Hướng dẫn thoát căn trong giải phương trình -luyện thi
Trang 1KIM THIỀN THOÁT XÁC ĐỂ “CÔNG PHÁ” CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN
Ở bài viết này tôi sẽ hướng dẫn thoát căn bằng chiêu “ kim thiền thoát xác ”
Các bạn thường hay vướng mắc ở nhưng phương trình chứa căn thức, không biết làm sao để có thể xử lý căn đó để biểu thức không còn căn thức Hãy nhìn
ví dụ sau để hiểu công dụng của chiêu “kim thiền thoát xác nhé”
Ví dụ 1 Giải phương trình: 𝑥4 + 2𝑥2 + 𝑥2 + 2 = 10
Ồ, nhìn có vẻ dễ nhỉ, suy nghĩ tự nhiên ta cứ đặt béng cái 𝑥2 + 2 =t (với t > 0 ) rồi rút cái 𝑥2 = 𝑡2 − 2 vào là ngon ngày Phương trình nó sẽ trở thành:
𝑡4 − 2𝑡2+ 𝑡 = 10 (*)
Ồ kìa, phương trình này nhẩm được nghiệm đẹp t=2, lại ngon rồi.Thế thì ta cứ túm cái nhân tử chung là (t-2) thì sẽ ra ngay thôi Ta sẽ có:
(*) (t-2)(𝑡3 + 2𝑡2 + 2𝑡 + 5) = 0 t=2
Do đó nghiệm của phương trình là 𝑥 = 2
XONG !!!!
Quái lạ, thế thì liên quan quái gì tới chiêu “kim thiền thoát xác nhỉ ?? Nó
chỉ là đặt bình thường thôi mà??? Bình tĩnh nào bạn , cùng đọc tiếp nào :D Ta xét tới ví dụ 2 nhé
Ví dụ 2: Giải phương trình: 𝑥2 − 5𝑥 + (𝑥 + 2) 𝑥2 + 1 = 2
Kìa, lại có căn kìa, suy nghĩ tự nhiên thì cứ đặt căn thôi
Hình như phương trình có nghiệp đẹp x=0 thì phải???? Vậy cứ nhân liên hợp
để bắt nhân tử chung là x thôi Nhưng liên hợp kiểu gì được nhỉ???? Liên hợp cái biểu thức này chắc ốm đòn mất !!!!
Trang 2Vậy đặt 𝑥2 + 1 = 𝑡 rồi rút x theo t và thế vào phương trình thôi Ồ, thế thì tránh vỏ dưa lại gặp vỏ dừa rồi :D.Lại lúng túng không biết xử lý biến x theo t
ra sao rồi !!!!
Bây giờ mới là lúc phát huy tác dụng của chiêu “kim thiền thoát xác này ;-).Thử đặt lại khác xem nhé :
Tạm thời ta cứ giả sử 𝑥2 + 1 = 𝑡 ( với t ≥ 1) xem nào
=> (t-x)(t+x)=1
Vậy nếu ta đặt 𝑡 + 𝑥 = 𝑢 => 𝑡 − 𝑥 = 1
𝑢 Như vậy ta s ẽ có hệ 𝑡 + 𝑥 = 𝑢
𝑡 − 𝑥 = 1
𝑢
Do đó : 𝑡 =
𝑢+1 𝑢 2
𝑥 = 𝑢−
1 𝑢 2
Mà vì 𝑡 ≥ 1 do đó u > 0
Vậy ta sẽ có cách đặt 𝑥2 + 1 = 𝑢+
1 𝑢
2 với u > 01 Khi đó ta sẽ có được 𝑥 = 𝑢−
1 𝑢 2
Và thay trở lại phương trình ta sẽ được : 𝑢−
1 𝑢 2
2
− 5.𝑢−
1 𝑢
2 + 𝑢−
1 𝑢
2 + 2 𝑢+
1 𝑢
2 = 2 Quy đồng rút gọn ta sẽ được 𝑢3− 3𝑢2 − 5𝑢 + 7=0 (*’)
Đến đây ngon rồi, có nghiệm đẹp u = 1 rồi Cứ thế nào triển khai thôi Xin
nhường bước còn lại cho bạn đọc :D
Ví dụ 3 Giải phương trình : 𝑥 +3
𝑥 +1+ 𝑥 2 +4+ 𝑥 = 1 (*)
Ồ, lại có nghiệm đẹp x=0 rồi Thế này cứ liên hợp để bắt nhân tử chung mà chiến thôi :D
(*) 2− 𝑥
2 +4
𝑥 +1+ 𝑥 2 +4+x=0 𝑥 − 𝑥2
(𝑥+1+ 𝑥 2 +4)(2+ 𝑥 2 +4)= 0
𝑥 (𝑥+1+ 𝑥 2 +4) 2+ 𝑥 2 +4 = 1
𝑥 = 0
Trang 3
Trờiiiii !!! Cái phương trình đầu xử lý sao đây ???????? Có vẻ cách nhân liên hợp không khả dụng rồi Đặt 𝑥2 + 4 = 𝑡 cũng không được Vậy xử lý sao đây ????
Ồ, thử xem chiêu «kim thiền thoát xác nhé » :D
Nháp như ở ví dụ 2 ta sẽ có cách đặt : 𝑥2 + 4 = 𝑢+
4 𝑢
2 (Với u > 0)
𝑥 = 𝑢 −
4
𝑢
2
Thay vào phương trình rồi quy đồng, rút gọn ta sẽ được :
𝑢3 − 8 = 0 u =2
Do đó x=0 là nghiệm của phương trình
Ví dụ 4 :Giải phương trình : 𝑥2 − 1 +𝑥 =1 (*)
Ồ, có vẻ dễ vậy, cứ chuyển x sang rồi bình phương mà táng thôi :D
𝑥2 − 1 = 1 − 2𝑥+𝑥2 x=1
Vậy phương trình có nghiệm x=1
Vậy nếu thế này thì sao ??
Ví dụ 5: Giải phương trình : 𝑥2 − 1 +3
𝑥 + 𝑥 = 4
Giờ thì hết bình phương được rồi nhỉ :D Dùng « kim thiền thoát xác » như ở ví
dụ trên được không nhỉ ??? Thử nhé :
Cứ tạm cho cái 𝑥2 − 1 = t (điều kiện t ≥ 0)đi Khi đó ta sẽ được :
𝑥 − 𝑡 𝑥 + 𝑡 = 1 Vậy nếu đặt 𝑥 + 𝑡 = 𝑢 => 𝑥 − 𝑡 = 1
𝑢
Và do đó ta sẽ có hệ : 𝑥 − 𝑡 =𝑥 + 𝑡 = 𝑢1
Trang 4=> 𝑥 =
𝑢+1
𝑢
2
𝑡 = 𝑢 −
1
𝑢
2
Vậy ta sẽ có cách đặt : 𝑥2 − 1 =𝑢 −
1 𝑢
2 => 𝑥 = 𝑢+
1 𝑢
2
Và do đó ta sẽ có được : 𝑢−
1 𝑢
2 + 6
𝑢+1 𝑢
+ 𝑢+
1 𝑢
2 = 4 Quy đồng rút gọn ta sẽ được : 𝑢3 − 4𝑢2 + 7𝑢 − 4 = 0 u=1
=> x=1
Thử lại thấy đúng Vậy nghiệm của phương trình là x=1
Tiếp ví dụ nữa nhé
Ví dụ 6 : 1 − 𝑥2 − 8
5𝑥 + 𝑥 = −3
5
Humm, cũng thử nháp cách đặt như trên xem sao ???
Cứ đặt 1 − 𝑥2 = 𝑡 => 𝑥2 + 𝑡2 = 1
Ồ, làm sao bây giờ ?????? Thế thì không đặt được như mấy ví dụ trên rồi Bình tĩnh nào, thử nhìn theo hướng khác nhé Tạm thời cứ nhìn vào cái căn hãy nhé :
1 − 𝑥2 = 𝑥2 1
𝑥 2 − 1
Ô kìa,cái 1
𝑥 2 − 1 có vẻ giống với mấy ví dụ trên Thế thì áp dụng xem nào : Đặt 1
𝑥 2 − 1 = 𝑢−
1 𝑢
2 => 1
𝑥 = 𝑢+
1 𝑢
2 => 𝑥 = 2𝑢
𝑢 2 +1 Tuyệt vời :D
Vậy ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1 : x>0 => u>0 thì phương trình trở thành :
2𝑢
𝑢 2 +1.𝑢−
1 𝑢
2 −8
5.𝑢+
1 𝑢
2 + 2𝑢
𝑢 2 +1 =−3
5 Quy đồng rút gọn ta sẽ được : 2𝑢4− 4𝑢3 − 𝑢2 + 𝑢 + 2 = 0
Trang 5Ồ, phương trình này có nghiệm đẹp u=1 Vậy thì tóm nhân tử chung (u-1) thoai
Phương trình tương đương : (u-1)(2𝑢3 − 2𝑢2− 3𝑢 − 2) = 0
(u-1)(𝑢 − 2) 𝑢 − 2 2𝑢2+ 2𝑢 + 1 = 0
𝑢 = 1
𝑢 = 2 => 𝑥 = 1𝑥 = 4
5
(Thỏa mãn)
Trường hợp 2 : x<0 =>u < 0
Thế thì phương trình trở thành :
− 2𝑢
𝑢 2 +1.𝑢−
1 𝑢
2 −8
5.𝑢+
1 𝑢
2 + 2𝑢
𝑢 2 +1 =−3
5 Quy đồng rút gọn ta sẽ được : 4𝑢4− 2𝑢3 − 2𝑢2− 8𝑢 + 4 = 0
Ồ có nhân tử chung là (u-1) Thế thì tóm nhân tử chung thôi
Pt tương đương : (u-1)(4𝑢3 + 6𝑢2 + 4𝑢 − 4)=0
𝑢 = 1𝑢 = 1
2
(Không thỏa mãn)
Vậy phương trình ban đ ầu có nghiệm 𝑥 = 1
𝑥 = 4
5
Nhận xét : Từ các ví dụ trên chắc các bạn đã hình dung ra được cách đặt
trong chiêu « kim thiền thoát xác » rồi nhỉ :D
Lưu ý : Xét biểu thức P= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (với a>0) thì
P = 𝑎 𝑥 + 𝑏
2𝑎
2
− ∆
4𝑎 (với ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐)
Do đó bản chất của biểu thức 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 chính là biểu thức 𝑦2 + 𝑘
Vì vậy ở bài viết này tôi chỉ xét đến những b.thức dưới căn có dạng 𝑦2 + 𝑘
Tổng kết
Xét biểu thức 𝑦2 + 𝑘 (với k#0)
Nếu k>0 thì đặt 𝑦2 + 𝑘 =𝑢 +
𝑘 𝑢
2 ( Điều kiện : u> 0) => 𝑦 = 𝑢−
𝑘 𝑢
2
Trang 6 Nếu k<0 thì đặt 𝑦2 + 𝑘 = 𝑢 −
𝑘 𝑢
2 (Điều kiện u>0) => 𝑦 = 𝑢+
𝑘 𝑢 2
Xét biểu thức 𝑘 − 𝑦2 ( 𝑉ớ𝑖 𝑘 > 0 ) Cho 𝑦2 ra ngoài thì sẽ còn 𝑘
𝑦 2− 1 Đến đây ta sẽ áp dụng cách đặt như trên với biến 𝑘
𝑦 thì sẽ có cách đặt
𝑘 − 𝑦2 = 𝑘(𝑢2−1)
𝑢 2 +1 => 𝑦 = 2𝑢 𝑘
𝑢 2 +1
Sau đó xét 2 trường hợp sau để giải:
(*) y≥0 thì 𝑦2 = 𝑦
(*) y<0 thì 𝑦2 = −𝑦
o Lưu ý :
Cách đặt đây cũng có thể áp dụng cho việc giải tích phân có hàm căn thức dạng như trên
Áp dụng được trong giải bất phương trình
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Giải phương trình :
2(𝑥 +4) 2𝑥 +3+2 𝑥 2 +3𝑥 +5+x= 21
11
Bài 2 : Giải phương trình :
𝑥2 + 2𝑥 + 𝑥2 + 4 = 2
Truy cập fanpage : Tự học đỗ cao để cập nhật những kinh nghiệm chia sẻ hữu
ích về ôn thi đại học
Link fanpage : Tự học đỗ cao (https://www.facebook.com/tuhocdocao)