Tập lồi
Các định nghĩa cơ bản về tập lồi
Một tập hợp \( C \subseteq \mathbb{R}^n \) được gọi là tập lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập hợp đó Điều này có nghĩa là tập \( C \) lồi khi và chỉ khi mọi đoạn thẳng giữa hai điểm thuộc \( C \) cũng nằm trong \( C \).
Ta nói x là tổ hợp lồi của các điểm (véc - tơ) x 1 , , x k nếu x k
Tương tư, x là tổ hợp a-phin của các điểm (véc - tơ) x 1 , , x k nếu x k
Bao a-phin của các điểm x₁, , xₖ là tập hợp của các tổ hợp a-phin của chúng Theo Định lý 1.1.2, một tập hợp C được coi là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa mọi tổ hợp lồi của các điểm trong tập hợp đó.
Điều kiện đủ được xác nhận từ định nghĩa, trong khi điều kiện cần được chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo số điểm Đối với trường hợp k = 2, điều này có thể suy ra trực tiếp từ định nghĩa của tập lồi và tổ hợp lồi Giả sử định lý đúng với k−1 điểm, nhiệm vụ còn lại là chứng minh cho k điểm.
Giả sử x là tổ hợp lồi của k điểm x 1 , , x k ∈ C Tức là x k
X j=1 λj ξ = 1 và λ j ξ >0 với mọi j = 1, , k−1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm y : k−1
Ta có x =ξy +λ k x k luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
X j=1 λj = 1, nên x là một tổ hợp lồi của hai điểm y và x k đều thuộc C Vậy x ∈ C
Lớp các tập lồi là đóng với các phép giao, phép cộng đại số và phép nhân tích Descartes Cụ thể, nếu A và B là các tập lồi trong không gian R^n, và C là một tập lồi trong không gian R^m, thì các tập hợp sau đây cũng sẽ là lồi.
Một tập C được gọi là tập a-phin nếu nó chứa đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó, điều này dễ dàng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Tập a-phin là một trường hợp đặc biệt của tập lồi, với các không gian con là ví dụ điển hình Một ví dụ khác về tập a-phin là siêu phẳng, được định nghĩa trong không gian R^n như một tập hợp các điểm có dạng cụ thể.
{x ∈ R n |a T x =α}, trong đó a∈ R n là một véc - tơ khác 0 và α ∈R.
Véc - tơ a, hay véc - tơ pháp tuyến, là một thành phần quan trọng trong hình học, giúp xác định siêu phẳng Siêu phẳng chia không gian thành hai nửa, được gọi là nửa không gian Nửa không gian được định nghĩa là một tập hợp có dạng cụ thể.
{x|a T x≥ α}, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si trong đó a6= 0 và α ∈ R Đây là nửa không gian đóng Tập
{x|a T x≥ α} là nửa không gian mở.
Một siêu phẳng chia không gian thành hai nửa, mỗi nửa nằm ở một phía của siêu phẳng Nếu cả hai nửa không gian này đều là đóng, thì phần giao nhau của chúng chính là siêu phẳng đó.
Tập a-phin M 6= ∅ là ảnh tịnh tiến của một không gian con, được thể hiện qua Định lý 1.1.7 Cụ thể, M có dạng M = L + a, trong đó L là một không gian con duy nhất và a thuộc M.
Không gian L trong định lý được gọi là không gian con song song với M, hay đơn giản là không gian con của M Thứ nguyên của một tập a-phin M được xác định bởi thứ nguyên của không gian song song với M, ký hiệu là dimM Định nghĩa 1.1.8: Một tập được gọi là tập lồi đa diện nếu nó là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Tập lồi đa diện được định nghĩa là tập hợp các nghiệm của một hệ thống hữu hạn các bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh của tập lồi đa diện được trình bày như sau:
Hoặc nếu ta ký hiệu A là ma trận có m hàng là các véc - tơ a j (j 1, , m) và véc - tơ b T = (b1, , bm), thì hệ trên viết được là:
Chú ý rằng phương trình \$h_a, x_i = b\$ có thể được viết tương đương dưới dạng hai bất phương trình \$h_a, x_i \leq b\$ và \$h_{-a}, x_i \leq b\$ Tập nghiệm của một hệ hữu hạn các phương trình và bất phương trình là một tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1.9: Một tập \$C\$ được gọi là nón nếu
Theo định nghĩa, gốc tọa độ có thể nằm trong hoặc ngoài nón Cần lưu ý rằng một nón không nhất thiết phải là một tập lồi.
C := {x ∈ R | x ≠ 0} là một nón không lồi Nón được gọi là lồi nếu nó là một tập lồi, và nón lồi được xem là nhọn nếu không chứa đường thẳng, với 0 là đỉnh của nón Nếu nón lồi này là một tập lồi đa diện, thì nó được gọi là nón lồi đa diện Một ví dụ điển hình của nón lồi đa diện là tập hợp nghiệm của hệ bất phương trình tuyến tính có dạng.
Tập hợp \$\{x | Ax \geq 0\}\$ với \$A\$ là một ma trận thực có kích thước hữu hạn được gọi là nón lồi Định lý 1.1.10 khẳng định rằng một tập \$C\$ là nón lồi nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các tính chất nhất định.
Chứng minh Giả sử C là một nón lồi Do C là một nón, nên ta có
(i) Do C là một tập lồi, nên với mọi x, y ∈ C, thì 1
Toán tử chiếu tập lồi
Định nghĩa 1.1.18 Cho C 6= ∅ (không nhất thiết lồi) và y là một véc-tơ bất kỳ, đặt d C (y) := inf x∈Ckx−yk.
Khoảng cách từ điểm \( y \) đến tập hợp \( C \) được ký hiệu là \( d_C(y) \) Nếu tồn tại một điểm \( \pi \in C \) sao cho \( d_C(y) = \| \pi - y \| \), thì \( \pi \) được gọi là hình chiếu vuông góc của \( y \) trên \( C \) Định lý 1.1.19 chỉ ra rằng với \( C \) là một tập lồi đóng không rỗng, hai tính chất sau là tương đương cho mọi \( y \in \mathbb{R}^n \) và \( \pi \in C \): (a) \( \pi = p_C(y) \) và (b) \( y - \pi \in N_C(\pi) \) Hình chiếu \( p_C(y) \) của \( y \) trên \( C \) luôn tồn tại và duy nhất Nếu \( y \notin C \), thì điều kiện \( \langle p_C(y) - y, x - p_C(y) \rangle = 0 \) xác định siêu phẳng tựa.
Ánh xạ \( y \mapsto p_C(y) \) có các tính chất quan trọng: Đầu tiên, nó không giãn, tức là \( \| p_C(x) - p_C(y) \| \leq \| x - y \| \) với mọi \( x, y \) Thứ hai, nó có tính đồng bức, thể hiện qua bất đẳng thức \( \langle p_C(x) - p_C(y), x - y \rangle \geq \| p_C(x) - p_C(y) \|^2 \).
Chứng minh. i) Giả sử có a) Lấy x∈ C và λ∈ (0,1) Đặt x λ := λx+ (1−λ)π.
Do \( x, \pi \in C \) và \( C \) lồi, nên \( x \lambda \in C \) Hơn nữa, vì \( \pi \) là hình chiếu của \( y \), ta có \( k\pi - yk \leq k y - x \lambda k \) Từ đó, suy ra \( k\pi - yk^2 \leq k\lambda(x - \pi) + (\pi - y)k^2 \) Khi khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho \( \lambda > 0 \), ta có \( \lambda kx - \pi k^2 + 2h x - \pi, \pi - y i \geq 0 \) Điều này đúng với mọi \( x \in C \) và \( \lambda \in (0,1) \) Khi cho \( \lambda \) tiến đến 0, ta nhận được \( h\pi - y, x - \pi i \geq 0 \) với mọi \( x \in C \).
Bây giờ giả sử có b) Với mọi x∈ C, có
Từ đây và b), dùng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: ky−πk 2 ≤ (y−π) T (y−x) ≤ ky−πkky−xk. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Suy ra rằng khoảng cách giữa điểm y và tập hợp C được xác định bởi công thức \(d_C(y) = \inf_{x \in C} \|x - y\|\), cho thấy rằng tồn tại một dãy \(x_k \in C\) sao cho giới hạn của dãy này tiến tới khoảng cách \(d_C(y)\) và giá trị này là hữu hạn.
Dãy {x k } bị chặn, dẫn đến việc tồn tại một dãy con {x kj } hội tụ đến một điểm π nào đó Vì C là tập đóng, nên π thuộc C Do đó, ta có kπ−yk = lim j kx kj −yk = lim k kx k −yk = dC(y).
Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C.
Bây giờ ta chỉ ra tính duy nhất của hình chiếu Thật vậy, nếu tồn tại hai điểm π và π 1 đều là hình chiếu của y trên C, thì y −π ∈ NC(π), y−π 1 ∈ NC(π 1 ).
Cộng hai bất đẳng thức này ta suy ra kπ − π 1 k ≤ 0, và do đó π = π 1 iii) Do y−π ∈ NC(π), nên hπ−y, x−πi ≥ 0 ∀x∈ C.
Siêu phẳng tựa \( h_{\pi - y}, \pi \) tách biệt \( y \) khỏi \( C \) vì \( y \neq \pi \), dẫn đến \( h_{\pi - y}, y - \pi i = -k_{\pi - y} k^2 < 0 \) Ánh xạ \( x \mapsto p(x) \) được xác định khắp nơi, do đó \( z - p(z) \in \).
N C (p(z)) với mọi z, nên áp dụng với z =x và z = y, ta có: hx−p(x), p(y)−p(x)i ≤ 0 và hy−p(y), p(x)−p(y)i ≤ 0.
Cộng hai bất đẳng thức lại sẽ được hp(y)−p(x), p(y)−p(x) +x−yi ≤ 0.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có \$\|p(x) - p(y)\| \leq \|x - y\|\$ Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất b) của (i) với \$p(x)\$ và \$p(y)\$, ta nhận được hai bất đẳng thức: \$\langle p(x) - x, p(x) - p(y) \rangle \leq 0\$ và \$\langle y - p(y), p(x) - p(y) \rangle \leq 0\$.
Cộng hai bất đẳng thức ta được hp(x)−p(y) +y−x, p(x)−p(y)i
Chuyển vế ta có \$hp(x) - p(y), x - y \geq k p(x) - p(y) k^2\$, đây là tính đồng bức cần chứng minh Định lý 1.1.20 (Định lý tách 1) khẳng định rằng, cho hai tập lồi khác rỗng \$C\$ và \$D\$ trong \$\mathbb{R}^n\$ với \$C \cap D = \emptyset\$, thì tồn tại một siêu phẳng tách biệt chúng Định lý này có thể suy ra từ Bổ đề 1.1.21, liên quan đến việc tách một tập lồi và một phần tử không thuộc nó.
Bổ đề 1.1.21 (Bổ đề liên thuộc) Cho C ⊂ R n là một tập lồi khác rỗng Giả sử x 0 ∈ C Khi đó tồn tại t ∈ R n , t6= 0 thỏa mãn ht, xi ≥ ht, x 0 i∀x∈ C (1.4)
Chứng minh Định lý 1.1.20 cho thấy rằng nếu C và D là các tập lồi, thì hiệu C − D cũng lồi Hơn nữa, do C và D không giao nhau (C ∩ D = ∅), nên 0 không thuộc vào C − D Áp dụng bổ đề với x₀ = 0, tồn tại véc-tơ t ∈ Rⁿ, với t khác 0, sao cho ht, zi ≥ 0 cho mọi z ∈ C − D Vì z có thể được biểu diễn dưới dạng x − y với x ∈ C và y ∈ D, ta có ht, xi ≥ ht, yi cho mọi x ∈ C và y ∈ D.
Lấy α := sup y∈D ht, yi, khi đó siêu phẳng ht, xi = α tách C và D Định lý 1.1.22 (Định lý tách2) khẳng định rằng, cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng với C ∩ D = ∅, và ít nhất một trong hai tập là compact, thì hai tập này có thể tách mạnh bởi một siêu phẳng.
Định lý tách mạnh có thể được suy ra từ bổ đề liên quan đến sự tách mạnh giữa một tập lồi đóng và một điểm bên ngoài tập đó.
Bổ đề 1.1.23 Cho C ⊂ R n là một tập lồi đóng khác rỗng sao cho
0 ∈/ C Khi đó tồn tại một véc-tơ t ∈ R n , t 6= 0 và α > 0 sao cho ht, xi ≥ α > 0, ∀x ∈C.
Chứng minh Định lý 1.1.22 Giả sửC là tập compact Ta chỉ ra tập
Tập hợp C−D là tập đóng Giả sử z k ∈ C−D và z k → z, với z k = x k − y k, trong đó x k ∈ C và y k ∈ D Do C là tập compact, tồn tại một dãy con x k j → x khi j → +∞ Từ đó, y k j = z k j − x k j → z − x ∈ D, suy ra z = x − y ∈ C − D Hơn nữa, vì 0 ∉ C−D, theo bổ đề, tồn tại t ≠ 0 sao cho ht, x − yi ≥ α > 0 với mọi x ∈ C và y ∈ D, do đó x ∈ C inf ht, xi − α.
2. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Chứng tỏ C và D có thể tách mạnh
Hệ quả 1.1.24 Cho A là một ma trận thực cấp m×n và a∈ R n Khi đó trong hai hệ dưới đây có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:
Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.1 Cho ∅ 6= C ⊆ R n lồi và f : C → R Ta nói f là hàm lồi trên C, nếu epif là một tập lồi trong R n+1 Định nghĩa 1.2.2 Cho f : R n → R∪ {+∞} (không nhất thiết lồi),
C ⊆ R n là một tập lồi khác rỗng và η là một số thực Ta nói η là hệ số lồi của f trên C, nếu với mọi λ ∈(0,1), mọi x, y thuộc C, ta có f[(1−λ)x+λy] ≤ (1−λ)f(x) +λf(y)− 1
2ηλ(1−λ)kx−yk 2 Định lý 1.2.3 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên R n Khi đó f liên tục tại mọi điểm x∈ int(domf).
Do hàm f lồi, nên tập hợp giá trị của f (domf) và miền nội của tập hợp giá trị (int(domf)) đều là các tập lồi Có một đơn hình n-chiều S nằm trong miền nội của domf Giả sử v1, , vn+1 là các đỉnh của đơn hình S Với mọi điểm x thuộc S, ta có x thuộc vn+1.
Do phần trong của đơn hình S không rỗng, hàm f bị chặn trên trong một lân cận của điểm \( x_0 \in \text{int} S \) Do đó, hàm f liên tục trên tập \( \text{int}(\text{dom} f) \).
Hệ quả 1.2.4 chỉ ra rằng nếu hàm f là một hàm lồi chính thường trên R n, thì với mọi tập compact C nằm trong miền nội của domf, tập f(C) cũng sẽ là compact Định nghĩa 1.2.5 xác định rằng x ∗ là dưới đạo hàm của f tại x nếu điều kiện hx ∗ , z−xi+f(x) ≤ f(z) được thỏa mãn với mọi z Định nghĩa 1.2.6 mô tả tính chất đơn điệu tuần hoàn của toán tử T : R n → 2 R n trên tập C, yêu cầu rằng với mọi số nguyên dương m và mọi cặp (x i , y i ) thuộc G(T), điều kiện hx 1 −x 0 , y 0 i+hx 2 −x 1 , y 1 + +x 0 −x m , y m i ≥ 0 phải được thỏa mãn Cuối cùng, định nghĩa 1.2.7 nêu rõ rằng một toán tử T được gọi là đơn điệu cực đại nếu nó đơn điệu và đồ thị của nó không phải là tập con thực sự của đồ thị của một toán tử đơn điệu khác, trong khi một toán tử được gọi là đơn điệu tuần hoàn cực đại nếu nó vừa đơn điệu tuần hoàn vừa không phải là tập con thực sự của đồ thị của một toán tử đơn điệu tuần hoàn khác.
Mọi toán tử đơn điệu tuần hoàn cực đại trong không gian R^n đều là dưới vi phân của một hàm lồi, đóng chính thường trên R^n Một ánh xạ T : R^n → 2^{R^n} được gọi là đóng tại điểm x nếu với mọi dãy x_k tiến tới x, và mọi y_k thuộc T(x_k) tiến tới y, thì y cũng thuộc T(x).
Ánh xạ T được coi là đóng khi và chỉ khi đồ thị của nó là một tập đóng Theo định nghĩa 1.2.10, ánh xạ T: 2 R^n → 2 R^n được gọi là nửa liên tục tại điểm x nếu với mọi tập mở G chứa T(x), tồn tại một lân cận mở.
Ta sẽ nói ánh xạ T là đóng (nửa liên tục trên) trên tập C, nếu nó đóng (nửa liên tục trên) tại mọi điểm thuộc C.
Do hàm lồi liên tục trên tập int(domf), từ định nghĩa của dưới vi phân và tính liên tục của tích vô hướng, có thể suy ra rằng ánh xạ dưới vi phân x →∂f(x) là đóng trên tập C = int(domf) Định lý 1.2.11 chỉ ra rằng với một tập lồi, mở U ⊆ R^n và hàm lồi f nhận giá trị hữu hạn trên U, nếu dãy {fi} i∈I là các hàm lồi hữu hạn trên U hội tụ theo từng điểm đến f, thì với mọi dãy {x i } ⊂ U hội tụ đến x∈ U, tồn tại chỉ số i sao cho điều kiện đã nêu được thỏa mãn.
∂f i (x i ) ⊂ ∂f(x) +B(0,1) ∀i≥ i , trong đó B(0,1) là hình cầu đơn vị, đóng tâm ở 0.
Chứng minh Bạn đọc tham khảo tài liệu [1]. Định lý 1.2.12 (Moreau-Rockafellar) Cho f i , i = 1, , m là các hàm lồi chính thường trên R n Khi đó m
X i=1 f i (x)) ∀x. Để chứng minh định lý trên ta sử dụng mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.13 nêu rằng, cho các hàm lồi hữu hạn f 1, , f m trên một tập lồi D không rỗng và A là ma trận thực cấp k×n, nếu b thuộc vào phần trong của A(D), thì hệ phương trình x thuộc D, Ax = b, và f i (x) < 0 với i = 1, , m sẽ không có nghiệm Điều này xảy ra khi và chỉ khi tồn tại t thuộc R k và λ i ≥ 0 với i = 1, , m.
X i=1 λifi(x) ≥ 0 ∀x ∈ D. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta chỉ cần chứng minh cho m = 2 Với m > 2 dùng quy nạp Điều khẳng định n
X i=1 f i (x)) ∀x có thể dễ dàng kiểm tra dựa vào định nghĩa dưới vi phân. Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy x 0 ∈ R n và x ∗ ∈
∂(f 1 +f 2 )(x 0 ) Theo định nghĩa của dưới vi phân thì hệ
(f 1 (x) +f 2 (y)−f 1 (x 0 )−f 2 (x 0 )− hx ∗ , x−x 0 i < 0 x−y = 0 không có nghiệm Lấy D = domf 1 ×domf 2 và A(x, y) = x− y Theo giả thiết f1 liên tục tại một điểm a ∈domf1∩domf2, nên tồn tại một lân cận U của gốc sao cho
Vậy 0 ∈ intA(D) Áp dụng Mệnh đề 1.2.13 với f(x, y) = f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − ⟨hx*, x − x0⟩ và A(x, y) = x − y, ta có ⟨t, x − y⟩ + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − ⟨hx*, x − x0⟩] ≥ 0 với mọi x ∈ domf1, y ∈ domf2 Đối với x ∉ domf1 và y ∉ domf2, bất đẳng thức trên là hiển nhiên Do đó, ⟨t, x − y⟩ + [f1(x) + f2(y) − f1(x0) − f2(x0) − ⟨hx*, x − x0⟩] ≥ 0 ∀x, y Khi lấy y = x0, ta có ⟨t, x − x0⟩ + [f1(x) + f2(x0) − ⟨hx*, x − x0⟩] ≥ 0 ∀x.
Bây giờ lại lấy x = x 0 , thì ht, x 0 −yi+ [f2(y)−f2(x 0 ) ≥ 0∀x. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vậy x ∗ ∈∂f1(x 0 ) +∂f2(x 0 ) Định lý 1.2.14 Cho g(x) = (g 1 (x), , g m (x)) sao cho với mỗi g i :
R n → R lồi Giả sử ϕ : R m → R lồi, đơn điệu không giảm trên R n Khi đó hàm hợp f :=ϕ◦g lồi trên R n và
Để chứng minh Định lý trên ta sử dụng mệnh đề sau
Mệnh đề 1.2.15 nêu rằng, giả sử \( f_0, f_1, \ldots, f_m \) là các hàm lồi hữu hạn trên tập lồi \( D \neq \emptyset \) Hệ phương trình \( x \in D, f_i(x) < 0, i = 0, 1, \ldots, m \) sẽ không có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại các số \( \lambda_i \geq 0 \) (với \( i = 0, 1, \ldots, m \)) không đồng thời bằng 0, sao cho tổng hợp các hàm này thỏa mãn điều kiện nhất định.
Ngoài ra nếu có điều kiện chính quy Slater: tồn tại x 0 ∈ D, f i (x 0 ) < 0 với mọi i = 1, , m, thì λ 0 > 0.
Bạn đọc tham khảo tài liệu [1]. Định lý 1.2.16 Cho f = max{f 1 , , f m }, trong đó f i : R n → R Đặt
Giả sử \( p \in \partial f(x_0) \) Khi đó, bất phương trình \( f(x) - f(x_0) - \langle p, x - x_0 \rangle < 0 \) không có nghiệm Điều này cho thấy với bất kỳ \( x \) nào, tồn tại một chỉ số \( j \) (phụ thuộc vào \( x \)) để \( f(x) = f_j(x) \) Từ đó, ta suy ra hệ bất phương trình \( f_j(x) - f(x_0) - \langle p, x - x_0 \rangle < 0 \) với \( j = 1, \ldots, m \) cũng không có nghiệm Theo Mệnh đề 1.2.15, tồn tại các \( \lambda_j \geq 0 \).
Lấy x= x 0 và chú ý là f(x 0 ) = fj(x 0 ) với j ∈J(x 0 ), ta được
Từ đây và do fj(x 0 ) < f(x 0 ) với mọi j /∈ J(x 0 ), ta suy ra λj = 0 với mọi j /∈ J(x0) Vậy
Theo Định lý Moreau-Rockaffellar ta có p = X j∈J(x 0 ) λjp j với p j ∈
Dưới vi phân của một hàm lồi đóng chính trên R n có thể được suy ra dễ dàng từ định nghĩa Theo Định lý Minty (Định lý 1.2.17), dưới vi phân này là một toán tử đơn điệu tuần hoàn cực đại.
Chương này cung cấp kiến thức cơ bản về Giải tích lồi, bao gồm định nghĩa về tập lồi, toán tử chiếu tập lồi, cũng như các định nghĩa và tính chất của hàm lồi, cùng với khái niệm dưới vi phân của hàm lồi.
Chương 2 Điều kiện tối ưu của bài toán quy họach lồi
Chương này giới thiệu kiến thức về bài toán quy hoạch lồi, bao gồm tính chất nghiệm và điều kiện tối ưu cần và đủ Nó cũng đề cập đến điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fecmat cho bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm một biến khả vi, cùng với các điều kiện liên quan đến ràng buộc hình học.
Bài toán quy hoạch lồi
Cho D ⊆ R n và f : R n → R, bài toán quy hoạch toán học được định nghĩa là min{f(x) : x∈ D} Một điểm x ∗ ∈ D được gọi là lời giải tối ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận U của x ∗ sao cho f(x ∗ )≤ f(x) với mọi x ∈U ∩D Đồng thời, x ∗ được xem là lời giải tối ưu toàn cục nếu f(x ∗ ) ≤ f(x) với mọi x∈ D Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) sẽ được trình bày trong định lý 2.1.2.
F + (D) := {t ∈ R :f(x) ≤ t, x ∈ D}, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si đóng và bị chặn dưới.
Chứng minh Nếux ∗ là nghiệm tối ưu thì F + (D) = [f(x ∗ ),+∞]đóng (là phần bù của một tập mở) và bị chặn dưới.
Ngược lại, giả sử F + D bị chặn dưới Đăt t ∗ = infF + (D) thì t > −∞.
Điều kiện cần và đủ tối ưu
Điều kiện tối ưu theo nguyên lý Fermat của bài toán tối ưu không ràng buộc hàm một biến khả vi 24
tối ưu không ràng buộc hàm một biến khả vi Ở đây, không gian X trong bài toán (P) là X = R Xét bài toán: min{f(x);x∈ R} (P1)
Hoặc max{f(x);x∈ R} (P’1) trong đó f : R−→ R khả vi Định lý Fermat sau cho ta một điều kiện cần tối ưu cho bài toán (P) và (P1) Định lý 2.2.1 (Định lý Fermat).
Nếu f : R −→ R là một hàm số khả vi thì mỗi điểm cực đại (cực tiểu) địa phương đều là điểm dừng, nghĩa là là nghiệm của phương trình f 0 (x) = 0.
Giả sử hàm số f(x) có cực đại địa phương tại điểm x = 0 và đạo hàm tại điểm này Khi đó, hàm f(x) được xác định trên khoảng (x−δ; x+δ) với δ > 0, và trong khoảng này, ta có bất đẳng thức f(x0 + ∆x) − f(x0) ≤ 0 cho mọi |∆x| < δ.
Định lý Fermat chỉ nêu điều kiện cần để xác định cực trị của hàm số, nhưng mệnh đề đảo của định lý này không đúng, như trường hợp hàm số \$f(x) = x^3\$ tại \$x = 0\$ Để xác định các cực trị, ta áp dụng Định lý Fermat để tìm các điểm "nghi vấn", sau đó sử dụng các điều kiện đủ để kiểm tra tính chất của các cực trị này.
Pierre de Fermat, sinh ngày 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp và mất năm 1665, là một học giả vĩ đại và nhà toán học nổi tiếng, được coi là cha đẻ của lý thuyết số hiện đại.
Fermat, xuất thân từ một gia đình khá giả, đã học tập tại Toulouse và tốt nghiệp với bằng cử nhân luật dân sự Sau đó, ông làm chánh án nhưng lại có niềm đam mê mãnh liệt với toán học, nổi tiếng với thói quen ghi chú bên lề các quyển sách.
Fermat, được mệnh danh là "Ông Hoàng của những người nghiệp dư", là một học giả nghiệp dư nổi tiếng với việc không bao giờ công bố chứng minh cho các định lý của mình, mà chỉ thách thức các nhà toán học khác tìm ra Sự bí ẩn này khiến nhiều người bực bội, với Rene Descartes gọi ông là "thằng cha khoác lác" và John Wallis thì mỉa mai ông là "gã người Pháp chết tiệt" Khi Blaise Pascal yêu cầu ông công bố chứng minh, Fermat khẳng định rằng công trình của mình xứng đáng được công bố nhưng ông không muốn tên mình xuất hiện Ông sẵn sàng hy sinh danh tiếng để tránh những câu hỏi từ các nhà phê bình.
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 −δ;x0 +δ) và có đạo hàm trên K hoặc K \ {x0}, với δ > 0 Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 − δ;x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0;x0 + δ), thì x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) Ngược lại, nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 − δ;x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0;x0 + δ), thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x) Cuối cùng, nếu f'(x) không đổi dấu khi x đi qua x0, thì hàm số không đạt cực trị tại x0.
Hàm số \( f(x) \) liên tục trên khoảng \( K \) và có \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (x_0 - \delta; x_0) \) cùng với \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (x_0; x_0 + \delta) \) dẫn đến \( f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \leq 0 \) với mọi \( |\Delta x| < \delta \) Điều này tương đương với \( f(x_0 + \Delta x) \leq f(x_0) \) cho mọi \( |\Delta x| < \delta \), từ đó suy ra \( f(x) \leq f(x_0) \) với mọi \( x \in (x_0 - \delta; x_0 + \delta) \), chứng minh rằng \( x_0 \) là điểm cực đại của hàm số Chứng minh cho các trường hợp khác cũng tương tự như vậy.
Ví dụ 2.2.3 Hàm số f(x) = x 3 + x 2 − x + 1 có đạo hàm f 0 (x) 3x 2 + 2x−1 và f 0 (x) = 0 ⇔ x = −1;x= 1
3 Ta có f(x) đổi đấu từ + sang − khi x đi qua điểm −1 và đổi đấu từ − sang + khi x đi qua 1
Do đó x= 1 là điểm cực đại và x = 1
Hàm số có ba điểm cực tiểu Theo định lý 2.2.4 về điều kiện đủ cực trị, nếu hàm số f(x) được khai triển theo công thức Taylor trong một khoảng mở chứa x₀, thì có thể biểu diễn như sau: f(x) = f(x₀) + n.
Khi hàm số \( f(x) \) có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor tại điểm \( x_0 \) như sau: \[f(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)\]và đạo hàm đầu tiên tại \( x_0 \) khác 0, tức là \( f^{(0)}(x_0) = f^{(1)}(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \) và \( f^{(n)}(x_0) \neq 0 \), thì có hai trường hợp xảy ra: i) Nếu \( n \) là số lẻ, hàm số \( f \) không có cực trị tại \( x_0 \); ii) Nếu \( n \) là số chẵn, hàm số \( f \) có cực trị tại \( x_0 \), cụ thể là nếu \( f^{(n)}(x_0) > 0 \) thì \( x_0 \) là điểm cực tiểu, còn nếu \( f^{(n)}(x_0) < 0 \) thì \( x_0 \) là điểm cực đại.
Ta cóf 0 (0) = f 00 (0) = 0, f (3) (0) = 6 f 0 (0) = f 00 (0) = 0; f (3) (0) 6 nên x = 0 không phải là điểm cực trị.
2 + 2nπ (n ∈ Z) là các điểm cực đại của hàm số.
Nếu hàm số \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) liên tục và \( f(x) \rightarrow +\infty \) khi \( |x| \rightarrow +\infty \), thì hàm này đạt được giá trị nhỏ nhất trong \( \mathbb{R} \) Hơn nữa, nếu \( f \) là hàm lồi khả vi, nó sẽ có điểm cực tiểu tuyệt đối.
Chứng minh Ta coi Mệnh đề 2.2.6 là hệ quả được suy ra từ định lý ở phần sau.
Xét bài toán: min{f(x);x ∈C}, C ⊂ R (P2) hoặc max{f(x);x ∈C}, C ⊂ R (P’2) trong đó f : C −→R khả vi, C có thể là một khoảng, hoặc đoạn trên
R. Khi xét bài toán tối ưu trên một tập ràng buộc thì Định lý Fermat không còn đúng nữa.
Xét hàm số \( f(x) = x^2 \) trên đoạn \([-1; 2]\), ta có \( f'(x) = 2x \) và \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 0 \) Vì \( x = 0 \) thuộc đoạn \([-1; 2]\) và \( f''(0) = 2 > 0 \), nên \( x = 0 \) là điểm cực tiểu của hàm số Tuy nhiên, nếu thay đổi đoạn thành \([1; 2]\) không chứa điểm dừng, thì \( x = 0 \) không còn là nghiệm của bài toán cực trị, và điểm cực trị sẽ nằm ở các điểm biên Đối với hàm lồi trên đoạn \([a;b]\), để giải bài toán, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm nghiệm \( x^* \) Nếu \( x^* \in [a;b] \), thì \( x^* \) là nghiệm cực tiểu; nếu \( x^* \notin [a;b] \), ta xét hai trường hợp: nếu \( x^* < a \) thì \( a \) là nghiệm cực tiểu, còn nếu \( x^* > b \) thì \( b \) là nghiệm cực tiểu.
Nếu hàm số lõm thì cực tiểu đạt được ở một trong hai đầu biên.
Trong trường hợp bài toán tối ưu một biến bị ràng buộc bởi đoạn \([a;b]\), Định lý 2.2.1 không còn đúng Thay vào đó, ta có Định lý 2.2.7: Nếu \(f\) là một hàm số khả vi trên \([a;b]\), thì điểm cực đại hoặc cực tiểu tại \(x_0 \in [a, b]\) là nghiệm của \(f'(x) = 0\) hoặc là điểm cực biên \(x = a\) hoặc \(x = b\).
Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại x 0 ∈ [a;b], theo quy tắc Fermat thì x0 là một nghiệm của f 0 (x) = 0.
Nếu hàm số \( f'(x) = 0 \) không có nghiệm trong khoảng \([a, b]\), thì cực trị của hàm sẽ đạt được tại hai điểm biên \( x = a \) hoặc \( x = b \).
Chúng ta có thể giải bài toán cực tiểu và cực đại trên đoạn \([a;b]\) bằng cách so sánh giá trị của hàm số tại các điểm dừng trong đoạn này với giá trị của hàm số tại các điểm biên, mà không cần áp dụng điều kiện đủ như đã trình bày trước đó.
Ví dụ 2.2.8 (Đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2004).
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm sốy = ln 2 x x trên đoạn[1;e 3 ]. Giải Ta có y 0
2lnx x x−ln 2 x x 2 = 2 lnx− ln 2 x x 2 Với mọi x∈ (1;e 3 ) ta có y 0 = 0 ⇔ 2 lnx−ln 2 x= 0 ⇔ lnx = 0 hoặc lnx = 2
= 4 e 2 , đạt được ⇔ x= e 2 Điều kiện tồn tại giá trị nhỏ nhất của một hàm số liên tục.
Nếu C không phải là một khoảng đóng và không có điểm cực biên, để xác định giá trị cực trị trong một miền mở, ta cần áp dụng nhận xét sau đây.
Mệnh đề 2.2.9 Nếu hàm số f : (a, b) −→R liên tục và f(x)−→ +∞ khi x −→a, x −→b thì nó đạt được giá trị cực tiểu trong (a, b).
Chứng minh Ta coi Mệnh đề 2.2.9 là hệ quả được suy ra từ định lý ở phần sau.
Ví dụ 2.2.10 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) x 2 +x+ 1 x+ 1 trên (−1; +∞). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(x+ 1) 3 Với mọi x∈ (−1; +∞) ta có f 0 (x) = 0⇔ x = 0 hoặc x= −2 ⇔ x = 0 (−2 ∈/ (−1; +∞)) f 00 (0) >
0 nên x = 0 là nghiệm cực tiểu địa phương trên (−1; +∞), hơn nữa điều kiện bức thỏa mãn vì f(x) −→ +∞ khi x −→ −1, x −→ +∞ nên x= 0 là nghiệm cực tiểu trên toàn khoảng (−1; +∞).
Nếu ta dùng tính chất hàm lồi thì bài toán sẽ có lời giải ngắn gọn hơn nữa.
(x+ 1) 3 > 0, do đó f là hàm lồi trên (−1; +∞), vậy x = 0 là nghiệm cực tiểu toàn cục trên khoảng (−1; +∞).
Điều kiện với ràng buộc hình học
min{f(x) : x ∈ C} (P) hoặc max{f(x) : x ∈ C} (P’) trong đó C ⊆ R n khác rỗng và f : C −→R. Định lý 2.2.18 (Weierstrass) Nếu C là tập compact và f nửa liên tục dưới C thì bài toán (P) có nghiệm tối ưu.
Chứng minh. Đặtα := inf x∈Df(x) Khi đó có một dãy{x k } ⊂C sao cho lim k−→+∞f(x k ) α Do C compact nên tồn tại một dãy con của {x k } nên hội tụ về x 0
Hàm số f nửa liên tục dưới có điều kiện α > -∞, với x₀ ∈ C và α được định nghĩa là inf x∈D f(x), dẫn đến f(x₀) ≥ α Do đó, ta có f(x₀) = α Định lý 2.2.19 chỉ ra rằng, với tập đóng không rỗng C ⊆ Rⁿ, nếu hàm f nửa liên tục dưới trên C và thỏa mãn điều kiện bức (coercive), thì các tính chất của hàm sẽ được đảm bảo.
C, f(x) −→+∞ khi x∈ C và kxk −→ +∞ thì bài toán (P) có nghiệm tối ưu.
Hàm số \( f \) liên tục và bị chặn trên miền \( C(x_0) \) sẽ có điểm cực tiểu tại \( C(x_0) \), đồng thời đây cũng là điểm cực tiểu của \( f \) trên miền \( C \) Theo định lý 2.2.20, nếu \( C \) là một tập lồi không rỗng trong \( \mathbb{R}^n \) và \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} \), thì điều kiện \( \text{ri}(\text{dom} f) \cap \text{ri} C \neq \emptyset \) sẽ được thỏa mãn.
Khi đó điều kiện cần và đủ để x ∈ C là cực tiểu của f trên C là
0 ∈ ∂f(x) +NC(x), luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si trong đó
N C (x) := {w|hw, x−xi ≤ 0 ∀x∈ C} là nón pháp tuyến ngoài của C tại x.
Gọi hàm chỉ của tập \( C \) là \( \delta_C(.) \) Điểm \( x \) là cực tiểu của hàm \( f \) trên \( C \) khi và chỉ khi nó là cực tiểu của hàm \( h(x) := f(x) + \delta_C(x) \) trên toàn không gian Điều kiện cần và đủ để \( x \) là cực tiểu của \( h \) trên \( \mathbb{R}^n \) là \( 0 \in \partial h(x) \) Nếu \( \text{dom} f \cap rC \neq \emptyset \), theo Định lý Moreau-Rockafellar, có thể áp dụng các kết quả liên quan.
Vì x∈ C, nên ∂δC(x) = NC(x) Vậy 0 ∈ ∂f(x) +NC(x)
Ví dụ 2.2.21 Tìmmin{f(x), x ∈ [0,1]}trong đóf(x) = max{x,−2x+ 1}
3 ≤ x ≤ 1 f khả vi tại mọi điểm x ∗ ∈
Gọi x ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán, ta có 0 ∈ ∂f(x ∗ ) + N [0,1] (x ∗ ), điều này tương đương với 0 ∈ ∂f(x ∗ ) hay h0, x−x ∗ i+f(x ∗ ) ≤ f(x) ∀x⇔ x ∗ = 1
Trong trường hợp C = R n thì N c (x ∗ ) = 0, do đó 0 ∈ ∂f(x ∗ ) và nếu bổ sung thêm điều kiện f khả vi thì ta có 0 = ∇f(x ∗ ).
Trong một số trường hợp thường gặp, khi tập các điều kiện ràng buộc được cho bởi
Tập hợp C được định nghĩa là các điểm \( x \) thuộc không gian \( R^n \) thỏa mãn các điều kiện \( g_j(x) \leq 0 \) với \( j = 1, \ldots, m \) và \( h_i(x) = 0 \) với \( i = 1, \ldots, k \), trong đó các hàm \( f, g_j, h_i \) đều khả vi Để áp dụng quy tắc Fermat cho hàm Lagrange, người ta sử dụng hàm Lagrange trong quá trình tối ưu hóa.
Xét tập tuyến tính hóa tại x 0 ∈C
Với A(x 0 ) := {j : g j (x 0 ) = 0} tập các chỉ số tích cực.
Khi đó ta nói điều kiện chính quy thỏa mãn tại x 0 nếu
S(x 0 ) = C(x 0 ) với C(x 0 ) = {d ∈ R n , d 6= 0| ∃λ 0 > 0 : x 0 +λd ∈ C, λ ∈ [0, λ 0 ]} tập các vec tơ chấp nhận được của C. Định lý 2.2.22 (Kuhn - Tucker) Giả sử trong bài toán (P), tập ràng buộc C được cho bởi
C := {x ∈R n :g j (x) ≤ 0, j = 1, , m, h i (x) = 0, i = 1, , k} và các hàm f, g j , h i khả vi.
Nếu x ∗ là nghiệm của (P) và điều kiện chính quy thỏa mãn thì tồn tại λ ∗ 1 , λ ∗ 2 , , λ ∗ m ≥ 0 và à ∗ 1 , à ∗ 2 , , à ∗ k ∈ R sao cho.
Ngược lại nếu x ∗ ∈ C và f, gj lồi, hi affine thỏa mãn điều kiện (2.1) và (2.2) thì x ∗ là nghiệm tối ưu toàn cục của (P).
Sử dụng khai triển Taylor f(x ∗ +λd) = f(x ∗ ) +h∇f(x ∗ ), λdi+r(λd)
Ta có h∇f(x ∗ ), di ≥ 0 với mọi d ∈ C(x ∗ ) Từ C(x ∗ ) = S(x ∗ ), ta có luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si h∇f(x ∗ ), di ≥ 0 với mọi d ∈S(x ∗ ) Đặt ma trận
j ∈A(x ∗ );i = 1, , k Áp dụng bổ đề Farkas, ta có các số λ j ≥ 0, j ∈ A(x ∗ ) và α ∗ i ≥ 0, β i ∗ ≥
(α ∗ i −β i ∗ )∇h i (x ∗ ) = 0 Đặt λj = 0 ∀j /∈ A(x ∗ ) và à ∗ i = α ∗ i −β i ∗ ≥ 0 với mọi i ta cú (2.1) và (2.2).
Ví dụ 2.2.23 Xét bài toán min{f(x, y) := x 2 −y 2 } với điều kiện C :={(x, y) : x≤ 1}.
Giải Ta có hàm điều kiện duy nhất là g 1 (x, y) := x−1 ≤ 0.
Bài toán có hàm mục tiêu là một hàm lõm, g 1 (x) là hàm afin nên điều kiện chính quy thỏa mãn tại mọi điểm nghiệm nhận được của bài toán.
! điều kiện (2.1) và (2.2) của bài toán này là
x= 1 λ 1 = 2 y = 0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
! là nghiệm cực đại toàn cục của bài toán, còn điểm x y
! không phải nghiệm cực tiểu địa phương nhưng cũng không phải cực đại địa phương của bài toán đang xét.
X i=1 àihi(x) Khi đó điều kiện (2.1) được viết lại như sau:
Điều kiện có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức
Hệ quả 2.2.24 Giả sử D là tập lồi và f là hàm lồi, khả dưới vi phân trên D, nếu x ∗ ∈ intD là nghiệm tối ưu của bài toán (P) thì 0 ∈
∂f(x ∗ ) Hơn nữa, nếu f khả vi và D = R n thì 0 = ∇f(x ∗ ).
Bài toán tối ưu được định nghĩa dưới dạng min{f(x) : x ∈ X, gj(x)≤ 0, j = 1, , m}, với X ⊆ R n là tập lồi không rỗng Từ đó, ta xây dựng bài toán tối ưu đối ngẫu max{d(y) : y ∈ Y}, trong đó Y ∈ R m Bài toán (D) được xem là đối ngẫu của bài toán (P) nếu với mọi điểm chấp nhận được x của (P) và mọi y chấp nhận được của (D), điều kiện f(x)≥ d(y) luôn được thỏa mãn.
Bài toán (D) được xem là đối ngẫu chính xác của bài toán (P) nếu (D) là bài toán đối ngẫu của (P) và tồn tại x ∗ ∈ P, y ∗ ∈ D sao cho f(x ∗ ) ≤ d(y ∗ ) Định lý 2.2.25 (Karush-Kuhn-Tucker) cũng liên quan đến khái niệm này.
Bài toán (P) được định nghĩa bởi hàm tối thiểu hóa f(x) với điều kiện x thuộc tập D, trong đó D là tập hợp các x thuộc X sao cho gj(x) ≤ 0 và hi(x) = 0, với j = 1, , m và i = 1, , k Ở đây, X là một tập con không rỗng của R^n Bài toán (P) được coi là bài toán lồi nếu X là tập lồi đóng và các hàm f, gj là lồi, trong khi hi là hàm affine.
Giả sử (P) là bài toán lồi Nếu x ∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (P) thỡ tồn tại λ ∗ i ≥ 0 (i = 0,1, , m) và à ∗ j (j = 1, , k) khụng đồng thời bằng 0 sao cho
L(x ∗ , λ ∗ , à ∗ ) = min x∈X L(x, λ ∗ , à ∗ )(Điều kiện đạo hàm triệt tiờu), λ ∗ i g i (x ∗ ) = 0 (i = 1, , m)(Điều kiện bù).
Hơn nữa, nếu intX 6= ∅ và điều kiện Slater
Có tồn tại một điểm \( x_0 \in D \) sao cho \( g_i(x_0) < 0 \) với \( i = 1, \ldots, m \) thỏa mãn, và các hàm affine \( h_i \) (với \( i = 1, \ldots, k \)) độc lập tuyến tính trên \( X \) Khi đó, \( \lambda^*_0 \) cùng với các điều kiện đạo hàm triệt tiêu và điều kiện bù là đủ để xác định rằng điểm chấp nhận được \( x^* \) là nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Chứng minh Giả sử x ∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (P) Đặt
Do X 6= ∅ lồi, f, g i là các hàm lồi và h j là hàm affine trên X, nên C là tập lồi đóng, khác rỗng trong R m+k+1 Hơn nữa 0 ∈/ C vì nếu 0 ∈ C thì tồn tại một điểm chấp nhận đượcxsao cho f(x)< f(x ∗ ).Điều này mâu thuẫn với giả thiết x ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (P) Theo định lý siờu phẳng tỏch, cú cỏc số λ ∗ i (i = 0,1, , m), à ∗ j (j = 1, , k) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si không đồng thời bằng 0 sao cho m
Nếu λ 0 , , λ m > 0, thì thay x = x ∗ , ta được:
Vì thế có thẻ xem (λ ∗ 0 , λ ∗ 1 , , λ ∗ m ) ≥ 0 Hơn nữa, với > 0 và x ∈ X, ta lấy: λ 0 =f(x)−f(x ∗ ) +, λ i =g i (x) (i = 1, , m), à j = h j (x) (i = 1, , k) và thay vào (2.3), cho → 0 ta được: λ ∗ 0 f(x) + m
Điều kiện tối ưu L(x ∗ , λ ∗ , à ∗ ) ≤ L(x, λ ∗ , à ∗ ) được chứng minh cho mọi x thuộc X Đạo hàm triệt tiêu đã được xác nhận Để chứng minh điều kiện bù, ta nhận thấy rằng x ∗ là điểm chấp nhận được, với gj(x ∗ ) ≤ 0 cho mọi j Nếu tồn tại chỉ số j sao cho g i (x ∗ ) = ξ < 0, thì với mọi > 0, ta có
Thay vào (2.3)và cho → 0, ta có λ ∗ i ≥ 0.Nhưng vì ξ 0 Thật vậy, nếu λ ∗ 0 = 0, do điều kiện hàm triệt tiêu và điều kiện bù, ta có:
X j=1 à ∗ j h j (x ∗ ) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Do λ ∗ 0 = 0, nên xảy ra 2 trường hợp:
• Trường hợp 1: Tồn tại chỉ số i sao cho λ ∗ i > 0 Khi đó thay thế x= x 0 vào bất đẳng thức (2.5) ta được:
• Trường hợp 2: λ ∗ i = 0 với mọi i và tồn tại j sao cho à ∗ j > 0 Ta cú
Do intX 6=∅ và hj là hàm affine với mọi j nên ta có k
Theo giả thiết, cỏc hàm hj độc lập tuyến tớnh trờn X, nờn à ∗ j = 0 với mọij Điều này mõu thuẫn với giả thiếtλ ∗ i và à ∗ j khụng đồng thời bằng
0 Do đó λ ∗ 0 > 0 và chia cả hai vế của (2.4) cho λ ∗ 0 , ta có thể giả sử hàm Lagrange của bài toán (P) có dạng:
Sử dụng điều kiện đạo hàm triệt tiêu và điều kiện bù, với mọi nghiệm chấp nhận được x ∗ , ta có f(x ∗ ) = f0(x ∗ ) + m
X j=1 à ∗ j hj(x) ≤ f(x). Điều này chứng tỏ rằng x ∗ là một nghiệm tối ưu của bài toán (P) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hệ quả 2.2.26 Nếu X là tập mở (hơn nữa, X là toàn bộ không gian), thì theo Moreau-Rockafellar, điều kiện đạo hàm triệt tiêu kéo theo
Khi f và mọi hàm g j (j = 1,2, , m) đều khả vi thì điều kiện trên trở thành
X i=1 à ∗ i ∇h i (x ∗ ). Định nghĩa 2.2.27 Một véc - tơ d 6= 0 được gọi là một hướng chấp nhận được của tập D tại x ∗ ∈D nếu: x ∗ +λd∈ D, ∀λ >0 đủ nhỏ.
Ký hiệu D(x ∗ ) đại diện cho tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại điểm x ∗, và D(x ∗ ) là bao đóng của tập hợp này Theo Định lý 2.2.28, nếu hàm f khả vi trên một tập mở chứa D và x ∗ là điểm cực tiểu địa phương của f trên D, thì điều kiện d T ∇f(x ∗ )≥ 0 được thỏa mãn cho mọi d thuộc D(x ∗ ) Chứng minh cho điều này được thực hiện thông qua khai triển Taylor của f tại x ∗, được biểu diễn bởi f(x ∗ +λd) = f(x ∗ ) +λh∇f(x ∗ ), di+o(λkdk).
Do x ∗ là cực tiểu địa phương của bài toán (P) nên f(x ∗ +λd)−f(x ∗ )≥ 0, ∀λ > 0 đủ nhỏ.
Từ (2.7) ta được: d T ∇f(x ∗ ) + o(λkdk) λ ≥ 0, đủ nhỏ.
Điểm x ∗ ∈ D thỏa mãn điều kiện (2.6) được gọi là điểm dừng của hàm f trên miền D Tuy nhiên, điểm dừng này không nhất thiết là điểm cực tiểu địa phương.
Mệnh đề 2.2.29 (i) Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên R n và C ⊆ R n là một tập lồi Khi đó nếu f đạt cực đại hữu hạn trên
C tại một điểm trong tương đối của C, thì f là hằng số trên C.
(ii) Nếu f là một hàm lồi, chính thường trên R n và bị chặn trên trong một tập a-phin, thì nó là hằng số trên tập này.
Giả sử a ∈ riC là điểm cực đại của hàm f trên tập C Theo tính chất điểm trong tương đối, với mọi x ∈ C, tồn tại y ∈ C sao cho a ∈ (x, y) Do đó, ta có f(x) ≤ f(a) và f(y) ≤ f(a) Với f là hàm lồi, từ những nhận xét trên, ta suy ra rằng f(x) = f(a).
Nếu hàm số f không phải là hằng số trên tập a-phin M, thì tồn tại hai điểm a, b ∈ M sao cho f(a) < f(b) Mọi điểm x nằm trên nửa đường thẳng xuất phát từ a và hướng về b−a có thể được biểu diễn dưới dạng x = a + λ(b−a) với λ > 0 Khi đó, b có thể được tính bằng công thức b = \(\frac{1}{\lambda}x + \frac{\lambda - 1}{\lambda}a\).
Với mọi λ > 1, theo tính lồi của f ta có f(b) ≤ 1 λf(x) + λ−1 λ f(a).
Dựa vào giả thiết \( f(x) \leq m < \infty \) với mọi \( x \in M \), ta có \( f(b) - f(a) = \frac{1}{\lambda} f(x) - \frac{1}{\lambda} f(a) \leq \frac{1}{\lambda} [m - f(a)] \) Điều này đúng với mọi \( \lambda > 1 \), nên khi cho \( \lambda \to +\infty \) ở vế phải, do \( f(a) \) hữu hạn, vế phải tiến tới 0, trong khi đó theo giả thiết, vế trái \( f(b) - f(a) > 0 \) Điều này dẫn đến mâu thuẫn, do đó \( f \) phải là hằng số trên tập \( a \)-phin \( M \).
Nếu một hàm lồi có cực đại trên một tập lồi và tập này có điểm cực biên, thì cực đại sẽ xảy ra tại một điểm cực biên của tập lồi đó.
Giả sử \( x^* \) là điểm cực đại của hàm \( f \) trên tập lồi \( C \) Nếu \( x^* \) không phải là điểm cực biên của \( C \), thì tồn tại \( a, b \in C \) và \( \lambda \in (0,1) \) sao cho \( x^* = \lambda a + (1 - \lambda)b \) Theo (i) của Mệnh đề 2.2.30, ta có \( f(x^*) = f(x) \) với mọi \( x \in [a, b] \).
Ví dụ 2.2.31 Xét bài toán minf(x) = x 3 trênC = [−1,2].
Rõ ràng x ∗ = 0 là điểm dừng của f(x) nhưng điểm cực tiểu của f(x) trên C đạt tại x =−1.
Ví dụ 2.2.32 (SGK BT 12 CB) Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất.
Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V Khi đó: V = hπr 2
Ví dụ trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm sốV(h) = π hR 2 − h 3
Từ BBT, suy ra max
3 Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng 2R
√3 Khi đó, thể tích khối trụ là 4πR 3
Một tấm kẽm vuông ABCD có cạnh dài 30 cm được gập theo hai cạnh EF và GH, khiến cho các cạnh AD và BC trùng nhau, tạo thành một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
Giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là
A x = 5 (cm) B x = 9 (cm) C x = 8 (cm) D x 10 (cm). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta có: DF =CH = x, F H = 30−2x⇒ p 4DHF = 15.
Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là
Xét hàm số f(x) = (15−x) 2 (2x−15) f 0 (x) =−2(15−x)(2x−15) + 2(15−x) 2 = −2(15−x)(3x−30) f 0 (x) = 0 ⇔x = 10 hoặc x= 15 Bảng biến thiên:
Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất khi x = 10 (cm). Khi đó Vmax = 750√
Ví dụ 2.2.34 (SGK BT 12 CB) Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a >0).
Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, x ∈
luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Khi đó, cạnh huyền BC = a−x, cạnh góc vuông kia là
Diện tích tam giác ABC là S(x) = 1
Từ BBT, suy ra max
Trong một thí nghiệm nuôi cá, một nhà sinh vật học phát hiện rằng trọng lượng trung bình của mỗi con cá sau một vụ thu hoạch phụ thuộc vào số lượng cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ, được mô tả bởi hàm \$P(n) = 480 - 20n\$ (gam) Để tối ưu hóa sản lượng cá thu hoạch, cần xác định số lượng cá tối ưu cần thả trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ.