Xác suất thống kê - Khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất thống kê Chương 1 - Bài tập có lời giải.

Ch÷ìng 1: Kh¡i Ni»m Cì B£n V· Lþ Thuy¸t X¡c

Su§t

Ng y 17 th¡ng 10 n«m 2021

1 Gåi C = X ∩ Y Khi â C x£y ra khi

(a) X x£y ra (b) Y x£y ra

(c) X x£y ra ho°c Y x£y ra (d) X x£y ra v  Y x£y ra

2 Mët hëp chùa 5 s£n ph©m tèt v  3 s£n ph©m x§u L§y ng¨u nhi¶n ra 3 s£n ph©m Gåi Ai l  bi¸n

cè ÷ñc i s£n ph©m tèt trong 3 s£n ph©m l§y ra (i = 0, 1, 2, 3) A l  bi¸n cè ÷ñc khæng qu¡ 2 tèt trong 3 s£n ph©m l§y ra Kh¯ng ành óng l :

(a) A = A2 (b) A = A2∪ A3 (c) A = A0∪ A1 (d) A = A0∪ A1 ∪ A2

3 X¸p ng¨u nhi¶n 5 ng÷íi v o mët d¢y gh¸ câ 5 ché trong â câ Lan v  i»p T½nh x¡c su§t º Lan v  i»p ngçi ð hai ¦u kh¡c nhau cõa d¢y gh¸

(a) 1/20 (b) 1/10 (c) 1/120 (d) 1/30

Gi£i

ˆ Ω:X¸p 5 ng÷íi v o mët d¢y gh¸ câ 5 ché =⇒ nΩ = 5!

ˆ A: Lan v  i»p ngçi ð hai ¦u kh¡c nhau cõa d¢y gh¸.

 Lan v  i»p câ 2 c¡ch chån ché

 3 ng÷íi cán l¤i câ 3! c¡ch chån ché

=⇒ nA= 2 × 3!

Nh÷ vªy,

P (A) = nA

nΩ =

2 × 3!

5! =

1 10

4 Hëp thù nh§t câ 2 bi ä, 3 bi xanh, 5 bi v ng Hëp thù hai câ 4 bi ä, 2 bi xanh v  4 bi v ng L§y ng¨u nhi¶n tø méi hëp 1 bi T½nh x¡c su§t l§y ÷ñc 2 bi còng m u

(a) 0.64 (b) 0.34 (c) 0.44 (d) 0.54

Gi£i Sè ph¦n tû cõa khæng gian m¨u Ω l  nΩ = C101 × C1

10= 100 Gåi A l  bi¸n cè l§y ÷ñc 2 bi còng m u

nA = C21C41+ C31C21+ C51C41 = 34 Vªy

P (A) = 34

100 = 0.34

5 Câ 3 ng÷íi kh¡ch v o 4 qu¦y h ng mët c¡ch ng¨u nhi¶n X¡c su§t 3 ng÷íi n y v o còng 1 qu¦y

l :

(a) 1/64 (b) 3/8 (c) 3/64 (d) 1/16

Gi£i Gåi A l  bi¸n cè 3 ng÷íi kh¡ch n y v o còng mët qu¡n Vªy

A = còng qu¡n 1, còng qu¡n 2, còng qu¡n 3, còng qu¡n 4

Sè c¡ch s­p x¸p 3 ng÷íi kh¡ch v o 4 qu¦y h ng l  nΩ = 43

Vªy

P (A) = nA

nΩ =

4

43 = 1 16

6 Hai x¤ thõ b­n (ëc lªp) méi ng÷íi mët vi¶n ¤n v o mët möc ti¶u, x¡c su§t b­n tróng l¦n l÷ñt

l  0.7 v  0.8 X¡c su§t c£ 2 ng÷íi còng b­n tróng möc ti¶u l :

(a) 0.7 (b) 0.56 (c) 1.5 (d) 0.94

Gi£i

ˆ Gåi A l  bi¸n cè x¤ thõ thù nh§t b­n tróng

ˆ Gåi B l  bi¸n cè x¤ thõ thù hai b­n tróng

=⇒ C = A ∩ B l  bi¸n cè c£ 2 x¤ thõ b­n tróng möc ti¶u Vªy

P (C) = P (A ∩ B) = P (A)P (B) = 0.7 × 0.8 = 0.56

7 Câ 3 m¡y còng s£n xu§t mët lo¤i linh ki»n, t¿ l» ph¸ ph©m t÷ìng ùng l  0.02; 0.04 v  0.03 Chån mët m¡y º s£n xu§t 1 linh ki»n, bi¸t x¡c su§t º m¡y ÷ñc chån t÷ìng ùng l  0.5; 0.3 v  0.2 Bi¸t linh ki»n ÷ñc s£n xu§t ra l  tèt, t½nh x¡c su§t º linh ki»n n y do m¡y 2 s£n xu§t

(a) 19.96% (b) 29.63% (c) 50.41% (d) 97.2%

Gi£i

ˆ Gåi B l  bi¸n cè linh ki»n ÷ñc s£n xu§t ra l  tèt

ˆ Gåi A1 l  bi¸n cè m¡y I ÷ñc chån º s£n xu§t

ˆ Gåi A2 l  bi¸n cè m¡y II ÷ñc chån º s£n xu§t

ˆ Gåi A3 l  bi¸n cè m¡y III ÷ñc chån º s£n xu§t

Hå {Ai}, i = 1, 2, 3 l  hå bi¸n cè ¦y õ Theo cæng thùc x¡c su§t ¦y õ

P (B) = P (A1)P (B|A1) + P (A2)P (B|A2) + P (A3)P (B|A3) + P (A4)P (B|A4)

= 0.5 × (1 − 0.02) + 0.3 × (1 − 0.04) + 0.2 × (1 − 0.03)

= 0.972 Theo cæng thùc Bayes, linh ki»n ÷ñc s£n xu§t l  tèt tø m¡y II l 

P (A2|B) = P (A2)P (B|A2)

P (B) =

0.3 × (1 − 0.04) 0.972 = 0.2963

8 C¡c s£n ph©m ÷ñc s£n xu§t ëc lªp tø mët d¥y chuy·n tü ëng vîi x¡c su§t s£n xu§t ra ph¸ ph©m ð méi l¦n s£n xu§t l  0.003 T½nh x¡c su§t trong 1000 s£n ph©m lo¤i n y câ 2 ph¸ ph©m (a) 0.067 (b) 0.317 (c) 0.224 (d) 0.195

Gi£i

ˆ Vi»c s£n xu§t 1000 s£n ph©m ch½nh l  thüc hi»n mët d¢y n = 20 ph²p thû Bernoulli;

ˆ X¡c su§t s£n xu§t ra ph¸ ph©m ð méi l¦n s£n xu§t l  p = 0.003;

X¡c su§t º trong 1000 s£n ph©m lo¤i n y câ k = 2 ph¸ ph©m., theo cæng thùc Bernoulli

P (1000; 2; 0.003) = C10002 × 0.0032× (1 − 0.003)1000−2 = 0.224

9 Mët hëp bi câ 8 bi tr­ng, 2 bi xanh L§y l¦n l÷ñt câ ho n l¤i 2 l¦n, méi l¦n chån mët bi T½nh x¡c su§t º c£ hai l¦n ·u l§y ÷ñc bi tr­ng

(a) 0.64 (b) 0.37 (c) 0.32 (d) 0.25

Gi£i

ˆ V¼ chån câ tr£ l¤i sau méi l¦n n¶n câ 82 c¡ch chån ÷ñc 2 qu£ tr­ng

ˆ Têng sè c¡ch chån 2 bi câ ho n l¤i l  102 c¡ch

Nh÷ vªy x¡c su§t º c£ hai l¦n ·u l§y ÷ñc bi tr­ng l :

P = 8

2

102 = 0.64

10 Trong kho chùa c¡c s£n ph©m còng lo¤i do m¡y 1 v  2 s£n xu§t T¿ l» ch½nh ph©m (khæng l  ph¸ ph©m) cõa m¡y 1 v  2 t÷ìng ùng l  0.88; 0.9 Sè s£n ph©m cõa m¡y 1 trong kho g§p 3 l¦n

sè s£n ph©m cõa m¡y 2 trong kho L§y ng¨u nhi¶n mët s£n ph©m tø kho º kiºm tra th¼ nhªn

÷ñc 1 ph¸ ph©m T½nh x¡c su§t ph¸ ph©m â do m¡y 2 s£n xu§t

(a) 12/23 (b) 18/23 (c) 7/23 (d) 5/23

Gi£i

ˆ Gåi B l  t¿ l» ph¸ ph©m cõa m¡y

ˆ Gåi M1 l  t l» s£n ph©m do m¡y 1 s£n xu§t

ˆ Gåi M2 l  t l» s£n ph©m do m¡y 2 s£n xu§t

Ta câ sè s£n ph©m cõa m¡y 1 trong kho g§p 3 l¦n sè s£n ph©m cõa m¡y 2 trong kho

=⇒ P (M1) = 34 v  P (M2) = 14

M°t kh¡c, {M1, M2} l  hå bi¸n cè ¦y õ Theo cæng thùc x¡c su§t ¦y õ ta câ

P (B) = P (M1)P (B|M1) + P (M2)P (B|M2)

= 3

4 · 0.12 + 1

4· 0.1

= 0.115 Vªy x¡c su§t ph¸ ph©m do m¡y 2 s£n xu§t l 

P (M2|B) = P (M2)P (B|M2)

P (B) =

1/4 · 0.1 0.115 =

5

23.

Answer Key:

1 (d) X x£y ra v  Y x£y ra

2 (d) A = A0 ∪ A1∪ A2

3 (b) 1/10

4 (b) 0.34

5 (d) 1/16

6 (b) 0.56

7 (b) 29.63%

8 (c) 0.224

9 (a) 0.64

10 (d) 5/23