f (x) cõ 4 nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic bêc 64 trản F 11
ành lþ Stickelberger modulo 2
Cho hàm số \( f(x) \) là một đa thức thực monic bậc \( m \) với các hệ số nguyên Giả sử \( D(f) \not\equiv 0 \mod 2 \) Gọi \( r \) là số các nhân tỷ bất khả quy của \( f(x) \) modulo 2 Khi \( D \equiv 1 \mod 4 \) và \( r \equiv m \mod 2 \) thì \( D(f) \equiv 1 \mod 8 \) Định nghĩa \( \delta_0(f) = Y \) cho \( f(x) \in F[x] \) bậc \( m \) có \( m \) nghiệm \( \alpha_1, \ldots, \alpha_m \) trong một trường \( K \) chứa \( F \).
(Trong ành nghắa cừa ρ(f ) ta giÊ sỷ cĂc α i + α j 6= 0 vợi mồi 1 ≤ i < j ≤ m.)
Để hiểu rõ về hàm số thực và các biến số, ta có thể xem xét hàm $\delta_0(f)$, là một hàm thực đối xứng với các số nguyên theo các biến $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ Điều này cho thấy rằng $\delta_0(f)$ là một hàm thực đối xứng với các số nguyên liên quan đến các biến $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ Từ đó, ta suy ra rằng $\delta_0$ là một hàm thực đối xứng liên quan đến hàm thực $f$ Hơn nữa, tồn tại một đa thức thực $P(x_0, x_1, \ldots, x_m) \in \mathbb{Z}[x_0, \ldots, x_m]$ sao cho $\delta_0(f) = P(a_0, a_1, \ldots, a_m)$, với $f(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_m x^m$ Tương tự, ta có thể khẳng định rằng $[\delta_0(f)]^2 \rho(f)$ là một hàm thực đối xứng với các số nguyên theo các biến $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ Do đó, tồn tại một đa thức thực $Q(x_0, x_1, \ldots, x_m) \in \mathbb{Z}[x_0, \ldots, x_m]$.
Z [x 0 , , x m ] sao cho [δ 0 (f )] 2 ρ(f ) = Q(a 0 , a 1 , , a m ) Nhữ vêy δ 0 (f ) v ρ(f ) ãu thuởc F Nếu f (x) ∈ Z [x] và gồi f ¯ (x) ∈ F 2 [x] là thực nhên, thì δ 0 ( ¯ f ) = δ(f ) mod 2.
Bờ ã 3.3.3 Cho f (x) ∈ F 2 [x] a thực bêc m GiÊ sỷ f cõ m nghiằm phƠn biằt α 1 , , α m khĂc 0 trong mởt trữớng K õng Ôi số chựa F 2 Ta câ ρ(f ) = X
Chựng minh Vợi mồi a ∈ K , ta cõ (1 + a) 2 = 1 + a 2 , v a = 1 + (1 + a) , do vêy a
Bờ ã 3.3.4 Cho f (x) v g(x) l hai a thực monic nguyản tố cũng nhau trản F 2 Khi õ ρ(f g) = ρ(f ) + ρ(g)
Chựng minh Gồi α 1 , , α m l cĂc nghiằm (trong K ) cừa f (x) v α m+1 ,
, α m+k l cĂc nghiằm cừa g(x) (trong K ) Bơng cĂch tĂch tờng
luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vẳ α m+1 , α m+2 , , α m+k l cĂc nghiằm phƠn biằt cừa g(x) trong K , v α 2 m+1 , α m+2 2 , , α 2 m+k cụng l cĂc nghiằm phƠn biằt cừa g(x) , nản α 2 m+1 , α 2 m+2 , , α 2 m+k ch¿ l mởt hoĂn và cừa α m+1 , α m+2 , , α m+k Do vêy, vợi mồi i = 1, , m, ta cõ k
Tữỡng tỹ α 2 1 , , α 2 m l mởt hoĂn và cừa α 1 , , α m Do vêy vợi mồi j = m + 1, , m + k, ta câ m
Tứ õ ta cõ ρ(f g) = ρ(f ) + ρ(g) ành lỵ 3.3.5 Cho f (x) ∈ F 2 [x] l a thực bêc m v l tẵch cừa r a thực bĐt khÊ quy phƠn biằt trản F 2 Khi õ r ≡ m (mod 2) ⇔ ρ(f ) = 0.
Chựng minh Ưu tiản ta x²t trữớng hủp r = 1 , tực l f l a thực bĐt khÊ quy trong F 2 [x] Gồi α ∈ K l mởt nghiằm cừa f (x) Khi õ tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa f (x) l α 2 , α 2 2 , , α 2 m−1 , α 2 m = α Do vêy ρ(f ) = X
luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si °t J = j − i , ta ữủc ρ(f ) = m
BƠy giớ ta giÊ sỷ f (x) = f 1 (x) ã ã ã f r (x) vợi f 1 , , f r l cĂc a thực bĐt khÊ quy phƠn biằt trong F 2 [x] Khi õ theo phƯn trản, ρ(f i ) = deg f i − 1 , vợi mồi i = 1, , r Do vêy, theo bờ ã trản ρ(f ) = r
Do vêy ρ(f ) = 0 khi v ch¿ khi m ≡ r (mod 2) Chựng minh ành lỵ 3.3.1 Gồi α 1 , , α m l cĂc nghiằm cừa f (x) trong luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(α i + α j ) 2 + 16S, ð Ơy S l mởt a thực ối xựng vợi hằ số nguyản trản cĂc nghiằm α 1 , , α m Nhữ vêy S l mởt số nguyản Do vêy
Nõi riảng D(f ) ≡ δ 0 (f ) (mod 4) Vẳ δ 0 (f ) l mởt số nguyản l´ nản D(f ) ≡
1 (mod 4). Theo ành lþ 3.3.1, ta câ m ≡ r (mod 2) ⇔ ρ( ¯ f ) = 0 ⇔ δ 0 ( ¯ f ) 2 ρ( ¯ f ) = 0
Ta cõ iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử 3.3.6 X²t a thực f (x) = x 2 + x + 1 ∈ Z [x] Biằt thực cừa f l D = −3 ≡ 5 (mod 8) Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f modulo 2 Khi õ deg f 6≡ r (mod 2) Thỹc tá, deg f = 2 v r = 1 ( f (x) l b§t kh£ quy modulo 2).
Vẵ dử 3.3.7 X²t a thực f (x) = x 3 − x − 1 ∈ Z [x] Biằt thực cừa a thùc n y l
Gồi r l số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy monic cừa f modulo 2 Khi õ
Thỹc tá x 3 − x − 1 l bĐt khÊ quy modulo 2, v r = 1 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Luên vôn  trẳnh b y nhỳng vĐn ã chẵnh sau Ơy
• Trẳnh b y vã kát thực cừa hai a thực v vã biằt thực cừa a thực.
• Trẳnh b y vã ành lỵ Stickelberger vã tẵnh chđn l´ cừa số nhƠn tỷ bĐt khÊ quy cừa a thực trản trữớng F p
• Trẳnh b y ựng dửng cừa ành lỵ Stickelberger trong chựng minh luêt thuên nghàch bêc hai. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si