Kiến thức cơ sở về đại số
Mở rộng trường
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [18] Định nghĩa 1.1: Nếu K là một trường và K là trường con của một trường L, thì L được gọi là một mở rộng trường của K.
Không gian véctơ L trên trường K được xem là một mở rộng hữu hạn của K nếu chiều của L trên K là hữu hạn, ký hiệu [L :K] thể hiện chiều của không gian này và được gọi là bậc của mở rộng L trên K Theo định nghĩa, một phần tử α ∈ L được coi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại một đa thức một biến khác không trong K[x] mà α là nghiệm; ngược lại, α được gọi là phần tử siêu việt trên K.
2 ∈ R là đại số trên Q vì đa thức x 2 −2 ∈ Q[x] nhận √
Mệnh đề 1.4 khẳng định rằng với mỗi phần tử đại số \( \alpha \in L \) trên trường \( K \), tồn tại duy nhất một đa thức một biến bất khả quy trên \( K \) có bậc nhỏ nhất và hệ số cao nhất bằng 1, mà \( \alpha \) là nghiệm Đa thức này được gọi là đa thức tối tiểu của \( \alpha \) trên trường \( K \) Theo định nghĩa 1.5, một mở rộng \( L \) của \( K \) được xem là đại số nếu mọi phần tử trong \( L \) đều là đại số trên \( K \) Mệnh đề 1.6 chỉ ra rằng nếu \( L \) là một mở rộng hữu hạn của \( K \), thì \( L \) cũng là một mở rộng đại số trên \( K \).
Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và α ∈ L Ta ký hiệu
K(α) là trường con bé nhất của L chứa K và α Ta có
Mệnh đề 1.7 Cho α là một phần tử đại số trên K Khi đó K(α) =K[α] và [K(α) : K] bằng bậc của đa thức tối tiểu của α trên K.
ChoK là một trường con củaLvàα 1 , , α n ∈L Ký hiệuK(α 1 , , α n ) là trường con bé nhất của L chứa K và các phần tử α 1 , , α n Khi đó
Mở rộng L của K được gọi là hữu hạn sinh trên K nếu tồn tại các phần tử $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in L$ sao cho $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$.
Mệnh đề 1.9 Cho L là một mở rộng hữu hạn của K Khi đó L là hữu hạn sinh trên K.
Mệnh đề 1.10 khẳng định rằng nếu L = K(α 1 , , α n ) là một mở rộng hữu hạn sinh trên K và các phần tử α 1 , , α n là đại số trên K, thì L cũng là một mở rộng hữu hạn trên K Định nghĩa 1.11 chỉ ra rằng một trường L được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức trong L[x] có bậc dương đều có nghiệm trong L.
Mỗi trường K đều tồn tại một mở rộng đại số và một đóng đại số Mở rộng này được gọi là bao đóng đại số của K và được ký hiệu là K.
Trong ví dụ 1.12, ta xem xét dãy mở rộng trường Q ⊂ Q(√p) ⊂ R ⊂ C, với p là một số nguyên tố Độ chiều của Q(√p) trên Q là 2, với cơ sở {1, √p}, trong khi đó, độ chiều của C trên R cũng là 2, với cơ sở {1, i}, trong đó i là đơn vị ảo thỏa mãn i² = -1 R được coi là một không gian véctơ vô hạn chiều.
Q.c) Tập Q tất cả các số phức đại số trên Q lập thành một trường và là bao đóng đại số của Q Mở rộng Q không là một mở rộng hữu hạn của Q.
Kết thức
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [8] Định nghĩa 1.13 nêu rõ rằng cho hai đa thức \( f, g \in K[x] \) có bậc dương, với \( f = a_m x^m + \ldots + a_0 \) (với \( a_m \neq 0 \)) và \( g = b_n x^n + \ldots + b_0 \) (với \( b_n \neq 0 \)).
Kết thức (resultant) củaf và g đối với x, ký hiệu res(f, g, x), là định thức của ma trận Sylvester cấp (m+n) xác định như sau
, trong đó số dòng các hệ số của f là n và số dòng các hệ số của g là m.
Mệnh đề 1.14 Hai đa thức f, g ∈K[x] có nhân tử chung trong K[x] khi và chỉ khi res(f, g, x) = 0.
Mệnh đề 1.15 Cho các đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương Khi đó tồn tại các đa thức A, B ∈ K[x] sao cho res(f, g, x) = Af +Bg.
Các hệ số A và B là các đa thức nguyên dựa trên các hệ số của f và g.
Kết thúc có thể được sử dụng để định nghĩa các đa thức nhiều biến, bằng cách coi chúng như các đa thức một biến với hệ số thuộc vành các đa thức theo các biến còn lại.
Mệnh đề 1.16 Cho f, g ∈K[x 1 , , x n ] là các đa thức có bậc dương theo x 1 Khi đó
2 res(f, g, x 1 ) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử chung trong
Hệ quả 1.17 Cho f, g ∈C[x] Khi đó res(f, g, x) = 0 khi và chỉ khi f, g có một nghiệm chung trong C.
Mệnh đề 1.18 Cho f, g ∈ C[x 1 , , x n ] là các đa thức có bậc dương theo x 1 với các hệ số đầu theo x 1 lần lượt là a k , b l Nếu res(f, g, x 1 ) triệt tiêu tại (c 2 , , c n )∈ C n−1 thì hoặc
1 a k hoặc b l triệt tiêu tại (c 2 , , c n ), hoặc
2 tồn tại c 1 ∈C sao cho f và g triệt tiêu tại (c 1 , c 2 , , c n )∈C n Định nghĩa 1.19 Biệt thức (discriminant) của đa thức 1 biến f ∈ K[x] bậc m, ký hiệu disc(f), được xác định bởi disc(f) = (−1) m(m−1) 2 a m res(f, f 0 , x).
Ví dụ 1.20 a) Cho f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x và disc(f) = − 1 a 2 a 2 a 1 a 0 2a 2 a 1 0
=a 2 1 −4a 0 a 2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si b) Cho f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x+ 3a 3 x 2 và ta có disc(f) =− 1 a 3 a 3 a 2 a 1 a 0 0
=−27a 2 0 a 2 3 −4a 0 a 3 2 −4a 3 1 a 3 +a 2 1 a 2 2 + 18a 0 a 1 a 2 a 3 Đặc biệt, đối với đa thức bậc ba dạng khuyết f(x) = x 3 +px + q, biệt thức của đa thức này là disc(f) = −4p 3 −27q 2
Mệnh đề 1.21 khẳng định rằng một đa thức \( f \in K[x] \) có nhân tử bội nếu và chỉ nếu \( \text{disc}(f) = 0 \) Trên trường số phức, điều này có nghĩa là một đa thức có nghiệm bội khi và chỉ khi biệt thức của nó bằng 0.
Đại số vi phân
Trường vi phân
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa vào tài liệu [3] Định nghĩa 1.22: Cho R là một vành, một phép đạo hàm trên R là một ánh xạ D: R → R, thỏa mãn với mọi x, y ∈ R.
Nói cách khác, D là một ánh xạ cộng tính và thỏa mãn quy tắc Leibniz.
Phép đạo hàm D có thể được áp dụng nhiều lần cho một phần tử Đối với mỗi số tự nhiên n và mỗi a ∈ R, đạo hàm cấp n của a, ký hiệu a^(n), được xác định theo quy tắc: a^(0) = a và a^(n) = D(a^(n−1)) với n ≥ 1 Định nghĩa 1.23 cho biết cặp (R, D) được gọi là một vành vi phân, và nếu R là một trường, thì (R, D) được xem là một trường vi phân.
Nếu không có sự nhầm lẫn thì ta thường nói R là một vành (trường) vi phân thay cho cặp (R, D).
Ví dụ 1.24 Một vành bất kỳ là một vành vi phân với phép đạo hàm không, tức là đạo hàm của mọi phần tử đều bằng 0.
Ví dụ 1.25 Vành các đa thức một biến C[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm thông thường d dx xác định như sau: d dx n
X i=0 ia i x i−1 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ví dụ 1.26 Cho (R, D) là một vành vi phân Vành các đa thức một biến R[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm κ D xác định như sau: κ D n
Phép đạo hàm D(a i )x i được thực hiện bằng cách áp dụng đạo hàm D lên tất cả các hệ số của đa thức trong R[x] Ví dụ, khi R = C[y] và sử dụng phép đạo hàm thông thường d dy, thì phép đạo hàm κ d dy trên C[y][x] tương đương với phép đạo hàm riêng ∂.
∂y Tương tự, trên vành đa thứcC[x][y] ta có κ d dx = ∂
Từ định nghĩa ta suy ra những tính chất đơn giản sau của phép đạo hàm.
Mệnh đề 1.27 Cho (R, 0 ) là một vành vi phân Khi đó
2 (a n ) 0 =na n−1 a 0 với mọi số nguyên n≥ 1 và với mọi a ∈R.
3 (a −1 ) 0 = −a 0 a 2 với mọi a∈ R khả nghịch Từ đó suy ra (a n ) 0 =na n−1 (a) 0 với mọi số nguyên n.
= a 0 b−b 0 a b 2 , với mọi a, b ∈ R và b khả nghịch.
Chứng minh 1 Ta cú 1 0 = (1ã1) 0 = 1 0 1 + 11 0 = 1 0 + 1 0 Suy ra 1 0 = 0. Tương tự, 0 0 = (0 + 0) 0 = 0 0 + 0 0 Suy ra 0 0 = 0.
2 Ta chứng minh quy nạp theo n nguyên dương Đẳng thức luôn đúng với n = 1 Giả sử đẳng thức đúng với n= k−1, tức là
(a k−1 ) 0 = (k −1)a k−2 a 0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Khi đó ta có (a k ) 0 =a 0 a k−1 + (a k−1 ) 0 a=a 0 a k−1 +a(k−1)a k−2 a 0 =ka k−1 a 0
3 Ta cú 0 = 1 0 = (aãa −1 ) 0 =a 0 (a −1 ) + (a −1 ) 0 a Từ đú suy ra
(a −1 ) 0 =−a 0 a −2 Giả sử n là một số nguyên âm, ta có
= a 0 b−b 0 a b 2 Định nghĩa 1.28 Cho (K, D) là một trường vi phân Tập hợp
C = {c ∈ K | D_c = 0} là trường các hằng của trường K Định nghĩa 1.29: Cho (R, D) và (S, ∆) là các vành vi phân, ta nói (S, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D) nếu R là vành con của S và ∆ áp dụng cho mọi a ∈ R.
Mệnh đề 1.30 khẳng định rằng cho (R, D) là một miền nguyên vi phân và F là trường các thương của R, thì tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên F sao cho (F, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D) Cụ thể, nếu x ∈ F và x = a b với a, b ∈ R, b ≠ 0, thì điều này được xác định rõ ràng.
Trường C(x) là trường các phân thức theo biến x, được hình thành từ các thương của miền nguyên C[x] Do đó, phép đạo hàm thông thường d/dx của các đa thức có thể được mở rộng một cách duy nhất thành phép đạo hàm của các phân thức d/dx.
Mệnh đề 1.32 khẳng định rằng, nếu L là một mở rộng đại số của trường vi phân (K, D), thì tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên L, mở rộng từ phép đạo hàm trên K Cụ thể, với mỗi phần tử α ∈ L, nếu P(x) ∈ K[x] là đa thức tối tiểu của α trên K, thì phép đạo hàm này được xác định rõ ràng.
(α) , trong đó d dx và κ D là các phép đạo hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.25 và Ví dụ 1.26.
Giả sử α là một nghiệm của đa thức $Y^2 - x \in \mathbb{C}(x)[Y]$, với α biểu diễn hàm ±√x Khi đó, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm $\frac{d}{dx}$ mở rộng từ $\frac{d}{dx}$ trên $\mathbb{C}(x)$, để $\mathbb{C}(x)(α)$ trở thành một mở rộng vi phân.
2α. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Mệnh đề 1.34 Giả sử (K, D) là một trường vi phân và t là siêu việt trên
K Khi đó với mỗi w ∈ K(t) tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên
K(t) được xác định sao cho ∆t = w, và (K(t), ∆) là một mở rộng vi phân của (K, D) Khi áp dụng mệnh đề này cho C(x), ta có thể kết luận rằng d/dx là phép đạo hàm duy nhất trên C(x) với điều kiện dc/dx = 0 cho mọi c ∈ C và dx/dx = 1.
Mệnh đề 1.35 Giả sử (L,∆) là một mở rộng vi phân của một trường vi phân (K, D) Khi đó
1 Nếu c∈ L là đại số trên trường hằng C của K thì c là hằng.
2 Nếu c ∈ L là hằng và c đại số trên K thì c đại số trên trường hằng
Chứng minh 1 Giả sử P(X) là đa thức đơn cực tiểu của c trên C Đạo hàm đẳng thức P(c) = 0 ta suy ra
Vì (κ D P) = 0 và dP dx(c)6= 0 nên ∆c = 0 Do đó c là một hằng.
2 Giả sử P(X) = X n +an−1X n−1 +ã ã ã+a 1 X+a 0 là đa thức đơn cực tiểu của c trên K Đạo hàm hai vế đẳng thức P(c) = 0 và sử dụng giả thiết ∆c= 0 ta suy ra
Do tính cực tiểu của P(X) nên điều này xảy ra khi mọi hệ số Dan−1, ,
Da 1 , Da 0 đều bằng 0 Vì vậy a n−1 , , a 1 , a 0 là các hằng của K. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Nghiệm của đa thức vi phân
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [30] Cho K là một trường vi phân và y là một biến vi phân trên K Xét dãy các ký hiệu y = y_0, y_1, y_2, và dãy lồng nhau của các vành đa thức.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ] là một vành đối với các phép toán cộng và nhân các đa thức Hơn nữa,
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ] là một vành vi phân với phép đạo hàm “0” được xác định bởi y 0 i = y i+1 cho mọi i ∈ N Đối với mỗi p ∈ N, ta có y p = y p−1 0 = (y p−2 0 ) 0 = = y 0 (p), trong đó y 0 (p) là đạo hàm cấp p của y 0 = y Do đó, ký hiệu y p đại diện cho đạo hàm cấp p của y.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ], 0 ) được gọi là vành các đa thức vi phân, ký hiệu là K{y}.
Mỗi phần tử trong K{y} được gọi là đa thức vi phân, và cấp của nó được xác định bởi cấp của đạo hàm cao nhất có trong đa thức Một đa thức vi phân F thuộc K{y} với cấp p có dạng nhất định.
Đa thức vi phân F được biểu diễn như sau: \$$F = a_m y^p m + a_{m-1} y^{p m-1} + \ldots + a_1 y^p + a_0,\$$ trong đó các hệ số \(a_0, a_1, \ldots, a_m \in K\{y\}\) là các đa thức vi phân có cấp không vượt quá \(p-1\) và \(y^p\) là đạo hàm cấp \(p\) của \(y\) Hệ số đầu của F, ký hiệu là in(F), là đa thức vi phân \(a_m\) Đa thức vi phân S được xác định là \(\partial F\).
∂y p được gọi là tách (separant) của F Đạo hàm cấp một của đa thức vi phân F được tính như sau
Khi đó cấp của F 0 là p+ 1, hệ số đầu của F 0 chính là ∂F
∂y p Vì bậc của y p+1 là 1 nên tách của F 0 cũng là ∂F
∂y p Vậy tách của F và tách của đạo hàm mọi cấp của F là như nhau.
Chẳng hạn, đa thức vi phân
F := (2xy + 3x)y 1 2 + 3y 1 −2y−3x ∈ C(x){y} có hệ số đầu là 2xy+ 3x và tách là S = ∂F
L, d dx là một trường mở rộng vi phân của
Phần tử α ∈ L được gọi là một nghiệm của đa thức vi phân
F ∈K{y} nếu F(α) = 0, ở đây F(α) là phần tử của trường L nhận được bằng cách thay y k bởi đạo hàm cấp k của α.
Ví dụ 1.39 Đa thức vi phân F := (y−x)(y 1 −1)−1 ∈ C(x){y} nhận α =x+√
Nếu α là một nghiệm của đa thức vi phân F thuộc K{y}, thì α cũng là nghiệm của tất cả các đạo hàm của F Điều này cho thấy α là nghiệm chung của các đa thức vi phân có dạng tương tự.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một đa thức vi phân có dạng \$Q_0 F + Q_1 F_0 + \ldots + Q_k F(k)\$, trong đó \$Q_i \in K\{y\}\$ với mọi \$i = 0, \ldots, k\$ và mọi \$k \in \mathbb{N}\$ Đạo hàm của đa thức vi phân này cũng giữ nguyên dạng thức Điều này có nghĩa là tập hợp tất cả các đa thức vi phân có dạng này là đóng đối với phép đạo hàm Định nghĩa 1.40 nêu rõ rằng trong một vành vi phân \$(R, 0)\$, một iđêan \$I\$ được gọi là iđêan vi phân nếu với mọi \$a \in I\$, ta có \$a_0 \in I\$.
Ví dụ 1.41 Trong vành vi phân R với phép đạo hàm không, mọi iđêan của R đều là một iđêan vi phân.
Ví dụ 1.42 Trong vành vi phân
, chỉ có hai iđêan vi phân là
Trong không gian C[x], mỗi iđêan đều là iđêan chính được sinh bởi một đa thức f(x) Nếu f(x) khác 0 và không phải là hằng số, thì bậc của f(x) là n > 0 Khi đó, đạo hàm df/dx sẽ có bậc n−1, dẫn đến df/dx không thuộc vào iđêan hfi Do đó, hfi không phải là một iđêan vi phân.
Mệnh đề 1.43 khẳng định rằng giao của một họ các iđêan vi phân trong vành vi phân R cũng là một iđêan vi phân của R Định nghĩa 1.44 chỉ ra rằng, với R là một vành vi phân và Σ là một tập con của R, iđêan vi phân của R được sinh bởi Σ, ký hiệu [Σ], là giao của tất cả các iđêan vi phân của R chứa Σ.
Tập hợp Σ tạo thành iđêan của R, bao gồm tất cả các đạo hàm theo mọi cấp của các phần tử trong Σ Định nghĩa 1.45 nêu rõ rằng, cho R là một vành vi phân và Σ là tập con của R, iđêan vi phân căn sinh bởi Σ, ký hiệu {Σ}, là căn của iđêan [Σ].
{Σ} = {A ∈R | ∃n∈ N ∗ , A n ∈[Σ]}. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Trong trường hợp R = K{y} là vành các đa thức vi phân và Σ = {F} chỉ gồm một đa thức vi phân, ta ký hiệu {F} để chỉ iđêan vi phân căn sinh bởi tập một phần tử {F} Định lý 1.46, được biết đến trong đại số vi phân, cung cấp một phân tích của iđêan vi phân căn {F} Cụ thể, nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy, thì ta có phân tích sau:
{F} = ({F} :S)∩ {F, S}, trong đó S là tách của F và {F} : S là iđêan vi phân nguyên tố xác định bởi
{F} :S = {A ∈K{y} | AS ∈ {F}}. Định nghĩa 1.47 Cho I là một iđêan vi phân của K{y} Tập nghiệm của I trong một mở rộng trường vi phân L của K là
Mệnh đề 1.48 Cho I và J là hai iđêan của K{y} Ta có
Z(I)∪Z(J) = Z(I ∩J) = Z(IJ), trong đó IJ là iđêan tích của I và J.
Theo Định lý 1.46 và Mệnh đề 1.48, một nghiệm của F có thể là nghiệm của {F}, {S} hoặc {F, S} Định nghĩa 1.49 chỉ ra rằng một nghiệm chung của F và S được gọi là nghiệm kỳ dị (singular solution) của phương trình vi phân F = 0 Định nghĩa 1.50 nêu rõ rằng ℘ là một iđêan vi phân nguyên tố của vành K{y}, và một nghiệm tổng quát (generic zero) của ℘ là phần tử η trong một mở rộng trường vi phân của K, sao cho một đa thức vi phân trong K{y} thuộc ℘ nếu và chỉ nếu đa thức đó triệt tiêu tại η.
Mệnh đề 1.51 Mọi iđêan vi phân nguyên tố ℘ của vành K{y} đều có một nghiệm tổng quát.
Chứng minh Gọi L là trường các thương của miền nguyên K{y}/℘ Khi đó L là một mở rộng vi phân của K qua các đồng cấu
K,→ K{y} → K{y}/℘ ,→ L Gọi η là ảnh của phần tử y trong L, khi đó η là một nghiệm tổng quát của ℘ Định nghĩa 1.52: Một nghiệm tổng quát của iđêan vi phân nguyên tố {F} :S được định nghĩa là một nghiệm tổng quát (general solution) của F = 0.
Giả sử η là một nghiệm tổng quát của F = 0 Khi đó, với mọi P ∈
K{y}, P(η) = 0 khi và chỉ khi P thuộc {F} : S Bằng cách sử dụng khái niệm phép giả chia vi phân và giả dư vi phân, chúng ta có thể xác định điều kiện khi nào P thuộc {F} : S Ký hiệu prem(P, F) (prem là viết tắt của pseudo remainder) đại diện cho phần dư của phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F.
Mệnh đề 1.53 ([30]) P ∈ {F} :S nếu và chỉ nếu prem(P, F) = 0. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Đường cong đại số hữu tỷ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả quan trọng về lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ, được sử dụng trong Chương 4 Nội dung chính được tham khảo từ tài liệu [32] Định nghĩa 1.54 nêu rõ rằng, cho F ∈C[x, y] là một đa thức hai biến, tập hợp
C(F) ={(a, b)∈C 2 |F(a, b) = 0} (1.4) là một đường cong đại số trên C. Định nghĩa 1.55 Một phép tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số
F(x, y) = 0 là một cặp hàm hữu tỷ x(t), y(t)∈C(t) sao cho
1 với hầu hết t 0 ∈ C trừ một số hữu hạn điểm, ta có (x(t 0 ), y(t 0 )) ∈ C(F);
2 với hầu hết (x 0 , y 0 ) ∈ C(F) trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại t 0 ∈ C sao cho
(x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.56 Một đường cong đại số F(x, y) = 0 được gọi là hữu tỷ nếu nó có ít nhất một phép tham số hóa hữu tỷ.
Đường tròn với phương trình \$x^2 + y^2 = 1\$ là một đường cong đại số hữu tỷ có thể được tham số hóa bằng \$ (x(t), y(t)) = \left( \frac{2t}{t^2 + 1}, \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1} \right) \$, ngoại trừ tại điểm (0,1) do không có giá trị nào của \$t\$ có thể biểu diễn điểm này Định nghĩa 1.57 nêu rằng nếu \$x(t) = \frac{x_n(t)}{x_d(t)}\$ thuộc \$C(t)\$ và có dạng tối giản, thì bậc của hàm \$x(t)\$, ký hiệu là \$deg x(t)\$, được định nghĩa là \$deg x(t) = \max\{deg x_n(t), deg x_d(t)\}\$.
Đối với đa thức \(5t^4 + t^3 - 9 \in C(t)\), ta có \(deg_x n(t) = 2\) và \(deg_x d(t) = 4\), do đó \(deg_x(t) = \max\{deg_x n(t), deg_x d(t)\} = 4\) Định nghĩa 1.58 cho biết rằng nếu \(P(t) = (x(t), y(t))\) là một phép tham số hóa của một đường cong hữu tỷ, thì \( \max\{deg_x(t), deg_y(t)\} \) được gọi là bậc của đường cong đó.
Đường tròn có phương trình \$x^2 + y^2 = 1\$ được tham số hóa bởi \$x(t) = \frac{2t}{t^2 + 1}\$ và \$y(t) = \frac{t^2 - 1}{t^2 + 1}\$, dẫn đến độ deg của \$x(t)\$ và \$y(t)\$ đều bằng 2, do đó độ deg của \$P(t)\$ là \$\max\{\text{deg} x(t), \text{deg} y(t)\} = 2\$ Một phép tham số hóa hữu tỷ \$ (x(t), y(t)) \$ của đường cong đại số \$F(x, y) = 0\$ được gọi là thực sự nếu với hầu hết các điểm \$ (x_0, y_0) \$ thuộc đường cong, ngoại trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại duy nhất \$t_0 \in \mathbb{C}\$ sao cho \$ (x(t_0), y(t_0)) = (x_0, y_0) \$ Định lý cho biết rằng \$P(t) = (x(t), y(t))\$ là thực sự nếu và chỉ nếu \$\text{deg}(P(t)) = \max\{\text{deg} x F, \text{deg} y F\}\$.
Nếu P(t) là thực sự và x(t) khác không, thì deg x(t) = deg y F; tương tự, nếu P(t) là thực sự và y(t) khác không, thì deg y(t) = deg x F Định lý 1.61 khẳng định rằng cho (x₁(t), y₁(t)) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong đại số F(x, y) = 0, thì với bất kỳ phép tham số hóa hữu tỷ nào (x₂(t), y₂(t)) của F(x, y) = 0, tồn tại một hàm hữu tỷ R(t) thuộc C(t).
(x 2 (t), y 2 (t)) = (x 1 (R(t)), y 1 (R(t))). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Hơn nữa, nếu (x 2 (t), y 2 (t)) là thực sự thì R(t) = at+b ct+d với a, b, c, d ∈ C và ad−bc 6= 0.
Ví dụ 1.62 Xét đường cong đại số
F(x, y) =−4x 2 +y−5 = 0 và các phép tham số hóa hữu tỷ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai hàm số P(t) và Q(t) thuộc không gian C²(t) Đối với P(t), chúng ta có bậc deg(P(t)) = 2 và max{deg x F, deg y F} = 2, điều này cho thấy P(t) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự Ngược lại, với Q(t), bậc deg(Q(t)) = 46 không bằng 2, do đó Q(t) không phải là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự.
Trong trường hợp này, đặt R(t) = t
Đường cong đại số hữu tỷ được mô tả bởi phương trình 2(t^2 - 1) với P(R(t)) = Q(t) Các vấn đề liên quan đến đường cong này đã được giải quyết bằng các thuật toán và được trình bày chi tiết trong tài liệu [32].
Đường cong đại số F(x, y) = 0 có tính tham số hóa hữu tỷ khi và chỉ khi giống của nó bằng không.
2 Thuật toán tìm một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong hữu tỷ.
Nếu phép tham số hóa hữu tỷ không thực sự, chúng ta có thể thực hiện việc tham số hóa lại để đạt được một phép tham số hóa thực sự.
Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân đại số cấp một, với trọng tâm là nghiên cứu phép biến đổi tương đương liên quan đến phép biến đổi M¨obius Chúng tôi giới thiệu một tính chất bất biến về bậc tổng thể vi phân, một bất biến quan trọng sẽ được sử dụng trong chương sau để đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom Một số kết quả của chương này đã được công bố trong bài báo [6].
Phép biến đổi tương đương
Khi nghiên cứu phương trình vi phân, mục tiêu chính là xác định xem hai phương trình có thể chuyển đổi qua lại bằng một phép biến đổi nào đó hay không Nếu tồn tại một phép biến đổi như vậy, chúng ta nói rằng hai phương trình là tương đương theo phép biến đổi đó.
Thông thường, chúng ta xem xét một tập hợp các phép biến đổi tương đương tạo thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ Nhóm các phép biến đổi này tác động để phân hoạch tất cả các phương trình vi phân thành các lớp tương đương Việc giải một phương trình riêng lẻ trong lớp tương đương có thể được tổng quát hóa để giải toàn bộ các phương trình trong lớp đó.
Chúng ta xem xét các phép biến đổi điểm có dạng \$x = \phi(t, u)\$ và \$y = \psi(t, u)\$, trong đó \$\phi\$ và \$\psi\$ là các hàm khả vi Phương trình \$F(x, y, y') = 0\$ với các biến độc lập và phụ thuộc là \$x\$ và \$y\$ sẽ được chuyển đổi thành phương trình \$G(t, u, u') = 0\$ với các biến mới là \$t\$ và \$u\$ Vấn đề đặt ra là tìm hiểu về một tập hợp các phương trình vi phân.
F(x, y, y 0 ) = 0, các phép biến đổi điểm có thể xét có dạng như thế nào để phương trình biến đổi vẫn thuộc tập hợp đó?
F Schwarz đã đưa ra các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất biến tuyệt đối và dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31] liên quan đến các phương trình vi phân với cấp tùy ý Chúng tôi sẽ trình bày lại các vấn đề này cho các phương trình vi phân đại số cấp một.
Mệnh đề 2.1 nêu rằng tập các phương trình Riccati có dạng \$y' = a_2(x)y^2 + a_1(x)y + a_0(x)\$ với \$a_i \in \mathbb{C}(x)\$ cho mọi \$i = 0, 1, 2\$ là ổn định qua các phép biến đổi \$x = t\$ và \$y = a(t)u + b(t)c(t)u + d(t)\$, trong đó \$a, b, c, d \in \mathbb{C}(t)\$ và điều kiện \$ad - bc \neq 0\$ được thỏa mãn.
Chứng minh Ta có y 0 = ad−bc (cu+d) 2 u 0 +(a 0 u+b 0 )(cu+d)−(au+b)(c 0 u+d 0 )
Suy ra phương trình Riccati đã cho được biến đổi thành u 0 = ˜a 2 (t)u 2 + ˜a 1 (t)u+ ˜a 0 (t) với các hệ số được xác định như sau
˜ a 2 = 1 ad−bc(a 2 a 2 +a 1 ac+a 0 c 2 + (ac 0 −a 0 c)), ˜ a 1 = 1 ad−bc(2a 2 ab+a 1 (ad+bc) + 2a 0 cd+ (ad 0 −a 0 d) + (bc 0 −b 0 c)), ˜ a 0 = 1 ad−bc(a 2 b 2 +a 1 bd+a 0 d 2 + (bd 0 −b 0 d)).
(2.1) Đây rõ ràng là một phương trình Riccati Vậy tập hợp các phương trình Riccati là đóng dưới tác động các phép biến đổi trên.
Lập luận tương tự ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2 nêu rõ rằng tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai có dạng \$y' = a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0\$ và \$y' = a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0 + b_0\$ là ổn định khi thực hiện các phép biến đổi \$x = t\$ và \$y = a(t)u + b(t) c(t)u + d(t)\$, với \$a, b, c, d \in C(t)\$ và điều kiện \$ad - bc \neq 0\$.
Tập hợp các phương trình Abel loại một, có dạng \$y' = a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0\$, cho thấy tính ổn định qua các phép biến đổi như \$x = t\$ và \$y = a(t)u + b(t)\$.
Tổng quát, chúng ta xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một tựa tuyến tính dạng \$y' = R(x, y)\$, với \$R(x, y)\$ là hàm hữu tỷ theo \$y\$ và các hệ số phụ thuộc vào \$x\$ Trong tập hợp này, điều kiện về bậc của đạo hàm được giới hạn ở 1 Một tập hợp lớn hơn bao gồm các phương trình vi phân đại số cấp một \$F(y, y') = 0\$ trên \$C(x)\$, trong đó đường cong đại số tương ứng \$F(y, w) = 0\$ có giống bằng 0, tức là đường cong hữu tỷ Tại đây, chúng ta không giới hạn bậc của đạo hàm mà chỉ hạn chế tính chất tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình vi phân thường đại số (AODEs) cấp một có dạng F(y, y') = 0 trên một trường vi phân K, với K là một mở rộng hữu hạn của C(x) Chúng tôi tập trung vào việc tìm kiếm các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình này và phát triển các thuật toán để tính toán tường minh một nghiệm cụ thể Mỗi phương trình vi phân được liên kết với một đường cong đại số xác định bởi phương trình F(y, w) = 0, trong đó biến hàm và biến đạo hàm được xem là độc lập.
Chúng tôi nghiên cứu các phép biến đổi giữa các phương trình vi phân nhằm bảo toàn cấp của phương trình, lũy thừa cao nhất của đạo hàm, và tính chất có nghiệm đại số tổng quát Đồng thời, chúng tôi cũng xem xét các luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ liên quan đến đường cong đại số.
Khi nghiên cứu các phương trình vi phân hữu tỷ dạng \$y' = R(x, y)\$, P Appell đã xem xét các phép biến đổi tương đương như \$x = F(t)\$ và \$y(x) = P(t)u(t) + Q(t)\$, trong đó \$t\$ và \$u(t)\$ là các biến độc lập và phụ thuộc mới, với các hàm \$F, P, Q\$ thỏa mãn điều kiện \$F' \neq 0\$ và \$P \neq 0\$ Những phép biến đổi này cho phép một nghiệm đại số của phương trình này tương ứng với một nghiệm không đại số của phương trình khác Ví dụ, với phép biến đổi \$x = e^t\$ và \$y(x) = u(t)\$, nghiệm đại số \$y(x) = x^2\$ trên \$C(x)\$ tương ứng với nghiệm không đại số \$u(t) = e^{2t}\$ trên \$C(t)\$.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một nhóm các phép biến đổi với dạng x = t và y(x) = a(x)w + b(x)c(x)w + d(x), với điều kiện ad - bc ≠ 0 Chúng tôi cũng xem xét tác động của những phép biến đổi này lên các phương trình vi phân đại số cấp một.
Khi xác định các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân, bước tiếp theo là kiểm tra sự tương đương giữa hai phương trình đã cho Đây là bài toán về sự tương đương (equivalence problem) và liên quan đến việc xác định xem một phương trình có thuộc vào một lớp tương đương nào đó hay không (bài toán thành viên - membership problem) Để giải quyết các vấn đề này, chúng tôi tìm kiếm các bất biến của phương trình vi phân dưới tác động của các phép biến đổi Định nghĩa về các bất biến được trình bày như sau: cho phương trình vi phân đại số cấp một F(x, y, y') = 0 với các hệ số phụ thuộc vào x, nếu các hệ số sau biến đổi là ã 1, , ã N, thì một biểu thức Φ thỏa mãn Φ(ã 1, , ã N) = Φ(a 1, , a N) được gọi là bất biến của phương trình vi phân F(x, y, y') = 0.
Một phương trình vi phân tự động (autonom) là phương trình có tất cả các hệ số đều là hằng, và việc tìm nghiệm của nó thường dễ hơn so với các phương trình không tự động Do đó, các phương trình không tự động thường được biến đổi về dạng "gần tự động" nhất có thể Định nghĩa 2.4 nêu rõ rằng một dạng chuẩn tắc hữu tỷ (rational normal form) của một phương trình vi phân đại số là phương trình có số lượng hệ số khác hằng nhỏ nhất, có thể đạt được từ phương trình ban đầu thông qua các phép biến đổi theo biến phụ thuộc và biến độc lập.
Như vậy các phương trình vi phân autonom là dạng chuẩn tắc hữu tỷ của lớp tương đương autonom.
Phép biến đổi M¨ obius
Trong phần này, chúng tôi trình bày tác động của các phép biến đổi M¨obius đối với các phương trình vi phân đại số cấp một Các kết quả được nêu trong phần này có thể tham khảo trong luận văn tốt nghiệp mới nhất Luận văn thạc sĩ của tác giả đã được công bố trong bài báo [6].
Trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x được ký hiệu là C(x) với phép đạo hàm thông thường d/dx = 0 K là một mở rộng trường hữu hạn của trường C(x) Trong trường hợp này, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm trên K, mở rộng phép đạo hàm 0, để K trở thành một trường vi phân.
AODE (1) K ={F(y, y 0 ) = 0| F ∈ K[y, w]} là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng
M(u) = au+b cu+d, trong đó a, b, c, d ∈ K và ad−bc 6= 0 Đặt
=Au 2 +Bu+C (cu+d) 2 , trong đó 0 ≤ deg u (Au 2 +Bu+C) ≤ 2, A = a 0 c−ac 0 , B = a 0 d −ad 0 + b 0 c−bc 0 , C = b 0 d−bd 0 và
Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc a c là hằng số.
Tương ứng với M(u) ta có một ánh xạ hữu tỷ Φ M : K 2 99K K 2 được định nghĩa bởi Φ M (u, v)
luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với
M(u) = u) và Φ M là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song hữu tỷ liên kết với M −1 (u) = du−b
Ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5 khẳng định rằng tập hợp G K (1) bao gồm tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng Φ M tạo thành một nhóm khi thực hiện phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ Nhóm này có cấu trúc đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi M¨obius trên K.
Chúng tôi nghiên cứu tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K và phân tích các lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt là các phương trình với hệ số hằng Qua phép nghịch đảo y 7→ 1/y, một phương trình vi phân với hệ số hằng có thể được chuyển đổi thành một phương trình vi phân khác cũng với hệ số hằng Do đó, khi xem xét các phương trình này, chúng tôi áp dụng các phép biến đổi M¨obius trên K với hệ số khác không, tức là các phép biến đổi thực sự là một phân thức Để thể hiện tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K, chúng tôi định nghĩa bậc tổng thể vi phân của một phần tử trong AODE (1) K.
Hàm \( F(y, y_0) = A_0 y_0^m + A_1 y_0^{m-1} + \ldots + A_{m-1} y_0 + A_m \) với \( m \in \mathbb{N}^* \) và \( A_i \in K[y] \) cho mọi \( i = 0, \ldots, m \), trong đó \( A_0 \neq 0 \) Số \( \delta F := \max\{2(m-i) + \deg_y A_i | i = 0, \ldots, m\} \) được gọi là bậc tổng thể vi phân của \( F \) Bậc tổng thể của \( F \) được định nghĩa bởi \( d_F := \max\{(m-i) + \deg_y A_i | i = 0, \ldots, m\} \).
Do đó, d F ≤ δ F Với đa thức vi phân bất khả quy F(y, y 0 ) = Q(x, y)y 0 −P(x, y) ta có δ F = max{2 + degQ,degP} Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân Riccati y 0 −A(x)y 2 −B(x)y−C(x) bằng 2.
Bậc tổng thể vi phân cũng có tính chất thông thường của bậc tương ứng với phép nhân của các đa thức vi phân, cụ thể như sau.
Mệnh đề 2.7 Cho F, G ∈ AODE (1) K khỏc khụng Khi đú δ F ãG =δ F +δ G
Chứng minh Giả sửF =P i,jb ij y i y 0j vàG =P k,lc kl y k y 0l thuộcAODE (1) K và khác không Khi đó δ F = max{2j +i |b ij 6= 0}, δ G = max{2l+k |c kl 6= 0}.
Do đó δ F ãG = max{2(j +l) +i+k | b ij c kl 6= 0}
Mệnh đề được chứng minh là \$\delta F + \delta G\$ Tác động của nhóm \$G K (1)\$ lên tập hợp \$AODE (1) K\$ được định nghĩa bởi \$\Phi M •F = (−cy+a) \delta F (F(\Phi M^{−1} (y, y 0 )))\$, với mọi \$\Phi M \in G K (1)\$ xác định bởi \$M(u) = au+b cu+d\$ và với mọi \$F \in AODE (1) K\$ Các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa trên.
Nhóm này định nghĩa một quan hệ tương đương trên tập hợp AODE (1) K Cụ thể, hai phần tử F và G thuộc AODE (1) K được coi là tương đương, ký hiệu là F ∼ G, nếu tồn tại một hàm Φ M thuộc G K (1) sao cho tích của Φ M và F bằng G.
Quan hệ tương đương phân hoạch tập AODE thành các lớp tương đương K Mỗi lớp tương đương chứa vô hạn các phương trình tương đương, và có vô hạn lớp tương đương Khi đề cập đến một lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một, chúng ta đang nói đến một lớp tương đương của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom nào đó.
Chúng tôi chứng minh rằng bậc tổng thể vi phân là một bất biến số của mỗi lớp tương đương, nghĩa là các phương trình vi phân đại số trong cùng một lớp đều có cùng bậc tổng thể vi phân Chúng tôi sử dụng kết quả này để đưa ra một chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát của lớp autonom các phương trình vi phân đại số cấp một Định lý 2.11 nêu rằng nếu \( F(y, y') = A_0 y'^{m} + \ldots + A_{m-1} y' + A_m \in K[y, y'] \) với \( A_0 \neq 0 \) và \( G = \Phi_M \cdot F \), trong đó \( \Phi_M \in G K(1) \), thì bậc tổng thể vi phân của \( F \) được ký hiệu là \( \delta F \).
Chứng minh 1 Giả sử M(y) = ay+b cy+d Ta có
B i (y) (ad−bc) m−i (−cy+a) 2(m−i) y 0m−i , trong đó B i (y) =Pi j=0A j (M −1 (y)) m−j i−j ∂M −1 (y)
(ad−bc) m (−cy +a) 2m 6= 0 nên deg y 0G= m= deg y 0F.
2 Xét hệ số của y 0m−i ta có (−cy+a) δ F −2(m−i) B i (y)
Tải luận văn tốt nghiệp mới nhất tại luanvanfull qua địa chỉ email z z @gmail.com Trong luận văn thạc sĩ, các hệ số của tử số của \(\frac{\partial M}{\partial x} - 1 (y)\) được ký hiệu là A, B, C Gọi \(k = \text{deg} y (Ay^2 + By + C) \leq 2\), ta có \(0 \leq k \leq 2\) Các trường hợp của \(c\) được xác định như sau:
Nếu c bằng 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = deg y A j Do đó deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)≤ max
0≤j≤i{deg y A j +k(i−j)} ≤δ F Nếu c khác 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = 0 Do đó deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)≤ max
≤ δ F −2(m−i)≤ δ F Như vậy cả hai trường hợp ta đều có deg y G ≤ max i∈{0,1, ,m} n deg y (−cy+a) δ F −2(m−i) B i (y)o
3 Mặt khác, khi i = 0, ta có δ G = max
0≤i≤m{2(m−i) + deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)} = δ F Định lý được chứng minh.
Có thể áp dụng tính chất thứ nhất và thứ ba của Định lý 2.11 như là điều kiện cần để xác định sự tương đương của hai phương trình vi phân đại số thông qua tác động của nhóm này.
Mệnh đề 2.13 khẳng định rằng cho đa thức \( P(x, y) = a_0 y^m + a_1 y^{m-1} + \ldots + a_{m-1} y + a_m \in \mathbb{C}[x][y] \) với các hệ số \( a, b, c, d \in \mathbb{C}[x] \) và điều kiện \( ad - bc \neq 0 \) Nếu \( \deg a_i < n \) với \( i = 0, 1, \ldots, m \) và các đa thức \( a, b, c, d \) có bậc nhỏ hơn \( N \), thì tử số của \( P(x, ay + b, cy + d) \) sẽ là một đa thức theo \( x \) có bậc nhỏ hơn \( n + mN \).
Chứng minh Cho P = Pm i=0a i y m−i Khi đó tử số của P(x, ay+b cy+d ) là (cy +d) m m
Ta có dega≤ N, degb≤N, deg(ay+b) ≤N, deg(cy+d)≤ N.
Do đó dega i (ay +b) m−i (cy +d) i ≤n+ (m−i)N +iN =n+mN.
Mệnh đề được chứng minh.
Phép biến đổi song hữu tỷ cho thấy rằng hầu hết các nghiệm của các phương trình tương đương có thể được chuyển đổi qua lại với nhau.
Hệ quả 2.14 Cho F ∈ AODE (1) K và Φ M ∈ G K (1) với M(u) = au+b cu+d Đặt
G = Φ M •F Khi đó một nghiệm khác −d c của F = 0 được biến đổi thành một nghiệm của G = 0 và một nghiệm khác a c của G = 0 được biến đổi thành một nghiệm của F = 0.
Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày một số tính chất quan trọng của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân cấp một Những tính chất này bao gồm tính tương thích của bậc đối với phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính tương thích của tác động nhóm với phép hợp thành các ánh xạ (Mệnh đề 2.9), và tính bất biến của bậc tổng thể vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius (Định lý 2.11).
Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi thiết lập các tính chất bảo toàn nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius Đặc biệt, các nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn, và kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân thuộc lớp tương đương autonom Các kết quả này được công bố trong bài báo [6].
Nghiệm đại số
Định nghĩa 3.1 Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức vi phân Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của
F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K.
Trong luận án này, chúng tôi tập trung vào việc tìm kiếm nghiệm đại số cho phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 trên trường K.
Mệnh đề 3.2 khẳng định rằng nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một, thì mọi nghiệm kỳ dị của phương trình F(y, y') = 0 đều là nghiệm đại số Thêm vào đó, số lượng nghiệm kỳ dị của phương trình này là hữu hạn.
Chứng minh Nhận xét rằng một nghiệm chung củaF = 0 vàS = ∂F
Nghiệm \$y_0 = 0\$ có thể là một nghiệm của biệt thức của hàm \$F\$ (biệt thức \$\text{disc}(F) = \text{res}(F, S, y_0)\$) hoặc là một nghiệm của hệ số đầu của hàm \$F\$ Do \$F\$ là một đa thức vi phân cấp một, nên cả biệt thức \$\text{disc}(F)\$ và hàm \$\text{in}(F)\$ đều là các đa thức một biến theo \$y\$ với hệ số trên.
Mỗi nghiệm kỳ dị của phương trình \( F(y, y_0) = 0 \) đều là một nghiệm đại số trên trường \( K \) Số lượng các nghiệm đại số của phương trình này không vượt quá tổng của bậc của \( y \) trong \( \text{disc}(F) \) và bậc của \( y \) trong \( \text{in}(F) \).
Mệnh đề 3.3 Cho P(y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈L của F(y, y 0 ) = 0 trên K Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P(ξ) = 0 đều là nghiệm đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Chứng minh Vì P là đa thức tối tiểu của η nên η là một nghiệm tổng quát của hPi Giả sửF(η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P) = 0.
Từ đó suy ra S P k I P l F =Q 1 P 0 +Q 2 P, trong đó P 0 là đạo hàm của P, S P và
I P tương ứng là tách và hệ số đầu của P Chú ý rằng, với ξ thỏa P(ξ) = 0 ta có P 0 (ξ) = 0 và S P (ξ) 6= 0, I P (ξ) 6= 0 Do đó, F(ξ) = 0.
Trong luận án này, ta xét K = C(x) và tìm các nghiệm đại số của
Để tìm nghiệm đại số của phương trình \( F(y, y') = 0 \) trên trường cơ sở \( \mathbb{C}(x) \), ta cần xác định đa thức tối tiểu của nó Một đa thức bất khả quy \( P(x, y) \) được coi là nghiệm đại số của \( F(y, y') = 0 \) nếu tồn tại một hàm đại số \( y(x) \) thỏa mãn \( P(x, y(x)) = 0 \) Bậc của nghiệm đại số được xác định bởi bậc của đa thức tối tiểu liên quan đến nghiệm đó.
Chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một autonom từ bài báo của J M Aroca và các cộng sự Các kết quả này được tổng quát hóa cho các phương trình không autonom nhưng tương đương với một phương trình autonom Để tính một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y') = 0 cho các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chỉ cần tính một nghiệm đại số không tầm thường Một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của phương trình vi phân đại số cấp một autonom F(y, y') = 0 được gọi là không tầm thường nếu deg_x P > 0.
Mệnh đề 3.5 cho rằng nếu F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một với hệ số hằng và P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F(y, y 0 ) = 0, thì P(x+c, y) = 0 sẽ là một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0, với c là hằng số tùy ý.
Chặn bậc sau là cơ sở chính để phát triển thuật toán tìm nghiệm đại số không tầm thường cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom Định lý 3.6 chỉ ra rằng nếu F ∈ Q[y, y'] là một đa thức bất khả quy trên Q và P ∈ Q[x, y] là bất khả quy với P(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân autonom F(y, y') = 0, thì có các điều kiện về bậc như sau: deg x P = deg y' F và deg y P ≤ deg y F + deg y' F.
Phương trình P(x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số cho phương trình F(y, y') = 0 Hơn nữa, chặn bậc này có tính mịn, cho phép xác định một phương trình vi phân tự trị F(y, y') = 0, trong đó chặn bậc đạt được dấu bằng.
Ví dụ 3.7 a) Cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom
∂y 0 F(y, y 0 ) = 2y 0 , nghiệm kỳ dị của F = 0 là y =−9
8. Nghiệm tổng quát đại số của F = 0 là y = 1
2((x+c) 2 + 3(x+c)). Ở đây P(x, y) = 1 2 ((x+c) 2 + 3(x+c))−y Suy ra deg x P = deg y 0 F = 2 và deg y P = 1 thỏa mãn
1 = deg y P ≤ deg y F + deg y 0 F = 1 + 2 = 3. b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m >0 và (m, n) = 1 Đặt
P(x, y) = y n −x m là đa thức bất khả quy Rõ ràng P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số
Khi đó ta có deg y P = deg y F + deg y 0 F. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Một số tính chất bảo toàn của nghiệm
Định lý 3.8 Cho F, G ∈ AODE (1) K và giả sử F ∼ G Khi đó F có một nghiệm tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại số.
Chứng minh Giả sử η là một nghiệm tổng quát đại số của F Giả sử tồn tại Φ M ∈ G K (1) xác định bởi M(y) = ay+b cy+d sao cho G= Φ M •F Khi đó
Suy ra M(η) là một nghiệm đại số của G vì cη+d 6= 0 Mặt khác, giả sử
H ∈ AODE (1) K sao cho H(Φ M (η, η 0 )) = 0, nghĩa là Φ M −1 •H ∈ AODE (1) K triệt tiêu tại η Vì η là một nghiệm tổng quát của F nên Φ M −1 •H ∈ {F} :S F , trong đó S F là tách (separant) của F Từ F = Φ M −1 •G ta suy ra
∂y S G (Φ M ) = (cy +d) δ G −2 (ad−bc)S G (Φ M ) và do đú (Φ M −1 •H)ãS F ∈ {F} hay là
Cho Φ M tác động lên tích ở trên, từ Mệnh đề 2.9 ta suy ra HS G ∈ {G}, tức là H ∈ {G} : S G Do đó M(η) là một nghiệm tổng quát đại số của G.
Để tìm nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta chỉ cần tính một nghiệm cụ thể Nghiệm tổng quát đại số của phương trình xuất hiện khi thay biến x thành x+c với c là hằng số tùy ý Sự tồn tại của nghiệm tổng quát này có tính chất bảo toàn qua lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là cách hiểu về “nghiệm đại số không tầm thường” trong lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một Định nghĩa ánh xạ tịnh tiến cho hằng số c∈ C sẽ được trình bày tiếp theo.
Khái niệm phương trình autonom có thể được phát biểu lại dựa vào ánh xạ tịnh tiến T c như sau.
Mệnh đề 3.10 F ∈ AODE (1) K là autonom nếu và chỉ nếu T c ? F = F với mọi c∈ C.
Nếu F là một hàm tự động, thì mọi hệ số của F là hằng Điều này dẫn đến việc T c ? F = F với mọi c ∈ C Ngược lại, nếu T c ? F = F với mọi c ∈ C, giả sử a α,β (x) là một hệ số không hằng của F tương ứng với đơn thứcy α y 0β, với deg x a α,β (x) = k > 0 Vì T c ? F - F = 0, mọi hệ số của đa thức hiệu đồng nhất bằng không, đặc biệt là a α,β (x+c) - a α,β (x) = 0 với mọi c ∈ C Điều này dẫn đến việc đa thức a α,β (x+c) - a α,β (x) là một đa thức bậc k theo c có vô hạn nghiệm c, điều này không thể xảy ra Do đó, mọi hệ số của F đều là hằng.
Ta thấy rằng F ∈ AODE (1) K thuộc một lớp autonom nếu tồn tại Φ M ∈
G K (1) sao cho T c ?(Φ M •F) = Φ M •F, với mọi c ∈C, có nghĩa là Φ M −1 •(T c ?(Φ M •F)) = F, cho mọi c ∈C Định nghĩa 3.11 nêu rõ rằng, với F ∈ AODE (1) và K thuộc lớp autonom, phép biến đổi Φ M đảm bảo rằng Φ M •F là autonom Một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của F(y, y 0 ) = 0 trên C(x) được coi là không tầm thường tương ứng với Φ M nếu deg x (Φ M •P) > 0.
Khi xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một autonom với M là ánh xạ đồng nhất, định nghĩa này tương đương với Định nghĩa 3.4 về nghiệm đại số không tầm thường trong tài liệu [2] Định lý 3.12 nêu rằng nếu F(y, y') = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom và Φ M là phép biến đổi sao cho Φ M • F = 0 cũng là autonom, thì P(x, y) = 0 sẽ là một nghiệm đại số không tầm thường.
F(y, y 0 ) = 0 trênC(x)tương ứng vớiΦ M Khi đó Φ M −1 •(T c ?(Φ M •P)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y 0 ) = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.
Giả sử P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 tương ứng với Φ M Khi đó, phương trình vi phân Φ M •F = 0 là autonom và có một nghiệm đại số không tầm thường là Φ M •P = 0 Từ đó, suy ra T c ?(Φ M •P) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân Φ M •F = 0 Do đó, Φ M −1 •(T c ?(Φ M •P)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 Định lý 3.13 khẳng định rằng nếu phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 thuộc lớp autonom và P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình F(y, y 0 ) = 0 tương ứng với Φ M, thì giống của đường cong đại số P(x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F(y, y 0 ) = 0.
Phương trình vi phân đại số cấp một \( F(y, y') = 0 \) thuộc lớp autonom cho phép tồn tại một phép biến đổi song hữu tỷ \( \Phi_M \) sao cho phương trình \( \Phi_M \cdot F = 0 \) cũng là autonom Khi đó, \( \Phi_M \cdot P = 0 \) trở thành một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình \( \Phi_M \cdot F = 0 \) Theo [2, Lemma 3.5], giống của \( \Phi_M \cdot P = 0 \) bằng giống của \( \Phi_M \cdot F = 0 \) Vì \( \Phi_M \) là một phép biến đổi song hữu tỷ, nên giống của \( P(x, y) = 0 \) và giống của \( F(y, y') = 0 \) là bằng nhau.
3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
Theo [2, Theorem 3.4 và Theorem 3.8], bậc của một nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom
Chúng ta sử dụng kết quả F(y, y 0 ) = 0 để xác định một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một trong lớp tương đương autonom Bậc của một nghiệm đại số được hiểu là bậc của đa thức tối tiểu của nó trên trường cơ sở Định lý 3.14 nêu rằng nếu F ∈ AODE (1) K và tồn tại Φ M ∈ G K (1) sao cho Φ M • F là phương trình vi phân đại số autonom, thì bậc của một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0 trên K bị chặn.
Nếu \( K = C(x) \) và \( M(y) = ay + bcy + d \) với bậc của \( a, b, c, d \) nhỏ hơn \( N \), thì bậc theo \( x \) của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của \( F(y, y') = 0 \) sẽ nhỏ hơn \( \text{deg } y' F + N(\delta F + \text{deg } y' F) \) Theo Định lý 2.11, ta có \( \text{deg } y' G = \text{deg } y' F \) và \( \text{deg } y G \leq \delta F \).
Giả sử Q(x, y) là một đa thức bất khả quy của nghiệm đại số không tầm thường y của phương trình G(y, y') = 0 trên C(x) Do G(y, y') = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một tự động, theo [2, Định lý 3.8] ta có thể suy ra rằng deg_x Q = deg_y' G và deg_y Q ≤ deg_y G + deg_y' G ≤ δ_F + deg_y' F.
Rõ ràng M −1 (ˆy) là một nghiệm đại số không tầm thường của F = 0 Giả sử M(y) = ay+b cy+d Khi đó (cM −1 (ˆy) +d) deg y Q Q(x, M(M −1 (ˆy))) = 0.
Suy ra M −1 (ˆy) là nghiệm của đa thức (cy + d) deg y Q Q(x, M(y)), cho thấy M −1 (ˆy) là phần tử đại số trên K với bậc không quá deg y Q Bất đẳng thức (3.1) chứng minh rằng M −1 (ˆy) cũng là phần tử đại số trên K với bậc không quá (δ F + deg y 0 F) Do bậc của nghiệm đại số không tầm thường và bậc của nghiệm tổng quát đại số của G = 0 bằng nhau, phần đầu của định lý đã được chứng minh.
Theo Mệnh đề 2.13, bậc theo x của đa thức tối tiểu của một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một \( F(y, y') = 0 \) nhỏ hơn \( \deg y' F + N(\delta F + \deg y' F) \) Phần còn lại của định lý đã được chứng minh.
Trong phương trình vi phân đại số cấp một autonom, bậc của nghiệm tổng quát đại số của F = 0 bị chặn bởi deg y 0 F + deg y F, với giá trị này nhỏ hơn hoặc bằng deg y 0 F + δ F Khi hạn chế lên các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chặn bậc sẽ cao hơn, điều này hợp lý vì chặn bậc áp dụng cho lớp phương trình vi phân đại số cấp một rộng hơn, bao gồm cả các phương trình autonom Để tính nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F = 0 trong lớp autonom, có thể sử dụng Thuật toán 4.4 trong tài liệu tham khảo [2] để tìm nghiệm đại số không tầm thường của Φ M • F Nếu Φ M • F không có nghiệm đại số không tầm thường, thì kết luận rằng “F = 0 không có nghiệm tổng quát đại số” Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của Φ M • F = 0 từ bước 1, thì kết quả sẽ được xác định.
(−cy +a) deg y Q Q(x+C, M −1 (y)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 3.15 Xét phương trình không autonom
Ta có δ F = 7 Đặt M(y) = xy − 1 Biến đổi Φ M biến phương trình
F(y, y 0 ) = 0 thành phương trình G(y, y 0 ) = Φ M •F =x 7 [(1−2y 3 +4y 2 )y 02 +(−2y 5 −8y 2 +8y)y 0 +4−y 4 −4y] = 0, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si và phương trình này tương đương với phương trình autonom
Ta kiểm tra được phương trình G(y, y 0 ) = 0 có nghiệm đại số không tầm thường
Do đó, nghiệm tổng quát đại số của G(y, y 0 ) = 0 là
Q(x+c, y) = (x+c)y 2 −y+ (x+c) 2 + 1 = 0, với c là hằng số tùy ý Đa thức Φ M −1 •Q(x+c, y) = Q(x+c, xy−1) =(cx 2 +x 3 )y 2 + (−2xc−2x 2 −x)y+x 2 +c+x+ 2 + 2xc+c 2 là đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Đường cong đại số \$\Phi M^{-1} \cdot Q(x+c, y) = 0\$ có bậc bằng 1, tương tự như đường cong đại số \$F(y, y_0) = 0\$ Trong trường hợp này, bậc của nghiệm tổng quát đại số là 2, với chặn bậc được tính là \$\text{deg} \, y_0 F + \delta F = 2 + 7 = 9\$.
Chú ý 3.16 Chúng tôi giả thiết rằng F(y, y 0 ) = 0 là tương đương với một phương trình autonom qua phép biến đổi Φ M Vấn đề xác định liệu
Vấn đề liệu F(y, y 0 ) = 0 có tương đương với một phương trình tự động hay không vẫn còn là một câu hỏi mở Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này với giả thiết rằng F(y, y 0 ) = 0 là một phương trình tham số hóa hữu tỷ.
Trong chương 3, chúng tôi đã thiết lập các tính chất bảo toàn liên quan đến nghiệm của phương trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius Cụ thể, chúng tôi đã chứng minh tính chất bảo toàn nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.8) và đưa ra phương pháp xác định một nghiệm tổng quát đại số từ một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom (Định lý 3.12) Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng giống của đường cong đại số xác định nghiệm tương ứng với phương trình vi phân nếu phương trình đó thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.13) và đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.14).
Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ được
Phương trình vi phân đa thức
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b
z 0 =A n (x)z n +An−1(x)z n−1 +ã ã ã+A 1 (x)z +A 0 (x), (4.2) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si trong đó
Với i= 1, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra b= A n−1 −a n−1 na n Thế b vào (n−2) phương trình tiếp theo, ta được, với mọi2 ≤ i≤ n−1,
(4.4) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Kết hợp các hệ số của các đơn thức đồng dạng và chú ý rằng (−1) k i k n i n i + (−1) k−1 i−1 k−1 n−1 i−1 n i−1 = (−1) k−1 (k−1) k i n i n i , ta có
Định lý sau đây cung cấp cho chúng ta một công thức cho \$A_{n-i}\$ mà không có sự xuất hiện của các hạng tử trộn, tức là những hạng tử chứa đồng thời các biến khác nhau.
An−1 và an−1. Định lý 4.1 Với mọi 2≤ i≤ n−1, ta có
Chúng ta sẽ chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số \(i\) trong khoảng từ 2 đến \(n - 1\) Đầu tiên, công thức được xác nhận đúng cho trường hợp \(i = 2\) Tiếp theo, giả sử công thức đúng cho trường hợp \(i - 1\) Điều này có nghĩa là, với mọi \(2 \leq k \leq i - 1\), công thức vẫn giữ tính chính xác.
Thay a k n−1 vào hạng tử A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n của (4.5), ta thu được i−1
!A i−k n−1 a k−j n−1 a n−j a i−j n luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
= (−1) i−j−1 n−j i−j n i−j Đặt l =k −j, ta có thể viết lại tổng kép sau theo j và l: i−1
!A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n vào phương trình (4.5) thì tổng kép bị triệt tiêu và thu được
(−1) i−j n−j i−j n i−j a i−j n−1 an−j a i−j n +a n−i Định lý được chứng minh. Định lý 4.2 Ta có n
. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Chứng minh Thếb= A n−1 −a n−1 na n vào phương trình cuối cùng của (4.3), ta thu được
(−1) 1−j n k−j −j n j (k −1) n k a k−j n−1 a n−j a j−1 n nên khi thay a k n−1 vào hạng tử A n−k n−1 a k n−1 a i−1 n , ta thu được luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si n−1
A n−k n−1 a k n−1 a n−1 n trở lại phương trình (4.7) thì tổng kép bị triệt tiêu và ta thu được
Vậy định lý được chứng minh.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw
(4.9) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bằng cách khử a, ta suy ra một hệ phương trình các bất biến sau
Để chuyển đổi phương trình (4.2) thành phương trình (4.8) thông qua phép biến đổi z = aw, hệ số a được xác định bởi công thức ˜a n = A n a n−1 Do đó, a thuộc một mở rộng đại số của trường chứa các hệ số ˜ a n và A n.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b
Như đã phân tích ở trên, phép biến đổi y = aw + b được phân tích thành hợp của hai phép biến đổi đơn giản hơn là y = z +b và z = aw.
Ký hiệu a = (a 0 , a 1 , , a n ), A = (A 0 , A 1 , , A n ), ˜a = (˜a 0 ,˜a 1 , ,a˜ n ) là các bộ hệ số trong các phép biến đổi thành phần Khi đó ta có hai tập hợp các bất biến như sau:
1 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi y =z +b:
2 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi z = aw:
A n , luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta sẽ kết hợp các bất biến này để suy ra các bất biến của phép biến đổi hợp thành.
Mặt khác, ta có các bất biến I i (A) = I i (a), A n = a n , J i (A) = J i (˜a) Từ đó suy ra, với 2 ≤ i≤ n−2,
Vì vậy ta tìm được một tập các bất biến của phép biến đổi y = aw+b, đó là, với mọi i= 2, , n−2,
. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
A n Để kết hợp với các bất biến trong phép biến đổi z =aw, ta xét bất biến
Từ đó ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw+b, đó là K 1 (a).
Tiếp theo ta tìm bất biến dựa vào I 0 (A) Với n ≥3, ta có
. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Lập luận tương tự ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw+b, đó là
1 n n−1I 0 (a), n ≥3. Định lý 4.4 Với n ≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) và (4.8) là tương đương qua phép biến đổi y = aw+b nếu và chỉ nếu
Điều kiện cần của định lý đã được chứng minh thông qua các tính toán trước đó Chúng ta chỉ cần chứng minh phần đảo Giả sử các bất biến được thỏa mãn, và gọi α₁ và β₁ là các phần tử thỏa mãn các phương trình.
Phép biến đổi \( y = \alpha_1 u + \beta_1 \) đã biến phương trình (4.1) thành \( u_0 = u_n + \bar{a}_{n-2} u_{n-2} + \ldots + \bar{a}_1 u + \bar{a}_0 \), trong đó \( \bar{a}_{n-i} = K_i(a) \) với \( 2 \leq i \leq n-2 \), \( \bar{a}_1 = K_1(a) \), và \( \bar{a}_0 = K_0(a) \) Tương tự, việc chọn \( \alpha_2 \) và \( \beta_2 \) sao cho \( 1 = \tilde{a}_n \alpha_2^{n-1} \) và \( 0 = \tilde{a}_n n \beta_2 + \tilde{a}_{n-1} \) đã dẫn đến phép biến đổi \( w = \alpha_2 u + \beta_2 \), biến phương trình (4.8) thành \( u_0 = u_n + \bar{b}_{n-2} u_{n-2} + \ldots + \bar{b}_1 u + \bar{b}_0 \), với \( \bar{b}_{n-i} = K_i(\tilde{a}) \) và các chỉ số tương tự Từ giả thiết về các bất biến, ta suy ra rằng hai phương trình (4.1) và (4.8) được biến đổi về cùng một phương trình trung gian, chứng tỏ rằng chúng là tương đương qua phép biến đổi \( y = \alpha_1 \alpha_2 w + \beta_1 \frac{\alpha_2 - \alpha_1}{\beta_2} \alpha_2 \).
Từ chứng minh định lý trên chúng ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 4.5 cho thấy rằng phương trình vi phân đa thức (4.1) với n ≥ 3 có thể được chuyển đổi thành dạng chuẩn tắc, cụ thể là \$u_0 = u_n + K_{n-2}(a)u_{n-2} + \ldots + K_1(a)u + K_0(a)\$ Phép biến đổi được sử dụng là \$y = \alpha_1 u + \beta_1\$ với \$\alpha_{n-1} = \frac{1}{a_n}\$ và \$\beta_1 = -\frac{a_{n-1}}{n a_n}\$.
Bảng 4.1: Cỏc bất biến cơ sở của phư ơ n g trỡnh vi phõn đa thức y 0 = a n y n + a n − 1 y n − 1 + ãã ã + a 1 y + a 0 y 0 = a 3 y 3 + a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Ab el) y 0 = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Riccati) y = z + b I n ( a ) := a n I 3 ( a ) := a 3 I 2 ( a ) := a 2 I n − i ( a ) := a n − i + P i − 1 j =0 ( − 1) i − j n − j i − j n i − j a i − j n − 1 a n − j a i − j n I 2 ( a ) := a 1 − 1 3 a 2 2 a 3 (2 ≤ i ≤ n − 1) I 0 ( a ) := a 0 + P n j =1 ( − 1) j n j a j a j n − 1 a j n + 1 n a n − 1 a n
I I luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Phương trình vi phân Riccati
Trong phần này chúng tôi đi tìm bất biến của phương trình Riccati đối với phép biến đổi y = aw+b Với n = 2, ta có
A 2 2 là một bất biến đối với phép biến đổi y =z +b Do đó
A 2 0 cũng là một bất biến đối với phép biến đổi y =z +b Vì
2(a 1 + a 0 2 a 2 ) 0 là một bất biến của phương trình Riccati y 0 = a 2 y 2 +a 1 y+a 0 đối với phép biến đổi y = aw+b.
Dựa vào bất biến, chúng ta có thể kiểm tra sự tương đương của hai phương trình vi phân Riccati Định lý 4.6 chỉ ra rằng với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.8) là tương đương thông qua phép biến đổi \(y = aw + b\) nếu và chỉ nếu.
Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ lập luận ở trên Ngược lại, đặt a = ˜a 2 a 2 , b= 1
Vì K˜ 0 (a) = ˜K 0 (˜a) nên ta suy ra ˜a 0 = 1 a(a 2 b 2 + a 1 b+ a 0 −b 0 ) Các hệ số a˜ 2 ,˜a 1 ,˜a 0 là các hệ số của phương trình vi phân Riccati nhận được qua phép biến đổi y =aw+b.
Ví dụ 4.7 Hai phương trình vi phân trong [15] (danh mục các phương trình vi phân của Kamke) no.1.140 : y 0 =−y 2 − 4 xy− 2 x 2 và no.1.165 : y 0 =− 1
2x−1 là tương đương bởi vì chúng có cùng bất biến vi phân K˜ 0 (a) = 0, qua phép biến đổi được xác định y =aw+b với a = 1
Trong nghiên cứu của Czy˙zycki và cộng sự [9], họ đã phân tích sự tương đương của các phương trình Riccati dưới tác động của một số nhóm con của nhóm Lie, đặc biệt là nhóm con với các phép biến đổi dạng \$y = aw + b\$.
Trở lại với phương trình Riccati y 0 = a 2 y 2 +a 1 y+a 0 , bằng phép biến đổi y =aw+b với a= 1 a 2 và b=− 1
2a 2 (a 1 + a 0 2 a 2 ) phương trình Riccati đã cho được biến đổi về dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 =w 2 + ˜K 0 (a).
Từ đó ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 4.9 chỉ ra rằng phương trình vi phân Riccati có thể được chuyển đổi thành phương trình vi phân tự động thông qua phép biến đổi \(y = aw + b\) nếu và chỉ nếu bất biến vi phân \(K \sim 0 (a)\) là một hằng số.
Nếu K˜ 0 (a) là một hằng số thì nghiệm của phương trình Riccati có thể tìm được bằng phương pháp tách biến:
Phương trình Riccati có dạng \( Z \frac{dw}{dx} + w^2 + \tilde{K}_0(a) = x + C \), trong đó \( C \) là một hằng số tùy ý Nếu \( \tilde{K}_0(a) = 0 \), nghiệm tổng quát hữu tỷ của phương trình là \( w = -\frac{1}{x+C} \) Ngược lại, nếu \( \tilde{K}_0(a) \) là một hằng số khác không, phương trình \( \frac{dw}{dx} = w^2 + \tilde{K}_0(a) \) sẽ có nghiệm tổng quát Liouville không đại số trên \( C(x) \).
Nếu hàm K˜ 0 (a) không phải là hằng số và phương trình Riccati được xác định trên C(x), việc tìm nghiệm đại số của phương trình này có thể dựa vào thuật toán Kovacic (J Kovacic 1986) Mỗi nghiệm ω của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x) tương ứng với nghiệm y = e R ω của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y 00 + r(x)y = 0 Dựa vào lý thuyết Galois vi phân, Kovacic đã chứng minh rằng bậc nhỏ nhất của các nghiệm đại số trên C(x) của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x), với r(x) ∈ C(x), có thể là 1, 2, 4, 6, hoặc 12.
Dựa vào phân loại nhóm Galois vi phân của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, F Ulmer và cộng sự đã chỉ ra các bậc có thể có của các đa thức tối tiểu cho các nghiệm đại số của phương trình Riccati \( w' = w^2 + r(x) \).
A Zharkov (1995) đã chứng minh rằng nếu phương trình Riccati \( w_0 + w_2 = r \) với \( r \in \mathbb{Q}(x) \) có một nghiệm đại số, thì tồn tại một đa thức tối tiểu xác định nghiệm đó Đặc biệt, các hệ số của đa thức tối tiểu này nằm trong một mở rộng của trường \( \mathbb{Q} \) với bậc tối đa là 3.