(Luận văn) các tập w mở và ws mở trong các không gian tôpô tổng quát

Đại cương về không gian tôpô

Cho X là một tập hợp khác rỗng Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu τ thỏa mãn 3 tiên đề sau đây:

2) Nếu p G α q α P I là một họ các phần tử của τ thì ¤ α P I

Bằng quy nạp, từ 3) ta thấy rằng nếu G 1 , G 2 , , G n P τ thì £ n i 1

Giả sử trên tập nền X có một tôpô τ, cặp (X, τ) được gọi là không gian tôpô xác định trên X Các phần tử của τ được gọi là tập mở, trong khi các phần tử x thuộc X được gọi là các điểm của không gian tôpô (X, τ) Để đơn giản, không gian tôpô (X, τ) thường được ký hiệu là X Tôpô này được gọi là tôpô thô.

Cho X là một tập hợp khác rỗng tùy ý Lấy τ t X, Hu Ba tiên đề của tôpô được thỏa mãn một cách hiển nhiên, và tôpô này được gọi là tôpô thô.

Cho X là một tập tùy ý, và τ P p X q là tập hợp tất cả các tập con của X Khi đó, τ trở thành một tôpô trên X, được gọi là tôpô rời rạc.

1) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric Gọi τ là họ tất cả các tập mở trên

Trong không gian tôpô (X, τ), đặc biệt trên R, tôpô được xác định bởi mêtric d(x, y) = |x - y|, được gọi là tôpô thông thường Trên cùng một tập hợp X, có thể tồn tại nhiều tôpô khác nhau, dẫn đến các không gian tôpô khác nhau với cùng một tập nền X Nếu τ₁ và τ₂ là hai tôpô khác nhau, thì ta có hai không gian tôpô (X, τ₁) và (X, τ₂).

Nếu τ 1 và τ 2 là hai tôpô trên tập X thỏa mãn điều kiện τ 1 τ 2, thì ta nói rằng τ 1 yếu hơn τ 2 hoặc τ 2 mạnh hơn τ 1, ký hiệu là τ 1 ¤ τ 2 Tôpô thô là tôpô yếu nhất, trong khi tôpô rời rạc là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô xác định trên tập X.

Cũng có thể xảy ra trường hợp hai tôpô τ 1 và τ 2 không so sánh được với nhau, chẳng hạn τ 1 không chứa trong τ 2 hoặc ngược lại, τ 2 không chứa trong τ 1

Trong không gian tôpô (X, τ), một tập A được gọi là lân cận của điểm x₀ nếu tồn tại một tập mở U thuộc τ sao cho x₀ thuộc U và U nằm trong A Điều này cho thấy rằng mọi tập mở U đều là lân cận của các điểm trong nó, nhưng một lân cận của x₀ không nhất thiết phải là một tập mở.

Nếu A là một lân cận của x₀, thì x₀ được gọi là điểm trong của A Điều này có nghĩa là x₀ là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận U sao cho x₀ thuộc U và U thuộc A Định lý 1.1.1 khẳng định rằng tập A là mở (tức là A thuộc τ) khi và chỉ khi nó là lân cận của mọi điểm trong tập của nó.

1.1.4 Tập đóng Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, τ) là một không gian tôpô Tập F X được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu F c : X z F là tập mở (tức là X z F P τ).

Trong không gian tôpô X, tập G mở tương đương với G c là tập đóng Định lý 1.1.2 khẳng định rằng nếu X là một không gian tôpô, thì các tính chất này sẽ được áp dụng.

2) Giao một họ tùy ý các tập đóng là một tập đóng;

3) Hợp một số hữu hạn các tập đóng là tập đóng.

Trong không gian tôpô X, phần trong của một tập hợp A, ký hiệu là intA, được định nghĩa là hợp tất cả các tập mở chứa trong A, bao gồm cả tập rỗng.

1) A ˚ là tập mở (vì nó bằng hợp của các tập mở).

2) A ˚ là tập mở lớn nhất chứa trong A (vì trong A có chứa tập mở nào khác thì nó phải chứa trong hợp tất cả các tập mở chứa trong A).

3) A là tập mở khi và chỉ khi A A ˚ Định lí 1.1.3 Cho A, B X Khi đó

1) Phần trong A ˚ của tập A là tập hợp tất cả các điểm trong của tập A;

Tập đóng chứa A trong không gian X luôn tồn tại, và giao của tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A Rõ ràng, A là tập đóng nhỏ nhất chứa A.

Từ định nghĩa ta có ngay kết quả: A là tập đóng khi và chỉ khi A A. Định lí 1.1.4 Cho A, B X, ta có

3) A Y B A Y B. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Điểm dính của một tập con A trong không gian tôpô X được định nghĩa là một điểm x thuộc X, sao cho mọi lân cận V của x đều chứa ít nhất một điểm của tập A.

Điểm tụ của tập A là điểm x mà với mọi lân cận V của x, đều có V X p A zt x uq H Tất cả các điểm tụ của A đều là điểm dính của A, nhưng không phải mọi điểm dính đều là điểm tụ Định lý 1.1.5 khẳng định rằng bao đóng của tập hợp A là tập hợp tất cả các điểm dính của A.

1.1.7 Tập hợp trù mật - Không gian khả li Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A, B là hai tập con trong không gian tôpô X Nếu

B A thì ta nói tập A trù mật trong tập B Nếu A X và A X thì A được gọi là trù mật trong X hay Alà một tập hợp trù mật khắp nơi.

Ta có các tính chất sau

1) Nếu Atrù mật trong B, B trù mật trong C thì Atrù mật trong C;

Không gian tôpô \(X\) được gọi là khả li (hay tách được) nếu tồn tại một tập con \(A\) hữu hạn hoặc đếm được và tập \(A\) là tập Atrù mật trong \(B\) khi và chỉ khi với mọi điểm \(x\) thuộc \(B\) và mọi lân cận \(V\) của \(x\), ta có \(V \cap A \neq \emptyset\).

Để xác định một tôpô trên không gian \(X\), thường ta cần chỉ rõ tất cả các tập mở thuộc \(τ\) Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, chỉ cần tìm một tập con của \(τ\) là đủ Định nghĩa 1.1.8 nêu rõ rằng nếu \((X, τ)\) là một không gian tôpô và \(H \subseteq τ\), thì \(H\) được gọi là một cơ sở của tôpô \(τ\) nếu với mọi tập mở \(G \in τ\) tồn tại một tập con \(B_1 \subseteq H\) sao cho \(G \subseteq \bigcup B_1\).

Ví dụ 1.1.1 1) Theo định nghĩa thì τ chính là một cơ sở của không gian tôpô p X, τ q luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trong không gian tôpô thông thường trên R, họ các khoảng mở \( (a, b) \) tạo thành một cơ sở Định lý 1.1.6 khẳng định rằng họ \( B \) là một cơ sở của không gian tôpô \( (X, \tau) \) nếu và chỉ nếu với mọi điểm \( x \in X \) và mọi lân cận \( V \) của \( x \), tồn tại một tập \( B \in B \) sao cho \( x \in B \subseteq V \) Định lý 1.1.7 chỉ ra rằng cho họ \( B \) thỏa mãn hai điều kiện: (a) với mọi \( U, V \in B \) và mọi \( x \in U \cap V \), tồn tại một tập \( W \in B \) sao cho \( x \in W \subseteq U \cap V \); (b) với mọi \( x \in X \), tồn tại một tập \( U \in B \) sao cho \( x \in U \).

Khi đó tồn tại một tôpô trên X sao cho B là một cơ sở của τ.

Ánh xạ liên tục

Cho X vàY là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X ẹ Y được gọi là liờn tục tại điểm x 0 P X nếu với mọi lõn cận

V của f p x 0 q tồn tại lân cận U của x 0 sao cho f p U q V. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X nếu như f liên tục tại mọi điểmx P X.

Cho X, Y là hai không gian tụ tập và f: X → Y là một ánh xạ Các mệnh đề sau đây là tương đương: a) f liên tục trên X; b) Với mọi tập đóng F ⊆ Y thì f^{-1}(F) là tập đóng trong X; c) Với mọi tập mở G ⊆ Y thì tập f^{-1}(G) mở trong X; d) f(A) = f(A) với mọi tập A ⊆ X.

Giả sử X, Y, Z là ba khụng gian tụpụ, f : X ẹ Y là ỏnh xạ liờn tục tại x 0 P X vàg : Y ẹ Z là ỏnh xạ liờn tục tạiy 0 f p x 0 q Khi đú ỏnh xạ hợph g f : X ẹ Z liên tục tại x 0 P X.

Cho hai không gian tôpô X và Y, một ánh xạ liên tục f: X → Y được gọi là phép đồng phôi nếu cả f và ánh xạ ngược f^{-1} đều liên tục Hai không gian tôpô được coi là đồng phôi nếu tồn tại một phép đồng phôi từ không gian này sang không gian kia.

Hai không gian tôpô được gọi là tương đương tôpô nếu một tính chất nào đó của không gian tôpô X cũng áp dụng cho không gian tôpô Y đồng phôi với nó Tính chất này được gọi là bất biến tôpô.

1) Theo quan điểm tôpô thì hai không gian tôpô đồng phôi với nhau được đồng nhất với nhau.

2) Cho τ và τ 1 là hai tôpô trên cùng tập X Ta có τ τ 1 khi và chỉ khi ánh xạ đồng nhất id : p X, τ q ẹ p X, τ 1 qlà phộp đồng phụi.

Không gian tích - Không gian thương

Xác định tôpô bởi một họ các ánh xạ là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết tôpô Giả sử X là một tập tùy ý và p X α q α P I là một họ các không gian tôpô, với mỗi ánh xạ f α : X → X α từ tập X vào tập X α Khi xét tôpô mạnh nhất trên X, tức là tôpô rời rạc, thì tất cả các ánh xạ f α đều liên tục, nhưng đây là trường hợp tầm thường Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một tôpô yếu nhất τ trên X sao cho tất cả các ánh xạ f α đều liên tục.

Ký hiệu τ α là tôpô trong không gian X α Đặt G là một tập hợp các phần tử có dạng f α i 1 p G α i q X, với G α i thuộc τ α và n là một số nguyên dương Ký hiệu B là tập hợp tất cả các tập G có dạng như vậy Từ đó, tồn tại một tôpô τ trên X mà B là cơ sở: Tập A trong X được coi là τ-mở khi và chỉ khi A là hợp của một họ các tập thuộc B.

Giả sử Σ là một tôpô trên X sao cho tất cả các f α đều liên tục Khi đó nếu

G α P τ α thìf α 1 p G α qlà một tập mở trongX,nghĩa làf α 1 p G α q P Σ.Do đó nếu các

G α i là các tập mở trong các tập X α i , p i 1, , n qthì f α 1 i p G α i qlà tập mở trong Σ nên G P Σ nghĩa là τ Σ.

Tôpô yếu nhất làm cho tất cả các hàm \( \alpha \) liên tục được ký hiệu là \( \Sigma \tau \) hay \( \tau \) Tôpô này được gọi là tôpô đầu trên không gian \( X \) và được xác định nhờ vào họ ánh xạ \( p f_{\alpha} q_{\alpha} P I \) Định lý 1.3.1 nêu rằng nếu \( \tau \) là tôpô đầu trên \( X \) được xác định bởi họ ánh xạ \( p f_{\alpha} q_{\alpha} P I \), thì \( f_{\alpha} \) có những tính chất nhất định.

X ẹ X α , Y là một khụng gian tụpụ và f : Y ẹ X là một ỏnh xạ Khi đú f liờn tục khi và chỉ khi với mọi α P I, các ánh xạ f α f liên tục.

Cho \( X \) là một tập và \( p: X_\alpha \to q_\alpha \) là một họ các không gian tôpô Với mỗi \( \alpha \in I \), ta có ánh xạ \( g_\alpha: X_\alpha \to X \) Nếu trang bị cho \( X \) tôpô yếu nhất (tôpô thô), thì tất cả các ánh xạ \( g_\alpha \) đều liên tục Vấn đề đặt ra là tìm một tôpô mạnh nhất trên \( X \) để đảm bảo tất cả các ánh xạ \( g_\alpha \) đều liên tục Đặt \( \xi \) là họ tất cả các tập con \( G \subseteq X \) sao cho \( g_\alpha^{-1}(G) \) là tập mở trong \( X_\alpha \) với mọi \( \alpha \in I \) Khi đó, ta có thể kiểm tra rằng \( \xi \) là một tôpô trên \( X \) Nếu \( \eta \) là một tôpô trên \( X \) sao cho \( g_\alpha \) liên tục, thì

Tôpô ξ trên không gian X được xác định bởi họ các ánh xạ p g α q với mọi α thuộc I, và đây là tôpô mạnh nhất đảm bảo tính liên tục cho tất cả các ánh xạ này Do đó, nếu G là một η-mở và g α 1 p G q mở trong X α, thì G thuộc ξ và η cũng thuộc ξ.

1.3.2 Không gian tích Định nghĩa 1.3.3 Cho p X α q α P I là một họ những không gian tôpô Đặt X là tích Descartes của họ các tập hợp p X α q :

Các thành phần tọa độ của phần tử \( p_{x_\alpha} q_\alpha \) được ký hiệu là \( x_\alpha \), với \( \alpha \in P_I \) Đối với mỗi \( \alpha_0 \in P_I \), ta thực hiện phép chiếu \( p_{\alpha_0} : X \to X_{\alpha_0} \) Thông tin chi tiết có thể được tìm thấy trong luận văn tốt nghiệp mới nhất.

Tôpô Tikhonov trên không gian X được xác định bởi tôpô yếu nhất, làm cho tất cả các phép chiếu trở nên liên tục Không gian X cùng với tôpô này được gọi là không gian tích (hay tích Tikhonov) của các không gian tôpô X α.

Ta hãy xác định rõ hơn tôpô Tikhonov trên X như sau Nếu G α 0 là một tập mở trong X α 0 thì tập hợp p α 0 1 p G α 0 q G α 0 ạ α α 0

Một tập thuộc cơ sở của tôpô tích sẽ có dạng

V £ n i 1 p α i 1 p G α i q , trong đó G α i là tập mở trongX α i Ta có thể viết lại như sau

Từ Định lí 1.3.1 ta có

Hệ quả 1.3.1 Giả sử Y là một khụng gian tụpụ, X ạ α P I

X α là tích Tikhonov của cỏc khụng gian tụpụ X α , α P I Điều kiện cần và đủ để ỏnh xạ f : Y ẹ X liờn tục là với mọi α P I, cỏc ỏnh xạ p α f : Y ẹ X α liờn tục.

Không gian thương được định nghĩa trong bối cảnh của một không gian tôpô X với một quan hệ tương đương R Ký hiệu X/R đại diện cho lớp tương đương, trong đó g là ánh xạ thương, được xác định bởi phép chiếu từ X lên X theo công thức cụ thể.

Tôpô mạnh nhất trong các tôpô trên không gian X được gọi là tôpô thương trên X, xác định bởi ánh xạ g Không gian tôpô thương của X theo quan hệ R được định nghĩa như sau: Tập hợp V trong X là tập mở khi và chỉ khi g^{-1}(V) là tập mở trong X, và tập hợp F trong X là tập đóng khi và chỉ khi g^{-1}(F) là tập đóng trong X Định lý 1.3.3 cho biết rằng nếu X và Y là hai không gian tôpô, thì không gian thương X/{R} theo quan hệ tương đương R và hàm f: X/{R} → Y liên tục khi và chỉ khi hàm g: X → Y liên tục.

Các tiên đề tách

Không gian tôpô là một cấu trúc toán học đơn giản và tổng quát, có khả năng ứng dụng rộng rãi Tuy nhiên, nếu không có các yêu cầu bổ sung, không gian này sẽ thiếu những tính chất thú vị Ví dụ, trong không gian thô, các điểm không thể phân biệt, trong khi không gian rời rạc lại khiến mỗi điểm trở thành một ốc đảo, không có gì để nghiên cứu thêm Phần này sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến việc tách biệt các điểm và các tập đóng trong không gian tôpô.

Không gian tôpô \(X, \tau\) được gọi là T 1-không gian nếu với hai điểm khác nhau trong \(X\) tồn tại một lân cận của điểm này mà không chứa điểm kia Điều này được thể hiện qua định lý rằng không gian tôpô \(X\) là T 1-không gian khi và chỉ khi mỗi phần tử \(x \in X\) tạo thành tập hợp đóng \(t_x\) Hơn nữa, không gian tôpô \(X\) được gọi là T 2-không gian hay không gian Hausdorff nếu với hai điểm khác nhau \(x, y \in X\) tồn tại các lân cận riêng biệt cho mỗi điểm.

U của x, lân cận V của y sao cho U X V H

Ví dụ 1.4.1 1) Các không gian metric đều là không gian Hausdorff.

Mọi T2-không gian đều là T1-không gian Không gian tôpô X được gọi là T3-không gian hay không gian chính quy nếu X là T1-không gian và với mọi điểm P thuộc X và mọi tập đóng.

Trong không gian tôpô, nếu \(X\) là một T1-không gian, thì \(X\) sẽ là T3-không gian khi và chỉ khi với mọi điểm \(x \in X\) và mọi lân cận \(V\) của \(x\), tồn tại một lân cận \(U\) của \(x\) sao cho \(x \in U \subseteq V\) Không gian tôpô được gọi là T4-không gian hay không gian chuẩn tắc nếu nó là một T1-không gian và với hai tập đóng \(A\) và \(B\) không giao nhau, sẽ tồn tại hai tập mở \(U\) và \(V\) sao cho \(U \cap V = \emptyset\) Để không gian tôpô \(X\) là không gian chuẩn tắc, điều kiện cần và đủ là với mọi tập đóng \(A\) và mọi tập mở \(G\) chứa \(A\), đều tồn tại một tập mở \(U\) sao cho \(A \subseteq U \subseteq G\) Nếu \(X\) là một không gian tôpô chính quy và thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, thì \(X\) sẽ là một không gian chuẩn tắc.

Định lý 1.4.5, hay còn gọi là Bổ đề Uryshon, khẳng định rằng trong một không gian tôpô chuẩn tắc X, nếu A và B là hai tập con đóng của X với A nằm trong B, thì tồn tại một hàm số liên tục f: X → ℝ thỏa mãn các điều kiện: (a) f(x) ∈ [0, 1] với mọi x ∈ X; (b) f(x) = 0 khi x ∈ A; và (c) f(x) = 1 khi x ∈ B.

Hệ quả 1.4.1 chỉ ra rằng trong một không gian chuẩn tắc X, các hàm số liên tục trên X có khả năng tách biệt các điểm khác nhau Cụ thể, với mọi cặp điểm x₁, x₂ thuộc X mà x₁ khác x₂, tồn tại một hàm số f trong C(X) sao cho f(x₁) khác f(x₂) Định lý 1.4.6, hay còn gọi là định lý Tietze-Uryshon, khẳng định rằng nếu X là một không gian chuẩn tắc và M là một tập con đúng của X, thì tồn tại một hàm số thực liên tục f: M → ℝ sao cho giá trị lớn nhất của f trên M được xác định.

| f p x q| 8 Khi đó tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X thỏa mãn F | M f và sup x P X | F p x q| sup x P M | f p x q|

Hệ quả 1.4.2 khẳng định rằng, với hàm số thực liên tục f trên tập đóng M trong không gian chuẩn tắc X, sẽ tồn tại một hàm số thực liên tục F trên X thỏa mãn điều kiện nhất định.

F | M f. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Không gian compact - Không gian liên thông

Không gian tôpô X được gọi là compact nếu tập K X của nó có đặc điểm là mọi phủ mở đều chứa một phủ con hữu hạn Cụ thể, nếu p G α q α P I là một họ các tập mở thỏa mãn K ¤ α P I, thì điều này chứng tỏ tính chất compact của không gian.

G α i Không gian tôpô X được gọi là compact nếu bản thân tập hợp X là compact.

Các tập hợp gồm một số hữu hạn điểm trong không gian tôpô được xác định là tập compact Hợp của một số hữu hạn tập compact cũng là tập compact Định lý 1.5.1 khẳng định rằng nếu X là không gian compact, thì mọi tập con đóng của X cũng sẽ có tính chất compact.

Tập X là một tập compact, và điều ngược lại chỉ đúng khi X là một T2-không gian Theo định lý 1.5.2, nếu X là một T2-không gian, thì mọi tập con compact của X đều là tập đóng.

Chứng minh rằng tập hợp \( K \) là compact trong không gian \( X \) dẫn đến \( X \setminus K \) là tập mở Cho \( y \in X \setminus K \) Với mọi \( x \in K \), tồn tại các lân cận mở \( V_p(x) \) của \( x \) và lân cận \( V_x(y) \) của \( y \) sao cho \( V_p(x) \cap V_x(y) = \emptyset \) Do đó, hợp của các lân cận mở \( U = \bigcup_{x \in K} V_p(x) \) tạo thành một phủ mở cho \( K \).

K nên tồn tại phủ con hữu hạn:

V x i p y qthì V là một lân cận mở của điểm y Hơn nữa

Như thế U X z K nên X z K mở tức là K đóng.

Từ việc chứng minh định lí trên ta suy ra

Nếu X là một T 2-không gian và K là một tập con compact của X, thì với mỗi điểm x không thuộc K, tồn tại hai tập mở U chứa x và V chứa K sao cho U và V không giao nhau Định lý 1.5.3 chỉ ra rằng trong một T 2-không gian X, nếu A và B là hai tập compact và A không giao B, thì cũng tồn tại hai tập mở U và V trong X sao cho A nằm trong U, B nằm trong V và U và V không giao nhau.

Hệ quả 1.5.2 cho biết rằng nếu X là một T 2-không gian và đồng thời là compact, thì X cũng là một T 4-không gian, tức là không gian chuẩn tắc Định nghĩa 1.5.2 mô tả họ F p F α q α P I P p X q là một họ có tâm, trong đó F H và giao hữu hạn của bất kỳ các phần tử trong F đều khác rỗng Điều này có nghĩa là với bất kỳ tập hữu hạn t α 1, , α n u I, ta đều có £ n i 1.

Định lý 1.5.4 nêu rõ rằng điều kiện cần và đủ để không gian tôpô \(X\) là compact là mọi họ có tâm các tập đóng của \(X\) đều có giao khác rỗng Định lý 1.5.5 đề cập đến hai không gian tôpô \(X\) và \(Y\) cùng với ánh xạ liên tục \(f\) từ \(X\) đến \(Y\).

X vào Y Nếu K X là một tập compact thì f p K q Y cũng là một tập compact. Định lớ 1.5.6 (Định lớ Tikhonov) Để tớch X ạ α P I

X α của họ các không gian tôpô p X α q α P I là compact, điều kiện cần và đủ là mọi α P I, X α là các không gian compact.

Trong không gian Euclide \( \mathbb{R}^n \) với tôpô thông thường, một tập hợp \( A \subset \mathbb{R}^n \) là compact nếu và chỉ nếu nó là tập đóng và bị chặn Theo định lý 1.5.7, điều kiện cần và đủ để một tập con \( A \) trong \( \mathbb{R}^n \) là compact là mọi dãy bất kỳ trong \( A \) đều có một dãy con hội tụ về một điểm trong tập \( A \).

2) Đối với mỗi tập đóng trong R n , các khái niệm compact, bị chặn và hoàn toàn bị chặn là tương đương.

Không gian tôpô \(X\) được gọi là compact địa phương nếu với mọi điểm \(x \in X\) đều tồn tại một lân cận đóng và compact Định lý 1.5.8 chỉ ra rằng không gian con đóng của một không gian compact địa phương cũng là một không gian compact địa phương Hơn nữa, không gian con mở của một không gian Hausdorff compact địa phương cũng giữ tính chất compact địa phương.

Compact hóa là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết không gian tôpô Định nghĩa cho rằng, nếu X là một không gian tôpô không compact và (Y, ϕ) là một cặp trong đó Y là một không gian compact, với ϕ: X → Y là một phép đồng phôi sao cho ϕ(X) = Y, thì cặp (Y, ϕ) được gọi là một compact hóa của không gian tôpô X.

Giả sử \( (X, \tau) \) là một không gian compact địa phương nhưng không compact, với \( 8 \) là một điểm không thuộc \( X \) Đặt \( X_8 = X \cup \{8\} \) Ta xác định \( \tau_8 = \tau \cup \{G \subseteq X_8 \mid 8 \in G, U \in \tau \text{ và } X \setminus U \text{ là tập compact của } X\} \) Ký hiệu \( i: X \hookrightarrow X_8 \) là phép nhúng đồng nhất Định lý 1.5.9 (Alexandrov) khẳng định rằng \( (X_8, i) \) là một compact hóa của \( X \).

Chứng minh rằng tập hợp \(X_8\) là một tập compact Giả sử \(p \in G_\alpha\) và \(q \in \alpha P I\) là một phủ mở của \(X_8\) với \(\alpha_0 \in I\) Theo định nghĩa, \(X \subset G_{\alpha_0}\) và \(X_8 \subset G_{\alpha_0}\) Lưu ý rằng, họ \(p \in G_\alpha\) và \(q \in \alpha P I\) cũng phủ \(X \subset G_{\alpha_0}\), do đó tồn tại \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in I\) sao cho \(G_{\alpha_1}, \ldots, G_{\alpha_n}\) phủ \(X \subset G_{\alpha_0}\) Vậy \(G_{\alpha_0}, \ldots, G_{\alpha_n}\) phủ \(X_8\).

Ta kiểm tra p X, τ qlà không gian con củaX 8 Điều này hiển nhiên vì với mọi

G P τ ta cú G X 8 X G Hơn nữa, i : X ẹ X 8 rừ ràng là phộp đồng phụi từ X lên i p X q X X 8 Ta còn chứng minh X X 8 Thật vậy, một lân cận của 8 trong X 8 có dạng t8u Y U trong đó U H do X z U compact.

Compact hóa mà chúng ta đã xây dựng được gọi là compact hóa một điểm hay compact hóa Alexandrov Định lý 1.5.10 khẳng định rằng nếu X là một không gian compact địa phương, thì

T 2-không gian Khi đó với mọi tập compact K X và mọi tập mở U K đều tồn tại hàm f : X ẹR liờn tục, thỏa món cỏc điều kiện sau: a) f p x q P r 0, 1 s với mọi x P X; b) f p x q 1 khi x P K ; c) f p x q 0 khi x R U.

Hệ quả 1.5.3 chỉ ra rằng, với X là một T2-không gian và compact địa phương, cho mọi tập đóng F trong X và mọi điểm x₀ thuộc F, tồn tại một hàm liên tục f xác định trên X thỏa mãn các điều kiện: a) f(p(x), q) = r với 0 < s < 1; b) f(p(x₀), q) = 1; c) f(p(F), q) = t với t = 0.

1.5.4 Không gian liên thông Định nghĩa 1.5.5 Không gian tôpô X được gọi làliên thông nếu trong X chỉ có hai tập H vàX là đồng thời vừa mở và vừa đóng.

Nói cách khác, X là một không gian liên thông nếu không tồn tại hai tập mở khác rỗng A, B sao cho A X B H và X A Y B.

Tập Y X được gọi là tập liên thông nếu Y, xem như là không gian con của

X, là không gian liên thông. Định lí 1.5.11 Nếu A là tập liên thông trong không gian tôpô X thì mọi tập

B thỏa mãn A B A đều liên thông. Định lí 1.5.12 Giả sử p A α q α P I là một họ những tập liên thông trong không gian tôpô X sao cho £ α P I

A α là tập liên thông trong X. Định lí 1.5.13 Cho A 1 , , A n là các tập liên thông trong không gian tôpô X sao cho A i X A i 1 H với i 1, 2, , n 1 Khi đó ¤ n i 1

Trong không gian tôpô X, một tập hợp A được gọi là liên thông nếu nó không thể được chia thành hai tập con rời nhau Định nghĩa 1.5.6 nêu rõ rằng, với một điểm x thuộc X, ký hiệu C_p(x) là tập hợp tất cả các tập liên thông A chứa x Tập C_p(x) được gọi là thành phần liên thông của x trong X Nếu C_p(x) không chứa bất kỳ điểm nào khác x thuộc X, thì X được xem là không gian hoàn toàn bất liên thông.

Từ định nghĩa ta có Định lí 1.5.14 Cho X là một không gian tôpô Khi đó

1) Thành phần liên thông C p x q là tập liên thông lớn nhất trong X có chứa x.

2) Vớix, y P X ta có một trong hai trường hợpC p x q C p y qhoặc C p x qX C p y q

Một số khái niệm trong không gian tôpô tổng quát

Định nghĩa 2.1.1: Cho không gian tổng quát \(X\) và \(q\) là một không gian tụ tập tổng quát, tập \(B\) là tập hợp các tập con của \(X\) sao cho \(H P B\) Khi đó, \(B\) được gọi là một cơ sở của không gian Định nghĩa 2.1.2: Cho không gian tổng quát \(X\) và \(q\) Tập hợp \(F\) các tập con của \(X\) được gọi là một phủ của \(M\) nếu \(M\) là một tập con của hợp các phần tử của \(F\) Tập con \(G\) của phủ \(F\) cũng là một phủ Phủ \(F\) của \(M\) được gọi là phủ \(à\)-mở nếu các phần tử của \(F\) là các tập con \(à\)-mở của không gian \(X\) Không gian \(X\) được gọi là \(à\)-compact nếu mỗi lớp phủ \(à\)-mở của \(M\) có một lớp phủ con \(à\)-mở hữu hạn Không gian \(X\) được gọi là compact đếm được nếu mỗi lớp phủ \(à\)-mở đếm được của \(M\) có một lớp phủ con \(à\)-mở hữu hạn.

M không gian có một phủ con à-mở hữu hạn Một không gian p X, à q được gọi là Lindelöf nếu mỗi phủ à-mở của M có một lớp phủ con à-mở đếm được Giả sử p X, à q là không gian tụ tập tổng quát và A.

X, A H Không gian con tôpô tổng quát của A trên X là tôpô tổng quát à A t A X U : U P à u trờn A Cặp p A, à A q được gọi là khụng gian con của khụng gian tụpụ tổng quỏt p X, à q

Hàm \( f : (X, \mathcal{A}_1) \to (Y, \mathcal{A}_2) \) được gọi là một hàm trên các không gian tôpô tổng quát nếu \( (X, \mathcal{A}_1) \) và \( (Y, \mathcal{A}_2) \) là các không gian tôpô tổng quát Theo định nghĩa, hàm \( f \) là \( \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \)-liên tục tại điểm \( x \in X \) nếu với mọi tập \( \mathcal{A}_2 \)-mở \( V \) chứa \( f(x) \), tồn tại một tập \( \mathcal{A}_1 \)-mở.

Hàm số \( f: p X, à 1 q \to p Y, à 2 q \) được gọi là \( à 1, à 2 q \)-đúng nếu \( f(p C q) \) là \( à 2 \)-đúng trong \( p Y, à 2 q \) với mỗi tập \( à 1 \)-đúng \( C \) Nếu \( f \) là \( p à 1, à 2 q \)-liên tục tại mỗi điểm của \( X \), thì \( f \) được gọi là \( p à 1, à 2 q \)-liên tục.

Các tập ω -mở trong các không gian tôpô tổng quát

Trong không gian tụ tập tổng quát \( (X, \mathcal{B}) \), một điểm \( x \in P(X) \) được gọi là điểm tụ của tập \( B \) nếu với mọi tập \( A \in P \) sao cho \( x \in A \), thì \( A \cap B \) là không đếm được Tập hợp tất cả các điểm tụ của \( B \) được ký hiệu là \( \text{Cond}(P(B)) \) Tập \( B \) được gọi là \( \omega \)-đúng nếu \( \text{Cond}(P(B)) = B \) Ngoài ra, \( B \) là \( \omega \)-mở nếu \( X \setminus B \) là \( \omega \)-đúng Tất cả các tập \( \omega \)-mở của \( (X, \mathcal{B}) \) được ký hiệu là \( \mathcal{A}_{\omega} \) Tập con \( G \) của không gian tụ tập tổng quát \( (X, \mathcal{B}) \) là \( \omega \)-mở nếu và chỉ nếu với mọi \( x \in G \) tồn tại một tập \( U \in \mathcal{A} \) sao cho \( x \in U \) và \( U \setminus G \) là đếm được.

Chứng minh rằng G là ω-à-mở khi và chỉ khi X z G là ω-à-đúng Điều này xảy ra khi và chỉ khi với mỗi x thuộc G, x thuộc Cond p X z G q Hơn nữa, với mỗi x thuộc G, tồn tại một tập U thuộc sao cho x thuộc U và U X p X z G q U z G là đếm được.

Hệ quả 2.2.1 Tập con G của khụng gian tụpụ tổng quỏt p X, à q là ω-à-mở nếu và chỉ nếu với mọi x P G tồn tại U P à và tập đếm được C M à sao cho x P U z C G.

Giả sử G là một không gian mở và x thuộc P G Theo Định lý 2.2.1, tồn tại một tập U thuộc P sao cho x thuộc U và U giao G là đếm được Đặt C bằng U giao G Khi đó, C là một tập đếm được, và x thuộc U giao C, U giao G thuộc G Lấy x thuộc G, theo giả thiết, tồn tại U thuộc P và một tập đếm được C sao cho x thuộc U giao C Vì C giao G là một tập con của U giao G, nên U giao G cũng là đếm được.

Hệ quả 2.2.2 Cho p X, à q là khụng gian tụpụ tổng quỏt Khi đú à à ω

Chứng minh rằng nếu G P à và x P G, thì đặt U G, C H Khi đó, U P à và C M sao cho x P U z C G Theo Hệ quả 2.2.1, ta có G P à ω Định lý 2.2.2 khẳng định rằng với bất kỳ không gian tụ tập tổng quát p X, q, và ω là một tụ tập tổng quát trên X.

Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.2, H P à ω Đặt t G α : α P J u là tập cỏc tập con ω-à-mở của p X, à q và x P Ô α P J

G α Tồn tại α 0 P J sao cho x P G α 0 Vì G α 0 là ω-à-mở nờn theo Hệ quả 2.2.2, tồn tại U P à và tập đếm được C M à sao cho x P U z C G α 0 ¤ α P J

G α Theo Hệ quả 2.2.2 suy ra ¤ α P J

Vớ dụ sau đõy chứng tỏ rằng, núi chung à à ω luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Khi đó p X, à qlà khụng gian tụpụ tổng quỏt Đặt A r 2, 0 s Khi đú ta cú

Cond pRz A q ppRz A qzNq Rz A.

Khi đú A P à ω z à. Định lớ 2.2.3 Cho p X, à q là khụng gian tụpụ tổng quỏt Khi đú M à M à ω

Chứng minh Vỡ à à ω nờn M à M à ω Mặt khỏc, cho x P M à ω Vỡ M à ω P à ω theo Hệ quả 2.2.1, tồn tạiU P àvà tập đếm đượcC M àsao chox P U z C M à ω

Cho X là một tập không đếm được, và X H Tôpô đối đếm được được định nghĩa là tập hợp tất cả các tập con U của X sao cho U H hoặc X z U là đếm được Tôpô đối đếm được trên X được ký hiệu là p τ coc q X Định lý 2.2.4 cho biết rằng nếu p X là không gian tụ tập tổng quát, thì p τ coc q U và ω với mọi U thuộc P và ztHu.

Chứng minh rằng nếu \( U \) là một tập hợp và \( V \) là một không gian tổng quát, thì \( x \in V \) dẫn đến \( x \in U \) Hơn nữa, vì \( U \) là một tập đếm được, theo Định lý 2.2.1, suy ra \( V \) là một không gian con của \( \omega \) Theo Định lý 2.2.5, cho \( p \) là một không gian tổng quát và \( q \) là một không gian con, thì \( p \) là một không gian tổng quát nếu và chỉ nếu \( p \) là một không gian con của \( U \) với mọi \( U \) thuộc \( ztHu \).

Chứng minh ủq Giả sử à à ω vàU P à ztHu Khi đú theo Định lớ 2.2.4, p τ coc q U à ω à. ðq Giả sử p τ coc q U à với mọiU P à ztHu Chỉ cần chứng tỏ rằng à ω à Cho

A P à ω ztHu Theo Hệ quả 2.2.1, với mỗi x P A tồn tại U x P à và tập đếm được

C x M à sao cho x P U x z C x A Do đú U x z C x P p τ coc q U x à với mọi x P Avà vỡ thế U x z C x P à.Vậy

Không gian tụ tập tổng quát \( p(X, \mathcal{Q}) \) được gọi là đếm được địa phương nếu \( M \) và \( H \) thỏa mãn điều kiện rằng với mọi \( x \in M \), tồn tại \( U \in \mathcal{A} \) sao cho \( x \in U \) và \( U \) là đếm được Nếu \( p(X, \mathcal{Q}) \) là không gian tụ tập tổng quát đếm được địa phương, thì \( \omega \) là tập hợp rời rạc trên \( M \).

Mọi tập con của M đều là tập mở Cho x thuộc M, với p thuộc X, và q là một không gian đếm được, tồn tại một tập U thuộc p sao cho x thuộc U và U là đếm được Theo Định lý 2.2.4, p τ coc q U là tập mở Do đó, điều này chứng minh rằng mọi tập con của M là ω-à-mở.

Hệ quả 2.2.3 Nếu p X, à q là khụng gian tụpụ tổng quỏt sao cho X là một tập đếm được khỏc rỗng thỡ khi đú à ω là tụpụ rời rạc trờn M à

Chứng minh Vỡ M à là đếm được, nờn p X, à q là đếm được địa phương Theo Định lớ 2.2.6, à ω là tụpụ rời rạc trờn M à

Hệ quả 2.2.4 cho biết rằng nếu p X và q là không gian tụ tập tổng quát, với X là một tập đếm được không rỗng và M là H, thì ω là tập rời rạc trên M Định lý 2.2.7 khẳng định rằng p X và ω là compact đếm được nếu và chỉ nếu M là hữu hạn.

Giả sử p X và ω q là compact đếm được, và M là vụ hạn Chọn tập con không đếm được t a n: n thuộc N với a i a j khi i j của M Đối với mỗi n thuộc N, đặt A n là tập hợp các zt a k: k thuộc n u Khi đó, A n: n thuộc N là một phủ ω-mở của.

M à ω M à và do đú nú cú phủ con hữu hạn, chọn t A n 1 , A n 2 , , A n k u trong đú n 1 n 2 n k Suy ra, ¤ k i 1

A n i A n k M à ω M à Điều này là mâu thuẫn. ðq Giả sử M à là hữu hạn Nếu M à H ta cú điều phải chứng minh Nếu

M à H thỡ theo Hệ quả 2.2.3, à Ω là tụpụ rời rạc trờn M à , trong đú M à là hữu hạn Do đú p X, à ω q là compact đếm được.

Hệ quả 2.2.5 Cho p X, à q là khụng gian tụpụ tổng quỏt Khi đú p X, à ω q là compact nếu và chỉ nếu M à là hữu hạn.

Bổ đề 2.2.1 khẳng định rằng không gian tụ tập tổng quát p X, à q là Lindelöf nếu và chỉ nếu mọi phủ à-mở của M bao gồm các phần tử của cơ sở B có một phủ con đếm được Định lý 2.2.8 chỉ ra rằng không gian tụ tập tổng quát p X, à q là Lindelöf khi và chỉ khi p X, à ω q cũng là Lindelöf.

Chứng minh ủq Giả sử p X, à q là Lindelăof Đặt

Theo Hệ quả 2.2.1, B là cơ sở củaà ω Ta sẽ ỏp dụng Bổ đề 2.2.1 LấyA B sao cho A M à ω ,chọn

Tập hợp \( U_\alpha \) là một tập con đếm được của \( M \), với \( \alpha P \Delta u \) và \( \Delta \) là tập các chỉ số Theo Định lý 2.2.3, \( M \) là \( \omega \) Do \( U_\alpha \) là \( \alpha P \Delta u M \) và \( p X, q \) là Lindelöf, nên tồn tại \( \Delta_1 \) sao cho \( \Delta_1 \) là đếm được và \( U_\alpha : \alpha P \Delta_1 u M \) Đặt \( C_t C_\alpha : \alpha P \Delta_1 u \) Khi đó, \( C \) là đếm được.

Vì thế, với mỗi x P C tồn tại α x P ∆ sao cho x P U α x z C α x Lấy

Hàm H t U α z C α là một phần quan trọng trong lý thuyết không gian Khi H A, H là đếm được và H M là ω Giả sử p X là Lindelăof, theo Định lý 2.2.3, M là ω và theo Hệ quả 2.2.2, p X cũng là Lindelăof Định lý 2.2.9 chỉ ra rằng nếu A là tập con của không gian tổng quát p X, thì p A ω p ω A.

Chứng minh p à A q ω p à ω q A Lấy B P p à A q ω và x P B Theo Hệ quả 2.2.1, tồn tại V P à A và tập con đếm được C M à A sao cho x P V z C B Chọn U P à sao cho V U X A Khi đúU z C P à ω , x P U z C và p U z C q X A V z C B Do đú

B P p à ω q A p à ω q A p à A q ω Lấy G P p à ω q A Khi đú tồn tại H P à ω sao cho G H X A. Nếu x P G thỡ x P H và tồn tại U P à và tập con đếm được D M à sao cho x P U z D H Đặt V U X A Khi đú V P à A và x P V z D G Do đú

Tính liên tục trên các tập ω -mở trong các không gian tôpô tổng quát

gian tôpô tổng quát Định nghĩa 2.3.1 Cho p X, à 1 q và p Y, à 2 q là hai khụng gian tụpụ tổng quỏt. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Hàm f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 q được gọi là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục tại x P X nếu với mọi tập à 2 -mở V chứa f p x qcú tập ω-à 1 -mở U chứa x sao cho f p U q V.

Nếu f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục tại mỗi điểm của X thỡ f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục. Định lớ 2.3.1 Cho p X, à 1 q và p Y, à 2 q là hai khụng gian tụpụ tổng quỏt.

Nếu f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 q là p à 1 , à 2 q-liờn tục tại x P X thỡ f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục tại x.

Chứng minh rằng tập \( V \) là tập \( \alpha \)-mở với \( f: P \to V \) Nếu \( f \) là \( \alpha \)-liên tục tại \( x \), thì tồn tại tập \( U \) là tập \( \alpha \)-mở chứa \( x \) sao cho \( f(P) \subseteq U \subseteq V \) Theo Hệ quả 2.2.2, \( U \) là tập \( \omega \)-mở Do đó, \( f \) là \( \omega \)-liên tục tại \( x \).

Rừ ràng mọi hàm p à 1 , à 2 q-liờn tục là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục Sau đõy là vớ dụ về hàm ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục nhưng khụng phải là p à 1 , à 2 q-liờn tục.

Vớ dụ 2.3.1 Cho X Y R , à 1 tHu Y t A R : A là vụ hạn u và à 2

Hàm số \( f: (X, \mathcal{A}_1) \to (Y, \mathcal{A}_2) \) được định nghĩa bởi \( f(x) = x^2 \) Khi đó, \( V \subseteq \mathcal{A}_2 \) với \( f^{-1}(V) \) Mặt khác, với mỗi \( U \in \mathcal{A}_1 \) và \( 1 \in U \), \( U \) là mở và do đó \( f(U) \subseteq V \) Vậy \( f \) không phải là liên tục tại \( 1 \) và do đó \( f \) không là liên tục Để chứng minh rằng \( f \) là liên tục \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \), ta lấy \( x \in X \) và \( V \in \mathcal{A}_2 \) sao cho \( f(x) \in V \) Với \( t \in U \subseteq Y \), \( p_{ZY}(t, x) \in A_1 \), và \( Z(t, x) \) là đếm được nên \( t \in U \) là mở \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \) Định lý 2.3.2 chỉ ra rằng các điều kiện sau là tương đương: a) Hàm \( f \) là liên tục \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \); b) Với mỗi tập mở \( V \in \mathcal{A}_2 \), \( f^{-1}(V) \) là mở \( \omega \)-tại \( A_1 \); c) Với mỗi tập đúng \( M \in \mathcal{A}_2 \), \( f^{-1}(M) \) là đúng \( \omega \)-tại \( A_1 \) Định lý 2.3.3 khẳng định rằng hàm \( f: (X, A_1) \to (Y, A_2) \) là liên tục \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \) nếu và chỉ nếu \( f: (X, A_1) \to (Y, A_2) \) là liên tục \( (A_1, A_2) \) Cuối cùng, Định lý 2.3.4 cho biết nếu \( f: (X, A_1) \to (Y, A_2) \) là liên tục \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \) và \( g: (Y, A_2) \to (Z, A_3) \) là liên tục \( (A_1, A_2) \), thì \( g \circ f: (X, A_1) \to (Z, A_3) \) là liên tục \( \omega \)-tại \( (A_1, A_2) \).

Chứng minh rằng nếu \( V \) là không gian topological và \( g \) là hàm liên tục từ \( V \) đến \( P \), thì \( f \) là hàm liên tục từ \( P \) đến \( Y \) Do đó, \( p(g(f)) \) là hàm liên tục Định lý 2.3.5 nêu rằng nếu \( A \) là tập con của không gian topological \( X \) và \( f: (X, \mathcal{A}) \to (Y, \mathcal{B}) \) là hàm liên tục, thì giới hạn của \( f \) đến \( A \), ký hiệu là \( f|_A: (A, \mathcal{A}_A) \to (Y, \mathcal{B}) \), cũng là hàm liên tục.

Chứng minh ChoV là tậpà 2 -mở bất kỳ trongY Vỡf làω- p à 1 , à 2 q-liờn tục nờn f 1 p V q P à ω và vỡ thế p f | A q 1 p V q f 1 p V q X A P p à ω q A Cho nờn theo Định lớ 2.2.9, p f | A q 1 p V q P p à A q ω Vậy f | A là hàm ω- pp à 1 q A , à 2 q-liờn tục.

Bổ đề 2.3.1 nêu rằng, cho không gian tụ tập tổng quát mạnh p X và q, cùng với A là một tập con không rỗng của X Tập con C A được gọi là A-đúng nếu và chỉ nếu tồn tại một tập A-đúng H sao cho C H X A.

Chứng minh C là à A -đúng khi và chỉ khi A z C là à A -mở, điều này đỳng khi và chỉ khi cú một tập à-mở U sao cho A z C A X U, nhưng trong trường hợp này

X z U là à-đúng và C p X z U q X A. Định lớ 2.3.6 Cho hàm f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 q và X A Y B, trong đú A và B là cỏc tập con ω-à 1-đúng của p X, à 1 q và f | A : p A, p à 1 q A q ẹ p Y, à 2 q , f | B : p B, p à 1 q B q ẹ p Y, à 2 q là hàm ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục Khi đú f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục.

Chứng minh Cho C là tập con à 2 -đúng của p Y, à 2 q Khi đú f 1 p C q f 1 p C q X X f 1 p C q X p A Y B q p f 1 p C q X A q Y p f 1 p C q X B q

Vỡ f | A : p X, p à 1 q A q ẹ p Y, à 2 q và f | B : p B, p à 1 q B q ẹ p Y, à 2 q là cỏc hàm ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục nờn p f | A q 1 p C q f 1 p C q X A là ω- p à 1 q A-đúng trong p A, p à 1 q A q và p f | B q 1 p C q f 1 p C q X B là ω- p à 1 q B-đúng Theo Bổ đề 2.3.1, p f | A q 1 p C q và p f | B q 1 p C qlà ω-à 1-đúng trong p X, à 1 q Vậy f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục.

Với bất kỳ hai khụng gian tụpụ tổng quỏt p X, à 1 qvà p Y, à 2 q ,ta gọi tụpụ tổng quỏt trờn X Y cú họ t A B : A P à 1 và B P à 2 u là cơ sở và ký hiệu làà prod

Bổ đề 2.3.2 khẳng định rằng, cho hai không gian tụ tập tổng quát \( p(X, \mathcal{A}_1) \) và \( p(Y, \mathcal{A}_2) \), khi đó phép chiếu \( \Pi_x: p(X, \mathcal{A}_1) \to p(X, \mathcal{A}_1) \) trên \( X \) và \( \Pi_y: p(X, \mathcal{A}_1) \to p(Y, \mathcal{A}_2) \) trên \( Y \) lần lượt là \( p(\mathcal{A}_1) \)-liên tục và \( p(\mathcal{A}_2) \)-liên tục.

Chứng minh Cho U là tập à 1 -mở trong p X, à 1 q Khi đú Π x 1 p U q U Y và

U Y là một sản phẩm mở trong không gian p X Y, với p là sản phẩm q Do đó, phép chiếu Π x là p và sản phẩm q liên tục Tương tự, Π y là p và sản phẩm q liên tục Định lý 2.3.7 nêu rằng, cho hàm f: p X, à 1 q đến p Y, à 2 q và g: p X, à 1 q đến p Z, à 3 q, nếu hàm h: p X, à 1 q đến p Y Z, à sản phẩm q được xác định bởi h(p x) = f(p x) g(p x) là ω-p à 1, sản phẩm q liên tục, thì f là ω-p à 1, à 2 q liên tục và g là ω-p à 1, à 3 q liên tục.

Giả sử hàm \( f \) là \( \omega \)-p tại 1 và liên tục trên \( Y \), với \( p \) và \( q \) là các phép chiếu trên \( Y \) theo Bổ đề 2.3.2 và Định lý 2.3.4 Tương tự, nếu \( g \) cũng là \( \omega \)-p tại 1 và liên tục trên \( Y \), thì theo Định lý 2.3.8, cho hàm \( f : p X, 1 \) và \( H X \) sao cho \( p 1 H 1 \) Nếu tồn tại \( x \in H \) sao cho \( f|_H : p H, p 1 H \) là \( \omega \)-pp tại 1 và liên tục tại \( x \), thì \( f \) là \( \omega \)-p tại 1 và liên tục tại \( x \).

Chứng minh rằng cho tập \( V \) bất kỳ trong \( pY \), với \( 2q \) là hàm \( p(x) \) Vì \( f \) là \( \omega - p(à 1) \) và \( H \) là \( p(à 1) \), nên tồn tại \( G \) thuộc \( P(p(à 1)H) \) sao cho \( x \) thuộc \( G \) và \( f(G) \) thuộc \( V \) Theo giả thiết \( p(à 1)H \) là \( 1 \), do đó \( G \) thuộc \( P(à 1) \) Vì vậy, \( f \) là \( \omega - p(à 1) \) và \( 2q \) liên tục.

Hệ quả 2.3.1 Cho hàm f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 q Cho t H α : α P ∆ u là một phủ của X sao cho với mỗi α P ∆, p à 1 q H α à 1 và f | H α là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục tại mỗi điểm của H α Khi đú f là ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục.

Chứng minh rằng hàm số f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 q là liên tục ω- p à 1 , à 2 q tại điểm x Theo định lý 2.3.8, vì H α : α P ∆ u là phủ à 1 -mở của X, nên tồn tại α 0 P ∆ sao cho x P H α 0 Do đó, f là liên tục ω- p à 1 , à 2 q tại x, và kết luận rằng f là ω- p à 1 , à 2 q-liên tục.

Bổ đề 2.3.3 Mọi khụng gian con à-đúng của một khụng gian tụpụ tổng quỏt Lindel¨of là Lindel¨of.

Chứng minh rằng cho không gian topo \(X\) là một không gian Lindelöf và \(A\) là một tập con của \(X\) Nếu \(A\) là một phủ mở của \(A\), thì \(B\) là một phủ mở của \(X\) Do \(X\) là không gian Lindelöf, nên tồn tại một phủ con đếm được của \(B\).

C của B sao cho X C, với D C zt A c u Khi đó, D là đếm được và A D, cho thấy A là một tập con Lindelăof của p X, à q Định lý 2.3.9 khẳng định rằng bất kỳ tập con ω-à-đúng của không gian tụ tập tổng quát Lindelăof đều là Lindelöf.

Chứng minh rằng nếu \( pX, \omega q \) là một không gian tụ tập tổng quát Lindelöf và \( A \) là tập con \( \omega \)-đúng, thì theo Định lý 2.2.8, \( pX, \omega q \) cũng là Lindelöf Do \( A \) là \( \omega \)-đúng trong không gian tụ tập tổng quát Lindelöf \( pX, \omega q \), theo Bổ đề 2.3.3, \( A \) là tập con Lindelöf của \( pX, \omega q \) Hơn nữa, vì \( \omega \) là tập con, nên \( A \) cũng là tập con Lindelöf của \( pX, q \) Theo Định lý 2.3.10, nếu \( f: pX, \omega_1 q \to pY, \omega_2 q \) là \( \omega_1, \omega_2 \)-liên tục và toàn ánh, và \( pX, \omega_1 q \) là Lindelöf, thì \( pY, \omega_2 q \) cũng sẽ là Lindelöf.

Giả sử p X, à 1 q là không gian Lindelăof và A là phủ à 2-mở của p Y, à 2 q Hàm f là p à 1 , à 2 q-liên tục và t f 1 p A q : A P A u à 1 Do đó, t f 1 p A q : A P A u là phủ à 1-mở của p X, à 1 q Vì p X, à 1 q là Lindelăof, tồn tại họ con đếm được B A sao cho t f 1 p A q : A P B u X Do đó, t f p A q : A P B u f p X q Vì f là toàn ánh, nên f p X q Y.

Hệ quả 2.3.2 Cho f : p X, à 1 q ẹ p Y, à 2 qlà ω- p à 1 , à 2 q-liờn tục và toàn ỏnh Nếu p X, à 1 q là Lindelăof thỡ p Y, à 2 q là Lindelăof.

Chứng minh rằng hàm \( f: p(X, a_1) \to p(Y, a_2) \) là liên tục theo Định lý 2.3.4, và nếu \( p(X, a_1) \) là Lindelöf thì \( p(X, p(a_1)) \) cũng là Lindelöf Theo Định nghĩa 2.3.2, hàm \( f \) được gọi là hàm \( \omega-p(a_1, a_2)-đúng \) nếu ảnh của các tập \( a_1-đúng \) là các tập \( \omega-a_2-đúng \) Định lý 2.3.11 khẳng định rằng nếu \( f \) là hàm \( \omega-p(a_1, a_2)-đúng \) và với mỗi \( y \in Y \), \( f^{-1}(y) \) là tập con Lindelöf của \( p(X, a_1) \) và \( p(Y, a_2) \) là Lindelöf, thì \( p(X, a_1) \) cũng là Lindelöf.

Chứng minh Cho t U α : α P ∆ u là một phủ à 1 -mở của p X, à 1 q Với mỗi y P

Y, f 1 pt y uq là tập con Lindelăof của p X, à 1 q và tồn tại tập con đếm được ∆ 1 p y q của ∆ sao cho f 1 pt y uq t U α : α P ∆ 1 p y qu Với mỗi y P Y, đặt

Với mỗi điểm \( y \) trong không gian \( P(Y) \), tập \( V(p, y, q) \) là tập mở trong \( P(Y) \) Nếu \( V(p, y, q) \) là tập mở, thì tồn tại một tập mở \( W(p, y, q) \) sao cho \( y \in W(p, y, q) \) và \( W(p, y, q) \setminus V(p, y, q) \) là đếm được Điều này dẫn đến việc \( W(p, y, q) \subseteq V(p, y, q) \) và từ đó suy ra rằng \( f^{-1}(W(p, y, q)) \subseteq f^{-1}(V(p, y, q)) \).

VỡW p y qz V p y qlà đếm được vàf 1 pt y uqlà tập con Lindelăof của p X, à 1 qnờn tồn tại tập con đếm được ∆ 2 p y q của ∆ sao cho f 1 p W p y qz V p y qq t U α : α P ∆ 2 p y qu và do đó f 1 p W p y qq ! U α : α P ∆ 2 p y q )

Vỡ t W p y q : y P Y u là phủ à 2 -mở của khụng gian tụpụ tổng quỏt Lindelăof p Y, à 2 q nờn tồn tạiy 1 , y 2 , y 3 , sao cho Y t W p y i q : i P N u Vậy

Vậy p X, à 1 q là Lindelăof. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

CÁC TẬP ω s -MỞ VÀ CÁC HÀM ω s -LIÊN TỤC

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 3.1.1 ([28]) Hàmf : p X, τ 1 q ẹ p X, τ 2 qlà nửa liờn tục nếu với mọi

V P τ 2 , f 1 p V q P SO p X, τ 1 q Định nghĩa 3.1.2 ([4]) A là nửa ω-mở nếu tồn tại tập ω-mở U sao cho U

A U Tập tất cả các tập nửa ω-mở của không gian tôpô p X, τ q được ký hiệu là SωO p X, τ q Định nghĩa 3.1.3 ([5]) Hàmf : p X, τ 1 q ẹ p Y, τ 2 qlà nửaω-liờn tục nếu với mọi

Trong không gian tôpô \( (X, \tau) \), định lý 3.1.1 chỉ ra rằng nếu \( A \subseteq X \) và \( A \) là tập hợp hữu hạn, thì \( \tau(A) \) là tập hợp mở Định lý 3.1.2 khẳng định rằng \( SO(X, \tau) \) và \( S\omega O(X, \tau) \) đều là các tập hợp mở Đối với định lý 3.1.3, nếu \( (X, \tau) \) là không gian tôpô không đếm được địa phương, thì với mọi \( A \in \tau(\omega) \), ta có \( A^\omega = A \) và với mọi tập \( \omega \)-đóng \( A \) trong \( (X, \tau) \), thì \( \text{int}_\omega(A) = \text{int}(A) \) Nếu \( (X, \tau) \) là không gian tôpô đếm được địa phương, thì \( \tau(\omega) \) là tôpô rời rạc.

Các tập ω s -mở trong các không gian tôpô tổng quát

Trong không gian tôpô \( (X, \tau) \), một tập con \( A \) được gọi là \( \omega s \)-mở nếu tồn tại một tập \( U \) thuộc \( \tau \) sao cho \( U \supset A \) và \( A \) được gọi là \( \omega s \)-đóng nếu \( A^c \) là \( \omega s \)-mở Tập hợp tất cả các tập \( \omega s \)-mở của \( (X, \tau) \) được ký hiệu là \( \omega s (X, \tau) \) Định lý 3.2.1 khẳng định rằng nếu \( (X, \tau) \) là không gian tôpô, thì \( \tau = \omega s (X, \tau) \).

Chứng minh Cho A P τ, lấy U A Khi đó U P τ và U A U ω Suy ra

A P ω s p X, τ q Do đó τ ω s p X, τ q Lấy A P ω s p X, τ q Khi đó tồn tại U P τ sao cho U A U ω Vì U ω U nên

Ví dụ sau đây cho ta thấy rằng hai bao hàm trong Định lí 3.2.1 nói chung không phải là đẳng thức.

Ví dụ 3.2.1 Xét p R , τ qtrong đó τ tH , R , N , Q c , NYQ c u Khi đó ta cóN ω

N, N Q và Q c ω RzN Do đó, Q P SO p X, τ qz ω s p X, τ qvà RzNP ω s p X, τ qz τ Định lý 3.2.2 cho biết rằng nếu p X, τ q là không gian tôpô, thì: a) Nếu p X, τ q là không đếm được địa phương, thì ω s p X, τ q SO p X, τ q b) Nếu p X, τ q là đếm được địa phương, thì τ ω s p X, τ q.

Chứng minh a) Theo Định lí 3.2.1, ta có SO p X, τ q ω s p X, τ q

Lấy A P SO p X, τ q Khi đó tồn tại U P τ sao cho U A U Vì p X, τ q là không đếm được địa phương nên theo Định lí 3.1.3a), U U ω Do đó

A P ω s p X, τ q b) Theo Định lí 3.2.1, ta có ω s p X, τ q τ.

Lấy A P ω s p X, τ q Khi đó tồn tại U P τ sao cho U A U ω Vì p X, τ q là đếm được địa phương, nên theo Định lí 3.1.3b), U ω U Do đó A U và vì vậy A P τ.

Ví dụ sau đây cho thấy tập ω-mở và ω s-mở là độc lập.

Ví dụ 3.2.2 Xét p R , τ qtrong đó τ !

Do đó r 1, 8q P ω s p X, τ qz τ ω và p 0, 8q P τ ω ω s p X, τ q Định lí 3.2.3 Tập con A của không gian tôpô p X, τ q là ω s -mở nếu và chỉ nếu

Chứng minh Điều kiện cần Cho A là ω s -mở Khi đó tồn tại U P τ sao cho

U A U ω Vì U A nên U int p U q int p A qvà vì thế U ω int p A q ω

Vì vậy A int p A q ω Điều kiện đủ Giả sử A int p A q ω Lấy U int p A q Khi đó U P τ với U A

Trong không gian tôpô, hợp tùy ý các tập \( \omega \)-mở là \( \omega \)-mở Định lý 3.2.4 khẳng định điều này Để tải luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất, vui lòng liên hệ qua email: z z @gmail.com.

Chứng minh Cho p X, τ qlà không gian tôpô và t A α : α P ∆ u ω s p X, τ q Với mỗi α P ∆, tồn tại U α P τ sao cho U α A α U α ω Vì vậy ¤ α P ∆

Hệ quả 3.2.1 Nếu t C α : α P ∆ u là tập các tập conω s-đóng của không gian tôpô p X, τ q thì t C α : α P ∆ u là ω s -đóng.

Ví dụ sau cho thấy giao của hai tập ω s -mở nói chung không là ω s -mở.

Ví dụ 3.2.3 Xét p R , τ ω q Cho A r 0, 1 s , B r 1, 2 s Theo Định lí 3.1.3a), p 0, 1 q ω p 0, 1 q A, và p 1, 2 q ω p 1, 2 q B.

Vậy A, B P ω s p X, τ q nhưng A X B t 1 u R ω s p X, τ q Định lí 3.2.5 Trong không gian tôpô bất kỳ, giao của hai tập ω s-mở là tập ω s -mở.

Chứng minh Cho p X, τ qlà không gian tôpô, A P τ và B P ω s p X, τ q Lấy U P τ sao cho U B U ω Ta cóA X U P τ vàA X U A X B A X U ω

Hệ quả 3.2.2 khẳng định rằng trong không gian tôpô bất kỳ, hợp của hai tập ω s-đóng cũng là tập ω s-đóng Định lý 3.2.6 chỉ ra rằng, với không gian tôpô p X, τ q, và các tập B H, B X, A B, nếu A thuộc ω s p X, τ q thì A cũng thuộc ω s p B, τ B q Ngược lại, nếu B thuộc τ và A thuộc ω s p B, τ B q thì A sẽ thuộc ω s p X, τ q.

Chứng minh a) Giả sửA P ω s p X, τ q Khi đó tồn tạiU P τ sao choU A U ω Khi đó U U X B A U ω X B.

U ω X B là bao đóng của U trong p τ ω q B, và theo Định lí 3.1.1a), nó cũng là bao đóng của U trong p τ B q ω Điều này dẫn đến kết luận rằng A P ω s p B, τ B q Giả sử B P τ và A P ω s p B, τ B q, thì do A P ω s p B, τ B q, tồn tại V P τ B sao cho.

V A H trong đó H là bao đóng của V, trong p B, p τ B q ω q Vì B P τ nên

Hơn nữa V A H V ω Do đó A P ω s p X, τ q luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si Định lí 3.2.7 Cho p X, τ q là không gian tôpô Nếu A P ω s p X, τ qvà A B A ω thì B P ω s p X, τ q

Chứng minh VìA P ω s p X, τ q nên tồn tạiU P τ sao cho U A U ω VìA U ω nên A ω U ω Vì B A ω nên B U ω Do đó, ta có U P τ và U A B U ω Vậy B P ω s p X, τ q Định lí 3.2.8 Với bất kỳ không gian tôpô p X, τ q , ta có SO p X, τ ω q ω s p X, τ ω q

Theo Định lý 3.2.1, ta có rằng không gian tôpô \( (X, \tau) \) là \( \omega s \)-đóng Ngược lại, nếu \( A \in SO(X, \tau) \), thì tồn tại \( U \in \tau \) sao cho \( U \cap A \neq \emptyset \), với \( H \) là bao đóng của \( U \) trong \( (X, \tau) \) Theo Định lý 3.1.1b), ta có \( \tau \omega = \tau \) và do đó \( H \subseteq U \) Vì vậy, \( A \in SO(X, \tau) \) Định lý 3.2.9 khẳng định rằng với bất kỳ không gian tôpô \( (X, \tau) \), ta có \( \tau = \text{int}(A) \) với \( A \in \omega s(X, \tau) \) Cuối cùng, Định lý 3.2.10 chỉ ra rằng một tập con \( C \) của không gian tôpô \( (X, \tau) \) là \( \omega s \)-đóng nếu và chỉ nếu \( \text{int}(\omega(C)) \subseteq C \).

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử C là ω s-đóng trong p X, τ q Khi đó X z C là ω s-đóng và theo Định lí 3.2.3,X z C int p X z C q ω Vì thế int ω p C q Ext ω p X z C q

C. Điều kiện đủ Giả sử int ω p C q C Khi đó

X z Ext ω p Ext p C qq, theo Định lý 3.2.3, X z C là ω s-mở và do đó C là ω s-đóng Định nghĩa 3.2.2 cho p X, τ q là không gian tôpô và cho A X a) ω s-bao đóng của A trong p X, τ q được ký hiệu là A ω s và được định nghĩa như sau:

b) ω s -phần trong của A trong p X, τ q được ký hiệu là int ω s p A q và định nghĩa như sau: int ω s p A q : ! U : U là ω s-mở trong p X, τ qvà U A )

Trong không gian tôpô \( (X, \tau) \) với tập \( A \subseteq X \), ta có các nhận xét sau: a) Tập \( A_{\omega s} \) là tập \( \omega s \)-đóng nhỏ nhất chứa \( A \) b) Tập \( A \) là \( \omega s \)-đóng khi và chỉ khi \( A = A_{\omega s} \) c) Tập \( \text{int}_{\omega s}(A) \) là tập \( \omega s \)-mở lớn nhất chứa \( A \) d) Tập \( A \) là \( \omega s \)-mở khi và chỉ khi \( A = \text{int}_{\omega s}(A) \) e) Điểm \( x \in A_{\omega s} \) khi và chỉ khi tồn tại tập \( B \in \omega s(X, \sigma) \) với \( x \in B \) và \( A \subseteq B \) f) \( \text{int}_{\omega s}(A^c) \subseteq A_{\omega s} \) g) \( X \setminus \text{int}_{\omega s}(A^c) \subseteq A_{\omega s} \) h) \( X \setminus A_{\omega s} \subseteq \text{int}_{\omega s}(A^c) \) và \( X \setminus \text{int}_{\omega s}(A^c) \subseteq A_{\omega s} \).

Cho không gian tụ tập X và Y, hàm f: X ẹ Y được gọi là hàm mở nếu ảnh f(p) của một tập mở U trong X là mở trong Y Định lý 3.2.11 chỉ ra rằng nếu f: (X, τ) ẹ (Y, σ) là hàm mở, thì f: (X, τ ω) ẹ (Y, σ ω) cũng liên tục Do đó, với mỗi A thuộc ω s (X, τ), ta có f(A) thuộc ω s (Y, σ).

Chứng minh rằng cho A thuộc P(ω, s, p, X, τ), tồn tại U thuộc τ sao cho U chứa A và U thuộc ω, đồng thời f(U) = f(A) = f(Uω) Nếu f: (X, τ) → (Y, σ) là hàm mở, thì f(U) thuộc σ Nếu f: (X, τω) → (Y, σω) liên tục, thì f(Uω) = f(U)ω Do đó, f(A) thuộc ω s(Y, σ) Điều kiện “hàm mở” trong Định lý 3.2.11 là không thể bỏ qua.

Giả sử hàm số \( f: \mathbb{R}, \tau_{disc} \to \mathbb{R}, \tau_{u} \) với \( f(x) = 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \) Khi đó, \( f: (\mathbb{R}, \tau_{disc}) \to (\mathbb{R}, \tau_{u}) \) là liên tục Mặt khác, \( t_0 \in \mathbb{R} \) với \( \tau_{disc} \) nhưng \( f(t_0) \notin \mathbb{R} \) với \( \tau_{u} \).

Tính liên tục trên các tập ω s -mở trong các không gian tôpô tổng quát

Hàm \( f : (X, \tau) \to (Y, \sigma) \) được gọi là hàm \( \omega_s \)-liên tục nếu với mỗi tập mở \( V \in \sigma \), ta có \( f^{-1}(V) \in \omega_s(X, \sigma) \) Định lý 3.3.1 khẳng định rằng mọi hàm liên tục đều là \( \omega_s \)-liên tục, và mọi hàm \( \omega_s \)-liên tục đều là nửa liên tục.

Chứng minh Suy ra từ Định lí 3.2.1.

Ví dụ sau đây cho thấy rằng điều ngược lại của mỗi khẳng định trong Định lí 3.3.1 nói chung là không đúng.

Vớ dụ 3.3.1 Cho f, g : pR , τ q ẹ pt a, b u , τ disc q , trong đú τ tH , R , N , Q c ,

Hàm \( f \) là \( \omega s \)-liên tục nhưng không liên tục, với \( f \) tại \( a \) và \( b \) trong không gian \( (X, \tau) \) và \( (Y, \sigma) \) Hơn nữa, hàm \( g \) tại \( a \) và \( b \) cho thấy \( f \) là nửa liên tục nhưng không \( \omega s \)-liên tục Định lý 3.3.2 chỉ ra rằng: a) Nếu \( (X, \tau) \) là không gian đếm được địa phương, thì \( f \) liên tục nếu và chỉ nếu \( f \) là \( \omega s \)-liên tục b) Nếu \( (X, \tau) \) là không gian không đếm được địa phương, thì \( f \) là \( \omega s \)-liên tục nếu và chỉ nếu \( f \) là nửa liên tục.

Chứng minh. a) Theo Định lí 3.2.2 b) và Định lí 3.3.1 a). b) Theo Định lí 3.2.2 a) và Định lí 3.3.1 b).

Hàm \( f : (X, \tau) \to (Y, \sigma) \) được gọi là liên tục theo nghĩa \( \omega_s \) nếu và chỉ nếu với mọi \( x \in X \) và mọi tập mở \( V \) chứa \( f(x) \), tồn tại \( U \in \omega_s(X, \tau) \) sao cho \( x \in U \) và \( f(U) \subset V \) Các điều kiện sau đây là tương đương với việc hàm \( f \) là liên tục theo nghĩa \( \omega_s \): a) Hàm \( f \) là \( \omega_s \)-liên tục; b) Nghịch ảnh của mọi phần tử của cơ sở \( B \) của \( \sigma \) đều thuộc \( \omega_s(X, \tau) \); c) Nghịch ảnh của mọi tập con đóng của \( (Y, \sigma) \) là \( \omega_s \)-đóng trong \( (X, \tau) \); d) Với mọi \( A \subset X \), ta có \( f(A^{\omega_s}) = f(A) \); e) Với mọi \( B \subset Y \), ta có \( f^{-1}(B)^{\omega_s} = f^{-1}(B) \); f) Với mọi \( B \subset Y \), ta có \( f^{-1}(\text{int}(B)) = \text{int}(\omega_s(f^{-1}(B))) \).

Chứng minh. p a q ủ p b q Hiển nhiờn. p b q ủ p c q Giả sử B là cơ sở củaσ sao cho f 1 p B q P ω s p X, τ q , với mọi B P B Lấy

C là tập con đóng khác rỗng của p Y, σ q Khi đó Y z C P τ ztHu Chọn B B sao cho Y z C t B : B P B u Khi đó

Vì theo giả thiết f 1 p B q P ω s p X, τ q với mọi B P B nên theo Định lí 3.2.4, ta có

X z f 1 p C q là ω s-đóng trong p X, τ q Khi lấy A X, f p A q đúng trong p Y, σ q và f 1 p f p A qq là ω s-đóng trong p X, τ q Do đó, A ω s f 1 p f p A qq và f p A ω s q f p f 1 p f p A qqq f p A q Khi lấy B Y, f 1 p B q X và f p f 1 p B q ω s q f p f 1 p B qq.

B Vì vậy f 1 p B q ω s f 1 p B q p e q ủ p f q Lấy B Y Khi đú theo (e), f 1 p Y z B q ω s f 1 p Y z B q Hơn nữa theo luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Nhận xét 3.2.1(h), X z X z f 1 p B q ω s int ω s p f 1 p B qq Do đó f 1 p int p B qq f 1 p Y z Y z B q

Bổ đề 3.3.1 Cho p X, τ qlà không gian tôpô và A X.Khi đó A ω s A Y int ω p A q Chứng minh VìA ω s là ω s -đóng nên theo Định lí 3.2.10 int ω pp A ω s qq int ω p A ω s q A ω s

Vì vậy int ω p A q int ω pp A ω s qq A ω s , và vì thế A Y int ω p A q A ω s Do A ω s

A Y int ω p A q nênA Y int ω p A q làω s -đóng Vìint ω p A q A, nên int ω p A q A Vì vậy int ω

Theo Định lý 3.2.10, tập hợp \( A \cap \omega_p A \) là \( \omega \)-s-đóng Định lý 3.3.4 chỉ ra rằng với hàm \( f: (X, \tau) \to (Y, \sigma) \), các mệnh đề sau đây là tương đương: (a) \( f \) là \( \omega \)-s-liên tục; (b) Với mọi \( A \subseteq X \), ta có \( f(\text{int} \, \omega_p A) = f(A) \); (c) Với mọi \( B \subseteq Y \), ta có \( \text{int} \, \omega_p f^{-1}(B) = f^{-1}(B) \).

Chứng minh rằng nếu hàm số \( f \) là liên tục, thì theo Định lý 3.3.3 (d), ta có \( f(p A \omega_s q) = f(p A q) \) Bổ đề 3.3.1 cho thấy \( f(p \text{int} \omega(p A) q) = f(p A \omega_s q) = f(p A q) \) Tương tự, khi áp dụng Định lý 3.3.3 (e) cho \( B Y \), ta có \( f_1(p B q) \omega_s f_1(p B q) \) và từ Bổ đề 3.3.1, suy ra \( \text{int} \omega(f_1(p B) q) = f_1(p B q) \omega_s f_1(p B q) \).

Hơn nữa, ta luôn có f 1 p B q f 1 p B q Do đó, theo Bổ đề 3.3.1 ta có f 1 p B q ω s f 1 p B q Y int ω p f 1 p B qq f 1 p B q Định lớ 3.3.5 Nếu f : p X, τ q ẹ p Y, σ q là ω s-liờn tục và g : p Y, σ q ẹ p Z, λ q là liờn tục thỡ g f : p X, τ q ẹ p Z, λ q là ω s -liờn tục.

Chứng minh Cho V P λ Vì g là liên tục nên g 1 p V q P σ Vìf là ω s-liên tục nên p g f q 1 p V q f 1 p g 1 p V qq P ω s p X, τ q

Hợp của hai hàm ω s-liên tục nói chung không phải là ω s-liên tục Ví dụ sau đây làm rõ điều này.

Vớ dụ 3.3.2 Cho f, g : pR , τ u q ẹ pR , τ u q , trong đú f p x q $&

Vì hàm f và g là nửa liên tục và p R, τ u q là không đếm được địa phương, theo Định lý 3.3.2 (b), f và g là ω s-liên tục Tuy nhiên, vì p 2, 8q thuộc τ u nhưng p g f q 1 p 2, 8q t 1 u R ω s pR, τ u q, nên g f không phải là ω s-liên tục Định lý 3.3.6 cho biết rằng cho họ các hàm t f α : p X, τ q và ẹ p Y α , σ α q với α thuộc ∆, nếu hàm f : p X, τ q thì α thuộc ∆.

Y α , σ prod xác định bởi f p x q p f α p x qq α P ∆ là ω s -liên tục thì với mọi α P ∆, f α là ω s -liên tục.

Chứng minh Giả sử f là ω s-liên tục và cho β P ∆.Khi đó f β Π β f trong đó Π β : ạ α P ∆

Y α , σ prod ẹ p Y β , σ β qlà phộp chiếu trờn Y β VỡΠ β là liờn tục nờn theo Định lí 3.3.5, f β là ω s -liên tục.

Ví dụ sau sẽ cho thấy rằng điều ngược lại của Định lí 3.3.6 nói chung không đúng.

Vớ dụ 3.3.3 Định nghĩa f, g : pR , τ u q ẹ pR , τ u qvà h : pR , τ u q ẹ pR R , τ prod q xác định bởi f p x q $&

Vìf vàg hiển nhiên là nửa liên tục và p R, τ u qlà không đếm được địa phương, theo Định lí 3.3.2(b), f vàg là ω s-liên tục Mặt khác, vì p 0, 8qp8 , 0 q P τ prod nhưng h 1 pp 0, 8q p8 , 0 qq t 0 u R ω s pR , τ u qnên hkhông là ω s-liên tục Theo Định lý 3.3.7, cho họ các hàm t f α : p X, τ q ẹ p Y α , σ α q : α P ∆ u, nếu với mỗi số α 0 P ∆, f α 0 là ω s-liên tục và f α là liên tục với mọi α P ∆ zt α 0 u, thì hàm f : p X, τ q ẹ ạ α P ∆.

Y α , τ prod xác định bởi f p x q p f α p x qq α P ∆ là ω s-liên tục.

Chứng minh Ta sẽ áp dụng mệnh đề (b) của Định lí 3.3.3 Cho A là một tập mở cơ sở của ạ α P ∆

Y α , τ prod , không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

1 p U α n q , trong đó U α i là tập mở cơ sở của Y α i với mọi i 0, 1, , n Khi đó f 1 p A q p Π α 0 f q 1 p U α 0 q X p Π α 1 f q 1 p U α 1 q X X p Π α n f q 1 p U α n q p f α 0 1 p U α 0 qq X p f α 1 1 p U α 1 qq X X p f α n 1 p U α n qq

Theo giả thiết, hàm số \( f \) liên tục tại điểm \( \alpha_0 \) và \( \alpha_i \) với mọi \( i = 1, \ldots, n \) Do đó, ta có \( p f(\alpha_1) = 1 \cdot p U(\alpha_1) \) và \( p f(\alpha_n) = 1 \cdot p U(\alpha_n) \) Theo Định lý 3.2.5, suy ra \( f(1, A) \) thuộc \( \omega_s \) với \( p(X, \tau) \) Vậy \( f \) là hàm liên tục theo nghĩa \( \omega_s \).

Hệ quả 3.3.1 Cho hàm f : p X, τ q ẹ p Y, σ q và g : p X, τ q ẹ p X Y, τ prod q là đồ thị hàm f cho bởi g p x q p x, f p x qq , với mọi x P X Khi đó g là ω s -liên tục nếu và chỉ nếu f là ω s-liên tục.

Điều kiện cần để chứng minh rằng g là ω s-liên tục là giả sử g đã thỏa mãn tính chất này, từ đó suy ra f cũng là ω s-liên tục theo Định lý 3.3.6 Ngược lại, điều kiện đủ là giả sử f là ω s-liên tục Cần lưu ý rằng hàm h p x q p I p x q, f p x qq trong đó I: p X, τ q ẹ p X, τ q là hàm đồng nhất Vì I là liên tục, theo Định lý 3.3.7, ta có thể kết luận rằng g cũng là ω s-liên tục.

Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu các đặc trưng của các tập ω-mở và ω s -mở trong không gian tôpô tổng quát Nó đã hệ thống hóa và chi tiết hóa một số kết quả liên quan đến vấn đề này.

1 Hệ thống một số kiến thức về giải tích hàm như: không gian véctơ tôpô, không gian tích, không gian thương,

Trong không gian tôpô tổng quát, các tập ω-mở là những khái niệm quan trọng giúp phân tích các đặc trưng như Lindelöf, compact và liên tục Việc hiểu rõ các tập ω-mở cho phép chúng ta áp dụng chúng vào việc nghiên cứu và xác định các tính chất của không gian tôpô, từ đó mở rộng kiến thức về cấu trúc và tính chất của các không gian này.

Nghiên cứu các khái niệm về tập ω s -mở trong không gian tôpô tổng quát giúp hiểu rõ hơn về lớp các tập và mối liên hệ giữa tính liên tục và nửa liên tục của các hàm mới.

[1] A AL-Omari, T Noiri, A unified theory of contra-à, λ-continuous functions in generalized topological spaces, Acta Math, Hungar., 135

[2] A AL-Omari, M S Md Noorani, Regular generalized ω-closed sets,

[3] A AL-Omari, M S Md Noorani, Contra-ω-continuous and almost contra-ω-continuous, Int J Math Sci.,2007 (2007), 13 pages.

[4] K Al-Zoubi, B Al-Nashef,Semiω-open subsets, Abhath Al-Yaemouk,

[5] K Al-Zoubi, Semi ω-continuous functions, Abhath Al-Yaemouk,

[6] K Al-Zoubi, On generalized ω-closed sets, Int J Math Sci., 13

[7] K Al-Zoubi, B Al-Nashef, The Topology of ω-open subsets, Al-

[8] S Al Ghour, Certain Covering Properties Related to Paracompact- ness, Ph.D thesis, University of Jordan, Amman, Jordan, (1999).

[9] S Al Ghour, Some generalizations of paracompactness, Missouri J.

[10] S Al Ghour, A AL-Omari, T Noiri, On homogeneity and homogene- ity components in generalized topological spaces, Filomat, 27 (2013), 1097-1105.

[11] A Csaszar, Generalized topology, generalized continuity, Acta Math.

Hungar., 96(2002), 351-357. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

[12] A Csaszar, γ-connected sets, Acta Math Hungar., 101(2003), 273-

[13] A Csaszar, Separation axioms for generalized topologies, Acta Math.

[14] A Csaszar,Extremally disconnected generalized topologies, Ann Univ.

Sci Budapest Eotvos Sect Math., 47 (2004), 91-96.

[15] A Csaszar, Generalized open sets generalized topologies, Acta Math.

[16] A Csaszar, Product of generalized topologies, Acta Math Hungar.,

[17] C Cao, J Yan, W Wang, Some generalized continuities functions on generalized topological spaces, Hacet J Math Stat., 42 (2013), 159-163.

[18] C Carpintero, N Rajesh, E Rosas, S Saranyasri, On slightly ω- continuous multifunctions, Punjab Univ J Math (Lahore), 46

[19] C Carpintero, E Rosas, M Salas, J Sanabria, L Vasquez, Gener- alization of ω-closed sets via operators and ideals, Sarajevo J Math., 9(2013), 293–301.

[20] SG Crossley, SK Hildebrand, Semi-closure, Texas Journal of Sci- ences, 22 (1971), 99-112.

[21] R Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Berlin (1989).

[22] H Z Hdeib, ω-closed mappings, Rev Colombiana Mat., 16 (1982),

[24] D Jayanthi, Contra continuity on generalized topological spaces, Acta

[25] Y K Kim, W K Min, On operations induced by hereditary classes on generalized topological spaces, Acta Math Hungar., 137 (2012), 130-138. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si