Hoc sinh gioi toan 8 2020 2021 vong 1 yen dinh toan thcs vn

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA.. Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC tại P.. Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.. Tìm GTNN của biểu thức:c 0... Trên t

PHÒNG GD&ĐT YÊN ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC: 2020 - 2021 Môn: Toán lớp 8 – Vòng 1

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho 2

A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: (x2 5 x 1) 2 2x210x 1

b) Chứng minh rằng: Nếu

1 1 1

2

a b c   và a b c abc   thì ta có 2 2 2

1 1 1

2

a b c 

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1 2x 1 2y

1

- - Chứng minh:

M=x + -y xy là bình phương của một số hữu tỷ.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x x )+ + 2 =4y(y 1)

-Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC   Vẽ đường cao AH H BC   Trên tia đối của tia BC

lấy điểm K sao cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng

AC tại P

a) Chứng minh rằng KAC PBC 

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI  .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho a³ b³ > Tìm GTNN của biểu thức:c 0

a b c L

a b b c c a

 HẾT 

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN 8 (2020 – 2021) Câu 1. (4,0 điểm)

Cho 2

A

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

Lời giải

a) Rút gọn A

(x 2)(x 3)

(x 2)(x 3)

A  

(x 2)(x 3) 3

A

x

   (ĐKXĐ: x 2;3) b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên

1

x A



Để A nguyên thì

7 3

x  là số nguyên

Đặt

7

3 k

x  (1) với k Z k , 0

(1)

7 3

x

k

  

Lại có:

7

2

7

k x

k



 









Vậy với

7 3

x

k

 

với kz k,  0; 7 thì A có giá trị là một số nguyên

Câu 2. (4,0 điểm)

(x 5 x 1) 2x 10x 1

b) Chứng minh rằng: Nếu

1 1 1

2

a b c   và a b c abc   thì ta có 2 2 2

1 1 1

2

a b c 

Lời giải

a) Giải phương trình: (x2 5 x 1) 2 2x210x1

x2 5x 12 2x2 5x 1 1 0

5

x

x x

x





 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 0;5

b) Ta có:

1 1 1

2

a b c   2 2 2

4

a b c ab ac bc

1 1 1 2(a b c)

4

 

4

abc

Vậy: 2 2 2

1 1 1

2

a b c 

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Cho x, y là số hữu tỉ khác 1 thỏa mãn

1 2x 1 2y

1

- - Chứng minh:

M=x + -y xy là bình phương của một số hữu tỷ.

b) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 x x )+ + 2 =4y(y 1)

-Lời giải

a) Ta có :

1 2x 1 2y

1 1 2x 1 y 1 2y 1 x 1 x 1 y

-3xy 1

1 y 2x 2xy 1 x 2y 2xy 1 x x xy x y

2

+

æ + ö÷ æ - ö÷

Vì x, yÎ ¤ nên

3xy 1 2

là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ

b) Ta có :

2

2 2

x(1 x x ) 4y(y 1) (1)

x x x 1 4y 4y 1

x 1 x 1 2y 1

-Gọi d=(x2+1, x 1+ )

Do ( )2

2y 1- là số lẻ Þ d là số lẻ.

x 1 d+ MÞ x 1 x 1 d+ - MÞ x - 1 dM

Lại có: x2+1 dMÞ 2 dM mà d là số lẻ nên d 1=

Do đó: x2+1 và x 1+ là hai số nguyên tố cùng nhau

Với x, y là các số tự nhiên thì ( )2

2y 1- là số chính phương nên x2+1 là số chính phương.

Lại có x2+1va x là hai số chính phương liên tiếp 2 Þ x2= Þ0 x=0

Thay x= vào phương trình (1) ta tìm được 0 y=0hoặc y 1=

Vậy các cặp số tự nhiên (x, y)là (0;0 ; 0;1) ( )

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  

Vẽ đường cao AH H BC  

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng

AC tại P

a) Chứng minh rằng KAC PBC 

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI  .

Lời giải

Q P

C B

A

a) Chứng minh rằng KAC PBC 

Hai tam giác CKP và CAB có CKP CAB  90 và ACB chung nên CKP∽ CAB

Do đó suy ra

CK CA

CP CB Đến đây ta lại có CAK∽ CBP nên KAC PBC 

b) Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh rằng  BHQ∽ BPC.

Ta có AKH vuông cân tại H nên AKH   Do đó từ 90 CAK ∽ CBP ta được

AKH CPB   Suy ra BAP vuông cân tại A nên BP AB 2

Ta có BHA∽ BAC nên

BH AB

BA AC

Suy ra

Do vậy BHQ∽ BPC

c) Tia AQ cắt BC tại I Chứng minh rằng 1

AH BC

BH  BI  .

Ta có BAP vuông cân tại A với AQ là đường trung tuyến nên AQ cũng là phân giác Do

đó AI là phân giác ngoài của ABC

Suy ra

IB AB

IC AC

Lại có BHA∽ BAC nên

AB HB

AC HA Kết hợp các kết quả lại ta được



Câu 5. (2 điểm)

Cho a³ b³ > Tìm GTNN của biểu thức: c 0

L

a b b c c a

Lời giải

Ta có

A

- =çç - ÷÷+çç - ÷÷+çç - ÷÷

b a a c

2

a b a c

= + ççè + + + ÷÷ø

2

a b a c b c

b c b c c a

+ + + (Do a³ b³ > )c 0

Dấu "=" xảy ra khi a= =b c

Vậy GTNN của

3 2

A=

khi a= =b c

 HẾT 