(Luận văn) bài toán hit đối với đại số đa thức tại một số bậc

Bài toán này là một trong những bài toán trọng tâm của Tô pô - Đại số và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kinh điển của lý thuyết đồng luân.. Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận

Trang 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN SUM

luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 3

Trang 4

F 2 : Trường hữu hạn có hai phần tử.

P k : Đại số đa thức của k biến x 1 , x 2 , , x k trên trường F 2

A : Đại số Steenrod mod 2.

N k : Tập hợp tất cả các số nguyên dương không vượt quá k

α i (n) : Hệ số thứ i > 0 trong khai triển nhị phân của số nguyên dương n

α(n) : Số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của n

Trang 5

số Steenrod là một bài toán mang tính thời sự, đang được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong nước và quốc tế Bài toán này là một trong những bài toán trọng tâm của Tô pô - Đại số và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kinh điển của lý thuyết đồng luân Cụ thể là, bài toán này được ứng dụng trong việc nghiên cứu biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính là một trong những hướng nghiên cứu có tính thời sự cao.

Bài toán hit được Frank Peterson đặt ra vào năm 1987 và đã xác định tường minh khi k = 1, 2 trong [?] Trường hợp k = 3 được xác định hoàn toàn trong luận án của Masaki Kameko [?] tại trường Đại học John Hopkins vào năm 1990 Trường hợp k = 4 bài toán đã được xác định tường minh trong Sum [?, ?] Trong trường hợp tổng quát, bài toán đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước Hiện nay bài toán hit vẫn là bài toán mở với k ≥ 5

Mục đích của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại kết quả trong bài báo Sum [?] về bài toán hit tại dạng bậc tổng quát (k − 1)(2 d − 1) với d là một số nguyên dương tùy ý và trình bày lại một số kết quả liên quan đến dạng bậc này với k ≥ 6

Ngoài các phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương với

Trang 6

nội dung như sau.

Chương 1 Nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết về đại số trên một trường, đại số Steenrod, cấu trúc môđun trên đại số Steenrod, đơn thức chấp nhận được và một số kết quả liên quan đến bài toán hit.

Chương 2 Trình bày tóm tắt về cơ sở chấp nhận được của đại số P k được xét như môđun trên đại số Steenrod và một hệ phần tử sinh của nó tại dạng bậc (k − 1)(2 d − 1)

Chương 3 Trình bày các tính toán hệ sinh cực tiểu tại dạng bậc này của đại

số đa thức 6 biến.

Trang 7

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa và các kết quả cần thiết về đại số trên một trường, đại số Steenrod, cấu trúc môđun trên đại số Steenrod, đơn thức chấp nhận được và một số kết quả liên quan đến bài toán hit Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ các tài liệu Kameko [?], Sum [?, ?], Phúc [?].

Định nghĩa 1.1.1 Xét tập hợp X khác rỗng cùng với ba phép toán sau : Phép cộng

+ : X × X −→ X (x, y) 7−→ x + y,

Phép nhân

: X × X −→ X (x, y) 7−→ xy,

Phép nhân với vô hướng

: K × X −→ X (α, x) 7−→ αx,

Trang 8

X được gọi là một đại số trên trường K nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau đây:

(i) X cùng với phép toán cộng và phép toán nhân lập thành một vành (ii) X cùng với phép toán cộng và phép nhân vô hướng lập thành một không gian véctơ trên K.

(iii) Cấu trúc vành và không gian véctơ ở trên ràng buộc với nhau bởi điều kiện

α(xy) = (αx)y = x(αy) , với mọi α ∈ K , x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Giả sử X là một đại số trên K, tập con A ⊂ X 1) Tập con A của X được gọi là một đại số con nếu A vừa là một vành con vừa là một không gian véctơ con của X

2) Giao của tất cả các đại số con của X chứa A được gọi là đại số con sinh bởi A và là đại số con nhỏ nhất của X chứa A

Định nghĩa 1.1.3 Cho tập con B ⊂ X B được gọi là một iđêan của đại số

X nếu nó vừa là một iđêan của vành X vừa là không gian véctơ con của không gian véctơ X

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là một đại số trên K, B là iđêan của X Khi đó,

X/B cùng với các phép toán sau trên tập hợp các lớp ghép của B trong X : (i) (x + B) + (y + B) = (x + y) + B,

(ii) (x + B).(y + B) = (xy) + B,

(iii) α(x + B) = (αx) + B,

với α ∈ K , x, y ∈ X gọi là đại số thương của X trên B Định nghĩa 1.1.5 Số chiều của đại số X trên trường K, kí hiệu là dim K X

chính là số chiều của K-không gian véctơ X

Trang 9

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử X và Y là các đại số trên K Ánh xạ

ϕ : X −→ Y

được gọi là một đồng cấu đại số nếu nó vừa là một đồng cấu vành vừa là một đồng cấu K-không gian véctơ.

Đồng cấu ϕ gọi là đơn cấu nếu ϕ là đơn ánh.

Đồng cấu ϕ gọi là toàn cấu nếu ϕ là toàn ánh.

Đồng cấu ϕ gọi là đẳng cấu nếu ϕ là song ánh.

Định nghĩa 1.1.7 Cho một tập E ⊂ X Đại số X được gọi là tự do nếu X

được sinh bởi tập E và tập tất cả các đơn thức {x 1 , x 2 , , x n | x i ∈ E, i =

1, 2, , n, n ≥ 0} là độc lập tuyến tính trong X

Ta nói X là một đại số không kết hợp nếu X được trang bị ba phép toán và thỏa mãn các điều kiện như đã nói ở Định nghĩa ?? loại trừ điều kiện về tính chất kết hợp của phép nhân.

n < k Đại số thương A = A/B e được gọi là đại số Steenrod mod 2 Ký hiệu Sq i

là lớp trong A có đại diện là f Sq i Khi đó trong đại số A có quan hệ

Trang 10

gọi là quan hệ Adem của đại số Steenrod A Các ký hiệu Sq i gọi là toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i

Trong phần này, chúng tôi trình bày cấu trúc môđun của đại số đa thức P k

trên đại số Steenrod mod 2

Ký hiệu P k = F 2 [x 1 , x 2 , , x k ] là đại số đa thức k biến x 1 , x 2 , , x k trên trường F 2 có hai phần tử, mỗi biến có bậc 1 Đại số này được xét như môđun trên đại số Steenrod mod 2 , A Tác động của A lên P k được xác định bởi công thức tường minh

f ∈ A + P k với A + là iđêan trong A sinh bởi các toán tử Steenrod bậc dương.

Trang 11

1.4 Đơn thức chấp nhận được và các kết quả liên

a = α 0 (a)2 0 + α 1 (a)2 1 + α 2 (a)2 2 + ,

trong đó α i = 0 hoặc 1 với i > 0 Khi đó, đơn thức x ∈ P k được viết lại như sau

trong đó ω i (x) = P

1 6j6k

α i−1 (a j ) = deg X J i−1(x) , i > 1.

Trang 12

Dãy ω(x) được gọi là véctơ trọng của x và σ(x) được gọi là véctơ lũy thừa của x (xem Kameko [?]) Các véctơ trọng và các véctơ lũy thừa được sắp xếp thứ tự toàn phần theo quan hệ thứ tự từ điển bên trái.

Cho ω = (ω 1 , ω 2 , , ω i , ) là một dãy các số nguyên không âm Dãy ω gọi là véctơ trọng nếu ω i = 0 , với i đủ lớn Ta định nghĩa deg ω = P

i>0

2 i−1 ω i Định nghĩa 1.4.10 Cho x và y là hai đơn thức cùng bậc trong P k Ta nói rằng

x < y nếu và chỉ nếu một trong những điều sau là đúng (i) ω(x) < ω(y) ,

(ii) ω(x) = ω(y) và σ(x) < σ(y)

(i) f ≡ g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A + P k Nếu f ≡ 0 thì f là đa thức hit.

(ii) f ≡ ω g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A + P k + P k − (ω).

Ta thấy rằng, quan hệ ≡ và ≡ ω là các quan hệ tương đương Với một A môđun con M của P k , ký hiệu QM (ω) là không gian thương của M (ω) theo quan

-hệ tương đương ≡ ω Khi đó, ta có

Trang 13

Định nghĩa 1.4.12 Một đơn thức x được gọi là không chấp nhận được trong

P k nếu tồn tại các đơn thức y 1 , y 2 , , y m sao cho y t < x với t = 1, 2, , m và

Rõ ràng, tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhận được bậc n trong P k là tập sinh cực tiểu của A -môđun P k tại bậc n

Định nghĩa 1.4.13 Một đơn thức x ∈ P k được gọi là không chấp nhận được chặt nếu tồn tại các đơn thức y 1 , y 2 , , y t sao cho y j < x với j = 1, 2, , t và

với s = max{i : ω i (x) > 0} và đa thức phù hợp q u ∈ P k

Dế thấy rằng, nếu x là đơn thức không chấp nhận được chặt thì nó là đơn thức không chấp nhận được.

Định lý 1.4.14 (Kameko [?]) Cho x, y, z là các đơn thức trong P k sao cho

ω i (x) = 0 với i > r > 0, ω s (z) 6= 0 và ω i (z) = 0 với i > s > 0.

(i) Nếu z là không chấp nhận được, thì xz 2 r cũng là không chấp nhận được (ii) Nếu z là không chấp nhận được chặt, thì zy 2 s là không chấp nhận được chặt Định nghĩa 1.4.15 Với mỗi 1 6 i 6 k, định nghĩa đồng cấu A - đại số f i :

Trang 14

(i) Nếu tồn tại chỉ số i 0 sao cho ω i 0 (x) = 0 thì ω i (x) = 0 với mọi i > i 0

(ii) Nếu có chỉ số i 0 sao cho ω i 0 (x) < k thì ω i (x) < k với mọi i > i 0

Trong phần này, chúng tôi trình bày lại kết quả trong Kameko [?] về toán

tử bình phương, kết quả của Singer về đơn thức hit trong P k và một số kết quả khác dùng cho chương sau.

Trước tiên, ta nhắc lại về đồng cấu của Kameko.

Định nghĩa 1.5.18 Đồng cấu f Sq 0 ∗ : ( F 2 ⊗ A P k ) 2d+k −→ ( F 2 ⊗ A P k ) d được gọi là đồng cấu Kameko được cảm sinh bởi một F 2 - ánh xạ tuyến tính ϕ : P k −→ P k

với mọi đơn thức x ∈ P k

Chú ý rằng ϕ không phải là một A - đồng cấu Tuy nhiên ϕSq 2i = Sq i ϕ và

ϕSq 2i+1 = 0 với mọi số nguyên không âm i Cho n là số nguyên dương Ký hiệu µ(n) là số nguyên r nhỏ nhất n =

Định lý 1.5.19 (Kameko [?]) Cho d là số nguyên dương Nếu µ(2d + k) = k , thì đồng cấu f Sq 0 ∗ : ( F 2 ⊗ A P k ) 2d+k −→ ( F 2 ⊗ A P k ) d là một đẳng cấu của các F 2 -không gian véctơ.

Bây giờ, ta nhắc lại một kết quả của Singer về đơn thức hit trong P k Định nghĩa 1.5.20 Đơn thức z = x a 1

1 x a 2

2 x a k

k ∈ P k được gọi là một spike nếu

a j = 2 d j − 1 với d j là một số nguyên không âm và j = 1, 2, , k Nếu z là một spike với d 1 > d 2 > > d r−1 > d r > 0 và d j = 0 với j > r , thì nó được gọi là spike cực tiểu.

Trang 15

Bổ đề 1.5.21 Tất cả các spike trong P k là chấp nhận được và véctơ trọng tương ứng của chúng là dãy giảm yếu Hơn nữa, nếu một véctơ trọng ω = (ω 1 , ω 2 , )

là dãy giảm yếu và ω 1 6 k thì tồn tại một spike z ∈ P k sao cho ω(z) = ω Định lý 1.5.22 Giả sử x ∈ P k là một đơn thức bậc n , trong đó µ(n) 6 k Cho

z là một spike cực tiểu bậc n Nếu ω(x) < ω(z) thì x là hit.

Định lý sau đây sẽ được sử dụng ở chương sau.

Định lý 1.5.23 Cho n = (k − 1)(2 d − 1) + 2 d m với d, m là số nguyên dương sao cho 1 6 k − 3 6 µ(m) 6 k − 2 và α(m + µ(m)) = µ(m) Nếu d > k − 1 > 3 thì

Khi đó P r 0 , P r + là các A - môđun con của P k và QP k = QP k 0 ⊕ QP k +

Cho J = (j 1 , j 2 , , j r ) : 1 6 j 1 < < j r 6 k , ta định nghĩa một đơn cấu

dim QP r + (ω).

Trang 16

Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.5.25 Với mỗi số nguyên dương n , ta có

dim(QP k 0 ) n = X

µ(n) 6r6k−1

k r

dim(QP r + ) n

Trang 18

(iv) α rưt (a i t ư1 (x)) = 1, ∀t, u < t 6 r.

Dễ thấy rằng, một đơn thức x ∈ P kư1 chỉ có thể u -tương thích với (i; I) ∈ N k

với không quá một giá trị u Quy ước x là 1 -tương thích với (i; ∅)

Định nghĩa 2.1.2 (Sum [?]) Cho (i; I) ∈ N k , x (I;u) = x 2 i rư1 + +2 rưu

φ (i;I) (x) ∈ P k bởi tập sau

x là u-tương thích với (i; I),

0 trường hợp khác.

Khi đó ta có F 2 - ánh xạ tuyến tính φ (i;I) : P kư1 → P k Đặc biệt, φ (i;∅) = f i

Ví dụ 2.1.3 1 Với k = 5, I = (2, 3, 4, 5) Đơn thức x = x 24 1 x 7 2 x 6 3 x 9 4 là 1 -tương thích với (1; I) và

Trang 19

Bổ đề 2.1.4 ( Sum [?]) Cho b là một số nguyên dương và j 0 , j 1 , , j b−1 ∈ N k

Ký hiệu i = min{j 0 , , j b−1 } , I = (i 1 , , i r ) với {i 1 , , i r } = {j 0 , , j b−1 } \ {i} Khi đó ta có

Y

0 6t<b

X j 2 t

t ≡ ω (k,b) φ (i;I) (X 2 b −1 ).

Bổ đề 2.1.5 ( Sum [?]) Cho d là một số nguyên dương và y 0 là đơn thức trong

(P k ) k−2 , y j = y 0 x j với 1 6 j 6 k và (i; I) ∈ N k Khi đó (i) Nếu r = `(I) < d − 1 thì

Trang 20

Khi đó, p (i;I) cũng là đồng cấu A -môđun Đặc biệt với I = ∅ , ta có p (i;∅) (x i ) = 0

và p (i;I) (f i (y)) = y với mọi y ∈ P k−1

Bổ đề 2.1.7 ( Sum [?]) Nếu x là một đơn thức trong P k , thì p (i;I) (x) ∈

P k−1 (ω(x)) Chứng minh Đặt y = p (i;I)

Nếu α t u (a s u ) = 0 với mọi u , thì ω(¯ y) = ω(x) Giả sử có một chỉ số u sao cho

α t u (a s u ) = 1 Ký hiệu u 1 là chỉ số nhỏ nhất sao cho α t

Bổ đề trên chỉ ra rằng nếu ω là một véctơ trọng và x ∈ P k (ω) , thì p (i;I) (x) ∈

P k−1 (ω) Hơn nữa, p (i;I) cảm sinh một đồng cấu từ QP k (ω) vào QP k−1 (ω) Đặc biệt chúng ta có bổ đề sau đây.

Trang 21

Bổ đề 2.1.8 ( Sum [?]) Cho b là một số nguyên dương và (j; J ), (i; I) ∈ N k sao cho `(I) < b Khi đó

(i) Nếu (i; I) ⊂ (j; J ) , thì p (j;J ) φ (i;I) (X 2 b −1 ) = X 2 b −1 mod (P k−1 − (ω (k,b) )).

(ii) Nếu (i; I) 6⊂ (j; J ) , thì p (j;J ) φ (i;I) (X 2 b −1 ) ∈ P k−1 − (ω (k,b) ).

+ (k − 3)

k 2

.

Để chứng minh định lý này chúng ta cần một số kết quả bổ trợ sau.

Mệnh đề 2.2.10 Với mỗi số nguyên dương d , tập p = min{k, d} và q = min{k, d− 1} Khi đó, ta có

và dim QP k (¯ ω (k,d) ) > (k − 3)

k 2

Khi đó B(d) là một cơ sở của không gian véctơ QP k (ω (k,d) ) Thật vậy, trước tiên

ta chứng minh B(d) là hệ sinh của không gian véctơ QP k (ω (k,d) ) Xét đơn thức x = x a 1

0 6t<d−1

X {j 2 t

t } ≡ ω (k,d) φ (i;I) (X 2 d −1 ) Vậy B(d) là

hệ sinh của không gian véctơ QP k (ω (k,d) )

Trang 22

Tiếp theo, ta chứng minh B(d) là độc lập tuyến tính trong QP k (ω (k,d) ) Giả sử

b = d ta được

p (j;J ) (S) = X

(i;I)∈N k,p

γ (i;I) p (j;J ) (φ (i;I) (X 2 d −1 )) ≡ ω (k,d) γ (j;J ) X 2 d −1 ≡ ω (k,d) 0.

Suy ra γ (j;J ) = 0 , với mọi (j; J ) ∈ N k,p

Vậy ta có điều phải chứng minh.

.

Xét tập

¯ B(d) := [

z∈C k

{[φ (i;I) (X 2 d−1 −1 z 2 d−1 )] ω ¯ (k,d) : (i; I) ∈ N k,q ,

trong đó C k là tập tất cả các đơn thức chấp nhận được với véctơ trọng lượng của các đơn thức đó là ω ¯ (k,1) Khi đó B(d) ¯ là độc lập tuyến tính trong F 2 - không gian véctơ QP k (¯ ω (k,d) ) Thật vậy, giả sử

Trang 23

trong đó γ (i;I) ∈ F 2 Ta chứng minh γ (j;J ),z = 0 với mọi (j; J ) ∈ N k,q và z ∈ C k

bằng cách quy nạp theo `(J ) Với mỗi (i; I) ∈ N k,q , ta có r = `(I) < q = min{k, d − 1} Do đó X 2 d−1 −1 z 2 d−1 là

1 -tương thích với (i; I) và x 2 i r −1 f i (X 2 d−1 −1 ) chia hết cho x (I;1) Dùng Định nghĩa

??, ta được

φ (i;I) (X 2 d−1 −1 z 2 d−1 ) = φ (i;I) (X 2 d−1 −1 )f i (z 2 d−1 ).

Bằng cách tính toán trực tiếp ta thấy rằng nếu x ∈ P k−1 − (ω (k,d−1) ) , thì xz 2 d−1 ∈

P k−1 − (¯ ω (k,d) ) ; nếu (i; I) ⊂ (j; ∅) , thì (i; I) = (j; ∅) Theo Bổ đề ??, p (j;∅) (S) ≡ ω ¯ (k,d) 0 , với mọi 1 6 j 6 k Do đó áp dụng Bổ đề ?? với b = d − 1 , ta được

sao cho `(I) < `(J ) Lấy (j; J ) ∈ N k,q Theo Bổ đề ??, p (j;J ) (S) ≡ ω ¯ (k,d) 0 ; nếu

(i; I) ∈ N k,q , `(I) > `(J ) và (i; I) ⊂ (j; J ) , thì (i; I) = (j; J ) Vì vậy, áp dụng Bổ đề

Ký hiệu P (k,d) là không gian con của P k sinh bởi tập hợp

Trang 24

r = `(I) < q = min{k, d − 1} , i = min{j 0 , j 1 , , j d−1 } và I = {j 0 , j 1 , , j d−1 } \ {i} Giả sử y là đơn thức bậc k − 1 trong P k Đặt y = x a i

Giả sử a i > 0 và [x] ω ¯ (k,d) ∈ [P (k,d) ] ω ¯ (k,d) đúng với a i − 1, với mọi i

Nếu i = 1 và I 6= I 1 thì d − r − 1 > 0 Áp dụng Bổ đề ??(ii) với y 0 =

1 f 1 (h) ta được

Trang 26

.

Chứng minh Nếu x ∈ B k−5 , thì x là spike, theo Bổ đề ?? x là chấp nhận được.

Rõ ràng, nếu x là một đơn thức trong P k−5 + thì x ∈ B k−5 Do đó, B k−5 là tập tất

cả các đơn thức chấp nhận được trong P k−5 + (˜ ω (k,1) ) Nếu x là một đơn thức thuộc

đề ??, x là chấp nhận được Do đó, B k−4 là tập tất cả các đơn thức chấp nhận được trong P k−4 + (˜ ω (k,1) )

Nếu x là một đơn thức trong P k−3 + (˜ ω (k,1) ) thì x = x 1 x 2 i x 2 j x k−3 với

Trang 27

Do đó, x là không chấp nhận được Nếu x = x 1 x 2 2 x 2 3 x 4 x k−3 thì

P r và `(J ) = r thì θ J (x) cũng là chấp nhận được trong P k−1

Bổ đề sau được suy ra từ Mệnh đề ??.

Tập N k,q = {(i; I) ∈ N k : `(I) < q} Khi đó, |N k,q | =

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh tập B(d) ˜ là độc lập tuyến tính trong

QP k (˜ ω (k,d) ) Giả sử

S := X

((i;I),z)∈N k,q ×B k

γ (i;I),z φ (i;I) (X 2 d−1 −1 z 2 d−1 ) ≡ ω ˜ (k,d) 0,

trong đó γ (i;I),z ∈ F 2 Ta chứng minh γ (j;J ),z = 0 với mọi (j; J ) ∈ N k,q và z ∈ B k

bằng cách quy nạp theo m = `(J ) Cho (i; I) ∈ N k,q , ta có r = `(I) < q = min{k, d − 1} , do đó X 2 d−1 −1 z 2 d−1 là 1-tương thích đối với (i; I) và x 2 i r −1 f i (X 2 d−1 −1 )

chia hết cho x (I,1) Dùng Định nghĩa ??, ta được

φ (i;I) (X 2 d−1 −1 z 2 d−1 ) = φ (i;I) (X 2 d−1 −1 )f i (z 2 d−1 ).

Trang 28

Bằng cách tính toán trực tiếp ta thấy rằng nếu g ∈ P k−1 − (ω (k,d−1) ) , thì gz 2 d−1 ∈

P k−1 − (˜ ω (k,d) ) ; nếu (i; I) ⊂ (j; ∅) , thì (i; I) = (j; ∅) Theo Bổ đề ??, p (j;∅) (S) ≡ ω ˜ (k,d) 0

Chứng minh Định lí ?? Với k > 7 và d > 2 , véctơ trọng lượng ω (k,d) ∗ = ((k − 1) (d−2) , k − 3, k − 4, 2) là dãy giảm yếu Theo Bổ đề ??, QP k (ω (k,d) ∗ ) 6= 0 Ta thấy rằng deg (ω (k,d) ) = deg (¯ ω (k,d) ) = deg (˜ ω (k,d) ) = deg (ω (k,d) ∗ ) = (k − 1)(2 d − 1) = n

Tiêu đề	Bài toán hit đối với đại số đa thức tại một số bậc
Tác giả	Nguyễn Thị Tú Oanh
Người hướng dẫn	PGS. TS. Nguyễn Sum
Trường học	Trường Đại học Quy Nhơn
Chuyên ngành	Đại số và Lý thuyết số
Thể loại	Luận văn Thạc sĩ Toán học
Năm xuất bản	2019
Thành phố	Bình Định

Định dạng
Số trang	57
Dung lượng	467,62 KB