Đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính
A Trong quy hoạch tuyến tính người ta hay xét hai dạng bài toán sau đây.
Dạng chuẩn tắc của bài toán tối ưu hóa là: min f (x) = c^T x với các ràng buộc Ax ⩾ b và x ⩾ 0, trong đó A thuộc R^{m×n}, b thuộc R^n, và x thuộc R^n_+ Tập ràng buộc D = {x ∈ R^n : Ax ⩾ b, x ⩾ 0} là một tập lồi đa diện.
Dạng chính tắc của bài toán tối ưu hóa được biểu diễn như sau: min f (x) = c^T x với các ràng buộc Ax = b và x ⩾ 0 Trong đó, A, b, c và x được xác định rõ ràng Tập ràng buộc D = {x ∈ R^n : Ax = b, x ⩾ 0} là một tập lồi đa diện Việc chuyển đổi giữa dạng chuẩn tắc và dạng chính tắc là dễ dàng và thuận tiện.
Trong bài toán tối ưu hóa, hàm mục tiêu f(x) là yếu tố chính, trong khi các bất phương trình (Ax) i ⩾ b i và phương trình (Ax) i = b i được gọi là ràng buộc chính Các ràng buộc không âm, x j ≥ 0 với j = 1, , n, xác định các giá trị không âm cho biến Điểm x ∈ D được xem là một nghiệm chấp nhận được, và một phương án tối ưu là nghiệm đạt cực tiểu của hàm mục tiêu f(x) Mỗi bài toán quy hoạch tuyến tính, hay bài toán gốc, luôn đi kèm với một bài toán đối ngẫu, cho phép suy ra nghiệm tối ưu của bài toán này từ nghiệm tối ưu của bài toán kia.
B Sau đây là hai dạng cặp bài toán đối ngẫu thường gặp.
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc (bài toán gốc) (P) min f (x) = c T x : Ax ⩾ b, x ⩾ 0 là bài toán qui hoạch tuyến tính (bài toán đối ngẫu):
(Q) max g(y) = b T y : A T y ⩽ c, y ⩾ 0 ( A T là ma trận chuyển vị của ma trận A ).
• Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (bài toán gốc): luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
(P) min f (x) = c T x : Ax = b, x ⩾ 0 là bài toán qui hoạch tuyến tính (bài toán đối ngẫu):
Có thể dễ dàng xác minh rằng việc lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu sẽ trở lại bài toán gốc Do đó, chúng ta gọi (P) và (Q) là cặp bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu.
Các kết quả sau đây áp dụng cho cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) dạng bất kỳ Định lý 1.1.1 (Đối ngẫu yếu) khẳng định rằng nếu x là lời giải chấp nhận được của bài toán gốc (P) và y là lời giải chấp nhận được của bài toán đối ngẫu (Q), thì giá trị mục tiêu của bài toán gốc không nhỏ hơn giá trị mục tiêu của bài toán đối ngẫu Định lý 1.1.2 (Đối ngẫu mạnh) chỉ ra rằng nếu một qui hoạch có nghiệm tối ưu, thì qui hoạch đối ngẫu cũng có nghiệm tối ưu và hai giá trị tối ưu này bằng nhau Cuối cùng, Định lý 1.1.3 (Định lý đối ngẫu cơ bản) nêu rõ rằng đối với một cặp bài toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, chỉ có một trong ba khả năng loại trừ nhau: cả hai bài toán đều không có nghiệm chấp nhận được.
Cả hai bài toán đều có nghiệm chấp nhận được, với nghiệm tối ưu và giá trị tối ưu của hai hàm mục tiêu bằng nhau.
Một trường hợp đặc biệt xảy ra khi một bài toán có nghiệm chấp nhận được trong khi bài toán kia không có nghiệm Khi đó, bài toán có nghiệm chấp nhận được sẽ đạt giá trị tối ưu vô cực, có thể là +∞ nếu là bài toán cực đại hoặc −∞ nếu là bài toán cực tiểu Điều này cho thấy sự khác biệt quan trọng giữa hai bài toán và cách chúng được giải quyết.
Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu nhau được thể hiện qua Định lý độ lệch bù Theo Định lý 1.1.4, một cặp nghiệm chấp nhận được \(x\) và \(y\) của hai qui hoạch tuyến tính đối ngẫu (P) và (Q) là cặp nghiệm tối ưu nếu và chỉ nếu chúng thỏa mãn các hệ thức nhất định.
Bài toán quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính
Hàm lõm và tính chất
Trước khi trình bày bài toán quy hoạch lõm, cần nhắc lại khái niệm về hàm lõm trong không gian R n và một số tính chất cơ bản của nó Cụ thể, hàm f: R n → R được gọi là hàm lõm nếu thỏa mãn điều kiện: \$$f (λx+ (1−λ)y) ⩾ λf (x) + (1−λ)f (y) \quad \forall x, y ∈ R n, \forall λ ∈ [0,1]\$$
Với n = 1, bất đẳng thức cho thấy rằng dây cung nối hai điểm bất kỳ trên đồ thị của hàm phải nằm dưới đồ thị của hàm trong đoạn đó Định nghĩa hàm tựa lõm: Hàm f: R n → R được gọi là tựa lõm nếu thỏa mãn điều kiện \( f (λx+ (1−λ)y) \geq \min\{f (x), f (y)\} \) cho mọi \( x, y \in R n \) và mọi \( λ \in [0,1] \).
Bất đẳng thức cho thấy rằng giá trị của hàm f tại bất kỳ điểm nào trong đoạn thẳng [x, y] không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất của hàm tại hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Hàm lõm là một loại hàm tựa lõm, nhưng không phải mọi hàm tựa lõm đều là hàm lõm Chẳng hạn, hàm \( f(x) = x^3 \) (với \( x \in \mathbb{R} \)) là hàm tựa lõm nhưng không phải là hàm lõm trên tập số thực \( \mathbb{R} \) Do đó, lớp hàm tựa lõm bao gồm nhiều hàm hơn so với lớp hàm lõm.
Khác với hàm lồi, điểm cực tiểu địa phương của hàm lõm không nhất thiết là điểm cực tiểu toàn cục Định lý 1.2.3 chỉ ra rằng cực tiểu của hàm lõm f trên một đoạn thẳng đạt tại một đầu mút của đoạn đó, và nếu f hữu hạn và bị chặn dưới trên một nửa đường thẳng, thì cực tiểu đạt tại điểm gốc Định lý 1.2.4 khẳng định rằng nếu hàm lõm f đạt cực tiểu trên tập lồi C tại điểm trong tương đối x*, thì f bằng hằng số trên C, và tập Argmin x∈C f(x) là hợp của một số diện của C Cuối cùng, theo Định lý 1.2.5, nếu C là tập lồi, đóng và không chứa đường thẳng nào, thì cực tiểu của f(x) trên C bằng cực tiểu trên tập các điểm cực biên V(C).
Hệ quả 1.2.6 chỉ ra rằng, với hàm lõm f(x) trên tập lồi đa diện D không chứa đường thẳng, thì f(x) sẽ không bị chặn dưới trên một cạnh vô hạn nào đó của D, hoặc nó sẽ đạt cực tiểu tại một đỉnh nào đó của D.
Hệ quả 1.2.7 Hàm lõm f(x) trên tập lồi compac C đạt cực tiểu tại một điểm cực biên của C.
Tính chất trong Hệ quả 1.2.7 áp dụng cho lớp hàm tựa lõm, tức là các hàm \( f: \mathbb{R}^n \to [-\infty, +\infty] \) với các tập mức trên \( L_\beta = \{ x \in \mathbb{R}^n : f(x) \geq \beta \} \) là lồi cho mọi \( \beta \in \mathbb{R} \) Ngoài ra, cận dưới của một họ hàm tựa lõm cũng là hàm tựa lõm, nhưng tổng của hai hàm tựa lõm không nhất thiết là hàm tựa lõm.
Hàm lồi là đối của hàm lõm, do đó các kết luận liên quan đến hàm lõm cũng áp dụng cho hàm lồi, chỉ cần thay thế cực tiểu bằng cực đại và điều kiện bị chặn dưới bằng bị chặn trên.
Bài toán quy hoạch lõm
(Cực tiểu hàm lõm hay cực đại hàm lồi) Xét bài toán tối ưu có dạng:
Tối thiểu hóa hàm lõm \( f(x) \) trong tập lồi đóng \( C \) được biểu diễn bằng công thức \( \min \{ f(x) : x \in C \} \).
C = {x : g(x) ⩽ 0} với g(x) là một hàm lồi Đặc biệt quan trọng là trường hợp
C là tập lồi đa diện Khi đó bài toán được gọi là một quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính.
Quy hoạch tuyến tính và quy hoạch lồi là những bài toán thuộc lớp một cực trị, trong đó hàm mục tiêu chỉ có tối đa một giá trị cực tiểu Sự xuất hiện của nhiều giá trị cực tiểu trong một bài toán thường là do tính không lồi của nó Nhìn chung, các bài toán có nhiều yếu tố không lồi sẽ trở nên khó khăn hơn, và bài toán quy hoạch lõm là một ví dụ điển hình cho loại bài toán này.
Quy hoạch lõm là một bài toán cơ bản trong tối ưu toàn cục, nổi bật nhờ tính phổ biến và khả năng quy về nhiều bài toán tối ưu khác Bài viết sẽ chỉ ra rằng bài toán quy hoạch song tuyến tính có thể được diễn đạt như một bài toán quy hoạch lõm, với hàm mục tiêu là hàm lõm, tuyến tính từng khúc và các ràng buộc tuyến tính.
Bài toán quy hoạch song tuyến tính
Phát biểu bài toán
Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc song tuyến tính được gọi là bài toán song tuyến tính (bilinear problem), và chúng có thể được xem như một lớp con của quy hoạch toàn phương (quadratic programming).
Quy hoạch song tuyến tính có nhiều ứng dụng trong các trò chơi ma trận có ràng buộc, bài toán bù và bài toán phân việc 3 chiều, Markovian Nhiều bài toán nguyên 0 - 1 có thể được chuyển đổi thành các bài toán song tuyến tính Bên cạnh đó, bài toán quy hoạch lõm tuyến tính từng khúc và bài toán luồng trên mạng với phụ phí cố định, thường gặp trong quản lý chuỗi cung ứng, cũng có thể được giải quyết thông qua phương pháp song tuyến tính.
Bài toán quy hoạch song tuyến tính có nhiều dạng, nhưng phần lớn các bài toán thực tiễn đều có hàm mục tiêu và ràng buộc tuyến tính Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu bài toán song tuyến tính ký hiệu là BP, với hàm mục tiêu là \$f(x, y) = a^T x + x^T Qy + b^T y\$ và các tập hợp \$X, Y\$ là các tập lồi đa diện không rỗng Bài toán BP còn được gọi là bài toán song tuyến tính với miền ràng buộc rời nhau, vì tính chấp nhận của \$x(y)\$ độc lập với việc chọn véctơ \$y(x)\$.
Quan hệ với bài toán quy hoạch lõm
Dưới đây ta sẽ đề cập tới một số kết quả lý thuyết về sự tương đương giữa bài toán song tuyến tính và bài toán cực tiểu lõm.
ChoV(x)vàV(y)lần lượt là tập đỉnh củaX vàY, vàg(x)=min y∈Y f (x, y)
Bài toán tối ưu có thể được biểu diễn dưới dạng \$a^T x + \min_{y \in Y} (x^T Qy + b^T y)\$, trong đó \$\min_{y \in Y} f(x, y)\$ là một bài toán tuyến tính Do nghiệm của bài toán tuyến tính đạt tại đỉnh của miền chấp nhận được, ta có thể viết lại hàm g(x) như sau: \$g(x) = \min_{y \in Y} f(x, y) = \min_{y \in V(Y)} f(x, y)\$ Sử dụng ký hiệu này, bài toán BP có thể được phát biểu lại thành: \$\min_{x \in X, y \in Y} f(x, y) = \min_{x \in X} \{\min_{y \in Y} f(x, y)\} = \min_{x \in X} \{\min_{y \in V(Y)} f(x, y)\} = \min_{x \in X} g(x)\$.
Tập hợp Y là hữu hạn, và với mỗi y ∈ Y, hàm f(x, y) là một hàm tuyến tính theo x Do đó, hàm g(x) trở thành hàm lõm tuyến tính từng khúc Nhận xét này cho thấy bài toán BP tương đương với việc tối thiểu hóa hàm lõm tuyến tính từng khúc với các ràng buộc tuyến tính.
Bất kỳ bài toán cực tiểu với hàm mục tiêu lõm, tách biến và tuyến tính từng khúc đều có thể được chuyển đổi thành bài toán quy hoạch song tuyến tính Để thiết lập mối quan hệ này, chúng ta xem xét bài toán tối ưu sau: min\$x \in X\$.
Trong đó, X là tập hợp các vectơ không rỗng, bao gồm các vectơ chấp nhận được Hàm Φ i (x i ) là hàm lõm, tuyến tính từng khúc của biến x i.
c 1 i x i + s 1 i (= Φ 1 i (x i )), x i ∈ λ 0 i , λ 1 i c 2 i x i + s 2 i (= Φ 2 i (x i )), x i ∈ λ 0 i , λ 2 i c n i i x i +s n i i (= Φ n i i (x i )), x i ∈ λ n i i −1 , λ n i i Với c 1 i > c 2 i > > c n i i Cho K i = {1, 2, , n i } Hàm có thể viết lại như sau: Φ i (x i ) = min k∈K i Φ k i (x i ) = min k∈K i c k i x i +s k i (3) Lập bài toán quy hoạch song tuyến tính sau đây: x∈X,y∈Ymin f(x, y) = P i
Định lý 1.3.2 chứng minh rằng nếu (x ∗ , y ∗ ) là nghiệm tối ưu của bài toán (4), thì x ∗ cũng là nghiệm tối ưu của bài toán (2), mà không yêu cầu X phải là một đa diện lồi Trong trường hợp X là một đa diện lồi, cấu trúc của bài toán (4) sẽ tương đương với bài toán (BP).
Có thể chuyển đổi bất kỳ bài toán cực tiểu hàm lõm toàn phương thành bài toán quy hoạch song tuyến tính Cụ thể, xem xét bài toán tối ưu sau: \$$\min_{x \in X} \Phi(x) = 2a^T x + x^T Qx.\$$
Trong đó Q là một ma trận bán đối xứng, nửa xác định âm Ta xây dựng bài toán quy hoạch song tuyến tính như sau: x∈X,y∈Ymin f(x, y) = a T x+a T x+x T Qy (6)
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các nghiệm của hai bài toán khác nhau Cụ thể, nếu \( x^* \) là một nghiệm của bài toán (5), thì cặp \( (x^*, x^*) \) sẽ là một nghiệm của bài toán (6) Ngược lại, nếu \( (b_x, y_b) \) là một nghiệm của bài toán (6), thì các giá trị \( x_b \) và \( y_b \) cũng sẽ được xác định.
Tính chất nghiệm của bài toán song tuyến tính
Bài viết trước đã chỉ ra rằng bài toán tối ưu hóa (BP) tương đương với việc tìm cực tiểu của hàm lõm tuyến tính từng khúc Đặc biệt, cực tiểu của hàm lõm trên một tập lồi đa diện luôn đạt tại một đỉnh Từ nhận xét này, ta có thể suy ra Định lý 1.3.4: Nếu X và Y bị chặn, thì tồn tại một nghiệm tối ưu của BP là (x ∗ , y ∗ ) với mỗi x ∗ ∈ V(X) và y ∗ ∈ V(Y).
Giả sử (x ∗ , y ∗ ) là một nghiệm của bài toán BP Khi cố định x = x ∗, bài toán BP trở thành bài toán tuyến tính và y ∗ là một nghiệm của bài toán này Tương tự, khi cố định y = y ∗, kết quả cũng đúng do tính đối xứng của bài toán Định lý 1.3.5 chỉ ra rằng nếu (x ∗ , y ∗ ) là một nghiệm của bài toán BP, thì có thể khẳng định rằng \$\min_{x \in X} f(x, y ∗) = f(x ∗, y ∗) = \min_{x \in X} f(x ∗, y)\$ Tuy nhiên, điều này không đủ để đảm bảo tối ưu toàn cục, mà chỉ đảm bảo tối ưu địa phương của (x ∗ , y ∗) với điều kiện y ∗ là một nghiệm tối ưu nhất của bài toán \$\min_{x \in X} f(x, y ∗)\$.
< f(x ∗ , y), ∀y ∈ V(y), y 6= y ∗ Do hàm f(x, y) liên tục nên với mọi ∀y ∈
V(y), y 6= y ∗ , f(x ∗ , y ∗ ) < f(x, y) trong lân cận U y đủ nhỏ của điểm x ∗ Đặt: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Khi \( U = \bigcap_{y \in V} (y) \) và \( y \neq y^* \), ta có \( f(x^*, y^*) < f(x, y) \) với mọi \( x \in U \) và mọi \( y \in V(Y) \) khác \( y^* \) Đáng chú ý, \( Y \) là một đa diện lồi, và mỗi điểm của \( Y \) có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các đỉnh của \( Y \) Do đó, ta suy ra rằng \( f(x^*, y^*) < f(x, y) \) với mọi \( x \in U \).
Định lý 1.3.6 khẳng định rằng nếu cặp (x ∗ , y ∗ ) thỏa mãn điều kiện (7) và y ∗ là nghiệm duy nhất của bài toán tối thiểu hóa hàm f(x ∗ , y ∗ ) với y thuộc Y, thì (x ∗ , y ∗ ) là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán Cần lưu ý rằng bài toán này tương đương với việc tối thiểu hóa một hàm lõm, tuyến tính từng khúc Dựa trên các giả thiết của định lý 5, có thể kết luận rằng x ∗ cũng là cực tiểu địa phương của hàm g(x).
Tìm nghiệm cực tiểu địa phương
Phương pháp tìm nghiệm cho bài toán song tuyến tính có thể sử dụng các thuật toán giải bài toán cực tiểu hàm lõm tuyến tính từng khúc Đặc biệt, thuật toán siêu phẳng cắt có thể áp dụng cho cả hai bài toán này, nhưng cấu trúc đối xứng của bài toán cho phép xây dựng các lát cắt hiệu quả hơn Kono H đã đề xuất một thuật toán hội tụ tới nghiệm thỏa mãn điều kiện và một thuật toán siêu phẳng cắt để tìm nghiệm tối ưu toàn cục Giả sử X và Y bị chặn, thuật toán "thủ tục xuống núi" bắt đầu từ véctơ ban đầu và giải liên tiếp hai bài toán tuyến tính Bài toán đầu tiên cố định véctơ y, và lời giải được sử dụng để cố định giá trị của véctơ x trong bài toán thứ hai Nếu tiêu chuẩn dừng được thỏa mãn, véctơ (x, y) sẽ thỏa mãn điều kiện đã đề ra Hơn nữa, với V(X) và V(Y) hữu hạn, thuật toán sẽ hội tụ sau một số lần lặp nhất định.
Bước 1: Giả sử \( y_0 \in Y \) là một nghiệm chấp nhận được ban đầu và \( m \leftarrow 1 \) Bước 2: Giả sử \( x_m = \arg \min_{x \in X} f(x, y_{m-1}) \) và \( y_m = \arg \min_{y \in Y} \{f(x_m, y)\} \) Bước 3: Nếu \( f(x_m, y_{m-1}) = f(x_m, y_m) \) thì dừng Nếu không, \( m \leftarrow m + 1 \) và quay lại Bước 1.
Giả sử (x ∗ , y ∗ ) là nghiệm nhận được theo thuật toán 1 Với giả thiết rằng đỉnh x ∗ không suy biến, ta ký hiệu D là tập các hướng d j dọc theo cạnh của
X bắt đầu từ điểm x ∗, với hàm g(x) = min y ∈ Y f(x, y) là một hàm lõm Để xác định lát cắt chính xác cho mỗi hướng d j, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của θ j sao cho g(x ∗ + θ j d j ) ≥ f (x ∗ , y ∗ )−ε Điều này có nghĩa là θ j = arg max{θ j : g(x ∗ + θ j d j ) ≥ f (x ∗ , y ∗ )−ε}.
Trong đó ε là một số dương đủ nhỏ Đặt C = {d 1 , d 2 , , d n },
Nếu \( X_1 = \emptyset \), thì \( x \in X, y \in Y \) và \( \min f(x, y) \geq f(x^*, y^*) - \epsilon \), trong đó \( (x^*, y^*) \) là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán Khi \( X_1 = \emptyset \), ta có thể thay \( X \) bằng tập \( X_1 \) để xem xét bài toán tối ưu \( x \in X, y \in Y \min f(x, y) \) và áp dụng Thuật toán 1 nhằm tìm kiếm một nghiệm tốt hơn Do cấu trúc đối xứng của bài toán, có thể áp dụng quy trình tương tự để xây dựng một lát cắt cho tập \( Y \), với \( \Delta_1 y \) là nửa không gian tương ứng và \( Y_1 = Y \cap \Delta_1 y \) Bằng cách đổi mới cả hai tập, thuật toán siêu phẳng cắt (xem Thuật toán 2) có thể giúp tìm nghiệm toàn cục của bài toán với số lần lặp ít hơn.
Thuật toán 2 Thuật toán siêu phẳng cắt.
Bước 1: Áp dụng Thuật toán 1 tìm véctơ (x ∗ , y ∗ ) thỏa mãn hệ thức (7). Bước 2: : Dựa vào nghiệm (x ∗ , y ∗ ) tính các lát cắt thích hợp và xây dựng các tập X 1 và Y 1
Bước 3: Nếu X 1 6= ∅ hoặc Y 1 6= ∅ thì (x ∗ , y ∗ ) là một nghiệm ε - tối ưu toàn cục Trái lại, X ← X1 và Y ← Y1 và quay lại Bước 1.
Chương 1 tóm tắt các kiến thức cơ bản về quy hoạch song tuyến tính, bao gồm quan hệ đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính, bài toán cực tiểu hàm lõm với ràng buộc tuyến tính, và các tính chất nghiệm của bài toán Ngoài ra, chương cũng đề cập đến thuật toán tìm nghiệm cực tiểu địa phương cho bài toán quy hoạch song tuyến tính.
Thuật toán giải quy hoạch song tuyến tính
Chương này giới thiệu thuật toán giải bài toán quy hoạch song tuyến tính theo tài liệu tham khảo [3] Thuật toán chuyển đổi bài toán ban đầu thành bài toán tối ưu trên một tập không lồi và đề xuất phương pháp giải quyết dựa trên tiêu chuẩn tối ưu đã được thiết lập Đồng thời, chương cũng chứng minh sự hội tụ về nghiệm đúng của bài toán song tuyến tính ban đầu Để minh họa, thuật toán được trình bày qua ví dụ số cụ thể Nội dung chương chủ yếu được tham khảo từ các tài liệu [3] và [6].
Cơ sở lý thuyết của thuật toán
Biến đổi bài toán quy hoạch song tuyến tính
Bài toán quy hoạch song tuyến tính yêu cầu tìm véctơ n - chiều x và véctơ n 0 - chiều y nhằm tối ưu hóa một hàm mục tiêu.
(2.1) trong đó A là ma trận m×n , B là ma trận m 0 ×n 0 , Q T là ma trận n 0 ×n 0 , a và b là các véctơ có số chiều n, n 0 , m và m 0 tương ứng Giả sử:
X = {x : Ax ≤ a,x ≥ 0} và Y = y : B T y ≤ b,y ≥ 0 là các tập khác rỗng và bị chặn.
Theo Định lý 1.3.4, tập hợp tất cả các nghiệm tối ưu của bài toán (2.1) luôn chứa ít nhất một phần tử (x ∗ , y ∗), trong đó x ∗ là một đỉnh của tập X và y ∗ là một đỉnh của tập Y.
Bài toán (2.1) có thể viết lại thành: c T x+maxn(d+ Qx) T y :B T y ≤ b, y ≥ 0o → max
Từ lý thuyết đối ngẫu của quy hoạch tuyến tính trực tiếp suy ra rằng (2.1) tương đương với bài toán tìm véctơ n chiều x và véctơ m 0 chiều u sao cho:
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải quyết bài toán (2.2) bằng cách xem xét các tính chất hình học của nghiệm và đưa ra điều kiện tối ưu cần và đủ Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày thuật toán tìm nghiệm tối ưu cho bài toán (2.2) và phân tích sự hội tụ của thuật toán Mục 2.3 sẽ giới thiệu biến thể siêu phẳng cắt của thuật toán, kèm theo ví dụ minh họa để làm rõ hơn về cách thức hoạt động của thuật toán.
Bài toán tối ưu hóa được định nghĩa bởi tập hợp P = {(x,u) : Ax ≤ a, Bu ≥ d + Qx, (x, u) ≥ 0} và Λ = {(x,u) : (x,u) ∈ P, b^T u ≤ b^T u_0, (x,u_0) ∈ P} Bài toán (2.2) có thể được viết lại dưới dạng tối đa hóa hàm mục tiêu: max{c^T x + b^T u : (x,u) ∈ Λ} Mặc dù hàm mục tiêu trong bài toán (2.3) là tuyến tính, nhưng tập ràng buộc lại không phải là một tập lồi Hơn nữa, tập nghiệm tối ưu có thể không liên thông, điều này được minh họa rõ ràng trong Hình 1.1 với các điểm x_1, y_1, x_2, y_2 là các nghiệm tối ưu của bài toán.
Tuy nhiên, tập Λ có một số tính chất đặc biệt được nêu dưới đây:
Bổ đề 2.1.1 U (x) = {u : Bu ≥ d + Qx,u≥ 0} 6= ∅ với mọi x ∈ R n
Chứng minh Do Y = {y : B T y ≥ b,y ≥ 0} khác rỗng và bị chặn nên giá trị max n
Trong bài toán quy hoạch tuyến tính, nếu \( (d + Qx) T y : y \in Y_o \) là bị chặn, thì theo lý thuyết đối ngẫu, tập ràng buộc của bài toán đối ngẫu sẽ không rỗng, tức là \( U(x) \neq \emptyset \) với mọi \( x \in \mathbb{R}^n \).
Bổ đề 2.1.2 Λ là hợp của một số diện của P
Chứng minh rằng nếu một diện F của P chứa một điểm thuộc Λ trong phần trong tương đối của F, thì toàn bộ diện F nằm trong Λ Điều này đúng với diện thứ nguyên 0 Giả sử F là diện thứ nguyên d ≥ 1 và có điểm (x 0 , u 0 ) ∈ Λ trong phần trong của F Với điểm tùy ý (x 1 , u 1 ) trong F, tồn tại điểm (x 2 , u 2 ) ∈ F sao cho:\[x_0, u_0 = \lambda x_1, u_1 + (1−\lambda) x_2, u_2, \quad 0 < \lambda < 1.\]Xét điểm bất kỳ x 1 , u ∈ P, ta có:\[x_0, u^* = \lambda x_1, u + (1−\lambda) x_2, u_2.\]Vì (x 0 , u 0 ) ∈ Λ, nên:\[b^T u_0 = \lambda b^T u_1 + (1−\lambda) b^T u_2 \leq b^T u^* = \lambda b^T u + (1−\lambda) b^T u_2,\]do đó \( b^T u_1 \leq b^T u \), dẫn đến (x 1 , u 1 ) ∈ Λ Chứng minh hoàn tất nhờ vào việc mọi điểm trong P đều nằm trong tập các phần trong tương đối của một diện nào đó của P Định lý 2.1.3 khẳng định rằng tập hợp Λ là liên thông.
Giả sử tập hợp Λ không liên thông, tồn tại hai tập hợp đóng Λ 1 và Λ 2 sao cho Λ = Λ 1 ∪ Λ 2 và Λ 1 ∩ Λ 2 = ∅ Tính chất đóng của Λ 1 và Λ 2 được đảm bảo vì Λ là tập đóng, là hợp của một số diện của P Gọi X 1 và X 2 là hai hình chiếu của Λ 1 và Λ 2 trên không gian các biến x Do hình chiếu của tập đóng là tập đóng, nên X 1 và X 2 cũng là các tập đóng Vì X là tập liên thông, tồn tại điểm x ∈ X sao cho x ∈ X 1 ∩ X 2, từ đó có thể tìm thấy hai điểm thuộc Λ.
(x, u) : b T u = min u 0 ∈U (x) b T u 0 lồi và liên thông trong Λ Do đó toàn bộ đoạn thẳng nối (x,u 1 ) với (x,u 2 ) nằm trong Λ Điều này trái với Λ1 và Λ2 rời nhau Chứng minh được hoàn thành.
Theo định lý đã nêu, hai đỉnh bất kỳ của P thuộc Λ sẽ được kết nối bằng một đường đi nằm trong Λ Tuy nhiên, tính chất này không được áp dụng trong quá trình xây dựng thuật toán mà sẽ được trình bày sau đây.
Điều kiện tối ưu của thuật toán
Trong mục này, chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh định lý về điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc P là tối ưu Cụ thể, định lý 2.1.4 nêu rằng cho (x,u) ∈ Λ, với z = c^T x + b^T u, thì (x,u) là một nghiệm tối ưu của bài toán (1.1) khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X, tồn tại u sao cho điều kiện tối ưu được thỏa mãn.
Chứng minh (→) Phần chứng minh này được trực tiếp suy ra từ Bổ đề 2.1.1 và từ (x,u) là tối ưu.
Giả sử (2.1) chấp nhận được với mỗi x∈ X và (xb,bu) là một nghiệm tối ưu của (1.1) Với (bx,u ∗ ) là một nghiệm của (1.2), từ (xb,ub) ∈ Λ, ta có b T ub ⩽ b T u ∗ Từ tính tối ưu của (xb,ub) ∈ Λ, suy ra c T bx + b T ub ≥ z = c T x + b T u Bởi tính khả thi của (xb,u ∗ ), ta có z ≥ c T xb + b T u ∗, dẫn đến b T ub ≥ b T u ∗ Do đó, b T ub = b T u ∗ và c T xb + b T ub = c T xb + b T u ∗ = c T x + b T u Từ đó, ta kết luận rằng (x,u) là một nghiệm tối ưu.
Giả sử V x 1 , x 2 , , x k là tập hữu hạn các điểm thuộc X Xác định
trong đó z(V) = max {c T x i +b T u i : x i ∈ V,(x i , u i ) ∈ Λ}. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Ta định nghĩa S(V) là tập hợp các x với điều kiện tồn tại u ≥ 0 sao cho Bu ≥ d(V) + Qx Định lý 2.1.4 có thể được phát biểu lại như sau: Định lý 2.1.4a cho tập hợp V = {x₁, x₂, , xₖ} ⊆ X và U = {x₁, u₁, , xₖ, uₖ} ⊆ Λ, thì U chứa một nghiệm tối ưu của (1.1) khi và chỉ khi với mỗi x ∈ X, tồn tại u sao cho điều kiện trên được thỏa mãn.
Tiêu chuẩn tối ưu Bu ≥d(V) +Qx, u ≥ 0 cho thấy S(V) ⊇ X, và đã được áp dụng trong thuật toán để kiểm tra sự thuộc về của X trong S(V) Đây là điều kiện cần và đủ cho tối ưu theo định lý đã nêu S(V) có tính chất hiển nhiên là tính đơn điệu, tức là S(V 0) ⊇ S(V) khi V 0 ⊇ V, điều này giúp S(V) dễ dàng được xử lý trong các thuật toán Bên cạnh đó, còn tồn tại một tập hợp khác với các tính chất tương tự.
Vớiw i = d i +Q i , d i = d x i Rõ ràng R (V 0 ) ⊇R (V) nếuV 0 ⊇ V Định lý sau đây chỉ ra rằng R(V) ⊇X là điều kiện đủ của tối ưu.
Bổ đề 2.1.5 Với mỗi x ∈ R(V) tồn tại u ≥ 0 sao cho Bu ≥d(V) +Qx
Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.1 và định nghĩa của z(V) suy ra tồn tại u i > 0 sao cho Bu i ≥ w i , i = 1, , k Cho x ∗ và ≥ 0 sao cho: d(V) + Qx ∗ ≤ k
P i=1 λ ∗ i u i = Bu ∗ , trong đó u ∗ = P k i=1 λ ∗ i u i ≥ 0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si Định lý 2.1.6 Cho một tập Cho tập V = {x 1 , , x k } là các điểm thuộc X
Chứng minh rằng R(V) ⊆ X cho thấy V chứa tất cả các đỉnh của X Do đó, có thể sử dụng R(V) thay cho V trong các thuật toán Hơn nữa, với V = {x i ∈ X | i.
Nếu tồn tại các hệ số không âm \( \lambda_i \) với \( i \in I \) sao cho \( \lambda_i \omega_i > 0 \), thì không gian hình ảnh \( R(V) \) sẽ thuộc về tập hợp \( X \) Pha I trong quy hoạch tuyến tính có thể được sử dụng để kiểm tra sự tồn tại của \( \lambda^*_i \) như vậy, từ đó cho phép trình bày ngắn gọn thuật toán.
Mô tả thuật toán
Các bước của thuật toán
Bước 0: Chọn một đỉnh không suy biến \( x_0 \) trong tập hợp \( S \), với \( x_0 \) có đúng \( n \) đỉnh kề là \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) Giả thiết này được đưa ra nhằm đơn giản hóa quá trình trình bày luận văn tốt nghiệp Đối với mỗi \( x_i \in X \), ta định nghĩa \( v_i \) là véc tơ đơn vị xác định nửa đường thẳng xuất phát từ \( x_0 \) và đi qua \( x_i \).
Nếu tập ∆ = ∅, thuật toán sẽ dừng lại và z(V) sẽ là giá trị tối ưu của hàm mục tiêu Ngược lại, chọn một tập ω = v_{i_1}, , v_{i_n} trong D và tiếp tục với bước 2.
Bước 2 Với mỗi j = 1, , n, giải quy hoạch tuyến tính để tìm: θ i j = max θ i j : x 0 +θ i j v i j ∈ S(V) và chuyển sang Bước 3. Bước 3 Tìm (λ ∗ 1 , , λ ∗ n ) là nghiệm tối ưu cực biên của quy hoạch tuyến tính n
Nếu \$\frac{1}{\theta_{ij}} \lambda^*_{ij} \leq 1\$ thì loại bỏ \$\omega\$ ra khỏi \$\Delta\$ và quay lại Bước 1 Ngược lại, đặt \$x_q = x_0 + \sum_{j=1}^{n} \lambda^*_{ij} v_{ij}\$ Thêm \$x_q\$ vào \$V\$ và cập nhật giá trị \$z(V)\$ Đối với mọi \$j\$ với \$\lambda^*_{ij} > 0\$, tạo ra một tập mới bằng cách thay \$v_q\$ trong \$\omega\$ và sau đó thay \$\omega\$ trong \$\Delta\$ bằng các tập mới này Quay lại Bước 1.
Để tính giá trị z(V) ở Bước 0, ta giải bài toán tuyến tính cho mỗi i từ 0 đến n, nhằm tìm nghiệm tối ưu gốc u i và nghiệm tối ưu đối ngẫu y i Véctơ (x k , y k ) được chọn sao cho giá trị tối đa c T x k + b T u k bằng z(V), với z(V) là giá trị tối ưu hiện có Trong quá trình thực hiện thuật toán, khi véctơ mới x q được thêm vào V, giá trị nghiệm tối ưu hiện có z(V) sẽ được cập nhật.
Nhận xét 2 Theo cách xây dựng θ i j > 0 , j = 1, , n, và nếu θ i j = +∞ thì theo quy ước 1/θ i j = 0.
Nhận xét 3 Phần lớn công việc trong thuật toán là thực hiện Bước 2 Với mỗi j = 1, , n, cần giải một bài toán tuyến tính max θi j : Bu− Qv i j θi j
Các bài toán tuyến tính này chỉ khác nhau ở một cột hệ số, do đó việc giải quyết chúng có thể được tối ưu hóa bằng cách liên kết các nghiệm Cần lưu ý rằng θi j chỉ thay đổi khi z(V) thực sự giảm Mỗi ω = v i 1, , v i n trong ∆ tương ứng với một ma trận không suy biến E(ω) = v i 1, , v i n Bài toán tuyến tính ở Bước 3 có thể được diễn đạt lại như sau: maxng(ω) T x−x 0 : x ∈ Xo, trong đó (ω) T = 1/θ i 1, , 1/θ i n E(ω) −1 Tập chấp nhận được của bài toán này không thay đổi giữa các vòng lặp, trong khi véctơ hệ số mục tiêu b(ω) thay đổi theo ω Một số cố gắng tính toán có thể được lưu lại bằng cách thay đổi ω từ từ, tương tự như ω ở vòng lặp trước chỉ khác bởi một véctơ.
Trong thuật toán, S(V) có thể được thay thế bằng R(V), như đã đề cập ở mục trước.
Suy biến
Trong thuật toán, x 0 được giả định là một đỉnh không suy biến Hai định lý sau đây cho phép điều chỉnh bước 0 để loại bỏ giả thiết này, với giả định rằng x 0 là một đỉnh của
) trong đó a ij và a i là các phần tử của ma trận A và véctơ a tương ứng, N {1,2, , n} và M = {1,2, , m} Xét
Rõ ràng là xe 0 = x 0 , s 0 là một đỉnh của Xe nếu s 0 i = a i − P j∈N a ij x 0 j , i 1, , m Đặt
J = {j :x 0 j > 0 hay x 0 j là biến phi cơ sở }.
I = {i :s 0 j > 0 hay s 0 j là biến phi cơ sở }.
Rõ ràng X ⊆X 0 Định lý 2.2.1 Cho x 0 là một đỉnh của X 0 và liên thuộc với đúng n cạnh khác biệt của X 0
Chứng minh Do (x 0 , s 0 ), là một nghiệm chấp nhận được cơ sở nên tồn tại các số thực α jh , β jk , α¯ jh , β¯ jk , sao cho
Xe = { (x, s) ∈ R n+m | x j = x 0 j -(P h∈N v J 0 α jh x h + P k∈M v I 0 β jk s k ), j ∈ J 0 s i = s 0 i -(P h∈N v J 0 α¯ ih x h + P k∈M v I 0 β¯ ik s k ), i ∈ I 0 x j ⩾ 0, j ∈ N; s i ⩾ 0, i ∈ M }, (3.1) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Trong đó J 0 ={ | x 0 j là biến cơ sở },
Xf 0 = { (x, s) ∈ R n+m | xj = x 0 j -(P h∈N v J 0 αjhx h + P k∈M v I 0 βjks k ), j ∈ J 0 s i = s 0 i -(P h∈N v J 0 α¯ ih x h + P k∈M v I 0 β¯ ik s k ), i ∈ I 0 x j ⩾ 0, j ∈ N; s i ⩾ 0, i ∈ I } (3.2) Giả sử (x 0 , s 0 ) không phải là một đỉnh của Xf 0 Khi đó tồn tại hai điểm khác nhau (x 0 , s 0 ), (x 00 , s 00 ) trong đó Xf 0 , và λ, với 0 < λ < 1, sao cho (x 0 , s 0 ) = λ(x 0 , s 0 ) + ( 1 - λ )(x 00 , s 00 ), dễ thấy x 0 j = x 00 j = 0 với mọi j ∈ N ∼ J 0 s 0 i = s 00 i = 0 với mọi i ∈ M ∼ I 0 Theo (3.2) điều này kéo theo (x 0 , s 0 ) = (x 00 , s 00 ) ta gặp mâu thuẫn Do đó x 0 là một đỉnh của X 0
Với h ∈ N ∼ J 0 và δ h ≥ 0, xây dựng n tia (nửa đường thẳng) xác định bởi : x j = x 0 j - δ h α jh , j ∈ J 0 , s i = s 0 j - δ h α¯ ih , i ∈ I 0 , x h = δ h , (3.3) x j = 0, j ∈ N ∼ (J 0 ∪ {h}), s i = 0, i ∈ M ∼ I 0 ,
Và cho k ∈ M ∼ I 0 và δ k ≥ 0, sao cho: x j = x 0 j - δ k β jk , j ∈ J 0 , s i = s 0 i - δ h β¯ ik , i ∈ I 0 , s k = δ k , (3.4) s i = 0, i ∈ M ∼ (J 0 ∪ {k}), luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Từ mục (3.2) suy ra các siêu phẳng này giao với Xe 0 , sao cho: δ h ≤δ ∗ h = min j∈Jmin 0 ∩J x 0 j /α jh |α jh > 0 , min i∈I∩I 0 s 0 i /α ih |α ih > 0
(3.5) δk ≤ δ k ∗ = min j∈Jmin 0 ∩J x 0 j /βjk|β jk > 0 , min i∈I∩I 0 s 0 i /βik|β ik > 0
Từ định nghĩa của I và J, ta có thể kết luận rằng $\delta^* h$ và $\delta k^*$ không thể bằng 0, điều này có nghĩa là mỗi siêu phẳng đều có ít nhất một điểm khác với $(x_0, s_0)$ trong $X_{e_0}$ Các đoạn thẳng được xác định bởi (3.3) - (3.6) là những cạnh khác nhau và liên thuộc với $(x_0, s_0)$.
DoXe 0 biểu diễn cùng một tập lồi đa diện như X 0 nên định lý được chứng minh xong.
Chứng minh sử dụng ký hiệu quy hoạch tuyến tính để xác định n cạnh khác biệt của X 0 kề x 0 Định lý 2.2.2 nêu rằng, với một vectơ x 0 ∈ X và (x 0 , u 0 ) ∈ Λ, cùng với tập hữu hạn V các điểm trong X, nếu c T x 0 + b T u 0 < z(V), thì trên tia bất kỳ từ x 0, tồn tại điểm x khác x 0 sao cho có thể tìm được u ≥ 0 thỏa mãn điều kiện.
Chứng minh Xét tia` bất kỳ đi từ x 0 và giả sửx ∗ là điểm trên` khácx 0 Theo
Bổ đề 1.1.1, tồn tại u ∗ ≥ 0 sao cho: Bu ∗ ≥ d + Qu ∗ Đặt z ∗ = c T x ∗ + b T u ∗ Kết luận của định lý là đỳng nếu z∗ ≤ z(V) Trỏi lại, (x, u) = à (x 0 , u 0 ) + (1
- à)(x ∗ , u ∗ ) là một nghiệm của (2.2) trong đú à = (z ∗ - z(V))/(z ∗ - c T x 0 −bT u0) và 0 < à < 1
Theo Định lý 3.1, có thể giả thiết rằng x₀ là đỉnh không suy biến của tập lồi đa diện mới X₀ chứa X Trong X₀, x₀ là đỉnh có đúng n cạnh kề, được xác định bởi n véctơ với chuẩn đơn vị v₁, , vₙ Nón sinh bởi x₀, v₁, , vₙ chứa X Nếu với mỗi vᵢ xác định được số dương θ̄ᵢ, thì có thể sử dụng tập {v₁, , vₙ} làm tập ω để bắt đầu thuật toán Định lý 3.2 đảm bảo rằng θ̄ᵢ > 0 với một số giả thiết dễ kiểm tra, ngoại trừ một vài trường hợp đặc biệt Khi loại bỏ giả thiết không suy biến, Bước 0 của thuật toán có thể được diễn đạt lại như sau.
Bước 0: Tìm đỉnh \( x_0 \in X \) với các đỉnh kề \( x_1, \ldots, x_r \) sao cho nếu \( r > n \) thì có \( x_j, j \in \{1, \ldots, n\} \) thỏa mãn \( c^T x_i + b^T u_i > c^T x_0 + b^T u_0 \) với \( (x_j, u_j) \in \Lambda, (x_0, u_0) \in \Lambda \) Giả sử \( v_1, \ldots, v_n \) là các véctơ chuẩn đơn vị xác định các tia đi từ \( x_0 \) qua các đỉnh kề với \( x_0 \) trong \( X_0 \) (X_0 xác định như ở Định lý 3.1) Đặt \( V = \{x_0, x_1, \ldots, x_r\} \), \( \omega = \{v_1, \ldots, v_n\} \) và \( \Delta = \{\omega\} \) Chuyển sang Bước 1.
Sự hội tụ
Mục này chứng minh rằng thuật toán đạt nghiệm tối ưu khi kết thúc Một vòng lặp của thuật toán bao gồm các bước từ 1 đến 4, với ∆ c là tập hợp tất cả các ω bị loại khỏi ∆ mà không được thay thế Ở Bước 0, ∆ c = ∅ và dần dần mở rộng mỗi khi điều kiện ở Bước 4.a được kiểm tra là đúng Xét các tập véctơ ω sao cho I(ω) = {i : v i ∈ ω} và các tập lồi đa diện.
Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến việc tải xuống luận văn tốt nghiệp và luận văn thạc sĩ mới nhất Cụ thể, chúng tôi xem xét các tham số như \( \theta_i = \max \theta_i : x_0 + \theta_i v_i \in S(V) > 0 \), trong đó \( V \) là tập hợp các đỉnh của \( X \) đã được thăm dò trong vòng lặp hiện tại của thuật toán.
Theo Định lý 2.2.3, trong mọi vòng lặp của thuật toán, T luôn là tập con của S(V) Hệ quả 2.2.4 chỉ ra rằng nếu ∆ = ∅, thì X sẽ là tập con của T Điều này dẫn đến việc X cũng là tập con của S(V) khi thuật toán kết thúc Do đó, theo Định lý 2.1.4.a, quy tắc dừng của thuật toán đảm bảo rằng nghiệm tối ưu đã được tìm thấy.
⊆ ∪ ω∈∆∪∆ c [C(ω)∩H(ω)] Để hoàn thành việc chứng minh ta cần nêu được C(ω)∩H (ω) ⊆ S(V) Cho ˆ x là một điểm trong C(ω)∩H (ω), sao cho: xˆ = x 0 P i=I(ω) λbivi
Với P i=I(ω) λ b i θ i ≤1,λb i ≥ 0, i ∈ I(ω) Ta có thể viết lại như sau: x = x 0 + P i∈I(ω) λ b i θ iθ i v i
Trong đú: àb 0 = 1− P i∈I(ω) λ b i θ i ≥0, àb i = λ b i θ i ≥0, i ∈ I(ω) àb 0 + P i∈I(ω)àb i = 1
Từ tính lồi của tập hợp S(V) được xác định bởi tổ hợp lồi của các điểm thuộc S(V), do đó nó sẽ nằm trong S(V) Định lý 2.2.1 tương tự như Bổ đề về lát cắt lồi của Glover, dựa trên ý tưởng lát cắt Hoàng Tụy.
Bổ đề 2.2.4 Cho n véctơ n - chiều độc lập tuyến tính v 1 , , v n và bất kỳ v ∗ = P i∈I 0 λ ∗ i v i + P i∈I + λ ∗ i v i trong đó λ ∗ i ≤ 0 với i ∈ I 0 và λ ∗ i > 0 với i ∈ I + 6∅, I 0 ∪I + = {1, n} Ta đặt
Khi đó: C ⊆ ∪ j∈I + C j Chứng minh Lấy điểm bất kỳ trong C, chẳng hạn: x = P i∈I 0 ∪I + λ i v i với λ i ≥0 Với à bất kỳ àv ∗ = P i∈I 0 ∪I +
(àλ ∗ i )v i x = àv ∗ + P i∈I 0 λ i −àλ ∗ i v i + P i∈I + λ i −àλ ∗ i v i Chọn à = λr/λ ∗ r = min λi/λ ∗ i : i ∈ I + ≥ 0 Khi đú,x ∈ Cr (trờn biờn của
Cr nếu à = 0) Định lý 2.2.5 Tại mỗi vòng lặp của thuật toán
Và v 1 , ,v n là các vectơ chuẩn đơn vị xác định ở Bước 0 luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Để chứng minh, theo định nghĩa của T, ta chỉ cần chứng minh rằng \(C_0 \subseteq \bigcup_{\omega \in \Delta \cup \Delta^c} C(\omega)\) Thuật toán được xây dựng từ \(C_0\) và tạo ra các tập \(C_j\), trong đó hợp của chúng chứa \(C_0\) Các tập tiếp theo được xây dựng từ một tập \(C_j\) nào đó và quá trình này lặp lại để thu được \(\bigcup_{\omega \in \Delta \cup \Delta^c} C(\omega)\) Kết luận định lý được suy ra từ Bổ đề 2.2.2.
X được chứa trong C 0 theo cách xây dựng C 0 và trong H(ω) với mọi ω ∈ ∆ c theo điều kiện ở Bước 4.a Kết luận của hệ quả được suy ra từ Định lý 2.2.3.
Cách tiếp cận siêu phẳng cắt
Biến thể siêu phẳng cắt của thuật toán được trình bày trong mục này, dựa trên quan sát rằng trong thuật toán ở mục 2.2, vòng lặp đầu tiên tạo ra nửa không gian H(ω) với điều kiện H(ω) ∩ X ⊆ S(V).
Do đó, theo tiêu chuẩn tối ưu sẽ không có điểm nào trong H (ω) ∩ X cho giá trị hàm mục tiêu tốt hơn z(V) Trong thuật toán siêu phẳng cắt, phần của
X nằm trong H(ω) được cắt bỏ để tạo ra một tập X mới nhỏ hơn Tiếp theo, tìm một đỉnh trong tập X mới và lặp lại quy trình như trước Phương pháp này có ưu điểm là yêu cầu bộ nhớ ít hơn Thuật toán siêu phẳng cắt bao gồm các bước cụ thể.
Bước 0 Chọn một đỉnh bất kỳ trong X và xác định V = {x 0 } Đặt
Bước 1: Tìm các đỉnh kề x k, bao gồm x k,1 ,x k,2 , ,x k,r và đưa vào tập V Đối với mỗi j từ 1 đến r, tính giá trị z k,j = c^T x k,j + b^T u k,j với x k,j ,u k,j thuộc Λ Nếu r = n hoặc r > n và tồn tại j sao cho z k,j > z k thì chuyển sang Bước 2 Ngược lại, chọn một đỉnh x k,j với z k,j < z k, đặt x k = x k,j và tìm các đỉnh kề x k để tiếp tục Bước 2 áp dụng cho trường hợp đặc biệt khi r > n và z k = z k,i với mọi i từ 1 đến n, xem Nhận xét 1 dưới đây.
Bước 2 Giả sử các véctơ chuẩn đơn vị v k,1, , v k,n, xác định các nửa đường thẳng từ x k qua các đỉnh kề trong X k ‘ theo Định lý 3.1 với X = Xk và x 0 = x k Đối với i = 1, , n, giải quy hoạch tuyến tính để tìm số θi sao cho θi : x k + θi v k,i ∈ S (V) Tiếp tục với Bước 3.
Bước 3.Xác định ma trận M v k,1 , ,v k,n và h = 1/θ1, ,1/θn
Để giải bài toán quy hoạch tuyến tính với điều kiện \( T \theta_i > 0 \), ta tối đa hóa hàm \( h^T M^{-1} x - x_k \) với \( x \in X_k \) Giả sử \( x^* \) là nghiệm tối ưu và \( \alpha \) là giá trị tối ưu đạt được Nếu \( \alpha \geq 1 \), thuật toán sẽ dừng lại; ngược lại, ta sẽ chuyển sang Bước 4.
Bước 4 Thêm x ∗ vào V Đặt x k+1 = x ∗ và
X k+1 = X k ∩ x ∈ R n : h T M −1 x−x k ⩾ 1 Đặt k = k + 1 Nếu z k < Z(V) thì quay lại Bước 2; ngược lại, quay lại Bước 1 Nhận xét 1: Nếu r > n và z k = z k,j, j = 1, , r, thì các giả thiết của Định lý 3.2 có thể không còn đúng, dẫn đến việc z k = z k,j > 0 không còn đảm bảo cho luận văn thạc sĩ Trong trường hợp này, ở Bước 3, α cần được thay bằng: α = max π T x−x k : x ∈ X Ràng buộc mới ở Bước 4 trở thành π T x−x k ⩾ 1, với π là nghiệm của bài toán: min n P i=1 π T θb k,i x k,i −x k : π T θb k,i x k,i −x k ⩾ 1, i = 1, , r.
Với điều kiện \( \theta_{b,k,i} = \max \theta_{k,i} : x_k + \theta_{k,i} x_{k,i} - x_k \in S(V) \), nếu trong một vòng lặp đã cho, các điểm \( x_{k,1}, \ldots, x_{k,n} \) thuộc cùng một diện của \( X_k \), thì không cần hoàn thành vòng lặp đó và có thể kết thúc thủ tục.
Nhận xét 3 Cũng như trong biến thể thứ nhất của thuật toán, S(V) có thể được thay bằng R(V)
Ví dụ minh họa thuật toán
Xét ví dụ số trong R 2 Xét bài toán quy hoạch song tuyến tính
→ max, với điều kiện x ∈ X, y ∈ Y, trong đó:
,x ≥0}, (LP 1 ) luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Các tập X và Y được vẽ ở Hình 2.1 Phát biểu đối ngẫu của bài toán này là
, u ≥ 0 Để tìm nghiệm tối ưu của bài toán, thuật toán mô tả ở trên phải qua các vòng lặp như sau.
Bước khởi sự (Bước 0) bắt đầu với việc chọn điểm x 0 = (0,0) T Các đỉnh kề với x 0 là x 1 = (1,0) T và x 2 = (0,5) T Giải bài toán tối ưu hóa (LP 2) bằng cách đặt x = x i, với i = 0, 1, 2, cho ra các giá trị tối ưu tương ứng là z(x 0 ) = 3, z(x 1 ) = 13/2, và z(x 2 ) = 18 Đặt V = {x 0 , x 1 , x 2 } với z(V) = 18, w 1 = v 1 , v 2 và ∆ = {ω 1 }, trong đó v 1 = (1,0) T và v 2 = (0,1) T Vòng lặp 1 được thực hiện tiếp theo.
Bước 1 ∆ 6= ∅ Chọn ω 1 Bước 2 Giải quy hoạch tuyến tính:
• Tìm cực đại θ 1 , với điều kiện
• Tìm cực đại θ 2 , với điều kiện
, u ≥ 0, θ 2 ≥ 0 Giá trị tối ưu lần lượt là: θ 1 = 36/13, θ 2 = 5 Bước 3 Giải quy hoạch tuyến tính
• Tìm cực đại 13 36 λ 1 + 1 5 λ 2 , luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si với điều kiện
Bước 4 Do 1/θ 1 λ ∗ 1 + 1/θ 2 λ ∗ 2 = 119 90 > 1 nên ta đặt x 3
Thêm x 3 vào V và thay ω 1 trong ∆ bằng ω 2 = {v 1 , v 3 } và ω 3 = {v 3 , v 2 } Để đổi mới z(V), ta đặt x = x 3 trong (LP2) và giải quy hoạch tuyến tính thu được, với giá trị tối ưu là 10, nhỏ hơn z(V) Do đó, z(V) được giữ nguyên.
Bước 1 ∆ 6= ∅ Chọn ω 2 = v 1 , v 3 Bước 2 θ 1 không thay đổi; θ 3 là giá trị tối ưu của quy hoạch tuyến tính:
• Tìm cực đại θ 3 , với điều kiện
13. Bước 3 Giải luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Bước 4 1/θ 1 λ ∗ 1 + 1/θ 3 λ ∗ 3 ×707/900 =< 1 Do đó, ω 2 bị loại khỏi ∆. Vòng lặp 3
Bước 1 ∆ = ω 3 Chọn ω 3 = v 3 , v 2 Bước 2 θ 3 và θ 3 không thay đổi.
Nghiệm tối ưu là λ ∗ 2 = 5, λ ∗ 3 = 0 Bước 4 1/θ 2 λ ∗ 2 + 1/θ 3 λ ∗ 3 = 1 Do đó, ω 3 bị loại khỏi ∆. Vòng lặp 4
Bước 1 ∆ = ∅ Do đó dừng thuật toán Nghiệm tối ưu là luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si x ∗
, trong đó y ∗ là nghiệm đối ngẫu tối ưu của bài toán thứ ba được giải ở Bước 0. Giá trị tối ưu của hàm mục tiêu bằng 18.
Chiến thuật duyệt toàn bộ yêu cầu phải kiểm tra tất cả 6 đỉnh của đồ thị X, trong khi thuật toán đề xuất chỉ cần khảo sát 4 đỉnh trong số đó.
• Giải theo thuật toán siêu phẳng cắt Mục này giải lại bài toán (LP 1 ) theo thuật toán siêu phẳng cắt.
Bước 1 Các đỉnh kề x 0 là x 0,1 = (1,0) T và x 0,2 = (0,5) T với z 0,1 = 13 2 và z 0,2 = 18 Đặt V x 0 , x 0,1 , x 0,2 , z(V) = 18 Vì r = 2 = n nên chuyển sang Bước 2.
Bước 2 v 0,1 = (1,0) T , v 0,2 = (0,1) T và như trước đây θ 1 = 36 13 , θ 2 = 5. Bước 3 M
x−x 0 : x ∈ X 0 }, bằng cách giải quy hoạch tuyến tính: max 13 36 x 1 + 1 5 x 2 : x ∈ X 0 Nghiệm tối ưu: x ∗ = (2,3) T với α = 119 90 > 1 Chuyển sang Bước 4.
Vì z1 = 10 < 18 = z(V) nên chuyển Bước 2 của vòng lặp 2. luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si
Vòng lặp 2 Bước 2 Các đỉnh kề x 1 là x 1,1
. Giải hai quy hoạch tuyến tính:
• Tìm cực đại θ 1 với các điều kiện
, u ⩾ 0, θ 2 ⩾ 0. Nghiệm tối ưu lần lượt là: θ 1 = 37 31 √
x−x 1 : x ∈ X 1 } Bằng cách giải quy hoạch tuyến tính: luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si max − 68 37 x 1 − 99 74 x 2 + 569 74 : x∈ X 1 Nghiệm tối ưu: x ∗ = 396 173 , 150 173 T với α = 9803 6401 > 1 chuyển sang Bước 4.
Vì z 2 < z(V) nên chuyển Bước 2 của vòng lặp 3.
Vòng lặp 3 Bước 2 Các đỉnh kề x 2 là x 2,1
Do cả hai điểm này thuộc cùng một diện của X 2 , cụ thể là lát cắt tạo ra ở vòng lặp trước nên dừng thuật toán.
Nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch song tuyến tính là: x ∗
với giá trị tối ưu của hàm mục tiêu bằng 18.
Chương 2 trình bày thuật toán tìm nghiệm cho bài toán quy hoạch song tuyến tính với miền ràng buộc rời nhau và giả thiết các tập ràng buộc X, Y bị chặn Thuật toán chuyển đổi bài toán ban đầu thành bài toán tối ưu trên một tập không lồi và giải quyết dựa trên điều kiện tối ưu đã được thiết lập Kết quả cho thấy thuật toán hội tụ về nghiệm chính xác của bài toán quy hoạch song tuyến tính ban đầu, được minh họa qua ví dụ cụ thể.
Luận văn tập trung vào bài toán quy hoạch song tuyến tính, một dạng đặc biệt của quy hoạch toàn phương Quy hoạch song tuyến tính là bài toán tối ưu không lồi, không lõm và thuộc lớp bài toán tối ưu toàn cục, gây khó khăn trong việc giải quyết Mặc dù vậy, bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết và thực tiễn, thu hút sự quan tâm nghiên cứu từ nhiều tác giả về cả lý thuyết lẫn thuật toán giải Nội dung cụ thể của luận văn đã được trình bày chi tiết.
Bài viết này trình bày các kiến thức toán học liên quan đến bài toán quy hoạch song tuyến tính, bao gồm đối ngẫu trong quy hoạch tuyến tính, bài toán quy hoạch lõm với ràng buộc tuyến tính, và tính chất nghiệm của bài toán quy hoạch song tuyến tính Ngoài ra, nó cũng đề cập đến mối liên hệ giữa bài toán quy hoạch song tuyến tính và bài toán cực tiểu hàm lõm, cũng như tuyến tính từng khúc.
"thuật toán xuống núi" tìm nghiệm cực tiểu địa phương của bài toán quy hoạch song tuyến tính khi miền ràng buộc bị chặn.
Cách chuyển đổi bài toán quy hoạch song tuyến tính thành bài toán tối ưu tương đương trên tập không lồi cho phép tìm nghiệm chính xác với miền ràng buộc tách biến và giả thiết miền ràng buộc bị chặn, thông qua thuật toán dựa trên điều kiện tối ưu Bài viết cũng đề cập đến biến thể siêu phẳng cắt của thuật toán cùng với ví dụ số minh họa để làm rõ hơn về quy trình này.
[1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hiền và Nguyễn Hữu Điển (2014), Giáo trình giải tích lồi và ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Gallo G., ¨Ulk¨uc¨u A (1977), "Bilinear Programming: An Exact Algorithm", Math Programming, 12, 173–194.
[4] Nahapetyan A, Pardalos P (2007), "A Bilinear Relaxation Based Algo- rithm for Concave Piecewise Linear Network Flow Problems", Journal of Industrial and Management Optimization, 3(1), 71–85.
The article by Thieu T V (1980) explores the connection between bilinear programming problems and concave minimization under linear constraints, published in Acta Math Vietnam This research contributes to the understanding of optimization techniques in mathematical programming For those interested in academic resources, the latest thesis and dissertation downloads are available via email at luanvanfull@gmail.com.