luận văn những thành tựu trong lich sử giải phương trình hàm số

luận văn những thành tựu trong lich sử giải phương trình hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN HỮU PHÚC

NHỮNG THÀNH TỰU TRONG LỊCH SỬ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ THANHNHÀN

Thái Nguyên – 2011

Mục lục 1

Mở đầu 3

1 Một số vấn đề trong lịch sử giải phương trình đa thức 5 1.1 Một số vấn đề về nghiệm của phương trình 5

1.2 Sơ lược tiến trình giải phương trình đại số 10

2 Lịch sử giải phương trình bậc hai, ba, bốn 14 2.1 Phương trình bậc hai 14

2.2 Phương trình bậc ba 18

2.3 Phương trình bậc bốn 25

3 Giải phương trình bằng căn thức 29 3.1 Mở rộng trường, mở rộng căn 29

3.2 Nhóm giải được 31

3.3 Nhóm Galois của một đa thức 33

3.4 Tiêu chuẩn giải được bằng căn thức 36

Tài liệu tham khảo 40

Lời cảm ơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, người đã trực tiếpgiảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu và Phòng Đào tạo Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các thầy, cô giáo đã trực tiếp giảngdạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại Trường

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả nhữngngười đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhluận văn

Mở đầu

Lý thuyết giải phương trình đại số có lịch sử từ rất lâu đời Từ trước côngnguyên, cách giải phương trình đa thức bậc 2 đã được biết đến trong các nềntoán học cổ của người Ai Cập, người Babylon, người Hy Lạp Đến thế kỷ 16,loài người đã đạt được những thành tựu lớn trong lịch sử giải phương trình

đa thức bởi những đóng góp của các nhà toán học La Mã như Scipione delFerro (1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576),Ludovico Ferrari (1525-1565) Những nhà toán học này đã tìm ra lời giảiphương trình đa thức bậc 3, 4 bằng căn thức, tức là đưa ra công thức tínhnghiệm theo các hệ số của đa thức thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân,chia, khai căn Đầu thế kỉ 19, Ruffini (1765-1822) một nhà toán học,vật lí

trình bậc lớn hơn 4, nhưng vẫn còn lỗ hổng trong chứng minh này Độc lậpvới Ruffini, nhà toán học người Nauy, Niels Henrik Abel (1802-1829), đãchỉ ra rằng không thể giải được phương trình tổng quát bậc lớn hơn 4 bằngcăn thức Thừa hưởng những thành tựu của Abel, nhà toán học Pháp thiên tàiEvariste Galois (1811-1832) đã để lại cho thế giới toán học một trong những

lý thuyết đẹp đẽ nhất, trong đó có lời giải hoàn hảo cho bài toán nổi tiếng vềtính giải được bằng căn thức của phương trình đa thức

Mục đích của luận văn là trình bày những thành tựu trong lịch sử giảiphương trình đa thức Tài liệu tham khảo chủ yếu là 2 cuốn sách "GaloisTheory" của J P Escofier (Springer, 2004) và của J Rotman (Springer, 2001).Chúng tôi cho rằng, luận văn này đã phác họa khá chi tiết về lịch sử giảiphương trình đa thức, trong đó chứa đựng những thông tin quan trọng khôngthể tìm thấy ở bất cứ tài liệu tiếng Việt nào

Luận văn gồm 3 chương Chương 1 đề cập đến một số vấn đề về nghiệmcủa phương trình như: xấp xỉ nghiệm, liên hệ với hình học và lượng giác,khó khăn về kí hiệu và thuật ngữ, sự tồn tại nghiệm và sơ lược tiến trình

giải phương trình đại số Chương 2 trình bày lịch sử giải phương trình bậc

nhà toán học Omar Khayyam, Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Descartes

và những đóng góp của Raffaele Bombeli vào các tính toán với số phức.Chương 3 trình bày các kiến thức về mở rộng trường, mở rộng căn, nhómgiải được, nhóm Galois, khái niệm đa thức giải được bằng căn thức và chứngminh tính giải được bằng căn thức của các phương trình bậc 1, 2, 3, 4 Phầntiếp theo của Chương 3 trình bày Định lý lớn của Galois, cho sự tương đươnggiữa tính giải được bằng căn thức của một đa thức, tính giải được của nhómGalois của nó, và điều kiện để trường phân rã chứa trong một mở rộng căn

Đây là một trong những kết quả hoàn hảo và trọn vẹn nhất cho bài toán giảiphương trình đại số Phần cuối Chương 3 là những áp dụng của Định lí lớncủa Galois để chứng minh một số phương trình bậc 5 cụ thể không giải đượcbằng căn thức

Một số vấn đề trong lịch sử giải phương trình đa thức

1.1 Một số vấn đề về nghiệm của phương trình

1.1.1 Vấn đề xấp xỉ nghiệm

Khoảng những năm 1600 trước công nguyên, người Babylon đã có thể

đưa ra giá trị xấp xỉ cực kì chính xác cho các căn bậc hai Chẳng hạn, họ đã

Sau đó, vào khoảng năm 200 sau công nguyên, Heron (nhà toán học Hy Lạp)

Người Trung Quốc đã có thể tính được giá trị xấp xỉ của căn bậc ba từ nhữngnăm 50 trước công nguyên Còn phương pháp tuyến tính hoá phát triển bởi

Năm 1225, Leonard Pisa đã đưa ra giá trị xấp xỉ cho nghiệm dương

chúng ta vẫn không biết tại sao ông lại có thể làm được điều phi thường nhưvậy

1.1.2 Liên hệ với hình học và lượng giác

Người Hy Lạp cổ đã có thể dựng hình các nghiệm dương của phươngtrình bậc hai bằng cách coi nó là giao của các đường thẳng và các đườngtròn, nhưng họ đã không thiết lập được công thức nghiệm theo nghĩa đại sốcho bài toán này Đối với phương trình bậc ba, người ta đã dùng các đườngconic (chẳng hạn như cách mà Omar Khayyam - nhà toán học Iran đã làmkhoảng những năm 1100), nhưng có lẽ phương pháp này đã được Archimedesbiết đến (khoảng năm 287-212 trước công nguyên)

Trong cuốn sách Hình học của René Descartes (1596-1650) - nhà toánhọc Pháp, ông đã cho những mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

đại số với các giao điểm của các đường cong đại số Phát hiện này của ông

là một trong những xuất phát điểm quan trọng nhất của Hình học Đại số

Đối với bài toán chia đường tròn thành n phần bằng nhau - một chủ đề

một đa giác đều 9 cạnh có mối quan hệ với việc giải một phương trình bậc

quan hệ giữa bài toán chia ba một góc và nghiệm của một phương trình bậc

ba Viète cũng đưa ra biểu diễn của sin nϕ và cos nϕ như các hàm của sin ϕ

và cos ϕ Năm 1837, Laurent Wantzel (1814-1848) - một nhà toán học Pháp

đã chỉ ra rằng không thể chia 3 một góc bất kì bằng thước kẻ và compa (bàitoán này được đặt ra bởi người Hy Lạp) Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

đã đưa ra lời giải đại số cho bài toán chia đường tròn thành p phần bằng nhauvới p là một số nguyên tố Fermat Các kết quả này của ông đã được trìnhbày trong Chương 7 của cuốn sách Disquisitiones arithmetiae xuất bản năm

1801, trong đó có chứa những ý tưởng liên quan đến những thành tựu sau

này của Niels Henrik Abel và Evariste Galois.

Trong cuốn Zététiques của Viète xuất bản năm 1591, từ tiếng Hy Lạp

D + F





ổquabitur E

Viète đã dùng kí hiệu rất phức tạp cho lũy thừa của ẩn số: ông viết " A

"F planum" cho F là hệ số của lũy thừa bậc 2, "F solidum" cho F là hệ sốcủa lũy thừa bậc 3 v.v Chẳng hạn, cho phương trình bậc hai tổng quát ẩn A,giả sử giữa biến số A và các hệ số B, C, D có sự đồng nhất về bậc, Viète đãviết :

”B in A quadratum plus D plano in A ổquari Z solido.”

thống tính toán với các chữ cái được dùng để biểu thị cho các đại lượng đã

phương pháp và quan niệm của đại số; thay vì chỉ làm việc trên các ví dụbằng số, người ta có thể xem xét các trường hợp tổng quát Chắc chắn, cácchữ cái đã được sử dụng trước Viète, nhưng nó không biểu thị bản chất các

tính toán: chẳng hạn, họ dùng chữ cái a để biểu thị cho đại lượng này, nhưnglại dùng các chữ cái khác để biểu thị giá trị bình phương, lũy thừa 3 và cáclũy thừa tiếp theo của a, lẽ ra họ phải sử dụng các kí hiệu liên quan đến a

để biểu thị chúng

trong cuốn Hình học Euclid khoảng vào năm 950 Số thập phân cũng đượcbiết thông qua các công việc của Al Kashi ( khoảng 1380- 1429) năm 1427,Viète năm 1579, Simon Stevin (1548- 1620) năm 1585 Việc sử dụng mộtdấu chấm để cách li phần nguyên với phần thập phân của một số thập phân

đã được phổ biến bới John Neper (1550-1617), nhưng người Pháp lại dùngdấu phẩy thay cho dấu chấm Tuy vậy, một thời gian dài sau khi đã giới thiệucách dùng dấu chấm để viết các số thập phân, người ta vẫn viết số thập phândưới dạng một số nguyên theo sau là một phân số, chẳng hạn số 11, 224176

Dấu + và − đã được sử dụng vào khoảng năm 1480, nhưng mãi đến đầuthế kỷ 17 mới được dùng phổ biến Phép nhân đã được Michael Stifel (1486-1567) viết là M (1545)và Viète (1591) viết là in Với ký hiệu phép nhân hiệnnay, dấu ì được giới thiệu bởi William Oughtred (1574- 1660) năm 1637 vàdấu chấm được giới thiệu bởi Wilhelm Leibniz (1646- 1716) năm 1698

Đối với các lũy thừa, năm 1484 Nicolas Chuquet (1445- 1500) đã viết

ta dùng ngày nay được giới thiệu bởi Descartes Trong thế kỷ 18, người ta

Sau khi các kí hiệu liên quan đến luỹ thừa của ẩn số và các phép toán đốivới các hệ số được hoàn thiện, việc tính toán với đa thức được hình thànhmột cách rõ ràng Descartes chỉ ra rằng một đa thức triệt tiêu tại giá trị anếu và chỉ nếu nó chia hết cho X − a Dấu = do Michel Recorde (1510-1558) sử dụng năm 1557 được thay cho kí hiệu mà trước đó Descartes đã

dùng Albert Girard (1596-1632) đã giới thiệu kí hiệu 3

Gabriel Cramer (1704 - 1752) dùng năm 1750 để viết các công thức nổi tiếng

Kí hiệu P được giới thiệu bởi Leonhard Euler (1707-1783) v.v Các ký hiệunày được chấp nhận rộng rãi trên toàn thế giới cho đến ngày nay

1.1.4 Sự tồn tại nghiệm của phương trình

Al Khwarizmi (780- 850) dường như là người đầu tiên, vào khoảng năm

830, chỉ ra sự tồn tại phương trình bậc hai có hai nghiệm dương Trường hợpnghiệm âm chỉ được nghiên cứu vào cuối thế kỷ 16 Girard là người đầu tiênkhẳng định rằng một phương trình bậc n có n nghiệm Ông không đưa rabất kỳ chứng minh nào cho khẳng định này và ý tưởng của ông về bản chấtcủa các nghiệm có vẻ lờ mờ Tuy nhiên, ông đã nghĩ về các nghiệm giốngnhư những số phức hoặc các số tương tự Vì thế sự không rõ ràng này cũngkhông gây cản trở ông đổi mới việc tính toán với các nghiệm như là tính toánvới các con số Tất cả các nhà toán học đều đánh giá cao công lao này của

ông

Descartes không biết chính xác số nghiệm của đa thức, nhưng ông đã biết

được số nghiệm không vượt quá bậc của đa thức Leibniz cũng không cảmnhận được bản chất của các nghiệm, năm 1702 ông vẫn không thấy được

các hàm hữu tỷ được phát triển bởi Leibniz và Jean Bernuolli (1667-1748)vào khoảng thời gian này đã mở đường cho Leonhard Euler (1707- 1783)chứng minh Định lí vào năm 1749: Đa thức bậc n với hệ số thực luôn có nnghiệm phức Định lý này thường được gọi là "Định lý cơ bản của đại số".Jean d'Alembert (1717- 1783) đã đưa ra một chứng minh thú vị nhưng chưa

đầy đủ cho định lí này vào năm 1746, vì thế người Pháp gọi nó là "Định lýd'Alembert" Trong khóa học của mình tại Trường Đại học Ecole Normalevào năm thứ 3 của Cách mạng Pháp, Pierre Simon de Laplace (1749- 1827)

đã chứng minh rằng luôn tồn tại nghiệm của đa thức ở đâu đó Gauss đã đưa

ra một chứng minh hoàn hảo cho Định lý ít nhất 4 lần (một lần khoảng năm1797- 1799, 2 lần năm 1816 và một lần năm 1849) Định lí này còn đượcchứng minh bởi Jean Argand (năm 1814) và Louis Augustin Cauchy (1789-1857) năm 1820

1.2 Sơ lược tiến trình giải phương trình đại số

Những tấm đất sét có niên đại 1600 trước công nguyên được tìm thấycủa nền văn minh Babylon còn ghi lại việc tìm nghiệm của một số phươngtrình bậc hai cụ thể Toán học thời Babylon đã thiết lập những bài toán liênquan đến phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn trùng phương Otto E.Neugebauer (1899-1990) - một nhà lịch sử toán học nổi tiếng người Mỹ

Babylon hiểu biết về toán học và thiên văn học nhiều hơn những gì mà trước

đây chúng ta nghĩ Ông cho biết, một bài toán thời Babylon dẫn đến phương

Toán học thời Babylon đề cập đến phương trình một cách thuần tuý đại

số Tuy nhiên, sự tách bạch này dường như đã không còn giữ được đối vớitoán học Hy Lạp trước thời Heron Ngay cả thời Pythagoras - nhà toán học

và triết học Hy Lạp cổ (khoảng 570-495 trước công nguyên), toán học HyLạp đã có lời giải hình học cho các phương trình bậc hai có nghiệm thực

Và những phương pháp hình học để giải phương trình bậc hai tiếp tục đượcphát triển bởi Euclid - nhà toán học Hy Lạp cổ vĩ đại (khoảng 330-275 trướccông nguyên)

Lời giải số của phương trình bậc hai được thiết lập trong các ghi chép củaHeron Diophante (khoảng 214-298 sau công nguyên) là một trong nhữngnhà toán học Hy Lạp vĩ đại nhất, ông không phải là người đầu tiên đưa ralời giải số cho phương trình bậc hai, nhưng ông đã làm được bước đầu tiên

về kí hiệu đại số Điều này được thể hiện trong cuốn sách nổi tiếng của ôngmang tên Số học, trong đó Diophante đã đặt ra và giải nhiều bài toán dẫn

đến các phương trình xác định và bất định Ngay sau thời Diophante, đóng

trình có sử dụng số âm và các kí hiệu đại số, điều này đánh dấu sự phát triểncủa đại số Ông là người đầu tiên đưa ra nghiệm nguyên cho phương trình

của phương trình bậc hai bằng phương pháp đại số được thực hiện bởi những

chưa biết đến số âm nên trong một cuốn sách, Al-Khwarizmi đã phân thành

6 loại phương trình bậc hai và trình bày cách giải cho từng loại Đây đượcxem là cuốn sách đầu tiên về đại số, và từ "Algebra" ra đời từ tên tuổi củacuốn sách này

Tác phẩm kiệt tác của Fibonacci là cuốn sách Liber Abaci, trong đó ông trìnhbày chứng minh hoàn thiện cho một bài toán về nghiệm của phương trình

cuốn sách Summa de Arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita ,trong đó ông đưa ra lời giải cho phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ hiện

đại của đại số Luca Pacioli không đề cập đến phương trình bậc 3 nhưng đặt

với phương trình bậc hai

ông đã nghiên cứu kĩ 2 cuốn sách Liber Abaci của Fibonacci và Summa

de Arithmetica của Luca Pacioli, và họ đã có những đóng góp lớn cho sựphát triển của phương trình đại số Ferro đã giải được phương trình bậc ba

phương trình bậc ba Ông đã giữ bí mật về lời giải này, trước khi qua đờimới tiết lộ cho một học trò của ông là Antonio Fior Nhưng Antonio Fiore

đã rò rỉ bí mật của thầy mình Điều này đã kích thích nhà toán học nghiệp

và đồng thời nhận lại lời giải của Ferro Tartaglia đã tiết lộ lời giải này choGirolamo Cardano, một bác sĩ thành phố Milan và cũng là một thầy giáo dạytoán Cardano đã trình bày lời giải phương trình bậc ba trong cuốn sách nổitiếng mang tên Ars Magna xuất bản năm 1545, nhưng không nói đó là thànhtựu của Tartaglia Trong cuốn sách này Cardano còn trình bày lời giải củaphương trình bậc 4 được tìm ra bởi Ferrari, một học trò xuất sắc của ông.Phương pháp của Ferrari là quy lời giải của phương trình bậc 4 tổng quát vềlời giải một phương trình bậc 3

Rất tự nhiên, việc giải phương trình đa thức bậc lớn hơn hay bằng 5 đãthu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới Joseph Louis

thức nghiệm của phương trình bậc 2,3,4 và phát hiện ra sự liên quan giữacông thức nghiệm của đa thức với lí thuyết nhóm tổng quát, cụ thể là nhómnhững hoán vị đặc biệt trên tập các nghiệm của đa thức Rõ ràng phát hiệnnày của Lagrange đã có những ảnh hưởng quan trọng đến những thành tựusau này của Abel và Galois

giải được của một phương trình bậc lớn hơn 4, mặc dù vẫn còn một số lỗhổng trong chứng minh của ông Hoàn toàn độc lập với Ruffini, nhà toánhọc người Nauy, Niels Henrik Abel, đã giải quyết trọn vẹn vấn đề này Saukhi qua đời 1 năm, công trình của Abel mới được công nhận và xuất bảnnăm 1830 Thừa hưởng những thành tựu của Abel, nhà toán học Pháp thiêntài Evariste Galois đã để lại cho thế giới toán học một trong những lý thuyết

đẹp đẽ nhất, trong đó có lời giải hoàn hảo cho bài toán nổi tiếng về tính giải

được của phương trình đa thức

Chương 2

Lịch sử giải phương trình bậc hai, ba,

bốn

2.1 Phương trình bậc hai

2.1.1 Đóng góp của người Babylon

Dạng văn bản sớm nhất được phát minh bởi người Sumer vùng Lưỡng Hà(Mesopotamia) vào khoảng năm 3300 trước công nguyên, mặc dù một sốngười cho rằng dạng văn bản của người Ai Cập được phát minh sớm hơn.Các nhà khảo cổ đã khai quật được các văn bản viết trên đất sét ẩm rồi đemphơi khô dưới ánh sáng mặt trời Các văn bản được biết đến sớm nhất rấtngắn và chủ yếu là ghi chép về những bao bột mỳ, gia súc, nô lệ Họ sử dụng

hệ thống ghi cơ số 60, đó là cách chuyển đổi đầu tiên của chúng ta, còn được

sử dụng 5000 năm sau đó trong một số lĩnh vực như chia giờ thành 60 phút

Sau một số sự kiện lịch sử, nền văn minh này đã thay đổi, trong khoảngthời gian 1900 - 1600 trước công nguyên, thành một đế chế mà thủ đô làBabylon, nằm dọc theo sông Euphrates, phía nam thủ đô Baghdad của Irắcngày nay Số lượng lớn các thông tin thú vị trên các tấm đất sét của thời kỳnày đã cho thấy người Babylon sở hữu một nền đại số rất phát triển và nắmvững cách giải các phương trình bậc hai

Ví dụ Trong hệ thống ghi cơ số 60, người Babylon có bài toán sau: Cạnh

của hình vuông là bao nhiêu nếu cộng 7 lần cạnh với 11 lần diện tích của

nó được kết quả là 6.15

đây sao lại từ Bảng số 13901 trong Viện bảo tàng Quốc gia Anh Để theodõi lời giải trong bảng này, đặt a = 11, b = 7, c = 6, 25 Hai cột bên phíatrái được dịch từ nguyên bản ở Viện bảo tàng, trong đó người Babylon sửdụng hệ thống ghi cơ số 60 Chúng ta giải thích các tính toán này sang haicột bên phải theo hệ thống ghi cơ số 10 và theo các hệ số a, b, c

Nếu chuyển phương trình về hệ thống ghi cơ số 10 và sử dụng cách giải

Có sự khác nhau quan trọng giữa các tài liệu, chứng cứ thu được từ nềntoán học Babylon và nền toán học Hy Lạp Các ghi chép của nền toán họcBabylon được bảo tồn đưới dạng gốc (nguyên bản), trong khi đó các côngtrình của người Hy Lạp chỉ được biết thông qua các phiên bản chế tạo lại sauthời gian hàng nghìn năm so với thời điểm công trình được phát minh, khám

Rập

Những thông tin trong tiết này nói tới các nhà toán học đến từ các vùng

nhà toán học bắt đầu mua các văn bản của người Hy Lạp từ Constanttinople(thủ đô của Thổ Nhĩ Kỳ); họ cũng nhận được những cuốn sách tính toán của

Khoảng năm 820 đến 830, Al Khwarizmi đến từ Uzbekistan, sau này ông

được biết đến nhờ các bản dịch sang tiếng Latinh các tác phẩm của ông Ông

là thành viên Hội đồng khoa học trên khắp các vương quốc Hồi giáo Ông đãmô tả các phép biến đổi đại số trong luận thuyết của ông, có thể được diễntả bằng các phương trình sau đây:

Từ al jabr là nguồn gốc của sự xuất hiện từ đại số ở thế kỷ 14, nó thể hiện

sự hoàn thiện hoặc sắp đặt lại một vấn đề bị tách ra

Al Khwarimi đã phân biệt 6 loại phương trình có bậc nhỏ hơn hoặc bằng

2, bởi vì các hệ số a, b, c trong các phương trình của ông luôn dương:

được hai nghiệm là 3 và 7 và khẳng định rằng cách tìm nghiệm cho phươngtrình loại thứ 5 cũng giống như vậy Ông đưa ra các lập luận hình học trongviệc tìm nghiệm, nhưng không giống như người Hy Lạp, cách làm của ông

đã mang tinh thần của phương pháp đại số

2.1.4 Vấn đề sử dụng các số âm

Số âm chỉ được sử dụng rộng rãi vào khoảng cuối thế kỷ 16 Tuy nhiên,

và thậm chí còn xuất hiện sớm hơn nữa trong toán học Trung Quốc

Sau ý tưởng phát triển bởi Stevin năm 1585, Girard (1629) đã không do

dự khi đưa ra những ví dụ về phương trình với nghiệm âm: "Các giá trị âmtrong hình học cho thấy một sự hồi quy, và các giá trị dương cho thấy một

sự tiến bộ" Ông cũng không băn khoăn về những nghiệm phức không phải

là số thực

Tuy nhiên, nghiệm âm còn chưa được chấp nhận bởi tất cả mọi người

Đến tận năm 1768, Bézout còn viết rằng những phương trình có nghiệm âmchỉ khi chúng là phương trình có vấn đề Lazare Carnot, một người nổi tiếngtrong "Tổ chức chiến thắng" của quân đội Cộng hòa, đã viết trong luận thuyếtcủa mình về hình học trong năm thứ 11 của Cuộc cách mạng: "Để nhận đượcmột đại lượng âm cô lập, người ta phải loại bỏ một đại lượng có ích ra khỏicon số không, nhưng việc loại bỏ một cái gì đó ra khỏi cái không có gì là

điều không thể"

2.1.5 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

là tổng của hai hạng tử, hạng tử nhất là bình phương của một nhị thức bậcnhất, và hạng tử còn lại là một hằng số, sau đó lấy căn bậc hai

Với các kí hiệu và hiểu biết ngày nay về số âm, số phức , ta có

Trong một số (rất ít) trường hợp, người Hy Lạp đã gặp phương trình bậc

ba và họ đã giải chúng bằng cách coi các nghiệm như là giao điểm của các

đường conic: elip, parabol và hyperbol Lời giải lâu đời nhất theo phươngpháp này thuộc về Menechme (375 - 325 trước công nguyên), ông đã tìm

tiếng nhất, dẫn đến sự phát triển vượt bậc trong việc giải phương trình bậc

ba, thuộc về Archimedes (khoảng năm 287- 212 trước công nguyên) Ông

đã biết cách cắt một hình cầu có bán kính R bằng một mặt phẳng sao cho tỷ

số của các thể tích của hai phần hình cầu bằng một số k cho trước Rõ ràngchiều cao h của một trong hai phần đó thỏa mãn ràng buộc

Người Hy Lạp đã không giải quyết được bài toán gấp đôi một hình lập phươngbằng thước kẻ và compa (dựng cạnh của một hình lập phương có thể tích gấp

đôi thể tích của một hình lập phương cho trước), điều này tương đương với

2.2.2 Đóng góp của Omar Khayyam và Sharaf ad Din at Tusi

Omar Khayyam (1048 - 1123) là một nhà toán học và thiên văn học,nhưng ông cũng là một nhà thơ, tác giả của rất nhiều câu thơ nổi tiếng Ông

luận thuyết về đại số của mình, ông đã nghiên cứu phương trình bậc ba mộtcách chi tiết Ông chỉ xét đến các phương trình với hệ số dương và phânthành 25 trường hợp khác nhau, trong đó có một số dạng đã được nghiên cứubởi Al Khwarizmi Chẳng hạn, Omar Khayyam đã chỉ ra rằng các phươngtrình với ba số hạng, không nhận 0 làm nghiệm, chỉ là 6 dạng sau:

Omar Khayyam đã giải phương trình bậc ba bằng phương pháp hình học,thu được các nghiệm như là giao điểm của các đường conic Đối với cáchgiải bằng phương pháp đại số, ông đã viết rằng "chúng tôi không thể làm

được, thậm chí các chuyên gia trong lĩnh vực này cũng không thể làm được

Có lẽ sau này sẽ có người tìm được các lời giải"

Một trăm năm sau, trong một luận thuyết đã được chỉnh sửa lại, Sharaf adDin at Tusi đã phân loại các phương trình bậc ba, không dựa vào dấu của các

hệ số như cách làm của Khayyam, nhưng dựa vào sự tồn tại các nghiệm thực

sự dương của phương trình Ông đã giải quyết được vấn đề đồng nhất như là

một cách báo trước sự xuất hiện của Descartes: mỗi số x có thể được đồngnhất với một độ dài x, hoặc có thể đồng nhất với diện tích của một hình chữnhật có chiều dài và chiều rộng là 1 và x, hoặc được đồng nhất với thể tíchcủa một hình hộp chữ nhật có chiều cao và 2 cạnh đáy là 1, 1, x Cuối cùng,Sharaf ad Din at Tusi đã hoàn thành công trình nghiên cứu các đa thức theocon đường giải tích, giới thiệu đạo hàm cho các đa thức và tìm giá trị cực

đại của chúng

2.2.3 Đóng góp của Scipio del Ferro, Tartaglia, Cardano

Vào năm 1515, Scipio del Ferro (một giáo sư Trường Đại học Bologna

với p, q > 0 Nếu ông biết sử dụng khái niệm số âm của các nhà toán học

ba Antonio Fiore (một học trò của Ferro) đã công khai thách đố với Nicolas

thắng thách thức này dẫn đến uy tín và tiền bạc, đôi khi cho phép người chiếnthắng trở thành một vị giáo sư Thời thơ ấu của Tartaglia rất ấn tượng: ông

là đứa trẻ mồ côi cha, rất nghèo, ông đã bị thương nặng trong trận cướp bóccủa quân đội Brescia do Gaston de Foix cầm đầu năm 1512 Tartaglia đã cốgắng giải một số phương trình dạng đó trong những năm trước, và lần này

ông đã thành công trong đêm 12 rạng ngày 13 tháng 2 năm 1535 Nhưng

ông đã giữ bí mật cách giải của mình, mà chỉ viết nó trong một bài thơ.Năm 1539, Jerome Cardano, một bác sĩ và là nhà toán học với tính cáchrất phức tạp, đã mời Tartaglia đến nhà ở Milan để được tiết lộ bí mật đó.Ngay sau đó, Cardano đã thành công trong việc mở rộng phương pháp của

học trò của Cardano là Ferrari đã giải phương trình bậc bốn năm 1540 Năm

1545, Cardano đã xuất bản tất cả các cách giải này trong cuốn sách ArsMagna (nghĩa là Công việc lớn) Ars Magna của Cardano là một cuốn sáchrất quan trọng, trong đó ông đưa ra lời giải hoàn chỉnh cho phương trình