(Luận văn) bài toán hit đối với đại số đa thức tại một dạng bậc tổng quát

Tôi xin cam đoan luận văn về đề tài “Bài toán hit đối với đại số đa thức tại một dạng bậc tổng quát” là bài viết của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.. 18 Quyết định giao đề tài luận văn

Trang 1

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC

Trang 2

BÀI TOÁN HIT ĐỐI VỚI ĐẠI SỐ ĐA THỨC

Trang 3

Tôi xin cam đoan luận văn về đề tài “Bài toán hit đối với đại số đa thức tại một dạng bậc tổng quát” là bài viết của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Sum và chưa từng được công bố để bảo vệ một học vị nào cho tới thời điểm này Các nội dung và kết quả sử dụng trong luận văn đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc Nếu có bất kỳ điều gì gian lận, tôi xin chịu trách nhiệm về luận văn của mình.

Trang 4

Mở đầu 1

1.1 Đại số trên một trường 5 1.2 Các toán tử Steenrod 7 1.3 Đại số Steenrod 9

1.5 Bài toán hit đối với đại số đa thức 12 1.6 Vectơ trọng và đơn thức chấp nhận được 13 1.7 Tiêu chuẩn Singer đối với các đơn thức hit 18

Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ

luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 5

Mở đầu

Ký hiệu P k := F 2 [x 1 , x 2 , , x k ] là đại số đa thức phân bậc trên trường nguyên

tố F 2 có hai phần tử, với k biến x 1 , x 2 , , x k , mỗi biến có bậc 1 Đại số này là

với f, g ∈ P k (xem Steenrod và Epstein [8]).

Bài toán hit của Peterson là bài toán tìm tập sinh cực tiểu của đại số đa thức P k được xét như môđun trên đại số Steenrod Nói cách khác, đó là bài toán tìm cơ sở của không gian vectơ QP k := P k /A + P k = F 2 ⊗ A P k tại mỗi bậc, trong

đó A + là iđean bổ sung của A sinh bởi các toán tử Steenrod bậc dương Đây là một trong những bài toán trọng tâm của Tôpô - Đại số Nó có nhiều ứng dụng trong các bài toán kinh điển của lý thuyết đồng luân Chẳng hạn, bài toán này

Trang 6

được ứng dụng trong việc nghiên cứu biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, đây là một trong những hướng nghiên cứu có tính thời sự cao.

Bài toán hit được Frank Peterson đặt ra vào năm 1987 và đã xác định tường

luận án của Masaki Kameko [2] tại trường Đại học John Hopkins vào năm 1990.

trường hợp tổng quát, bài toán đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả trong

và ngoài nước Gần đây, bài toán hit và các ứng dụng của nó trong biểu diễn modular của nhóm tuyến tính đã được trình bày chi tiết trong bộ sách chuyên khảo của Walker-Wood [13, 14] Hiện nay, bài toán này vẫn là bài toán mở với

đủ lớn và các tính toán tường minh bài toán hit tại một số vectơ trọng có bậc

k − 1

Trang 7

Nội dung chính của luận văn gồm ba chương.

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở Chúng tôi nhắc lại một số kiến thức

cơ bản về đại số trên một trường, các toán tử Steenrod, đại số đa thức trên trường F 2 , cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod và một số kết quả về vectơ trọng, đơn thức hit, đơn thức chấp nhận được.

Chương 2 Sự ổn định của số phần tử sinh cực tiểu của đại số đa thức tại dạng bậc tổng quát Trong chương này, chúng tôi tóm tắt một số

môđun trên đại số Steenrod và trình bày chi tiết kết quả về sự ổn định của số phần tử sinh cực tiểu tại bậc (k − 1)(2 d − 1)

tôi trình bày các tính toán về các đơn thức chấp nhận được trong đại số P k−1 có vectơ trọng (k − 1 − 2t − 4ε, t, ε) với ε = 0, 1 và k − 1 − 2t − 4ε > t , và sử dụng kết quả này để trình bày một hệ đơn thức chấp nhận được tại bậc (k − 1)(2 d − 1) Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Sum Qua đây tôi xin bày tỏ sự kính trọng

và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Khoa Toán và Thống kê, Phòng Đào tạo sau đại học trường Đại học Quy Nhơn cùng quý thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 21 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, những người luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.

Trang 8

Mặc dù tôi đã cố gắng học hỏi, tìm tòi và nghiên cứu trong quá trình hoàn thành luận văn, nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn.

Trang 9

Chương 1 Một số kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị cho các chương chính, bao gồm các kiến thức về đại số trên một trường, các toán tử Steenrod, đại số đa thức trên trường F 2 , cấu trúc môđun của đại số đa thức trên đại số Steenrod, tác động của nhóm tuyến tính tổng quát trên đại số đa thức, vectơ trọng, các đơn thức chấp nhận được và tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer, các kết quả này đã được trình bày chi tiết trong Kameko [2], Mothebe-Uys [3], Singer [7] và Walker-Wood [13].

1.1 Đại số trên một trường

phép toán:

i) Phép cộng:

+ : A × A → A, (x, y) 7→ x + y

Trang 10

ii) Phép nhân:

· : A × A → A, (x, y) 7→ xy

iii) Phép nhân với vô hướng:

· : K × A → A;

(a, x) 7→ ax

thỏa mãn các điều kiện sau đây:

vectơ trên K (3) Hai cấu trúc vành và không gian vectơ liên hệ với nhau bởi điều kiện

a(xy) = (ax)y = x(ay),

với mọi a ∈ K , x, y ∈ A

không gian vectơ con của A Cho X ⊂ A , giao của tất cả các đại số con của A chứa X gọi là đại số con của A sinh bởi X

Trang 11

cấu trúc đại số:

(x + B) + (y + B) = (x + y) + B, (x + B)(y + B) = (xy) + B, a(x + B) = (ax) + B,

trong đó x, y ∈ A , a ∈ K ; gọi là đại số thương A/B Cho A, A 0 là các đại số trên trường K Ánh xạ ϕ : A → A 0 được gọi là một

gian vectơ Các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu được định nghĩa tự nhiên.

gọi là bình phương Steenrod tổng.

Trang 12

Định nghĩa các ánh xạ tuyến tính Sq i : (P k ) n → (P k ) n+i bằng cách hạn chế

Sq trên (P k ) n và chiếu lên (P k ) n+i với i, n > 0 Các ký hiệu Sq i được gọi là bình

Định nghĩa 1.2.5 Một toán tử Steenrod là một ánh xạ tuyến tính θ : P k → P k

là một tổng hữu hạn của các toán tử có dạng Sq i 1 Sq i 2 Sq i s

Mệnh đề 1.2.6 Với mọi x ∈ (P k ) 1 ,

Sq i (x n ) =

n i

Trang 13

Mệnh đề 1.2.9 Cho f là một đa thức trong P k Với mọi s, n > 0 , ta có

số kết hợp trên F 2 , được sinh bởi các ký hiệu Sq i với i > 0 , theo các quan hệ

Sq 0 = 1 , phần tử đơn vị của A và các quan hệ Adem

tương ứng với một dãy các số nguyên không âm u = (u 1 , u 2 , , u s ) được gọi là

Trang 14

Ký hiệu 1.3.2 Cho n > 0 , ký hiệu A n là không gian vectơ trên F 2 được sinh bởi các đơn thức Sq u bậc n Khi đó A = P

n >0 A n

n>0 A n là iđean của A sinh bởi các phần tử Sq i với i > 0 và

A + P k là tập hợp tất cả các đa thức hit trong P k , tức là các đa thức có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn các Sq i (f i ) với f i ∈ P k , i > 0

Định nghĩa 1.3.3 Dãy số u = (u 1 , u 2 , ) , trong đó u i là các số nguyên không

âm, bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn với i > 1 , và đơn thức tương ứng Sq u ∈ A

là chấp nhận được nếu u i > 2u i+1 với i > 1.

được.

Nhắc lại rằng đại số đa thức P k trên trường F 2 là một môđun trên đại số

trên P k Mệnh đề 1.3.6 Tập hợp các phần tử Sq 2 j , j > 0 và Sq 0 là một tập sinh cực tiểu của F 2 -đại số A

1.4 Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát trên

đại số đa thức

Cho V k là một không gian vectơ k chiều trên trường F 2 Ký hiệu GL(V k ) là

Trang 15

phần tử đơn vị là id V k Giả sử {e 1 , e 2 , , e k } là một cơ sở của V k Lấy ϕ ∈ GL(V k ) ,

Ký hiệu GL k = GL(k, F 2 ) là nhóm tất cả các ma trận vuông không suy biến

tính tổng quát cấp k trên trường F 2 Khi đó, ánh xạ

Trang 16

Với tác động này, đại số đa thức P k có cấu trúc là một GL k -môđun trái Vì tác động của A và của GL k trên P k là giao hoán với nhau nên QP k := P k /A + P k =

k là đại số con của đại số đa thức P k

1.5 Bài toán hit đối với đại số đa thức

Mệnh đề 1.5.2 Với mọi f ∈ (P k ) n , n > 0 , ta có f 2 là hit.

Mệnh đề 1.5.3 Cho f ∈ (P k ) n là hit và x ∈ (P k ) 1 Khi đó xf 2 là hit.

Định nghĩa 1.5.4 Bài toán hit là bài toán tìm tập sinh cực tiểu của đại số đa

cơ sở của F 2 -không gian vectơ phân bậc

QP k = M

n >0

(QP k ) n ,

trong đó (QP k ) n := ( F 2 ⊗ A P k ) n = (P k ) n /((P k ) n ∩ A + P k ) là không gian con của

QP k gồm các lớp được đại diện bởi các đa thức thuần nhất bậc n trong P k

Trang 17

Đặt N k = {1, 2, , k} là tập hợp gồm k số nguyên dương đầu tiên Cho

Y ⊂ N k , ký hiệu P (Y ) là không gian con của P k sinh bởi các đơn thức chia hết cho x i nếu và chỉ nếu i ∈ Y Khi đó, ta có sự phân tích tổng trực tiếp các

F 2 -không gian vectơ

trong đó các tổng trên có tất cả 2 k tập con Y của N k

Ký hiệu |S| là cấp của tập S Nếu |Y | = |Y 0 | thì QP (Y ) ∼ = QP (Y 0 ) Vì số các tập con Y gồm i phần tử là bằng k i nên ta có kết quả sau đây.

Mệnh đề 1.5.5 Với n > 0 , dim(QP k ) n = P k

i=1

k i

dim(QP ( N i )) n

Ví dụ 1.5.6 Ta có

dim(QP ( N 1 )) 3 = 1, dim(QP ( N 2 )) 3 = 1, dim(QP ( N 3 )) 3 = 1.

Do đó dim(QP 3 ) 3 = 7 Định lý 1.5.7 (Xem Walker-Wood [13]) Trong P 1 = F 2 [x] , x n là hit nếu và chỉ nếu n không biểu diễn được dưới dạng 2 s − 1 với s > 0 Vì vậy (QP 1 ) n ∼ = F 2 nếu

n = 2 s − 1 , ngoài ra (QP 1 ) n = 0

1.6 Vectơ trọng và đơn thức chấp nhận được

Ký hiệu 1.6.1 Với J = {j 1 , j 2 , , j s } ⊂ N k , ta ký hiệu

Trang 18

Định nghĩa 1.6.2 Cho ω = (ω 1 , ω 2 , , ω i , ) là một dãy các số nguyên không

âm Dãy ω được gọi là một vectơ trọng nếu ω i = 0 với i 0.

Xét đơn thức x ∈ P k , ta định nghĩa hai dãy liên kết với x như sau

ω(x) = (ω 1 (x), ω 2 (x), , ω i (x), ), σ(x) = (ν 1 (x), ν 2 (x), , ν k (x)),

trong đó ω i (x) = P 1 6j6k α i−1 (ν j (x)) = deg X J i−1 (x) , i > 1 Các dãy ω(x) và σ(x)

theo thứ tự được gọi là vectơ trọng và vectơ lũy thừa của x Chú ý rằng các tập hợp của tất cả các vectơ trọng và vectơ lũy thừa được xét quan hệ thứ tự từ điển bên trái.

Trang 19

Cho các vectơ trọng ω = (ω 1 , ω 2 , ) và η = (η 1 , η 2 , ) , ta định nghĩa

deg ω = P i>0 2 i−1 ω i , độ dài của ω là `(ω) = max {i : ω i > 0} , phép nối ω|η = (ω 1 , , ω r , η 1 , η 2 , ) nếu `(ω) = r và (a)| b = (a)|(a)| |(a) , ( b lần (a) ), trong đó

a, b là các số nguyên dương.

Ký hiệu

P k (ω) := {y ∈ P k : deg y = deg ω và ω(y) 6 ω} ⊂ P k ,

P k − (ω) := {y ∈ P k (ω) : ω(y) < ω} ⊂ P k (ω).

Khi đó, P k (ω) là không gian con của P k và P k − (ω) là không gian con của P k (ω)

trong P k Thế thì i) f ≡ g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A + P k Nếu f ≡ 0 thì f là hit.

ii) f ≡ ω g nếu và chỉ nếu f − g ∈ A + P k + P k − (ω).

hiệu QP k (ω) là không gian vectơ thương của P k (ω) theo quan hệ tương đương

Trang 20

Chú ý rằng vectơ trọng của một đơn thức là bất biến dưới sự hoán vị của các phần tử sinh x i Do đó QP k (ω) là một Σ k -môđun, trong đó Σ k ⊂ GL k là một nhóm đối xứng.

ρ i : P k → P k

Vì thế, [f ] ω ∈ QP k (ω) là một GL k -bất biến nếu và chỉ nếu ρ i (f ) ≡ ω f với 1 6 i 6 k

và là một Σ k -bất biến nếu và chỉ nếu ρ i (f ) ≡ ω f với 1 6 i < k

là một GL k -môđun.

chỉ cần chứng minh rằng với mọi f ∈ P k (ω) , ρ k (f ) ∈ P k (ω) Chúng tôi chứng

thì ρ k (x) ∈ P k (ω(x)) Xét ν 1 (x) = 0 , theo định nghĩa của đồng cấu ρ k , ta có ρ k (x) = x , suy ra

ω(ρ k (x)) = ω(x) Vậy ρ k (x) ∈ P k (ω(x)) Giả sử ν 1 (x) > 0 và ν 1 (x) = 2 t 1 + 2 t 2 + +

2 t b , trong đó 0 6 t 1 < t 2 < < t b , b > 1

Trang 21

uj (x) với mọi j , 1 6 j 6 c thì ω(¯ y) = ω(x) và y ∈ P ¯ k (ω(x)) Giả

sử rằng tồn tại chỉ số j sao cho 2 / ∈ J t uj (x) Gọi j 0 là chỉ số nhỏ nhất thỏa mãn

x < y nếu và chỉ nếu một trong các điều sau đây là đúng:

i) ω(x) < ω(y) ; ii) ω(x) = ω(y) và σ(x) < σ(y)

Trang 22

Định nghĩa 1.6.6 Một đơn thức x được gọi là không chấp nhận được nếu tồn tại các đơn thức y 1 , y 2 , , y m thỏa mãn y t < x với t = 1, 2, , m và x − P m t=1 y t ∈

Cho 1 6 i 6 k , ta định nghĩa một đồng cấu của các A -đại số f i : P k−1 → P k

được xác định như sau

mãn 1 6 i 6 k Nếu x là một đơn thức chấp nhận được trong P k−1 thì x 2 i d −1 f i (x)

cũng là một đơn thức chấp nhận được trong P k

1.7 Tiêu chuẩn Singer đối với các đơn thức hit

Định nghĩa 1.7.1 Một đơn thức z ∈ P k được gọi là spike nếu ν j (z) = 2 d j − 1

với d j là các số nguyên không âm, j = 1, 2, , k Nếu z là một spike với d 1 > d 2 > > d r−1 > d r > 0 và d j = 0 với j > r thì z

được gọi là một spike cực tiểu.

Trong [7], Singer đã chứng minh được rằng nếu µ(n) 6 k thì tồn tại duy nhất một spike cực tiểu bậc n trong P k

Trang 23

Mệnh đề 1.7.2 (Xem Walker-Wood [13]) Cho i > 0 và x ∈ P k , một spike không thể là một số hạng của Sq i (x) Mọi cơ sở đơn thức của QP k bao gồm tất cả các spike trong P k

Bổ đề sau đây cho ta mối liên hệ giữa đơn thức spike và vectơ trọng.

Định lý 1.7.4 (Xem Singer [7]) Giả sử x ∈ P k là một đơn thức bậc n , trong đó

µ(n) 6 k và z là một spike cực tiểu bậc n Nếu ω(x) < ω(z) thì x là hit.

Kết quả này kéo theo một kết quả của Wood [15].

thì (QP k ) n = 0 Cho 1 6 r 6 k , đặt

Trang 24

Mệnh đề 1.7.6 (Xem Walker-Wood [13]) Cho vectơ trọng ω bậc n , ta có một

sự phân tích hạng tử trực tiếp của F 2 -không gian vectơ

dim QP r + (ω).

Trang 25

Chương 2

Sự ổn định của số phần tử sinh cực tiểu của đại số đa thức tại dạng bậc tổng quát

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số kết quả về cơ sở chấp nhận

trường hợp ba biến và trình bày chi tiết kết quả về sự ổn định của số phần tử sinh cực tiểu tại bậc (k − 1)(2 d − 1) theo bài báo [12].

2.1 Tập sinh cực tiểu của đại số đa thức ba biến P k

Trong mục này, chúng tôi tóm tắt một số kết quả đã được trình bày trong tài liệu [1] về cơ sở chấp nhận được của các không gian (QP 3 ) n tại một số bậc tổng quát.

Định lý 2.1.1 Với mọi s > 1 , (QP 3 ) 2 s+1 −2 là không gian vectơ với cơ sở gồm các lớp biểu diễn bởi các đơn thức sau:

v s,1 = x 2 2 s −1 x 2 3 s −1 , v s,2 = x 2 1 s −1 x 2 3 s −1 , v s,3 = x 2 1 s −1 x 2 2 s −1 ,

Trang 26

với s > 2 ,

v s,4 = x 1 x 2 2 s −2 x 2 3 s −1 , v s,5 = x 1 x 2 2 s −1 x 2 3 s −2 , v s,6 = x 2 1 s −1 x 2 x 2 3 s −2

và với s > 3 , v s,7 = x 3 1 x 2 2 s −3 x 2 3 s −2 Định lý 2.1.2 Với mọi s > 1 , (QP 3 ) 2 s+1 −1 là không gian vectơ với cơ sở gồm các lớp biểu diễn bởi các đơn thức sau:

v s,1 = x 2 3 s+1 −1 , v s,2 = x 2 2 s+1 −1 , v s,3 = x 2 1 s+1 −1 ,

v s,4 = x 2 x 2 3 s+1 −2 , v s,5 = x 1 x 2 3 s+1 −2 , v s,6 = x 1 x 2 2 s+1 −2 ,

với s = 1 , v 1,7 = x 1 x 2 x 3 , với s > 2 ,

v 1 = x 2 x 2 3 s −1 , v 2 = x 2 2 s −1 x 3 , v 3 = x 1 x 2 3 s −1 ,

v 4 = x 1 x 2 2 s −1 , v 5 = x 2 1 s −1 x 3 , v 6 = x 2 1 s −1 x 2 ,

với s = 2 , v 7 = x 1 x 2 x 2 3 , v 8 = x 1 x 2 2 x 3 , với s > 3 ,

Trang 27

Định lý 2.1.4 Với s > 1 , không gian vectơ (QP 3 ) 2 s+1 +2 s −2 có cơ sở gồm các lớp biểu diễn bởi các đơn thức v j = v s,s+1,j được xác định như sau:

Tiêu đề	Bài Toán Hit Đối Với Đại Số Đa Thức Tại Một Dạng Bậc Tổng Quát
Tác giả	Huỳnh Thị Hiếu
Người hướng dẫn	PGS.TS. Nguyễn Sum
Trường học	Trường Đại Học Quy Nhơn
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2020
Thành phố	Bình Định

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	419,78 KB