(Luận văn) hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác xuất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán vật lý

Tổng quan tình hình nghiên cứu

Trong 10 năm qua, nhiều nghiên cứu về dạy học XSTK đã được thực hiện trong nước Nổi bật là các luận án tiến sĩ tập trung vào ứng dụng của XSTK, nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn trong các lĩnh vực như sư phạm, kinh tế, kỹ thuật, y học và quân đội.

Phan Thị Tình (2011) trong luận án tiến sĩ đã đề xuất 6 biện pháp sư phạm nhằm tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK tại trường Đại học sư phạm Các biện pháp này bao gồm: xây dựng cầu nối giữa kiến thức môn học và toán phổ thông, tăng cường tình huống thực tiễn để củng cố kiến thức, tích hợp yếu tố lịch sử trong giảng dạy, sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn hợp lý, luyện tập cho sinh viên các hoạt động vận dụng toán học, và cho sinh viên tiếp cận các dạng đề kiểm tra theo tiêu chuẩn PISA Những ví dụ minh họa trong luận án là tài liệu tham khảo quý giá cho giảng viên và sinh viên trong việc dạy và học toán theo hướng thực tiễn.

Ngô Tất Hoạt (2012) trong luận án tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học XSTK ở trường Đại học sư phạm kỹ thuật” đã nghiên cứu đặc điểm của kiến thức XSTK và thực trạng dạy học tại một số trường Đại học sư phạm kỹ thuật Ông đề xuất các năng lực kiến tạo kiến thức nhằm nâng cao chất lượng dạy và học XSTK, bao gồm năng lực dự đoán, suy luận có lý, phát hiện vấn đề, năng lực kiểm nghiệm, giải quyết vấn đề, và năng lực biểu diễn, thu thập và xử lý số liệu thống kê.

Đào Hồng Nam (2014) đã nghiên cứu mối quan hệ giữa XSTK và y học, từ lý thuyết toán học đến ứng dụng thực tiễn Tác giả nhấn mạnh tầm quan trọng của kiểm định giả thuyết thống kê trong nghề nghiệp và nghiên cứu của bác sĩ Luận án này là tài liệu tham khảo quý giá cho các trường đào tạo ngành y, giúp các tác giả biên soạn giáo trình XSTK cho sinh viên y khoa và giảng viên, từ đó nâng cao chất lượng đào tạo cán bộ y tế.

Luận án của Nguyễn Thị Thu Hà (2014) đã đề xuất các biện pháp dạy học XSTK nhằm tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho sinh viên khối kinh tế, kỹ thuật Những biện pháp này bao gồm việc khai thác tình huống thực tiễn để tạo động cơ học tập, sử dụng ví dụ và bài toán XSTK liên quan đến ngành nghề, luyện tập kỹ thuật giải bài toán thực tiễn, khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên, và hướng dẫn sinh viên nghiên cứu khoa học từ những bài tập thực hành đơn giản đến các dự án lớn.

Phạm Thị Hồng Hạnh (2016) trong luận án tiến sĩ đã làm rõ vai trò của môn XSTK trong nghề kế toán và đề xuất 5 biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực nghề nghiệp cho sinh viên ngành kế toán tại các trường cao đẳng công nghiệp.

Trong luận án tiến sĩ “Dạy học XSTK ở các trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên,” Lê Bình Dương (2019) đã phân tích thực trạng dạy học XSTK tại một số trường đại học quân đội và nhấn mạnh nhu cầu phát triển kỹ năng siêu nhận thức cho học viên Luận án đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức, bao gồm rèn luyện khả năng dự đoán, lập kế hoạch thông qua hoạt động tìm hiểu vấn đề, và huy động kiến thức đã có để giải quyết nhiệm vụ Ngoài ra, việc đặt câu hỏi để định hướng và rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức, cùng với thiết kế các tình huống sai lầm trong dạy học, cũng được nhấn mạnh Cuối cùng, việc sử dụng hình thức dạy học theo dự án tạo cơ hội cho học viên thực hiện các hoạt động dự đoán, lập kế hoạch, giám sát và đánh giá khi áp dụng XSTK vào thực tiễn.

Các nghiên cứu trong nước đã đề cập đến việc giảng dạy Xác suất thống kê (XSTK) cho sinh viên các ngành sư phạm Toán, kỹ thuật, y tế, kinh tế và học viên quân đội Tuy nhiên, việc ứng dụng XSTK trong lĩnh vực Vật lý vẫn chưa được khai thác và nghiên cứu đầy đủ.

Trong nước, có nhiều tài liệu tham khảo quý giá về bộ môn Xác suất thống kê, đặc biệt là tác phẩm "Xác suất thống kê" của Tô Văn Ban, bên cạnh các luận án tiến sĩ đã được nêu.

(2010) [1], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Nguyễn Quang Báu (2009)

Các giáo trình Xác suất thống kê như của Dương Ngọc Hảo (2011), Nguyễn Đình Huy (2019), và Nguyễn Chí Long (2008) được sử dụng rộng rãi trong giảng dạy tại các trường đại học Việt Nam Nội dung của các giáo trình này được sắp xếp chặt chẽ, giúp sinh viên nắm vững các khái niệm, công thức và phương pháp xác suất để nghiên cứu hiện tượng ngẫu nhiên Bên cạnh đó, các giáo trình còn trang bị những phương pháp cơ bản của thống kê toán như phương pháp mẫu, ước lượng và kiểm định giả thuyết Đặc biệt, chúng chú trọng vào việc áp dụng thực tiễn trong nghiên cứu kinh tế và khoa học kỹ thuật, với nhiều ví dụ minh họa từ các lĩnh vực khác nhau Ngoài phần lý thuyết, các giáo trình còn cung cấp nhiều bài tập giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng vận dụng xác suất và thống kê trong thực tiễn Tuy nhiên, hiện nay chưa có giáo trình nào đề cập cụ thể đến ứng dụng của XSTK trong giải quyết các bài toán Vật lý.

2.2 Các công trình của tác giả nước ngoài

XSTK có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, thu hút sự quan tâm của các tác giả quốc tế Nhiều giáo trình XSTK từ nước ngoài đã được biên soạn cho sinh viên các ngành này Trong khuôn khổ khóa luận, chúng tôi nghiên cứu hai quyển giáo trình XSTK, đặc biệt là “Probability & Statistics for Engineering and the Sciences” của Jay L Devore, nhằm phục vụ cho ngành khoa học kỹ thuật ứng dụng.

The books "Probability & Statistics for Engineers & Scientists" by Ronald E Walpole, Raymond H Myers, Sharon L Myers, and Keying E Ye (2012) provide essential concepts in statistics, presenting practical definitions and theorems that minimize theoretical complexity They include numerous real-world examples and exercises at the end of each chapter, covering various fields such as science, engineering, and economics, with a significant focus on scientific and engineering applications.

In addition to general textbooks on probability and statistics for engineering sciences, there are specific resources in the field of physics, such as "Probability and Statistics in Particle Physics" by A G Frodesen and O Skjeggestad (1997), "Probability in Physics: An Introductory Guide" by Andy Lawrence (2019), "Probability and Statistics in Experimental Physics" by Byron P Roe (2012), and "Probability for Physicists" by Simon Širca (2016) These textbooks explore the applications of probability and statistics in various areas of physics, particularly in theoretical and experimental physics.

Các giáo trình XSTK quốc tế thường cung cấp nhiều kiến thức liên quan đến lĩnh vực Vật lý hơn so với các giáo trình trong nước Tuy nhiên, số lượng câu hỏi và bài tập về Vật lý vẫn còn hạn chế.

Định hướng nghiên cứu của đề tài

Từ những phân tích trên, khoá luận này tập trung vào 4 câu hỏi:

- XSTK có những ứng dụng nào trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý và nghiên cứu những vấn đề Vật lý?

Trong các giáo trình trong và ngoài nước, những nội dung trọng tâm của XSTK được đề cập bao gồm các phương pháp tiếp cận khác nhau nhằm nâng cao hiệu quả nghiên cứu và ứng dụng Các tài liệu này thường tập trung vào việc phân tích dữ liệu, xây dựng mô hình thống kê và áp dụng các kỹ thuật tiên tiến để giải quyết các vấn đề thực tiễn.

Trong hệ thống các câu hỏi và bài tập, các chủ đề chính được đề cập bao gồm những khía cạnh quan trọng của Vật lý Những câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý đã được nêu rõ, giúp người học hiểu sâu hơn về các nguyên lý và ứng dụng của môn học này.

- Có thể khai thác những chủ đề nào trong Vật lý được giải quyết thông qua XSTK?

Mục tiêu đề tài

Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập môn XSTK ứng dụng vào trong giải những bài toán Vật lý.

Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận

- Nghiên cứu các luận án tiến sĩ chuyên ngành XSTK

- Nghiên cứu các giáo trình XSTK của các trường đại học

- Nghiên cứu sách bài tập ứng dụng XSTK trong Vật lý.

Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương:

Chương 1 Những vấn đề nghiên cứu Xác suất thống kê dành cho sinh viên ngành Vật lý

Chương 2 Phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những chủ đề bài tập Xác suất thống kê trong các giáo trình

Chương 3 trình bày hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng bài tập về Xác suất thống kê, ứng dụng để giải quyết các bài toán trong lĩnh vực Vật lý Tài liệu này có thể được tải về dưới dạng luận văn tốt nghiệp mới nhất, phục vụ cho việc nghiên cứu và học tập.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ

Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên ngành Vật lý

Theo đề cương chi tiết học phần XSTK cho sinh viên khoa Vật lý tại Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh năm 2018, các mục tiêu được đề ra bao gồm việc trang bị kiến thức cơ bản về xác suất và thống kê, phát triển kỹ năng phân tích dữ liệu, và ứng dụng các phương pháp thống kê trong nghiên cứu khoa học.

Sau khi học xong học phần này, sinh viên

- nắm được các khái niệm cơ bản: xác suất, phân phối xác suất, số đặc trưng và một số mô hình toán thống kê…;

- nắm được tính chất, cách tính và quan hệ giữa các khái niệm nêu trên;

Hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn của các khái niệm toán học là rất quan trọng, đặc biệt khi áp dụng chúng để giải quyết các vấn đề thực tế Việc vận dụng các khái niệm này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn nâng cao khả năng giải quyết vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

1.1.2 Về năng lực chuyên môn:

- Biết cách áp dụng các khái niệm đã học để giải quyết một số vấn đề trong thực tế cuộc sống;

- Vận dụng được các công thức thống kê để giải quyết một số bài toán thực tế.

Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý

Trong chương trình đào tạo cử nhân của khoa Vật lý tại trường Đại học Sư Phạm TP HCM, có nhiều lĩnh vực nghiên cứu áp dụng kiến thức về Xác suất và Thống kê (XSTK).

Trong học phần Cơ lượng tử, việc chuẩn hóa hàm sóng và tính xác suất cho hạt tồn tại trong không gian hay đo trạng thái spin là rất quan trọng Kiến thức về hàm mật độ phân phối xác suất và các tham số đặc trưng như kỳ vọng toán, phương sai, và độ lệch chuẩn được áp dụng để tính giá trị trung bình và độ bất định của các đại lượng vật lý.

Học phần Vật lý thống kê áp dụng kiến thức từ xác suất thống kê (XSTK), bao gồm tổ hợp, công thức tính xác suất gián đoạn và liên tục, hàm mật độ xác suất, cùng với các công thức tính giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng Bên cạnh đó, học phần cũng sử dụng một số quy luật phân phối xác suất phổ biến trong XSTK như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối mũ và phân phối chuẩn.

Học phần Phương pháp thực nghiệm Vật lý trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản về thí nghiệm vật lý, kỹ năng xử lý số liệu, phương pháp đánh giá và xác định sai số Học phần Xử lí số liệu hạt nhân tập trung vào cấu trúc hệ đo bức xạ hiện đại, nguồn sai số trong đo hoạt độ bức xạ và phương pháp khớp hàm giữa phân bố thực nghiệm và lý thuyết Cả hai học phần đều liên quan đến các khái niệm cơ bản của xác suất thống kê như biến cố ngẫu nhiên, xác suất, tần suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất Ngoài ra, các hàm phân phối như phân phối nhị thức, Poisson, Chi bình phương và Student được áp dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm, cùng với các phương pháp ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết và phân tích mối quan hệ tương quan giữa các đại lượng ngẫu nhiên.

Học phần Kiểm tra và đánh giá kết quả học tập môn Vật lý áp dụng các kiến thức thống kê cơ bản, bao gồm mẫu thống kê, các tham số đặc trưng như trung bình mẫu, phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu, cùng với ước lượng và kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể.

Các nội dung cơ bản của XSTK được áp dụng trong học tập của sinh viên khoa Vật lý bao gồm: biến cố ngẫu nhiên và công thức tính xác suất, đại lượng ngẫu nhiên cùng các tham số đặc trưng như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn Ngoài ra, sinh viên cần nắm vững các quy luật phân phối xác suất thông dụng, mẫu thống kê và các tham số đặc trưng của mẫu, cũng như ước lượng và kiểm định giả thuyết cho các tham số tổng thể Cuối cùng, việc phân tích mối tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và áp dụng công thức hồi quy tuyến tính cũng là những kiến thức quan trọng.

Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề Vật lý

Dựa trên kiến thức XSTK quan trọng cho sinh viên ngành Vật lý, chúng tôi đề xuất cấu trúc mạch kiến thức cần thiết cho sinh viên khoa Vật lý.

Chương 1: Đại cương về xác suất

1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1.2 Phép thử và biến cố 1.3 Các định nghĩa về xác suất của biến cố 1.4 Các công thức tính xác suất

1.5 Công thức Bernoulli 1.6 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất 2.3 Vectơ ngẫu nhiên

2.4 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 2.4.1 Kỳ vọng toán

2.4.2 Phương sai 2.4.3 Độ lệch chuẩn 2.4.4 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

3.1 Các phân phối rời rạc 3.1.1 Phân phối nhị thức 3.1.2 Phân phối Poisson 3.2 Các phân phối liên tục 3.2.1 Phân phối chuẩn 3.2.2 Phân phối mũ 3.2.3 Phân phối Chi-bình phương 3.2.4 Phân phối Student

Chương 4: Các định lý giới hạn luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

4.1 Định lý giới hạn Poisson 4.2 Định lý giới hạn Moirve – Laplace 4.3 Định lý giới hạn trung tâm

4.4 Bất đẳng thức Chebyshev Luật số lớn

Chương 5: Cơ sở lý thuyết mẫu

5.1 Một số khái niệm về mẫu 5.2 Các đặc trưng mẫu 5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu

Chương 6: Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên

6.1 Ước lượng điểm 6.2 Ước lượng khoảng 6.2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể 6.2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể 6.2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể

Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê

7.1 Các khái niệm 7.2 Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể 7.3 Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể 7.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể 7.5 Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

Chương 8: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính

8.1 Phân tích tương quan tuyến tính 8.2 Phân tích hồi quy tuyến tính luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH

Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất”

2.1.1 Phân tích nội dung kiến thức

Chương 1 tập trung vào các khái niệm cơ bản của xác suất, bao gồm giải tích tổ hợp, phép thử và biến cố, cùng với mối quan hệ và các phép tính giữa các biến cố Bài viết cũng trình bày khái niệm xác suất, công thức tính xác suất, xác suất có điều kiện, công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.

Cả hai tài liệu GT1 và GT2 đều đầy đủ nội dung, nhưng có sự khác biệt trong cách sắp xếp kiến thức GT1 trình bày khái niệm cùng với quy tắc và định lý liên quan, trong khi GT2 trình bày tất cả khái niệm trước, sau đó mới đến quy tắc và định lý Vì vậy, mạch kiến thức của GT1 có tính liên kết hơn so với GT2.

Về cách tiếp cận lý thuyết xác suất, trong khi GT1 trình bày trực tiếp các khái niệm toán học thì GT2 có sự dẫn dắt mở đầu:

Sự khát khao vô tận của con người đối với bài bạc đã dẫn đến sự phát triển ban đầu của lý thuyết xác suất Các người chơi bài đã kêu gọi các nhà toán học như Pascal, Leibniz, Fermat và James Bernoulli cung cấp chiến lược cho các trò chơi may rủi Kết quả là lý thuyết xác suất đã mở rộng ra ngoài các trò chơi may rủi, ảnh hưởng đến nhiều lĩnh vực như chính trị, kinh doanh, dự báo thời tiết và nghiên cứu khoa học Để đảm bảo các dự đoán và khái quát hóa chính xác, việc hiểu biết về xác suất cơ bản là rất cần thiết.

Khi chúng ta nói rằng "John có thể chiến thắng trong trận quần vợt" hay "Tôi có cơ hội 50-50 nhận được số chẵn khi gieo một con súc sắc", chúng ta đang diễn đạt sự không chắc chắn về kết quả Những tuyên bố này phản ánh mức độ tin cậy dựa trên thông tin trong quá khứ hoặc hiểu biết về cấu trúc của phép thử Tương tự, khi nói "Tôi không có khả năng thắng trong việc chơi lô tô tối nay" hay "Hầu hết lớp tốt nghiệp của chúng tôi sẽ kết hôn trong vòng 3 năm tới", chúng ta cũng thể hiện sự dự đoán dựa trên kinh nghiệm và dữ liệu có sẵn.

Việc dẫn dắt này nhấn mạnh tầm quan trọng của kiến thức trong thực tiễn và sự kết nối với cuộc sống.

Các GT1 đã trình bày ba định nghĩa xác suất: cổ điển, thống kê và hình học, với sự chi tiết hơn từ GT2 Tác giả Nguyễn Quang Báu đã chỉ ra những ưu và nhược điểm của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển, đồng thời nêu rõ ứng dụng của định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê và hình học.

Cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển rất đơn giản và trực quan, nhưng chỉ áp dụng cho các phép thử có số lượng kết cục hữu hạn và khả năng xuất hiện của các kết cục này là như nhau Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê mở rộng ứng dụng của xác suất trong nhiều tình huống thực tế hơn.

Trong thực tế, khi áp dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê, chúng ta không thể thực hiện một phép thử vô hạn và không thể tính chính xác xác suất biến cố A Thay vào đó, người ta thường sử dụng tần suất xuất hiện của biến cố A trong một loạt các phép thử lớn để ước lượng xác suất gần đúng Phương pháp này được áp dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như dự đoán thời tiết, phân tích tỷ lệ phế phẩm, truyền tin qua các tầng điện ly, thiết kế kích thước quần áo may sẵn, và nghiên cứu hiệu quả của thuốc Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê đã khắc phục hạn chế của định nghĩa cổ điển, vốn yêu cầu các kết cục của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện Để giải quyết vấn đề này, định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học đã được đưa ra, cho phép xác định xác suất mà không cần số kết cục cụ thể và hữu hạn.

Xét một phép thử với vô hạn các kết cục đồng khả năng, ta có thể biểu diễn tập hợp các kết cục này bằng một miền hình học G Những kết cục thuận lợi cho biến cố A xuất hiện được xác định bởi một miền hình học con g thuộc G.

Theo giả thuyết đã nêu, xác suất của biến cố A được xác định bằng tỉ số giữa "kích thước" miền g và "kích thước" miền G.

Ngoài ra, các GT1 đề cập đến nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật

Trong một hệ thống thiết bị bao gồm nhiều linh kiện, độ tin cậy của mỗi linh kiện được định nghĩa là xác suất hoạt động tốt trong một khoảng thời gian T (như 1 giờ hoặc 24 giờ) Tương tự, độ tin cậy của toàn bộ hệ thống là xác suất để hệ thống hoạt động mà không gặp sự cố trong khoảng thời gian đã định.

Một vấn đề kỹ thuật đặt ra là: cho biết độ tin cậy của từng linh kiện, hãy tính độ tin cậy của hệ thống

Bài toán xác suất trong hệ thống yêu cầu xác định thời gian hoạt động hiệu quả của nó Để giải quyết vấn đề này, cần hiểu mối quan hệ giữa các linh kiện (ghép nối tiếp, ghép song song hoặc ghép hỗn hợp) và số lượng linh kiện trong hệ thống Giáo trình [2] đã cung cấp một ví dụ minh họa cho dạng toán này.

Một hệ thống gồm 40 linh kiện loại A với độ tin cậy của mỗi chiếc p A = 0,99;

Trong bài viết này, chúng ta có 25 linh kiện loại B với độ tin cậy mỗi chiếc là \$p_B = 0,9\$ và 5 linh kiện loại C với độ tin cậy mỗi chiếc là \$p_C = 0,75\$ Giá thành của mỗi linh kiện loại A, B và C lần lượt là 1, 1, 5 (đơn vị tiền).

Lập một hệ thống dự phòng toàn diện, đánh giá độ tin cậy và chi phí, sau đó so sánh với hệ thống dự phòng từng cụm, không sử dụng loại A, mà thay vào đó lắp thêm một bộ loại B và hai bộ loại C.

[2, tr.24] Để minh họa cụ thể cho tính chất độc lập của các biến cố, GT2, cụ thể giáo trình

Trong lĩnh vực cơ học lượng tử, một ví dụ minh họa cụ thể đã được đưa ra, liên quan đến việc tải xuống luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất.

Vòng quay trong một hệ lượng tử có thể có hai hình chiếu: 1

− 2 (spin “hướng xuống”,  ) Hướng của vòng được đo hai lần liên tiếp Chúng ta thực hiện phép gán các biến cố như sau: biến cố A là “spin

Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

Trong chương này, GT1 và GT2 đều trình bày các khái niệm cơ bản về đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên, bao gồm định nghĩa, phân loại, phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất, và các tham số đặc trưng GT1 tiếp cận kiến thức theo hình thức diễn dịch, bắt đầu với lý thuyết và sau đó là ví dụ minh họa, trong khi GT2 áp dụng phương pháp quy nạp, dẫn dắt người học từ một vấn đề cụ thể đến nội dung lý thuyết.

Giá trị trung bình mẫu là giá trị trung bình số học của dữ liệu Khi tung 2 đồng xu 16 lần, ký hiệu X là số lần mặt ngửa xuất hiện, với các giá trị của X có thể là 0, 1 và 2 Nếu kết quả của phép thử không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa lần lượt là 4, 7 và 5, thì giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném hai đồng xu được tính toán dựa trên các kết quả này.

Giá trị trung bình của dữ liệu không nhất thiết phản ánh kết quả có thể xảy ra trong tập hợp, ví dụ như tập hợp \{0, 1, 2\} Điều này có thể thấy rõ qua thu nhập trung bình hàng tháng của một nhân viên bán hàng, vì nó có thể không tương ứng với bất kỳ mức lương hàng tháng cụ thể nào của họ.

Bây giờ chúng ta sẽ viết lại biểu thức giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném của hai đồng xu như sau:

Trong bài viết này, chúng ta xem xét 16 phân số tương ứng với tổng số lần ném mà không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa Những phân số này đại diện cho tần số tương đối của các giá trị khác nhau của X trong phép thử Thực tế, chúng ta có thể tính giá trị trung bình của một tập hợp dữ liệu chỉ dựa vào các giá trị riêng biệt và tần số tương đối của chúng, mà không cần biết tổng số quan sát trong bộ dữ liệu.

16 lần tung kết quả không có mặt ngửa, 7

16 lần tung được 1 mặt ngửa và 5

16 lần tung được 2 mặt ngửa, số lượng trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném sẽ là 1, 06 cho dù tổng số lần ném là 16,1000 hay thậm chí 10000.

Phương pháp tần số được sử dụng để tính giá trị trung bình số mặt ngửa xuất hiện khi tung hai đồng xu Giá trị trung bình này được coi là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là $\mu_X$ hoặc đơn giản là $\mu$ Các nhà thống kê gọi đây là kỳ vọng toán học, ký hiệu là $E(X)$.

Cách tiếp cận quy nạp như GT2 cho thấy con đường dẫn đến khái niệm, còn cách tiếp cận diễn dịch như GT1 cho thấy ứng dụng của nó

Bên cạnh đó, GT2 có đề cập đến một ứng dụng của hàm mật độ xác suất trong lĩnh vực cơ học lượng tử:

Là nhà Vật lý, chúng tôi liên tục tính toán giá trị kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên trong các lĩnh vực cơ học thống kê và cơ học lượng tử Giá trị kỳ vọng của toán tử  trong trạng thái nhất định của hệ cơ học lượng tử, chẳng hạn như trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro, được mô tả bởi hàm sóng .

Toán tử  ảnh hưởng đến phần bên phải của tích phân, , và kết quả được nhân từ bên trái bởi liên hợp phức  * trên toàn bộ miền không gian Nếu  ( ) r = z, chúng ta có thể tính giá trị kỳ vọng theo cách sau:

=  đây là tích phân của hai hàm vô hướng, hàm thứ hai,  ( ) r , là hàm mật độ xác suất

Ví dụ: Một electron chuyển động trong điện trường của hạt nhân chì được mô tả bởi hàm:

Hạt nhân có bán kính khoảng \$7 \times 10^{-15}\$ m và được xem như một quả cầu tích điện dương với bán kính \$r_B \approx 6,46 \times 10^{-13}\$ m Chúng ta cần xác định xác suất mà electron tồn tại trong hạt nhân, tức là thời gian mà electron dành cho hạt nhân trong quả cầu bán kính \$R\$ Mục tiêu của nghiên cứu này là tìm giá trị kỳ vọng của toán tử \$\theta(r) = 1\$.

Do tính chất đối xứng góc, phần tử thể tích chỉ đơn giản là dV = 4 r dr 2 , do đó:

Kết quả gần như giống hệt nhau được thu được khi giả định rằng thực tế  không đổi trên khoảng 0, R, điều này là hợp lý vì R r B Trong trường hợp này, chúng ta có P = (1 - \frac{r_B}{R}) \cdot \frac{4\pi R^3}{3} \approx 1,69 \times 10^{-6}.

2.2.2 Phân tích phần bài tập

Cả GT1 và GT2 đều đề cập đầy đủ các câu hỏi trọng tâm của chương này, bao gồm lập bảng phân phối xác suất, hàm mật xác suất, hàm phân phối xác suất, và mối quan hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất Ngoài ra, các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, hiệp phương sai và hệ số tương quan cũng được tính toán Tuy nhiên, phần lớn các câu hỏi tập trung vào các lĩnh vực kinh tế và đời sống, trong khi có rất ít bài tập liên quan đến lĩnh vực Vật lý Chúng tôi tìm thấy hai bài toán sau.

Bài 1 Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi:

Để chứng minh rằng đây là hàm mật độ xác suất, ta cần xác định các điều kiện cần thiết Tiếp theo, ta sẽ tìm hàm phân phối $ F(x) $ Cuối cùng, chúng ta sẽ tính xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu có kích thước vượt quá 4 micromet.

Bài 2 Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất nhiều thời gian để mô hình hóa các lỗi này Giả sử sai số đo của một đại lượng vật lý X nhất định được quyết định bởi hàm mật độ luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Để xác định giá trị k cho hàm mật độ xác suất f(x), cần đảm bảo rằng tổng xác suất bằng 1 Tiếp theo, tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn 0,5 Cuối cùng, đối với một phép đo cụ thể không mong muốn, nếu độ lớn của sai số x vượt quá 0,8, cần tính xác suất xảy ra tình huống này.

Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

Các quy luật phân phối xác suất được chia thành hai nhóm: quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc và quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên rời rạc bao gồm phân phối nhị thức và phân phối Poisson, trong khi biến ngẫu nhiên liên tục bao gồm phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi-bình phương và phân phối Student Cả GT1 và GT2 đều có sự tương đồng về nội dung kiến thức các quy luật phân phối, đồng thời cung cấp lý thuyết kèm theo ví dụ minh họa và ứng dụng cụ thể Tuy nhiên, GT1 chưa đề cập đến các lĩnh vực của Vật lý, điều mà GT2 đã thực hiện.

Giáo trình [28] cung cấp các ví dụ minh họa về các lĩnh vực Vật lý liên quan đến quy luật phân phối xác suất Một ví dụ điển hình là bài toán liên quan đến quy luật phân phối Poisson.

Trung bình mỗi ngày, bề mặt Trái đất với bán kính 6400 km bị 25 thiên thạch va chạm Trong 10 năm, xác suất ít nhất một trong số 7 tỷ cư dân trên Trái đất bị thiên thạch đâm vào có thể được tính toán Diện tích bề mặt trung bình của một người là 0,2 m².

Các quy luật phân phối xác suất trong lĩnh vực Vật lý vẫn chưa được khai thác nhiều trong tài liệu hiện có Chúng tôi chỉ tìm thấy ba câu hỏi liên quan đến Vật lý, cho thấy sự thiếu hụt trong nghiên cứu và tài liệu.

Một máy đếm được đặt gần một nguồn phóng xạ với xác suất ghi nhận một hạt phát ra là 10^{-4} Trong thời gian quan sát, có tổng cộng 40,000 hạt được phát ra từ nguồn phóng xạ.

(a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt

(b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả

(c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Sự nhiễu tín hiệu trong các mạch điện thường có bản chất phân phối chuẩn, với biến ngẫu nhiên X có giá trị trung bình X = 0V và phương sai $\sigma_X^2 = 10^{-8} V^2$.

(1) Tính xác suất tín hiệu nhiễu vượt quá giá trị 10 − 4 V và xác suất giá trị của nó nằm trong khoảng giữa − 2.10 − 4 V và 10 − 4 V

(2) Xác suất mà giá trị nhiễu vượt quá 10 − 4 V là bao nhiêu, biết rằng nó dương?

(3) Tính giá trị kỳ vọng của X

Trong một hệ thống dò hạt với hiệu suất không lý tưởng, xác suất phát hiện hạt là p (với p < 1) Giả sử X là số hạt đi qua máy dò trong khoảng thời gian t, và X tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình là λ Để tính xác suất phát hiện r hạt trong khoảng thời gian t, ta cần áp dụng các công thức liên quan đến phân phối Poisson và hiệu suất phát hiện.

2.4 Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn”

Các định lý giới hạn bao gồm định lý giới hạn Poisson, định lý giới hạn Moivre – Laplace, định lý giới hạn trung tâm và định lý Chebyshev Đặc biệt, định lý Chebyshev chỉ ra rằng mặc dù các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có thể có giá trị khác xa so với kỳ vọng, nhưng trung bình số học của một số lượng lớn các đại lượng này sẽ gần bằng trung bình số học của các kỳ vọng với xác suất cao Định lý Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, trong đó có việc đo lường trong vật lý.

Định lý Chebyshev là nền tảng cho phương pháp thống kê và trong các phép đo vật lý, người ta thường thực hiện nhiều lần đo lường và lấy giá trị trung bình của các kết quả để xác định giá trị thực của đại lượng cần đo.

Trong các bài toán thực nghiệm, việc xác định khả năng xuất hiện của một biến cố qua nhiều phép thử thường sử dụng phân phối nhị thức để tính xác suất Tuy nhiên, phân phối nhị thức chỉ phù hợp khi số lượng phép thử nhỏ Khi số lượng phép thử lớn và xác suất nhỏ, ta áp dụng phân phối Poisson theo định lý giới hạn Poisson Định lý giới hạn trung tâm cho phép tính xấp xỉ các xác suất thông qua quy luật phân phối chuẩn.

Giả sử X X 1 , 2 , , X n , là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất E X ( ) i = , Var X ( ) i = 2 ,  i Khi đó:

Tức là: với n khá lớn thì tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối xác suất sẽ có phân phối chuẩn với E X ( ) = n  và Var X ( ) = n  2

Trong thực hành, giá trị n thường được chọn là n ≥ 30 Các định lý giới hạn trung tâm đóng vai trò quan trọng trong việc áp dụng thống kê toán học vào thực tế.

Các sai số trong phép đo vật lý thường xuất phát từ sự kết hợp của nhiều đại lượng ngẫu nhiên Mặc dù mỗi đại lượng ngẫu nhiên có ảnh hưởng không đáng kể, nhưng tổng hợp lại, sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn.

Cả GT1 và GT2 đều cung cấp nội dung chi tiết về các định lý giới hạn trong xác suất Tuy nhiên, GT1 tách biệt các định lý này thành một chương riêng, trong khi GT2 lại tích hợp chúng vào các quy luật phân phối.

Các định lý giới hạn trong xác suất có ứng dụng rộng rãi trong kinh tế và khoa học kỹ thuật Nội dung câu hỏi và bài tập về chủ đề này tương đồng với các quy luật phân phối xác suất Đối với các câu hỏi liên quan đến quy luật phân phối, chúng ta áp dụng các định lý giới hạn như định lý Poisson hoặc định lý trung tâm để chuyển đổi về phân phối Poisson hoặc phân phối chuẩn Đối với các bài toán yêu cầu ước lượng hoặc đánh giá xác suất theo điều kiện nhất định, bất đẳng thức Chebyshev sẽ được sử dụng để giải quyết.

Mặc dù định lý Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm rất quan trọng trong các phép đo vật lý, nhưng các giáo trình hiện tại vẫn chưa khai thác đầy đủ ứng dụng của những định lý này trong lĩnh vực đo lường.

2.5 Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu”

Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên, bao gồm hai phương pháp chính: ước lượng điểm và ước lượng khoảng tin cậy Phương pháp ước lượng điểm tập trung vào việc tìm ra hàm ước lượng tốt nhất thông qua các tiêu chuẩn không chệch, hiệu quả và vững Nội dung chính của chương là phương pháp ước lượng khoảng với độ tin cậy cho các tham số cơ bản như trung bình tổng thể ($\mu$), tỷ lệ tổng thể ($p$) và phương sai tổng thể ($s^2$) Phương pháp này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như kinh tế, y học, sinh học và vật lý học Mặc dù cả hai GT1 và GT2 chủ yếu đề cập đến kinh tế và y học, chỉ GT2 có ví dụ liên quan đến lĩnh vực vật lý.

Phép đo khối lượng của một hạt nhỏ trong 11 lần đo mang lại giá trị trung bình là m = 4,180 GeV c 2 và ước lượng không chệch cho độ lệch chuẩn

0, 060 2 s m = GeV c Xác định khoảng tin cậy cho khối lượng thực của hạt với độ tin cậy 1 − = 0,90 [28, tr.190]

Hệ thống câu hỏi và bài tập về ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên trong GT1 và GT2 rất phong phú, bao gồm nhiều lĩnh vực khoa học Tuy nhiên, các tài liệu giáo khoa vẫn chưa đề cập đến các câu hỏi và bài tập ước lượng trong lĩnh vực nghiên cứu Vật lý.

Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”

Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều xây dựng nội dung một số phép kiểm định thống kê như sau:

- Kiểm định giả thuyết trung bình của tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể

- Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai phương sai

- Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

- Kiểm định giả thuyết về tính độc lập

Trong bài luận này, chúng tôi tập trung vào việc kiểm định các tham số cơ bản của phân phối chuẩn, bao gồm trung bình ($\mu$), phương sai ($\sigma^2$), và tỷ lệ tổng thể ($p$) Nghiên cứu được thực hiện dựa trên các mẫu đã được cung cấp thông tin, cùng với việc kiểm định phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

Thông qua việc phân tích các giáo trình về phép kiểm định tham số thống kê và phân phối xác suất, chúng tôi nhận thấy GT1 và GT2 có sự tương đồng trong nghiên cứu các phép kiểm định giả thuyết thống kê, từ việc xét bài toán kiểm định đến quy tắc kiểm định của từng tham số Mỗi giáo trình đều cung cấp ví dụ cụ thể để minh họa, giúp người học hiểu cách áp dụng các phép kiểm định vào bài toán thực tế Tuy nhiên, cả hai nhóm tài liệu chưa đề cập đến các bài toán kiểm định trong lĩnh vực Vật lý, ngoại trừ tài liệu [28] đã đưa ra ví dụ về kiểm định trung bình và phương sai tổng thể liên quan đến lĩnh vực này.

Bằng cách sử dụng 12 nhiệt kế hoàn toàn giống nhau để đo nhiệt độ, chúng tôi thu được số liệu như sau:

Với mức ý nghĩa  = 0, 05 , chúng tôi có thể khẳng định rằng nhiệt độ thực trong quá trình đo cao hơn  0 = 32,8 0 C không?

Để thiết kế máy dò, cần nhiều dây điện cực với chiều dài cụ thể Dung sai độ dài cho phép lớn nhất là 100 (μm)² Việc đo chiều dài đòi hỏi độ chính xác cao, do đó chỉ có thể chọn mẫu nhỏ 10 n = điện cực, với phương sai s x² = 142 (μm)² Với mức ý nghĩa thống kê 5%, cần kiểm tra xem chiều dài dây điện cực trong tổng thể có dao động quá mức hay không.

Các bài tập kiểm định giả thuyết thống kê trong GT1 và GT2 thường tập trung vào các lĩnh vực như kinh tế, giáo dục, y học, sinh học và khoa học kỹ thuật Tuy nhiên, các bài toán kiểm định liên quan đến lĩnh vực Vật lý học vẫn chưa được đề cập trong các giáo trình hiện có.

Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

Trong nhiều bài toán thực tế, hai đại lượng ngẫu nhiên thường có mối quan hệ với nhau, trong đó một đại lượng dễ khảo sát và đại lượng còn lại khó khảo sát hơn Để dự đoán đại lượng khó khảo sát, cần tìm hiểu mối liên hệ giữa chúng Chương này nghiên cứu mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên thông qua hai phương pháp: phân tích tương quan và hồi quy tuyến tính, bao gồm hệ số tương quan Pearson GT1 và GT2 đều triển khai nội dung này nhưng khác nhau về cách xây dựng kiến thức; GT1 nhắc lại khái niệm hệ số tương quan từ chương trước, trong khi GT2 xây dựng khái niệm hệ số tương quan mẫu trước rồi liên hệ với hệ số tương quan đã học.

Cả GT1 và GT2 đều cung cấp nhiều bài toán về tương quan và phương trình hồi quy tuyến tính trong khoa học kỹ thuật và kinh tế Trong lĩnh vực Vật lý, phương pháp hồi quy tuyến tính được ứng dụng để nghiên cứu sự thay đổi của một đại lượng theo đại lượng khác Tuy nhiên, các chủ đề bài tập trong GT1 và GT2 chưa đề cập đến các bài toán hồi quy trong lĩnh vực Vật lý.

HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

Chương 1: “Đại cương về xác suất”

- Nhắc lại kiến thức về giải tích tổ hợp: quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp;

- Các khái niệm cơ bản như: phép thử, kết cục, biến cố và xác suất;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê;

- Mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ, đối lập;

- Các công thức tính xác suất: công thức nhân xác suất, công thức cộng xác suất, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bernoulli và công thức Bayes

3.1.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại cương về xác suất” Để so sánh hoặc đánh giá một hoặc nhiều biến cố về khả năng xuất hiện trong một phép thử tương ứng, người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số lớn hơn, các biến cố có cùng khả năng xuất hiện thì gán cho cùng một con số Con số được gán cho các biến cố được gọi là xác suất của biến cố Ta xét bài toán tính xác suất của biến cố sau:

Một mạch điện gồm hai bộ phận mắc nối tiếp, với khả năng hoạt động của bộ phận thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,95 và 0,98 Khi mạch điện ngừng hoạt động, cần tính xác suất do bộ phận thứ hai hỏng Để giải quyết bài toán này, kiến thức về xác suất trong chương trình phổ thông không đủ, nhưng nội dung kiến thức trong chương này sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách tường minh.

3.1.3 Xây dựng bài tập chương “Đại cương về xác suất”

Trong vật lý thống kê, ba phân bố chính là Maxwell – Boltzmann, Fermi – Dirac và Bose – Einstein Để xác định xác suất của các hạt trong các phân bố này, chúng ta áp dụng công thức giải tích tổ hợp cùng với công thức tính xác suất cổ điển.

Bài 1.1 Xét mô hình một khối khí gồm n hạt (phân tử), thể tích của hệ được chia thành q hộp ( q  n ) Chúng ta đặt ngẫu nhiên n hạt vào q hộp Tìm xác suất p để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước (mỗi hạt chỉ ở trong một hộp) Xét các trường hợp sau: a) M – B (Maxwell – Boltzmann) – các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được; b) F – D (Fermi – Dirac) – không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều nhất một hạt; c) B – E (Bose – Einstein) – không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được;

Hướng dẫn giải a) Phân bố Maxwell – Boltzmann (các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng đều có thể được)

Hình 3.1 Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann

Tổng số cách đặt n hạt vào q hộp là: q n

Số hoán vị n hạt trong n hộp đã chọn là: n! n hạt q hộp luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp đã chọn trước là \$\frac{n^n}{n!}\$ Phân bố Fermi – Dirac áp dụng cho các hạt không thể phân biệt, trong đó mỗi hộp chỉ chứa tối đa một hạt.

Số cách chọn n hộp trong q hộp để chứa n hạt là:

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là:

= = − c) Phân bố Bose – Einstein (không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả năng đều có thể được)

Hình 3.2 Mô tả phân bố Bose – Einstein

Mỗi hộp có thể chứa nhiều hơn 1 hạt

Số cách chọn ra n hạt từ ( n + − q 1 ) phần tử: ( )

− Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở n hộp chọn trước là:

+ − Xét một bài toán tính xác suất điển hình trong phân bố Bose – Einstein như sau:

Bài 1.2 Xét một hệ thống gồm hai chất rắn Einstein, A và B trao đổi năng lượng với nhau Mỗi chất rắn chứa 1 nguyên tử Giả sử hệ thống trao đổi tổng cộng 6 đơn vị năng lượng, các chất rắn được đưa đến gần và tương tác, tổng năng lượng được giữ cố định Biết rằng mô hình chất rắn Einstein tuân theo phân bố Bose – Einstein, nghĩa là số trạng thái vi mô của mỗi chất rắn được tính theo công thức

Hệ thống này có bao nhiêu trạng thái vi mô khác nhau với q hộp và n hạt, trong đó có (q - 1) vách ngăn? Khi hệ thống đạt trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy toàn bộ năng lượng trong chất rắn A là bao nhiêu? Ngoài ra, cần tính xác suất để tìm thấy chính xác một nửa năng lượng trong chất rắn A.

Hướng dẫn giải a) Số trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống:

Mỗi nguyên tử có 3 dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều nên q A = q B = 3. n A A 1

Tổng số trạng thái vi mô của hệ thống là 462 trạng thái Nếu hệ thống đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy toàn bộ năng lượng trong chất rắn A sẽ được xem xét.

  c) Xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn A :

Trong vật lý và kỹ thuật, nhiều bài toán áp dụng các công thức tính xác suất, bao gồm công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.

Bài 1.3 Bản tin điện báo gồm tín hiệu chấm (.) và tín hiệu vạch (-) Qua thống kê cho thấy 2

5 tín hiệu chấm khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu vạch và 1

Khi tín hiệu vạch được truyền đi, nó có thể bị bóp méo thành tín hiệu chấm với tỷ số giữa tín hiệu chấm và vạch là 5:3 Để xác định xác suất nhận đúng tín hiệu truyền đi, cần phân tích hai trường hợp: a) khi nhận được tín hiệu chấm (.) và b) khi nhận được tín hiệu vạch (-).

Gọi T 1 là biến cố truyền đi tín hiệu chấm (.);

T 2 là biến cố truyền đi tín hiệu vạch (-);

 = = a) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (.) Gọi A là biến cố nhận được tín hiệu chấm (.)

= P A = = b) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (-) Gọi B là biến cố nhận được tín hiệu vạch (-)

Bài 1.4 Một nhóm các nhà khoa học đang nghiên cứu về nguy cơ xảy ra sự cố tại một nhà máy điện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ Các nhà khoa học nhận thấy các sự cố chỉ có thể là do: hỏa hoạn, sự gãy đỗ của vật liệu hoặc sai lầm của con người Biết rằng hai hay nhiều hơn hai sự cố không bao giờ cùng xảy ra

Trong trường hợp xảy ra hỏa hoạn, xác suất rò rỉ phóng xạ là khoảng 20% Nếu có sự gãy đổ của vật liệu, xác suất này tăng lên 50%, trong khi sai lầm của con người chỉ dẫn đến rò rỉ phóng xạ với xác suất 10% Nghiên cứu cho thấy xác suất đồng thời xảy ra hỏa hoạn và rò rỉ phóng xạ là 0,0010; gãy đổ vật liệu và rò rỉ phóng xạ là 0,0015; và sai lầm của con người cùng với rò rỉ phóng xạ là 0,0012.

Xác suất xảy ra hỏa hoạn, gãy đổ vật liệu và sai lầm của con người cần được tính toán cẩn thận Đồng thời, cũng cần xem xét xác suất rò rỉ phóng xạ, đặc biệt là những trường hợp do sai lầm của con người gây ra.

Hướng dẫn giải bài toán xác suất liên quan đến hỏa hoạn, gãy đổ vật liệu và sai lầm của con người Đặt A là biến cố "xảy ra hỏa hoạn".

B là biến cố “xảy ra gãy đổ”;

C là biến cố “xảy ra sai lầm của con người”;

D là biến cố “có sự rò rỉ phóng xạ”;

Ta có A B C , , là các biến cố xung khắc từng đôi một và P D A ( ) = 0, 2; ( ) 0, 5; ( ) 0,1

P D B = P D C = Ngoài ra, P DA ( ) = 0, 001; P DB ( ) = 0, 0015; P DC ( ) = 0, 0012 Theo công thức xác suất có điều kiện ta có:

Xác suất có hỏa hoạn là: ( ) ( )

Xác suất có gãy đổ vật liệu là: ( ) ( )

Xác suất sai lầm của con người: ( ) ( )

= = = b) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ:

Xác suất xảy ra sự rò rỉ phóng xạ do sai lầm của con người có thể được tính toán bằng công thức: \$ P D = P DA + P DB + P DC \$ Để tìm hiểu thêm về các luận văn tốt nghiệp và thạc sĩ, bạn có thể tải xuống tài liệu mới nhất tại địa chỉ email: z z @gmail.com.

Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

- Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên;

Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên bao gồm cả rời rạc và liên tục, với các khái niệm quan trọng như bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất Những yếu tố này giúp mô tả cách mà các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên được phân bố, từ đó hỗ trợ trong việc phân tích và dự đoán các hiện tượng ngẫu nhiên trong thực tế.

Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên bao gồm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn, là những yếu tố quan trọng trong thống kê và xác suất Những tham số này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của các biến ngẫu nhiên trong nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.

- Khái niệm, phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên hai chiều

3.2.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, kết quả thường là các đặc trưng định tính, hay còn gọi là biến cố ngẫu nhiên Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, mỗi kết quả của phép thử lại được gán với một giá trị định lượng tương ứng.

Ta xét một bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:

Một nhà vật lý hạt sử dụng ba máy đo để đếm số phân rã alpha từ ba nguồn phóng xạ Radon 222 (Rn) trong khoảng thời gian T Các máy đếm này hoạt động độc lập, với xác suất hỏng hóc trong thời gian T lần lượt là 0,1, 0,2 và 0,3.

Bài toán yêu cầu lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T Ngoài ra, cần tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian này.

Với kiến thức từ chương 1, chúng ta có thể lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T Tuy nhiên, để tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy này, kiến thức trong chương 1 là chưa đủ Chương 2 sẽ cung cấp những kiến thức cần thiết để giải quyết vấn đề này.

Tính ngẫu nhiên của các đại lượng ngẫu nhiên một chiều và nhiều chiều được thể hiện qua quy luật phân phối xác suất, được đo lường thông qua bảng phân phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất Các tham số đặc trưng như trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn cung cấp cái nhìn tổng quát và ngắn gọn về đại lượng ngẫu nhiên, chứa đựng thông tin quan trọng nhất Những tham số này thường được sử dụng để đánh giá và so sánh trong phân tích các vấn đề định lượng và định tính trong thực tế.

3.2.3 Xây dựng bài tập chương “Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” Đầu tiên, ta xét bài toán về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc như sau: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài 2.1 Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra từ nguồn 3 nguồn phóng xạ Radon 222 86 Rn trong khoảng thời gian T Biết rằng 3 máy đếm này hoạt động độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3 a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T; b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

Hướng dẫn giải a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T:

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian

Gọi A i là biến cố máy đếm thứ i hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

P X = = P A A A = P A P A P A = = Bảng phân phối xác suất của X:

P X 0,006 0,092 0,398 0,504 b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T

Trung bình số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T là:

E X =  x p = + + + = Độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của hạt được mô tả qua hàm sóng, trong đó bình phương modul của hàm sóng thể hiện hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian Bài viết sẽ xem xét các vấn đề liên quan đến hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Bài 2.2 Hàm sóng của hạt bị nhốt trong một giếng thế vô hạn và ở trạng thái năng lượng thấp nhất được cho bởi hàm sóng:

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, chứng minh rằng: A 2 ,

Bình phương mô đun của hàm sóng $\psi(x)$ là hàm mật độ xác suất để xác định vị trí của hạt trong không gian Điều kiện chuẩn hóa của hàm sóng yêu cầu rằng xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ miền không gian phải bằng một.

Do  ( ) x 2 là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Bài 2.3 Một hạt bị nhốt giữa hai bức tường rắn cách nhau một khoảng L Biết rằng hạt ở trong trạng thái có năng lượng thấp nhất và có hàm sóng: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bình phương của mô đun hàm sóng \$\psi(x)\$ là hàm mật độ xác suất để xác định vị trí của hạt trong không gian Dựa vào hàm sóng này, chúng ta có thể tính xác suất tìm thấy hạt trong khoảng giữa các điểm, cụ thể là từ \$x=0\$ đến một giá trị nhất định.

Hướng dẫn giải a) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm x=0 và

= b) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm

=    −       luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

= c) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm 2

Bài 2.4 Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng:

Bình phương của mô đun hàm sóng $\psi(x)$ là hàm mật độ xác suất để tìm thấy hạt trong không gian Để chuẩn hóa hàm sóng, cần đảm bảo rằng xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ miền không gian bằng một Tiếp theo, cần xác định vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt đạt giá trị lớn nhất Cuối cùng, tính xác suất để hạt nằm trong khoảng $(-a, a)$.

Hướng dẫn giải a) Tìm hệ số chuẩn hóa A của hàm sóng

Do  ( ) x 2 là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

 = luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si ị A 2 exp ikx - x 2

Sử dụng tích phân Gauss, ta thu được:

 =  =  b) Tìm vị trí mà xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất

Hàm mật độ xác suất: f x ( ) ( ) x 2 A 2 exp x 2 2

  Điều kiện để hàm mật độ xác suất cực đại là:

Vậy x=0 là vị trí có xác suất tìm thấy hạt lớn nhất c) Xác suất để hạt nằm trong khoảng ( − a a ; ) :

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán kỹ thuật liên quan đến các tính chất của hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục.

Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

- Các phân phối xác suất rời rạc (phân phối nhị thức, phân phối Poisson): khái niệm, công thức tính xác suất, các tham số đặc trưng;

Các phân phối xác suất liên tục bao gồm phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối chi-bình phương và phân phối Student Mỗi loại phân phối này có khái niệm riêng, công thức tính xác suất đặc trưng và các tham số quan trọng Phân phối chuẩn được sử dụng rộng rãi trong thống kê, trong khi phân phối mũ thường mô tả thời gian giữa các sự kiện Phân phối chi-bình phương thường được áp dụng trong kiểm định giả thuyết, và phân phối Student là lựa chọn phổ biến khi làm việc với mẫu nhỏ.

3.3.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

Trong lĩnh vực Vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật, việc đo đạc các đại lượng thường gặp phải sai số do thăng giáng thống kê Những sai số ngẫu nhiên này tuân theo quy luật phân phối xác suất Các hàm phân phối cơ bản được sử dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm bao gồm phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi bình phương và phân phối Student.

Phân phối nhị thức có ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý khi đo hiệu suất của máy đếm các hạt trong kính viễn vọng

Phân phối Poisson là một công cụ thống kê quan trọng, thường được áp dụng trong các tình huống mà xác suất xảy ra của sự kiện là nhỏ và không thay đổi Một ví dụ điển hình của phân phối này là hiện tượng phân rã phóng xạ Khi đo số lượng phân rã beta hoặc alpha từ một nguồn phóng xạ trong một khoảng thời gian nhất định, số hạt ghi nhận được sẽ tuân theo phân phối Poisson.

Phân phối chuẩn đóng vai trò quan trọng trong Vật lý, với nhiều ứng dụng thực tiễn Ví dụ, vận tốc của các phân tử trong khí lý tưởng và chuyển động của nguyên tử, phân tử trong hệ cân bằng nhiệt đều tuân theo phân phối chuẩn Hơn nữa, sai số ngẫu nhiên trong các thí nghiệm vật lý thực nghiệm cũng thường được mô tả bằng phân phối chuẩn.

Các quy luật phân phối xác suất đóng vai trò quan trọng trong Vật lý, với nhiều ứng dụng thực tiễn Những quy luật và tham số đặc trưng của chúng giúp giải quyết hiệu quả nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lý học thực nghiệm.

3.3.3 Xây dựng bài tập chương “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

Mở đầu là bài toán về ứng dụng của phân phối nhị thức trong Vật lý:

Bài 3.1 Một nhà vật lý hạt tiến hành làm thí nghiệm tán xạ K-meson và nucleon, sau đó đo xác xuất tán xạ ngược bằng thùng Hydrogen lỏng Tiến hành đo 1000 va chạm, thu được kết quả có 472 tán xạ xuyên qua, và 528 tán xạ ngược Hỏi độ sai số bằng bao nhiêu?

Gọi X là số tán xạ xuyên qua sau va chạm thì X B n p ( ; ) với n = 1000;

0, 472. p = Độ sai số (độ lệch chuẩn):  = npq = 1000.0, 472.0,528  16 hạt

Kết quả tán xạ cho thấy số hạt tán xạ xuyên qua là 472 ± 16 hạt, trong khi số hạt tán xạ ngược là 528 ± 16 hạt Phân phối Poisson có nhiều ứng dụng trong Vật lý, được thể hiện qua các bài toán cụ thể.

Bài 3.2 Một nhà vật lý thấy rằng mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút a) Nếu ông ta đếm số hạt trong khoảng thời gian 10 phút, giá trị trung bình nhận giá trị bao nhiêu? b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 2 phút, quan sát được 0, 1, 2, 3, 4 hạt và nhiều hơn 5 hạt luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút, do đó trong 10 phút, mẫu này sẽ phân rã tổng cộng 15 hạt Ngoài ra, trong khoảng thời gian 2 phút, mẫu phóng xạ sẽ phân rã với tốc độ trung bình là 3 hạt.

Gọi X là số hạt thu được trong khoảng thời gian 2 phút thì X P ( )  với =3.

Bài 3.3 Khi đo hoạt độ của một nguồn phóng xạ, detector cho số đếm trung bình là 6 xung/ phút a) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút b) Tính xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút c) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút

Gọi X là số xung đếm được trong khoảng thời gian 1 phút thì X P ( )  với

=6. a) Xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút:

Xác suất để tốc độ đếm nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/phút là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu Để tìm hiểu chi tiết hơn, bạn có thể tham khảo các tài liệu như luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất.

  = = + = + = =  = c) Xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút:

Bài 3.4 Một mẫu chất phóng xạ chứa 5.10 19 nguyên tử, mỗi nguyên tử có xác suất phân rã p = 3.10 − 20 trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào đó a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây là bao nhiêu? b) Tính xác suất P  ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian

5 giây nào, với  = 0,1, 2,3. c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải a) Số trung bình dự kiến  của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây

= np = − = phân rã/ 5 giây b) Xác suất P  ( ) quan sát được  phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào, với  = 0,1, 2,3.

Xác suất trong phân bố Poisson: ( )

P  = 2! e − = P l ( ) 3 = 1,5 3! 3 e -1.5 = 0,1255 c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây:

P v   = − P v   = − P  − P  − P  − P  = Phân phối chuẩn được ứng dụng trong các bài toán sau: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài 3.5 Một dây chuyền sản xuất điện trở 1000  được phép xê dịch 10% Ký hiệu X là trị số của điện trở Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 1000 và phương sai 2500 Tìm xác suất một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ

Theo đề bài ta có: X ~ N (   ; 2 ) với  = 1000;  = 50

Trị số của điện trở được phép xê dịch 10%  = R 1000 100  ( ) 

Vậy xác suất để một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ là:

Bài 3.6 Giả sử cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn được tuân theo quy luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 mili-ampe ( ) mA và phương sai là 4

Để đo cường độ dòng điện trong dây dẫn, người ta sử dụng một đồng hồ đo thích hợp Cần tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện vượt quá 13 mA và xác suất để giá trị đo được nằm trong khoảng từ 9 đến 11 mA.

Gọi X là giá trị cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn Theo đề bài ta có:

X N   với = 10;= 2 a) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt quá

P X  =  + −     − 2    luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

= b) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong khoảng từ 9 đến 11 ( ) mA

Bài 3.7 Gọi X là lượng điện (tính bằng kwh) mà mỗi hộ tiêu thụ hàng tháng

Chương 4: “Các định lý giới hạn”

- Định lý giới hạn Poisson;

- Định lý giới hạn Moirve – Laplace;

- Định lý giới hạn trung tâm;

- Bất đẳng thức Chebyshev Luật số lớn

3.4.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Các định lý giới hạn”

Trong các bài toán thực hành, việc xác định khả năng xuất hiện k lần biến cố A trong n phép thử với xác suất p là rất quan trọng Để tính toán, ta có thể sử dụng công thức phân phối nhị thức, nhưng công thức này chỉ phù hợp khi số lượng phép thử tương đối nhỏ Khi số lượng phép thử lớn và xác suất xảy ra biến cố rất nhỏ, như trong trường hợp ghi nhận hạt phát ra từ nguồn phóng xạ, định lý Poisson sẽ được áp dụng để tính gần đúng xác suất.

Định lý giới hạn Poisson cho phép tính xấp xỉ xác suất của phân phối nhị thức với số lượng phép thử lớn thông qua phân phối Poisson Trong khi đó, các định lý giới hạn trung tâm cung cấp công cụ để xấp xỉ xác suất thông qua phân phối chuẩn Ví dụ, sai số trong phép đo vật lý thường do tổng ảnh hưởng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mỗi đại lượng ảnh hưởng không đáng kể, dẫn đến sai số có phân phối xấp xỉ chuẩn Hơn nữa, các định lý giới hạn trung tâm còn quan trọng trong việc thực hiện các phép kiểm định thống kê.

3.4.3 Xây dựng bài tập chương “Các định lý giới hạn”

Dưới đây là một dạng bài tập áp dụng định lý giới hạn Poisson để tính xác suất

Bài 4.1 Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là 10 − 4 Giả sử rằng trong thời gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Khi quan sát một hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm, ta có thể coi đây là một phép thử Giả thuyết cho rằng trong thời gian quan sát, có 40,000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ, dẫn đến 40,000 phép thử độc lập Xác suất để mỗi hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm là p = 0,0001.

Nếu gọi X là số hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm trong thời gian quan sát thì X B ( 40000; 0, 0001 )

Với số lượng lớn n = 40000 và xác suất p = 0,0001, ta có thể coi biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson Xác suất để máy đếm ghi được trên sáu hạt có thể được tính toán dựa trên các tham số này.

P X  = − P  X  = − = b) Xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả

P X = = 0! e − = c) Số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Vậy nguồn phóng xạ cần phát ra ít nhất 76100 hạt thì với xác suất lớn hơn 0,945 máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt

Bài 4.2 Trong một thí nghiệm, người ta bắn vào một lá vàng mỏng (xem như chỉ gồm một lớp nguyên tử) bằng một chùm tia alpha chứa một số lượng rất lớn các hạt Thống kê cho thấy, trung bình có hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn a) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào; b) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện

Phép thử bắn trúng hạt nhân vàng là một phép thử độc lập, với xác suất bắn trúng hạt nhân vàng tuân theo phân phối nhị thức Khi số hạt rất lớn và xác suất bắn trúng rất nhỏ, phân phối nhị thức chuyển thành phân phối Poisson Do đó, xác suất để hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân trong một lần bắn tuân theo quy luật phân phối Poisson.

Gọi X là số hạt alpha va chạm vào hạt nhân vàng Theo đề bài, trung bình hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn nên ta có

=  = = − a) Xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào:

P X = = 0! e − = e −  b) Xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện:

Chương 5: “Lý thuyết mẫu”

- Các tham số của tổng thể;

- Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể;

- Thống kê đặc trưng mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, tỉ lệ

3.5.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Lý thuyết mẫu”

Trong nghiên cứu khoa học kỹ thuật, việc khảo sát tất cả các vật thể trong một tập hợp thường không khả thi do thời gian và rủi ro hư hại Do đó, các nhà nghiên cứu thường chọn một mẫu đại diện từ tập hợp để tiến hành thí nghiệm Qua việc phân tích mẫu này, họ có thể rút ra kết luận về các tính chất của toàn bộ tập hợp vật thể ban đầu.

Khi nghiên cứu sự rơi tự do của quả cầu thép từ độ cao 3 mét, thời gian rơi được ghi nhận tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s² Sau 30 lần quan sát, các số liệu thu được đã được tổng hợp trong bảng.

Bảng 3.1 Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất

Để kết luận về thời gian rơi tự do của quả cầu thép từ độ cao 3 mét, cần tiến hành quan sát một mẫu ngẫu nhiên và tính toán các tham số đặc trưng Kết quả nghiên cứu từ mẫu sẽ được suy rộng cho toàn bộ tổng thể.

3.5.3 Xây dựng bài tập chương “Lý thuyết mẫu”

Bài 5.1 Thí nghiệm Franck – Hertz liên quan đến sự khác biệt giữa một loạt các điện áp cách đều nhau gây ra dòng điện cực đại qua một ống hơi thủy ngân Một học sinh tiến hành thí nghiệm đo 10 điểm khác biệt như vậy và thu được kết quả như sau: 0,48; 0,45; 0,49; 0,46; 0,44; 0,57; 0,45; 0,47; 0,51; 0,50 ( ) V Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các kết quả thu được

Bài 5.2 Một thí nghiệm được thực hiện để đo thời gian rơi của một quả bóng bằng kim kim loại ở độ cao 2 mét so với mặt đất Thí nghiệm được lặp lại 50 lần và thu được kết quả ở bảng sau:

Bảng 3.2 Dữ liệu đo thời gian rơi của quả bóng ở độ cao 2 mét

Thời gian rơi (s) Tần số quan sát

Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các kết quả đo luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Ta thay mỗi khoảng thời gian rơi bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có bảng sau: x i 0,595 0,605 0,615 0,625 0,635 0,645 0,655 0,665 0,675 0,685 n i 2 2 11 6 12 8 4 3 1 1

Trung bình của các kết quả đo:

=  = + + + + = Độ lệch chuẩn của các kết quả đo: s = s 2 = 1 n - 1 n i x i 2 i=1 ồ k - n x ( ) 2 é ở ờ ự û ú = 1

Bài 5.3 Khảo sát điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý của 43 học sinh lớp 11A5 của trường Trung học phổ thông Tân Thông Hội, ta thu được bảng số liệu sau:

Bảng 3.3 Dữ liệu điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý lớp 11A5 Điểm Số lượng học sinh Điểm Số lượng học sinh

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu

Ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có bảng sau: x i 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 n i 0 1 1 2 7 6 9 4 7 6

=  = + + + + = Độ lệch chuẩn của mẫu: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

- Ước lượng điểm và tính chất, ước lượng một tham số của tổng thể;

- Lý thuyết ước lượng khoảng;

- Ước lượng khoảng cho trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể và ứng dụng

3.6.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

Trong nghiên cứu khoa học, dấu hiệu nghiên cứu có thể được coi là một biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất đã được xác định Vấn đề xác định các tham số đặc trưng của tổng thể sẽ chuyển thành việc ước lượng các tham số của quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Ví dụ, nếu dấu hiệu nghiên cứu có phân phối chuẩn, nhiệm vụ là ước lượng các tham số kỳ vọng toán và phương sai của tổng thể.

Trong một thí nghiệm vật lý hạt, năm phép đo khối lượng của hạt Yotta đã được thực hiện với các giá trị lần lượt là 83,6; 92,9; 77,3; 88,4 và 89,5 GeV/c² Từ những kết quả này, chúng ta có thể ước lượng giá trị trung bình mẫu và phương sai của mẫu với độ tin cậy 95%.

3.6.3 Xây dựng bài tập chương “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

Mở đầu là một bài toán về áp dụng phương pháp ước lượng điểm trong vật lý như sau:

Bài 6.1 Dữ liệu về lực kéo (pounds) của bộ truyền trong động cơ ô tô như sau:

Dữ liệu thu thập được bao gồm các giá trị: 79,3; 75,1; 78,2; 74,1; 73,9; 75,0; 77,6; 77,3; 73,8; 74,6; 75,5; 74,0; 74,7; 75,9; 72,9; 73,8; 74,2; 78,1; 75,4; 76,3; 75,3; 76,2; 74,9; 78,0; 75,1; 76,8 Để tìm ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp ước lượng trung bình Bên cạnh đó, để tính ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể, chúng ta sẽ áp dụng công thức thống kê phù hợp.

Hướng dẫn giải a) Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể

=  = + + + + = pounds Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể là giá trị lực kéo trung bình của mẫu:

Trung bình tổng thể ( )   Trung bình mẫu ( ) x = 75, 62 pounds

Chúng ta có thể áp dụng công thức ước lượng điểm, vì giá trị trung bình của mẫu ngẫu nhiên là ước lượng không chệch cho trung bình tổng thể: \$E[X] = \mu\$ Bên cạnh đó, chúng ta cũng cần ước lượng điểm cho phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể, trong đó phương sai của mẫu sẽ được sử dụng.

= −  − = −  − + −  = Độ lệch chuẩn của mẫu: s = s 2 = 1, 65 Ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể:

Phương sai tổng thể ( )  2  Phương sai mẫu ( ) s 2 = 2, 74 pounds 2 Độ lệch chuẩn tổng thể ( )   Độ lệch chuẩn mẫu ( ) s = 1, 65 pounds

Phương pháp ước lượng khoảng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý và kỹ thuật Xét các bài toán ước lượng khoảng cụ thể sau:

Bài 6.2 Tiêu chuẩn ASTM E23 xác định các phương pháp thử nghiệm tiêu chuẩn để kiểm tra tác động của thanh kim loại Kỹ thuật CVN đo năng lượng nén và thường được dùng để xác định một vật liệu có thay đổi từ trạng thái dẻo sang trạng thái dòn hay không khi nhiệt độ giảm dần Phép đo năng lượng nén ( ) J trên những mẫu thép A238 đem cắt ở 60 0 C như sau: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Giả sử rằng, năng lượng chịu nén có phân phối chuẩn với  =1 J Hãy ước lượng năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%

Khoảng ước lượng năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%

Bài 6.3 Nguồn điện thế V được đo 6 lần và thu được các kết quả đo như sau:

Giả sử phép đo không có sai số hệ thống và được mô hình hóa bởi biến ngẫu nhiên X = + V , với giả thuyết rằng  có phân phối chuẩn N(0; ^2) Để tìm khoảng tin cậy 95% cho ^2, chúng ta xem xét hai trường hợp: a) khi V = 220 là đã biết; b) khi V chưa biết.

Hướng dẫn giải a) V = 220 ( ) V đã biết

Ta có n = 6; độ tin cậy 1 − = 0,95;

Bài toán đã biết E X ( ) = =  220 ( ) V nên khoảng tin cậy của  2 là: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Tra bảng  2 với bậc tự do n=6 ta được:

Vậy khoảng tin cậy của  2 là: ( 0, 547   2  6, 395 ) với độ tin cậy 95% b) V chưa biết

Bài toán chưa biết E X ( ) nên khoảng tin cậy của  2 là:

Tra bảng  2 với bậc tự do n− =1 5 ta được:

Vậy khoảng tin cậy của  2 là: ( 0, 548   2  8, 457 ) với độ tin cậy 95%

Bài 6.4 Để xác định độ sâu của đáy biển, một tàu neo cố định trên mặt nước phát ra sóng siêu âm và thu lại âm phản xạ Các xác định độ sâu này có sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 20 mét a) Cần phải tiến hành bao nhiêu lần đo để xác định được độ sâu của biển với sai số cho phép không quá 15 mét ở độ tin cậy 90%; b) Hãy ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95% Biết rằng khi tiến hành đo ở một địa điểm xác định 25 lần người ta tính được độ sâu trung bình của mẫu là 100 mét luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Hướng dẫn giải a) Gọi n là số lần đo cần thiết

Vậy cần đo ít nhất 5 lần b) Khoảng ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95%

Bài 6.5 Tia tử ngoại là một loại bức xạ điện từ có nhiều ứng dụng trong y học và trong các ngành công nghiệp Trong lĩnh vực công nghiệp cơ khí, tia tử ngoại được sử dụng để tìm vết nứt trên bề mặt các vật bằng kim loại bằng cách xoa một lớp dung dịch phát quang lên trên bề mặt vật, cho chất đó ngấm vào kẽ nứt, khi chiếu tia tử ngoại vào những chỗ ấy sẽ sáng lên Người ta muốn ước lượng tỉ lệ một sản phẩm bằng kim loại có vết nứt trên bề mặt trong một lô sản phẩm của nhà máy a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm? b) Sử dụng tia tử ngoại kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm, người ta thấy có 20 sản phẩm có vết nứt trên bề mặt Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

Để đảm bảo sai số cho phép không vượt quá 1% với độ tin cậy 95%, cần xác định số lượng sản phẩm tối thiểu phải kiểm tra bằng tia tử ngoại.

Gọi n là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra

Do pq cực đại khi p = = q 0,5 nên:

Vậy cần kiểm tra ít nhất 9604 sản phẩm b) Gọi p là tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt Ta cần ước lượng p với độ tin cậy 95%

Theo giả thuyết của bài toán ta có:

Tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt trong mẫu cụ thể là: 20 0,1 f = 200 =

Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt là:

Nếu sai số không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì số sản phẩm cần kiểm tra là: Gọi n là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra

Vậy cần kiểm tra ít nhất 3458 sản phẩm luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”

- Lý thuyết cơ bản về kiểm định;

- Thủ tục thực hiện bài toán kiểm định;

- Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên

3.7.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Kiểm định giả thuyết thống kê”

Trong thực tiễn, có những bài toán yêu cầu kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề hoặc tình huống giả định khi thông tin chưa đầy đủ Các mệnh đề này có thể đúng hoặc sai, do đó cần tiến hành kiểm định để đưa ra kết luận Việc kiểm tra và kiểm định phải dựa trên thông tin của mẫu thông qua các phương pháp thống kê cụ thể Dưới đây là một số bài toán kiểm định.

Mạng điện quốc gia cung cấp điện áp đầu vào trung bình là 220 V Tuy nhiên, sau một thời gian sử dụng, nhiều thiết bị điện gặp hư hỏng, dẫn đến nghi ngờ rằng điện áp đầu vào có thể không ổn định Để kiểm tra giả thuyết này, người ta sử dụng đồng hồ đo điện áp để đo và lấy mẫu điện áp đầu vào.

Trong kiểm tra chất lượng giáo dục, hiệu trưởng thường công bố tỉ lệ học sinh khá giỏi của trường, ví dụ như một hiệu trưởng trường trung học phổ thông X cho biết tỉ lệ này là trên 70% trong năm học hiện tại Tuy nhiên, để xác minh tính chính xác của thông tin này, một cá nhân nghi ngờ có thể tiến hành lấy mẫu học sinh tại trường và thực hiện bài toán kiểm định giả thuyết.

Trong lĩnh vực Vật lý thực nghiệm, dữ liệu thu được từ các phép đo thường tuân theo một quy luật phân phối nhất định Điều quan trọng là xác định xem liệu dữ liệu từ các phép đo có thực sự phù hợp với quy luật phân phối đó hay không.

Việc kiểm định giả thuyết cho phép chúng ta đưa ra kết luận về việc chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết đã đề xuất Chương này cung cấp kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến kiểm định giả thuyết.

3.7.3 Xây dựng bài tập chương “Kiểm định giả thuyết thống kê”

Mở đầu là bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình trong lĩnh vực Vật lý

Bài 7.1 Điện thế của mạng điện sử dụng trong gia đình là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với điện thế trung bình là 220 ( ) V Để kiểm tra điện thế của mạng điện, người ta sử dụng một đồng hồ để đo điện thế Nguồn điện thế V được đo 6 lần và thu được các kết quả đo như sau:

Ta muốn kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5% rằng điện thế trung bình là

220 ( ) V khi: a) Biết phương sai của các sai số đo là 1; b) Chưa biết phương sai

Gọi  là giá trị điện thế trung bình Ta cần kiểm định giả thuyết:

H = V H 1 : 220 ( ) V a) Với n  30, phương sai  2 đã biết

  không bác bỏ H 0 , coi điện thế trung bình bằng

220 V một cách có ý nghĩa b) Với n  30, phương sai  2 chưa biết luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

2, 571 : n n t  − = t =   t t  − không bác bỏ H 0 , coi điện thế trung bình bằng 220 ( ) V một cách có ý nghĩa

Bài 7.2 Khi tiến hành đo độ phóng xạ của một nhóm chất phóng xạ gồm 20 mẫu, người ta thu được kết quả như sau: x0 nCi và s = 10 nCi Với độ tin cậy là 95%, hỏi độ phóng xạ của nhóm 20 mẫu có thực sự khác với độ phóng xạ trung bình mẫu chuẩn 120 nCi hay không? Biết rằng độ phóng xạ có phân phối chuẩn

Gọi  là giá trị của độ phóng xạ trung bình Ta cần kiểm định giả thuyết:

2, 093 : n n t  − = t =   t t  − bác bỏ H 0 , coi độ phóng xạ của nhóm 20 mẫu khác với độ phóng xạ trung bình mẫu chuẩn với độ tin cậy là 95%

Phương pháp kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực Vật lý kỹ thuật, bên cạnh phương pháp kiểm định giả thuyết về trung bình Một ví dụ điển hình cho thấy tầm quan trọng của phương pháp này trong việc phân tích dữ liệu và đưa ra kết luận chính xác.

Bài 7.3 Theo sổ tay dùng cho các phòng thí nghiệm luyện kim, sai số bình phương trung bình của phép xác định Crom bằng phương pháp đo điện thế là

 = đối với hàm lượng Crom là 3% Với nghiên cứu hiện tại, người ta dùng

7 mẫu và thu được s = 0, 022%, hơi cao hơn so với mức chuẩn Với mức ý nghĩa

= 0,1, hãy xác định xem có sự gia tăng sai số ngẫu nhiên hay không?

Gọi  2 là phương sai của các phép đo trong điều kiện hiện tại Ta cần kiểm định giả thuyết:

H  = H 1 : 2  0, 017 2 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Tra bảng ta được:   2 ( n − = 1 ) 0,1 2 ( ) 6 = 10, 64  2   2 ( n − 1 : ) không bác bỏ H 0 , nghĩa là coi độ lệch chuẩn các sai số chưa tăng với mức ý nghĩa = 0,1.

Sau khi thực hiện thí nghiệm và thu thập bảng dữ liệu, các nhà Vật lý cần kiểm tra xem dữ liệu có tuân theo quy luật phân phối xác suất nào không Để làm điều này, họ áp dụng phương pháp kiểm định giả thuyết về quy luật phân phối xác suất Các bài toán kiểm định phân phối sẽ được xem xét trong quá trình này.

Bài 7.4 Một người làm thí nghiệm đo bụi neutrino trong một ngày tại một vùng trên Trái Đất Kết quả quan sát số hạt neutrino trong một ngày được cho trong bảng bên dưới:

Bảng 3.4 Kết quả đo số hạt neutrino trong một ngày

Giả thuyết rằng dữ liệu trên tuân theo phân bố Poisson Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định giả thuyết trên

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần sắp xếp các số liệu thô và tính toán các cần số tương ứng.

Khi đó chúng ta có bảng tần số như sau:

H dữ liệu có phân phối Poisson;

Dữ liệu không tuân theo phân phối Poisson, và bài toán này liên quan đến việc kiểm định quy luật phân phối Poisson với tham số chưa biết là  Để giải quyết vấn đề này, ta thay thế tham số  bằng biến x.

Từ bảng dữ liệu, ta tính được:

Với tham số = = x 4,36 ta tính các xác suất:

10 10 1 0 1 9 0, 0341. p = P X  = − P X = − P X = − − P X = = Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Số hạt ( ) x i Tần số ( ) n i p i np i ( i i ) 2 i n np np

Tổng 50 1,5217 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng  2 với bậc tự do k − − = r 1 10 1 1 8, − − = ta được:

Ta thấy:  2  2 ( k − − r 1 ) nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi dữ liệu số hạt neutrino trong một ngày tuân theo phân bố Poisson

Bài 7.5 Một sinh viên làm thí nghiệm tung một quả bóng lên cao và ghi lại thời gian kể từ khi ném quả bóng cho đến khi nó đạt độ cao 2 mét Số liệu thu được trong bảng 3.5

Bảng 3.5 Dữ liệu thời gian thời gian ném quả bóng đến độ cao 2 mét

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra xem số liệu sinh viên thu được có tuân theo phân phối chuẩn hay không?

Gọi X là thời gian ném quả bóng cho đến khi đạt độ cao 2 mét Đặt giả thuyết:

H X không có phân phối chuẩn

Từ số liệu đã cho ở bảng trên, ta tính được:

Ta chia các giá trị đo thành các miền giá trị:

STT Miền giá trị Số giá trị quan sát

4 x +x s x  0, 65 11 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Tính xác suất trên các khoảng như sau:

Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Miền giá trị n i p i np i ( i i ) 2 i n np np

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng  2 với bậc tự do k − − = − − = r 1 4 2 1 1, ta được:

Ta thấy:  2  2 ( k − − r 1 ) nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi số liệu sinh viên đo được có phân phối chuẩn.

Chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

3.8.1 Nội dung kiến thức luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

- Phân tích tương quan tuyến tính: định nghĩa, tính chất, hệ số tương quan mẫu;

- Phân tích hồi quy tuyến tính: mô hình hồi quy tuyến tính, ước lượng bình phương cực tiểu

3.8.2 Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

Trong nhiều bài toán thực tế, chúng ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối quan hệ với nhau, trong đó một đại lượng dễ khảo sát và đại lượng kia khó khảo sát hơn Để dự đoán đại lượng khó khảo sát, cần tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng này Phân tích tương quan giúp đánh giá mối quan hệ phụ thuộc giữa chúng; nếu hệ số tương quan gần bằng 1, mối quan hệ tuyến tính càng chặt chẽ Khi đó, phương trình hồi quy tuyến tính có thể được sử dụng để biểu diễn đại lượng khó khảo sát dựa trên đại lượng dễ khảo sát hơn.

Trong các phép đo thực nghiệm, việc nhận biết quy luật biến đổi của đại lượng vật lý khi có sự thay đổi của yếu tố khác là rất quan trọng Sự biến đổi này giúp điều chỉnh các yếu tố ảnh hưởng để thu được kết quả thực nghiệm mong muốn Tính quy luật được thể hiện qua việc đại lượng cần đo có dạng hàm toán học của các yếu tố ảnh hưởng, cụ thể là hàm số dạng \$y = f(x, z, \ldots)\$, trong đó \$y\$ là đại lượng cần đo và \$x, z, \ldots\$ là các yếu tố ảnh hưởng Do hạn chế về thời gian và chi phí, chúng ta không thể đo tất cả các giá trị mong muốn, vì vậy việc biết hàm mô tả quy luật biến đổi sẽ hỗ trợ trong việc nội suy tại các giá trị quan tâm Trong chương trình này, chúng ta chỉ nghiên cứu phương trình hồi quy tuyến tính dạng \$y = Ax + B\$, với \$A\$ và \$B\$ là các hệ số được xác định bằng phương pháp bình phương tối thiểu.

3.8.3 Xây dựng bài tập chương “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

Dưới đây là một số bài toán điển hình về phương trình hồi quy tuyến tính

Bài 8.1 Một sinh viên thực hiện thí nghiệm sử dụng một lò xo có chiều dài tự nhiên 0 Một đầu của lò xo này được gắn vào một điểm cố định Đầu còn lại gắn với các quả nặng có khối lượng m khác nhau Sinh viên tiến hành đo chiều dài của lò luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si xo tương ứng với các quả nặng có khối lượng khác nhau Dữ liệu đo của sinh viên được trình bày trong bảng 3.6

Bảng 3.6 Chiều dài của lò xo theo khối lượng quả nặng

Chiều dài lò xo phụ thuộc vào khối lượng m của vật nặng theo phương trình tuyến tính: \$L = A + Bm\$, trong đó \$A \equiv 0\$ Cần xác định các giá trị của A và B, với giả định rằng sai số trong phép đo độ dài là đồng nhất và sai số trong phép đo khối lượng được bỏ qua.

Dựa vào bảng số liệu của đề, ta xác định được:

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số A và B của phương trình hồi quy:

Vậy ta có phương trình: = 6,32 0,189m cm + ( )

Bài 8.2 Phương pháp hồi quy đã được sử dụng để phân tích dữ liệu từ một nghiên cứu điều tra mối quan hệ giữa nhiệt độ ( ) 0 F bề mặt đường ( ) x và độ biến dạng bề mặt ( ) y Các số liệu được tóm tắt như sau: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si y i i=1 ồ n = 12,75; y i 2 i=1 ồ n = 8,86; x i i=1 ồ n = 1478; x i 2 i=1 ồ n = 143215,8; x i y i i=1 ồ n = 1083,67; n = 20 a) Lập phương trình hồi quy của y theo x b) Sử dụng phương trình hồi quy vừa tìm được để dự báo độ biến dạng mặt đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là 85 0 F c) Độ biến dạng bề mặt trung bình là bao nhiêu khi nhiệt độ bề mặt là 90 0 F

Hướng dẫn giải a) Lập phương trình hồi quy của y theo x

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy của y theo x là: y = ax b + = 0, 0042 x + 0,3271. b) Dự báo độ biến dạng mặt đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là

Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

0, 0042 0,3271 0, 0042.85 0,3271 0, 6841 y = x + = + = c) Độ biến dạng bề mặt trung bình khi nhiệt độ bề mặt là 90 0 F Thay giá trị của x vào phương trình hồi quy ta được:

0, 0042 0,3271 0, 0042.90 0,3271 0, 7051 y = x + = + = luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Bài 8.3 Động cơ tên lửa được sản xuất bằng cách nạp đồng thời hai loại chất nổ: kích nổ và duy trì Lực làm phá hủy liên kết của chất nổ ( ) y xem như là hàm tuyến tính của tuổi ( ) x của chất nổ cho đến khi động cơ được phóng 20 quan sát được chỉ ra ở bảng 3.7 a) Lập phương trình hồi quy của y theo x b) Ước lượng lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần tuổi

Bảng 3.7 Dữ liệu lực phá hủy chất nổ theo tuổi chất nổ

Tuổi ( ) x (tuần) STT Lực phá hủy ( ) y

 a) Lập phương trình hồi quy của y theo x

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để xác định các hệ số a và b trong phương trình hồi quy Tải luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất qua email: z z @gmail.com.

Vậy phương trình hồi quy của y theo x là: y = ax b + = − 37,15 x + 2627, 77. b) Lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần tuổi

Bài 8.4 Thủy tinh đóng vai trò then chốt trong những vụ án vì các hoạt động của tội phạm thường làm cho cửa sổ và các vật dụng thủy tinh khác bị phá hủy Vì các mảnh thủy tinh thường lưu lại trên quần áo của tên tội phạm, khả năng nhận ra những mảnh đó bắt nguồn từ hiện trường hay không có tầm quan trọng lớn Hai tính chất vật lý của thủy tinh có ích cho mục tiêu nhận dạng là chỉ số khúc xạ (khá dễ để đo) và mật độ của nó (khó đo hơn) Tuy nhiên, phép đo mật độ chính xác được hỗ trợ rất nhiều nếu người ta có ước tính tốt về giá trị này trước khi thiết lập thí nghiệm trong phòng thí nghiệm cần thiết để xác định chính xác Do đó, sẽ khá hữu ích nếu người ta có thể sử dụng chỉ số khúc xạ của các mảnh thủy tinh để ước tính mật độ của nó Dữ liệu sau nêu lên mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ với mật độ của 18 mẫu:

Bảng 3.8 Dữ liệu mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ và mật độ thủy tinh Chỉ số khúc xạ Mật độ Chỉ số khúc xạ Mật độ

Hãy dự báo mật độ của thủy tinh ứng với chỉ số khúc xạ 1,52 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Gọi x là chỉ số khúc xạ của thủy tinh, y là mật độ của thủy tinh

Ta lập phương trình hồi quy của y theo x

Phương trình hồi quy của y theo x là: y = ax b + = 3,32 x − 2,55 Thay giá trị của x = 1,52 vào phương trình hồi quy ta được:

Vậy mật độ của thủy tinh là 2,4964 ứng với chỉ số khúc xạ là 1,52

Bài 8.5 Một sinh viên tiến hành thí nghiệm khảo sát chuyển động thẳng nhanh dần đều của một vật có khối lượng m và thu được bảng số liệu mối quan hệ vận tốc – thời gian như sau:

Bảng 3.9 Dữ liệu mối quan hệ giữa thời điểm và vận tốc chuyển động

Thời điểm x , (s) 0,5 1,2 2,5 3,4 4,2 5,5 6,3 7,5 8,2 9,0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian trong chuyển động thẳng nhanh dần đều được mô tả bằng phương trình tuyến tính: \$y = ax + b\$, trong đó \$a\$ là gia tốc của vật (đơn vị m/s²) và \$b\$ là vận tốc ban đầu (đơn vị m/s) Để xác định vận tốc chuyển động của vật, cần lập phương trình hồi quy Sau đó, sử dụng phương trình hồi quy này để tính toán vận tốc tại thời điểm \$x\$ (s).

 a) Lập phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật

Phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật được biểu diễn như sau: \$y = ax + b\$, với các hệ số \$a = 2,15\$ và \$b = 5,75\$ Sử dụng phương trình này, chúng ta có thể xác định vận tốc chuyển động của vật tại thời điểm \$x\$ (s).

2,15 5, 75 2,15.10 5, 75 27, 25 y = ax b + = x + = + = m/s luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài đã giúp chúng tôi giải quyết được các vấn đề lý luận và thực tiễn như sau:

- Tổng quan được vai trò và ứng dụng của học phần XSTK trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý và trong nghiên cứu Vật lý

Phân tích các nội dung kiến thức trọng tâm và chủ đề bài tập XSTK từ các giáo trình trong và ngoài nước giúp hiểu rõ cách tiếp cận lý thuyết và các bài tập liên quan đến Vật lý.

Chúng tôi đã hệ thống hóa kiến thức và đề xuất cách tiếp cận nội dung Vật lý cho từng chương cụ thể, đồng thời xây dựng 42 bài tập XSTK ứng dụng phù hợp với sinh viên khoa Vật lý tại Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

Trong khuôn khổ của khóa luận, chúng tôi chưa thể xây dựng đầy đủ hệ thống kiến thức và các chủ đề bài tập XSTK trong lĩnh vực Vật lý Chúng tôi dự định tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện một giáo trình XSTK dành cho sinh viên khoa Vật lý tại Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

Tiêu đề	Hệ Thống Hóa Lý Thuyết Và Bài Tập Của Môn Xác Suất Thống Kê Ứng Dụng Vào Giải Những Bài Toán Vật Lý
Tác giả	Phan Thanh Trà
Người hướng dẫn	ThS. Tô Thị Hoàng Lan
Trường học	Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Vật lý
Thể loại	Luận văn
Năm xuất bản	2020
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	91
Dung lượng	1,33 MB