Các định lý về trung bình số học và trung bình hình học
hình học Định nghĩa 1.1.1 Trung bỡnh số học A của n số a 1 , ã ã ã , a n là a 1 + a 2 + ã ã ã + a n n
Trung bình số học, hay trung bình cộng, của một tập hợp các số thực là giá trị trung bình của các số đó Theo định lý 1.1.2, tích của n số dương với tổng cố định đạt giá trị lớn nhất khi tất cả các số này bằng nhau Cụ thể, nếu các số \( a_i > 0 \) (với \( i = 1, 2, \ldots, n \)) và n là số lượng các số này, thì điều kiện trên được thỏa mãn.
X i=1 a i = nA không đổi thì a 1 ã a 2 ã ã ã a n ≤ A n (1.1) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ã ã ã = a n
Theo nghĩa hình học, trong tất cả các hình hộp n chiều với tổng độ dài các cạnh không đổi, khối hộp n chiều có thể tích lớn nhất Một cách phát biểu tương đương là: "Nếu một đoạn thẳng có độ dài cố định được chia thành hữu hạn các đoạn nhỏ hơn, thì tích các độ dài của các đoạn này đạt giá trị lớn nhất khi các đoạn được chia có độ dài bằng nhau."
Xột cỏc số dương a 1 , a 2 , ã ã ã , a n và n
Nếu a i = A, i = 1, 2, ã ã ã , n thỡ dấu = trong (1.1) xảy ra.
Nếu có a i 6= A thì sẽ có ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A Giả sử là a 1 và a 2 Đặt a 1 = A − h , a 2 = A + k trong đó h, k > 0 Tiếp tục đặt a 0 1 = A, a 0 2 = A + k − h
Rõ ràng, các số \(a_{01}\) và \(a_{02}\) là các số dương Chúng ta có một tập hợp mới gồm \(n\) số dương thỏa mãn tổng của chúng bằng tổng của \(n\) số dương ban đầu Cần chứng minh rằng \(a_{01} a_{02} > a_{1} a_{2}\) Cụ thể, ta có: \[a_{01} a_{02} = A (A + k - h) = A^2 + (k - h) A,\]và \[a_{1} a_{2} = (A - h)(A + k) = A^2 + (k - h) A - hk.\] Từ đó, ta có thể thấy rằng \(a_{01} a_{02}\) lớn hơn \(a_{1} a_{2}\).
Nếu A = a₀₁ = a₀₂ = a₃ = ã ã ã = aₙ, thì (1.1) là đúng Ngược lại, tồn tại ít nhất một số lớn hơn A và một số nhỏ hơn A Giả sử b₁, b₂, lặp lại chứng minh với hai số b₁, b₂, ta sẽ tìm được một tập hợp các số dương mới có tổng bằng tổng n số dương ban đầu và tích lớn hơn a₀₁ ã a₀₂ ã a₃ ã ã ã aₙ.
Tiếp tục lặp lại quá trình trên (nhiều nhất n − 1 lần) ta sẽ được n số dương luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Tổng của n số thực dương có tích bằng 1 luôn lớn hơn hoặc bằng n, với dấu bằng xảy ra khi tất cả các số đều bằng nhau và bằng 1 Định lý 1.1.3 khẳng định rằng, nếu có 8 số bằng nhau và bằng A, thì tích của chúng lớn hơn tích của n số dương khác có cùng tổng.
Cụ thể, nếu a i > 0, i = 1, ã ã ã , n và a 1 ã a 2 ã ã ã a n = 1 thỡ n
1 a i ≥ n Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a i = 1, ∀i = 1, 2, ã ã ã , n
Theo nghĩa hình học, nếu thể tích của một khối hộp chữ nhật n chiều là 1, thì tổng chiều dài các cạnh sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi khối đó là hình khối n chiều.
Ta cú a i ⩾ 0, ∀i = 1, 2, ã ã ã , n và a 1 ã a 2 ã ã ã a n = 1 Ta cần chứng minh n
Ta chia mỗi số cho tổng của chúng, khi đó ta được n số mới có tổng bằng 1 và áp dụng Định lý 1.1.2. Đặt s = n
X i=1 a i s = 1 n ã s s = 1 n Áp dụng Định lý 1.1.2 ta có b 1 ã b 2 ã ã ã b n ≤
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b 1 = b 2 = ã ã ã = b n = 1 n Tức là a 1 ã a 2 ã a 3 ã ã ã a n s ã s ã s ã ã ã s ≤
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \( a_i = 1 \) với mọi \( i = 1, 2, \ldots, n \) Định nghĩa trung bình hình học \( G \) của \( n \) số dương \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) là căn bậc \( n \) của tích của chúng.
Các Định lý 1.1.2 và 1.1.3 tương đương với định lý nổi tiếng về trung bình số học và trung bình hình học Định lý 1.1.5, hay còn gọi là bất đẳng thức AM - GM, khẳng định rằng trung bình hình học của n số dương không bao giờ lớn hơn trung bình số học của chúng, và dấu "=" chỉ xảy ra khi tất cả các số dương này bằng nhau.
G ≤ A. Áp dụng Định lý 1.1.2 suy ra điều phải chứng minh.
Tỉ số lượng giác của một góc
Cho các góc lượng giác α và β, ta có các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản như sau: sin²α + cos²α = 1, tanα = \(\frac{sinα}{cosα}\), tanα · cotα = 1, \(\frac{1}{cos²α} = 1 + tan²α\), và \(\frac{1}{sin²α} = 1 + cot²α\).
Quan hệ lượng giác giữa các cung góc có sự liên quan đặc biệt, đặc biệt là đối với hai góc đối nhau (α và −α), trong đó có công thức sin(−α) = −sin α.
10 cos(−α) = cos α, tan(−α) = − tan α, cot(−α) = − cot α. b Hai góc bù nhau ( α và π − α ) sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = − cos α, tan(π − α) = − tan α, cot(π − α) = − cot α. c Hai góc phụ nhau ( α và π
2 − α) = tan α. d Hai góc hơn kém nhau π ( α và π + α ) sin(π + α) = − sin α, cos(π + α) = − cos α, tan(π + α) = tan α, cot(π + α) = cot α.
Công thức cộng góc a sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, b cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β, c tan(α ± β) = tan α ± tan β
1 ∓ tan α tan β luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Công thức góc nhân đôi a sin 2α = 2 sin α cos α, b cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α, c tan 2α = 2 tan α
Công thức hạ bậc sin 2 α = 1 − cos 2α
Công thức góc nhân ba a sin 3α = −4 sin 3 α = 3 sin α, b cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α.
Liên hệ giữa sin 2α, cos 2α và tan α a sin 2α = 2 tan α
Công thức biến đổi tích thành tổng a cos α cos β = 1
2 [cos(α − β) − cos(α + β )]. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Công thức biến đổi tổng thành tích a sin α ± sin β = 2 sin α ± β
Một số đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản trong hình học
Trong tam giác ∆ABC, ký hiệu độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, và AB = c Đường cao từ các đỉnh A, B, C lần lượt được ký hiệu là h_a, h_b, h_c Đường trung tuyến tương ứng được ký hiệu là m_a, m_b, m_c Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác là R, trong khi bán kính của đường tròn nội tiếp là r Nửa chu vi của tam giác được tính bằng p = a + b + c.
2 Khi đó, ta có các kết quả sau. Định lý 1.3.1 (Bất đẳng thức tam giác)
Bất đẳng thức tam giác có thể được mở rộng thành bất đẳng thức ba điểm, giúp chúng ta có những đánh giá chặt chẽ hơn Định lý 1.3.2, hay còn gọi là bất đẳng thức ba điểm, áp dụng cho ba điểm trong mặt phẳng.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng. Định lý 1.3.3 (Công thức tính diện tích tam giác)
2 bh b luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
= q p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Heron) Định lý 1.3.4 (Công thức Heron) Cho giác ABC bất kỳ, ta có:
Gọi h a là độ dài của đường cao AH , xem hình (1.1) Đặt e = HC , khi đó c 2 − (a − e) 2 = h 2 a = b 2 − e 2
2a a 2 + b 2 − c 2 , do a 6= 0 ). luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
2 ah a , thay h 2 a = b 2 − e 2 ta được, 2T = ah a ,
Công thức (1.2) và (1.3) đã được chứng minh
Chúng ta thường quen thuộc với công thức Heron ở dạng sau
Ta có thể chứng minh công thức trên bằng cách chia cả hai vế của (1.3) cho
Định lý 1.3.5 mô tả mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác và góc đối diện thông qua công thức: \$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\$, \$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B\$, và \$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\$ Định lý 1.3.6 liên kết các cạnh của tam giác với các góc của nó qua công thức: \$a \sin A = b \sin B = c \sin C = 2R\$ Cuối cùng, Định lý 1.3.7 cung cấp công thức cho độ dài đường trung tuyến: \$m^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} - \frac{a^2}{4}\$.
Tải luận văn tốt nghiệp mới nhất qua email luanvanfull@gmail.com Định lý 1.3.8 (Công thức Brahmagupta) cho biết rằng, với tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) và các cạnh AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, diện tích của tứ giác ABCD được tính theo công thức nhất định.
Do ABCD nội tiếp nên A + C = π Suy ra sin A = sin C
4S ABCD 2 = (ab + cd) 2 − (ab + cd) 2 cos 2 A (1.4) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Sử dụng định lý hàm số cos cho hai tam giác ADB và BDC với cạnh
DB chung, ta có: a 2 + b 2 − 2ab cos A = c 2 + d 2 − 2cd cos C.
Do A + C = π nên cos C = − cos A , từ trên suy ra
2(ab + cd) cos A = a 2 + b 2 − c 2 − d 2 Thay vào (1.4) ta được
Công thức Heron để tính diện tích tam giác có thể được rút ra từ công thức Brahmagupta bằng cách xem một cạnh của tứ giác, cụ thể là d bằng 0 Điều này cho thấy tam giác là một trường hợp đặc biệt của tứ giác nội tiếp khi một cạnh của nó bằng không.
(b) Công thức Brahmagupta mở rộng (hay được gọi là công thức Bretschnei- der) tính diện tích một tứ giác bất kì (không nhất thiết nội tiếp).
S ABCD = q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos 2 θ, trong đó p = a + b + c + d
Định lý 1.3.9, hay còn gọi là công thức Bretschneider, mô tả cách tính diện tích của tứ giác ABCD với các cạnh AB = a, BC = b, CD = c, và DA = d Theo đó, nửa tổng hai góc đối của tứ giác được ký hiệu là θ.
S ABCD = q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos 2 θ, trong đó p = a + b + c + d
2 , θ là nửa tổng hai góc đối của tứ giác. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Chương 2 Các định lý đẳng chu
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lý thuyết về cực đại và cực tiểu, đồng thời trình bày và chứng minh các định lý đẳng chu trong tam giác và đa giác Chúng tôi cũng mở rộng nghiên cứu sang một số lớp hình trong không gian, bao gồm tứ diện và lăng trụ tứ giác Các kết quả trong chương này được dựa trên các tài liệu [6], [7], [9], [2], [3].
Cực đại và cực tiểu
Bài toán xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất với diện tích cố định là một ví dụ điển hình về các bài toán cực đại và cực tiểu trong hình học Các nhà hình học Hy Lạp đã nghiên cứu những vấn đề này từ thời kỳ trước Công nguyên Mặc dù không rõ ai là người đầu tiên nêu ra các bài toán liên quan đến cực đại và cực tiểu, nhưng nhiều bài toán đã xuất hiện tự nhiên trong xã hội nguyên thủy.
Khối trụ là hình dạng phổ biến trong tự nhiên, xuất hiện ở cuống hoa, thân cây và nhiều vật thể khác Những giọt nước và bong bóng thường có hình cầu, trong khi đàn tuần lộc xếp thành hình tròn khi bị tấn công bởi sói Mặc dù những vấn đề này liên quan đến toán học một cách gián tiếp, chúng vẫn kích thích tư duy toán học Một ví dụ trực tiếp hơn là việc xác định hình dạng của một thửa đất để tối ưu hóa diện tích với một hàng rào có độ dài cố định, hay tìm kích thước tối ưu cho vật chứa hình trụ nhằm đạt dung tích lớn nhất với diện tích bề mặt nhất định Người Hy Lạp đã nghiên cứu các hiện tượng tự nhiên như sự sắp xếp lục giác trong tổ ong, nhưng thường dẫn đến những kết luận sai lầm, do đó cần tìm kiếm giải pháp toán học chính xác hơn.
Bài toán nền tảng của các vấn đề trên được chia làm hai loại:
1 Trong số các hình (khối) có một tính chất nhất định, đâu là hình (khối) có diện tích (thể tích) lớn nhất?
2 Trong số tất cả các hình (khối) có cùng một tính chất nhất định, đâu là hình (khối) có chu vi (diện tích bề mặt) nhỏ nhất?
Các bài toán đẳng chu, hay còn gọi là bài toán về hình có cùng chu vi, đã thu hút sự chú ý của nhân loại trong hơn 2000 năm qua Định lý đẳng chu nổi tiếng khẳng định rằng trong số các hình có chu vi cho trước, hình tròn có diện tích lớn nhất, và trong số các hình có diện tích cho trước, hình tròn lại có chu vi nhỏ nhất.
Trong không gian, Định lý 2.1.2 (Định lý đẳng chu) chỉ ra rằng: a Trong số các khối có diện tích xung quanh cố định, khối cầu có thể tích lớn nhất b Trong số các khối có thể tích cố định, khối cầu có diện tích xung quanh nhỏ nhất.
Trước khi đi sâu vào hai kết quả quan trọng, chúng ta hãy điểm qua lịch sử của định lý nổi tiếng này Euclid, nhà toán học sống vào khoảng năm
300 TCN được biết đến là người giải quyết bài toán đẳng chu, cung cấp tài liệu cho luận văn tốt nghiệp Để tải luận văn thạc sĩ mới nhất, vui lòng liên hệ qua email: z z @gmail.com.
Hình chữ nhật đã được biết đến từ rất lâu, với nhiều định lý trong cuốn sách Cơ Sở của Euclid không phải là công trình của ông Archimedes, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất, đã phát biểu định lý đẳng chu Vào những năm đầu công nguyên, nghiên cứu về cực đại và cực tiểu trong hình học đã phát triển mạnh mẽ, với Zenodorus viết cuốn sách Các Hình Khối Đẳng Chu, mặc dù bản gốc đã không còn Các kết quả của ông được Pappus vùng Alexandria mô tả và chứng minh lại Pappus, trong tác phẩm của mình, đã biết đến định lý đẳng chu và cho rằng ông có cách chứng minh rằng "Hình tròn có chu vi lớn hơn bất kỳ đa giác nào có cùng chu vi".
Sau thời kỳ các nhà hình học Hy Lạp, sự phát triển trong lĩnh vực này diễn ra rất chậm Tuy nhiên, vào cuối thế kỷ 18, Simon Lhuilier, một nhà toán học người Thụy Sĩ, đã có những đóng góp quan trọng Tiếp theo đó, Jacob Steiner, cũng là người Thụy Sĩ, đã tiếp tục phát triển các ý tưởng này vào năm 1796.
Phương pháp do Lhuilier và Steiner phát triển vào năm 1863 đã có ảnh hưởng lớn trong toán học và vẫn được sử dụng cho đến nay Các phương pháp của Steiner chủ yếu mang tính hình học, được gọi là các phương pháp tổng hợp, cho phép ông giải quyết nhiều bài toán mà ngay cả giải tích cũng không thể Công trình của ông đã thúc đẩy sự phát triển của toán giải tích, đặc biệt là giải tích biến phân, nhờ vào một sai sót trong chứng minh định lý đẳng chu được phát hiện bởi Karl Weierstrass Để khắc phục lỗ hổng này, Weierstrass đã phát triển các phép tính mới, đặt nền tảng cho toán học hiện đại dựa trên logic chặt chẽ Công trình của Steiner vẫn giữ được sức hấp dẫn lớn trong lĩnh vực toán học.
Các định lý đẳng chu trong tam giác
Trong mục này, chúng ta xem xét một số định lý đẳng chu trong tam giác.
Trong tất cả các tam giác có cùng chu vi và một cạnh cố định, tam giác cân sẽ có diện tích lớn nhất.
Chứng minh thứ nhất cho tam giác ABC cân với đáy AB cho thấy rằng có thể dựng một tam giác ABD có cùng chu vi với tam giác ABC Điều này tương đương với việc xác định mối quan hệ giữa các cạnh và góc của hai tam giác.
Ta cần chứng minh rằng S ABC ≥ S ABD
Tam giác ABD có cùng chu vi với tam giác ABC nhưng không phải là tam giác cân, do đó tồn tại một cạnh AD sao cho \(AD > AC\) và cạnh BD sao cho \(BD < AC\) Điều này dẫn đến việc AD cắt BC tại điểm E, với \(E \neq D\) Tại điểm AE, ta có thể xác định điểm F sao cho \(EF = EB\), và sự tồn tại của F là hợp lệ vì \(BE < AE\).
Vì EAB < CAB = EBA, ta dựng đoạn EG trên EC (hoặc kéo dài EC) sao cho EG = ED Do ∆EFG = ∆EBD, để chứng minh diện tích ∆ABC lớn hơn diện tích ∆ABD, cần chỉ ra rằng G nằm giữa C và E.
Trước hết nhận thấy rằng F G = BD ( vì 4EF G = 4EBD ) và AC +
BC = AD + BD (theo giả thiết) Khi đó,
= AF + BC ± CG + F G. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Do đó, công thức AC = AF ± CG + FG được áp dụng, trong đó dấu cộng hoặc trừ phụ thuộc vào vị trí của G so với E và C Tuy nhiên, khả năng AC = AF + CG + FG không thể xảy ra, vì đoạn thẳng luôn là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.
S ABC =S ABE + S EF G + [S AF G + S ACG ]
=S ABD + [S AF G + S ACG ] Vậy S ABC > S ABD
Chứng minh thứ hai Xét tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c với a, a + b + c cho trước Vì a và a + b + c không đổi nên b + c không đổi Theo Công thức Heron, ta có
S ABC = q p(p − a)(p − b)(p − c). Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương p − b , p − c ta có
2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi p − b = b − c ⇔ b = c ⇔ 4ABC cân tại A.
Dựa trên công thức Heron, chúng ta có thể chứng minh một định lý mạnh hơn Định lý 2.2.1 Cụ thể, Định lý 2.2.2 khẳng định rằng nếu hai tam giác có cùng đáy và chu vi, thì tam giác nào có hiệu số độ dài hai cạnh bên nhỏ hơn sẽ có diện tích lớn hơn.
Chứng minh Xét tam giác ABC có BC = a , CA = b , AB = c với a, a+b+c cho trước Vì a và a + b + c không đổi nên b + c không đổi Theo Công thức Heron, ta có
S ABC = q p(p − a)(p − b)(p − c) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vì a, b + c là các đại lượng cố định, nên khi |b − c| giảm, diện tích S của tam giác ABC tăng lên Định lý 2.2.3 khẳng định rằng trong số các tam giác có cùng diện tích và một cạnh cố định, tam giác cân có chu vi nhỏ nhất.
Xét tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c trong đó c và S ABC cố định.
Vì S ABC không đổi nên
X 1 = (a + b) 2 − c 2 nhỏ nhất khi và chỉ khi X 2 = c 2 − (a − b) 2 lớn nhất Lại có, c không đổi nên ta có các khẳng định sau
• p = a + b + c nhỏ nhất khi a + b nhỏ nhất
• X 1 nhỏ nhất khi a + b nhỏ nhất;
Từ đây, suy ra điều cần chứng minh
Mệnh đề sau đây, cho ta mối liên hệ giữa Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.3 Mệnh đề 2.2.4 Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.3 tương đương.
Chứng minh Định lý 2.2.1 dẫn đến Định lý 2.2.3 Giả sử ∆ là một tam giác bất kỳ với diện tích T và chu vi P Tam giác ∆ 1 là một phần của nghiên cứu luận văn tốt nghiệp.
24 cân có cùng đáy và diện tích với ∆ nhưng có chu vị P 1 Ta sẽ chứng minh
P ≥ P 1 , với dấu bằng xảy ra ∆ cân.
Giả sử ∆ 2 là tam giác cân có cùng đáy với ∆ , với chu vi P và diện tích
T 2 Theo Định lý 2.2.1 , ta có
Vì ∆ 1 và ∆ 2 có cùng đáy và cùng là tam giác cân nên P > P 1
Chứng minh Định lý 2.2.3 dẫn đến Định lý 2.2.1 bằng cách xem xét tam giác bất kỳ ∆ với diện tích T và chu vi P Giả sử tam giác cân ∆ 1 có cùng đáy và chu vi với ∆ nhưng có diện tích T 1 Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh.
T ≤ T 1 , với dấu bằng xảy ra ∆ cân.
Giả sử ∆ 2 là tam giác cân có cùng đáy với ∆ , với diện tích T và chu vi
P 2 Theo Định lý 2.2.3 , ta có
Trong số các tam giác có cùng chu vi, tam giác đều là hình có diện tích lớn nhất Điều này được thể hiện qua định lý đẳng chu trong tam giác, cho thấy rằng với các tam giác cân cùng đáy, diện tích của chúng không vượt quá diện tích của tam giác đều.
Bài viết sẽ trình bày ba phương pháp chứng minh cho định lý này, mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng Phương pháp đầu tiên chủ yếu dựa vào sự minh họa của định lý về trung bình cộng và trung bình nhân Phương pháp thứ hai tuy dài hơn nhưng lại thể hiện một phương pháp quan trọng trong toán học Cuối cùng, phương pháp thứ ba ngắn gọn như phương pháp đầu tiên và phản ánh khía cạnh hình học trong việc dựng hình số học theo cách chứng minh của Định lý 1.1.2.
Chứng minh thứ nhất cho rằng trong tam giác ABC bất kỳ với chu vi P cố định, các cạnh a, b, c lần lượt là độ dài của các cạnh BC, CA, AB Do P là hằng số, điều này dẫn đến một số hệ quả quan trọng trong hình học.
16T 2 = P (P − 2a)(P − 2b)(P − 2c), lớn nhất khi (P − 2a) (P − 2b) (P − 2c) lớn nhất Lại có
(P − 2a) + (P − 2b) + (P − 2c) = P. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si cố định Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Do vậy, T lớn nhất khi đó là tam giác đều.
Cách thứ hai được trình bày dưới đây, được đề xuất bởi Simon Lhuilier, dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp.
Giả sử ∆ 1 là một tam giác bất kỳ với chu vi P và diện tích S 1, không phải là tam giác đều Chúng ta chứng minh rằng nếu ∆ là tam giác đều có cùng chu vi P, thì diện tích S của ∆ sẽ lớn hơn S 1 Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ xây dựng một chuỗi vô hạn các tam giác.
∆ 1 , ∆ 2 , , ∆ n , có chu vi P và diện tích tương ứng là S 1 , S 2 , , S n sao cho
Khi n ngày càng lớn, các tam giác ∆ n sẽ xấp xỉ với tam giác đều ∆ và diện tích sẽ tiến dần đến diện tích của ∆
Bây giờ, ta xây dựng dãy các tam giác {∆ n } Tam giác đầu tiên trong dãy là ∆ 1 Giả sử rằng, ∆ 1 có độ dài ba cạnh lần lượt là b , a 1 , a 2 Đặt s 1 = a 1 + a 2
• Tam giác thứ 2 trong dãy là tam giác cân ∆ 2 với độ dài đáy là b và mỗi cạnh bên có độ dài 1
2 s 1 Với cách dựng này ta dễ dàng thấy rằng ∆ 1 và
• Tam giác thứ 3 trong dãy dãy là tam giác cân ∆ 3 có độ dài đáy là 1
2 s 1 và độ dài mỗi cạnh bên là 1
2 s 1 Với cách dựng này ta dễ dàng thấy rằng ∆ 2 và ∆ 3 có cùng chu vi. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
• Với n ≥ 3 , sau khi đã dựng được tam giác cân ∆ n với độ dài cạnh đáy là 1
2 s n−2 và độ dài hai cạnh bên là 1 s n−1
2 (s n−2 + s n−1 ) và dựng tam giác cân ∆ n+1 với độ dài đáy là 1
2 s n−1 và độ dài mỗi cạnh bên là 1
2 s n Với cách dựng này ta dễ dàng thấy rằng ∆ n và ∆ n+1 có cùng chu vi.
Chúng ta đã xây dựng một dãy tam giác có cùng chu vi ∆ n Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét diện tích của ∆ n với n ∈ N ∗ Gọi S n là diện tích và chu vi của ∆ n Cả hai tam giác ∆ n và ∆ n+1 đều có một cạnh dài 1.
Theo Định lý 2.2.1, với mỗi số tự nhiên \( n \), diện tích \( S_{n+1} \) lớn hơn diện tích \( S_n \) khi hai hình có cùng chu vi Các tam giác này dần trở thành tam giác đều, với độ dài hai cạnh bên của tam giác \( \Delta_n \) là 1.
2 s n−1 và cạnh đáy có độ dài 1
2 (s n−1 − s n−2 ) với n ≥ 3 Khi đó, bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng t n+2 = s n+1 − s n = (−1 n )
Cho n dần về vô cùng, ta thu được giới hạn lim n→+∞ t n = 0 Điều này chứng tỏ rằng khi n rất lớn, ∆ n sẽ được xấp xỉ với một tam giác đều ∆
Các định lý đẳng chu trong đa giác
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát tứ giác và đa giác, với câu hỏi quan trọng là: Trong số các n− giác có chu vi cố định, n− giác nào có diện tích lớn nhất? Dựa trên kết quả trước đó, có thể dự đoán rằng n− giác đều sẽ là câu trả lời Trước khi xác minh dự đoán này, chúng ta sẽ xem xét một số kết quả đơn giản hơn Định lý 2.3.1 chỉ ra rằng một tứ giác có kích thước xác định sẽ có diện tích lớn nhất khi nó nội tiếp một đường tròn.
Xét tứ giác ABCD có độ dài các cạnh của tứ giác lần lượt là a, b, c, d Khi đó, theo công thức Bretschneider, ta có
S ABCD = q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos 2 θ, trong đó p = a + b + c + d
2 , θ là nửa tổng hai góc đối của tứ giác.
Tứ giác ABCD với độ dài các cạnh cho trước và cos θ ≥ 0 sẽ có diện tích S ABCD đạt giá trị lớn nhất khi cos θ = 0, tức là θ = 90° Điều này cho thấy tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp Theo định lý 2.3.2, trong số tất cả các tứ giác có chu vi cố định, hình vuông sẽ có diện tích lớn nhất.
Tứ giác ABCD có các cạnh lần lượt là a, b, c, d với tổng độ dài cố định là 2p = a + b + c + d Diện tích của tứ giác ABCD được xác định theo công thức Bretschneider.
S ABCD = q (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) − abcd cos 2 θ, trong đó p = a + b + c + d
2 , θ là nửa tổng hai góc đối của tứ giác. Để ý thấy rằng, luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
• abcd cos 2 θ ≥ 0 , dấu bằng xảy ra khi θ = 90 ◦ ;
• Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
16 Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = d
Diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất khi góc θ bằng 90 độ và các cạnh a, b, c, d đều bằng nhau, tức là tứ giác ABCD là hình vuông Theo định lý 2.3.3, trong số tất cả các tứ giác có diện tích cố định, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Giả sử ABCD là tứ giác có diện tích, chu vi lần lượt là S 0 , P 0 Gọi H 1 ,
Hình vuông H 2 có cùng diện tích và chu vi với tứ giác ABCD Gọi P 1 và S 2 lần lượt là chu vi và diện tích của H 1 và H 2 Để hoàn tất chứng minh của Định lý 2.3.3, cần chứng minh rằng P 0 ≥ P 1.
Thật vậy, Vì ABCD và H 2 có cùng chu vi P 0 , nên theo Định lý 2.3.2, ta có
S 0 ≤ S 2 Lại có H 1 và H 2 là các hình vuông Do đó, ta nhận được
Một hình được gọi là lồi nếu các đoạn thẳng nối từ các điểm của nó đều nằm hoàn toàn bên trong hình Đối với một n-góc bất kỳ với tất cả các cạnh không bằng nhau, có thể dựng một n-góc mới có cùng chu vi nhưng có diện tích lớn hơn.
Nếu n - giác không lồi, ta có thể tạo ra một hình lồi có cùng chu vi và độ dài các cạnh bằng cách phản xạ hữu hạn lần Cụ thể, nếu đoạn thẳng nối hai đỉnh không liên tiếp, chẳng hạn như A và B, nằm bên ngoài hình G, ta sẽ thực hiện phản xạ phần biên của hình.
Hình mới sẽ lồi và có diện tích lớn hơn, trong khi độ dài các cạnh vẫn được giữ nguyên Tuy nhiên, đây vẫn chưa phải là kết quả mà chúng ta mong muốn.
Ta cần chỉ ra trong các n - giác lồi vẫn dựng được hình mới có diện tích lớn hơn.
Giả sử n - giác đã cho là lồi với chu vi P Do các cạnh không bằng nhau, tồn tại hai cạnh kề nhau có độ dài nhỏ hơn và lớn hơn P/n Nếu hai cạnh này không kề nhau, ta có thể thực hiện phản xạ liên tiếp để tìm ra hai cạnh thỏa mãn điều kiện trên.
Giả sử n - giác đã cho không có cặp cạnh kề nào với một cạnh nhỏ hơn P_n và một cạnh lớn hơn P_n Trong trường hợp này, sẽ có k cạnh liên tiếp có độ dài P_n (k ≥ 1) chia cắt một cặp cạnh như vậy Gọi cạnh ngắn hơn là AB và cạnh dài hơn là XY Phản xạ cạnh AB qua đường trung trực của AC sẽ tạo ra hình mới AB'CD'XY, trong đó AB = B'C < P_n < XY và bị chia cắt bởi k - 1 cạnh liên tiếp Tiếp tục lặp lại quá trình này, sau k - 1 bước, ta sẽ có n - giác mới với độ dài các cạnh không đổi và hai cạnh kề nhau (gọi là AB và BC) thỏa mãn AB < P_n < BC.
Bây giờ, sau khi đã có hai cạnh AB < P n < BC kề nhau Ta có thể dựng ∆AB 0 C ( n - giác mới sau khi thay thế B bằng B 0 vẫn lồi) thỏa mãn
Gọi diện tích ∆ABC là T và diện tích ∆AB 0 C là T 0 Ta cần chứng minh
AB < AB 0 = P n < BC, Suy ra
BC − AB > BC − AB 0 Hơn nữa
B 0 C = AB + BC − AB 0 < AB + BC − AB = BC,
BC − AB > BC − AB 0 > B 0 C − AB 0 Theo công thức Heron
16T 2 = h (AB + BC ) 2 − AC 2 i ã h AC 2 − (BC − AB) 2 i luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
= h (AB 0 + B 0 C) 2 − AC 2 i ã h AC 2 − (BC − AB ) 2 i
Vì vậy diện tích của n - giác AB 0 C lớn hơn diện tích của n - giác ABC bằng việc dựng hai n - giác có cùng chu vi.
Ta lặp lại quá trình trên tối đa n − 1 lần để tạo ra n - giác có chu vi P và diện tích lớn hơn Theo định lý 2.3.6, trong số các n - giác nội tiếp một đường tròn (C) đã cho, n - giác đều sẽ có diện tích lớn nhất.
Khi n = 3, ta xem xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) với các cạnh BC, CA, AB lần lượt có độ dài a, b, c Bán kính của đường tròn C được ký hiệu là R, và diện tích của tam giác ABC là T.
4R Áp dụng Bất đẳng thức AM - GM, ta có
4 R 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, A b = B b = C b ⇔ 4ABC đều
Với n > 3, H là n-góc có diện tích lớn nhất trong số các n-góc nội tiếp đường tròn (C) Nếu H không phải là n-góc đều, ta có thể chọn hai cạnh kề nhau của H có độ dài khác nhau.
34 cạnh đó là AB , BC Gọi B 0 là điểm chính giữa cung AC , rõ ràng ta có được bất đẳng thức
Dấu bằng xảy ra khi B ≡ B 0 Do vậy, khi ta dựng n− giác H 1 bằng cách từ
H thay đỉnh B bởi đỉnh B 0 , ta sẽ có
Diện tích của hình n-góc đều H1 lớn hơn diện tích của hình n-góc H, điều này mâu thuẫn với cách chọn H Do đó, H phải là n-góc đều Theo định lý 2.3.7, trong số các n-góc có cùng chu vi, n-góc đều sẽ có diện tích lớn nhất.
Gọi S là tập hợp tất cả các n− giác có chu vi P 0 Gọi H 0 là n− giác có diện tích lớn nhất.
Giả sử rằng H 0 có các cạnh không cùng độ dài, sẽ có hai cạnh liền nhau AB và BC có độ dài khác nhau Tam giác ABC không cân tại đỉnh B Khi kéo đỉnh B theo đường song song với AC về điểm B 0, ta tạo ra tam giác cân AB 0 C tại B 0.
Hình 2.3: Hiệu chỉnh để hai cạnh kề bằng nhau.
Các định lý đẳng chu trong không gian
Định lý đẳng chu trong mặt phẳng mở rộng từ tam giác đến tứ giác và các hình khác, yêu cầu độ khó tăng dần trong chứng minh hình học Bài viết này sẽ trình bày các định lý đẳng chu trong không gian và thảo luận về các bài toán liên quan đến tứ diện, hình hộp và các hình gần gũi khác Phần chứng minh tổng quát có thể bị lược bỏ do giới hạn của luận văn và độ phức tạp của các yếu tố giải tích Định lý 2.4.1 (Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian) nêu rõ rằng với mọi hình trong không gian, diện tích bề mặt S và thể tích V đều thỏa mãn đẳng thức.
Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi nó là hình cầu.
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh chặt chẽ bởi Schwarz năm 1890.
Do đó, trong công thức (2.2) khi cố định S (hoặc cố định V ) ta cũng có hai phát biểu tương đương về định lý đẳng chu trong không gian sau đây.
1 Trong tất cả các hình trong không gian với diện tích bề mặt đã cho, hình cầu có thể tích nhỏ nhất.
Trong tất cả các hình không gian có thể tích cố định, hình cầu sở hữu diện tích bề mặt nhỏ nhất Đồng thời, trong số các hình hộp với tổng chiều dài các cạnh nhất định, hình lập phương đạt được thể tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình bình hành có chiều dài các cạnh cho trước, hình chữ nhật có diện tích lớn nhất Tương tự, trong các hình hộp có cùng chiều dài các cạnh, hình hộp chữ nhật có thể tích lớn hơn Do đó, chỉ cần xét hình hộp chữ nhật với chiều dài các cạnh là a, b, c Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có
Dấu "=" chỉ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức là hình hộp là hình lập phương Một đường gấp khúc kín với bốn cạnh và bốn đỉnh không đồng phẳng được gọi là tứ giác ghềnh Nếu các đỉnh của tứ diện trùng với các đỉnh của tứ giác ghềnh, thì nó được gọi là trương tứ giác.
Có thể thấy thể tích của một tứ diện trương một tứ giác ghềnh mà các cạnh là một đường chéo và 3 cạnh liên tiếp của hình hộp bằng 1
6 thể tích hình hộp (Hình 2.6).
Bổ đề 2.4.4 nêu rằng mặt phẳng (α) vuông góc với cạnh AB của tứ giác ghềnh ABCD Khi chiếu tứ giác ABCD lên mặt phẳng (α), ta thu được tam giác ∆BEF.
Hình 2.6 thể tích V của một tứ diện trương tứ giác ABCD được tính theo công thức
Chứng minh Để ý rằng AB k DF nên S ABD = S ABF Hai tứ diện ABCD ,
ABCF cùng đỉnh C và hai đáy có diện tích bằng nhau Do đó
Lập luận tương tự ta được: V ABCF = V ABEF Mặt khác
Suy ra điều phải chứng minh
Chúng ta sẽ tiếp cận định lý 2.4.5 thông qua tứ diện trương tứ giác ghềnh Trong tất cả các tứ diện trương tứ giác ghềnh ABCD có chu vi cố định 2p và chiều dài cạnh AB bằng h, tứ diện có thể tích lớn nhất là tứ diện mà các cạnh AD, DB, CB bằng nhau và tạo thành với cạnh AB các góc bằng nhau.
Chứng minh Từ Bổ đề 2.4.4, ta cần xác định độ dài và vị trí các cạnh
AD, DB, CB sao cho ∆BEF có diện tích lớn nhất.
Ta hãy trải các mặt ABF D, F DCE, CEB lên một mặt phẳng.
Trên hình phẳng ta thu được (hình 2.8), chiều dài cạnh B 1 B 2 bằng chu vi ∆BEF Từ đó ta thấy rằng chu vi ∆BEF sẽ lớn nhất khi các đoạn
AD, DC, CB chỉ tạo thành với cạnh AB một góc α = arccos h 2p − h mà thôi (hình 2.9) Do đó tứ giác ghềnh có AB = h và chu vi là 2p sao cho
∆BEF có chu vi không đổi có thể dựng bằng cách sau đây.
Gấp một hình chữ nhật với cạnh AB 1 = h và đường chéo AB 2 = 2p − h để tạo thành mặt xung quanh của lăng trụ đáy tam giác, sao cho điểm B 1 trùng với điểm B 2 và đoạn AB 1 là một cạnh bên Kết quả là đường B 1 ACDB 2 sẽ trở thành tứ giác ghềnh mà chúng ta mong muốn.
Bằng cách chuyển đổi bài toán cần chứng minh thành bài toán đẳng chu với ∆BEF, chúng ta nhận thấy rằng trong các tam giác có chu vi cố định, tam giác đều có diện tích lớn nhất Do đó, ta có BF = FE = EB, dẫn đến tứ giác ghềnh ABCD phải có các cạnh AD, DC, CD bằng nhau và tạo với cạnh AB một góc duy nhất Từ đó, tứ giác ghềnh ABCD được xác định một cách duy nhất, hoàn thành chứng minh của định lý.
Trong tất cả các tứ diện trương tứ giác ghềnh có chu vi cố định, tứ diện có thể tích lớn nhất là tứ diện trương tứ giác với các cạnh bằng nhau và góc giữa mọi cặp cạnh đều bằng nhau.
Chứng minh Trước tiên, ta hãy tính thể tích tứ diện trương ABCD trong Định lý 2.4.5 Từ hình 2.8, ta có thể thấy chu vi ∆BEF bằng q (2p − h) 2 − h 2 = 2 q p(p − h).
Nghĩa là diện tích lớn nhất của nó bằng
Cuối cùng thể tích lớn nhất của hình tứ diện trương tứ giác theo công thức (2.3) là
Chúng ta sẽ chứng minh Định lý 2.4.6, trong đó tứ diện được xem xét có chu vi cố định là 2p Mục tiêu là tìm chiều cao h để thể tích V trong công thức (2.4) đạt giá trị lớn nhất Theo Bất đẳng thức AM - GM, chúng ta có:
108 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
2 Khi đó chiều dài mỗi cạnh còn lại sẽ là 2p − h
Có thể chứng minh sự bằng nhau của các góc bằng cách tính trực tiếp, thật vậy vì h = p
2 nên tất cả các góc bằng arccos 1
3 Tuy nhiên có thể đơn giản hơn, hãy chú ý rằng tứ giác ghềnh mà ta đang xét có vai trò các cạnh đều như nhau
Theo Định lý 1.1.2, trong số tất cả các khối ba chiều có chu vi cố định, khối lập phương có thể tích lớn nhất Đối ngẫu của định lý này chỉ ra rằng, trong các lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật và thể tích cố định, khối lập phương có diện tích mặt nhỏ nhất Sự kết hợp giữa điều này và Định lý 2.3.3 cho phép chúng ta chứng minh một mệnh đề tổng quát hơn liên quan đến lăng trụ tứ giác.
Lăng trụ tứ giác được định nghĩa là khối hình thành từ hai tứ giác tương đẳng Q và Q 0 nằm trên hai mặt phẳng khác nhau, với các cạnh tương ứng song song Nếu các đoạn thẳng nối các đỉnh của Q đến Q 0 vuông góc với mặt phẳng chứa chúng, lăng trụ được gọi là lăng trụ đứng; nếu không, nó là lăng trụ xiên Q và Q 0 là đáy của lăng trụ, trong khi khoảng cách giữa hai mặt phẳng là đường cao Thể tích lăng trụ được tính bằng tích của diện tích đáy và đường cao Theo định lý 2.4.7, trong số các lăng trụ tứ giác có thể tích cố định, khối lập phương có diện tích bề mặt nhỏ nhất.
Chứng minh rằng lăng trụ tứ giác P có thể giữ nguyên thể tích V trong khi giảm diện tích bề mặt S Để thực hiện điều này, đầu tiên, cố định đáy của P và chuyển đổi nó thành lăng trụ đứng Sau đó, giữ nguyên diện tích A của đáy cố định và biến đổi lăng trụ đứng thành lăng trụ đứng có đáy hình vuông.
Hình 2.10 c Cuối cùng ta chuyển lăng trụ đứng đáy hình vuông thành khối lập phương.
Nếu một lăng trụ đứng và một lăng trụ xiên có cùng đáy và thể tích, lăng trụ đứng sẽ có diện tích bề mặt nhỏ hơn Điều này xảy ra vì cả hai lăng trụ đều có cùng chiều cao (ký hiệu là h) Mỗi mặt bên của lăng trụ đứng là hình chữ nhật với chiều cao h, trong khi mặt bên của lăng trụ xiên là hình bình hành với chiều cao tối thiểu là h và cùng đáy với hình chữ nhật Diện tích các mặt bên tương ứng chỉ bằng nhau khi lăng trụ P là lăng trụ đứng, do đó bước (1) không thể làm tăng diện tích S Nếu lăng trụ P không phải là lăng trụ đứng, bước (1) thực tế sẽ làm giảm diện tích S.
Hình 2.11 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Do diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đứng được giữ cố định trong suốt bước (2), và vì diện tích mỗi mặt bên của lăng trụ đứng bằng tích của chiều cao và chu vi đáy, theo Định lý 2.3.3, bước (2) không thể làm tăng diện tích S Nếu đáy của lăng trụ đứng là một hình vuông, thì thực tế, bước (2) sẽ dẫn đến sự giảm diện tích S.
Phép đối xứng
Hermann Weyl, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, đã từng nói rằng "Đối xứng, dù được định nghĩa rộng hay hẹp, là một ý tưởng mà nhân loại đã nỗ lực hiểu để tạo ra trật tự, vẻ đẹp và sự hoàn hảo."
Lập luận dựa trên khái niệm đối xứng là một trong những phương pháp mạnh mẽ và thanh lịch trong toán học Chương này sẽ khám phá vai trò của các nghiên cứu về bất đẳng thức thông qua phép đối xứng đơn giản nhất, đó là đối xứng đường thẳng, chia hình thành hai phần phản chiếu nhau Đối xứng không chỉ ảnh hưởng đến toán học mà còn có tác động mạnh mẽ đến nghệ thuật của các nền văn minh sơ khai.
Hy Lạp đã dẫn đến những khám phá quan trọng về các khối đa diện thông thường như khối tứ diện, khối bát diện, khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt Các đối xứng của những khối đa diện này đã đóng góp vào sự phát triển của nhánh toán học hiện đại được gọi là topo đại số.
Phép biến hình dạng đối xứng và nhiều số liệu hình học thú vị đã được khám phá qua các nghiên cứu về phản xạ, đặc biệt là trong các công trình về khối đa diện của Hubert và Cohn-Vossen Nguyên lý toán học trừu tượng liên quan đến phản xạ, được gọi là Nguyên lý phản xạ, do Heron phát hiện, cho thấy rằng tia phản xạ từ nguồn đến máy thu qua mặt phẳng là ngắn nhất Điều này tương đương với việc góc tới bằng góc phản xạ Các phát biểu tương đương có thể được diễn đạt dưới dạng bài toán.
3.1.1 (Bài toán Heron trong mặt phẳng) Cho hai điểm A , B nằm cùng phía so với đường thẳng XY cho trước Xác định điểm C ∈ XY sao cho AC + BC nhỏ nhất.
Chứng minh Lấy B 0 đối xứng với B qua XY , nối AB 0 cắt đường thẳng XY
Hình 3.1 tại C luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta cần chứng minh C là điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, với mọi điểm P ∈ XY ta có:
3.1.2 (Bài toán Heron trong không gian) Cho một đường thẳng l và
2 điểm A, B ( A, B và đường thẳng l không đồng phẳng) Tìm điểm X trên l sao cho đường gấp khúc AXB ngắn nhất.
Lời giải Bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu A, B, l đồng phẳng Gọi α là mặt phẳng
Hình 3.2 tạo bởi l, α Sử dụng phép quay trong không gian trục đường thẳng l biến biến B thành B 0 sao cho B 0 ∈ α Gọi X 0 là giao điểm của l và AB 0 Với
AX + BX = AX + BX 0 ≥ AB 0 = AX 0 + B 0 X 0 Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ X ≡ X 0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bài toán Dido
Steiner đã áp dụng phép đối xứng để tạo ra hiệu ứng ấn tượng trong việc liên kết với các định lý đẳng chu hình học và các kết quả liên quan Một trong những ứng dụng nổi bật của nó là lời giải cho bài toán Dido.
Công chúa Dido, còn được biết đến với tên gọi nữ hoàng Dido hay công chúa Elissar, là người sáng lập thành phố Carthage cách đây khoảng 3000 năm Bà là công chúa xứ Tyre, thuộc vương quốc Phoenicia, và đã phải chạy trốn khỏi quê hương sau khi anh trai mình, vua Pygmalion, giết chồng bà để chiếm đoạt tài sản Dido cùng đoàn người tị nạn đã đến Carthage, nơi bà xin vua Berber một mảnh đất nhỏ để định cư Vua đồng ý cho bà một khu đất có thể được khoanh vùng bằng một tấm da bò, và Dido đã khéo léo cắt da bò thành một dải dài để mở rộng diện tích đất cho thành phố mới của mình.
Với một dải dây đã có, làm sao khoanh được một vùng đất có diện tích lớn nhất ở cạnh biển?
Khi vùng đất tiếp giáp với biển, không cần khoanh dây biên giới ngoài biển, chỉ cần xác định biên giới đến điểm giáp biển Bài toán giả định bờ biển thẳng và dài hơn dải da bò của Dido, người đã thành công trong việc giải quyết vấn đề này và trở thành nữ hoàng của Carthage Trong đất liền, hình tròn là câu trả lời tự nhiên, nhưng trên bờ biển, bài toán thay đổi Với giả thiết bờ biển là đường thẳng, cần tối đa hóa diện tích phần giới hạn giữa cung và đoạn thẳng XZ.
Bài toán Dido được giải bằng phương pháp phản xạ gương, trong đó đoạn thẳng dài vô hạn (bờ biển) được coi như một cái gương Khi phản xạ cung XYZ thành XY’Z, hình mới có diện tích gấp đôi diện tích cần tìm cực đại Diện tích này đạt cực đại khi hình giới hạn XYZY’ là hình tròn, với đường bờ biển đóng vai trò là trục đối xứng.
Giải pháp cho vấn đề của Dido nằm ở sự dối xứng Nếu coi bờ biển như một tấm gương phản chiếu vùng đất được bao quanh bởi sợi dây da ẩn, vấn đề của bà trở thành việc tìm kiếm hình có diện tích lớn nhất.
Đường bờ biển là đường đối xứng với chu vi cho trước, gấp đôi chiều dài sợi dây Trong số tất cả các hình có chu vi cố định, hình tròn, với trục đối xứng, được chứng minh là có diện tích tối đa theo định lý đẳng chu Do đó, giải pháp tối ưu của Dido cho bài toán này là hình bán nguyệt.
Đối xứng hóa Steiner
Chúng ta công nhận rằng, trong số các hình có cùng chu vi, luôn tồn tại hình có diện tích lớn nhất Steiner đã đề xuất ý tưởng sử dụng tính phản xạ để chứng minh Định lý đẳng chu, với mục tiêu chứng minh rằng:
Hình lớn nhất phải đối xứng với mọi đường thẳng chia chu vi của nó thành hai phần bằng nhau Để chứng minh điều này, cần lưu ý rằng hình lớn nhất phải là hình lồi Một dây cung chia chu vi của hình lồi thành các phần bằng nhau sẽ nằm hoàn toàn trong hình này Nếu tồn tại một dây như vậy nhưng không chia diện tích thành hai phần bằng nhau, ta có thể loại bỏ nửa nhỏ hơn và thay thế bằng ảnh đối xứng của phần lớn hơn, từ đó tạo ra một hình mới có cùng chu vi nhưng diện tích lớn hơn Hình mới này có thể không lồi, nhưng có thể biến thành hình lồi mà vẫn giữ chu vi cố định Cần lưu ý rằng một dây cung chia đôi chu vi có thể chia hình lồi thành hai nửa có diện tích bằng nhau nhưng không đối xứng qua dây Việc chọn phần nào để thực hiện phép đối xứng không quan trọng, và hình được tạo ra có thể không lồi nhưng có thể biến thành hình lồi Kết quả là, nếu tồn tại một hình phẳng có chu vi xác định, hình có diện tích lớn nhất phải đối xứng qua mọi đường thẳng chia chu vi của nó.
2 phần bằng nhau, vì vậy PHẢI là một đường tròn.
Một phương pháp chứng minh khác của Steiner cho định lý đẳng chu dựa trên quan điểm rằng hình lớn nhất cần có một trục đối xứng ở mọi hướng Để minh họa cho ý tưởng này, trước tiên chúng ta cần chú ý đến kết quả sau.
Mệnh đề 3.3.1 nêu rằng nếu ABCD là hình thang và AB 0 C 0 D là hình thang cân có cùng đáy và chiều cao, thì chu vi của hình thang AB 0 C 0 D không lớn hơn chu vi của hình thang ABCD, đồng thời diện tích của hai hình thang này là bằng nhau, tức là \( S_{ABCD} = S_{AB 0 C 0 D} \).
Hình thang ABCD và hình thang cân AB0C0D0 có cùng đáy và chiều cao, với trục đối xứng là đường trung trực của AD Điều này thể hiện nguyên lý phản xạ rằng tam giác có đáy và chiều cao cố định sẽ có diện tích nhỏ nhất khi nó là tam giác cân.
A có thể coi là nguồn, D là máy thu và B 0 C 0 là gương Do đó, diện tích của
AB 0 C 0 D bằng với diện tích của ABCD , trong khi chu vi của nó là nhỏ hơn hoặc bằng chu vi của ABCD
Xét một hình phẳng bất kỳ, ta có thể chia nó thành các dải hẹp song song, mỗi dải được coi như một hình thang Từ các hình thang này, ta có thể tạo ra một hình mới bằng cách biến đổi chúng thành các hình thang cân, giữ nguyên các đáy và diện tích Việc sắp xếp các hình thang mới sao cho chúng có cùng đường trung bình sẽ giúp tạo ra một hình dạng đồng nhất và dễ dàng phân tích hơn.
Hình 3.5(c) có cùng diện tích với hình 3.5(b) nhưng có chu vi nhỏ hơn, theo định lý về hình thang Khi chia hình lồi ban đầu (Hình 3.5(a)) thành các dải hẹp hơn, các đa giác tròn (hình 3.5(b)) sẽ tiến dần đến diện tích và chu vi của hình ban đầu Thực tế, diện tích và chu vi của hình phẳng được định nghĩa là giới hạn của dãy các đa giác xấp xỉ Đa giác được biến đổi (Hình 3.5(c)) sẽ tiến dần đến một hình lồi có trục đối xứng.
Với một hình lồi đã cho, có thể tạo ra một hình lồi khác có cùng diện tích và chu vi nhỏ hơn hoặc bằng chu vi của hình ban đầu, đồng thời có trục đối xứng theo hướng xác định Hình lồi đối xứng này có thể được xây dựng thông qua một phép dựng cụ thể.
Để dựng hình, trước tiên vẽ một đường thẳng đứng theo hướng đã cho Sau đó, xác định các dây của hình lồi ban đầu sao cho chúng vuông góc với các dây cung đã dựng Tiếp theo, di chuyển các dây cung để đảm bảo đường thẳng đã dựng là trung trực của mỗi dây cung Cuối cùng, các đầu mút của các dây được phân bổ tạo thành một hình đối xứng.
Hình 3.6 có diện tích tương đương với hình ban đầu nhưng lại có chu vi nhỏ hơn Phép dựng hình này được gọi là đối xứng hóa Steiner, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết về vật thể lôi.
Chúng ta đang trong quá trình hoàn thành việc chứng minh định lý đẳng chu Đối với một vật lồi không có trục đối xứng theo bất kỳ chiều nào, chúng ta sẽ áp dụng đối xứng hóa Steiner theo hướng đó để tạo ra một hình lồi mới.
Hai hình có cùng diện tích nhưng khác nhau về chu vi Khi phóng to một hình cho đến khi có cùng chu vi với hình còn lại, ta nhận thấy rằng nếu một hình không có trục đối xứng, nó không thể là hình có diện tích lớn nhất trong số các hình có cùng chu vi Do đó, hình tròn được xác định là hình có diện tích lớn nhất nếu tồn tại hình lớn nhất.
