HÀM PHÂN THỨC AFIN
Hàm phân thức afin thường gặp trong các bài toán tối ưu Hàm này có dạng f(x) = p(x) q(x) = p T x+α q T x+β trong đó p, q ∈ R n , α, β ∈R và domf ={x∈ R n :q T x+β 6= 0}.
Tập lồi S được định nghĩa là tập hợp các điểm x sao cho \( q^T x + \beta \neq 0 \) với mọi \( x \in S \) Nếu hàm \( q(x) \) có dấu khác nhau trên S, tức là tồn tại \( x, y \in S \) sao cho \( q^T x + \beta > 0 \) và \( q^T y + \beta < 0 \), thì theo tính liên tục của hàm \( q(x) \), sẽ có ít nhất một điểm \( z \in [x, y] \) sao cho \( q(z) = 0 \) Do đó, ta có thể giả thiết rằng \( q(x) > 0 \) với mọi \( x \in S \) Nếu ngược lại, \( q(x) < 0 \) với mọi \( x \in S \), ta có thể nhân cả tử số \( p(x) \) với mẫu số \( q(x) \) của hàm số \( f(x) \) với (-1) để có \( q(x) > 0 \) với mọi \( x \in S \) Định lý 1.1 khẳng định rằng \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trong tập lồi \( S = \{ x: q^T x + \beta > 0 \} \).
Chứng minh Lấy hai điểm tùy ý a, b ∈ S và tính giá trị hàm f tại điểm x bất kỳ trên đoạn thẳng nối a và b, tức là x = λa+ (1−λ)b với
0 ≤ λ ≤ 1 Ta thấy f(x) = p[λa+ (1−λ)b] q[λa+ (1−λ)b] = λp(a) + (1−λ)p(b) λq(a) + (1−λ)q(b) Đạo hàm của f theo λ: df(x) dλ = 1 q 2 (x) × p(a) p(b) q(a) q(b)
Dấu của đạo hàm phụ thuộc dấu của biểu thức[p(a)q(b)−p(b)q(a)].
Vì thế, khi λ thay đổi trong đoạn [0,1] thì hàm f(x) hoặc tăng hoặc giảm hoặc đồng nhất bằng hằng số trên [a, b]
Hàm khả vi f : R n → R được gọi là giả lồi nếu với mọi x, y ∈ S, điều kiện \$5f(x) T (y−x) ≥ 0\$ dẫn đến \$f(y) ≥ f(x)\$ Ngược lại, hàm f được gọi là giả lõm nếu \$−f\$ là giả lồi Định lý 1.2 chỉ ra rằng nếu \$f(x) = p T x + α q T x + β\$ và S là tập lồi với điều kiện \$q T x + β \neq 0\$ trên S, thì hàm f(x) sẽ vừa giả lồi vừa giả lõm trên S.
Chứng minh rằng hoặc \( q^T x + \beta > 0 \) với mọi \( x \in S \) hoặc \( q^T x + \beta < 0 \) với mọi \( x \in S \) Nếu không, sẽ tồn tại \( a \in S \) và \( b \in S \) sao cho \( q^T a + \beta > 0 \) và \( q^T b + \beta < 0 \) Điều này dẫn đến việc tồn tại \( z \) là một tổ hợp lồi của \( a \) và \( b \) sao cho \( q^T z + \beta = 0 \), điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý.
Trước hết ta chứng minh f giả lồi Thật vậy, giả sử x, y ∈S thỏa mãn 5f(x) T (y −x) ≥ 0 Ta cần chỉ rõ f(x) ≥ f(y) Ta có
Do 5f(x) T (y−x) ≥ 0 và do q T x+β > 0 nên luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vì thế,(p T y+α)(q T x+β) ≥ (q T y+β)(p T x+α) Nhưng do(q T x+β) và (q T y+β) cùng dương hoặc cùng âm nên chia cả hai vế cho
(q T x+β)(q T y+β)> 0, ta nhận được p T y+α q T y+β ≥ p T x+α q T x+β, tức là f(y) ≥ f(x).
Tương tự, có thể chứng minh được rằng, 5f(x) T (y− x) ≤ 0 kéo theo f(y)≤ f(x) Vì thế, f giả lõm và định lý được chứng minh
Hàm phân thức afinf(x) đạt cực tiểu hoặc cực đại trên tập lồi compact không rỗng tại một điểm cực biên của tập lồi Cụ thể, f(x) đạt cực tiểu hoặc cực đại trên đa diện lồi tại một đỉnh của đa diện đó.
BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH
Quy hoạch phân tuyến tính là quá trình tối ưu hóa nhằm tìm giá trị cực tiểu hoặc cực đại của một hàm phân thức affine, với các ràng buộc là các đẳng thức hoặc bất đẳng thức tuyến tính.
Sau đây ta xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính, ký hiệu (LFP), có dạng:
→ min (hay max) (1.1) với điều kiện: n
X j=1 aijxj ⩽ bi, i = 1,2, , m, (1.2) x j ≤ 0, j = 1,2, , n, (1.3) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Kí hiệu A = (aij)m×n, b = (b1, , bm) T và S = {x ∈ R n : Ax ⩽ b, x ⩾ 0} được gọi là tập chấp nhận được của bài toán Rõ ràng, S là một tập lồi đa diện.
Ta giả thiết rằng \( q(x) \neq 0 \) với mọi \( x \in S \) Do \( q(x) \) là hàm tuyến tính afin, ta có thể giả định rằng \( q(x) > 0 \) với mọi \( x \in S \) Nếu tồn tại \( x_1 \in S \) với \( q(x_1) > 0 \) và \( x_2 \in S \) với \( q(x_2) < 0 \), thì sẽ có \( x_3 \in [x_1, x_2] \subset S \).
Để đảm bảo rằng \( q(x_3) = 0 \) không vi phạm giả thiết \( q(x) \neq 0, \forall x \in S \), trong trường hợp \( q(x) < 0, \forall x \in S \), ta có thể nhân cả tử số \( p(x) \) và mẫu số \( q(x) \) của hàm mục tiêu với (-1) để chuyển về trường hợp \( q(x) > 0, \forall x \in S \) Hơn nữa, giả thiết \( m \leq n \) và \( \text{rank} A = m \) cũng được đặt ra.
Bài toán LFP mô tả một xí nghiệp sử dụng m loại vật tư để sản xuất n loại sản phẩm Mỗi loại vật tư i có lượng b_i và định mức tiêu hao a_{ij} cho sản phẩm j Lợi nhuận từ sản phẩm j là p_j và chi phí sản xuất là q_j, với α là lợi nhuận cố định và β là chi phí cố định không phụ thuộc vào số lượng sản phẩm Mục tiêu là xác định số lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa hiệu quả sản xuất, được đo bằng tỉ số giữa tổng lợi nhuận và tổng chi phí Bài toán này dẫn đến mô hình quy hoạch phân tuyến tính (LFP) với các phương trình (1.1) - (1.3).
Quy hoạch tuyến tính là một trường hợp đặc biệt của quy hoạch phân tuyến tính khi q = 0 và β = 1 Nghiên cứu trong tài liệu [3] đã phân tích một số trường hợp riêng khác, cho phép chuyển đổi bài toán quy hoạch phân tuyến tính thành bài toán tuyến tính phù hợp Cụ thể, khi p = 0 và α = 1, bài toán quy hoạch phân tuyến tính (1.1) - (1.3) có thể được quy về bài toán quy hoạch tuyến tính tối đa hóa (hay tối thiểu hóa) q(x) + β với các điều kiện (1.2) - (1.3).
Dưới đây là một số khái niệm và định nghĩa quan trọng trong lý thuyết quy hoạch tuyến tính, giúp bạn hiểu rõ hơn về lĩnh vực này Nếu bạn cần tài liệu tham khảo, hãy tìm kiếm luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất qua email luanvanfull@gmail.com.
Trong bài toán lập trình tuyến tính (LFP), hàm mục tiêu được ký hiệu là f(x), trong khi tập ràng buộc được gọi là tập S Véctơ x thuộc S được xem là một phương án chấp nhận được, và nếu nó là đỉnh của tập ràng buộc S, thì nó được gọi là phương án cực biên Phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu là phương án đạt giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu f(x).
Bài toán (1.2) được coi là bất khả thi nếu tập S = ∅ Ngược lại, bài toán được xem là giải được khi tập S khác rỗng (S 6= ∅) và hàm f(x) có infimum hữu hạn cho bài toán tối thiểu trên S Nếu hàm mục tiêu f(x) không bị chặn dưới trên S, bài toán sẽ được gọi là không bị chặn dưới, tức là infimum của f(x) trên S bằng -∞.
Trong bài toán quy hoạch phân tuyến tính, có thể xảy ra một số trường hợp khác nhau Đầu tiên, nếu tập ràng buộc S = ∅, bài toán sẽ trở nên bất khả thi Thứ hai, có thể có nghiệm tối ưu duy nhất, đạt tại một đỉnh của S Thứ ba, có thể tồn tại vô số nghiệm tối ưu hữu hạn, đạt tại một diện bị chặn của S Thứ tư, có thể có nghiệm tối ưu hữu hạn và vô cực, đạt tại một diện vô hạn của S Thứ năm, nghiệm tối ưu tiệm cận có thể xảy ra khi \( f^* = \inf_{x \in S} f(x) > -\infty \) và không tồn tại \( x \in S \) sao cho \( f(x^*) = f^* \) Cuối cùng, nếu \( \inf_{x \in S} f(x) = -\infty \), bài toán sẽ không có nghiệm tối ưu và không bị chặn dưới.
CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER
A Charnes và W Cooper (1962) đã chứng minh rằng bài toán quy hoạch phân tuyến tính với tập ràng buộc không rỗng có thể được chuyển đổi thành bài toán quy hoạch tuyến tính thông qua phép đổi biến, được gọi là biến đổi Charnes.
Ta nhắc lại, bài toán quy hoạch phân tuyến tính có dạng:
Bài toán lập trình tuyến tính (LFP) được định nghĩa như sau: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \( f(x) = p^T x + \alpha q^T x + \beta \) với các ràng buộc \( Ax \leq b \) và \( x \geq 0 \) Trong đó, \( p \) và \( q \) là các véctơ trong không gian \( \mathbb{R}^n \), \( \alpha \) và \( \beta \) là các số thực, \( A \) là ma trận có kích thước \( m \times n \), và \( b \) là véctơ trong \( \mathbb{R}^m \) Mục tiêu là tìm véctơ biến \( x \in \mathbb{R}^n \) thỏa mãn các điều kiện trên.
Ký hiệu S = {x ∈ R n :Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta giả thiết tập S 6= ∅. Nhận xét 1.1 Bài toán sẽ không có nghĩa (không xác định) nếu
Vì thế, để bài toán được hoàn toàn xác định ta phải có hoặc q T x+β > 0,∀x ∈ S hoặc q T x+β < 0,∀x ∈ S.
Có thể kiểm tra điều này bằng cách giải quy hoạch tuyến tính q min := min {q T x+β : x ∈ S} hoặc q max := max {q T x+β : x ∈ S}. (qmin > 0 ⇒ q T x+β > 0,∀x ∈S hoặc qmax < 0 ⇒ q T x+β < 0,∀x ∈S).
Không giảm tổng quát, từ đây về sau ta luôn giả thiết q T x+β > 0,∀x∈ S (Nếu cần, có thể đổi dấu tử số và mẫu số của hàm f(x)).
Phép biến đổi Charnes - Cooper sử dụng phép đổi biến số với t = 1 q T x + β > 0 và y = tx ∈ R^n, ∀x ∈ S Bằng cách nhân ràng buộc Ax ≤ b với t > 0, bài toán (LFP) được chuyển đổi thành bài toán tuyến tính (LP) với mục tiêu tối thiểu hóa g(y, t) ≡ p T y + αt, dưới các ràng buộc Ay − bt ≤ 0, q T y + βt = 1, y ≥ 0, t ≥ 0.
Bài toán (LP) có sự khác biệt so với bài toán (LFP) khi có thêm một biến và một ràng buộc mới Mối quan hệ giữa hai bài toán này được thể hiện qua các mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1 đưa ra các kết luận quan trọng liên quan đến nghiệm chấp nhận được của các bài toán tối ưu Cụ thể, nếu \$x_0\$ là nghiệm chấp nhận được của bài toán (LFP), thì cặp \$ (y_0, t_0) \$ với \$t_0 = 1/q^T x + \beta\$ và \$y_0 = x_0 t_0\$ cũng là nghiệm chấp nhận được của bài toán (LP) Hơn nữa, hàm \$g(y_0, t_0) = p^T y_0 + \alpha t_0 = t_0 (p^T x_0 + \alpha) = f(x_0)\$ Ngược lại, nếu cặp \$ (y_0, t_0) \$ là nghiệm chấp nhận được của (LP) với \$t_0 > 0\$, thì \$x_0 = y_0 t_0\$ là nghiệm chấp nhận được của (LFP) và thỏa mãn điều kiện \$f(x_0) = t_0 (p^T x_0 + \alpha) = p^T y_0 + \alpha t_0 = g(y_0, t_0)\$.
Nếu (y ∗ , t ∗ ) là nghiệm tối ưu của bài toán (LP) với t ∗ > 0, thì x ∗ = y ∗ t ∗ sẽ là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP) Hơn nữa, nếu (LFP) chấp nhận được, thì bài toán (LP) sẽ không bị chặn dưới khi và chỉ khi (LFP) cũng không bị chặn dưới.
Nếu bài toán LFP có nghiệm chấp nhận được, thì bài toán LP sẽ có nghiệm tối ưu, và mọi nghiệm tối ưu đều có t = 0 Trong trường hợp này, giá trị mục tiêu của LFP sẽ có infimum hữu hạn nhưng không đạt tới được, dẫn đến việc LFP có nghiệm tối ưu tiệm cận Điều này cho phép tạo ra các nghiệm ε - tối ưu cho bất kỳ ε > 0, nghĩa là trong tập S tồn tại một cạnh vô hạn mà dọc theo đó, giá trị mục tiêu của LFP tiến dần về cận dưới đúng.
Mệnh đề 1.4 Nếu S 6=∅ và q T x+β = 0 với mọi x∈ S thì (LP) không có nghiệm chấp nhận được (bài toán (LP) là bất khả thi).
Mối liên hệ giữa các tập ràng buộc của LFP và LP được thể hiện qua các định lý Định lý 1.3 chỉ ra rằng các đỉnh của tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} tương ứng một - một với các đỉnh của tập lồi đa diện T ≡ {(y, t).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện của hệ phương trình với các ràng buộc như \$Ay - b.t \leq 0\$, \$q^T y + \beta t = 1\$, và các điều kiện không âm \$y \geq 0\$, \$t \geq 0\$ với \$t > 0\$ Định lý 1.4 chỉ ra rằng các đỉnh của tập lồi đa diện \$T\$ tại \$t = 0\$ tương ứng một-một với các cạnh vô hạn \$\Gamma\$ của tập lồi đa diện \$S\$ khi có điều kiện \$q^T d > 0\$, trong đó \$d\$ là véctơ chỉ phương của cạnh \$\Gamma\$ Định lý 1.5 khẳng định rằng mỗi cạnh vô hạn của tập lồi đa diện \$T\$ tương ứng với một cạnh vô hạn \$\Gamma\$ của tập lồi đa diện \$S\$ khi \$q^T d = 0\$, với \$d\$ là véctơ chỉ phương của cạnh \$\Gamma\$.
Các định lý này và cách chứng minh của chúng cũng áp dụng được vào cặp ràng buộc {x: Ax =b, x ≥ 0} và{(y, t) : Ay−bt = 0, y ≥ 0, t≥ 0}.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CỔ ĐIỂN
Biến đổi (LFP) về bài toán tuyến tính (LP)
Ta viết lại bài toán (LFP) dưới dạng véctơ:
(LFP) min{f(x) = c T x+α d T x+β : Ax≤ b, x ≥ 0}, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si trong đó A ∈ R m×n , b ∈R m (b ≥ 0), x, c, d∈ R n (c6= 0, d 6= 0), α, β ∈ R.
Ta giả thiết rằng tập chấp nhận được
Biến đổi (LFP) về (LP) theo cách như sau: a) Biến đổi hàm mục tiêu: f(x) = c T x+α d T x+β = c T x+α d T x+β − α β + α β = (βc−αd) T x β(d T x+β) + α β hay g(y) = p T y+γ, trong đó p =c− α βd∈ R n , γ = α β ∈R và biến mới y := x d T x+β ∈ R n
1−d T y (**) b) Biến đổi ràng buộc Ax ≤ b : Chia hai vế cho d T x+β > 0.
A+ b βd T y ≤ b β ⇔ M y ≤ q, trong đó M = A+ b βd T ∈ R m×n và q = b β ∈ R m c) Như vậy, bài toán (LP) tương đương bây giờ là
(LP) min{g(y) =p T y+γ : M y ≤ q}. d) Trở về biến ban đầu của (LFP): Giải bài toán (LP) trên đây, ta nhận được nghiệm tối ưu y ∗ Theo (**) ta có x ∗ = βy ∗
Nghiệm tối ưu cần tìm của bài toán (LFP) là \$1 - d T y^*\$ Khi thay giá trị này vào hàm mục tiêu ban đầu, chúng ta sẽ nhận được giá trị tối ưu cho bài toán (LFP).
Thuật toán
Thuật toán thực hiện lần lượt các bước sau.
1 Xây dựng hàm mục tiêu: Tínhγ = α β, p =c−γd, g(y) = p T y+γ.
2 Xác định hệ ràng buộc: Tính q = b β, M = A+qd T , M y ≤ q.
4 Giải (LP) tìm nghiệm tối ưu y ∗ (chẳng hạn, theo thuật toán đơn hình).
5 Nghiệm tối ưu của (LFP): x ∗ = βy ∗
6 Giá trị mục tiêu tối ưu: f min =f(x ∗ ) = c T x ∗ +α d T x ∗ +β.
Ví dụ minh họa
Xét một vài ví dụ số minh họa cho phương pháp đã trình bày.
Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính: f(x) = −2x 1 +x 2 + 2 x1+ 3x2 + 4 → min với các ràng buộc: −x1 +x2 ≤ 4,2x1 +x2 ≤ 14,0 ≤ x2 ≤ 6, x1 ≥ 0. Giải
Tập ràng buộc S được vẽ ở Hình 2.1. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hình 2.1 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.1 p = c− α βd = −2
2 → min, với các ràng buộc:
. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vậy bài toán (LP) tương đương là g(y) = −5
2 −→ min, với điều kiện ràng buộc
Nghiệm tối ưu của (LP) :y 1 ∗ = 7
Thay giá trị này vào hàm mục tiêu ban đầu ta được f(x ∗ ) = −2×7 + 1×0 + 2
Vậy nghiệm tối ưu của (LFP) là x ∗ 1 = 7, x ∗ 2 = 0 với f min = −12
Ví dụ 2.2 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính: f(x) = 2x1 + 3x2 x 1 +x 2 −1 −→ min, với các ràng buộc: x 1 +x 2 ≤ 3,−x 1 −2x 2 ≤ −3, x ≥ 0, x 2 ≥ 0.
Tập ràng buộc S được vẽ ở Hình 2.2. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hình 2.2 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.2 p = c− α βd = 2
⇒ g(y) = p T y +γ = 2y1 + 3y2 −→ max, với các ràng buộc:
Vậy bài toán (LP) tương ứng là g(y) = 2y 1 + 3y 2 −→ max, với ràng buộc
. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nghiệm tối ưu của bài toán (LP): y 1 ∗ = 0, y 2 ∗ = 3 và g(y ∗ ) = 9.
Trở lại biến x: xk = βyk
2. Thay giá trị này vào hàm mục tiêu ban đầu ta được: f(x ∗ ) 2×0 + 3× 3
Vậy nghiệm tối ưu của (LFP) là x ∗ 1 = 0, x ∗ 2 = 3
Ví dụ 2.3 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính: f(x) = x1 + 2x2 + 3,5x3 +x4 + 1
2x 1 + 2x 2 + 3,5x 3 + 3x 4 + 4 −→ max,với các ràng buộc 2x 1 + x 2 + 3x 3 + 3x 4 ≤ 10, x 1 + 2x 2 +x 3 +x 4 ≤ 14, x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0. Giải Trong ví dụ này n = 4, m = 2, α = 1, β = 4.
4 −→max, với các ràng buộc
! , y ≥ 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vậy bài toán (LP) tương đương là g(y) = 1
7y1 + 6y2 + 47 /4y3 + 42 /4y4 ≤ 42/4 8y 1 + 9y 2 + 53 /4y 3 + 46 /4y 4 ≤ 14/4 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0 Nghiệm tối ưu của (LP): y ∗ 1 = 0, y 2 ∗ = 0,304762, y 3 ∗ = 0,0571429, y ∗ 4 = 0 và g(y ∗ ) = 0,857143. Trở lại biến x : x k = βy k
Thay giá trị này vào hàm mục tiêu ban đầu ta được f(x ∗ ) = 2×6,4 + 3,5×1,2 + 1
Vậy nghiệm tối ưu của (LFP) là x ∗ 1 = 0;x ∗ 2 = 6,4;x ∗ 3 = 1,2;x ∗ 4 = 0 với f max = 6
Phương pháp của M B Hasan và S Acharjee tương tự như phương pháp của A Charnes và W W Cooper, cho phép chuyển đổi bài toán (LFP) thành một bài toán (LP) với ít biến số và ràng buộc hơn Tuy nhiên, phương pháp này yêu cầu điều kiện β 6= 0 và cần được mở rộng cho miền ràng buộc vô hạn Kết quả từ các bài toán (LFP) cho thấy phương pháp này đơn giản, hiệu quả và hữu ích trong các lĩnh vực như nông nghiệp, lập kế hoạch sản xuất, tài chính, y tế và quản lý bệnh viện.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HAI BÀI TOÁN (LP)
Cơ sở của phương pháp
Từ bài toán LFP đã cho, chúng ta có thể thiết lập hai bài toán quy hoạch tuyến tính một mục tiêu Bài toán đầu tiên liên quan đến tử số, được gọi là bài toán cực đại, trong khi bài toán thứ hai liên quan đến mẫu số, được gọi là bài toán cực tiểu.
(P) max{p(x) = c T x+α :Ax ≤ b, x ≥ 0} và Q) min{q(x) =d T x+β :Ax ≤ b, x≥ 0}.
Định lý 2.1 liên kết các nghiệm của bài toán (LFP), bài toán (P) và bài toán (Q) trong phương pháp giải đề xuất Nếu x₀ là nghiệm tối ưu của bài toán (P) và trong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, ta có dãy nghiệm cơ sở chấp nhận được xₙ với điều kiện f(xₖ) ≤ f(xₖ₊₁) cho mọi k = 0, 1, 2, , n−1 và f(xₙ) ≥ f(xₙ₊₁), thì xₙ sẽ là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP).
Chứng minh rằng x n là một nghiệm tối ưu của bài toán (LFP) được thực hiện qua hai trường hợp Đầu tiên, nếu q(u) ≤ q(x n ), với điều kiện f(x k ) ≤ f(x k+1) cho mọi k từ 0 đến n − 1 và f(x n ) ≥ f(x n+1), ta có f(x n ) ≥ f(u), từ đó suy ra x n là nghiệm tối ưu Thứ hai, nếu q(u) > q(x n ), với cùng điều kiện trên, ta cũng có f(x n ) ≥ f(u), khẳng định rằng x n vẫn là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP).
Vậy trong cả hai trường hợp x n đều là nghiệm tối ưu của bài toán
Định lý 2.2 chứng minh rằng nếu x₀ là nghiệm tối ưu của bài toán (P) và trong quá trình giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình, từ nghiệm chấp nhận được x₀, ta có dãy nghiệm cơ sở chấp nhận được xₙ với điều kiện f(xₖ) ≤ f(xₖ₊₁) cho mọi k = 0, 1, 2, , n, thì nghiệm xₙ₊₁ sẽ là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP).
Chứng minh rằng x n+1 là nghiệm chấp nhận được của bài toán (LFP) là rõ ràng Giả sử v là một nghiệm chấp nhận được bất kỳ của bài toán (LFP) Vì x n+1 là nghiệm tối ưu của bài toán (Q), nên ta có q(v) ≥ q(x n+1) Hơn nữa, do f(x k) ≤ f(x k+1) với mọi k = 0,1,2, ,n và x n+1 là nghiệm tối ưu của bài toán (Q), ta có thể kết luận rằng f(x n+1) ≥ f(v) Do đó, x n+1 là nghiệm tối ưu của bài toán (LFP) và định lý đã được chứng minh.
Phương pháp hạn chế hàm mục tiêu ở mẫu số
Phương pháp tìm nghiệm tối ưu (cực đại) của (LFP) theo các bước sau.
Bước 1: Từ bài toán LFP đã cho, thiết lập hai bài toán quy hoạch tuyến tính một mục tiêu, trong đó bài toán (P) nhằm tìm cực đại và bài toán (Q) nhằm tìm cực tiểu.
Bước 2 Dùng thuật toán đơn hình tìm nghiệm tối ưu của bài toán (P) Giả sử nghiệm cơ sở tối ưu thu được là x 0 với f0 := f(x 0 ).
Bước 3: Sử dụng nghiệm cơ sở ban đầu x₀, áp dụng thuật toán đơn hình để giải bài toán (Q) và tìm dãy nghiệm cơ sở chấp nhận được {xₙ} Đồng thời, tính giá trị hàm f tại mỗi nghiệm cơ sở đã tìm được, f(xₖ) với k = 0, 1, 2,
Bước 4 (a) Nếu f(x k ) ≤ f(x k+1 ) với mọi k = 0,1,2, , n−1 và f(x n ) ≥ f(x n+1 ) với chỉ số n nào đó, thì dừng quá trình tính toán và chuyển sang bước 5.
Nếu \$f(x_k) \leq f(x_{k+1})\$ với mọi \$k = 0, 1, 2, \ldots\$, và \$x_{n+1}\$ là nghiệm tối ưu của bài toán (Q) với một giá trị \$n\$ nào đó, thì dừng quá trình tính toán và chuyển sang bước 6.
Bước 5 x n là nghiệm tối ưu của (LFP) và f max = f(x n ) theo Định lý 2.1.
Bước 6 x n+1 là nghiệm tối ưu của (LFP) và fmax = f(x n+1 ) theo Định lý 2.2.
Nhận xét 2.1 Giá trị lớn nhất đối với (n+ 1) là số vòng lặp để nhận được nghiệm tối ưu của bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình.
Phương pháp này đơn giản và không yêu cầu biến đổi hàm mục tiêu cũng như hàm ràng buộc, giúp giữ nguyên cấu trúc của hệ ràng buộc Hơn nữa, có thể kết hợp quá trình giải hai bài toán (P) và (Q) bằng cách thay thế dòng mục tiêu ở bảng đơn hình cuối cùng của bài toán thứ nhất bằng dòng mục tiêu của bài toán thứ hai, và tiếp tục giải cho đến khi gặp tình huống dừng lại theo Bước 4a) hoặc 4b).
Ví dụ minh họa
Phương pháp giải (LFP) đã trình bày được minh họa qua các ví dụ sau.
Ví dụ 2.4 Xét bài toán (LFP): f(x) = p(x) q(x) = 5x 1 + 6x 2
2x2+ 7 −→max, với các ràng buộc
Với bài toán này, ta xét hai bài toán tuyến tính (một mục tiêu): (P) max{p(x) = 5x 1 +6x2 : 2x1+3x2 ≤ 6,2x1+x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0} (Q) min{q(x) = 2x2+ 7 : 2x1+ 3x2 ≤ 6,2x1+x2 ≤ 3, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}
Dùng thuật toán đơn hình giải (P), ta được nghiệm tối ưu x 0 3
T với giá trị tối ưu p(x 0 ) = 51
4 = 12,75 và giá trị tương ứng f(x 0 ) = 51
40 = 1,275. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Theo Bước 3 của phương pháp đã trình bày, chọn x 0 làm nghiệm cơ sở ban đầu, giải bài toán (Q) theo thuật toán đơn hình ta thu được lời giải x 1 3
T với q(x 1 ) = 7 và giá trị tương ứng f(x 1 ) = 15
14 ≈ 1,071429 và theo Bước 4a) của phương pháp đã trình bày, nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính đã cho là x ∗ 1 = 3
2 và giá trị mục tiêu tối ưu là f max = 15
Ví dụ 2.5 Xét bài toán (LFP): f(x) = p(x) q(x) = x1+ 2x2
2x 1 −x 2 + 2 −→ max, với các ràng buộc
Với bài toán này, ta xét hai bài toán tuyến tính (một mục tiêu): (P) max{p(x) =x 1 + 2x 2 : −x 1 + 2x 2 ≤ 2, x 1 +x 2 ≤ 4, x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0} (Q) min{q(x) = 2x1−x2+2 : −x1+2x2 ≤ 2, x1+x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0}
Dùng thuật toán đơn hình giải (P), ta được nghiệm tối ưu x 0 (2,2) T với giá trị tối ưu p(x 0 ) = 6 và giá trị tương ứng f(x 0 ) = 3
Theo Bước 3 của phương pháp, chọn nghiệm cơ sở ban đầu x₀, giải bài toán (Q) bằng thuật toán đơn hình, ta thu được nghiệm tối ưu x₁ = (0,1) với q(x₁) = 1 và giá trị tương ứng f(x₁) = 2 Theo Bước 4b), nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính là x₁* = 0, x₂* = 1 và giá trị mục tiêu tối ưu là fmax = 2.
Bài toán cực tiểu
Cùng với bài toán cực đại, ta xét bài toán cực tiểu hàm phân tuyến tính:
Bài toán lập trình tuyến tính (LFP) được định nghĩa như sau: tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu \$f(x) = c^T x + \alpha d^T x + \beta\$ với các ràng buộc \$Ax \leq b\$ và \$x \geq 0\$ Các ký hiệu và giả thiết trong bài toán này tương tự như trong bài toán cực đại Để tải luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất, vui lòng gửi email đến địa chỉ z z @gmail.com.
Bài toán cực tiểu được đưa về bài toán cực đại bằng cách đổi dấu tử số của hàm mục tiêu ban đầu: f min = min f(x) = c T x+α d T x+β:Ax ⩽ b,x ⩾ 0
Áp dụng phương pháp đã trình bày trên để tìm cực đại hàm g(x).
Từ đó cho ta lời giải của bài toán ban đầu Để minh họa ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.6 Xét bài toán cực tiểu (LFP): f(x) = p(x) q(x) = 2x 1 −x 2 −1 x1+x2+ 1 −→ min, với ràng buộc x ∈S, trong đó:
Tập chấp nhận được S được vẽ ở Hình 2.3.
Hình 2.3 Tập ràng buộc S của bài toán ở Ví dụ 2.6
Ta đưa bài toán cực tiểu min{f(x) : x ∈ S} về bài toán cực đại max{g(x) : x ∈S} với g(x) =−f(x) = −p(x) q(x) = −2x1 +x2 + 1 x 1 + 2x 2 + 1 −→max.
Với bài toán cực đại, ta xét hai bài toán tuyến tính (một mục tiêu): luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Dùng thuật toán đơn hình giải (P), ta được nghiệm tối ưu x 0 = (0,4) T với giá trị tối ưu −p(x 0 ) = 5 và giá trị tương ứng g(x 0 ) = 5
Theo Bước 3 của phương pháp, chọn nghiệm cơ sở ban đầu x₀ và giải bài toán (Q) bằng thuật toán đơn hình, ta thu được hai nghiệm chấp nhận được: x₁ = (0,2) T với q(x₁) = 5 và giá trị tương ứng g(x₁) = 3.
5 = 0,6. b) x 2 = (1,0) T với q(x 2 ) = 2 và giá trị tương ứng g(x 2 ) = −0,5.
Do g(x 1 ) = 0,6 > g(x 2 ) = −0,5 và theo Bước 4a) của phương pháp đã trình bày, nghiệm tối ưu của bài toán max{g(x) : x ∈ S} là x ∗ = (x ∗ 1 , x ∗ 2 ) =x 1 = (0,2) T với giá trị mục tiêu tối ưu gmax = 0,6.
Từ kết quả này suy ra nghiệm tối ưu của bài toán cực tiểu: x ∗ 1 = 0, x ∗ 2 = 2 với giá trị mục tiêu tối ưu f min = −g max = −0,6.
Chương này tóm tắt các thuật toán cải tiến cho giải quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách chuyển đổi thành một hoặc hai bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) Ngoài ra, chương cũng cung cấp một số ví dụ minh họa cho các thuật toán đã được trình bày.
TIẾP CẬN THAM SỐ GIẢI QUY HOẠCH PHÂN THỨC PHI TUYẾN
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu của A Jeflea (2003) về tiếp cận tham số trong việc giải bài toán phân thức phi tuyến, bao gồm thuật toán Dinkelbach và thuật toán Dinkelbach rút gọn, cho phép giải gần đúng các bài toán tham số và phân tích sự hội tụ của các thuật toán Ngoài ra, chương cũng áp dụng cách tiếp cận tham số để giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP) Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [6].
THUẬT TOÁN DINKELBACH
Ký hiệu và kết quả chuẩn bị
Quy hoạch phân thức tổng quát được mô tả dưới dạng bài toán:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = p(x) q(x) \) với \( x \in X \), trong đó \( X \) là một tập hợp compact không rỗng trong \( \mathbb{R}^n \) Hàm \( p(x) \) và \( q(x) \) là các hàm liên tục với giá trị thực, và giả thiết rằng \( q(x) > 0 \) cho mọi \( x \in X \).
Do f(x) là hàm liên tục trên tập compact X nên bài toán (P) có nghiệm Ký hiệu S là tập nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Jagannathan (1966) đã đưa ra những kết luận quan trọng về lý thuyết liên quan đến mối quan hệ giữa quy hoạch phân thức phi tuyến và quy hoạch tham số phi tuyến Ông đã nghiên cứu mối liên hệ giữa bài toán (P) và một bài toán khác phụ thuộc vào λ.
Bài toán tối ưu hóa (P(λ)) được định nghĩa là min{p(x)−λq(x) : x ∈ X} Định lý 3.1, hay còn gọi là định lý Jagannathan, khẳng định rằng một điểm y ∈ X là nghiệm tối ưu của bài toán (P) nếu và chỉ nếu y cũng là nghiệm tối ưu của bài toán min{p(x)−f(y)q(x) : x ∈X}, tương đương với min{p(x)− p(y) q(y)q(x) : x ∈X}.
Bài toán P(λ) có nghiệm với mọi λ ∈ R, bởi vì tập X là compact (đóng, bị chặn) trong R n và các hàm p(x), q(x) liên tục trên X Ta có thể xác định:
Phương pháp của Dinkelbach (1968), dựa trên định lý Jagannathan, được sử dụng để giải các bài toán phân thức phi tuyến với hàm q(x) lõm và hàm p(x) lồi Dinkelbach đã chứng minh sự hội tụ của thuật toán cho trường hợp này, và thuật toán gốc của ông có thể được mô tả một cách rõ ràng.
Bước 1 Chọn x 1 là một điểm chấp nhận được bất kỳ của X và λ 1 = f(x 1 ) Đặt k = 1 và chuyển sang Bước 2.
Bước 2 (Bài toán con) Dùng một thuật toán bất kỳ của quy hoạch lồi giải bài toán con sau đây:
SUB(k): F(λ k ) =min{p(x)−λ k q(x) : x∈ X} và ký hiệu x k+1 là một nghiệm tối ưu của bài toán này. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bước 3 Nếu F(λ k ) = 0 thì dừng thuật toán vàx k là một nghiệm tối ưu của (P) Trái lại, đặt λk+1 = f(x k+1 ), k := k + 1 và chuyển tới Bước 2.
Hình 3.1 Sơ đồ khối thuật toán Dinkelbach
Sự hội tụ toàn cục của thuật toán
Thuật toán Dinkelbach có thể áp dụng để giải bài toán phân thức tổng quát, vì nó cho phép giải quyết bài toán SUB(k) phát sinh trong mỗi vòng lặp, mặc dù SUB(k) không nhất thiết phải là một bài toán quy hoạch lồi.
Giả sửx k là một dãy điểm củaX Ký hiệufk là hàm được xác định bởi fk(x) = p(x)− f(x k )q(x) (Để ý fk(x k ) = p(x k )−f(x k )q(x k ) = 0 vì f(x k ) =p(x k )/q(x k )).
Bổ đề 3.1 Giả sử x k là một dãy điểm của X Nếu f k (x) < 0 với một x nào đó thuộc X thì f(x) < f(x k ).
Chứng minh Kết luận của bổ đề được suy ra từ biểu thức sau đây: fk(x) =p(x)−f(x k )q(x) 0 (theo (3.1)), ta nhận được f(x) < f(x k )
Bổ đề sau cho thấy giá trị hàm mục tiêu f(x) của (P) giảm dần. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bổ đề 3.2 nêu rằng nếu x k là nghiệm chấp nhận được của bài toán (P) và x k+1 là nghiệm tối ưu của SUB(k), thì khi x k là nghiệm tối ưu của SUB(k), nó cũng sẽ là nghiệm tối ưu của (P) Ngược lại, nếu f(x k+1) < f(x k), điều này cho thấy x k+1 cải thiện giá trị hàm mục tiêu so với x k.
Nếu \( x_k \) là một nghiệm tối ưu của SUB(k), thì theo định lý Jagannathan, \( x_k \) cũng là một nghiệm tối ưu của (P) Ngược lại, vì \( x_{k+1} \) là một nghiệm tối ưu của SUB(k), nên \( f_k(x_{k+1}) < f_k(x_k) = p(x_k) - f(x_k)q(x_k) = p(x_k) - p(x_k)q(x_k)q(x_k) = 0 \) Theo Bổ đề 3.1, ta có \( f(x_{k+1}) < f(x_k) \).
Bổ đề 3.2 đảm bảo tính chính xác của kiểm tra tối ưu trong Bước 3 của thuật toán Nếu sau khi giải SUB(k) mà không phát hiện sự hội tụ, thuật toán sẽ tiếp tục với vòng lặp mới k := k + 1 và tham số λ k+1 = f(x k+1) Định lý 3.2 khẳng định rằng thuật toán Dinkelbach sẽ dừng lại sau một số vòng lặp hữu hạn hoặc tạo ra một dãy vô hạn, trong đó bất kỳ điểm tụ nào của dãy đều là nghiệm tối ưu của bài toán (P).
Chứng minh Ta chứng minh rằng ánh xạ thuật toán Dinkelbach (ký hiệu D : x ∈ X → y = argmin{p(y) − (p(x)/q(x))q(y) : y ∈ X}) là đóng trên tập X\S.
Giả sử {x k } và {y k } là hai dãy thỏa mãn (S - tập nghiệm tối ưu của (P))
Ta chứng minh y ∈ D(x) Thật vậy, do y k ∈ X và X là tập đóng, nên y ∈ X Đặt
Giả xử yˆ∈ D(x) Ta có bất đẳng thức
G(x,y)ˆ ≤ G(x, y) (3.3) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Theo giả thiết (3.2), y k là nghiệm tối ưu của P(f(x k )) và ta có bất đẳng thức
Hàm G(x, y) liên tục trên X×X, nói riêng liên tục tại (x, y) Qua giới hạn cả hai vế của (3.4), ta nhận được
Kết hợp với (3.3), bất đẳng thức này kéo theo G(x,y) =ˆ G(x, y) và y là nghiệm tối ưu của P(f(x)), tức là y ∈D(x).
Ánh xạ thuật toán Dinkelbach được chứng minh là ánh xạ đóng trên tập \(X \setminus S\), và Bổ đề 3.2 chỉ ra rằng giá trị mục tiêu \(f(x_k)\) giảm dần Những tính chất này đảm bảo rằng thuật toán Dinkelbach hội tụ, và định lý đã được chứng minh một cách đầy đủ.
THUẬT TOÁN DINKELBACH RÚT GỌN
Mục này giới thiệu một phương pháp mở rộng nhằm tăng tốc độ thuật toán Dinkelbach thông qua việc giải gần đúng các bài toán con Chúng tôi chứng minh rằng phương pháp này hội tụ toàn cục với điều kiện rằng thuật toán giải các bài toán con làm giảm dần giá trị của hàm mục tiêu f(x) và ánh xạ thuật toán là đóng.
Patriksson (1993) đã giới thiệu một lớp phương pháp tuyến tính hóa độc lập, cho phép giải quyết bài toán tối ưu liên tục thông qua việc giải một chuỗi các bài toán tối ưu con trong cùng miền chấp nhận ban đầu Nghiệm tối ưu của các bài toán con này xác định hướng giảm cho mỗi vòng lặp.
Patriksson cho rằng trong thực tiễn, các bài toán con không thể được giải chính xác mà cần có sự đánh đổi giữa công sức và giá trị hàm mục tiêu Thuật toán rút gọn nhằm hạn chế công sức giải bài toán con bằng cách quy định số vòng lặp không vượt quá số nguyên nk, có thể được ấn định trước hoặc điều chỉnh dựa trên kết quả hoạt động và tiêu chuẩn dừng đã chọn.
Chiến lược này được áp dụng cho thuật toán Dinkelbach, trong đó các bài toán con SUB(k) được giải gần đúng thông qua việc thực hiện n k vòng lặp, nhằm giảm giá trị của hàm mục tiêu.
Dãy {n k } có thể được chọn tùy ý với điều kiện n k ≥ 1 cho mọi k, và sự hội tụ vẫn được đảm bảo nếu phương pháp giải SUB(k) có ánh xạ thuật toán đóng Định lý 3.3 khẳng định rằng nếu thuật toán giải SUB(k) làm giảm giá trị hàm mục tiêu và ánh xạ thuật toán là đóng trên lớp bài toán, thì sự hội tụ toàn cục của thuật toán rút gọn sẽ được thiết lập.
Tiêu chuẩn dừng của P(λ) trong giải thuật SUB(k) là thực hiện tối đa n k vòng lặp, với x k là điểm khởi đầu Thuật toán Dinkelbach có thể rút gọn hoặc dừng sau một số vòng lặp hữu hạn, hoặc tạo ra dãy vô hạn {x k }, trong đó một điểm tụ bất kỳ của dãy sẽ là nghiệm tối ưu cho bài toán (P).
Điểm x k+1 trong thuật toán giảm giá trị hàm mục tiêu sẽ luôn nhỏ hơn điểm x k nếu x k không phải là nghiệm tối ưu của SUB(k), tức là f k (x k+1) < f k (x k) = 0 Nếu x k là nghiệm tối ưu của SUB(k), theo định lý Jagannathan, x k cũng là nghiệm tối ưu của bài toán (P) Trong trường hợp này, f k (x k+1) = 0, cho thấy thuật toán Dinkelbach rút gọn đã xác định x k là nghiệm tối ưu của (P).
Vì thế ta giả sử fk(x k+1 ) < 0 với mọi k.
Bổ đề 3.3 và Bổ đề 3.1 khẳng định rằng dãy {f(x k )} là dãy đơn điệu giảm dần, được chặn dưới bởi giá trị tối ưu của bài toán (P) Do đó, dãy này sẽ hội tụ, cụ thể là:\$$\lim_{k \to \infty} f(x_k) = \lambda^* \$$và mọi dãy con của nó cũng hội tụ về giá trị \(\lambda^*\).
Nếu với bất kỳ hằng số dương K nào, tồn tại một số nguyên hữu hạn i sao cho n_k ≥ K với mọi k ≥ i, thì giới hạn khi k tiến tới vô cùng của n_k là +∞ Trong trường hợp này, bài toán con được giải chính xác ở giới hạn và sự hội tụ được đảm bảo theo Định lý 3.2 Ngược lại, nếu {y_k} là một dãy con của dãy {x_k} thỏa mãn lim_{k → ∞} y_k = y.
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng y là nghiệm tối ưu của bài toán (P) Cụ thể, do giới hạn khi n tiến tới vô cùng của k không bằng cộng vô cùng, nên số nguyên k* phải xuất hiện vô số lần trong dãy {nk} Chúng ta sẽ chọn một dãy con {uk} từ dãy {yk} tương ứng với các chỉ số này.
M là ánh xạ thuật toán được xác định bởi hợp k lần liên tiếp của ánh xạ thuật toán đóng, được sử dụng để giải các bài toán con, ký hiệu là A, với hàm.
(x, λ) −→ (x, f(x)), trong đó λmin và λmax lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của (P), nghĩa là
M = AA AB (A xuất hiện k ∗ lần).
Vì ánh xạA đóng vàB(x, λ) = (x, f(x)) là hàm liên tục trên miền xác định, nên ánh xạ hợp M là đóng.
Xét dãy con của dãy {x k } mà ta ký hiệu là {y 0k }, thỏa mãn
Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết dãy {y 0k }, hội tụ: klim→ ∞y 0k = y 0 f(u k )và f(y 0k )là hai dãy con của dãy hội tụ{f(x k )} và theo (3.5), ta có klim→ ∞f(u k ) = λ ∗ , lim k → ∞f(y 0k ) =λ ∗ (3.6)
Vì hai dãy {u_k} và {y_0k} đều hội tụ, và f là hàm liên tục với giới hạn của hai dãy tương ứng là y và y_0, nên ta có:\[\lim_{k \to \infty} f(u_k) = f(y), \quad \lim_{k \to \infty} f(y_0k) = f(y_0).\] Thông tin này có thể được áp dụng trong các nghiên cứu liên quan đến luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ.
Từ các hệ thức (3.6) và (3.7) suy ra f(y) =f(y 0 ) (3.8)
Vì M là ánh xạ đóng và từ (3.6) và (3.7), ta thấy (y 0 , f(y)) ∈
Nếu \( y_0 \) không phải là nghiệm tối ưu của \( P(f(x)) \), thì \( y_0 \) có thể cải thiện giá trị hàm mục tiêu của \( P(f(x)) \) tại \( y \) Cụ thể, điều này dẫn đến \( p(y_0) - f(y)q(y_0) < p(y) - f(y)q(y) = 0 \) Theo Bổ đề 3.1, ta có \( f(y_0) < f(y) \), điều này mâu thuẫn với (3.8).
Ta đã chứng minh rằng y là một nghiệm tối ưu của P(f(y)) và định lý Jagannathan đảm bảo rằng y cũng là một nghiệm tối ưu của
ÁP DỤNG GIẢI QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH
Phương pháp tiếp cận tham số của W Dinkelbach, được giới thiệu vào năm 1968, là một trong những chiến thuật phổ biến nhất cho các bài toán quy hoạch phân thức, không chỉ giới hạn ở phân thức tuyến tính Đối với quy hoạch phân tuyến tính, phương pháp này cho phép chuyển đổi bài toán ban đầu thành một chuỗi các bài toán quy hoạch tuyến tính để giải quyết.
Xét bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP): min{p(x) q(x) = p T x+α q T x+β : Ax ≤ b, x≥ 0}
Ký hiêu S = {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} Giả thiêt mẫu số q(x) > 0 với mọi x∈ S.
Hàm số F(λ) được định nghĩa là \$F(λ) = \min_{x \in S} \{ p(x) - λq(x) \}\$, với \$λ \in \mathbb{R}\$ Định lý 3.4 là cơ sở cho thuật toán Dinkelbach, khẳng định rằng x* là nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) khi và chỉ khi điều kiện nhất định được thỏa mãn.
F(λ ∗ ) = \min_{x \in S} \{p(x) - λ ∗ q(x)\} = 0, trong đó λ ∗ = \frac{p(x ∗ )}{q(x ∗ )} Định lý này hướng dẫn cách tìm nghiệm tối ưu cho bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) Với giả thiết q(x) > 0 cho mọi x ∈ S, ta có \(\partial F(λ)\).
∂λ ⩽ −q(x) < 0,∀x∈ S. Điều này cho thấy hàm F(λ) giảm thực sự khi λ tăng.
Thuật toán Dinkelbach gồm các bước:
Bước 0 Chọn bất kỳ x 0 ∈ S, đặt k = 1 và tính λ1 = p(x 0 ) q(x 0 ). Bước 1 Giải quy hoạch tuyến tính tìmx k = arg min x ∈ S
Bước 2 Nếu F(λk) = 0 thì x ∗ = x k là nghiệm tối ưu: dừng thuật toán.
Bước 3 Đặt λk+1 = p(x k ) q(x k ) và đặt k ←− k+ 1; Trở lại Bước 1.
Các kết quả và thuật toán được đề cập có thể áp dụng cho cả bài toán cực đại Để minh họa cho thuật toán, chúng ta sẽ xem xét ví dụ về bài toán cực tiểu và bài toán cực đại.
Ví dụ 3.1 Giải lại bài toán đã xét ở Ví dụ 2.6 (bài toán cực tiểu): f(x) = 2x 1 −x 2 −1 x1 + 2x2 + 1 −→min,với các ràng buộc x ∈S và
Tập ràng buộc S của bài toán đã được vẽ ở Hình 2.3 (đa giác 5 đỉnh).
Bước 0 Do x = (1,0) T ∈ S nên ta có thể chọn x 0 = (1,0) T làm điểm xuất phát cho thuật toán, đặt k = 1 và tính λ1 = p(x 0 ) q(x 0 ) = 1
2ã Bước 1 Lập hàm mục tiêu
2 = 1,5x1 −2x2 −1,5. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Cực tiểu của hàm này trên tập ràng buộcS đạt tạix 1 = (0,4) T , F(λ1) −9,5.
Bước 2 Do F(λ 1 ) 6= 0 nên x 1 chưa tối ưu.
9. Đặt k := k+ 1 = 2 và quay trở lại Bước 1.
Bước 1 Lập hàm mục tiêu
Cực tiểu của hàm này trên tập ràng buộc S đạt tại x 2 = (0,2) T , F(λ 2 ) = −2
Bước 2 Do F(λ2) 6= 0 nên x 2 chưa tối ưu.
5. Đặt k := k+ 1 = 3 và quay trở lại Bước 1.
Bước 1 Lập hàm mục tiêu
5. Cực tiểu của hàm này trên tập ràng buộc S đạt tại x 3 = (0,2) T , F(λ3) = 0.
Bước 2 Do F(λ 2 ) = 0 nên x ∗ = (0,2) T là lời giải tối ưu: dừng thuật toán. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Từ đó, nghiệm tối ưu của bài toán (LFP) là x ∗ = (0,2) T với giá trị mục tiêu nhỏ nhất bằng p(x ∗ ) q(x ∗ ) = −0,6.
Ví dụ 3.2 Giải lại bài toán đã xét ở Ví dụ 2.3 (bài toán cực đại): f(x) = x 1 + 2x 2 + 3,5x 3 +x 4 + 1
2x1 + 2x2 + 3,5x3 +x4 + 4 −→ max, với tập ràng buộc
Giải Trong ví dụ này có n = 4 biến và m = 2 ràng buộc chính. Bước 0 Do x = (0,0,0,0) T ∈ S nên ta có thể chọn x 0 (0,0,0,0) T làm điểm xuất phát cho thuật toán, đặt k = 1 và tính λ 1 = p(x 0 ) q(x 0 ) = 1
4. Bước 1 Lập hàm mục tiêu
4q(x) = 0,5x1+1,5x2+2,625x3+0,25x4. Cực đại của hàm này trên tập ràng buộc S đạt tại x 1 = (0; 6,4; 1,2; 0) T , F(λ1) = 12,75.
Bước 2 Do F(λ 1 ) 6= 0 nên x 1 chưa tối ưu.
7. Đặt k : k+ 1 và quay lại Bước 1
Bước 1 Lập hàm mục tiêu
7 Cực đại của hàm này trên tập ràng buộc S đạt tại x 2 = (0; 6,4; 1,2; 0) T , F(λ2) = 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bước 2 Do F(λ 2 ) = 0 nên x ∗ = x 2 = (0; 6,4; 1,2; 0) T là nghiệm tối ưu: dừng thuật toán.
Từ đó, nghiệm tối ưu của bài toán (LFP) là x ∗ = (0; 6,4; 1,2; 0) T với giá trị mục tiêu lớn nhất: fmax = f(x ∗ ) = p(x ∗ ) q(x ∗ ) = 2×6,4 + 3,5×1,2 + 1
Chương này trình bày thuật toán giải bài toán quy hoạch phân thức phi tuyến, sử dụng cách tiếp cận tham số và áp dụng thuật toán tham số để giải bài toán phân thức tuyến tính (LFP), kèm theo ví dụ minh họa.
Luận văn đã nghiên cứu và trình bày một số thuật toán mới nhất để giải quyết bài toán quy hoạch phân tuyến tính bằng cách chuyển đổi về quy hoạch tuyến tính, cũng như giải quyết quy hoạch phân thức phi tuyến thông qua phương pháp tiếp cận tham số.
Luận văn đã trình bày các nội dung cụ thể sau:
Hàm phân thức afin và các tính chất của nó đóng vai trò quan trọng trong bài toán quy hoạch phân tuyến tính Phương pháp giải quy hoạch phân tuyến tính, dựa trên cách tiếp cận của Charnes và W Cooper, giúp tối ưu hóa các bài toán này một cách hiệu quả.
Thuật toán cải tiến của M B Hasan và S Acharjee giải quyết bài toán quy hoạch phân tuyến tính (LFP) bằng cách chuyển đổi nó thành một bài toán quy hoạch tuyến tính (LP) Đồng thời, thuật toán của P Pandian và M Jayalakshmi cũng áp dụng phương pháp tương tự để giải quyết LFP thông qua việc xử lý hai bài toán LP.
Nghiên cứu của A Jeflea về tiếp cận tham số trong giải bài toán quy hoạch phân thức phi tuyến đã chỉ ra rằng thuật toán Dinkelbach và phiên bản rút gọn của nó cho phép giải gần đúng các bài toán tham số, đồng thời nghiên cứu sự hội tụ của các thuật toán này Tác giả đã áp dụng cách tiếp cận tham số để giải quy hoạch phân thức tuyến tính (LFP) và đóng góp chính là việc tìm hiểu, sắp xếp và trình bày lại một số thuật giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính thông qua việc chuyển đổi về giải quy hoạch tuyến tính và quy hoạch phân thức phi tuyến Ngoài ra, tác giả cũng xây dựng các ví dụ minh họa cho các thuật toán đã được trình bày.
Tác giả luận văn mong muốn trong tương lai có cơ hội nghiên cứu thêm về các thuật toán giải quy hoạch phân tuyến tính và các bài toán mở rộng liên quan.