7 hsg toan 9 2020 2021 pgd long bien vong 2 hn toan thcs vn

2 Chứng minh BH AC.cotABC.. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P.. Chứng minh rằng: MP MQ.. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bư

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Năm học: 2020-2021

Môn: TOÁN

Câu 1 (6,0 điểm)

1) Giải phương trình: 4x2 20x28 3 x215x20

2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z  0 Chứng minh rằng:

x y z  xyz

3) Cho các số nguyên a b c; ; thoả mãn điều kiện: (a b )3(b c )3(c a )3 378 Tính giá trị của biểu thức A |a b| | b c | | c a |.

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c  chia hết cho 12 Chứng

minh: P(a b b c c a )(  )(  )-5abc chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

x y z    x y z

Câu 3 ( 3,0 điểm)

1) Cho x y, là hai số thực dương Chứng minh rằng:

3 3

4 0

y  x  y  x   . 2) Cho số thực x thỏa mãn 0  Tìm GTNN của biểu thức: x 2

2021 2

A

x x

Câu 4 (7,0 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt

nhau tại H

1) Chứng minh: BH BD = BC BKvà BH BD + CHCE= BC2

2) Chứng minh BH AC.cotABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường

thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: MP MQ

Câu 5 (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó

thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số

mới bằng a b  2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

Năm học: 2020-2021

Môn: TOÁN

Câu 1 (6,0 điểm)

1) Giải phương trình: 4x2 20x28 3 x215x20

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z  0 Chứng minh rằng:

x y z  xyz 3) Cho các số nguyên a b c, , thoả mãn điều kiện: (a b )3(b c )3(c a )3 378 Tính giá trị của biểu thức A |a b| | b c | | c a |.

Lời giải

1) Giải phương trình: 4x2 20x28 3 x215x20

Đặt t x2 5x7,(t0) x2 5x 7 t2.

ĐKXD: x  

Phương trình trờ thành: 2t3t21

2

1

3

t

t







 



1

3

t 

(loại) hoặc t 1 (thỏa mãn)

 Với t 1, ta có :

x  x   x  x   x hoặc x 3 Vậy phương trình có tập nghiệm là S {2;3}

2) Cho ba số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện x y z  0 Chứng minh rằng:

x y z  xyz

Ta có :x y z   0 z(x y )

VT x y z x y  x y x y  x  x y xy  y

VT  xy x y  xyz VP

3) Cho các số nguyên abc thoả mãn điều kiện: (a b )3(b c )3(c a )3 378

Tính giá trị của biểu thức A |a b| | b c | | c a |.

Đặt a b x b c  ;  y c a z;    x y z  0

Ta có: x3y3z3 3783xyz378 xyz126

Do x y z, , là số nguyên có tồng bằng 0 và xyz126 x y z   ( 2) ( 7).9  nên

           

           









 Suy ra: A |a b| | b c | | c a | 18

Câu 2 (3,0 điểm)

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c  chia hết cho 12 Chứng

minh: P(a b b c c a )(  )(  )-5abc chia hết cho 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

x y z    x y z

Lời giải

1) Cho a b c, , là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a b c  chia hết cho 12 Chứng

minh: P(a b b c c a )(  )(  )-5abc chia hết cho 12

Ta có:

P a b b c c a abc

a b c ab bc ca abc

a b b c c a a b c ab bc ca abc

Giả sử a b c, , đều chia 2 dư 1  a b c  chia 2 dư 1 (2)

Mà a b c  :12 a b c   (theo giả thiết) (2)2

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn  Điều già sử là sai

 Trong ba số a b c, , ít nhất có một số chia hết cho 2  6abc:12(**)

Từ (*) và (**) suy ra P 12

2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

x y z    x y z

Ta có: x3 x x x  21 (x1) (x x1) : 3

Tưng tự ta có: y3 y: 3 ;z3 z 3

: 3

Biến đổi phương trình thành: x3 x  y3 y  z3 z 2020

Mà 2020 3 Vậy không tồn tại ba số nguyên x y z, , thỏa mãn điều kiện:

x y z    x y z

Câu 3 ( 3,0 điểm)

1) Cho x y, là hai số thực dương Chứng minh rằng:

3 3

4 0

y  x  y  x   . 2) Cho số thực x thỏa mãn 0  Tìm GTNN của biểu thức: x 2

2021 2

A

x x

Lời giải

1) Cho x y, là hai số thực dương Chứng minh rằng:

3 3

4 0

y  x  y  x   .

Ta có:

với mọi x y , 0

        

        

3 3

4 0

2) Cho số thực x thỏa mãn 0  Tìm GTNN của biểu thức: x 2

2021 2

A

x x

Ta có

Mà 0  suy ra : 2x 2  x 0

Áp dụng BĐT : a b 2 ab với a b , 0, dấu bằng xảy ra khi a b ta có:

100

36x 120

x

  dấu bằng xảy ra khi

5 3

x 

4 36(2 ) 24

  dấu bằng xày ra khi

5 3

x 

Suy ra

Vậy MinA =2093 khi và chi khi

5 3

x 

Câu 4 (7,0 điểm).Cho tam giác ABC cóba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt

nhau tại H

1) Chứng minh: BH . BD = BC BKvà BH . BD + CH.CE= BC2

2) Chứng minh BH AC.cotABC

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: MP MQ

Lời giải

1) Chứng minh: BH BD = BC BKvà BH BD + CH.CE= BC2

Xét tam giác: BHK đông dạng BCD có:

KBH chung

BKH BDC 

BHK

  đồng dạng BCD(g.g)

nên

BH BK

BC BD

BH BD BCBK

Tương tự: CHK đồng dạng CBE nên

CH KC

CH CE BC KC

BC CE    

Cộng vế với vế hai đằng thức ta được:

BH BD CH CE BCBK BC KC     hay BH BD CH CE BC BK KC    (  )BC2

2) Chứng minh BH AC.cotABC

Chứng minh : BEH đồng dạng ( )

BH BE CEA g g

CA CE

Xét BEC vuông tại cot

BE

CE

BH BE

ABC BH AC ABC

CA CE

3) Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường

thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P Chứng minh rằng: MP MQ

Chứng minh PAH đồng dạng ( )

PA AH AMB g g

AM MB

Chứng minh: QAH đồng dạng ( )

QA AH MAC g g

AM MC

QA PA

MB MC

AM AM

PA QA QMP

    cân tại M  MP MQ

Câu 5 (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó

thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số

mới bằng a b  2lên bảng Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

Lời giải

Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: S    1 2 3 99 100 5050 

Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2

Lúc đầu tồng S 5050 sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050 2.99 4852 

 HẾT 