Hsg hh8 chuyên đề quỹ tích (tìm tập hợp điểm) ( 34 trang)

QUỸ TÍCH TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước..

CHUYÊN ĐỀ QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM)

Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai đường

thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước

Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R cho trước là đường tròn có tâm là

O và bán kính bằng R

Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc  không đổi (0   180) là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB

Đặc biệt, nếu   90 thì ta nhận được

Quỹ tích 5a: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường

kính AB

2 Các bước giải một bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

 Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H

 Giới hạn Xem điểm M chỉ thuộc một phần H1 của hình H hay cả hình H

 Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H hoặc thuộc phần H1 (nếu có giới hạn) đều có tính chất 

 Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất  là hình H (hoặc thuộc phần H1)

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho nửa đường tròn đường kính BC Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và

trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó Tìm quỹ tích điểm A

Giải

Tìm cách giải

 Nếu gọi BP, CQ là đường trung tuyến, ta luôn có APPC và AQQB Nếu lấy E đối xứng với C qua B thì BP luôn song song với AE, F đối xứng với B qua C thì CQ luôn song song với AF, mà E, F cố định Khi

G di động thì EAF  90 không đổi nên ta tìm được điểm A di chuyển trên nửa đường tròn đường kính EF

 Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nếu gọi O là trung điểm BC thì A, G, O thẳng hàng Mặt khác G là trọng

tâm nên OA3.OG không đổi Từ đó suy ra A di chuyển trên đường tròn O R;3 

Trình bày lời giải

Phần thuận

Cách 1 Trên đường thẳng BC lấy hai điểm E, F sao cho B là trung

điểm CE, C là trung điểm BF

Ta có: EF3BC cố định (1)

Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của BG và AC; CG và AB

CQ là đường trung bình của ABF nên CQ/ /AF

BP là đường trung bình của ACE nên BP/ /AE

Mà CQBP nên AF AEEAF  90 (2)

Từ (1) và (2), suy ra A di động trên đường tròn đường kính EF

Cách 2 Gọi O là trung điểm BC O cố định và A, G, O thẳng hàng

G là trọng tâm ABC nên 3

Kết luận Vậy tập hợp điểm A là cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N)

Ví dụ 2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, BC là dây cung bất kì Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CDBC Gọi P là giao điểm của AC và DO Tìm quỹ tích điểm P

Giải Tìm cách giải Ta nghiên cứu tính chất của điểm P

Ta có AC và PO là hai trung tuyến của ABD, do đó 1

AB  , như vậy E cũng là một điểm cố định và APE 90 không đổi

Như vậy quỹ tích của điểm P là xác định được

Trình bày lời giải

Phần thuận Nối AD, vì AC và DO là hai trung tuyến của ABD

nên P là trọng tâm tam giác, suy ra 1

Mà A; E là hai điểm cố định nên tập hợp điểm P là đường tròn có đường kính AE

Phần đảo Lấy điểm P bất kì thuộc đường kính AE Gọi C là giao điểm thứ hai của tia AP với đường tròn

( )O Gọi D là giao điểm của hai tia BC và OP

Ta có ACB 90 ;APE 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Kết luận Vậy quỹ tích điểm P là đường tròn đường kính AE

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O; R) và điểm P cố định nằm trong đường tròn) Dây cung AB thay đổi luôn đi qua P Tiếp tuyến tại A và B với đường tròn cắt nhau tại M Tìm quỹ tích điểm M

Giải Tìm cách giải Nhận thấy I là giao điểm của AB và MO thì I thuộc đường tròn đường kính OP và

OP OH R không đổi, suy ra H cố định Từ đó ta có lời giải

Trình bày lời giải

Phần thuận Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng OP

Gọi I là giao điểm của AB và MO

Suy ra ABMO từ đó ta có OHM OIP (g.g)



Phần đảo Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì Từ M kẻ

tiếp tuyến M A M B ,   Đường thẳng A B  cắt M O tại I

Giả sử OH cắt A B  tại P

Ta có OP OH OI OM R2



Ví dụ 4 Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Ở phía

ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn a) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm

cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác

b) Tìm quỹ tích các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho

c) Tìm quỹ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho

Vậy khi C di chuyển trên nửa đường tròn ( )O thì đường thẳng ED

đi qua điểm I cố định và đường thẳng GF đi qua điểm K cố định

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm E là nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By)

Ta có BACKAG  90 CAK;BAKA (chứng minh câu a)

    (c.g.c) ACB AGK  90

C

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm G là nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax)

c)  Tìm quỹ tích điểm D

Phần thuận Ta có ADI   mà A, I cố định nên điểm D thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái 90

AI)

Phần đảo Lấy điểm D bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI) Dựng hình vuông BCDE

(thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ)

Suy ra D, I, E thẳng hàng (vì DI, DE cùng vuông góc với AD)

Ta có ABCEBD  90 CBI;BABI (chứng minh câu a)

    (c.g.c) ACBIEB 90

C

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm D là nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI)

 Tìm quỹ tích điểm F

Phần thuận Ta có BFK  90 mà B, K cố định nên điểm F thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK)

Phần đảo Lấy điểm F bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK) Dựng hình vuông AGFC

(thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ)

Suy ra G, F, K thẳng hàng (vì GK, FK cùng vuông góc với BK)

Ta có BACKAG  90 CAK;BAKA (chứng minh câu a)

    (c.g.c) ACB AGK  90

C

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm F là nửa đường tròn đường kính BK (bên trái BK)

C Bài tập vận dụng

1 Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Một đường tròn ( )O thay đổi

luôn đi qua A và B, gọi DE là đường kính của đường tròn ( )O vuông góc với d CD và CE cắt đường tròn

( )O lần lượt tại M và N Khi đường tròn ( )O thay đổi thì hai điểm M và N di động trên đường cố định nào?

2 Cho đường tròn ( ; )O R và đoạn thẳng AB cố định nằm bên ngoài đường tròn ( )O Gọi C là một điểm chuyển động trên đường tròn Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC

3 Cho đường tròn ( )O nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đưnòg thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By

4 Cho đường tròn ( )O và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho ADAC Gọi M là trung điểm của CD Hỏi M di chuyển trên đường

nào? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó

5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm M chuyển động trên đường tròn đó Gọi H là hình chiếu của

điểm M trên AB Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OMH

6 Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy Dựng hình vuông

ABCD nằm trong góc xOy Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo của hình vuông này

7 Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc

hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d Một điểm H chuyển động trên đoạn AB Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC Tìm quỹ tích điểm M

8 Cho đường tròn ( ; )O R và tam giác cân ABC có ABAC nội tiếp đường tròn ( ; )O R Kẻ đường kính AI Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC Gọi Mx là tia đối của tia MC Trên tia đối của tia MB lấy điểm

D sao cho MDMC

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx

b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn ( )O Tứ giác MIKD là hình gì? Vì sao?

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm

trên một đường tròn cố định

9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa của nửa đường tròn M là điểm

chuyển động trên cung BC Gọi N là giao điểm của AM và OC Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB Tìm tập hợp điểm I

 CMB và CAD có: CMBCAD (do tứ giác ABMD

nội tiếp); ACD là góc chung

Vậy: CMB CAD (g.g)

Phần đảo Lấy G thuộc đường tròn tâm O bán kính 1

3R qua O kẻ đường thẳng song song với O G  cắt

Phần thuận Ta có AOBAMB  (giả thiết) 90

 tứ giác AOBM luôn nội tiếp

45

    (vì AOB vuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với đường PQ một góc 45

Trường hợp B ở vị trí B thì M nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với PS một góc 45

Giới hạn

*) Khi AH thì M Q, khi AK thì M S

*) Trường hợp B ở vị trí B: khi AH thì M P, khi AK

thì M R

Phần đảo Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc Mtrên PR),

qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt ( )O tại

A

Kẻ bán kính OBOA

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45 )

Suy ra: AMB AOB 90

Mà AM/ /PQ PQ, PSMB/ /PS

Kết luận Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS

4 Tam giác ACD cân tại A nên BAC2ADC (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI/ /BD (đường trung bình

của tam giác BCD); nên

(BOC không đổi)

Do đó M chạy trên cung tròn nhìn IC dưới góc

4

 cùng phía với

điểm A đối với đường thẳng BC không đổi

Cách dựng Gọi I là trung điểm của BC Dựng tia OI cắt đường

tròn ( )O tại N, ta có:

1

2

Dựng tia IN/ /BN , dựng đường thẳng qua I và vuông góc với IN cắt trung trực đoạn IC tại O1

Đường tròn tâm O1 và đi qua C là đường cần dựng Khi A chạy trên cung lớn BC tới trùng với B thì D trùng

với D0 trên tiếp tuyến Bt của ( )O và BD0 BC Khi đó M trùng với M0 là trung điểm của CD0

Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM0 của đường tròn (O1)

5 Phần thuận Xét với M thuộc đường tròn sao cho AM MB

Ta có HMOHOM  90 (vì HMO vuông tại H) mà I là tâm đường tròn nội tiếp HMO

Kết luận Vậy quỹ tích điểm I là bốn cung chứa góc 135 dựng trên đoạn OA; OB

6 Phần thuận Tứ gíc AIBO là tứ giác nội tiếp vì có AIBAOB180

Suy ra IOBIAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB)

Do đó IOA  nên OI là tia phân giác của góc AOB 45

Vậy điểm I chạy trên tia phân giác của góc xOy

Giới hạn Vẽ hình vuông AOC D1 1 nằm trong góc xOy

Vì điểm B chỉ chạy trên tia phân Ox nên khi B trùng với O thì C trùng với C1, khi đó I trùng với I1 là giao điểm của OD1 với AC1

Phần đảo Lấy điểm I thuộc tia I t1 Nối AI

Trên nửa mặt phẳng bờ AI chứa điểm O, vẽ tia AB (B thuộc

Ox) sao cho I AB   45

Gọi C D , lần lượt là các điểm đối xứng của A và B qua I Chỉ

cần chứng minh rằng I là giao điểm hai đường chéo của hình

vuông AB C D  

Kết luận Tập hợp các điểm I là tia I t1 thuộc tia phân giác Ot của

góc xOy

7 Phần thuận Đặt AB2 ,R AC2R thì R R là các độ dài không đổi

Trong tam giác vuông ADB và AEC, ta có:

2 ; 2

Từ đó suy ra AD AE 2AH RR

Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn vì ADMAEM 180

Suy ra AMD AED

Từ đó điểm M chạy trên đường tròn tâm A bán kính RR

Giới hạn Vì H chuyển động trên đoạn AB nên:

- Khi H trùng với A thì D trùng với A, khi đó M trùng với M1 như hình vẽ

Khi H trùng với B thì M trùng với M2 như hình vẽ

Vậy nên H chạy trên cung M M1 2

Phần đảo Lấy điểm M thuộc cung M M1 2 Các tia M B và CM; cắt các nửa đường tròn đường kính AB,

AC lần lượt ở D E , Các bạn có thể tự chứng minh D E  vuông góc với AB

Kết luận Quỹ tích M là cung M M1 2 thuộc đường tròn tâm A bán kính RR

Vậy: AMBAMx hay MA là tia phân giác của BMx

b) Tam giác MCD cân

2

BMC

   (góc ngoài của tam giác)

Lại có tam giác ABC cân

 I là điểm chính giữa của cung BC

2 90

    (góc ở tâm đường tròn ( )I )

 có ICIN CIN;  90

ICN

  vuông cân tại I NCI  45

Mà NCI  45 (vì OBC cân)

Suy ra C, I, B thẳng hàng

Do đó I thuộc đường thẳng BC

Giới hạn Khi M tiến tới B thì I tiến tới I1 (I1 là trung điểm đoạn thẳng BC)

Khi M tiến tới C thì I tiến tới C

Vậy I chuyển động trên đoạn thẳng I C1 thuộc đoạn thẳng BC

Phần đảo Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng I C1 Vẽ đường tròn ( ;I IC) cắt OC tại N Gọi M là giao

điểm thứ hai của đoạn thẳng AN với ( )I

Ta có ICIN ICN cân mà NCI   45 CNI   45 CIN 90

2

Ta có CMNCBA  45  ACMB là tứ giác nội tiếp M thuộc nửa đường tròn ( )O

Kết luận Tập hợp các điểm I là đoạn thẳng CI1 (với I1 là trung điểm đoạn thẳng BC)

D.BÀI TOÁN LUYỆN THÊM ( Nếu cần )

Câu 1 Cho đường tròn O , Alà điểm cố định nằm ngoài đường tròn O OBC là đường kính quay quanh O Tìm tập hợp tâm I đường ngoại tiếp tam giác ABC

C

B A

I

Khi BOC qua A thì I I1 (I1 là trung điểm của AD)

Khi BOC không qua A thì I chạy xa vô tận trên đường thẳng d

Vậy I chuyển động trên đường thẳng d (trừ điểm I1 là trung điểm AD là đường trung trực của đoạn thẳng AD

c) Phần đáo: Lấy điểm I bất kỳ thuộc đường thẳng d I I1 Vẽ đường tròn I IA; cắt đường tròn

O tại B BO cắt I IA; tại C Ta có: IA ID D thuộc đường tròn tâm I bán kính

OA)trừ điểm I1 ( I1 là trung điểm của đoạn thẳng AD)

Câu 2 Cho đường tròn O R; đường kính AB Vẽ đường thẳng d vuông góc với AB tại I I AB Gọi M là điểm chuyển động trên đường tròn O R; MAvà MB lần lượt cắt d tại C và D Tìm tập hợp các tâm J của đường tròn qua ba điểm A D C, ,

Hướng dẫn:

a) Phần thuận: Gọi E là điểm đối xứng của B qua d E cố định

0

CAI BDC (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra EDC CAI tứ giác EDCA nội tiếp

đường tròn qua ba điểm A D C, ,

đi qua hai điểm cố định A E,

Vậy tâm I của đường tròn

qua ba điểm A D C, , thuộc

O C

+ Khi M M2 thì J J2 (M2 là trung điểm AB; J M2 2 OM J2, 2 d

Do đó J chuyển động trên hai tia J x J y1 , 2 của đường trung trực của đoạn thẳng AE

c)Phần đảo: Lấy điểm J bất kỳ trên tia J x1 (hoặc J y2 ) Vẽ đường tròn J JA; cắt d tại C D,

AC cắt BD tại M

Ta có: JE JA (Jthuộc trung trực của AE) E J JA,

ACI DEA (EDCA nội tiếp J ); DBE DEA (B E, đối xứng qua d )

Suy ra ACI DBE tứ giác ICMB nội tiếp đường tròn

Mà CIB 900 CMB 900 M thuộc đường tròn O

d)Kết luận: Tập hợp các tâm J đường tròn qua ba điểm A D C, , là hai tia J y1 của đường trung trực của đoạn thẳng AE

Câu 3 Cho ba điểm cố định A B C, , thẳng hàng theo thứ tự đó Trên đường thẳng d vuông góc AB tại

B lấy điểm bất kỳ D Gọi H là trực tâm của tam giác DAC Tìm tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH

BD BC Suy ra: BD BH. AB BC. (không đổi) (1)

Xét BAD và BHE có: B chung, BAD BHE (tứ giác ADHE nội tiếp) Do đó:

BD BH AB BC BABE BC BE E thuộc đường thẳng cố định AB suy ra E cố định

OA OE (O là tâm đường tròn DAH ) O thuộc đường thẳng cố định , m là đường trung trực của đoạn thẳng AE

M E

C B

A

b) Giới hạn: D chuyển động trên cả đường thẳng d nên O chuyển động trên cả đường thẳng m (loại trừ điểm m là giao điểm của AC và m )

c) Phần đảo: Lấy O bất kỳ trên đường thẳng m Vẽ đường tròn O OA; cắt đường thẳng d lần lượt tại ,

H D

OA OE nên E O OA; Xét BAD và BHE có: B chung; BAD BHE (tứ giác ADHE nội

tiếp) Suy ra: BAD BHE BA BD BABE BD BH

d) Kết luận: Tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH là đường trung trực m của đoạn thẳng AE (trừ điểm M là giao điểm của AC với m (với E là điểm đối xứng của C qua B)

Câu 3 Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn O R; có AB AC R 2 M là điểm

chuyển động trên cung nhỏ AC

đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Tìm tập hợp các điểm I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

C B

A

Khi M A thì I chạy xa vô tận trên tia Cx

Vậy I chuyển động trên tia Cx vuông góc với AC tại C

c) Phần đảo: Lấy Ibất kỳ thuộc tia Cx Vẽ đường tròn I IC; , đường tròn này cắt BC tại B, cắt O tại

M M C D; C Tứ giác BAMC nội tiếp ABC AMC 1800 AMC 1350

0

1

452

d) Kết luận: Tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp MCD là tia Cx vuông góc với AC tại C

Câu 4 Cho đường tròn O R; và điểm A cố định Đường tròn tâm I di động qua A cắt O tại B C, Gọi M là giao điểm của BC và tiếp tuyến tại A của đường tròn I Tìm tập hợp các điểm M

Hướng dẫn:

a) Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến MD với O D O

Xét MAC và MBA có M chung,

MAC MBA,(góc tạo bởi tia

tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp

C B

A

b) Giới hạn: O chuyển động trên cả đường thẳng d

c) Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc đường thẳng d Vẽ cát tuyến MBC với O B C, O , vẽ đường tròn I qua A B C, , vẽ tiếp tuyến MDvới O D O

Xét MCDvà MDB có M (chung), MDC MBD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CD của O )

2

MAC AIK Mặt khác AKI có K 900 AIK IAK 900 nên

0

90

MAC IAK IAM 900, do đó MA là tiếp tuyến của I

d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với OA tại H (với

212

C D

B

A

(định lý tiếp tuyến), OB OC R

suy ra DO là trung trực của BC DO BC

Xét OMA và OHD có O chung, OMA OHD 900 Do đó

OMA OHD OA OM OAOH OM OD

OA (không đổi) H cố định Vậy D thuộc

đường thẳng cố định d vuông góc với đường thẳng OA tại H

b) Giới hạn: BC quay quanh A nên D chuyển động trên đường thẳng d

c) Phần đảo: Lấy D bất kỳ trên đường thẳng d Vẽ dây BC qua A và vuông góc với OD tại

suy ra OMB OBD; mà OMB 900 nên OBD 900 DB là tiếp tuyến của O

Tương tự DC là tiếp tuyến của O

d) Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường thẳng d vuông góc với OA tại H (với

2

R OH

OA)

Câu 6 Cho đường tròn O R; và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn Cát tuyến m qua A cắt đường tròn O tại B và C Tiếp tuyến tại B và C với đường tròn O cắt nhau tại D Tìm tập hợp các điểm D

M B A

D