Các định nghĩa và kết quả bổ trợ
Nón cực của Ω ⊂ R n là tập
Ω o :={v ∈ R n | hv, xi ⩽ 0,∀x∈ Ω} (1.1) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Cho ánh xạ đa trị F :R n ⇒ R n , ta kí hiệu:
F(x) := {v ∈ R n : ∃x n → xvàv n → vvớiv n ∈ F(x n ), ∀n ∈N} là giới hạn trên (ngoài) của dãy Painlevé - Kuratowski của F khi x → x Một tập Ω ⊂ R n được gọi là đóng xung quanh x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho Ω∩clU là tập đóng Tập Ω được xem là đóng địa phương nếu nó đóng xung quanh mọi điểm x ∈ Ω Nếu Ω ⊂ R n là tập đóng xung quanh x ∈ Ω, thì nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x ∈ Ω được định nghĩa như sau.
Nb(x,Ω) :( x ∗ ∈ R n | Lim sup x −→x Ω hx ∗ , x−xi kx−xk ≤ 0
, (1.2) trong đó x−→ Ω x nghĩa là x→ x với x ∈ Ω.
Nếu \( x \notin \Omega \), thì \( N_b(x, \Omega) = \emptyset \) Nón pháp tuyến Mordukhovich \( N_b(x, \Omega) \) của \( \Omega \) tại \( x \in \Omega \) được xác định từ các nón pháp tuyến Fréchet bằng cách lấy giới hạn trên dãy Painlevé - Kuratowski.
Nếu x /∈ Ω ta đặt N(x,Ω) := ∅ Đặc biệt, nếu Ω là tập lồi địa phương xung quanh x, nghĩa là có một lân cận U ⊂ R n của x sao cho Ω∩U là tập lồi thì ta có
N(x,Ω) := {x ∗ ∈ R n | hx ∗ , x−xi ≤ 0, ∀x ∈ Ω∩U} (1.4) Với một hàm giá trị thực mở rộng ϕ : R n → R :=R n ∪ {∞}, ta đặt domϕ :={x∈ R n |ϕ(x) 0 sao cho
(iii) Điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán (1.11) nếu tồn tại một lân cận U của x và λ ∈ intR m + sao cho
∀x ∈U ∩C,hλ, f(x)i ≥ hλ, f(x)i. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Trong bài toán (1.11), các tập nghiệm hữu hiệu địa phương được ký hiệu là locS(P), nghiệm hữu hiệu cô lập địa phương là locS iv (P), và nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương là locS p (P) Khi U = R^n, các tập nghiệm tương ứng được ký hiệu là S(P), S iv (P), và S p (P).
Chúng ta biết rằng \( locS_{iv}(P) \subset locS(P) \) và \( locS_{p}(P) \subset locS(P) \) Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng Cần lưu ý rằng các tập \( locS_{iv}(P) \) và \( locS_{p}(P) \) có thể khác nhau.
Xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 1.1 Cho f :R → R 2 xác định bởi f(x) := (f1(x), f2(x)) với f1(x) :( x, nếu x ≥ 0, 3x, nếu x < 0, f2(x) :( −3x, nếu x≥ 0,
−x, nếu x < 0, và cho g, h : R → R được xác định bởi g(x) := −|x| và h(x) := 0 với x∈ R Ta xét bài toán (1.11) với m= 2,Ω =R Chọn x= 0 ∈ C =R và ν = 1 ta có max{f 1 (x)−f 1 (x), f 2 (x)−f 2 (x)} = |x| ≥ ν|x|= ν|x−x|,∀x∈ C.
Xác định rằng \( x \in \text{locS}_{iv}(P) \) trong khi \( x \notin \text{locS}_{p}(P) \) Giả sử ngược lại, tồn tại một lân cận \( U \) của \( x \) và điểm \( (\lambda_1, \lambda_2) \in \text{int} \mathbb{R}^2_+ \) sao cho \( \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \geq 0 = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) \) với mọi \( x \in U \cap C \) Điều này dẫn đến một sự tương đương quan trọng.
( λ1x−3λ2x≥ 0, nếu x∈ U ∩(0,+∞), 3λ 1 x−λ 2 x≥ 0, nếu x∈ U ∩(−∞,0). Điều này cho ta λ2 ≥ 9λ2 (mâu thuẫn).
Ví dụ 1.2 xem xét hàm số f: R → R² được định nghĩa bởi f(x) := (f₁(x), f₂(x)), trong đó f₁(x) := -x⁴ và f₂(x) := x⁴ Đồng thời, hai hàm g, h: R → R được xác định bởi g(x) := x⁻¹ và h(x) := 0 với x ∈ R Bài toán (1.11) được nghiên cứu với m = 2 và Ω = R, chọn x = 0 ∈ C = (-∞, 1] và λ.
2f2(x), ∀x∈ C. Điều này cho thấy x ∈ locS p (P), trong khi đó x /∈ locS iv (P) với ν > 0. Thật vậy, với v > 0 cố định bất kì, bất đẳng thức max{f 1 (x)−f1(x), f2(x)−f2(x)} = x 4 ≥ ν|x|= ν|x−x|.
(không thỏa mãn ∀x ∈ C gần x) Do đó, x /∈ locS iv (P).
Vớix ∈ Ω, ta đặt I(x) = {i ∈ I|gi(x) = 0} và J(x) = {j ∈ J|hj(x) = 0}. Định nghĩa 1.2 Ta nói điều kiện chính quy (CQ) được thỏa mãn tại x∈ Ω nếu khụng tồn tại à i ≥ 0, i ∈I(x) và γ j ≥ 0 ∈ J(x) sao cho P i∈I(x) ài+ P j∈J (x) γj 6= 0 và
Khi xem xét x ∈ C trong (1.12) với Ω = R n, điều kiện (CQ) sẽ đúng nếu điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz được thỏa mãn trong trường hợp trơn Định lý 1.1 đưa ra một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu cô lập của bài toán (1.11) theo định nghĩa (CQ).
Ω Nếu x ∈locS iv (P) với ν > 0 nào đó thì νB R n ⊂ X k∈K λk∂fk(x) +X i∈I ài∂gi(x)
(1.13) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Chứng minh Lấy x ∈ locS iv (P) Đặt ϕ(x) = max
Xét bài toán tối ưu sau: minx∈C ϕ(x).
Nếu \( x \in \text{loc}S \) là điểm cực tiểu địa phương của hàm \( \phi(x) \), thì tồn tại một lân cận \( U \) của \( x \) sao cho \( \phi(x) \geq 0 \) và \( \phi(x) = 0 \) với mọi \( x \in U \cap C \) Điều này cho thấy \( x \) là cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu hóa vô ràng buộc \( x \in \min \mathbb{R}^n \, \phi(x) + \delta(x, C) \) Áp dụng quy tắc Fermat cho bài toán này, ta có thể phân tích thêm về tính chất của điểm cực tiểu.
1≤k≤m{f k (x)−f k (x)}+δ(x, C) và ϕ 2 (x) := −kkx−xk Khi đó, ϕ+δ(., C) = ϕ1 +ϕ2 Do (1.16) nên ta có
Dễ thấy −ϕ2 là hàm lồi nên
Sử dụng Bổ đề 1.1 và (1.17) ta có
. Điều này dẫn dến νB R n ⊂ ∂ϕb 1(x) Như vậy, νB R n ⊂ ∂ϕ1(x) =∂
(x) (1.18) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hàm Lipschitz liên tục quanh điểm x được xác định bởi điều kiện \(1 \leq k \leq m\) với \(f_k(.) - f_k(x)\) Đồng thời, hàm \(\delta(., C)\) là nửa liên tục dưới quanh điểm này Áp dụng quy tắc tổng (1.10) vào (1.18) và từ mối quan hệ trong (1.7), ta có thể suy ra rằng \(\nu B R^n \subset \partial\).
(x) +N(x, C) (1.19) Đặt Ω :=e {x ∈ R n |g i (x) ≤ 0, i ∈ I, h i = 0, j ∈ J} Ta có C = Ωe ∩Ω. Điều kiện (CQ) thỏa món tại x kộo theo khụng tồn tại ài ≥ 0, i ∈ I(x) và γ j ≥ 0, j ∈J(x) = J sao cho P i∈I (x) à i + P j∈J(x) γ j 6= 0 và
Do đó, từ Mordukhovich [7, Hệ quả 4.36] ta có
Vì điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x, từ [7, Hệ quả 3.37] ta có
Bên cạnh đó, sử dụng công thức cho dưới vi phân cơ bản của hàm max (xem [7], Định lý 3.46(ii)) và quy tắc tổng (1.10) ta thu được
Tải luận văn tốt nghiệp mới nhất tại luanvanfull qua email z z @gmail.com Luận văn thạc sĩ đặt điều kiện \( a_i = 0 \) với \( i \notin I(x) \), được suy ra từ các công thức (1.20) và (1.21) Định lý đã được chứng minh Tuy nhiên, Định lý 1.1 có thể không đúng nếu điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại điểm đang xem xét, như trong ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.3 cho hàm f : R → R² được xác định bởi f(x) := (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) = x, cùng với các hàm g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x² và h(x) := 0, ∀x ∈ R Trong bài toán (1.11) với m = 2 và Ω = R, ta có C = {0} và x := 0 ∈ S iv (P) với ν > 0 bất kỳ Điều kiện (CQ) không thỏa mãn tại x, dẫn đến (1.13) cũng không thỏa mãn Để xây dựng điều kiện đủ cho cực tiểu cô lập địa phương của bài toán (1.11), định lý tiếp theo nhắc lại rằng hàm ϕ : Ω ⊂ Rⁿ → R là hàm lồi địa phương (hoặc affine địa phương) tại x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận.
Để U của x sao cho Ω∩U là tập lồi và ϕ là hàm lồi (affine) trên Ω∩U, theo Định lý 1.2, nếu x ∈ C và fk, k ∈ K; gi, i ∈ I là các hàm lồi địa phương tại x, cùng với hj, j ∈ J là các hàm affine địa phương tại x, thì nếu x thỏa mãn điều kiện (1.13), ta có x∈locS iv (P).
Theo giả thiết của định lý, tồn tại một lân cận \( U \) của \( x \) sao cho \( U \cap \Omega \) là một tập lồi Các hàm \( f_k \) với \( k \in K \) và \( g_i \) với \( i \in I \) đều là hàm lồi trên \( U \cap \Omega \), trong khi các hàm \( h_j \) với \( j \in J \) là hàm affine trên \( U \cap \Omega \) Lưu ý rằng với mọi \( z \in \mathbb{R}^n \), ta có \( \|z\| = \max_{z \in B_{\mathbb{R}^n}} (z^*, z) \) Do đó, tồn tại \( z^* \in B_{\mathbb{R}^n} \) sao cho \( \|z\| = h(z^*, z) \).
Lấy bất kì x ∈U ∩C, tồn tại z ∗ ∈ B R n sao cho kx−xk =hx ∗ , x−xi (1.22)
Vì x∈ C thỏa mãn (1.13) nên tồn tại λ k ≥ 0, k ∈ K với P k∈K λ k = 1, z k ∗ ∈
∂fk(x), k ∈ K, ài ≥ 0, x ∗ i ∈ ∂gi(x) với àigi(x) = 0, i ∈ I, γj ≥ 0, y i ∗ ∈ luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
∂h j (x)∪∂(−h j )(x), j ∈ J sao cho vx ∗ − X k∈K λkz k ∗ +X i∈I àix ∗ i +X i∈J γjy j ∗
Từ (1.4) suy ra νhx ∗ , x−xi − X k∈K λ k hz k ∗ , x−xi+X i∈I à i hx ∗ i , x−xi
Từ tính chất lồi địa phương của fk, gi và tính chất affine địa phương của h j ta có
X k∈K λkhz k ∗ , x−xi+X i∈I àihx ∗ i , x−xi+X i∈J γjhy j ∗ , x−xi
≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(x)] +X i∈I ài[gi(x)−gi(x)]
(1.24) trong đó ωj ∈ {−1,1} và bất đẳng thức sau đúng vì à i g i (x) = 0, à i g i (x)≤ 0, i ∈ I và h j (x) = 0, h j (x) = 0, j ∈ J.
Kết hợp (1.22) với (1.23) và (1.24) ta nhận được νkx−xk ≤ X k∈K λk[fk(x)−fk(x)].
Hơn nữa, X k∈K λk[fk(x)−fk(x)] ≤ X k∈K λk max
Suy ra x ∈ locS iv (P) vì x bất kì trong U ∩C
Tính lồi địa phương của hàm mục tiêu f tại điểm x là yếu tố quan trọng trong Định lý 1.2 Cụ thể, một điểm khả thi x thỏa mãn điều kiện (1.13) không nhất thiết là cực tiểu cô lập của bài toán (1.11) nếu hàm f không có tính lồi địa phương tại x.
Ví dụ 1.4 Cho f :R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f 1 (x), f 2 (x)) với f1(x) = f2(x) :
0, nếu x= 0, và gọi g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x− 1 và h(x) := 0 với x∈ R Xét bài toán (1.11) vớim = 2,Ω = RthìC = (−∞,1] Chú ý rằng f1, f2 là Lipschitz địa phương tại x= 0 ∈ C và∂f1(x) = ∂f2(x) = [−1,1].
Ta thấy rằng x thỏa mãn điều kiện (1.13) với mọi ν ∈ (0,1] Tuy nhiên, x không thuộc tập hợp lồi địa phương S iv (P), do đó không phải là nghiệm lồi tại x Định lý 1.3 nêu rõ điều kiện cần thiết cho nghiệm hiệu quả chính thường địa phương của bài toán (1.11) với điều kiện (CQ) như đã định nghĩa trong Định nghĩa 1.2 Cụ thể, giả sử điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x ∈ Ω, nếu x thuộc tập lồi địa phương S p (P), thì tồn tại các giá trị λk > 0, k ∈ K, ai ≥ 0, i ∈ I và γj ≥ 0, j ∈ J.
Chứng minh Giả sử x ∈ locS p (P) Khi đó tồn tại một lân cận U của x và λ : (λ1, λm)∈ intR m + sao cho
Đối với mọi \( x \in U \cap C \), điều kiện \( \sum_{k \in K} \lambda_k [f_k(x) - f_k(x)] \geq 0 \) cho thấy \( x \) là một cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu Bài toán này được mô tả bởi hàm mục tiêu \( \min_{x \in C} \theta(x) \), trong đó \( \theta(x) = \sum_{k \in K} \lambda_k f_k(x) \).
X là cực tiểu địa phương trong bài toán tối ưu không ràng buộc với điều kiện \( x \in \min \mathbb{R}^n \theta(x) + \delta(x, C) \) Áp dụng quy tắc Fermat cho dạng không trơn của bài toán này, ta có được kết quả cần thiết.
Vì θ là Lipschitz địa phương tại x và δ(., C)) là nửa liên tục dưới quanh x, từ (1.10) và (1.7), ta có
0 ∈ ∂θ(x) +∂δ(x, C)) =∂θ(x) +N(x, C) (1.29) Tương tự chứng minh của Định lý 1.3 ta nhận được
(1.30) Áp dụng quy tắc tổng (1.10), từ (1.30) ta nhận được
0 ∈ X k∈K λk∂fk(x) +X i∈I ài∂gi(x) +X j∈J γj(∂hj(x)∪∂(−hj(x)) +N(x, Ω), à i ≥ 0, i ∈I(x), γ i ≥ 0, j ∈J(x).
Lấy à i = 0, i ∈ I(x) trong (1.31) ta nhận được (1.25) Định lý được chứng minh luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu chính thường
Với \( z \in \mathbb{R}^n \), \( \lambda := (\lambda_k) \) với \( \lambda_k > 0 \) cho \( k \in K \), và \( a := (a_i) \) với \( a_i \geq 0 \) cho \( i \in I \), ta định nghĩa \( f_e(z, \lambda, a, \gamma) := f(z) + h_a, g(z)_{ie} + h_\gamma, h(z)_{ie} \), trong đó \( e := (1, 1, \ldots, 1) \in \mathbb{R}^m \) Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc (P) trong (1.11), ta xem xét bài toán đối ngẫu đa mục tiêu \( D_w \) theo nghĩa Wolfe.
Tập chấp nhận được C w được xác định bởi
Một nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán đối ngẫu (1.33) được định nghĩa tương tự như trong định nghĩa (1.11) bằng cách thay đổi các ký hiệu liên quan Tập hợp các nghiệm hữu hiệu của bài toán (1.33) được ký hiệu là S(D w ) Để thuận tiện, ta sử dụng ký hiệu u v để biểu thị mối quan hệ giữa u và v Định lý 1.5 mô tả quan hệ đối ngẫu yếu giữa bài toán cơ sở (P) và bài toán đối ngẫu Dw Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại z, thì f(x) fe(z, λ, à, γ).
K, à = ài, ài ≥ 0, x ∗ i ∈ ∂gi(z), i ∈ I và γ := (γj), γj ≥ 0, y j ∗ ∈ ∂hj(z)∪
Giả sử ngược lại, f(x) fe(z, λ, à, γ) (1.37)
Do λ∈ int R m +, ta cú hλ, f(x)−fe(z, λ, à, γ)i < 0 Điều này tương đương với bất đẳng thức sau hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i < 0 (1.38)
Do tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, với mỗi x như vậy tồn tại v ∈ N(z,Ω) o sao cho
P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
1 ω j γ j [h j (x)−h j (z)], trong đó ωj ∈ {−1,1} Từ định nghĩa của nón cực (1.1), từ (1.34) và v ∈ N(z,Ω), ta suy ra
0 ≤ X k∈K λ k hz k ∗ , vi+X i∈I à i hx ∗ i , vi+X j∈J γ j hy j ∗ , vi. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Như vậy, bằng cách đặt σj := γj ω j ∈R, j ∈ J, ta có
0 ≤ hλ, f(x)−f(z)i+hà, g(x)−g(z)i+hσ, h(x)−h(z)i (1.39) trong đúσ = (σ j ), j ∈ J Do x∈ C, ta suy ra hà, g(x)i ≤ 0 và hσ, h(x)i 0 Vì vậy, (1.39) trở thành
Chú ý rằng kσk = kγk, do kσjk = kγjk, với mọi j ∈ J Kết hợp (1.36), (1.38), (1.40) ta đi đến mâu thuẫn Định lý được chứng minh
Ví dụ sau chỉ ra rằng tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω ở định lý trên không thể bỏ được.
Ví dụ 1.6 cho hàm f: R → R^2 được định nghĩa bởi f(x) := (f_1(x), f_2(x)) với f_1(x) = f_2(x) := x^5 Hàm g và h được xác định bởi g(x) := -|x| và h(x) := x^2 + x với x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2 và Ω = R, ta có C = {-1, 0} và chọn x = -1 ∈ C Tiếp theo, xem xét bài toán đối ngẫu D_w trong (1.33) với z = 0 ∈ Ω và λ.
, à = 1 và γ = 1 ta cú (z, λ, à, γ) ∈ C w Ta thấy (f, g, h) khụng là L - lồi bất biến trên Ω tại x Khi đó, f(x) = (−1,−1) (0,0) = fe(z, λ, à, γ)i.
Trong bài viết này, chúng tôi nhận thấy rằng, khác với các kết quả trước về đối ngẫu trong tối ưu đa mục tiêu, tồn tại quan hệ h(z) ∈ (γ−S(0, kγk)) trong biểu diễn của tập ràng buộc Cw của bài toán đối ngẫu Quan hệ này không xuất hiện trong các bài toán xuất phát không có ràng buộc đẳng thức, tức là J = ∅ Đối với các bài toán có điều kiện ràng buộc đẳng thức, quan hệ này tự động thỏa mãn nếu h = 0, nhưng lại là điều kiện cần thiết khi h ≠ 0 Định lý 1.6 trình bày một quan hệ đối ngẫu mạnh giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán đối ngẫu (Dw), với điều kiện rằng x ∈ locS p (P) và điều kiện (CQ) thỏa mãn tại điểm này.
0, j ∈ J sao cho (x, λ, à, γ) ∈ C w và f(x) := f(x, λ, à, γ) Hơn nữa, nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trờn Ω tại mọi z ∈ Ω, thỡ (x, λ, à, γ) ∈ S(D w ).
Chứng minh Theo Định lý 1.3, x thỏa mãn (1.25) nghĩa là tồn tại λk > 0, k ∈
Trong bài viết này, ta xem xét các tham số như \$\lambda = (\lambda_k)\$, với \$\lambda_k > 0\$ và \$k \in K\$, cùng với các biến \$h_\lambda, e_i = 1\$, \$a = (a_i)\$, với \$a_i \geq 0\$ và \$i \in I\$, cũng như \$\gamma = (\gamma_j)\$, với \$\gamma_j > 0\$ và \$j \in J\$ Khẳng định (1.42) vẫn đúng khi thay thế các tham số tương ứng Do \$x \in C\$, ta có \$h_j(x) = 0, \forall j \in J\$, dẫn đến \$h_{\gamma_j} - \sigma, h(x)i = 0 \forall \sigma (\sigma_j), \sigma_j \in R, j \in J\$ với \$k\sigma k = k\gamma k\$, nghĩa là \$h(x) \in (\gamma - S(0, k\gamma k))^o\$ Do đó, \$x, \lambda, a, \gamma \in C_w\$ Với hàm \$g(x)i = h_\gamma, h(x)i = 0\$, ta có \$f(x) = f(x) + a, g(x)ie + h_\gamma, h(x)ie = f_e(x, \lambda, a, \gamma)i\$ Giả sử \$f, g, h\$ là L - lồi bất biến trên \$\Omega\$ với mọi \$z \in \Omega\$ Sử dụng kết quả từ luận văn tốt nghiệp, ta khẳng định rằng \$f(x) = f(z, \lambda, a, \gamma)\$, với mọi \$ (z, \lambda, a, \gamma) \in \Omega\$.
Cw Từ đú và (1.43) ta suy ra (x, λ, à, γ) ∈ S(Dw)
Điều kiện (CQ) trong định lý đóng vai trò quan trọng Nếu x là nghiệm hữu hiệu chính thường địa phương của bài toán mà không thỏa mãn điều kiện (CQ), chúng ta có thể không tìm được bộ ba (λ, à, γ) như mô tả trong Định lý 1.6 sao cho (x, λ, à, γ) thuộc tập chấp nhận được của bài toán đối ngẫu Trong trường hợp này, không có quan hệ đối ngẫu mạnh.
Kết quả đối ngẫu mạnh trong Định lý 1.6 không xuất hiện theo cách thông thường, vì nghiệm của bài toán đối ngẫu không phải là nghiệm hữu hiệu chính thường mà chỉ là nghiệm hữu hiệu Mặc dù nghiệm của bài toán xuất phát là nghiệm hữu hiệu chính thường, nhưng ví dụ sau đây cho thấy rằng, nói chung, chúng ta không thể thu được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài toán đối ngẫu, ngay cả trong trường hợp lồi Tuy nhiên, với một số giả thiết bổ sung, có thể đạt được nghiệm hữu hiệu chính thường cho bài toán đối ngẫu.
Ví dụ 1.7 Cho f : R → R 2 được xác định bởi f(x) := (f1(x), f2(x)), trong đó f 1 (x) := x, f 2 (x) := −x và g : R → R được xác định bởi g(x) = x − 1 với x ∈ R Xét bài toán (1.11) với m = 2, Ω = R, I {1}, J = ∅ thì C = (−∞,1] và chọn x= 0 ∈ C Suy ra x := 0 ∈ S p (P), vì 1
Xét bài toán đối ngẫu (Dw) trong (1.33) Tập ràng buộc
Cw là tập hợp các bộ ba \((z, \lambda, à)\) thỏa mãn điều kiện \(\lambda_1 - \lambda_2 + à = 0\) và \(\lambda_1 + \lambda_2 = 1\), với \(z \in \mathbb{R}\), \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2)\), \(\lambda_1 > 0\), \(\lambda_2 > 0\), và \(à \geq 0\) Hàm mục tiêu được định nghĩa là \(fe(z, \lambda, à) = (fe_1(z, \lambda, à), fe_2(z, \lambda, à))\) với \(fe_1(z, \lambda, à) = z + à(z - 1)\) và \(fe_2(z, \lambda, à) = -z + à(z - 1)\) Điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại điểm \(x\), và với \(f_k\) (với \(k = 1, 2\)) và \(g\) là các hàm lồi, cặp \((f, g)\) là L-lồi bất biến trên miền \(\Omega\) cho mọi \(z \in \Omega\) Theo Định lý 1.6, tồn tại \(\lambda = (\lambda_1, \lambda_2)\) với \(\lambda_1 > 0\), \(\lambda_2 > 0\) và \(à \geq 0\) sao cho \((x, \lambda, à) \in S(D_w)\).
Ta sẽ chỉ ra rằng (x, λ, à) ∈ S/ p (Dw) Thật vậy, giả sử ngược lại, (x, λ, à)∈ S p (D w ), nghĩa là tồn tại (β 1 , β 2 )∈ intR 2 + sao cho β1fe1(z, λ, à) +β2fe2(z, λ, à) ≤ β1fe1(x, λ, à)
Với bất kỡ à ∈ (0,1), lấy λ = (λ 1 , λ 2 ) với λ 1 = 1−à
2 ta có (z, λ, à) ∈ Cw, ∀z ∈ R Hơn nữa, với mọi z ∈R đủ lớn, fe 1 (z, λ, à)−fe 1 (x, λ, à) =z(1 +à)−à+à > 0, fe2(x, λ, à)−fe2(z, λ, à) = z(1−à) +à−à > 0,
Do đó và từ (1.44) ta thu được β1 β 2 ≥ fe1(z, λ, à)−fe1(x, λ, à) fe 2 (x, λ, à)−fe 2 (z, λ, à) = z(1 +à)−à+à z(1−à) +à−à (1.45)
Khi vỡ phân số cuối trong (1.45) và tiến đến giới hạn khi \( a \to 1 \) và \( z \to \infty \), chúng ta nhận được một mâu thuẫn.
Chương 2 Điều kiện tối ưu và đối ngẫu cho các nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn
Chương 2 trình bày các điều kiện cần thiết cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu trong bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức, sử dụng công cụ giải tích biến phân Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm hữu hiệu được nêu ra dựa trên giả thiết về tính lồi suy rộng dưới ngôn ngữ vi phân giới hạn Ngoài ra, chương này cũng đề cập đến các định lý đối ngẫu yếu và mạnh kiểu Wolfe cùng với Mond - Weir.
2.1 Các kết quả bổ trợ
Ta kí hiệu chuẩn trong không gian tuyến tính định chuẩn là k.k Trong không gianX×Y thì chuẩn được xác định bởik(x, y)k =kxk+kyk, ∀x∈
Trong không gian X, với X và đối ngẫu X* được ký hiệu là h., i., hình cầu đóng B_X(x, r) có tâm x ∈ X và bán kính r > 0 Hình cầu đơn vị đóng trong X thường được ký hiệu là B_X Bao đóng tôpô của tập hợp Ω ⊂ X được ký hiệu là clΩ, trong khi phần trong tôpô của Ω được ký hiệu là intΩ Nón cực của Ω ⊂ X là tập hợp các điểm liên quan.
Trong chương này, không gian X được giả định là không gian Ausplund, một loại không gian Banach, trong đó mọi không gian con tách được của X đều có đối ngẫu tách được.
Nhắc lại: Không gian định chuẩn X (vô hạn chiều) được gọi là tách được nếu X có một tập con đếm được trù mật trong X.
Kí hiệu R m + là orthant không âm của R m với m ∈N, m :={1,2, }. Cho hàm đa trị F :X ⇒X ∗ từ X vào X ∗ Ta kí hiệu
−→ x ∗ , x ∗ n ∈F(xn), ∀n ∈ N} là giới hạn trên/ ngoài Painlevé - Kuratowski dãy củaF khi x→ x, trong đó kí hiệu w
Sự hội tụ theo tôpô yếu của không gian X ∗ được thể hiện qua tập hợp Ω ⊂ X Tập Ω được coi là đóng quanh điểm x ∈ Ω nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho giao của Ω với phần đóng của U là tập đóng Hơn nữa, Ω được gọi là đóng địa phương nếu nó bị đóng quanh mọi điểm x ∈ Ω.
Các nón pháp tuyến Fréchet của Ω quanh x∈ Ω được xác định bởi
Nb(x,Ω) :( x ∗ ∈ X ∗ | Lim sup x −→x Ω hx ∗ , x−xi kx−xk ≤ 0
, (2.1) trong đó x−→ Ω x nghĩa là x→ x với x ∈ Ω.
Nếu x /∈ Ω ta đặt Nb(x,Ω) =∅. Nón pháp tuyến Mordukhovich Nb(x,Ω) của Ω tại x ∈ Ω nhận được từ nón pháp tuyến Fréchet bằng cách lấy giới hạn trên Painlevé - Kuratowski dãy như sau
Nb(x,Ω) (2.2) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Điểm x ∈ Ω 1 ∩ Ω 2 được coi là một điểm cực trị địa phương của hai tập hợp Ω 1 và Ω 2 trong không gian X nếu tồn tại một lân cận U của x, trong đó với mọi ε > 0, luôn có ít nhất một điểm a thuộc vào εBX.
Chú ý rằng điều kiện Ω1 ∩ Ω2 = {x} không nhất thiết kéo theo x là một điểm cực trị địa phương của {Ω 1 ,Ω2} Để minh họa điều này, ta xét
Giả sử X là không gian Asplund, nguyên lý cực trị xấp xỉ đúng trong X có nghĩa là nếu x ∈ Ω 1 ∩ Ω 2 là một điểm cực trị địa phương của Ω 1 và Ω 2, thì với mọi ε > 0, tồn tại x_1 ∈ Ω 1 ∩ B_X(x, ε) và x_2 ∈ Ω 2 ∩ B_X(x, ε).
Cho hàm thực mở rộng ϕ :X →R := [−∞,∞] Ta đặt domϕ :={x∈ X |ϕ(x) < ∞}, epiϕ :={(x, à) ∈X ìR|à ≥ ϕ(x)}.
Dưới vi phân Mordukhovich và dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x∈ X với
∂ϕ(x)b ⊂ ∂ϕ(x), ∀x ∈X. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Cho f : X → R m và y ∗ ∈ R m , ta định nghĩa hy ∗ , fi(x) := hy ∗ , f(x)i, x ∈
Các kết quả tiếp theo là các công thức vô hướng hóa của đối đạo hàm.
Bổ đề 2.1 [7, 8] Cho y ∗ ∈R m và f : X → R m là hàm liên tục Lipschitz quanh x∈ X Ta có
Quy tắc tổng dưới vi phân giới hạn sau là cần thiết có các chứng minh tiếp theo.
Điều kiện tối ưu
Phần này trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu.
ChoΩlà tập con khác rỗng, đóng địa phương của X vàK :={1,2, , m};
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các tập chỉ số I và J, với I := {1,2, , p} ∪ ∅ và J := {1,2, , q} ∪ ∅ Giả sử có các hàm vectơ f := (f 1 , f 2 , , f m ); g := (g 1 , g 2 , , g p ) và h := (h 1 , h 2 , , h q ) có thành phần Lipschitz địa phương trên không gian X Chúng ta cũng giả định rằng Ω luôn thỏa mãn điều kiện (SNC) tại điểm đang xem xét, điều này tự động được đảm bảo khi X là không gian hữu hạn chiều.
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc (P) sau: min
{f(x)|x∈ C}. Ở đây, tập C được xác định bởi
C := {x ∈ Ω|g i (x) ≤ 0, i ∈ I, h j (x) = 0, j ∈J} Định nghĩa 2.1 (i) Một điểm x ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) và được ký hiệu là x ∈ S(P).
(ii) Điểmx ∈ C được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P) và viết x∈ S w (P), nếu
I(x) := {i ∈ I |gi(x) = 0}, J(x) := {j ∈ J |hj(x) = 0}. Định nghĩa 2.2 Ta nói điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x ∈ Ω nếu không tồn tại βi ≥ 0, i ∈I(x) và γj ≥ 0, j ∈J(x) sao cho
Khi xét x ∈ C trong (2.7) với Ω = X, điều kiện (CQ) thỏa mãn do điều kiện chính quy Mangasarian - Fromovitz trong bài toán trơn.
Bây giờ ta phát biểu điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (KKT) Điểmx∈ C thỏa mãn điều kiện (KKT) nếu tồn tại λ := (λ1, λ2, , λm) ∈
Nếu f, g, h là các hàm trơn, điều kiện (2.8) trở thành điều kiện Karush - Kuhn - Tucker cổ điển Định lý 2.1 nêu rõ một điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu (yếu) của bài toán (P) với điều kiện (CQ) Cụ thể, nếu điều kiện (CQ) được thỏa mãn tại x ∈ Ω và x thuộc S w (P), thì x sẽ thỏa mãn điều kiện (KKT).
Chứng minh Đặt y := f(x) và giả sử f là hàm Lipschitz quanh x với hằng số
` > 0 Trước hết, ta chứng minh rằng với mỗi k ∈ N, tồn tại x 1k ∈
Nb(x 1k ;C) với kx ∗k k ≤`+ 1 và λ k ∈ Nb(y k ;y −R m +) với kλ k k = 1 sao cho
Ta thấy rằng, (x, y) là một diểm cực trị địa phương của {Ω 1 ,Ω 2 } Nếu không, đối với bất kì lân cận U nào của (x, y) tồn tại εU >0 sao cho với mỗi a∈ ε U B X × R m ,
Do đó, ta chọn a := (a 1 , a 2 ) ∈ ε U B X × R m với a 1 := 0 ∈ X, a 2 ∈ − intR m +.
Do (2.10), tồn tại (x, f(x)) ∈ U thỏa mãn
(x, f(x))∈ C ×(y−R m +) + (0, a 2 ). Điều này kéo theo x ∈C và f(x)−y ∈a 2 −R m + Mối quan hệ thứ hai cho ta f(x)−f(x) ∈ −intR m +, mâu thuẫn vớix ∈ S w (P) Vậy, (x, y) là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2}.
Ta chọn ε k > 0 thỏa mãn εk 0\), ta chia (2.16) cho \(k y_k^{1^*}\) Đặt \(x^{*k} := x^{1^*} k y^{1^*} k \in Nb(x_{1k}; C)\) và \(\lambda_k := y_k^{1^*} k y^{1^*} k \in Nb(y_k; y - R^m_+)\), ta có \(\|\lambda_k\| = 1\) và \(\|x^{*k}\| \leq \epsilon + 1\) Bất đẳng thức này đúng nhờ (2.17) và (2.11) Sử dụng (2.11) một lần nữa, ta có (2.9) từ (2.16).
Tiếp theo, ta chỉ ra sự tồn tại của λ ∈ N(y, y −R m +) với kλk = 1 sao cho
0 ∈ ∂hλ, fi(x) +N(x, C) (2.19) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Theo sự khẳng định trong (2.9), chuỗi {x ∗k } và {λ k } bị chặn Hơn thế, do X là Asplund, không mất tính chất tổng quát ta giả sử rằng x ∗k w
Khi xem xét các yếu tố trong không gian X, ta có x ∗ ∈ X và λ k → λ ∈ R m khi k → ∞ với điều kiện kλk = 1 Theo định nghĩa của nón pháp tuyến Mordukhovich, ta kết luận rằng x ∗ ∈ N(x, C) và λ ∈ N(y; y − R m +) Hơn nữa, từ (2.9), với mỗi k ∈ N, ta có x ∗k ∈ ∂hλb k, fi(x 2k) và b ∗k ∈ BX ∗, sao cho ex ∗k := −x ∗k − 1 kb ∗k Để giữ tính chất tổng quát, ta giả sử rằng b ∗k w.
−→∗ b ∗ ∈BX khi k → ∞, và do đó xe ∗k −→ −x w ∗ ∗ khi k → ∞ Theo Bổ đề 2.1 bao hàm thức x ∗k ∈∂hλb k , fi(x 2k ) tương đương với
, k ∈ N (2.20) Cho k → ∞ trong (2.20) và lưu ý (2.2) ta nhận được
(−x ∗ ,−λ) ∈ N((x, f(x)); gphf). Điều này tương đương với
−x ∗ ∈ ∂hλ, fi(x) do Bổ đề 2.1 Vì thế, (2.19) được chứng minh. Đặt
Khi đó, ta cóC = Ω∩Ω Điều kiện (CQ) thỏa mãn tạie x, cho nên không tồn tạiβi ≥ 0, i ∈ I(x)và γj ≥ 0, j ∈ J(x) =J sao cho P i∈I(x) βi+ P j∈J (x) γj 6= 0 và
0 ∈ X i∈I (x) βi∂gi(x) + X j∈J (x) γj(∂hj(x)∪∂(−h j )(x)). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(2.21) bởi vì điều kiện (CQ) thỏa mãn tại x vàΩ được giả thiết là SNC tại điểm này, áp dụng Bổ đề 2.4 ta có
N(x;C) = N(x;Ωe ∩Ω) ⊂ N(x;Ω) +e N(x; Ω). Điều này cùng với (2.19) và (2.21) dẫn đến
Do λ∈ N(y;y−R m +) = R m +, ta có thể giả định rằng λ := (λ 1 , λ 2 , , λ m ) ∈
R m + Sử dụng quy tắc tổng (2.6), do (2.22) ta nhận được
Cuối cùng, lấy βi := 0 với i /∈ I(x), từ (2.23) ta suy ra x thỏa mãn điều kiện (KKT) Định lý được chứng minh
Một ví dụ đơn giản dưới đây minh họa rằng kết luận của Định lý 2.1 có thể không chính xác nếu điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại điểm đang xem xét.
Ví dụ 2.1 xem xét hàm số f : R → R² được định nghĩa bởi f(x) := (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) := x, x ∈ R, cùng với các hàm g, h : R → R được xác định bởi g(x) := x² và h(x) := 0, x ∈ R Trong bài toán (P) với m = 2 và Ω = R, ta có C = {0}, dẫn đến x = 0 ∈ S_w(P) (= S(P)) Tuy nhiên, điều kiện (CQ) không được thỏa mãn tại x, và x cũng không thỏa mãn điều kiện (KKT).
Một điểm thỏa mãn điều kiện KKT trong (2.8) không nhất thiết là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (P), ngay cả khi trường hợp là trơn Ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho điều này.
Ví dụ 2.2 xem xét hàm số f : R → R² được định nghĩa bởi f(x) := (f₁(x), f₂(x)) với f₁(x) = f₂(x) := x³, x ∈ R, cùng với các hàm g, h : R → R được xác định bởi g(x) := -x² và h(x) := 0, x ∈ R Trong bài toán (P) với m = 2 và Ω = R, ta có C = R, do đó x = 0 ∈ C và thỏa mãn điều kiện KKT, nhưng x lại không thuộc S w (P) Để trình bày các điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm hữu hiệu (yếu) của bài toán tối ưu (P), định lý tiếp theo sẽ cần các khái niệm lồi affine mở rộng cho hàm Lipschitz địa phương Định nghĩa 2.3 cho biết (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω, zₖ* ∈ ∂fₖ(x), k ∈ K, xᵢ* ∈ ∂gᵢ(x), i ∈ I, yⱼ* ∈ ∂hⱼ(x).
∂(−hj)(x)j ∈J, tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho fk(x)−fk(x) ≥ hz ∗ k , vi, k ∈ K, g i (x)−g i (x) ≥ hx ∗ i , vi, i ∈ I, hj(x)−hj(x) =ωjhy ∗ j , vi, j ∈ J, trong đó ω j = 1 (tương ứng ω j = −1) khi y j ∗ ∈ ∂h j (x) (tương ứng y j ∗ ∈ ∂(−hj)(x)).
(ii) Ta nói (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại x ∈ Ω nếu với mọi x ∈ Ω\ {x}, z k ∗ ∈ ∂f k (x), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂g i (x)i ∈ I, y ∗ j ∈ ∂h j (x)∪
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các điều kiện tồn tại cho các hàm số trong không gian tối ưu Cụ thể, với mỗi \( j \in J \), tồn tại một \( v \in N(x; \Omega) \) sao cho \( f_k(x) - f_k(x) > h z_k^* \) với \( v_i, k \in K \) Đồng thời, điều kiện \( g_i(x) - g_i(x) \geq h x^*_i \) cũng được thỏa mãn cho \( v_i, i \in I \) Hơn nữa, chúng ta có \( h_j(x) - h_j(x) = \omega_j h y^*_j \) với \( v_j, j \in J \) Cuối cùng, trong luận văn tốt nghiệp, \( \omega_j = 1 \) khi \( y_j^* \in \partial h_j(x) \) và \( \omega_j = -1 \) khi \( y_j^* \in \partial(-h_j)(x) \).
Nếu Ω là tập lồi và f k, g i là các hàm lồi, cùng với hj là các hàm affine, thì bộ ba (f, g, h) sẽ là L-lồi bất biến trên Ω tại điểm x ∈ Ω với v := x−x cho mọi x ∈ Ω Theo Định lý 2.2, nếu x ∈ C thỏa mãn điều kiện KKT, thì các điều kiện này sẽ được áp dụng.
(i) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến trên Ω tại x thì x ∈S w (P).
(ii) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại x thì x∈ S(P).
Do x∈ C thỏa mãn điều kiện (KKT) nên tồn tại λ := (λ 1 , λ 2 , , λ m ) ∈
∂fk(x), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂gi(x), i ∈ I với àigi(x) = 0 và y j ∗ ∈ ∂hj(x) ∪
Trước hết ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại x /∈ S w (P) Điều này có nghĩa là tồn tại xb∈ C sao cho f(x)b −f(x) ∈ −intR m + (2.25)
Theo định nghĩa của nón cực và do (f, g, h) là L - lồi bất biến, từ (2.24) ta suy ra với xbnhư vậy thì tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho
0 ≤ P k∈K λ k hz k ∗ , vi+P i∈I à i hx ∗ i , vi+ P j∈J γ j hy j ∗ , vi
≤ P k∈K λk[fk(x)b −fk(x)]+P i∈I ài[gi(x)b −gi(x)]+P j∈J
Trong bài viết này, chúng ta xem xét biểu thức tổng quát dưới dạng \$\sum_{k \in K} \lambda_k f_k(bx) + \sum_{i \in I} a_i g_i(x) + b \sum_{j \in J} \sigma_j h_j(x)\$, trong đó \$\sigma_j = \gamma_j \omega_j \in \mathbb{R}\$ với \$j \in J\$ Lưu ý rằng \$a_i g_i(x) = 0\$ và \$a_i g_i(bx) \leq 0\$ cho mọi \$i \in I\$, cũng như \$h_j(x) = 0\$ cho mọi \$j \in J\$ Do đó, chúng ta có thể rút ra những kết luận quan trọng từ các điều kiện này.
Do đó, tồn tại k 0 ∈ K sao cho f k 0 (x) ≤ f k 0 (x),b (2.26) bởi vì λ ∈ R m + \ {0} Kết hợp (2.26) với (2.25) dẫn đến một mâu thuẫn. Điều đó chứng tỏ (i) đúng.
Giờ ta sẽ chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, x /∈ S(P) Điều đó có nghĩa là tồn tại bx∈ C sao cho f(bx)−f(x) ∈ −R m + \ {0} (2.27)
Theo định nghĩa của nón cực và do (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt, và λ ∈R m + \ {0}, ta suy ra từ (2.24) rằng với xbnhư vậy, tồn tại v ∈ N(x; Ω) o sao cho
0 ≤ P k∈K λ k hz k ∗ , vi+P i∈I à i hx ∗ i , vi+ P j∈J γ j hy j ∗ , vi
< P k∈K λk[fk(bx)−fk(x)]+P i∈I ài[gi(bx)−gi(x)]+P j∈J
Do đó, X k∈K λ k f k (x)+X i∈I à i g i (x)+X j∈J σ j h j (x) < X k∈K λ k f k (bx)+X i∈I à i g i (bx)+X j∈J σ j h j (bx), trong đó, σj = γ j ωj
∈ R, j ∈ J Ta cú àigi(x) = 0, àigi(x)b ≤ 0i ∈ I và hj(x) = 0, hj(x) = 0b j ∈J Vì vậy, ta có luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
≤ P k∈K λ k f k (x).b Điều này kéo theo tồn tại k0 ∈K sao cho f k 0 (x) < f k 0 (x).b
Cùng với (2.27) ta đẫn đến mâu thuẫn Do đó (ii) đúng Định lý được chứng minh.
Các định lý đối ngẫu
Đối ngẫu kiểu Wolfe
Cho z ∈ X, λ := (λ1, , λm) ∈ R m +, à := (à1, à2, , àp) ∈ R p +, γ : (γ1, γ2, , γq) ∈ R q + và e := (1, ,1) ∈ R m Trong bài toán (P), ta xem xét bài toán tối ưu đa mục tiêu đối ngẫu kiểu Wolfe của bài toán (P): max
{fe(z, λ, à, γ) := f(z)+hà, g(z)ie+hγ, h(z)ie|(z, λ, à, γ) ∈Cw} (Dw) Ở đây, tập ràng buộc Cw được xác định bởi
Cw :(z, λ, à, γ) ∈ ΩìR m + ìR p +ìR q + |0 ∈ X k∈K λk∂fk(z)
+X i∈I ài∂gi(z) +X j∈J γj(∂hj(z)∪∂(−hj)(z)) +N(z,Ω), hλ, ei = 1, h(z) ∈ (γ−S(0,kγk)) o
(2.28) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si trong đó S(0,kγk)) := {σ ∈ R q | kσk =kγk}.
Một nghiệm hữu hiệu (nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán "max" như đối ngẫu (D w) được định nghĩa bằng cách thay thế −R m + (-intR m +) bởi R m + (intR m +) Tập nghiệm hữu hiệu của bài toán (D w) được kí hiệu là S(D w) (S w (D w)) Để thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu: u ≺ v nếu u−v ∈ -intR m +, và u ⊀ v là phủ định của u≺ v; u v nếu u−v ∈ −R m + \ {0}, và u v là phủ định của u v Định lý 2.3 mô tả mối quan hệ tính đối ngẫu yếu giữa bài toán xuất phát (P) và bài toán (D w) Nếu (f, g, h) là L-lồi bất biến trên Ω tại z thì f(x) ⊀ fe(z, λ, à, γ).
(ii) Nếu (f, g, h) là L - lồi bất biến chặt trên Ω tại z thì f(x) fe(z, λ, à, γ).
Do (z, λ, à, γ) ∈ Cw, tồn tại λ := (λ1, , λm) ∈R m +, à := (à1, à2, , àp)
∈ R p +, γ := (γ 1 , γ 2 , , γ q ) ∈ R q +, z k ∗ ∈ ∂f k (z), k ∈ K, x ∗ i ∈ ∂g i (z), i ∈ I và y j ∗ ∈ ∂hj(z)∪∂(−hj)(z), j ∈ j, sao cho
∈ N(z; Ω) (2.29) hλ, ei, hγ −σ, h(z)i ≤ 0, ∀σ ∈ R q , kσk = kγk (2.30) Đầu tiên ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại, f(x) ≺ fe(z, λ, à, γ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vỡ thế,hλ, f(x)− fe(z, λ, à, γ)i < 0 Điều này tương đương với bất đẳng thức sau: hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i < 0 (2.31)
Theo định nghĩa của nón cực và tính chất L - lồi bất biến của (f, g, h) trên Ω tại z, từ (2.29) ta suy ra với mỗi x, tồn tại v ∈ N(z,Ω) o sao cho
0 ≤ P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
≤ P k∈K λk[fk(x)−fk(z)]+P i∈I ài[gi(x)−gi(z)]+P j∈J
1 ωj γj[hj(x)−hj(z)]. Đặt σj := γj ω j ∈ R, j ∈J, ta có
0 ≤ hλ, f(x)−f(z)i+ hà, g(x)−g(z)i+ hσ, h(x)−h(z)i, (2.32) trong đú, σ := (σ1, , σq) ∈ R q Do x ∈ C nờn ta cú hà, g(x)i ≤ 0, hσ, h(x)i = 0 Vì vậy, (2.32) dẫn đến
Vì kσk =kγk, kết hợp (2.30), (2.31) và (2.33) ta dẫn đến mâu thuẫn Vì vậy (i) đã được chứng minh.
Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, f(x) fe(z, λ, à, γ) (2.34)
Vỡ thế, hλ, f(x)−fe(z, λ, à, γ)i ≤ 0 tương đương với bất đẳng thức sau hλ, f(x)−f(z)i − hà, g(z)i − hγ, h(z)i ≤ 0 (2.35)
Từ (2.34) ta có x 6=z Thật vậy, nếu x =z thì f(x)−fe(z, λ, à, γ) =−hà, g(x)ie− hγ, h(x)ie.
Do x ∈ C,hà, g(x)i ≤ 0 và hγ, h(x)i = 0 Vỡ vậy, (2.34) kộo theo
Trong bài viết này, chúng ta xem xét rằng nếu \( g(x) \in -\mathbb{R}^m + \{0\} \), điều này không thể xảy ra, dẫn đến \( x \neq z \) Dựa vào định nghĩa của nón cực và tính chất L - lồi bất biến chặt của \( (f, g, h) \) trên miền \( \Omega \), từ (2.29) suy ra rằng với mỗi \( x \), tồn tại \( v \in N(z, \Omega) \).
0 ≤ P k∈K λkhz k ∗ , vi+P i∈I àihx ∗ i , vi+ P j∈J γjhy j ∗ , vi
0