92 hsg 17 thanh hoa dang truong nguyen

Gọi E là giao điểm của CN và DA.. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F.. Lấy M là trung điểm của EF.. a Chứng minh: CM vuông góc với EF.. b Chứng minh: NB DE... c Tìm vị trí của N

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016-2017

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức:

Với x xx+2x−√x−2

xx−3√x+2 0, x |5−3x|−|x−1|

x−3+|3+2x| 1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để

1

c) So sánh: P2 và 2P.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Tìm x y  , thỏa mãn: xy1

b) Cho a b c; ; là các số nguyên khác 0 thỏa mãn điều

kiện:

2

1 1 1 1 1 1

a b c a b c

 

     

 

 

Chứng minh rằng: a3b3c3 chia hết cho 3.

Bài 3: (4,0 điểm)

9 4

b) Cho x y; là 2 số thực thoả mãn:

x  y  xy x y  .

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

A x y   .

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a N là điểm tùy ý

thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ

tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Lấy M là

trung điểm của EF.

a) Chứng minh: CM vuông góc với EF

b) Chứng minh: NB DE a2 và B D M; ; thẳng hàng.

c) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích của tứ

giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD.

Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

- Hết -Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài 1: (4,0 điểm)

 3

A

      

        

2 1 1 1 2 1 2

x

        



     

2

1 2 2

1 1

1 1

x

x x x

x x x



  

   b)Với x ( √x+2)(√x−1)(√x+1)

( √x+2)(√x−1)2 0, x √x−1

2 2 2

1 7 6 0

7 1 7

2 3 0

x x

          

 

   

2

0 2 0 2 ( 2) 0 2 0 2

1 P P P P P P P

x x

             

 

Bài 2: (4,0 điểm)

2

y x x y x y xy y x x y x y xy

x y y x

2(x+1)

1 2

y Z

(loại)

b)Từ giả thiết

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

a b c a b c ab bc ca

        

Vì a b c , , 0nêna b c  0

3 3

a b c a b c a b ab a b c

a b c abc

           

   

Vậy | 3 x−5| vớia b c Z, , 

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng hằng đẳng thức

x y z  xyz x y z x  y z  xy yz zx 

mà không chứng minh thì trừ 0,5 điểm

Bài 3: (4,0 điểm)

a)Đkxđ: |2 x+3|

4x 20x25 x 6x 9 10x 20

2 5 3 10 20 2 5 3 10 20

b)x22y2 2xy7x7y10 0

4 1 1

x y

            

     

 x y   1 4 khi x 5; y 0

 x y   1 1 khi x 2; y 0

max 1

Bài 4: (6,0 điểm)

5

3 )

nhọn)

CE CF ECF

    cân tại C

NCF

vuông ta có:

BC NB BF  a NB DE(đpcm)

M

F E

C

B A

D N

*CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên

EF 2

CM 

EF

A

EF 2

AM 

CM AM M

AC

, ,

B D M

1 1

2 2

ACFE ACF AEF

a x DE a x x

      

   

3

ACFE ABCD

S  S 1  2 2 2

2 a x x a a ax x

2a x 3a x 0

   

Do x 0; a 0;  3a x  0 2a x  0 x2a

1

Vì AE/ / BCnên 1

AN AE

NB BC 

x

Bài 5: (1 điểm)

a b a b a b c



  

Tương tự:

b b a

b c a b c





   ;

c c b

c a a b c





  

2

a b b c c a

* Ta có: ( )

b c  a b c

Vì a b c , , 0 nên theo bất đẳng thức Cô- si ta có:

2

a b c

a b c

 

    

2 1

a b c a b c

 

  

2a a 2a a

a b c a b c a b c b c

     

Tương tự:

2b b

a b c   a c ;

2c c

a b c   b a

2

b c a c a b

   

   Dấu " "  xảy ra khi a b c  ; b c a  ; c a b 

2

b c a c a b

   

Từ (1); (2) ta có đpcm