Định lý Arzela - Ascoli
Cho X là một không gian metric và F là một họ các hàm trên X, liên tục và nhận giá trị phức.
Họ F được gọi là liên tục đều trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi p, q ∈ Y và mọi f ∈ F thỏa mãn d X (p, q) < δ, thì |f(p)−f(q)| <
HọF được xem là chuẩn tắc trên tập con Y ⊂ X nếu với mỗi dãy {f n } ⊂ F, tồn tại một dãy con {f n j } hội tụ đều trên mỗi tập con compact của Y Một không gian mêtric X được gọi là tách được nếu có một tập con đếm được {pj} ⊂ X là trù mật Định lý 1.1 (Arzela - Ascoli) khẳng định rằng nếu X là một không gian mêtric tách được và có tập con compact K n ⊂ X với K n ⊂ K n+1 và S nK n = X, thì F là một họ các hàm liên tục nhận giá trị phức, và F sẽ là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu.
(i) Họ F là liên tục đều trên mỗi tập con compact của X.
(ii) Với bất kì p ∈ X, tồn tại hằng số C p > 0 sao cho |f(p)| ≤ C p với mọi f ∈ F.
Để chứng minh điều kiện cần, chúng ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử F là một họ chuẩn tắc và không liên đều trên tập con compact K ⊂ X Khi đó, tồn tại một hằng số dương sao cho với mỗi n, có các điểm p_n, q_n ∈ K và một hàm f_n ∈ F thỏa mãn d_X(p_n, q_n) < \frac{1}{n} và |f_n(p_n) - f_n(q_n)| ≥ \epsilon Do F là chuẩn tắc, tồn tại một dãy con f_{j} hội tụ đều trên K đến giới hạn f_0, và f_0 phải liên tục Chúng ta có thể chọn dãy con xa hơn với p_{n_j} → p_0 và q_{n_j} → q_0 Tuy nhiên, từ d_X(p_{n_j}, q_{n_j}) < \frac{1}{n_j} → 0, kéo theo p_0 = q_0, điều này dẫn đến mâu thuẫn với tính liên tục của f_0.
Giả sử tồn tại \( p \in X \) sao cho tập các giá trị \( \{f(p)\} \) với \( f \in F \) là không bị chặn, dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết rằng tồn tại một dãy con \( \{f_{n_j}\} \) hội tụ trên tập compact \( \{p\} \subset X \) Điều này cho thấy điều kiện cần của (ii) là đúng Hơn nữa, ta có \( |f_{n_j}(p_{n_j}) - f_{n_j}(q_{n_j})| = |f_0(p_0) - f_0(q_0)| = 0 \), từ đó khẳng định rằng điều kiện cần của (i) và (ii) đã được chứng minh.
Bây giờ, ta giả sử rằng họ F thỏa mãn (i) và (ii) Xét {f n } ⊂ F là một dãy trong F Gọi {p n } là một dãy trù mật trong X.
Do các giá trị {f n (p 1 )} nằm trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ C p 1 }, chúng ta có thể xác định một dãy con n 1,1 < n 1,2 < < n 1,k < sao cho dãy {f n 1,k (p 1 )} hội tụ, với giá trị giới hạn là f 0 (p 1 ) Từ tập các giá trị {f n 1,k (p 2 )} trong tập compact {ζ ∈ C||ζ| ≤ C p 2 }, ta tiếp tục tìm dãy thứ hai n2,1 < n2,2 < < n2,k < sao cho dãy {f n 2,k } hội tụ, với giá trị giới hạn là f 0 (p 2 ), và dãy thứ hai này chứa trong dãy thứ nhất Tương tự, chúng ta có thể tìm thấy vô hạn các dãy con n 1,1 < n 1,2 < < n 1,k < < n 2,1 < n 2,2 < < n 2,k < < n 3,1 < n 3,2 < < n 3,k < < nj,1 < nj,2 < < nj,k <
ã ã ã sao cho luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(i) Tồn tại giới hạn của dãy {f n j,k (p j )} (gọi giá trị giới hạn là f 0 (p j ) ); (ii) Với mỗi dãy con {n j,k } là tập con của dãy con trước {n j−1,k }
Từ đó, với bất kỳ j cố định, phần tử của dãy đường chéo {n `,` } chứa trong dãy {n j,k } với ` ≥ j Do đó, với dãy con các hàm {F ` = f n `,` }, ta có lim `→∞ F ` (p j ) =f 0 (p j ) với mọi j.
Ta sẽ chứng minh rằng {F ` } hội tụ đều trên bất kỳ tập con compact
K ⊂X.Do dãy là liên tục đều trênK, với bất kỳ > 0tồn tạiδ >0sao cho d(p, q) < δ bao hàm |F ` (p)−F ` (q)| < Bây giờ, K ⊂ S q∈K B X (q, δ), và vì
K là compact, tồn tại tập hữu hạn {q 1 , , q N }sao cho K ⊂S N J=1 B X (q j , δ).
Vì lim `→∞ F ` (p j r ) = f 0 (p j r ), và khi đó, ta chỉ cần xử lý trên tập hợp hữu hạn điểm, ta có thể tìm được M sao cho `1, `2 ≥ M bao hàm |F ` 1 (pj r ) −
F` 2 (pj r )| < Bây giờ, lấy p∈ K Khi đó, p∈ B X (p j , δ) với mọi j r Ta có
≤ ++ Điều này chỉ ra được dãy {F ` } là Cauchy đều trong cận trên đúng của chuẩn trênK, và do đó dãy hội tụ đều trênK Định lý được chứng minh.
Định lý Montel
Tiêu chuẩn Montel cho phép kiểm tra tính chuẩn tắc của một họ hàm thông qua tính bị chặn đều trên các tập con compact Định lý 1.2 (Montel) khẳng định rằng, với miền Ω ⊂ C và một họ các hàm chỉnh hình F trên Ω, nếu với mỗi tập con compact K ⊂ Ω tồn tại một hằng số, thì điều này đảm bảo tính chuẩn tắc của họ hàm.
C K > 0 sao cho |f(z)| ≤ C k với mỗi f ∈ F và mọi z ∈ K Khi đó, họ F là chuẩn tắc trên Ω
Chứng minh Theo Định lý Arzela - Ascoli, ta chỉ cần chứng minh rằng họ
Hàm F là liên tục đều trên mỗi tập con compact K thuộc miền Ω Do đó, vấn đề chứng minh rằng một họ các hàm chỉnh hình trên đĩa luân van tốt nghiệp bán kính R bởi M là liên tục đều trên mỗi hình tròn trong miền xác định trở nên khả thi.
Lấy r < R, và chọn ρ với r < ρ < R Nếu f là hàm chỉnh hình trên đĩa D(a, R) và có mô-đun bị chặn bởi M, và nếu z, ω ∈ D(a, r), thì
(ρ−r) 2 Như vây, ta nhận được kết luận của Định lý.
Miền đơn liên
Định nghĩa 1.1 Một không gian tôpô X được gọi là đơn liên nếu với mỗi hàm liên tục γ : [0,1] → X với γ(0) = γ(1) luôn tồn tại một ánh xạ liên tục Γ : [0,1]×[0,1] → X sao cho
X là đơn liên nếu và chỉ nếu mọi ánh xạ liên tục từ hình tròn vào X, đi qua một điểm \( x_0 \in X \), có thể được biến đổi liên tục thành ánh xạ hằng có ảnh là \(\{x_0\}\).
Liên quan tới định lí ánh xạ Riemann, ta chỉ đề cập ở đây tới miền đơn liên trong C.
Một tập mở liên thông Ω trong C được coi là đơn liên nếu phần bù của nó trong hình cầu Riemann Cb có tối đa một thành phần liên thông Điều kiện tôpô này của miền đơn liên dẫn đến những hệ quả quan trọng trong giải tích.
Mệnh đề 1.2 Cho Ω ⊂C là một miền đơn liên Nếu f là chỉnh hình trên
Nếu \( \Omega \) và \( f(z) \neq 0 \) với mọi \( z \in \Omega \), thì tồn tại một nhánh chỉnh hình của \( \log f \) xác định trên \( \Omega \) Điều này có nghĩa là tồn tại một hàm chỉnh hình \( g \) định nghĩa trên \( \Omega \) sao cho \( f(z) = \exp(g(z)) \) với mọi \( z \in \Omega \) Đặc biệt, nếu \( n \) là một số nguyên dương bất kỳ, hàm \( h_n(z) = \exp\left[\frac{1}{n}g(z)\right] \) là chỉnh hình và thỏa mãn \( h_n(z)^n = f(z) \) với mọi \( z \in \Omega \).
Định lý ánh xạ Riemann
Mệnh đề 1.3 Giả sử F : D →D là ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị sao cho F(0) = 0, và F 0 (0) > 0 Khi đó, F(z) = z với mọi z ∈ D.
Chứng minh Lấy G là ánh xạ ngược của F, F(G(z)) =z và G(F(ω)) = ω với mọiz, ω ∈ D Khi đó, F 0 (G(z))G 0 (z) = 1,và F 0 (0)G 0 (0) = 1.Mặt khác,
Với điều kiện |F(z)| < 1 và |G(z)| < 1 cho mọi z ∈ D, cùng với F(0) = G(0) = 0, theo bổ đề Schwarz, ta có |F'(0)| ≤ 1 và |G'(0)| ≤ 1 Do đó, nếu |F'(0)| = 1, thì theo bổ đề Schwarz, F(z) có dạng F(z) = e^{iθ}z Với điều kiện F'(0) > 0, ta suy ra θ = 0, dẫn đến F(z) = z Mệnh đề 1.4 nêu rằng, với a ∈ C và |a| < 1, ta định nghĩa φ_a(z) = a - z.
Khi đó biến đổi phân tuyến tính φ a có các tính chất sau:
(iii) φ a : D →D là ánh xạ song chỉnh hình.
Phát biểu (i) và (ii) là những phép toán đơn giản, trong đó mỗi phép biến đổi tuyến tính phân số là ánh xạ một đối một của hình cầu Rieman vào chính nó Nếu có thể chứng minh rằng φa mang hình tròn đơn vị vào chính nó, điều này sẽ dẫn đến phát biểu (iii).
Để chứng minh mệnh đề, ta có phương trình \$1 - az - \frac{az + |a|^2}{1} = 1\$, từ đó suy ra \$|\phi_a(z)| = 1\$ Ngược lại, mọi đẳng cấu chỉnh hình \$f: D \to D\$ đều có dạng \$f(z) = e^{i\theta} \frac{1 - \omega z}{z - \omega}\$, với \$\omega\$ thuộc \$D\$ Xét hàm \$g(z) = \frac{z - \omega}{1 - \omega z}\$, với \$\omega = f^{-1}(0)\$, ta có \$g(D) = D\$, và do đó, \$g\$ là một tự đẳng cấu chỉnh hình của \$D\$ Vì \$g(\omega) = 0\$ và \$f(\omega) = 0\$, nên \$f \circ g^{-1}(0) = 0\$ Hơn nữa, \$f \circ g^{-1}\$ là một tự đẳng cấu chỉnh hình của \$D\$, theo Bổ đề Schwarz, ta có \$f \circ g^{-1}(z) = e^{i\theta} z\$ với \$\theta\$ thuộc \$[0, 2\pi)\$ Do đó, ta có \$f(z) = f \circ g^{-1}(g(z)) = e^{i\theta} g(z) = e^{i\theta} \frac{z - \omega}{1 - \omega z}\$ Định lý 1.3 (Định lý ánh xạ Riemann) khẳng định rằng, với mỗi \$z_0 \in \Omega\$ (là miền đơn liên trong \$\mathbb{C}\$), tồn tại duy nhất ánh xạ song chỉnh hình \$F: \Omega \to D\$, sao cho \$F(z_0) = 0\$ và \$F'(z_0) > 0\$.
Tính duy nhất được suy ra từ Mệnh đề 1.3, cho thấy rằng nếu F1 và F2 là hai ánh xạ song chỉnh hình từ Ω đến D với z 0 đến 0, thì ánh xạ F2 ◦ F1^{-1} là một ánh xạ song chỉnh hình của hình tròn đơn vị, biến 0 thành 0.
Gọi F là tập tất cả các đơn ánh chỉnh hình f từ Ω vào D, thỏa mãn f(z 0 ) = 0 vàf 0 (z 0 ) > 0 Ta chứng minh sự tồn tại song ánh chỉnh hình theo ba bước.
Bước 1: Tập hợp F là không rỗng.
Chứng minh rằng vì tập hợp Ω không bao gồm toàn bộ mặt phẳng phức, nên tồn tại một điểm \( a \in C \) thuộc Ω Hàm \( z - a \) là hàm chỉnh hình và không bao giờ không trên Ω Do Ω là liên thông phạm vi, tồn tại một hàm chỉnh hình \( g \) trên Ω sao cho \( g(z)^2 = z - a \) Hàm \( g \) sẽ có những tính chất đặc biệt.
(i) g là một đổi một Thật vậy, nếu g(z1) =g(z2), thì z1 −a = g(z1) 2 g(z2) 2 = z2 −a, và z1 = z2.
Ảnh của hàm g không chứa bất kỳ cặp điểm nào {ω,−ω} Cụ thể, nếu g 1 (z) = −g 2 (z), thì ta có z 1 −a = g(z 1 ) 2 = (−g(z 2 )) 2 = g(z 2 ) 2 = z 2 −a Điều này dẫn đến việc g(z 1 )−g(z 1 ) = 0, từ đó suy ra g(z 1 ) = 0, và do đó z 1 = a, điều này là không thể xảy ra.
Hàm g có ảnh chứa một số hình tròn đóng {ω ∈ C| |ω −g(z0)| ≤ δ} với δ > 0 Từ đó, khoảng biến thiên của hàm g không chứa điểm nào trong hình tròn đóng trung tâm at−g(z0) có bán kính δ Do vậy, với mỗi z ∈ Ω, ta có
(a) h là chỉnh hình trên Ω; (b) Với mọi z ∈ Ω, ta có |h(z)| < 1; (c) Từ ánh xạ ω →δ(ω+g(z 0 )) −1 là một đối một, h là một đối một (d) h(z 0 ) = δ(2g(z 0 )) −1 = a ∈ D
Chúng ta có h : Ω →D là chỉnh hình và một đối một Bây giờ, ta chỉ ra hàm h với biến đổi tuyến tính phân số φ a và định nghĩa
F(z_0) = φ(a) = 0 Bằng cách nhân F với một hằng số có giá trị tuyệt đối bằng 1, ta có thể đảm bảo rằng đạo hàm tại điểm z_0 là dương, do đó F khác 0 Tiếp theo, tồn tại một hàm F thuộc tập F sao cho F'(z_0) = sup_{f ∈ F} f'(z_0).
Chứng minh rằng A = sup f ∈ F f(z₀) với A ∈ (0, +∞] Chọn dãy {fₙ} trong F sao cho limₙ→∞ fₙ(z₀) = A Do họ F bị chặn đều trên Ω, nên nó chuẩn tắc và có dãy con {fₙₖ} hội tụ đều trên tập con compact của Ω đến giới hạn F Từ đó, F là giới hạn đều của hàm chỉnh hình và cũng chỉnh hình Ta có F(z₀) = limₖ→∞ fₙₖ(z₀) = 0 và F'(z₀) = limₖ→∞ fₙ₀ₖ(z₀) = A, suy ra A < +∞ Tương tự, với z ∈ Ω, |F(z)| = limₖ→∞ |fₙₖ(z)| ≤ 1, và từ định lý Mô đun cực đại, ta có |F(z)| < 1 với mọi z ∈ Ω Để chỉ ra rằng F là một đối một, giả sử F(z₁) = F(z₂) = ω, hàm {fₙₖ(z) - ω} hội tụ đều trên Ω tới hàm F(z) - ω.
Không Suy ra, với k đủ lớn, f n k cũng có Không gần z 1 và z 2 , bao hàm z 1 = z 2 Do đó, F ∈ F. Bước 3: F là toàn ánh D.
Giả sử tồn tại \( a \in D \) sao cho \( F(z) \neq a \) với mọi \( z \in \Omega \) Hàm \( z \to \phi_a \circ F(z) \) là một ánh xạ một-một từ \( \Omega \) tới \( D \), và \( \phi_a \circ F(z_0) = a \) Vì \( \Omega \) là liên thông, tồn tại một hàm \( g \) được định nghĩa và chỉnh hình trên \( \Omega \) sao cho \( g(z)^2 = \phi_a \circ F(z) \) Do đó, \( g: \Omega \to D \) và \( g \) là một ánh xạ một-một Hơn nữa, \( g(z_0) = b \) với \( b^2 = a \).
Nếu ta đặt S(ω) = ω 2 , chúng ta dựng một hàm chỉnh hình g trên Ω sao cho S ◦g = φa◦F Đặt G= φb ◦g Khi đó, G là một đối một, các ánh xạ
Ω tới D, và thỏa mãn G(z0) = 0 Ta có thể viết g = φ −1 b ◦G = φb ◦G, và ta có φ a ◦F = S ◦g = S ◦φ b ◦G, hoặc cuối cùng
Còn lại để tính toán [φ a ◦S ◦φ b ] 0 (0) = φ 0 a (a)S 0 (b)φ 0 b (0) và chỉ ra được giá trị tuyệt đối ngặt và nhỏ hơn 1 Ta được φ 0 a (z)(1−az)(−1)−(a−z)(−a)
Giá trị tuyệt đối của \(1 + |b| 2\) nhỏ hơn 1, dẫn đến \(|F_0(z_0)| < |G_0(z_0)|\), từ đó phủ định tối đại của \(F_0(z_0)\) Định lý đã được chứng minh.
Tiêu chuẩn Montel về họ chuẩn tắc các hàm phân hình 13
Các định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai trong Lý thuyết Nevan-
Thuyết Nevanlinna là nền tảng quan trọng trong việc nghiên cứu các tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc kiểu Montel Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna liên quan đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình Đối với một divisor ν trên C, hàm đếm tương ứng với ν được định nghĩa rõ ràng.
Với hàm phân hình f trên C, f 6≡ ∞, ta kí hiệu ν f là divisor các không điểm của f, và ν f được xác định bởi ν f (z) := min{ν f (z),1} Đặt N f (r) :N(r, ν f ) và N f (r) := N(r, ν f ).
Hàm xấp xỉ của f được định nghĩa bởi m(r, f) = 1
0 log + f(re iθ ) dθ, với log + x = max{log x,0} for x ≥ 0.
Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi
T(r, f) := m(r, f) +N(r, f). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bổ đề đạo hàm Logarit khẳng định rằng, với hàm phân hình \( f \) trên \( \mathbb{C} \) và số nguyên dương \( k \), ta có \( km(r, f(k) f) = o(T(r, f)) \) Ở đây, ký hiệu \( kP \) được sử dụng để chỉ mệnh đề \( P \) đúng với mọi \( r \) đủ lớn, ngoại trừ một tập hợp có độ đo Lebesgue hữu hạn Định lý cơ bản thứ nhất cho biết rằng, nếu \( f \) là một hàm phân hình trên \( \mathbb{C} \) và \( a \) là một số phức, thì có những kết quả quan trọng liên quan đến hàm này.
T(r, 1 f −a) = T(r, f) + O(1). Định lí cơ bản thứ hai Cho flà một hàm phân hình khác hằng trên
C, và a 1 , , a q là q giá trị trong C\ {0}, đôi một phân biệt Khi đó
Tiêu chuẩn họ chuẩn tắc kiểu Montel
Khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình được Montel giới thiệu vào năm 1912 Một họ hàm F các hàm phân hình trên miền D ⊂ C được gọi là chuẩn tắc nếu mọi dãy {f_v} ⊂ F đều có một dãy con {f_{v_i}} hội tụ đều theo metric cầu trên các tập con compact của D tới một hàm phân hình hoặc hàm đồng nhất bằng ∞.
Họ F được xem là chuẩn tắc tại điểm \( z_0 \in D \) nếu tồn tại một hình tròn \( \{ z : |z - z_0| < r \} \subset D \) sao cho họ F (hạn chế trên \( \{ z : |z - z_0| < r \} \)) là chuẩn tắc trên \( \{ z : |z - z_0| < r \} \) Do đó, họ F sẽ là chuẩn tắc trên D nếu và chỉ nếu nó chuẩn tắc tại mọi điểm thuộc D.
Đối với mỗi hàm phân hình \$f\$ trên miền \$D \subset C\$, ta ký hiệu đạo hàm cầu của \$f\$ là \$f^\# = 1 + |f| |f'|^2\$ Tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc được Marty thiết lập vào năm 1957 Định lý 2.1 (Định lý Marty) đề cập đến một họ \$F\$ gồm các hàm phân hình trên miền.
Tập con D của C được coi là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu đạo hàm cầu của các hàm trong F bị chặn trên tất cả các tập con compact của D Điều này có nghĩa là với mỗi tập con compact, đạo hàm cầu phải thỏa mãn điều kiện bị chặn.
K của D, tồn tại hằng số dương c(K) sao cho f # (z) = |f 0 (z)|
Theo nguyên lý Bloch, mỗi định lý Picard bé tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc Việc tạo ra các dạng Định lý Picard bé cho phép Lý thuyết Nevanlinna tham gia vào bài toán về họ chuẩn tắc Bổ đề của Zalcman đóng vai trò quan trọng trong việc triển khai ý tưởng của Bloch.
Bổ đề 2.1 (Bổ đề Zalcman cho họ các hàm phân hình) (Bổ đề Zalcman)
Họ F các hàm phân hình trên đĩa đơn vị D trong C là không chuẩn tắc tại z0 nếu và chỉ nếu tồn tại
4) các hàm f n ∈ F sao cho g n (ξ) =f n (z n +ρ n ξ) → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) là một hàm phân hình khác hằng và g # (ξ) ⩽ g # (0) = 1.
Giả sử hàm F không chuẩn tắc trên miền D, theo Định lý Marty, tồn tại một số r* với điều kiện 0 < r* < 1, cùng với một dãy các điểm z_n* (n ∈ N) nằm trong đĩa {z : |z| ≤ r*} và các hàm f_n thuộc F sao cho f_n#(z_n*) tiến tới +∞ Chọn một giá trị r sao cho r* < r < 1, và với mỗi n ∈ N, ta đặt
Giá trị lớn nhất của hàm \( f_n(z_n) \) đạt được tại một điểm \( z_n \) thuộc đĩa \( \{ z : |z| \leq r \} \), với điều kiện \( 1 - |z_n|^2 r^2 f_n(z_n) \) Lưu ý rằng hàm \( f \) là liên tục trên miền \( \{ z : |z| \leq r \} \).
Vì vậy các hàm gn(ξ) =fn(zn+ρnξ) xác định trên đĩa {ξ ≤ Rn} với
Với |ξ| ≤R < R n và |z n + ρ n ξ| < r từ (2.1) và (2.2) ta có g n # (ξ) =ρ n f n # (z n +ρ n ξ) ≤ ρ n M n
Trong biểu thức cuối, nhân tử đầu không vượt quá 2, trong khi nhân tử thứ hai tiến tới 1 khi \( n \to +\infty \) theo (2.3) Theo Định lý Marty, dãy {g_n} (với \( n \) đủ lớn để \( R_n > R \)) chuẩn tắc trên {ξ : |ξ| < R} với mọi \( R > 0 \) Do đó, bằng cách chọn dãy con và áp dụng quy tắc đường chéo, ta có thể giả sử \( g_n \) hội tụ đều trên các tập con compact của \( C \) theo metric cầu đến một hàm phân hình \( g \) Rõ ràng, \( g \) khác hằng vì \( g'(0) = \lim_{n \to \infty} g_n'(0) = 16 \neq 0 \).
Chúng ta sẽ chứng minh chiều ngược lại của Bổ đề Giả sử các điều kiện 1)-4) được thỏa mãn, nhưng họ F là chuẩn tắc Theo Định lý Marty, tồn tại một hằng số M > 0 sao cho giá trị lớn nhất được xác định.
|z|≤ 1+r 2 f # (z) ≤M với mọi f ∈ F. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Với mỗi ξ ∈ C, do z n +ρ n ξ hội tụ tới một điểm thuộc đĩa {z : |z| ≤ r} nên
|z n +ρ n ξ| ≤ 1+r 2 với mọi n đủ lớn Do đó với mọi ξ ∈ C, ta có g # (ξ) = limρnf n # (zn +ρnξ) = 0. Điều này không thể xảy ra vì g là khác hằng.
Năm 1998, Zalcman đã cải tiến Bổ đề trên như sau:
Bổ đề Zalcman (Bổ đề 2.2) khẳng định rằng, cho F là một họ các hàm phân hình trên đĩa đơn vị D, thì F không chuẩn tắc tại điểm z₀ ∈ D nếu và chỉ nếu với mỗi giá trị α thỏa mãn điều kiện −1 < α < 1, tồn tại một số điều kiện nhất định.
4) các hàm f n ∈ F sao cho gn(ξ) = f n (z n +ρ n ξ) ρ α n → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó g(ξ) làm một hàm phân hình khác hằng thỏa mãn g # (ξ) ⩽ g # (0) = 1 và có bậc không lớn hơn 2.
Cùng với việc đưa ra khái niệm họ chuẩn tắc các hàm phân hình, năm
Năm 1912, Montel đã đưa ra tiêu chuẩn nổi tiếng cho họ chuẩn tắc Định lý 2.2 khẳng định rằng, cho F là một họ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C, và a1, a2, a3 là ba điểm phân biệt trong Cb, nếu tất cả các hàm trong F không nhận các giá trị a1, a2, a3 (tức là f(z) − aj ≠ 0 với mọi z ∈ D, f ∈ F, j ∈ {1,2,3}), thì F được coi là một họ chuẩn tắc.
Năm 1916, Montel mở rộng kết quả trên tới trường hợp các hàm trong
Hàm F có thể nhận các giá trị a1, a2, a3 với bội đủ lớn Định lý 2.3 chỉ ra rằng, với F là một họ các hàm phân hình trên miền D ⊂ C và a1, a2, a3 là ba điểm phân biệt trong Cb, tồn tại các số nguyên dương `1, `2, `3 (có thể là +∞) thỏa mãn điều kiện nhất định.
F là một họ chuẩn tắc nếu với mỗi hàm số f ∈ F, mọi không điểm của f - a_i có bội ít nhất i, với mọi i ∈ {1,2,3} Tiêu chuẩn này được truyền cảm hứng từ các tiêu chuẩn của Montel.
Trong suốt 100 năm qua, nhiều tiêu chuẩn đã được thiết lập cho các quy tắc trong lĩnh vực này Một trong những kết quả đáng chú ý là vào năm 1929, Valiron đã mở rộng kết quả của Montel cho trường hợp có q điểm a1, a2, , aq với các số tự nhiên tương ứng.