Chủ đề 13: Cơ năng đlbt cơ năng

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý khối 10 theo chương trình giáo dục phổ thông mới 2018. Chuyên đề 13: Cơ năng và bảo toàn cơ năng. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý khối 10 theo chương trình giáo dục phổ thông mới 2018. Chuyên đề 13: Cơ năng và bảo toàn cơ năng. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý khối 10 theo chương trình giáo dục phổ thông mới 2018. Chuyên đề 13: Cơ năng và bảo toàn cơ năng.

Chủ đề 3 CƠ NĂNG – ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I NĂNG LƯỢNG - CÁC DẠNG NĂNG LƯỢNG CƠ HỌC

1 Năng lượng

- Năng lượng là đại lượng đặc trưng cho khả năng thực hiện công của một vật hoặc một hệ vật

- Năng lượng của một vật (hoặc hệ vật) ở một trạng thái xác định có giá trị bằng công lớn nhất

mà vật (hoặc hệ vật) thực hiện được

- Nói đến năng lượng là nói đến một trạng thái của vật, nói đến công là nói đến một quá trình từ trạng thái này đến trạng thái khác của vật

- Đơn vị: Trong hệ SI, đơn vị của năng lượng là J Ngoài ra còn có các đơn vị khác như Wh (oát giờ) hoặc kWh (kilôoát giờ)

2 Các dạng năng lượng cơ học

- Động năng là đại lượng vô hướng và luôn dương

- Động năng có tính tương đối Giá trị của nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu được chọn

- Định lí động năng: Độ biến thiên động năng của vật bằng tổng các công của lực ngoài

- Thế năng phụ thuộc vào vị trí tương đối giữa các vật hoặc các phần của vật

- Thế năng là đại lượng vô hướng, có thể dương, âm hoặc bằng 0

- Thế năng có tính tương đối Giá trị của nó phụ thuộc vào mốc tính thế năng

- Thế năng là dạng năng lượng gắn với lực thế Các lực thế thường gặp là trọng lực, lực hấp dẫn,lực đàn hồi, lực tĩnh điện

- Hai loại thế năng:

+ Thế năng trọng trường: Wt = mgz (g là gia tốc trọng trường, z là độ cao của vật

so với vị trí chọn làm mốc)

+ Thế năng đàn hồi: W t=1

2k x

2 (x là độ biến dạng của vật đàn hồi)

- Độ giảm thế năng và công của lực thế: Công của lực thế bằng độ giảm thế năng:

A =W −W

II ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG

2 Định luật bảo toàn cơ năng

- Với hệ kín không có ma sát, cơ năng của hệ được bảo toàn:

W =W đ+W t=const

III ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN VÀ CHUYỂN HÓA NĂNG LƯỢNG

1 Định luật

- Năng lượng không tự nhiên sinh ra cũng không tự nhiên mất đi Năng lượng chỉ chuyển hóa

từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác

(Wr: năng lượng do máy thực hiện, Wv: năng lượng cung cấp cho máy)

B NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP

- Vì giá trị của động năng và thế năng phụ thuộc vào hệ quy chiếu nên khi tính động năng, thế

năng của vật ta phải chọn hệ quy chiếu (động năng) hoặc mốc tính thế năng

- Khi dùng định lí động năng để tính công hoặc giải các bài toán cơ học khác cần xác định đầy

đủ công của các ngoại lực tác dụng lên vật Chú ý tổng công của các ngoại lực là tổng đại số(các công thành phần có thể có giá trị dương, âm hoặc bằng 0)

- Để áp dụng định luật bảo toàn cơ năng thì hệ ta xét phải là hệ kín (các vật trong hệ không

tương tác với các vật bên ngoài hệ) và không có ma sát Với hệ kín một vật thì biểu thức tườngminh của định luật là:

- Khi có sự chuyển hóa giữa cơ năng và các dạng năng lượng khác (nhiệt năng, điện năng, ),các lực không phải là lực thế (lực ma sát) đã thực hiện công Ams thì: ∆ W =W2−W1=A ms<0

- Chú ý phân biệt các thuật ngữ: “độ biến thiên”, “độ giảm”, “độ tăng” Cụ thể:

+ “Độ biến thiên” = “giá trị sau” - “giá trị đầu”: “độ biến thiên” có thể dương hoặc âm

+ “Độ tăng” = “giá trị sau” - “giá trị đầu”: “độ tăng” luôn luôn dương

+ ”Độ giảm” = “giá trị đầu” - “giá trị sau”: “độ giảm” luôn luôn dương

C PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Đạng bài tập về động năng, định lí động năng

- Sử dụng các công thức:

+ Động năng: ƯW đ=

1

2m.v2Trong đó v là vận tốc của vật trong hệ quy chiếu đang khảo sát

Wt > 0 khi vật ở vị trí cao hơn gốc thế năng (mặt phẳng thế năng)

Wt < 0 khi vật ở vị trí thấp hơn gốc thế năng (mặt phẳng thế năng)

+ Thế năng đàn hồi: Wt = kx2

(x là độ biến dạng từ vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên)

+ Thế năng toàn phần: W ttp W t+ Với các lực thế (trọng lực, đàn hồi) thì: A = Wt1 – Wt2 = – Wt

- Một số chú ý:

+ Giá trị của động năng phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn (có tính tương đối)

+ A12 là tổng đại số công của các ngoại lực làm vật dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2 + Định lí động năng dùng để tính công các lực tác dụng lên vật hoặc dùng để giải các bàitoán không thông qua các định luật Niu-tơn

+ Khi dùng định lí động năng để tính công hoặc giải các bài toán cơ học khác cần xác địnhđầy đủ công của các ngoại lực tác dụng lên vật Chú ý tổng công của các ngoại lực là tổng đại

số (các công thành phần có thể có giá trị dương hoặc âm)

2 Dạng bài tập về thế năng, độ giảm thế năng

- Sử dụng các công thức:

+ Thế năng trọng trường: Wt = mgz ; thế năng đàn hồi W t=1

2k x

2, (z là độ cao của vật so với mốc tính thế năng, x là độ biến dạng của vật đàn hồi)

+ Hệ thức giữa độ giảm thế năng và công của lực thế (trọng lực, lực đàn hồi):



3 Dạng bài tập về bảo toàn cơ năng

- Xác định hệ khảo sát.

- Kiểm tra điều kiện áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: hệ kín và không ma sát

- Chọn hệ quy chiếu, mốc tính thế năng

- Xác định cơ năng đầu (vị trí 1) và cuối (vị trí 2): W1, W2

- Một số chú ý:

+ Định luật bảo toàn cơ năng thường được áp dụng cho trường hợp lực tác dụng thay đổihoặc định luật bảo toàn động lượng không áp dụng được hoặc không đủ để giải bài toán

4 Dạng bài tập về bảo toàn và chuyển hóa năng lượng

- Sử dụng công thức của định luật cho hai trường hợp:

+ Hệ kín, không ma sát: W1 = W2 + Hệ kín, có ma sát: W1 = W2 + |Ams|

- Hiệu suất của máy: H= W r

W v ≤1, (Wr: năng lượng do máy thực hiện, Wv: năng lượng cung cấpcho máy)

- Một số chú ý: W1, W2 là tổng năng lượng đầu (vị trí 1) và sau (vị trí 2) của hệ;|Ams| là độ lớn công của lực ma sát Ta có thể viết: ∆ W =W2−W1=A ms<0

D BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1 Vật khối lượng m = 100g rơi tự do không vận tốc đầu Lấy g = 10 (m/s2)

a) Bao lâu sau khi bắt đầu rơi, vật có động năng là 5J? 20J ?

b) Sau quãng đường rơi là bao nhiêu, vật có động năng là 1J? 4J?

Giải

a) Thời gian vật rơi:

- Động năng của vật:

ñ ñ

b) Quãng đường vật rơi:

- Động năng của vật:

ñ ñ

0 110 Vậy: Quãng đường rơi của vật khi có động năng 1J là 1m; quãng đường rơi của vật khi có độngnăng 4J là 4m

Ví dụ 2 Vật khối lượng m = 100g được ném thẳng đứng từ dưới lên với v0 = 20(m/s) Sử dụngcác phương trình chuyển động của vật ném đứng, tính thế năng, động năng và cơ năng toàn phầncủa vật:

+ Cơ năng toàn phần: W W W t ñ  0 20 20 J

b) Khi vật lên cao nhất: Ta có: h h max H,v0

+ Động năng: W ñ 1 mv 2 

0 2

+ Cơ năng toàn phần: W W W t ñ 20 0 20  J

+ Cơ năng toàn phần: W W W t ñ 15 5 20  J

* Lưu ý: Có thể tính vận tốc v như sau:

+ Thời gian (t1) vật lên đến độ cao cực đại:

+ Cơ năng toàn phần: W W W t ñ  0 20 20 J

* Kết luận: Tại những vị trí khác nhau thì thế năng và động năng của vật (hệ vật + Trái Đất) có

giá trị khác nhau nhưng tổng của chúng, tức là cơ năng toàn phần luôn không đổi

Ví dụ 3 Đoàn tàu m = 5 tấn đang chuyển động với vận tốc v0 = 10 (m/s) thì hãm phanh, lựchãm F = 5000N Tàu đi thêm quãng đường s rồi dừng lại Dùng định lí động năng, tính công củalực hãm, suy ra s

Giải

Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của đoàn tàu.

- Các lực tác dụng vào đoàn tàu: Trọng lực P  , phản lực Q  và lực hãm F  h.

Ví dụ 4 Một con khỉ có khối lượng 5kg bước hụt

khỏi cành cây và rơi xuống từ độ cao 5 m so với

+ điểm cao hơn cành cây 1 m.

b) Đối với mỗi cách chọn mốc thế năng, hãy tìm độ giảm thế năng của hệ con khỉ - Trái Đất khi nó rơi xuống đất ?

c) Tốc độ của con khỉ ngay trước khi chạm đất là bao nhiêu ?

Giải a)

- Chọn mốc thế năng tại mặt đất: Wt mgh5.9,8.5 245 J

- Chọn mốc thế năng tại nền ban công: Wt mgh5.9,8.2 98 J

- Chọn mốc thế năng tại cành cây: W 0t 

- Chọn mốc thế năng tại điểm cao hơn cành cây 1 m: Wt mgh5.9,8 1  49J

- Độ giảm thế năng: W W Wt  t t'mg h h  ' 5.9,8 1  6245J

* Nhận xét: Mặc dù thế năng phụ thuộc vào việc chọn mốc, nhưng độ giảm thế năng thì không,

nó chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối

c)

- Xem con khỉ chỉ chịu tác dụng của trọng lực, bỏ qua lực cản không khí

- Độ biến thiên động năng và độ giảm thế năng bằng công của trọng lực, ta có:

a) Tính thế năng của vật lúc bắt đầu thả Suy ra cơ năng của vật.

b) Tính thế năng của vật ở độ cao 15 m Suy ra động năng của vật tại vị trí

này.

c) Tìm độ cao của vật khi nó có động năng bằng thế năng.

d) Tìm tốc độ của vật khi nó có thế năng bằng ba lần động năng.

e) Tính động năng của vật khi chạm đất Suy ra tốc độ của vật khi chạm đất.

Giải

- Chọn mốc thế năng tại mặt đất:

a) Thế năng của vật tại lúc bắt đầu thả: Wt mgh A 0,5.10.25 125 J

- Cơ năng của vật tại A: W WA  t 125J

b) Gọi B là vị trí có độ cao 15m Thế năng tại B: WtB mgh B 0.5.10.15 75 J

- Cơ năng của vật được bảo toàn nên tao có:

c) Gọi C là vị trí mà động năng bằng thế năng:

- Bảo toàn cơ năng ta có:

d) Gọi D là vị trí mà thế năng bằng 3 lần động năng:

- Bảo toàn cơ năng ta có:

3m, hợp với phương ngang một góc a =30 0 Hệ số

ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là m= 0 1, Lấy

/

g=10m s2 Khi vật trượt hết mặt phẳng nghiêng.

Tính:

a) Công trọng lực và công của lực ma sát.

b) Độ biến thiên động năng.

c) Tốc độ của vật khi trượt xuống đến chân dốc.

Giải

a) Công của trọng lực: A P P S x .cosP s x, 

- Thành phần Px trên phương mặt phẳng nghiêng cùng chiều chuyển động nên góc P s  x,  0

Ta có: P x P.sin

- Suy ra, công của trọng lực: A P Psin cos S P sx, mgsin cos S P sx, 2.10.0,5.3.1 30 J

- Công của lực ma sát: A ms F S ms .cosF Sms,

trong đó, F ms N  .cosP 

- Lực ma sát Fms ngược hướng với chiều chuyển động

nên góc F S ms; 180

- Suy ra, công của lực ma sát: A ms Pcos cosS F Sms, 3 3J

b) Độ biến thiên động năng:

W

m

Ví dụ 7 Một con lắc đơn gồm một quả cầu nặng khối lượng 50g treo vào đầu dây dài

l =1 m tại nơi có g=9 8, m s/ 2 Bỏ qua ma sát Góc lệch cực đại của con lắc là a = 0

a) Tính tốc độ của con lắc khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc a =30 0.

b) Tính tốc độ con lắc khi dây treo ở phương thẳng đứng.

c) Tính cơ năng của con lắc khi a =30 0.

Giải

- Chọn mốc thế năng tại O.

a) Bỏ qua ma sát, bảo toàn cơ năng:

1

Trong đó: h B l1 cos  và h A l1 cos 0

- Tốc độ của con lắc khi dây treo hợp với phương thẳng đứng góc a =300

Ví dụ 8 Một con lắc đơn có độ dài dây treo là l 0, 6m Đưa

vật lên vị trí A hợp với phương thẳng đứng OC một góc

0

0 30

  rồi thả nhẹ nhàng, vật sẽ đi xuống O (vị trí thấp nhất)

rồi đi đến B, sao đó quay lại và dao động cứ thế tiếp diễn Bỏ

qua tác dụng của các lực cản, lực ma sát, lấy g 9,8 /m s2 Hãy

tính độ lớn vận tốc của vật tại vị trí M khi dây treo hợp với OC

góc   200.

GiảiChọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất O

- Thế năng tại vị trí A và M lần lượt là: WtA mgh A mgl1 cos 0;WtM mgh M mgl1 cos 

Ví dụ 9 Hòn đá m = 0,5kg buộc vào một dây dài = 0,5m quay trong mặt phẳng thẳng đứng.

Biết lực căng của dây ở điểm thấp nhất của quỹ đạo là T = 45N Biết tại vị trí vận tốc hòn đá cóphương thẳng đứng hướng lên thì dây đứt Hỏi hòn đá sẽ lên tới độ cao bao nhiêu khi dây đứt(tính từ nơi dây bắt đầu đứt)?

Hướng dẫn

– Các lực tác dụng vào vật: trọng lực và lực căng dây

– Gọi v0 là vận tốc của vật tại vị trí cân bằng, theo định luật II

(1)– Chiếu (1) xuống phương bán kính với chiều dương hướng về điểm treo O, ta được:

T – mg = maht = m

– Giả sử tại B, dây đứt Gọi v là vận tốc của vật lúc đứt dây

Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có:

Vậy: Hòn đá sẽ lên tới độ cao H = 1,5m

Ví dụ 10 Dây nhẹ không dãn chiều dài = 50cm treo vật nặng nhỏ Ban đầu vật nặng đứng

yên ở vị trí cân bằng Hỏi phải truyền cho vật nặng vận tốc tối thiểu bao nhiêu theo phươngngang để nó có thể chuyển động tròn trong mặt phẳng thẳng đứng

mv

2

mv 2

mv

2

mv 2

Ví dụ 11 Quả cầu khối lượng m = 100 g gắn ở đầu một lò xo

nằm ngang, đầu kia của lò xo cố định, độ cứng của lò xo k = 40

N/m Quả cầu có thể chuyển động không ma sát trên mặt phẳng

ngang Từ vị trí cân bằng O, người ta truyền vận tốc ban đầu v0 = 1 m/s theo phương ngang.Tìm độ giãn cực đại của lò xo

Giải

Vật nặng chịu tác dụng của các lực: lực đàn hồi, trọng lực, phản lực của mặt sàn Trong

đó trọng lực và phản lực cân bằng lẫn nhau, vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi nên cơ năngvật được bảo toàn Áp dụng định luật bảo toàn vật ở vị trí cân bằng (x1 = 0) và vị trí lò xo giãncực đại ( v2 = 0), ta có:

Ví dụ 12 Quả cầu khối lượng m = 100g gắn ở đầu một lò xo nằm ngang, đầu kia của lò xo

cố định, độ cứng của lò xo k = 0,4N/cm Quả cầu có thể chuyển động không ma sát trên mặtphẳng ngang Từ vị trí cân bằng O, người ta kéo quả cầu cho lò xodãn ra đoạn OA = 5cm rồi buông tay Quả cầu chuyển động dao

động trên đoạn đường AB

a) Tính chiều dài quỹ đạo AB

b) Tính vận tốc cực đại của quả cầu trong quá trình chuyển động Vận tốc này đạt ở vị trínào?

Giải

a) Chiều dài quỹ đạo AB:

Các lực tác dụng vào vật: trọng lực , phản lực , lực đàn

hồi ( và cân bằng)

Bỏ qua ma sát, cơ năng của hệ vật và lò xo (con lắc lò xo)

bảo toàn Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A

(vị trí buông tay) và B (vật dừng ở phía bên kia O):

WA = WB  k.OA2 = k.OB2  OB = OA

Vậy: Chiều dài quỹ đạo: L = AB = 2.OA = 2.5 = 10cm

b) Vận tốc cực đại của quả cầu:

1 2

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho 2 vị trí A và O (vị trí cân bằng, lò xo không biến dạng):

WA = WO  k.OA2 = mv2

 v = OA = 5 = 100cm/s = 1m/s (k = 0,4 N/cm = 40 N/m)

Vậy: Vật đạt vận tốc cực đại bằng 1 m/s khi đi qua vị trí cân bằng, tại đó lò xo không biến dạng

Ví dụ 13 Quả cầu m = 50g gắn ở đầu lò xo thẳng đứng, đầu trên của lò xo cố định, độ cứng

k = 0,2N/cm Ban đầu m được giữ ở vị trí lò xo thẳng đứng và có chiều dài tự nhiên Buông mkhông vận tốc đầu

a) Tính vận tốc quả cầu tại vị trí cân bằng

b) Tìm độ dãn cực đại của lò xo trong quá trình chuyển động

Giải

Khi cân bằng lò xo dãn đoạn (hình vẽ)

Điều kiện cân bằng: mg = k  =

với k = 0,2 N/cm = 20 N/m, ta có: = = 0,025m = 2,5cm

Coi hệ (quả cầu + lò xo) tương đương với một lò xo không

treo quả cầu,có chiều dài tự nhiên bằng chiều dài của lò xo có treo

quả cầu khi cân bằng, tức là đã dãn với độ cứng k không đổi

Như vậy nếu chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng thì vẫn áp dụng được công thức Wt =

, với x là độ biến dạng của lò xo tính từ vị trí cân bằng

Vì lò xo tương đương không treo quả cầu (thế năng trọng lực đã bị cân bằng bởi thế năng

đàn hồi) nên trong trường hợp này thế năng trọng lực luôn bằng 0 và không phụ thuộc vào cáchchọn gốc thế năng trọng lực (W1t = 0) Thế năng của hệ luôn bằng thế năng đàn hồi của lò xo vớimốc thế năng tại vị trí cân bằng

Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ

a) Vận tốc của quả cầu tại vị trí cân bằng:

Tại M lò xo không biến dạng nên: xM = –OM = – = –2,5cm; vM = 0

Tại vị trí cân bằng O (xCB = 0) và quả cầu có vận tốc vCB

Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng):

2

1 2 k

m

40 0,1



0,05.10 20

1 kx 2

2 CB

1 mv 2

M

k x

m

20 2,5 0,05



Tại vị trí thấp nhất N của quả cầu thì lò xo dãn cực đại, khi đó xN = ON và vN = 0.

Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng đàn hồi tại vị trí cân bằng):

WM = WN  =  xN = xM = = 2,5cm

Độ dãn cực đại của lò xo: = + ON = 2 = 2.2,5 = 5cm

Vậy: Tại vị trí thấp nhất thì lò xo bị dãn cực đại là 5cm

Ví dụ 14 Một khẩu súng đồ chơi có một lò xo dài 10 cm, lúc bị nén chỉ còn 4 cm thì có thể bắn

thẳng đứng một viên đạn có khối lượng 30 g lên cao 6 m Tìm độ cứng của lò xo

Giải

Đạn chịu tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi

Cả hai lực này đều là nội lực của hệ vì thế cơ năng của nó được bảo

của viên đạn bằng không: WtP mghmax

Theo định luật bảo toàn cơ năng :

Ví dụ 15 Quả cầu m = 50 g gắn ở đầu lò xo thẳng đứng, đầu trên của lò xo cố định, độ cứng

k = 20 N/m Ban đầu m được giữ ở vị trí lò xo thẳng đứng và có chiều dài tự nhiên Buông mkhông vận tốc ban đầu Tính vận tốc của quả cầu tại vị trí cân bằng

Giải

Vật chuyển động dưới tác dụng của trọng lực và lực đàn hồi nên cơ năng được bảo toàn Chọnmốc thế năng tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên

Cơ năng vật tại vị trí lò xo có chiều dài tự nhiên: W1 = 0

Tại vị trí cân bằng, lò xo giãn một đoạn là l, ta có:

2 M

1 kx 2

2 N

1 kx

 0 0

E BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Ô-tô khối lượng m = 1 tấn, ban đầu chuyển động trên đoạn đường AB = 100m nằm

ngang, vận tốc xe tăng đều từ 0 đến 36(km/h) Biết lực cản trên đoạn đường AB bằng 1% trọnglượng xe

a) Dùng định lí động năng tính công do động cơ thực hiện, suy ra công suất trung bình và lựckéo của động cơ trên đoạn đường AB

b) Sau đó xe tắt máy, hãm phanh và đi xuống dốc BC dài 100m, cao 10m Biết vận tốc xe ở chândốc là 7,2(km/h)

Dùng định lí động năng tính công của lực cản và lực cản trung bình tác dụng lên xe trên đoạnđường BC

Bài 2 Viên đạn khối lượng m = 60g bay ra khỏi nòng súng với vận tốc 600(m/s) Biết nòng

d) Sau khi chạm đất, đạn lún sâu vào đất 10cm Tính lực cản trung bình của đất

Bỏ qua tác dụng của trọng lực so với lực cản. 

Bài 3 Thang máy khối lượng m = 1 tấn, chuyển động thẳng từ trên xuống Động cơ thang máy

có thể kéo hoặc hãm thang

a) Ban đầu thang chuyển động nhanh dần không vận tốc đầu Tính công do động cơ thực hiệnsau khi đi được quãng đường 5m và đạt vận tốc 18(km/h)

b) Giai đoạn kế tiếp, thang máy chuyển động thẳng đều Tính công suất của động cơ

c) Cuối cùng, thang máy chuyển động chậm dần và dừng lại sau khi đi thêm quãng đường 2m

Bài 4 Hai máy bay chuyến động cùng chiều trên cùng một đường thẳng với các vận tốc v1 =540(km/h), v2 = 720(km/h) Máy bay II bay phía sau bắn một viên đạn m = 50g với vận tốc900(km/h) (so với máy bay II) vào máy bay trước Viên đạn cắm vào máy bay I và dừng lại saukhi đi được quãng đường 20cm (đối với máy bay I) Dùng định lí động năng và định luật IIINiu-tơn tính lực phá trung bình của viên đạn lên máy bay I.

Bài 5 Hòn đá khối lượng m = 200g được ném từ mặt đất, xiên góc α so với phương ngang và

rơi chạm đất ở khoảng cách s = 5m sau thời gian chuyển động t = 1s Tính công của lực ném, bỏqua lực cản của không khí

Bài 6 Một người đặt súng theo phương ngang rồi lần lượt bắn hai phát vào một bức tường cách

đầu súng khoảng x = 60m theo phương ngang Sau phát đạn thứ nhất, người ta đặt trước mũisúng một tấm gỗ mỏng thì thấy viên đạn thứ hai chạm tường ở điểm thấp hơn viên đạn thứ nhấtmột khoảng  1 m Biết vận tốc ban đầu của đạn là v0 = 300(m/s) và khối lượng đạn m = 20g.Tính công do đạn thực hiện khi xuyên qua miếng gỗ

Bài 7 Một ô-tô chuyển dộng nhanh dần đều không vận tốc đầu trên

đường nằm ngang Sau khi đi được quãng đường s1, xe đạt vận tốc v Ở

cuối đoạn đường s2 kế tiếp, xe đạt vận tốc 2v

Biết lực ma sát giữa xe và mặt đường là không đổi

Hãy so sánh công của động cơ xe trên hai đoạn đường, so sánh s1, s2 và

cho biết công suất của động cơ xe có thav đổi không?

Bài 8 Một người đứng trên xe đứng yên và ném theo phương ngang

một quả tạ khối lượng m = 5kg với vận tốc v1 = 4(m/s) đối với Trái

Đất Tính công do người thực hiện nếu khối lượng xe và người là M =

100kg Bỏ qua ma sát

Bài 9 Cho hệ thống như hình vẽ: m1 = 1kg, m2 = 1,5kg Bỏ qua ma

sát, khối lượng dây và ròng rọc Thả cho hệ chuyển động thì vật m1 đi

lên hay đi xuống? Khi vật m1 di chuyển 1m Tìm độ biến thiên thế

năng của hệ, suy ra công của trọng lực Cho g = 10(m/s2)

Bài 10 Lò xo k = 100(N/m) đầu trên cố định, đầu dưới treo quả cầu khối lượng m = 100g Quả

cầu chuyển động theo phương thẳng đứng và có thể rời ra xa vị trí cân bằng một khoảng lớnnhất là A = 2cm Bỏ qua sức cản của không khí

a) Tính độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng.

b) Tính thế năng của hệ quả cầu, lò xo khi quả cầu ở vị trí cân

bằng, vị trí thấp nhất, vị trí cao nhất, nếu:

- Chọn gốc thế năng trọng lực tại vị trí quả cầu ở thấp nhất, gốc

thế năng đàn hồi khi lò xo không biến dạng

- Chọn gốc thế năng trọng lực và đàn hồi đều ở vị trí cân bằng của quả cầu

Bài 12 Hai lò xo k 1 = 10(N/m), k 2 = 15(N/m), chiều dài tự do 1 2 20 cm Các lò xo một đầugắn cố định tại A, B, một đầu nối với m (hình vẽ) Biết AB = 50cm Bỏ qua kích thước cua m,

bỏ qua ma sát

a) Tính độ dãn của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O

b) Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm Tính thế năng đàn hồi của hệ hai lò xo tại vị trí

x Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng. 

Bài 13 Hai lò xo k1 = 10(N/m), k2 = 20(N/m), chiều dài tự do

1 24 2 15

  Các lò xo một đầu cố định tại A, một đầu

nối với m Bỏ qua kích thước của m (hình vẽ)

a) Tính độ biến dạng của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O

b) Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm Tính thế năng đàn hồi của

hệ hai lò xo tại vị trí x Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng

Bài 14 Hai lò xo k 1 = 0,2(N/cm), k 2 = 0,6(N/cm) nối với nhau và nối với

điểm cố định A Vật m = 150g treo ở đầu hai lò xo (hình vẽ)

a) Tính độ biến dạng của mỗi lò xo tại vị trí cân bằng O

b) Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm Tính thế năng đàn

hồi của hệ hai lò xo tại vị trí x Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng

Bài 15 Một quả cầu nhỏ lăn trên mặt phẳng nghiêng, α = 30°, v A =

0, AB = 1,6m, g = 10(m/s 2 ) Bỏ qua ảnh hưởng do ma sát (hình vẽ)

a) Tính vận tốc quả cầu ở B

b) Tới B, quả cầu rơi trong không khí Tính vận tốc quả cầu khi sắp chạm

đất, biết B ở cách mặt đất h = 0,45m

Bài 16 Hai vật có khối lượng tổng cộng m 1 + m 2 = 3kg được nối bằng dây qua

một ròng rọc nhẹ (hình vẽ) Buông cho các vật chuyển động, sau khi đi được

quãng đường s = l,2m mỗi vật có vận tốc v = 2(m/s) Bỏ qua ma sát

Dùng định luật bảo toàn cơ năng, tính m1 và m2 Cho g = 10(m/s2)

Bài 17 Dây đồng chất chiều dài  1 6 , m có trọng lượng, vắt qua một ròng rọc

nhỏ không ma sát và nằm yên (hình vẽ) Sau đó dây

bắt đầu trượt khỏi ròng rọc với vận tốc đầu v0 = 1(m/

s) Tính vận tốc dây khi dây vừa rời khỏi ròng rọc

Bài 18 Vật nặng trượt trên một sàn nhẵn với vận tốc v0 = 12(m/s) đi lên một cầu nhảy đến nơicao nhất nằm ngang và rời khỏi cầu nhảy (hình vẽ)

Độ cao h của cầu nhảy phải là bao nhiêu để tầm bay xa s đạt cực đại ?

Bài 19 Viên đạn m1 = 50g bay theo phương ngang với vận tốc v0 = 20(m/s) đến cắm vào vật m2

= 450g treo ở đầu sợi dây dài  2 m Tính góc α lớn nhất mà dây treo lệch so với phươngthẳng đứng sau khi viên đạn cắm vào m2)

Bài 20 Dây treo vật nặng được kéo nghiêng một góc bao nhiêu để khi qua vị trí cân bằng lực

căng của dây lớn gấp đôi trọng lực vật nặng

Bài 21 Treo vật m = 1 kg vào đầu một sợi dây rồi kéo vật khỏi vị

trí cân bằng để dây treo hợp với phương thẳng đứng góc α0 Định

α0 để khi buông tay, dây không bị đứt trong quá trình vật chuyển

động Biết dây chịu lực căng tối đa 16 N 10 3  2N

và

0 90

Bài 22 Hai vật A có m1 = 1,5kg và B có m2 = 0,45kg buộc vào các sợi dây treo trên một thanh

đòn nhẹ, chiều dài hai nhánh tay đòn 10 6 , m;2 1 m Vật A đặt trên sàn Cần đưa dây treo Bnghiêng góc α (so với phương thẳng đứng) nhỏ nhất bao nhiêu để sau khi buông tay, vật A cóthể nhấc khỏi bàn?

Bài 23 Một ống khối lượng M chứa vài giọt ête được nút kín bằng một nút khối lượng m và treo

bằng dây chiều dài  Khi đốt nóng ống, hơi ête sẽ đẩy nút bật ra Tính vận tốc tối thiểu của nút

để ống có thể quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng quanh điểm treo

Bài 24 Quả cầu m treo ở đầu một thanh nhẹ, cứng và mảnh, chiều dài thanh  0 9 , m , thanh cóthể quay tròn trong mặt phẳng thẳng đứng quanh trục qua đầu trên của thanh, cần truyền cho mvận tốc tối thiểu tại vị trí cân bằng theo phương ngang là bao nhiêu để m có thể chuyển động hếtvòng tròn trong mặt phẳng thẳng đứng?

Bài 25 Quả cầu khối lượng m treo ở đầu một sợi dây chiều dài  , đầu trên của dây cố định.

Quả cầu nhận được vận tốc ban đầu v0 theo phương ngang tại vị trí cân bằng Bỏ qua sức cảncủa không khí

a) Tính vận tốc và lực căng của dây tại vị trí dây treo hợp với phương thẳng đứng một góc α

b) Biết v 0 2 3 g Tìm độ cao cực đại h0 mà quả cầu đạt tới (tính từ vị trí cân bằng) trong chuyểnđộng tròn Độ cao H0 mà quả cầu đạt tới trong suốt quá trình chuyển động là bao nhiêu?

Bài 26 Quả cầu nhỏ M có khối lượng m = 100g được treo tại A bởi một dây chiều dài  81 cm

Tại O thấp hơn A khoảng 2



có một chiếc đinh, AO có phương thẳng đứng Kéo quả cầu đến

vị trí dây AM nằm ngang rồi buông tay

a) Tính lực căng của dây ngay trước và sau khi vướng đinh

b) Hỏi ở điểm nào trên quỹ đạo, lực căng của dây treo bằng

không? Sau đó quả cầu chuyển động như thế nào, lên tới độ cao

lớn nhất bao nhiêu?

Bài 27 Quả cầu treo ở đầu một sợi dây Truyền cho quả cầu ở

vị trí cân bằng một vận tốc đầu theo phương ngang Khi dây treo

nghiêng góc α = 30° so với phương thẳng đứng, gia tốc quả cầu có

hướng nằm ngang Tìm góc nghiêng cực đại của dây

Bài 28 Vật nhỏ khối lượng m trượt từ độ cao h qua vòng xiếc bán

kính R Bỏ qua ma sát

a) Tính lực nén của vật lên vòng xiếc tại vị trí α (hình vẽ)

b) Tính h để vật có thể vượt qua hết vòng xiếc

c) Khi vật không qua hết vòng xiếc, định vị trí α nơi vật bắt đầu rời vòng xiếc hoặc trượt trởxuống. 

Bài 29 Vật nhỏ bắt đầu trượt từ A có độ cao h xuống một vòng

xiếc có bán kính R không vận tốc đầu Vòng xiếc có một đoạn CD

hở với COB BOD  , OB thẳng đứng (hình vẽ)

a) Định h để vật có thể đi hết vòng xiếc

b) Trong điều kiện ở câu α, góc α là bao nhiêu thì độ cao h có giá trị

cực tiểu?

Bài 30 Vật nhỏ nằm trên đỉnh của bán cầu nhẵn cố định bán kính R,

vật được truyền vận tốc v  0 theo phương ngang (hình vẽ)

a) Định v0 để vật không rời khỏi bán cầu ngay tại thời điểm ban đầu

b) Khi v0 thỏa điều kiện trong câu a, định vị trí α nơi vật bắt đầu rời khỏi bán

cầu

Bài 31 Vật nhỏ khối lượng m trưọt trên mặt bán cầu nhẵn bán kính R Tại thời điểm ban đầu vật

ở độ cao h0 so với đáy bán cầu và có vận tốc v0 Tính lực nén của vật lên bán cầu khi nó ở độ cao

h < h0 và chưa rời bán cầu

Bài 32 Dây nhẹ đàn hồi chiều dài  , một đầu cố định ở A (hình vẽ).

Từ A, một chiếc vòng nhỏ khối lượng m, lồng ngoài sợi dây và rơi

xuống không ma sát, không vận tốc đầu Khi rơi đến đầu B của dây,

vòng tiếp tục chuyển động và kéo dãn dây thêm một đoạn  Tìm hệ

số đàn hồi k của dây

Bài 33 Nếu đặt quả cân lên đầu trên của một lò xo đặt thẳng đứng trên mặt phẳng ngang, lò xo

sẽ bị nén lại một đoạn x0 = 1 cm, Nếu ném quả cân đó từ độ cao

17,5cm (đối vói đầu trên của lò xo) theo phương thẳng đứng

xuống dưới với vận tốc đầu v0 = 1(m/s), lò xo sẽ bị nén lại một

đoạn tối đa là bao nhiêu ?

Bài 34 Vật m = 100g rơi tự do từ độ cao h lên một lò xo nhẹ,

Bài 35 Vật m bắn vào hai lò xo nhẹ mắc nối tiếp, độ cứng k1, k2 với vận tốc đầu v0 như hình vẽ.Biết năng lượng cực đại của lò xo II khi bị biến dạng là W2 Tính v0

Bài 36 Cho hệ như hình vẽ Bỏ qua ma sát, độ dãn của dây, khối lượng dây và ròng rọc Biết v0

= 0 và m1 chuyển động đi xuống Trong từng trường hợp, dùng định luật bảo toàn cơ năng, tínhgia tốc chuyển động của mỗi vật

Bài 37 Một lò xo có chiều dài tự nhiên 15cm Lò xo được nén lại tới lúc chỉ còn dài 5cm Độ

cứng của lò xo k100N / m

a) Một viên bi khối lượng 40g, dùng làm đạn, được cho tiếp xúc với lò xo bị nén Khi bắn, lò xotruyền toàn bộ thế năng cho đạn Tính vận tốc lúc bắn

b) Đạn bắn theo phương nằm ngang và lăn trên một mặt ngang

nhẵn, sau đó đi lên một mặt nghiêng, góc nghiêng α = 30° Tính

chiều dài lớn nhất mà đạn lăn được trên mặt nghiêng, nếu bỏ qua

ma sát trên mặt phẳng nghiêng

c) Thực ra đạn chỉ lăn được trên mặt nghiêng 1/2 chiều dài tính

được ở trên Tính hệ số ma sát của mặt phẳng nghiêng

Bài 38 Một vật nhỏ tại D được truyền vận tốc đầu v0 theo hướng

DC (hình vẽ) Biết vật đến A thì dừng lại , AB = 1m, BD = 20m,

hệ số ma sát  0 2 , Tính v0

Bài 39 Một chiếc xe tắt máy thả lăn không vận tốc đầu từ A xuống dốc AC và chạy đến D thì

dừng lại Từ D xe mở máy và chạy ngược lại theo đường DCA và dừng lại khi lên đến A (hìnhvẽ) Tính công của lực kéo của động cơ xe biết AB = 10m, khối lượng xe m = 500kg

Bài 40 Một vật nặng trượt không vận tốc đầu xuống mặt phẳng nghiêng AB rồi tiếp tục đi thêm

một đoạn BC trên mặt phẳng ngang (hình vẽ) Biết: AH = h, BH =  , BC = x, hệ số ma sát trên

cả hai đoạn đường là μ Dùng định luật bảo toàn năng lượng, tính x Cho biết điều kiện để bài

toán có nghiệm

Bài 41 Quả cầu khối lượng m treo dưới một dây chiều dài

 Nâng quả cầu lên để dây treo nằm ngang rồi buông tay

Biết vận tốc quả cầu ở vị trí cân bằng là V Tìm lực cản trung bình của không khí lên quả cầu

Bài 42 Cho hệ như hình vẽ, α=30°, m1 = 150g, m2 = 100g, hệ chuyển động không vận tốc đầu

Hệ số ma sát giữa m1 và mặt phẳng nghiêng là μ = 0,15 Dùng định luật bảo toàn năng lượngtính gia tốc mỗi vật, suy ra vận tốc mỗi vật sau khi chuyển động một thời gian t = 4s

F HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 a) Xe chạy trên đường nằm ngang

Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của xe

- Các lực tác dụng vào xe: Trọng lực P  , phản lực Q

, lực kéo F

- Gia tốc của xe:

Lực kéo của động cơ:

F A

s

 60000 

600 100

(Hoặc

.

v v v

Vậy: Công do động cơ thực hiện là A F = 60kJ, công suất trung

bình và lực kéo của động cơ là  3 kW và F600 N

b) Xe tắt máy xuống dốc:

Lúc này, các lực tác dụng vào xe là: Trọng lực P  , phản lực Q

, lực cản F  C .

Gọi v1 là vận tốc của xe ở cuối dốc

- Lực cản trung bình:

C F C

Vậy: Công của lực cản là A F C 148 kJ

, lực cản trung bình F C = -1480N (dấu “-” chỉ lực cản

Bài 2 Chọn chiều dương theo chiều chuyền động của viên đạn.

Gọi v1 là vận tốc của viên đạn khi ra khỏi nòng súng

2 1 1

+ Công suất trung bình của mỗi lần bắn:  F v 1   13500 300 4050000  W 4050 kW

Vậy: Động năng viên đạn khi rời nòng súng là 10,8kJ, lực đẩy trung bình cùa thuốc súng vàcông suất trung bình của mỗi lần bắn là 13500N và 4050kW

b) Đạn xuyên qua tấm ván

Gọi F2 là lực cản của gỗ; s2 là bề dày tấm ván; v2 là vận tốc của viên đạn khi ra khỏi tấm ván

(v 2 =10(m/s)>0) Bỏ qua trọng lực của viên đạn (rất nhỏ so với lực cản của gỗ) nên chi có lực

cản cùa gỗ sinh công

c) Đạn bay trong không khí

Gọi v3 là vận tốc của viên đạn khi chạm đất Vì viên đạn chuyển động trong không khí chỉ dướitác dụng của trọng lực là lực thế nên cơ năng bảo toàn

- Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng tại mặt đất), ta có:

mv mv

mgh   v  v  gh   . 

2 2

3 2

3 2 2 10 210 15 20

Vậy: Vận tốc đạn khi chạm đất là v3 = 20(m/s)

d) Đạn xuyên vào đất và dừng lại

Gọi v3 là vận tốc của đạn khi dừng lại trong đất (v3 = 0); s3 là quãng đường đạn xuyên vào đất

Bỏ qua trọng lực của viên đạn (rất nhỏ so với lực cản của đất) nên chỉ có lực cản của đất sinhcông

Bài 3 Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của thang máy Trong cả 3 giai đoạn, luôn có

2 lực tác dụng vào vật là trọng lực P  và lực kéo F của động cơ.

a) Giai đoạn I (thang máy đi xuống nhanh dần đều không vận tốc đầu)

Gọi v1 là vận tốc cuối giai đoạn I của thang máy; s1 là quãng đường thang máy đi được tronggiai đoạn I

Vậy: Công do động cơ thực hiện ở giai đoạn I là công cản, có độ lớn 37,5kJ.

b) Giai đoạn II (thang máy đi xuống đều)

Gọi v2 là vận tốc cuối giai đoạn II của thang máy (v2 = v1 = 5(m/s)); s2 là quãng đường thangmáy đi được trong giai đoạn II

Vậy: Công suất của động cơ là  2 50 kW

c) Giai đoạn III (thang máy đi xuống chậm dần đều)

Gọi v3 là vận tốc cuối giai đoạn III của thang máy; s3 là quãng đường thang máy đi được tronggiai đoạn III

s

3 3

32500

16250

Vậy: Cơng của động cơ và lực tác dụng trung bình của động cơ trong giai đoạn III cĩ độ lớn là32,5kJ và 16250N.

Bài 4 Gọi m là khối lượng của viên đạn; v là vận tốc của viên đạn đối với máy bay I; v0 là vậntốc của đạn đối với máy bay II Ta cĩ: 

đạn/ đạn/ / đất đất/

v v 1v 2v 2 v 1  v v v 0 2 1 (1)

Trong đĩ: v0 = 900(km/h) = 250(m/s);

v1 = 540(km/h) = 150(m/s); v2 = 720(km/h) = 200(m/s)

 v = 250 + 200 - 150 = 300(m/s)

Xét trong hệ quy chiếu gắn với máy bay I, ta cĩ bài tốn đơn giản sau: Viên đạn bay với vận tốc

v đến cắm vào máy bay I đang đứng yên và đi được quãng đường s = 20cm trong máy bay I rồidừng lại

Gọi FC là lực cản do máy bay I tác dụng lên đạn Bỏ qua trọng lực của viên đạn (rất nhỏ so vớilực cản của máy bay I) Theo định lí động năng, ta cĩ:

2

- Lực cản trung bình do máy bay 1 tác dụng lên đạn:

C F C

- Theo định luật II Niu-tơn, lực phá trung bình của đạn lên máy bay I là:

Vậy: Lực phá trung bình của viên đạn lên máy bay I là 11250N

Bài 5 - Lực ném làm tăng vận tốc của vật từ 0 đến v0 (bỏ qua trọng lực khi ném)

Bài 6 Viên đạn thứ nhất chuyển động như vật bị ném ngang

với vận tốc đầu v0

- Gọi v  1 là vận tốc sau khi ra khỏi tấm ván của viên đạn thứ

2 Vì tấm ván rất mỏng nên v1 chỉ thay đổi độ lớn mà coi

như không đổi hướng so với v0 , tức là sau khi ra khỏi tấm

ván thì viên đạn thứ 2 cũng chuyển động như vật bị ném ngang với vận tốc đầu v 1

- Gọi F  là lực do viên dạn tác dụng lên tấm gỗ và F  C là lực do tấm gỗ tác dụng lên viên đạn.

2 2 0

1

0 1

(1)Chọn hệ tọa độ như hình vẽ

Ta có:

+ Phương trình quỹ đạo của 2 viên đạn lần lượt là:

2 2

2 2 1

Thay (4) vào (1) ta được:

F

gv x m

0 02 10 300 60

2 10 60 21300

Vậy: Công do đạn thực hiện khi xuyên qua miếng gỗ là AF = 750J

Bài 7 Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của xe Ta có:

- Quãng đường s1: s v v 

a

2 1

- Vì P  và Q



vuông góc với phương chuyển động của xe nên AP = AQ = 0

Gọi A1 là công của động cơ xe trong giai đoạn 1 Theo định lí động năng, ta có:

A A W v 2 v 2 2 v 2 v 2 3 v 2

Vậy: A2 = 3A1; s2 = 3s1 và công suất trung bình của động cơ có thay đổi (tăng 3 lần).

Bài 8 Quả tạ ném theo phương ngang nên trọng lực của quả tạ và lực nâng của tay theo phương

thẳng đứng không sinh công Vì vậy chỉ có lực đẩy của tay theo phương ngang sinh công

Gọi v  2 là vận tốc của (xe + người) đổi với đất sau khi ném Theo phương ngang, động lượng

được bảo toàn nên:

- Động năng của hệ (xe + người + tạ) trước khi ném: W  0 ñ 0

- Động năng của hệ (xe + người + tạ) sau khi ném: W ñ W 1 ñ W 2 ñ. 

Vậy: Công do người thực hiện là A = 42J.

Bài 10 - Các lực tác dụng vào mỗi vật như hình vẽ.

- Điều kiện cân bằng của:

- Tương tự, vật m1 đi lên (m2 đi xuống) khi: 2m1 < m2

- Áp dụng vào bài toán, ta có:

2m 1 = 2kg; m 2 = 1,5kg  2m 1 > m 2

Như vậy, khi thả cho hệ chuyển động tự do (thả nhẹ) thì vật m1 đi xuống và vật m2 đi lên

- Khi m1 dịch chuyển một đoạn h1 = h = 1m xuống phía dưới thì m2 đi lên một đoạn

h

h 2  0 5 , m

- Chọn gốc thế năng riêng cho mỗi vật tại vị trí ban đầu của chúng, ta có:

+ Thế năng ban đầu của hệ: W 1 t 0

+ Thế năng sau của hệ: W 2 t m gh m gh 1 1 2 2 110 1 1 510 0 5  , , 2 5 , J

+ Độ biến thiên thế năng của hệ: W W t  2 t W 1 t 2 5 0 ,  2 5 , J

Vì ∆Wt < 0 nên thế năng giảm một lượng là 2,5J

- Công của trọng lực (bằng độ giảm thế năng của hệ):

A 1  2  2 5 , J 0

Bài 11 a) Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng

Tại vị trí cân bằng O, lò xo dãn đoạn  , trọng lực của vật cân bằng với

lực đàn hồi (hình vẽ)

Ta có: mg k  0

Vậy: Tại vị trí cân bằng lò xo dãn ra 1 cm

b) Thế năng của hệ quả cầu và lò xo

* Trường hợp 1: Chọn gốc thế năng trọng lực tại vị trí quả cầu ở thấp nhất, gốc thế năng đàn hồi

khi lò xo không biến dạng Chọn chiều dương của trục Ox như hình vẽ

Thế năng của hệ (quả cầu - lò xo) gồm thế năng trọng lực W1t và thế năng đàn hồi của lò xo W2t:

b3) Quả cầu ở vị trí cao nhất (N)

Vì A nên tại vị trí cao nhất N, lò xo bị nén một đoạn  :1

1   0 0 02 0 01 0 01 

1 2

2 1

1 2

* Trường hợp 2: Chọn gốc thế năng trọng lực và thế năng đàn hồi

đều ở vị trí cân bằng của quả cầu

* Lưu ý: 

+ Công thức tính thế năng đàn hồi của lò xo W t 1 kx 2

2 chỉ áp dụngđược cho trường hợp chọn gốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng, với x là độ biếndạng của lò xo