SKKN Rèn kĩ năng giải phương trình quy về phương trình bậc hai cho học sinh lớp 9

Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đạisố 8, 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trìnhbậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, ph

PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A Tình hình thực tế trước khi thực hiện đề tài:

B Nội dung và biện pháp thực hiện

I Một số kiến thức và kĩ năng cần thiết khi giải phương trình

II Phương trình quy về phương trình bậc hai

III Một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

1) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

PHẦN IV – KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Bài học kinh nghiệm

II Những đề xuất sau khi thực hiện đề tài

I Kết luận

252526

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ

A Lí do chọn đề tài:

1 Cơ sở lý luận

Việc dạy đúng chuẩn mực kiến thức của chương trình là một nhiệm vụquan trọng của mỗi người giáo viên đứng lớp Tuy nhiên, việc bồi dưỡng chohọc sinh khá, giỏi cũng là một việc làm rất cần thiết phải được tiến hànhthường xuyên ở trong các nhà trường phổ thông trung học cơ sở Việc bồidưỡng giúp cho học sinh khá không chỉ nắm vững những kiến thức, kỹ năng

cơ bản mà còn có thói quen suy nghĩ, tìm hiểu kỹ vấn đề để rồi suy luận mộtcách hợp logíc tìm ra được cách giải những bài tập khó, giúp các em rèn tríthông minh sáng tạo, có hứng thú trong khi học môn toán

Đối với môn toán lớp 8, 9 thì “ phương trình ” là phần kiến thức trọngtâm, là phần kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi vào trung họcphổ thông và thi học sinh giỏi Do đó, theo tôi học sinh cần nắm thật chắcchắn mảng kiến thức này, đặc biệt là học sinh khá giỏi cần có cái nhìn thậtđầy đủ về “ phương trình quy về phương trình bậc hai” Sau khi nghiên cứukhá nhiều tài liệu tham khảo viết về vấn đề này tôi thấy, các tác giả đã đưa racác bài toán rất đa dạng và phong phú, tuy nhiên các dạng bài còn tản mạn,nằm trong nhiều tài liệu khác nhau, do đó gây không ít khó khăn cho việc dạycủa giáo viên và của học sinh

2 Cơ sở thực tiễn

Toán học là một môn khoa học trừu tượng, đóng vai trò quan trọng trongđời sống con người, trong việc nghiên cứu khoa học Khi học toán các em sẽnắm bắt được nhiều phương pháp suy luận, chứng minh, nhiều kỹ năng tínhtoán, phân tích tổng hợp, giải quyết được nhiều bài toán thực trong cuộcsống

Việc bồi dưỡng học sinh giỏi là một việc làm rất cần thiết trong các nhàtrường THCS Để là học sinh giỏi, các em cần được rèn luyện, phát triển tưduy sáng tạo, mở rộng, đào sâu kiến thức

Sự phân hoá đối tượng trong học sinh hiện nay về năng lực nổi lên rất rõ Sốhọc sinh các lớp chuyên, chọn chiếm một tỷ lệ tương đối lớn, do đó nhu cầuđược nâng cao, mở rộng kiến thức của các em học sinh là rất lớn

Căn cứ vào thực tế dạy học tôi thấy, phần kiến thức về phương trình vàphương trình đưa về phương trình bậc hai ở chương trình THCS chưa được

đề cập đến nhiều Để dạy bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi đòi hỏi người giáoviên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn tài liệu cho riêng mình Chính vì thếnội dung bồi dưỡng phần kiến thức này chưa có sự thống nhất, gây không ítkhó khăn cho người học và người dạy

Nghiên cứu sách giáo khoa và chương trình hiện hành ta thấy: SGK đại

số 8, 9 đã đưa ra cho học sinh một số loại phương trình quy về phương trìnhbậc hai như: phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỷ, phương trìnhtrùng phương, đưa vào ẩn mới song nhìn chung mức độ yêu cầu về loại nàychỉ dừng lại ở mức độ nhận dạng, chỉ phù hợp với học sinh đại trà, còn vớicác em học sinh ở các lớp chuyên, lớp chọn nếu dừng lại ở yêu cầu trên thìchưa đủ, vì vậy cũng cần hệ thống, phân loại và giới thiệu với các em vềmảng kiến thức “phương trình quy về phương trình bậc hai”

Trước tình hình đó, sau khi nghiên cứu kỹ các tài liệu, tôi mạnh dạn đưa

ra một hệ thống kiến thức nói về “phương trình quy về phương trình bậc hai”với một mong ước là làm tài liệu ôn tập, nhằm tạo điều kiện thuận lợi hơncho người dạy và người học trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi

“Một số dạng phương trình đưa về phương trình bậc hai” là một hệthống kiến thức có đặc thù riêng, được tích hợp từ nhiều tài liệu khác nhau.Nói về cách giải của một số loại phương trình quy về phương trình bậc hainhư: Phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình bậc ba; phương trình bậcbốn; phương trình vô tỷ Với mỗi loại phương trình sau khi trình bày cáchgiải đều có kèm theo các ví dụ minh hoạ, cuối mỗi dạng còn có các nhận xét

và những lưu ý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận với vấn đề cần nghiêncứu

B Mục đích và phương pháp nghiên cứu:

1 Mục đích:

Sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu và chọn ra một hệ thống kiếnthức cơ bản nhất, chung nhất về các dạng phương trình đưa về phương trìnhbậc hai nhằm:

+ Giúp cho giáo viên có tài liệu để bồi dưỡng học sinh giỏi

+ Giúp cho học sinh có một cái nhìn thật đầy đủ về phương trình đưa được

về phương trình bậc hai, từ đó có những thao tác tư duy nhanh nhạy, sángtạo, có kỹ năng nhuần nhuyễn trong việc giải các dạng phương trình này.+ Giúp học sinh tự tin trong khi giải toán hoặc trong thi cử

C Phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng: Học sinh lớp 9

- Thời gian nghiên cứu: 2 năm

D Phương pháp nghiên cứu:

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

1 Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các ví dụ, bài tập để minh họa hợp lý từ đó

giúp học sinh nắm được cách làm

- Tổ chức cho học sinh được bồi dưỡng để triển khai đề tài

- Thực hiện chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp

- Dạy học thực tế trên lớp để đúc rút kinh nghiệm

- Thông qua học tập bồi dưỡng, thường xuyên trau dồi chuyên môn

- Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của các giáo viên có kinh nghiệm củatrường trong những năm học trước và vốn kinh nghiệm của bản thân trongnhững năm giảng dạy tại trường THCS

- Phân tích và tổng kết kinh nghiệm giáo dục khi áp dụng nội dung đangnghiên cứu vào thực tiễn giảng dạy, nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm

mà học sinh thường mắc phải khi giải toán

2 Đối với học sinh:

- Làm bài tập giáo viên giao, các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập cóliên quan đến nội dung đề tài

- Sau khi giáo viên hướng dẫn qua các ví dụ thì phải nắm chắc và biết vận

dụng vào làm các bài toán cùng loại

PHẦN II – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A) Tình hình trước khi thực hiện đề tài

Qua 4 năm giảng dạy lớp 9, khi giảng dạy về giải phương trình quy vềphương trình bậc hai tôi thấy:

- Nội dung này được đưa vào một tiết trong chương trình toán 9 (tiết 60)

- Học sinh chưa biết cách giải mặc dù phương trình trong sách giáo khoa rấtđơn giản Trước tình hình đó tôi tiến hành kiểm tra khảo sát kỹ năng giảiphương trình vô tỉ của học sinh lớp 9 mình dạy với đề bài:

Giải các phương trình sau:

   

2 2

- Qua bảng kết quả trên ta thấy ba ví dụ đầu thì học sinh giải được vì các em

đã được làm quen với một số bài tập trong sách giáo khoa nên số học sinhgiỏi và khá tương đối cao ở ví dụ d và e thì hầu hết học sinh chưa có kỹ nănglàm chưa biết cách giải thích hợp có một số bài đạt điểm giỏi nhưng số lượngkhông nhiều mà chủ yếu rơi vào mức độ trung bình và yếu

* Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến thực trạng trên

Qua tìm hiểu xem xét và phân tích tôi thấy một số nguyên nhân dẫn đến thựctrạng trên là: - Thứ nhất: Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh phải có kĩ năngtính toán, biến đổi thành thạo, nắm chắc các kiến thức được học

- Thứ hai: Các dạng bài nằm rải rác trong chương trình học ở THCS nên họcsinh còn gặp khó khăn trong cách vận dụng kiến thức

- Thứ ba: Học sinh chưa nắm được dạng bài tập cơ bản nên rất lúng túngtrong việc giải các bài tập nâng cao

B) Những nội dung và biện pháp thực hiện

I MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI HỌC VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

Khi học về giải phương trình học sinh cần nắm được một số kiến thức

và kỹ năng sau:

+ Các quy tắc tính toán với các biểu thức đại số (các phép tính cộng, trừ,nhân, chia)

+ Các hằng đẳng thức đáng nhớ

+ Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

+ Kiến thức về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức đại số

+ Điều kiện để cho một biểu thức có nghĩa (biết tìm tập xác định của phươngtrình, tập xác định của một biểu thức

+ Kỹ năng biến đổi các biểu thức

+ Kỹ năng giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn, phương trình chứa

ẩn ở mẫu (dạng cơ bản)

II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Nhắc lại về phương trình bậc hai một ẩn số

a Định nghĩa:

+ Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng tổng quát:

ax2+bx+c =0 (trong đó x là ẩn; a,b,c là các hệ số thuộc tập R; a0)

+ Nghiệm của một phương trình bậc hai là những giá trị của ẩn số mà khithay vào vế trái của phương trình ta được giá trị của hai vế bằng 0

b Giải phương trình bậc hai

Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a

0) ta cần quan tâm tới dấu của biệt sốcủa phương trình:=b2 - 4ac

+ Nếu < 0: Phương trình bậc hai vô nghiệm

+ Nếu = 0: Phương trình bậc hai có nghiệm kép: x1 = x2= b

+ Nếu ’= 0: Phương trình có nghiệm kép

+ Nếu ’> 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

III MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Trong trường phổ thông ta thường gặp một số dạng phương trình quy về phương trình bậc hai sau:

1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là những phương trình có ẩn số nằm ở mẫu thứccủa phương trình

Hướng dẫn học sinh:

Điều kiện: x a, x b : 

Ta có: a b 2

x b  x a 2(x a)(x b) a(x a) b(x b)

Ví dụ 2 Giải phương trình

02x 3x  8x 12 x   4 2x 7x 6 2x 3    (2)

Hướng dẫn học sinh: Phân tích mẫu thức thành nhân tử ta có

Giải phương trình : x2- 6x + 5= 0 ta được 2 nghiệm: x1= 1, x2= 5

Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy x1 = 1 và x2 = là hai nghiệm của pt (2)

c Nhận xét:

+ Loại phương trình chứa ẩn ở mẫu là loại thường gặp ở trường phổ thông.+ Khi giải loại này cần lưu ý: Cần so sánh các giá trị tìm được của ẩn vớiTXĐ trước khi kết luận về nghiệm của phương trình

2 Phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba (một ẩn số) là phương trình có dạng tổng quát:

ax3+bx2+cx+d =0 Trong đó x là ẩn số; a, b, c, d là các hệ số; a0

a) Cách giải

Để giải một phương trình bậc ba (đối với học sinh THCS) ta thường phải biếnđổi đưa về phương trình tích, ở đó vế trái là tích của một nhân tử bậc nhất vớimột nhân tử bậc hai, còn vế phải bằng 0 Muốn vậy HS cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

Giải phương trình (1) cho nghiệm x = -1

Giải phương trình (2) cho nghiệm x = -2 và x = -1

2Vậy phương trình (*) có tập nghiệm S ={ - 1; 2; 1

2

  }

Ví dụ 2 Cho phương trình x3-(2a+1)x2+(a2+2a-b)x-(a2-b) = 0 (1)

Giải và biện luận theo a,b số nghiệm của phương trình đã cho

Hướng dẫn học sinh: Phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên có

nghiệm x1 = 1 Do đó pt (1) có thể viết: (x-1)(x2-2ax+a2-b) = 0

Xét PT bậc hai: x2- 2ax + a2-b = 0 (2)

’= b

* Nếu b < 0: phương trình (2) vô nghiệm

 phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

* Nếu b = 0: phương trình(2) có nghiệm kép: x = a

 phương trình (1) có hai nghiệm: x = 1; x = a

* Nếu b > 0: phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt: x = 1; x = a+  ; x = a- 

+ Ta cần chú ý tới hai tính chất của phương trình bậc ba: ax3+ bx2+ cx + d = 0

Nếu a + b + c + d = 0 thì trong các nghiệm của phương trình ban đầu sẽ

Với loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đặt ẩn phụ x2= t ≥ 0.

Từ đó ta có một phương trình bậc hai trung gian: at2 + bt + c = 0, giải phươngtrình bậc hai trung gian này rồi sau đó trả biến x2= t Nếu những giá trị của ttìm được thoả mãn t ≥ 0, ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: x4 - x2 - 6 = 0 (*)

Hướng dẫn học sinh: Đặt x2 = t  0 phương trình (*) trở thành: t2 - t - 6 = 0Giải phương trình t2 - t - 6 = 0 ta được t1=-2 ; t2=3 (GV chú ý sai sót học sinhthường gặp là PT ẩn t nhưng giải ra nghiệm x : x1 = -2 ; x2 = 3)

Với giá trị nào của tham số m thì phương trình trên

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

Khi 2 < m < 3 thì phương trình (***) có hai nghiệm dương phân biệt,

do vậy phương trình (**) có 4 nghiệm phân biệt (là hai cặp số đối nhau và khác nhau

b) Phương trình (**) có 3 nghiệm khi phương trình (***) có nghiệm x= 0 và nghiệm số thứ hai là số thực dương

Do vậy, trước hết phương trình (**) có dạng:

ax4 + bx2 = 0 (c = 0)

Do đó m - 3 =0 m = 3

Với m = 3 thì phương trình (**) trở thành:

x4- 4x2 = 0  x2(x2-4) = 0 Phương trình (**) có hai nghiệm: x1 = 2; x2= -2 và một nghiệm kép x3 = 0 c) Điều kiện để phương trình (**) có hai nghiệm:

*) Hoặc phương trình (***) có nghiệm kép dương

*) Hoặc phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt nhưng chỉ có một nghiệm dương, nghiệm còn lại là âm

d) Phương trình (**) vô nghiệm khi:

*) Phương trình (***) vô nghiệm

*) Hoặc phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm

+ Phương trình (***) vô nghiệm khi ’< 0

hay m2 - m - 2 < 0 (m+1)(m-2) < 0

Lập bảng xét dấu của tích (m+1)(m-2)

Ta xét dấu của các nhị thức bậc nhất m+1 và m-2 nhờ vào tính đồng biến, nghịch biến của đồ thị hàm số y= ax+ b (a0)

Ta thấy nghiệm của bất phương trình (m+1)(m-2) < 0 là -1 < m < 2 Vậy phương trình (***) vô nghiệm khi : -1 < m < 2

+ Phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm khi:

2

' 0

c

a

2(m 1) 0 b

0 a



 













Bảng xét dấu m 2 - m - 2

M - -1 2 

m+1 - 0 + 1 +

m-2 - 1 - 0 +

(m+1)(m-2) + 0 - 0 +

Nhờ bảng xét dấu ta thấy bất phương trình m2-m-20 cho nghiệm m 1; m 2

Vậy hệ tương đương với m1 hoặc m2

m < 3

m < 1Vậy phương trình (***) có hai nghiệm cùng âm khi m  -1

*) Tóm lại: Phương trình (**) vô nghiệm khi -1 < m < 2 hoặc m  -1

c) Nhận xét:

Nghiên cứu về số nghiệm của phương trình trùng phương:

ax4+ bx2+ c = 0(a0) ta có nhận xét+ Phương trình vô nghiệm khi:

*) Phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm: (< 0)

*) Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm xảy ra khi:

0c0ab0a

*)Phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép dương xảy ra khi:

0b02a

+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm kép t = 0 (xảy ra khi

b = c = 0) thì phương trình có nghiệm x = 0 (đây là 4 nghiệm trùng nhau)

+ Khi nói đến nghiệm số của phương trình trùng phương là số lẻ thì trong đóphải có nghiệm số kép.

 2t4 + 300t2 + 1250 = 82

 t4 + 150t2 + 584 = 0 (***)

Ta có v1 = - 75+71 =-4  Không thỏa mãn điều kiện v 0

v2 = -75 -71 =-146  Không thỏa mãn điều kiện v 0

Vậy phương trình (***) vô nghiệm phương trình (**) vô nghiệm

c) Nhận xét

Bằng phép biến đổi t = x+a b

2

, ta đưa được phương trình (x+a)4+(x+b)4 = c về một phương trình trùng phương (trung gian) có dạng tổng quát:

*) Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm không âm X0 thì phươngtrình đầu có nghiệm:

Như vậy: Nếu phương trình bậc hai trung gian X2 + BX + C = 0

+ Vô nghiệm hoặc chỉ có cả 2 nghiệm âm thì phương trình đầu vônghiệm

+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương, mộtnghiệm âm thì phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt

+ Nếu phương trình bậc trung gian có cả hai nghiệm dương (phân biệt)thì phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt

+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm dương và mộtnghiệm bằng 0 thì phương trình đầu có 3 nghiệm.

+ Nếu phương trình bậc hai trung gian có một nghiệm kép dương thì phươngtrình đầu có hai nghiệm kép phân biệt

5 Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)= m

Trong đó 4 hệ số a, b, c,d chia làm hai cặp, mỗi cặp 2 số có tổng bằng nhau,chẳng hạn: a+ d = b+c

a) Cách giải:

Nhóm (x+a) với (x+d); (x+b) với (x+c)

Khai triển tích đó đưa về phương trình dạng:

(x2+(a+d)x+ad)(x2+(b+c)x+bc) = m

Do a+d = b+c nên ta đặt x2+(a+d)x+k = t (k có thể là ad hoặc bc, hoặc tuỳ ý).Khi đó, ta sẽ đưa được phương trình về dạng:

At2 + Bt + C = 0 (A = 1)Giải phương trình này ta tìm được nghiệm của t (khi phương trình cónghiệm) Giải tiếp phương trình: x2+(a+d)x+k = t ta sẽ có kết luận về nghiệmcủa phương trình ban đầu

Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì đương nhiên phương trìnhban đầu vô nghiệm

b) Các ví dụ:

Ví dụ 1 Giải phương trình: (x+4)(x+5)(x+7)(x+8) = 4 (1)

Hướng dẫn học sinh: Nhận xét: Ta thấy 4+8 = 5+7 = 12

Ta biến đổi phương trình (1)