Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT Quốc gia: Phần 1

Hộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuvên dề, dê các em tiện dùng trong ôn luyện theo chư... ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM sốGiới hạn của hàm số tại một điếm: Giả sử a; b là một khoáng chứa điểm Xo và f

NGƯT ThS l i : HOÀNH PHÒ

C á c c h u y ê n đ ề 'i

Bám inTĐCTHi

T H P T Q U Ố C G i A

EB

T h.s NHÀ GIÁO u ư TỦ

LÊ H O À N H P H Ò

CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

KHẢO SÁT

HÀM SỐ

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

Các Km học sinh th â n môn!

Nhằm mục dích giúp các bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị th ật tôl cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ TH Ò N G QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng tuyến vào các trường Cao dang, Đại học mà mình dã xác dịnh nghề nghiệp cho tưpng lai, theo định hướng mỏi

Hộ sách này gồm 8 cuôn cho 8 chuvên dề, dê các em tiện dùng trong ôn luyện theo chư<Jng trìn h học và trước kỳ thi;

- KHẢO SÁT HÀM SỐ

- HÀM SỐ VẢ PH Ư Ơ N G T R ÌN H MŨ LÔ G A RIT

- N GUYÊN HÀM VẢ TÍC H PHẢN

- SỐ PH Ứ C VẢ T ổ IlỢ P

- H ÌN H HỌC KHÔNG GIAN

- TỌA HỘ KHÔNG GIAN

- LƯ Ợ N ÍỈ GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHANG

- PH Ư Ơ N G T R ÌN H VẢ HAT DANG THỨC

Từ các kiên thức và phưcing pháp giải 'l'oán căn bản và nâng cao dần dần, kết hỢp ôn tập 'Poán lớp 10 và 11, bỏ sung và mỏ' rộng kiên thức và phương pháp giải khác nhau, lưyộn tập thêm Toán khó, Toán tông hỢp, các bạn rèn luyện

kỹ náng làm hài và từng bước giái dũng, giái gọn các bài tập, các bài toán trong kiểm tra thi cử

khỏi những sai sót mà tác gia chưa thấy hôt, mong dón nhận các góp ý của quý hạn dọc, học sinh dê lầii in sau hoàn thiện hơn

T á c giá

LÊ HƠÀNH PHỜ

ÔN GIỚI HẠN CỦA HÀM số

Giới hạn của hàm số tại một điếm:

Giả sử (a; b) là một khoáng chứa điểm Xo và f là một hàm sổ xác định trên tập

x - > x „

Định nghĩa tương tự cho các giới hạn khác.

X~>X^ x —*x„

X -> X o ' x - > x „

Giới hạn một bên:

Già sử hàm số f xác định trên khoảng (Xoi b) (Xo e R) Giới hạn bên phải:

X - ^ x J

lim f(x„) = L.

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; Xo) (Xo e R) Giới hạn bên trái:

x-^xỏ‘

x - > x ; x ^ x *

Bài toán 1.1: Tính:

1x^ - 4

a) lirn ;

X - X X->1 ( 2 x - l ) ( x - 3 )

Giải

a ) Tacó: lini ( x ^ - 4 ) = lirn x ^ - lini 4 = 3 - 4 = 1 nên lirn

X - > v 3 x - > v 3

b) Ta có: lim (x - x^) = 1 - 1 = 0

X ->1

lim (2 x - l)(x ^ -3 ) = ( 2 - 1)(1 -3 ) = - 2 ^ 0

x^l

x " -4 = - 1 = 1

a) lim —

Bài toán 1.2: Tính;

Giải

x ^ + 4 x + 3 ~ x + 1 ' x + 3

x->(-3)“ X +1 - 2 = -4 2 < 0 và lim

1

x ' +3 lim

b) Vì lim

>‘-^2 ( x - 2 ) " ' \ 4 - x

Bài toán 1.3: Tính các giới hạn một bên:

Giải

7x + 2

x - 3

X - 2

Giải

X — 2 2 — X

Do đó: lim ^ - - - l i m n " - - - Iim -= um - = lim (-1) = - 1

Vì kết quả giới hạn bôn trái và bên phải lại Xo = 2 khác nhau nên không tồn tại

X - 2|

lim

;->í x - 2

Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) =

Có tồn tại lim / (x) không ?

•V >2 '

[x ’ - 2 x -f 3 khi x < 2

Giải

'Fa tính các giới hạn một bên: lim f(x) lim f'(x):

X - > 2 ’ \ >?.

X >2 X -> 2'

Vì lim f(x) = lim f(x) - 3 ncn lim f(x) = 3

Bài toán 1.6: Cho hàm số f(x) =

x - 1

Tùy theo tham số a xét sự tồn tại giới hạn lim f ( x )

\ - > l

Giải

X >1' X - > 1 '

Ta có 3 + a = -1 <=í> a = -4, do đó;

X ->1 X >1

BÀ I T Ậ P

IID -D S

nhưng lim l’(x„) = 0 còn lim f(x'n) = 1

^ i:„ V x - 3

T-x->9 9 x - x

Bài tập 1.2: Tính:

b) lim

x-*\

HD-ĐS

2x + 3 ( x - 1 ) ' ‘2 x - 3

HD-ĐS

lim f (x) = lim f(x ) <=>6 = 3 + 4 a < :í> a = —

x ' -8 1

k h ì X > 3

Bài tập 1.4: Cho hàm sổ f(x) =

V x - 3 Tùy theo tham số a xét sự tồn tại giới hạn lim f ( x )

,Zs

- K h i a - 12(73 + 3) - 5 thì lim f(x ) = 12(73 + 3 )

x->3

x-^3

dạng vô định không.

- Neu kết quả cho giá trị xác định, căn thức xác định, phân thức xác định, thì dùng định lý vể các phép toán tổng, hiệu, thương để giải.

hạn cho bằng 0.

- Nếu mẫu thức tiến đến 0 và tử thức tiến đến một sổ khác 0 thì giới hạn là dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu các thừa sổ, của tử và mẫu.

0 00

khử dạng vô định.

mới vẫn giữ nguyên dạng vô định.

- Đối với hàm phân thức, ta phân tích tử thức và mẫu thức ra thừa số dạng

- Dổi với biểu thức chửa căn thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo

- Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công

X-Í.0 X

Bài toán 2.1: Tíiứi:

x ' - 1 6

a) lim

X + 6x + 8

0

b) lim

V_k1

X - 2 7 x

><-►3 2 x ' - 3 x - 9

Giải

a) Dạng vô định — , với mọi X ^ -2, ta có:

„ 4

x ^ - 2 7 x _ x ( x - 3 X x ^ + 3 x + 9) _ x ( x ^ + 3 x + 9)

‘^32x^ - 3 x - 9

Bài toán 2.2: Tính:

= 5 1 9 , 9

X -> 1 x - 1

Giải

X^l

= lim

x-^1

X + X - 2 ( x - l ) ( x + X + 2) 4x'^ + 3x^ + 2x +1 _ 10 _ 5

~ T ^ 2 '

(x - l)(4x^ + 3x^ + 2x +1)

X + X + 2

b) lim

X —►!

lim X-^1

x " - n

x ' - l

lim

x^l

• + — — + — — — + +

x '» + x ‘^+ + P

— + — + ^ + + — = 33

Bài toán 2.3: Tính:

a) lim — ^

x^ -1

'‘^o X + X

Giải

0

V 2 x - X “ - 1

X - X

2 x - x ^ - 1

= 0.

Bài toán 2.4: Tính:

X + l 4 x

a) lim

x - > 0 * x - V x " ^/ỘTx

Giải

b) lim - ^

x T r I n - 2

10

b) Với -3 < X < 3

^ / x '- 7 x + 12 _ 1 _ Vó

Bài toán 2.5: Tính:

V3X + 8 - 2

a )

lim-V

■Ự^

V x -1

Giải

0

ự3x + 8 - 2

, V3X + 8 - 2 _ 3 _ 1

nên lim - = - = —

5 x 5 ( 4 + 4 + 4 ) 20

b)

lim-x^l

—^ = lim - [ , -1 ( x - l) [ V ( 2 x - lV + V ^ - l V x -+Vx'

=

lim-X ^ l 3

Bài toán 2.6: Tính:

a) lim

- 1

Giải

x - 1

( x - l ) ( x - 3 ) Ự ( x - 2 ) ' - ự x - 2 + 1

x ( x - l ) ( x - l ) ( x - 3 )

(x -3 )[V (x -2 ) ^ - V x - 2 + 1

X -> 1 — 6 — 2 3

-t-x - 3

11

, , _ ị / T + x + a/3 + X - 4 ị ỉ T + x - 2 ^|3 + x - 2

b) f ( x ) = -

-x ^ - 1

á: - 7 -=

X - 1

x - 1

X - 1

x ’ -1 ( x ' - l ) ịỊil + x ỷ + 2 ịh + x + 4

1

V3 + X - 2 _ x -1 _ 1

3 1 2 3.4 9

Bài toán 2.7: Tính:

1 - cos X

a)

lim-x->0

b) lim^—

—— -1 - s i n x - c o s x

Giải

sin-^

2

X

V 2 ;

2 sm - - - 2 sin - cos —

lim

x->0 X X 0 - 1

s i n ^ - c o s ~

= - l

Bài toán 2.8: Tính;

, , _ 1 - V 2 x '+ 1

a) lim -

->‘^0 l - c o s 2 x

l- V 2 x '- f l

„ 1 -V2 X + 1 -I- sinx

^ -v 3 x - f - 4 - 2 - x

Giải

a ) - :: - = - = ■

^ X

v sin x j 'l + V 2 x ^

12

b) 1 - V2x + 1 + sin x

yj3x + 4 - 2 - x

V3x + 4 - 2 - x

1 - V2jr+T + sinX

-v 3 x + 4 - 2 - x

- 2

+ 1 -1 = 0.

00

Khử dạng vô định — k h i X —> +00, X —^-00.

00

của X, việc này cũng như đặt thừa chung cho luỹ thừa cao nhất đỏ:

b„x" +b,x"-‘ + + b„ , Oo ^ 0, bo ^ 0.

đưa về dạng phân thức đã nêu:

- ị = (A + B)(A - B)

A^-B^ = (A- B)(A^ + AB + B^),A^ + B^ = (A + B)(A^ - AB + B^),

Bài toán 2.9: Tính:

2 x ‘‘ + 7 x '- 1 5 5x +1

Giải

J _ 10

^ 2 3

5x^+1

X x '" 2 x ' + 7 x ' - 1 5 _ 2

13

, 3 x ''+ 5 x " + 7

a) lim

Giải

x ' - 15x

3x H - H :

X _ x :

, x'’ - x^ + 3

2 x ^ - 7

Bài toán 2.11: Tính:

x^

1 - - +

x^

nên lim - — —— = 0.

2x - 7

a) lim

2x - 3

3x' - 5

Giăi

1

1 - - + - ^

yjx^ - X + 5 =,

a / x “ - x + 5

= XU1 — + - ^ = x 1 — +- ^

nên lim —^ - — = lim

X X

x (2 - )

= lim

J ^ x- >+<o

X X 1

4 ^ + 2

1 1-'^

1 + - '

X

3

J l+

3

X

Khử dạng 00- 00, O.oo:

- Dặt nhãn tử chung là luỹ thừa cao nhất của X.

- Quy đồng phân số

- Nhân chia lượng liên hợp đế khử căn,

0 00

14

1 —

Bài toán 2.12: Tính:

x->2" x - 2 X - 4 J

Giải

a) lim

x~»0

I _\_

x->0 X2 ■

Vì limíx - 1) = -1 < 0, lim X' = 0 và x^ > 0 với mọi X 0 nên: lim

1 - — ì=

x + 1

Vì lim (x + l) = 3 > 0 , lim ( x ^ - 4 ) = 0 và x^ - 4 < 0 v ớ i-2 < X < 2

x->2 x->2“

nên: lim

x->2

1

Bài toán 2.13: Tính:

a) lim (Vx^ + 3 - x)

X - > + M

^ = -CO

b) lim (v>

X —>-00

Giải

’‘-" ^ V x ^ + 3 + x b) Với mọi X < -1, la có:

Vx^ + x +-\/4 + x^

x - 4 1 X

Do đó lim (-\/x^ + X - V4 + x ^ ) =

x >-co

Bài toán 2.14: Tính:

a) lim (x + 2)

X -» + o o ’

x - 1

4

m

a) lim (x + 2) 1-4

x->+oo y

Giải

X' -I- X

15

\ >->y.

Ị(x + 2)"(x - 1) ^

lim

X + X

11-b) lim

A >1

n m

lim X- V 1

( n 1 m 1 1

( - - - - ) - ( , ; r - , - )

1

+ + ••• +

I - X + X + -f x"

+ X + + x"

Do dó liiT

\ >1

1

T ư o n g tự lh ì: lim

V >1

Bài toán 2.15: Tính:

71

a) lim X

tan X

Giải

n

1 - x "

lim

71

X

X / • ^ \

? sin X - _

= - 1.

Bài tập 2.1: 1 inh;

' X - 4

BÀ I T Ậ P

' > ' ' 3 - X 16

H D -Đ S

X - 4

b)

x-^2 X - 4

Bài tập 2.2: Tính:

=3

a)

xTi x - 1

x" -1

x - 1 ” ■

x “ i X " - 1

H D -Đ S

./1-1 , ^^n-1 x" -1

X -> 1 x"^ — 1

Bài tập 2.3: Tính:

a) lim

-xTõ*

x-»l X-1

= — +

X

b) ,i

H D -Đ S

b ) -

= v l + x - - 1 -—^ - nên lim -

— -Y V X - > 0 V

7 3

Bài tập 2.4: Tính:

a) lim

« _ v n +

x^ o ‘ V ĩ^ cosx

b) lim

-r -x->0

H D -Đ S

b) lim

X - + 0

= lim - i

17

Bài tập 2.5: Tính:

Xy/x - 5

a) lim

X - X + 2 b) limx-y-oo l _ 3 x

IID -D S

X - X + 2 1 - 3x

Bài tập 2.6: Tính;

x-H-ty V X - 1 b) h m ^ y -7—

IID -D S

x " - l

( x - l ) ( x + l)

^ 0.

Bài tập 2.7: Tính:

h o o

n

X —> —

4

H D-D S

2co sx - 1

^ 71 , , 7 1 7 1

a) Dặt t = — - x t h ì x = — - t, X > — < = > t^ 0

lim tan2x.tan( — - x) = lim C0t2t tant ■

x - > — ^

X —

4

b) lim

ÔN HÀM SỐ LIÊN TỤC

Hàm số Hên tục

x->x„

Xo-Hàm sỗ f liên tục trên khoang K nếu flién lục lại mọi diêm thuộc tập hợp đó.

18

Hàm sổ fliê n lục Irên đoạn [a; b] nếu (liên tục trên khoảng (a; b)

sổ liên tục tại điếm đó (trong trường hợp thương, giá trị của mẫu lại điếm đó phải khác 0).

- Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ liên lục trên tập xác định cùa chúng

định của chủng.

Bài toán 3.1; Xét sự liên tục của các hàm số:

'x “ - 3 x + 2

í(x + l)^ k h i x < 0

Giải

Do đó lim f(x) = lim (x-1) = 1 = f(2)

x-*2 x->2

b ) T acó : lim f(x ) = lim (x +1)^ = 1

x -> 0 “ x^O'"

lim f (x) = lim (x^ + 2) = 2 ít lim f (x)

x-»0^ x->0* x->0

x-»0

Bài toán 3.2: Chứng minh các hàm số sau liên lục ừên tập xác định.

'ỰỊx- 2

khi x = 2

b) g(x) = V s -2 x ^

Giải

a) Hàm số f xác định trên R.

•v/ĩx- 2

X - 2

19

Với X = 2 thì f(2) = — và lim f (x) = lim —

= lim - F- ' - = = - I = lim —7= = = — ^— — z

= — = f(2) nên f liên tục Vậy hàm số liên tục trên R.

Với mọi Xo e (-2; 2) ta có: lim g(x) = J s - 2 x ^ = f(Xp)

Do đó hàm số f liên tục trên khoảng (-2; 2)

Vậy hàm số g liên tục trên D = [-2; 2]

Bài toán 3.3: Tìm các khoảng, nửa khoảng mà hàm số liên tục

Giải

1 a) Điều kiện 2 x + l9 tO < » x íẾ - —, V ì f l à hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên

b) Điều kiện: x + 1 > O v à x > 3 o x > 3 nên D = [3; +oo)

Bài toán 3.4: Tìm các điểm gián đoạn của hàm số

-sin X - v3 cosx

Giái

y = cotx liên tục tại X kn, k e z

Do đó hàm số f(x) = tanx + 2cosx gián đoạn tại các điểm

b) Hàm số g(x) gián đoạn tại các điểm x:

20

<=> sin(x - —) = 0 < = > x - ^ = k 7 ĩ < = > x = ^ + kĩi, k e z

Bài toán 3.5: Tìm các giá trị tham số a để hàm số liên tục trên R

a)f(x)=<

2

X

a c o s í-5 k h ix < 0

b) g(x) ^ 6ax^ + khi X 5^0

Giải

2

X

x-»0" »->•<'

2

< |x|, X > 0 )

Vậy hàm số liên tục trên R < = > a-5 = 0<=>a = 5

lim f(x ) = lim x s in —= 0 (vì

x->0* x-»0* X

2

xsin —

X

liên tục

lA 6ox^ + —

= lim(6ax^ + 1)= 1

lim f(x ) = lim

x-^o x->0'

6ax^ + —

X

= lim(6ax^ -1 ) = -1

x->0

Bài toán 3.6: Tuỳ theo tham số, xét sự liên tục của hàm số:

-v/x- 1

f(x) =

ự ĩ - \

ax + b

x ' - 9

khi x > 1

khi X < -3

Giải

ự ĩ - 1

21