Một số kết quả về hàm phân chia các số tự nhiên

Một số kết quả về hàm phân chia các số tự nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LÊ QUỐC ĐẠI

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM PHÂN CHIA CÁC SỐ TỰ NHIÊN

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê ThịThanh Nhàn Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận văn

là do tôi làm và không sao chép các luận văn đã được công bố trước đó

Tác giả

Lê Quốc Đại

Mục lục

1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên 71.2 Phép phân chia có điều kiện 81.3 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần không quá m 141.4 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần không nhỏ hơn m 19

2.1 Tam giác Pascal 222.2 Một số công thức biểu diễn hàm phân chia 272.3 Sơ lược lịch sử 34

LỜI CẢM ƠN

Sau quá trình nhận đề tài và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn khoa họccủa PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Một số kết quả về hàm phânchia các số tự nhiên" của tôi đã được hoàn thành Có được kết quả này,

đó là nhờ sự dạy bảo hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô Tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô và gia đình!

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, PhòngĐào Tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế và Khoa Toán - Tin của TrườngĐại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhấttrong suốt quá trình học tập tại trường cũng như thời gian tôi hoàn thành

đề tài này Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các cán bộthuộc Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đã để lại trong lòng mỗi chúngtôi những ấn tượng hết sức tốt đẹp

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên tronglớp cao học Toán K5C (Khóa 2011 - 2013) đã quan tâm, tạo điều kiện,động viên cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

LỜI NÓI ĐẦU

Một phép phân chia số tự nhiên nlà một cách viết n thành tổng các sốnguyên dương Chú ý rằng mỗi phép phân chia số n có thể biểu diễn bằngnhiều cách (sai khác nhau thứ tự của các hạng tử, chẳng hạn 3 = 2 + 1

và 3 = 1 + 2 là 2 cách biểu diễn của một phép phân chia) Vì thế người

ta thường viết mỗi phép phân chia dưới dạng một dãy (p1, , pk) các sốnguyên dương sao cho p1 ≥ ≥ pk vàn = p1+ + pk.Các số p1, , pk

được gọi là các thành phần của phép phân chia Kí hiệu P (n) là số cáchchia của số tự nhiên n Hàm P (n) được gọi là hàm phân chia

Khái niệm các phép phân chia số nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởinhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler của Thế kỉ 18 Khái niệm này đãxuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học, Vật lí Một trongnhững kết quả bí ẩn và nổi tiếng trong lí thuyết phép phân chia số tự nhiên

là các đồng nhất thức Roger-Ramanujan, đã được sử dụng và gắn kết vớinhững chuyên nghành Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đốixứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giảitích phức,

Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên có một lịch sử lâu dài và ấntượng Từ Thế kỉ 18, Leonhard Euler là người đầu tiên đưa ra công thứctruy hồi để tính P (n) Hơn 150 năm sau đó, phương pháp của Euler mớiđược hoàn thiện để tính toán thành công số P (n) với n ≤ 200 Đến đầuThế kỉ 20, Srinivasa Ramanujan và G H Hardy đã cho ra phương phápxoay vòng "circle method" để tính P (n), và có xấp xỉ đầu tiên tương đốitốt cho P (n) với n > 200 Một câu hỏi rất khó kéo dài trong rất nhiềunăm là đánh giá xấp xỉ giá trị của P (n) khi n đủ lớn Cho đến nay, câuhỏi này vẫn còn là vấn đề mở chưa được giải quyết, nhưng đã có một loạtcâu trả lời bộ phận được đưa ra bởi Hardy-Ramanujan [HR] năm 1918,

bởi Hans Rademacher [R] năm 1943, Đặc biệt, năm 2007, KathrinBringmann và Ken Ono [BO] đã đưa ra một cải tiến vượt bậc cho côngthức của Rademacher.

Từ các đồng dư thức nổi tiếng về P (n) phát hiện bởi Ramanujan năm

1921, người ta tiếp tục quan tâm đến tính chất đồng dư thức của P (n).Năm 1960, M Newman đã giả thuyết rằng với mỗi cặp số tự nhiên m, r,tồn tại vô hạn số nguyên dương nsao cho P (n) ≡ r ( mod m) Giả thuyếtnày đã được hàng trăm nhà toán học quan tâm nhưng vẫn chưa được giảiquyết trọn vẹn Kết quả tốt nhất trả lời bộ phận cho giả thuyết này thuộc

về Ken Ono [O1] trong bài báo trên tạp chí Ann Math năm 2000 và S.Ahlgren và M Boylan [AB] trong bài báo trên Invent Math năm 2003.Mục đích của luận văn này là trình bày khái niệm và một số kết quả

cơ bản về phép phân chia các số tự nhiên Các kiến thức viết trong luậnvăn chủ yếu tham khảo trong 3 tài liệu sau đây:

1 S Ahlgren and M Boylan, Arithmetic properties of the partitionfunction, Invent Marth.,153 (2003) 487 - 502

2 G E Andrew and K Eriksson, Integer Partitions, Cambridge versity Press, 2004

Uni-3 H Torabi, J Behboodian, S Mirhosseini, On the number of tions of sets and natural numbers, Apps Math Sci., 33 (2009) 1635 -1646

parati-Luận văn gồm 2 chương Chương 1 dành để trình bày khái niệm và tínhchất cơ bản của phép phân chia các số tự nhiên, phép phân chia có điềukiện và đặc biệt quan tâm đến 2 dạng phép phân chia có điều kiện: phépphân chia với các thành phần không nhỏ hơn m và phép phân chia với cácthành phần không lớn hơn m Chương 2 trình bày một số kết quả về hàmphân chia P (n), trong đó có sơ đồ tam giác Pascal để tính giá trị P(n)

(Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.4) Phần cuối chương tóm tắt lịch sử Lí thuyếtphép phân chia các số tự nhiên

Chương 1

Phép phân chia số tự nhiên

Phép phân chia một số nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi LeonhardEuler (15/4/1707 - 18/9/1783) Ông là nhà vật lí học người Thụy Sĩ Ôngcùng với Archimedes và Newton được xem là những nhà toán học thiêntài nhất mọi thời đại, ông cũng được xem là nhà toán học quan trong nhấtcủa Thế kỉ 18 Ông là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ "hàm số" để miêu

tả một biểu thức có chứa các đối số như y = f (x) Ông cũng được xem làngười đầu tiên dùng phép tính vi tích phân trong Vật lí Ông được sinh ra

và lớn lên ở thành phố Basel, Thụy Sĩ và được xem là thần đồng toán học

từ nhỏ Ông là giáo sư toán học tại Saint-petersburg, sau đó là Berlin, rồilại chuyển về Saint-petersburg

Lí thuyết phép phân chia các số tự nhiên đã được xuất hiện trong nhiềulĩnh vực khác nhau của Toán học, Vật lí học Một trong những kết quả bí

ẩn và lừng danh trong lí thuyết phép phân chia số tự nhiên là các đồngnhất thức Roger-Ramanujan được khám phá một cách độc lập bởi Roger,Schur và Ramanujan và được xuất bản trong cuốn sách G H Hardy [Har]năm 1940 Các đồng nhất thức Roger-Ramanujan có nhiều ứng dụng vàgắn kết mật thiết với những chuyên nghành khác nhau của Toán học như

Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểudiễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giải tích phức,

Trong suốt chương này, luôn giả thiết n là một số nguyên dương Mụcđích của Chương là giới thiệu khái niệm phép phân chia số tự nhiên, phépphân chia có điều kiện và một vài dạng đặc biệt như phép phân chia cóđúng i thành phần bằng 1, phép phân chia mà mỗi thành phần đều khôngnhỏ hơn một số m cho trước,

1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên

1.1.1 Định nghĩa Một phép phân chia số tự nhiên n là một cách viết

n thành tổng của các số nguyên dương

Chú ý rằng một phép phân chia có thể biểu diễn thành nhiều dạng.Chẳng hạn, 4 = 3 + 1 và 4 = 1 + 3 là hai dạng biểu diễn của cùng mộtphép phân chia số 4 thành hai thành phần 3 và 1 Như vậy, hai dạng biểudiễn của n thành tổng các số nguyên dương được xem là của cùng mộtphép phân chia nếu chúng chỉ khác nhau về thứ tự các số hạng Cụ thể,hai dạng biểu diễn n = a1 + + ar và n = b1 + + bs, trong đó a1, , ar, b1, , bs là các số nguyên dương, được coi là của cùng một phépphân chia nếu r = s và tồn tại một hoán vị σ của tập {1, 2, , r} sao cho

ai = bσ(i) với mọi i = 1, , r

1.1.2 Ví dụ Có 5 phép phân chia số 4 sau đây, đó là:

là một bộ (p1, , pk) các số nguyên dương thỏa mãn p1 ≥ p2 ≥ ≥ pk

và tổng của chúng là n Với kí hiệu như vậy, thay cho cách viết có 5 phépphân chia của số 4 là:

4 = 4, 4 = 3 + 1, 4 = 2 + 2, 4 = 2 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 1 + 1

Ta có thể viết lại phép phân chia này như sau

(4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1)

1.1.4 Định nghĩa Số phép phân chia của n được kí hiệu là P (n) Hàm

P (n) được gọi là hàm phân chia Cho thuận lợi, ta quy ước P (n) = 0 vớimọi n < 0 và P (0) = 1

1.1.5 Ví dụ Có 7 phép phân chia số 5 sau đây, đó là

1.1.7 Ví dụ Ta có P (6) = 11 vì có đúng 11 phép phân chia số 6,

đó là:

(6), (5, 1), (4, 2), (4, 1, 1), (3, 3), (3, 2, 1),(3, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)

1.2 Phép phân chia có điều kiện

Ta hiểu một phép phân chia có điều kiện của số n là một phép phânchia số n với một điều kiện nào đó trên các thành phần của phép phânchia Dưới đây là một số bài toán thường gặp về phép phân chia có điềukiện

(i) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều là số lẻ

(ii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều là số chẵn.(iii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần là đôi một khácnhau.

(iv) Tìm số phép phân chia n sao cho các thành phần lặp lại quá m

lần

(v) Tìm số phép phân chia nsao cho không có thành phần vượt quá m.(vi) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi thành phần đều không nhỏhơn m

(vii) Tìm số phép phân chia n sao cho mỗi phép chia có đúng m thànhphần

(viii) Tìm số phép phân chia n sao cho có đúng m thành phần bằng 1.(ix) Tìm số phép phân chia n sao cho không có quá m thành phần.(x) Tìm số phép phân chia n sao cho nó có một số chẵn hạng tử và cáchạng tử là đôi một khác nhau

(xi) Tìm số phép phân chia n sao cho nó có một số lẻ hạng tử và cáchạng tử là đôi một khác nhau

1.2.1 Ví dụ Ta có P (8) = 22 vì có đúng 22 phép phân chia số 8,

đó là:

(8), (7, 1), (6, 2), (6, 1, 1), (5, 3), (5, 2, 1), (5, 1, 1, 1), (4, 4), (4, 3, 1), (4, 2, 2),(4, 2, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 1, 1), (3, 2, 2, 1), (3, 2, 1, 1, 1),

Chú ý rằng số phép phân chia n mà các thành phần đều chẵn khôngnhất thiết bằng số phép phân chia n mà các thành phần đều lẻ Cụ thể,

có 6 phép phân chia số 8 sao cho các thành phần đều lẻ, nhưng chỉ có 5phép phân chia số 8 sao cho các thành phần đều chẵn, đó là:

(8), (6, 2), (4, 4), (4, 2, 2), (2, 2, 2, 2)

Bây giờ chúng ta quan tâm đến công thức tính số phép phân chia một

số n với những điều kiện đặc biệt Một công cụ quan trọng để tính toántrong luận văn này là khái niệm song ánh Giả sử f : A → B là một ánh

xạ Ta nói f là song ánh nếu với mỗi phần tử b ∈ B, tồn tại duy nhất mộtphần tử a ∈ A sao cho f (a) = b Giả sử f : A → B là song ánh Kí hiệu

f−1 : B → B là quy tắc cho ứng phần tử b ∈ B với phần tử a ∈ A thỏamãn f (a) = b Khi đó f−1 là một ánh xạ, ánh xạ này cũng là song ánh

và ta gọi f−1 là ánh xạ ngược của song ánh f Tính chất sau đây của cácsong ánh thường xuyên được dùng trong chứng minh các kết quả của luậnvăn này

1.2.2 Bổ đề Giả sử A, B là hai tập hữu hạn và f : A → B là mộtsong ánh Khi đó số phần tử của A bằng số phần tử của B

Từ nay về sau khi A là tập hữu hạn ta kí hiệu Card(A) là số các phần

tử của A Trước hết, chúng ta nêu công thức tính số phép phân chia n

phần tử của A bằng số phần tử của B, tức là số phép phân chia của n saocho các thành phần trong mỗi phép phân chia là bằng nhau chính là sốước của n.

1.2.4 Ví dụ Số 12 có 6 ước là 1, 2, 3, 4, 6, 12 Vì thế có 6 phép phânchia số 12 sao cho các thành phần trong mỗi phép phân chia đều bằngnhau, đó là:

1.2.5 Mệnh đề Số phép phân chia của n mà mỗi thành phần trongmỗi phép phân chia đều khác 1 là P (n) − P (n − 1)

Chứng minh Rõ ràng đẳng thức đúng với n = 1 Giả thiết rằng n > 1.Gọi A là tập các phép phân chia số n sao cho có ít nhất một thành phầnbằng 1 Gọi B là tập các phép phân chia số n − 1 Giả sử (p1, , pk) ∈ A

là một phép phân chia của n Vìp1 ≥ p2 ≥ pk ≥ 1 nên ta có pk = 1 Vì

1.2.6 Ví dụ Ta có P (9) = 30, vì 9 có 30 phép phân chia, đó là:

(9), (8, 1), (7, 2), (7, 1, 1), (6, 3), (6, 2, 1), (6, 1, 1, 1), (5, 4), (5, 3, 1), (5, 2, 2),(5, 2, 1, 1), (5, 1, 1, 1, 1), (4, 4, 1), (4, 3, 2), (4, 3, 1, 1), (4, 2, 2, 1),

(4, 2, 1, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 3), (3, 3, 2, 1), (3, 3, 1, 1, 1), (3, 2, 2, 2),(3, 2, 2, 1, 1), (3, 2, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2, 1), (2, 2, 2, 1, 1, 1),(2, 2, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Do đó P (9) − P (8) = 30 - 22 = 8 Dễ thấy có đúng 8 phép phân chia

số 9 sao cho trong mỗi phép phân chia các thành phần đều khác 1, đó là:

(9), (7, 2), (6, 3), (5, 4), (5, 2, 2), (4, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 2, 2, 2)

1.2.7 Mệnh đề Cho i ≥ 1 là một số tự nhiên Khi đó số phép phân chiacủa n sao cho trong mỗi phép phân chia có đúng i thành phần bằng 1 là

P (n − i) − P (n − i − 1)

Chứng minh Nếu i = n thì kết quả hiển nhiên đúng Do đó ta giả thiết

i < n Gọi A là tập các phép phân chia số n sao cho trong mỗi phép phânchia có đúng i thành phần bằng 1 Gọi B là tập hợp các phép phân chia

số n − i sao cho trong mỗi phép phân chia không có thành phần nào bằng

1 Ta xây dựng một song ánh f từ A đến B như sau Lấy (p1, , pk) ∈ A.Khi đó p1 ≥ p2 ≥ ≥ pk−1 > 1 và pk−i+1 = = pk = 1 Do i < n nên

p1 + + pk−i = n − (pk−i+1 + + pk) = n − i > 0

Do đó(p1, , pk−i)là một phép phân chia sốn−i sao cho không có thànhphần nào bằng 1 Suy ra (p1, , pk−i) ∈ B Ngược lại, cho (q1, , qt) ∈

B Khi đó q1 ≥ q2 ≥ ≥ qt > 1 và q1 + + qt = n − i Do đó

ta có thể bổ sung thêm i tọa độ 1 vào bộ (p1, , pk−i) ∈ B để được bộ

(q1, , qt, 1, , 1) ∈ A.Vì thế, đặt f (p1, , pk) = (p1, , pk−i) với mọi

(p1, , pk) ∈ A, ta dễ dàng kiểm tra được f là song ánh Do đó số phần

tử của A bằng số phần tử của B Theo Mệnh đề 1.2.5, số phép phân chia số

n − isao cho trong mỗi phép phân chia không có thành phần nào bằng 1 là

(5, 2, 2, 1), (5, 2, 1, 1, 1), (5, 1, 1, 1, 1, 1), (4, 4, 2), (4, 4, 1, 1), (4, 3, 3),(4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 1, 1), (4, 2, 2, 2), (4, 2, 2, 1, 1), (4, 2, 1, 1, 1, 1),

(4, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 3, 1), (3, 3, 2, 2), (3, 3, 2, 1, 1), (3, 3, 1, 1, 1, 1),(3, 2, 2, 2, 1), (3, 2, 2, 1, 1, 1), (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1),(2, 2, 2, 2, 2), (2, 2, 2, 2, 1, 1), (2, 2, 2, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1),(2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Theo mệnh đề trên, số phép phân chia số 10 sao cho trong mỗi phép phânchia có đúng 5 thành phần bằng 1 là:

P (10 − 5) − P (10 − 5 − 1) = P (5) − P (4) = 7 − 5 = 2

Cũng từ danh sách 42 phép phân chia số 10 ở trên ta thấy 2 phép phânchia đó là:

(5, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1)

1.3 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần không

quá m

Trong luận văn này, chúng ta quan tâm đến một loại phép phân chia

có điều kiện, đó là các phép phân chia mà mỗi thành phần của nó khôngvượt quá một số tự nhiên m cho trước Trong suốt luận văn này, chúng ta

sử dụng kí hiệu sau

1.3.1 Kí hiệu Với số nguyên dương m, kí hiệu P (n |1, , m) là số phépphân chia n trong đó mỗi thành phần không vượt quá m

Chẳng hạn P (3 |1, 2) = 2 vì có đúng 2 phép phân chia số 3 thành cácthành phần không vượt quá 2, đó là 3 = 2 + 1 và 3 = 1 + 1 + 1

Mệnh đề sau đây cho ta công thức truy hồi để tính P (n |1, , m)

1.3.2 Mệnh đề Với mọi số nguyên dương n ≥ m ta có

P (n |1, 2, , m) = P (n |1, 2, , m − 1) + P (n − m |1, 2, , m)

Chứng minh Giả sử(p1, , pk) là một phép phân chia số nsao cho cácthành phần pi đều không vượt quá m Nếu p1 < m thì pi < m với mọi

i = 1, , k và trong trường hợp này, (p1, , pk) là một phép phân chia

số n sao cho các thành phần pi đều không vượt quá m − 1 Số phép phânchia ncó tính chất này là P (n |1, 2, , m − 1) Ngược lại, giả sử p1 = m.Khi đó pi ≤ m với mọi i = 2, , k và ta có p2+ + pk = n − m Do đó

(p2, , pk) là một phép phân chia n − m với các thành phần đều khôngvượt quá m Số phép phân chia có tính chất như thế là P (n |1, 2, , m)

Vì mỗi phép phân chia(p1, , pk)củanchỉ rơi vào hai trường hợpp1 = m

hoặc p1 < m nên ta có kết quả

1.3.3 Ví dụ Ta có P (7) = 15 vì có đúng 15 phép phân chia số 7 đó là:

(7), (6, 1), (5, 2), (5, 1, 1), (4, 3), (4, 2, 1), (4, 1, 1, 1), (3, 3, 1),

(3, 2, 2), (3, 2, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 1), (2, 2, 1, 1, 1),

(2, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Theo mệnh đề trên, số phép phân chia số 7 sao cho trong mỗi phépphân chia các thành phần không vượt quá 4 là:

(4, 3), (4, 2, 1), (4, 1, 1, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1),(2, 2, 2, 1), (2, 2, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

m Như vậy, có P (n − m |1, 2, , m) cách chọn bộ (p2, , pk) thỏa mãn

(m, p2, , pk) là phép phân chia số nvới các thành phần không vượt quá

m

Xét trường hợp p1 = m − 1 Khi đó pi ≤ m − 1 với mọi i = 2, , k Do

đó, tương tự các lập luận trên, phần còn lại (p2, , pk) là một phép phânchia số n − (m − 1) với các thành phần đều được hạn chế không vượt quá

m − 1 Vì thế, có P (n − m + 1 |1, 2, , m − 1) cách chọn bộ (p2, , pk)

thỏa mãn (m − 1, p2, , pk) là phép phân chia số n với các thành phầnkhông vượt quá m

Cứ tiếp tục quá trình trên, cho đến trường hợp p1 = 1 Khi đó pi = 1

với mọi i = 2, , k Do đó, phần còn lại (p2, , pk) là một phép phân

chia số n − 1 với các thành phần đều được hạn chế không vượt quá 1 Vìthế, có P (n − 1 |1) cách chọn bộ (p2, , pk) thỏa mãn (1, p2, , pk) làphép phân chia số n với các thành phần không vượt quá m Suy ra

số nguyên lớn nhất không vượt quá x

1.3.6 Hệ quả Có đúng [n/2] + 1 phép phân chia số n, trong đó mỗithành phần chỉ có thể bằng 1 hoặc 2

Chứng minh Sử dụng kí hiệu trong Định lí 1.3.4, gọi P (n |1, 2) là sốphép phân chia nsao cho mỗi thành phần không vượt quá 2 ( tức là chỉ cóthể bằng 1 hoặc 2) Ta tínhP (n |1, 2)bằng cách sử dụng công thức truy hồitrong Định lí 1.3.4 Đặt n = 2t + i, trong đó t là số tự nhiên và i ∈ {0, 1}.Khi đó [n/2] = t Chú ý rằng với mỗi số tự nhiên r, chỉ có đúng 1 phépphân chiar với tất cả các thành phần đều bằng 1 Theo Định lí 1.3.4, ta có

P (n |1, 2) = P (n − 1 |1) + P (n − 2 |1, 2)

= 1 + P (n − 2 |1, 2)

= 1 + P (n − 2 − 1 |1) + P (n − 2.2 |1, 2)

1.3.7 Ví dụ Từ hệ quả 1.3.6, có đúng [11/2] + 1 = 6 phép phân chia số

11 sao cho mỗi thành phần không vượt quá 2 Các phép phân chia đó là:

Chứng minh Giả sử n = 3t + i, trong đót là số tự nhiên vài ∈ {0, 1, 2}

Sử dụng công thức trong Định lí 1.3.4 và Hệ quả 1.3.6 ta có

j ∈ {0, 1, 2, 3}, đồng thời sử dụng tính chất quen thuộc của cấp số cộng,

chia đó là:

(3, 3, 3, 2) , (3, 3, 3, 1, 1) , (3, 3, 2, 2, 1) , (3, 3, 2, 1, 1, 1) , (3, 3, 1, 1, 1, 1, 1) ,(3, 2, 2, 2, 2) , (3, 2, 2, 2, 1, 1) , (3, 2, 2, 1, 1, 1, 1) , (3, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ,

(3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) , (2, 2, 2, 2, 2, 1) , (2, 2, 2, 2, 1, 1, 1) , (2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1) ,(2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

1.4 Hàm phân chia sao cho mỗi thành phần không

nhỏ hơn m

Trong luận văn này chúng ta trình bày một công thức tính hàm phânchia P (n) theo các hàm trung gian P (m; n), trong đó P (m; n) là số cáchchian sao cho trong mỗi phép phân chia mỗi thành phần đều lớn hơn hoặcbằng m Trong luận văn này, ta luôn dùng kí hiệu sau

1.4.1 Kí hiệu Với mỗi số nguyên dương m, kí hiệu P (m; n) là số cáchchia n sao cho mỗi thành phần đều lớn hơn hoặc bằng m

Chẳng hạn, P(3; 9) = 4 vì có đúng 4 phép phân chia số 9 sao cho mỗithành phần đều không nhỏ hơn 3, đó là:

P (2; n) = P (n) − P (n − 1)

1.4.3 Ví dụ Ta có

P (2; 10) = P (10) − P (9) = 42 − 30 = 12

Thực tế, ta kiểm tra được có đúng 12 phép phân chia số 10 sao cho mỗithành phần không nhỏ hơn 2, đó là:

(10), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (6, 2, 2), (5, 5), (5, 3, 2),(4, 4, 2), (4, 3, 3), (4, 2, 2, 2), (3, 3, 2, 2), (2, 2, 2, 2, 2)

1.4.4 Bổ đề Số phép phân chia n sao cho thành phần nhỏ nhất đúngbằng m chính là số phép phân chia n − m sao cho mỗi thành phần đềukhông nhỏ hơn m

Chứng minh Nếu m ≥ n thì công thức trên hiển nhiên đúng Do đó tagiả thiết m < n Gọi A là tập các phép phân chia số n sao cho thành phầnnhỏ nhất đúng bằng m Gọi B là tập các phép phân chia số n − m saocho mỗi thành phần đều lớn hơn hay bằng m Giả sử (p1, , pt) ∈ A Vì

p1 ≥ p2 ≥ ≥ pt nên thành phần nhỏ nhất của phép phân chia pt phảibằng m Vì m < n nên

Chứng minh Đẳng thức hiển nhiên đúng khi m ≥ n Do đó ta giả thiết

m < n Gọi A tập các phép phân chia n sao cho mỗi thành phần khôngnhỏ hơnm Khi đó A = B ∪ C, trong đó B là tập các phép phân chia nsaocho thành phần nhỏ nhất đúng bằngm và C là tập hợp các phép phân chia

số n sao cho mỗi thành phần không nhỏ hơn m + 1 Rõ ràng B ∩ C = ∅

Vì thế số phần tử của A bằng số phần tử của B ∪ C, và bằng số phần tửcủa B cộng với số phần tử của C Chú ý rằng A có đúng P (m; n) phần tử