Phương pháp mann tìm nghiệm bài toán cân bằng và điểm bất động của ánh xạ không giãn

Phương pháp mann tìm nghiệm bài toán cân bằng và điểm bất động của ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ BÍCH THẢO

PHƯƠNG PHÁP MANN TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG

THÁI NGUYÊN - 2011

Mục lục

Mở đầu 4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt 6

Chương 1 Một số khái niệm và vấn đề cơ bản 7 1.1 Một số khái niệm cơ bản 7

1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert 7

1.1.2 Một số khái niệm liên quan 8

1.1.3 Định nghĩa ánh xạ không giãn 11

1.1.4 Định nghĩa nửa nhóm không giãn 11

1.2 Một số tính chất của toán tử 11

1.3 Bài toán tìm điểm bất động 13

1.4 Bài toán cân bằng 13

1.5 Phương pháp Mann 14

1.5.1 Đặt vấn đề 14

1.5.2 Nội dung của phương pháp Mann 14 Chương 2 Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 19

2.1 Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ

không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian

Hilbert 19

2.1.1 Các kết quả đã được công bố 19

2.1.2 Các bổ đề cần sử dụng 23

2.1.3 Các kết quả chính 24

2.1.4 Hệ quả 33

2.2 Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 35

2.2.1 Bất đẳng thức biến phân và các kết quả liên quan 35

2.2.2 Các bổ đề cần sử dụng 37

2.2.3 Những kết quả chính 38

2.2.4 Áp dụng 43

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường Trong suốt quátrình làm luận văn, thầy đã luôn dành cho tôi sự hướng dẫn, chỉ bảo rất tậntình, truyền cho tôi nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, cácbuổi hội thảo tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đónggóp những ý kiến quí báu của PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, TS NguyễnThị Thu Thủy và sự quan tâm giảng dạy nhiệt tình của các thầy và các côcông tác tại trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, Viện CôngNghệ Thông Tin và Viện toán học thuộc Viện khoa học và Công nghệ ViệtNam Từ đáy lòng mình tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy,các cô

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy và các cô trong Ban giám hiệu,

Tổ Toán - Trường THPT Trại Cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên đã tạo điềukiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luậnvăn cao học

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị emhọc viên cao học toán K3 và bạn bè đồng nghiệp động viên và khích

lệ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận văn

Tác giả

Mở đầu

Bài toán tìm điểm bất động cho ánh xạ nói chung đã được rất nhiều nhàtoán học nghiên cứu như Định lý Brouwer được phát biểu năm 1912 bởi nhàtoán học Hà Lan Luizen Egbereis Jan Brouwer còn có tên Nguyên lý điểmbất động Brouwer Đây là một trong những định lý toán học quan trọng củathế kỷ 20 và sau đó vẫn được nhiều nhà toán học tiếp tục nghiên cứu

Nguyên lý điểm bất động Brouwer: Một ánh xạ liên tục f từ hình cầuđóng trong Rn vào chính nó phải có điểm bất động, tức tồn tại x sao cho

Cho đến nay các nhà toán học cả trong và ngoài nước vẫn đang tiếp tục

mở rộng định lý này cho các vấn đề như đối với ánh xạ đa trị, ánh xạ khônggiãn hay đối với nửa nhóm không giãn Trong khuôn khổ của luận văn nàychúng tôi xin được trình bày một đề tài: "Phương pháp Mann tìm nghiệmcủa bài toán cân bằng và điểm bất động cho ánh xạ không giãn" Đây là vấn

đề gặp nhiều trong nhiều lĩnh vực khoa học và ứng dụng Đã có rất nhiềunhà toán học nghiên cứu vấn đề này như Martinet đưa ra để giải bài toán

bất đẳng thức biến phân, sau đó Rockafellar mở rộng để giải bài toán biếnphân và toán tử đơn điệu Phương pháp Mann được sử dụng để giải bài toánbất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng, và một trong những kết quảđẹp về vấn đề này đã được Giáo sư - Tiến sĩ Nguyễn Bường cùng với hai cộng

sự Nguyễn Đình Dương và Nguyễn Thị Quỳnh Anh đưa ra trong hai bài báo

"Phương pháp lặp tìm nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động củanửa nhóm các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert" và "Phương pháplặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập các điểm bất động của họ hữu hạncác ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert." Luận văn này chúng tôi xintrình bày chi tiết về kết quả đó

Bố cục luận văn này gồm 2 chương:

Chương I Một số khái niệm và vấn đề cơ bản

Chương II Nghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động của họcác ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Do thời gian có hạn nên luận văn này chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tậphợp tài liệu và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra.Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa quí thầy, cô và bạn đọc

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011

Tác giảPhạm Thị Bích Thảo

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Rn : Không gian Euclide n-chiều

|β| : Trị tuyệt đối của số thực β

convD : Bao lồi của tập D

xk → x : dãy {xk} hội tụ mạnh tới x

xk * x : dãy {xk} hội tụ yếu tới x

A∗ : Toán tử liên hợp của toán tử A

D(A) : Miền xác định của toán tử A

R(A) : Miền giá trị của toán tử A

R : Tập các số thực

C : Tập các số phức

Chương 1

Một số khái niệm và vấn đề cơ bản

Trong chương này, chúng tôi đề cập đến các vấn đề sau Trong mục 1.1,chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kiến thức liên quan đến không gianHilbert Trong mục 1.2, chúng tôi trình bày một số tính chất của toán tử.Trong mục 1.3 chúng tôi sẽ trình bày bài toán tìm điểm bất động của họ cácánh xạ không giãn trên không gian Hilbert Mục 1.4 là nội dung của bài toáncân bằng Mục 1.5 là nội dung cơ bản của phương pháp MANN

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian tuyến tính trên R Một tích

vô hướng trong X là một ánh xạ h., i : X × X → R thoả mãn các điều kiệnsau:

i) hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X;

iii) hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;

iv) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X

Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., i được gọi là khônggian tiền Hilbert

Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert Chuẩncủa phần tử x được kí hiệu là kxk và được xác định bằng kxk = phx, xi.Các không gian Rn, L2[a, b] là các không gian Hilbert với tích vô hướng

ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L2[a, b].

1.1.2 Một số khái niệm liên quan

• Cho X là một không gian Hilbert, một dãy {xn} gồm các phần tử xn ∈ Xgọi là hội tụ mạnh tới phần tử của x ∈ X nếu kxn − xk → 0 khi n → ∞.Nếu {xn} hội tụ mạnh tới x ∈ X thì:

(i) Mỗi dãy con {xnk} ⊂ {xn} cũng hội tụ tới x;

(ii) Mỗi dãy {kxn − ξk} bị chặn, ξ ∈ X

• Dãy {xn} ⊂ X được gọi là đủ hay Cauchy, nếu với mỗi ε > 0, tồn tại

n0(ε) sao cho: kxm − xnk < ε với mọi m ≥ n0(ε), n ≥ n0(ε)

• Cho X, Y là hai không Hilbert Khi viết A : X → Y có nghĩa A là mộttoán tử đơn trị từ X vào Y Khi viết A : X → 2Y có nghĩa A là một toán tử

đó được gọi là chuẩn của A và ký hiệu là kAk

Mệnh đề 1.1.1 Cho X là một không gian Hilbert và x0 ∈ X là một phần

tử tùy ý Khi đó tồn tại một hàm tuyến tính ϕ : X → R sao cho kϕk = 1 vàϕ(x0) = kx0k

• Tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là khônggian liên hợp (hay không gian đối ngẫu của X) và được ký hiệu là X∗

• Dãy {xn} gồm các phần tử xn ∈ X được gọi là hội tụ yếu tới phần tử

x ∈ X (viết tắt là xn * x) nếu hφ, xni → hφ, xi với mỗi φ ∈ X∗

• Cho X là không gian Hilbert, và C là tập con của X Một ánh xạ

T : C → X được gọi là demicompact, nếu nó thỏa mãn tính chất với mỗi dãy{xn} bị chặn trong X và {T xn − xn} hội tụ mạnh thì tồn tại một dãy con{xnk} của {xn} cũng hội tụ mạnh đến p thì T (x) = p

Nếu dãy {xn} hội tụ yếu tới x ∈ X thì dãy {kxnk} là bị chặn

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian Hilbert, M là một tập conkhác rỗng của X (i) M được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1

ta có:

λx + (1 − λ)y ∈ M ;(ii) M được gọi là compact nếu mọi dãy {xn} ⊂ M đều chứa dãy con hội

tụ tới một điểm thuộc M

• Mỗi tập con đóng bị chặn M của một không gian Hilbert là compactyếu, tức là với mỗi dãy bị chặn trong M có thể trích ra được một dãy conhội tụ yếu tới một phần tử của không gian này • Tập M ⊂ X được gọi

là tập đóng yếu, nếu {xn} * x, thì x ∈ M

Định lý 1.1.1 Định lý Mazur

Mỗi tập con lồi đóng của một không gian Hilbert là đóng yếu

Định nghĩa 1.1.3 Một phiếm hàm ϕ xác định trên X được gọi là lồi, nếu

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y)với mọi x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] Nếu dấu "=" xảy ra chỉ khi x = y, thì ϕ đượcgọi là lồi chặt

• Nếu tồn tại một hàm liên tục tăng γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0 sao cho:

ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(kx − yk)

với mọi x, y ∈ X thì ϕ được gọi là lồi đều và hàm γ(t) gọi là modul lồi củaϕ.

• Nếu γ(t) = ct2 (c > 0) thì phiếm hàm ϕ được gọi là lồi mạnh

Định nghĩa 1.1.4 Một phiếm hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại

x0 ∈ X, nếu với mỗi dãy {xn} ⊂ X sao cho xn → x0 ta có:

Định lý 1.1.2 (i) Nếu ϕ(x) là một phiếm hàm lồi trên X thì ϕ0(x) thỏamãn bất đẳng thức sau:

1.1.3 Định nghĩa ánh xạ không giãn

Định nghĩa 1.1.5 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Phép chiếu của phần tử x ∈ H vào C kí hiệu là PCx Ánh

xạ T : C → C được gọi là ánh xạ không giãn trên C nếu T : C → C sao cho

kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ C

Ta kí hiệu F (T ) là tập các điểm bất động của T , tức là:

F (T ) = {x ∈ C : x = T x}

1.1.4 Định nghĩa nửa nhóm không giãn

Định nghĩa 1.1.6 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gianHilbert thực H Ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn trên C Tập{T (s) : s > 0} được gọi là nửa nhóm không giãn trên C nếu thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(1) Với mỗi s > 0, T (s) là ánh xạ không giãn trên C;

(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

(3) T (s1 + s2) = T (s1) ◦ T (s2) với mọi s1, s2 > 0; và

(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ (0, ∞) vào C là liên tục

Ta kí hiệu F = ∩s>0F (T (s)) Khi đó F là tập con lồi đóng trong H và

F 6= ∅ nếu C bị chặn

1.2 Một số tính chất của toán tử

Định nghĩa 1.2.1 Toán tử A : X → 2Y được gọi là bị chặn nếu nó biếnmỗi tập bị chặn trong X thành một tập bị chặn trong Y Nếu R(A) ⊂ Y làmột tập bị chặn thì toán tử A được gọi là bị chặn đều

Định nghĩa 1.2.2 Toán tử A : X → 2X∗ được gọi là bức nếu nó tồn tại

một hàm c(t) xác định với t ≥ 0 sao cho c(t) → +∞ khi t → ∞, thì:

hy, xi ≥ c(kxk)kxk, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Ax

Điều kiện trên tương đương với: A là toán tử bức khi và chỉ khi:

lim

kxk→∞

hAx, xikxk = +∞.

Định nghĩa 1.2.3 Toán tử A : X → X được gọi là compact trên X nếu nóbiến mỗi tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là không gian Hilbert Toán tử A : X → Yđược gọi là: (i) liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn} ⊂ X saocho: Axn → Ax0, khi xn → x0;

(ii) h - liên tục tại x0 ∈ X nếu A(x0 + tnh) * Ax0 khi tn → 0 với mỗivéctơ h ∈ X ;

(iii) d - liên tục tại x0 ∈ X nếu với mỗi dãy con {xn} ⊂ X sao cho khi

xn → x0 thì Axn * Ax0;

(iv) liên tục Lipschitz nếu ∃L > 0 sao cho:

kAx − Ayk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ X

Toán tử A : X → 2X∗ được gọi là d - đơn điệu trên X nếu tồn tại mộthàm không âm d(t), không giảm với t ≥ 0, và d(0) = 0 thỏa mãn tính chất:

hAx − Ay, x − yi ≥ (d(kxk) − d(kyk))(kxk − kyk), ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 1.2.5 Toán tử A : X → 2X∗ được gọi là đơn điệu đều trên Xnếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, và δ(0) = 0 vàthỏa mãn tính chất:

hAx − Ay, x − yi ≥ δ(kx − yk), ∀x, y ∈ X

Nếu δ(t) = ct2, (c > 0) thì toán tử A được gọi là đơn điệu mạnh Toán

tử A được gọi là nửa đơn điệu, nếu tồn tại một toán tử compact C sao cho

A + C là một toán tử đơn điệu

1.3 Bài toán tìm điểm bất động

Bài toán tìm điểm bất động chung cho họ hữu hạn các ánh xạ khônggiãn trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau: Tìm một điểm

p ∈ C := ∩Ni=1(Ci) trong đó N ≥ 1 là một số nguyên và mỗi Ci là tập cácđiểm bất động F ix(Ti) của các ánh xạ không giãnTi : H → H, i = 1, 2 NTrong trường hợp đơn giản, khi N = 1 và T1 = T là ánh xạ không giãntrên một tập lồi đóng C của không gian Hilbert H, tức là T : C → C và

kT x − T yk ≤ kx − yk với mọi x, y ∈ C

Bài toán tìm điểm bất động cho họ các ánh xạ loại không giãn xác địnhtrên một tập lồi đóng của không gian Hilbert là một vấn đề lớn và hiện đượcrất nhiều các nhà toán học trên thế giới quan tâm Trong luận văn này chúngtôi chỉ xin được trình bày một khía cạnh liên quan đến phương pháp MANNtìm nghiệm của bài toán cân bằng và điểm bất động của họ các ánh xạ khônggiãn trên không gian Hilbert ở trong chương sau

1.4 Bài toán cân bằng

Định nghĩa 1.4.1 Bài toán cân bằng của một hàm hai biến G(u, v) trên

C × C là tìm phần tử u∗ ∈ C sao cho

Ở đây hàm hai biến G thỏa mãn các điều kiện sau:

(A1) G(u, u) = 0 ∀u ∈ C;

(A2) G(u, v) + G(v, u) ≤ 0 ∀(u, v) ∈ C × C;

(A3)Với mỗi u ∈ C, G(u, ) : C → (−∞, +∞) là phiếm hàm liên tục dướiyếu ;

(A4) limt→+0G((1 − t)u + tz, v) ≤ G(u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C;

Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (1.1) là EP (G) Khi đó EP (G) là tậpcon lồi đóng trên H.

1.5 Phương pháp Mann

1.5.1 Đặt vấn đề

Năm 1952 W.R.MANN đã đưa ra một phương pháp tìm điểm bất độngcho một tập E lồi trong không gian Banach với một ánh xạ liên tục T từ Evào chính nó Nội dung cơ bản của phương pháp Mann như sau: Trong E ta

sẽ xây dựng một dãy xn và dãynà y sẽ hội tụ đến điểm bất động của T , bằngcách chọn phần tử ban đầu x1 ∈ E và các phần tử tiếp theo được xác địnhthông qua quá trình lặp:

xn+1 = T (xn), ∀n ≥ 1 (1.2)Nếu dãy này hội tụ thì nó sẽ hội tụ đến điểm bất động của T Nhưng để nóhội tụ thì ta phải hạn chế một số điều kiện của T , ví dụ như T là một hàmkhoảng cách giảm chẳng hạn Tuy nhiên, những giả thiết như thế là rất đặcbiệt, vấn đề đặt ra là ta cần tìm những điều kiện khác mà không cần đếnnhững giả thiết đặc biệt đó mà bài toán vẫn được giải quyết

1.5.2 Nội dung của phương pháp Mann

Giả sử quá trình lặp được xác định bởi (1.2) là không hội tụ, khi đó taxét ma trận A như sau:

an1 an2 · · · ann 0 0

trong đó các phần tử của A thỏa mãn các điều kiện sau:

aij ≥ 0, ∀i, j,

Quá trình này được xác định bởi điểm ban đầu x1, ma trận A và ánh xạ

T được biểu thị bởi bộ (x1, A, T ) có thể được coi là quá trình lặp, vì khi matrận A là ma trận đơn vị I thì (x1, I, T ) là quá trình lặp thông thường (1.2)Định lý 1.5.1 Nếu một trong hai dãy {xn} và {vn} hội tụ thì dãy còn lạicũng hội tụ đến cùng một điểm, và điểm hội tụ chung là điểm bất động củaT

Chứng minh Giả sử lim xn = p, vì A là ma trận xác định như trên và theo(1.5) nên lim vn = p

Từ T là ánh xạ liên tục nên lim T (vn) = T (p), nhưng T (vn) = xn+1 do đó

Định lý 1.5.2 Nếu ma trận A xác định như trên và bổ xung thêm điều kiện

lim ann = 0,

n

X

k=1

|a(n+1),k − an,k| = 0, (1.6)

thì X và V là các tập đóng liên thông

Chứng minh V là tập đóng và compact và vì (1.6), lim(vn+1 − vn) = 0 do

đó, V là tập liên thông

Khi T là liên tục và X = T (V ) nên X là đóng và liên thông  Định lý 1.5.3 V chứa trong bao lồi của X

Chứng minh Giả sử X0 là một bao lồi của X Áp dụng định lý Mazur, thì

X0 là tập đóng Do một số hữu hạn các phần tử của {xn} nằm trong tập mở chứa X nên với n đủ lớn thì vn nằm trong lân cận đóng của X Do đó, các giới hạn của mỗi dãy hội tụ {vn} nằm trong X và định lý được chứng minh



Ví dụ 1.5.1 Ta xét ma trận A là ma trận Cesaro, có dạng

A =

















1 0 0 0 0 · · · ·

1/2 1/2 0 0 0 · · · ·

1/3 1/3 1/3 0 0 · · · ·

1/n 1/n 1/n · · · 1/n 0 0 · · ·

















Khi đó A thỏa mãn tất cả các giả thiết của định lý(1.5.2) Áp dụng (1.4) và (1.5) ta thấy rằng (x1, A, T ) biểu thị quá trình lặp, bắt đầu với điểm x1 ∈ E

và áp dụng công thức:

xn+1 = T (vn), ∀n ≥ 1, trong đó

vn = 1 n

n

X

k=1

xk

Nói cách khác, (k + 1) phần tử trong dãy {xn} là ảnh của k phần tử đầu tiênqua T Dễ dàng thấy quá trình thỏa mãn

vn+1 − vn = T (vn) − vn

Bây giờ, trong trường hợp cụ thể mà không gian Banach chỉ là trục thực vàcác tập lồi compact E là đóng và bị chặn Ta thu được kết quả đặc biệt sauđây

Định lý 1.5.4 Nếu T là một hàm liên tục trên [a; b] và có một điểm bấtđộng duy nhất p trên [a; b] thì (x1, A, T ) hội tụ đến p với mọi cách chọn

x1 ∈ [a; b]

Chứng minh Từ (1.7) ta thấy (vn+1− vn) → 0 Vì T (x) là hàm liên tục và p

là duy nhất thỏa mãn T (x) − x > 0 nếu x < p và T (x) − x < 0 nếu x > p.Hơn nữa, với mỗi δ > 0 tồn tại một số ε > 0 sao cho |T (x) − x| ≥ ε khi

|x − p| ≥ δ Sử dụng (1.7) để viết vn+1 theo dạng sau:

lý (1.2.1) đã thu được, mặc dù trong nhiều trường hợp cụ thể quá trình lặpkhái quát (x1, A, T ) có thể dẽ dàng nhận thấy sự hội tụ, tuy nhiên cũng cótrường hợp quá trình lặp lại phân kì

Ví dụ 1.5.2 Nếu E biểu thị bởi vòng tròn cùng với miền trong cua nó, Tbiểu thị phép quay với góc quay π

4 về tâm, quá trình lặp sẽ được sử dụng íthơn trong một quá trình nỗ lực tìm điểm bất động duy nhất

Sử dụng quá trình (x1, A, T ) các dãy {xn} và {vn} luôn hướng vào trungtâm không phân biệt điểm đầu được chọn Nó mở ra một hy vọng rằng người

ta có thể chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp tổng quát theo giả

thuyết yếu hơn so với những yêu cầu mà vẫn bao hàm sự hội tụ của quátrình lặp thông thường Kết quả theo hướng này sẽ được quan tâm, ví dụ,trong các vấn đề biên của hàm phi tuyến, các ánh xạ không giãn với mộtđiều kiện Lipschitz dể đảm bảo sự hội tụ của xấp xỉ tiếp theo.

Chương 2

Nghiệm chung của bài toán cân bằng

và điểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Trong chương này chúng tôi trình bày hai vấn đề cơ bản của luận văn.Mục 2.1 là nội dung phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh

xạ không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gian Hilbert Mục2.2 là nội dung Phương pháp lặp cho bất đẳng thức biến phân trên tập cácđiểm bất động của họ các ánh xạ không giãn trên không gian Hilbert Nộidung của chương này được chúng tôi tổng hợp từ hai bài báo của GS TSNguyễn Bường và hai cộng sự Nguyễn Đình Dương và Nguyễn Thị QuỳnhAnh (xem [19]- [20])

2.1 Phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm các ánh xạ

không giãn và nghiệm bài toán cân bằng trong không gianHilbert

2.1.1 Các kết quả đã được công bố

Cho C1 và C2 là các tập con lồi đóng trong H G(u, v) là hàm hai biến xácđịnh bởi các điều kiện từ (A1) - (A4) Thay C bởi C1 và cho {T (s) : s > 0}

là nửa nhóm không giãn trên C2 Cần tìm một phần tử

trong đó EP (G) và F được biểu thị là tập các trạng thái cân bằng trên

C1 × C1 và tập các điểm bất động của nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0}trên tập lồi đóng C2 tương ứng

Trong trường hợp C1 ≡ H, G(u, v) = 0, C2 = C và T (s) = T , là ánh xạkhông giãn trên C, với s > 0, thì (2.1) là điểm bất động của ánh xạ khônggiãn Năm 2000, Moudafi [1] đã chứng minh được định lý về sự hội tụ mạnhsau.

Định lý 2.1.1 Cho C là tập lồi đóng khác rỗng trên không gian Hilbert thực

H và cho T là ánh xạ không giãn trên C sao cho F (T ) 6= ∅ Cho f là ánh xạ

co vào C và cho {xk} dãy bất kì thỏa mãn: x1 ∈ C và

xk+1 = εk

1 + εkf (xk) +

1

1 + εkT xk, k ≥ 1,trong đó {εk} ∈ (0, 1) thỏa mãn

1

εk+1 − 1

εk

= 0

Khi đó, {xk} hội tụ mạnh đến phần tử p ∈ F (T ), với p = PF (T )f (p)

Một phương pháp tìm điểm bất động có tên là phương pháp xấp xỉ mềmđược công bố bởi Chen và Song [24] đã tìm được p ∈ F đó là điểm bất độngcủa nửa nhóm không giãn {T (s) : s > 0} trên C Thuật toán này được họ

mô tả như sau: x1 ∈ C và

xk+1 = µkf (xk) + (1 − µk) 1

sk

Z sk0

T (s)xkds, k ≥ 1,trong đó f : C → C, là ánh xạ co, {µk} ⊂ (0, 1) và {sk} là dãy số thực thỏamãn : µk → 0,P∞

k=1µk = ∞ và sk → ∞ khi k → ∞

Sau đó, Yao và Noor [30] đã tiếp tục tìm ra phương pháp xấp xỉ mềm mới:

xk+1 = µkf (xk) + βkxk + γkT (sk)xk, k ≥ 0, x0 ∈ C, (2.2)trong đó {µk}, {βk} và {γk} thuộc (0, 1), sk → ∞, Tìm p ∈ F , khi {T (s) :

s > 0} thỏa mãn các điều kiện tiệm cận đều

lim

s→∞sup

x∈ ˜ C

kT (t)T (s)x − T (s)xk = 0,

với bất kì t, và ˜C là tập con đóng và giới nội bất kì của C Thêm nữa,Plubtieng và Pupaeng trong [26] đã nghiên cứu thuật toán sau:

Năm 2007, Takahashi và W.Takahashi [27] với phương pháp của Moudafikết hợp với kết quả của Combettes và Histoaga trong [22] đã tìm được phần

tử p ∈ EP (G) ∩ F (T ) Họ đã chứng minh được định lý về sự hội tụ mạnhsau

Định lý 2.1.2 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbertthực H, cho T là ánh xạ không giãn C và cho G là hàm hai biến từ C × C đến(−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) sao cho EP (G) ∩ F (T ) 6= ∅.Cho f là ánh xạ co trên C và cho {xk} và {uk} là dãy bất kì xác định bởi:

Rất gần đây, Ceng và Wong trong [6] kết hợp thuật toán (2.4) với kết quảtrong [22] đã đề xuất thuật toán sau:

Thúc đẩy bởi những kết quả trên để giải quyết bài toán (2.1), trong [19]giới thiệu thuật toán sau:

(iii) 0 < lim infk→∞βk ≤ lim supk→∞βk < 1;

(iv) limk→∞sk = ∞ với bị chặn supk≥1|sk − sk+1|;

k=1bk = ∞,

và lim supk→∞ck ≤ 0 Khi đó, limk→∞ak = 0

Bổ đề 2.1.4 (xem [5]) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H và G làhàm hai biến từ C × C vào (−∞, +∞) thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4).Cho r > 0 và x ∈ H Khi đó, tồn tại z ∈ C sao cho:

G(z, v) + 1

rhz − x, v − zi ≥ 0, ∀v ∈ C

Bổ đề 2.1.5 (xem [5]) Giả sử G : C × C → (−∞, +∞) thỏa mãn các điềukiện (A1)-(A4) Cho r > 0 và x ∈ H, xác định một ánh xạ Tr : H → C nhưsau:

Tr(x) = {z ∈ C : G(z, v) + 1

rhz − x, v − zi ≥ 0 ∀v ∈ C} (2.7)thì ta có các kết quả sau:

(i) Tr là duy nhất;

(ii) Tr là nửa nhóm không giãn duy nhất, tức là, với bất kì x, y ∈ H,

kTr(x) − Tr(y)k2 ≤ hTr(x) − Tr(y), x − yi; (2.8)

(iii) F (Tr) = EP (G);

(iv) EP (G) là tập lồi và đóng

Bổ đề 2.1.6 (xem [28]) Cho C là tập con lồi, đóng khác rỗng trong khônggian Hilbert thực H và cho {T (s) : s > 0} là nửa nhóm không giãn trên C.Khi đó, với mỗi h > 0

T (s)yds



−1t

Z t 0

T (s)yds = 0

Bổ đề 2.1.7 (Xem [15]) Nếu C là tập con lồi, đóng của H, T là ánh xạkhông giãn trên C, {xk} là dãy trên C sao cho xk * x ∈ C và xk− T xk → 0,thì x − T x = 0

Bổ đề 2.1.8 (xem [29]) Cho {xk} và {zk} là dãy bị chặn trong không gianBanach E và {βk} là dãy trên [0, 1] với 0 < lim infk→∞βk ≤ lim supk→∞βk <1.Giả sử xk+1 = βkxk+ (1 − βk)zk với mọi k ≥ 1 và lim supk→∞kzk+1− zkk −

kxk+1− xkk ≤ 0 Khi đó, limk→∞kzk − xkk = 0

2.1.3 Các kết quả chính

Định lý 2.1.3 Cho C1 và C2 là hai tập con không rỗng đóng lồi trong mộtkhông gian Hilbert thực H Cho G là hàm hai biến từ C1× C1 đến (−∞, +∞)thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) với C thay bởi C1, cho {T (s) : s > 0} lànửa nhóm không giãn trên C2 sao cho EP (G) ∩ F 6= ∅ và cho f là ánh xạ

co từH vào chính nó Khi đó, {xk} và {uk} xác định bởi (2.4) − (2.5) hội tụmạnh đến p ∈ EP (G) ∩ F , với p = PEP (G)∩Ff (p)

Chứng minh

Đặt Q = PEP (G)∩F Khi đó, Qf là ánh xạ co từ H vào chính nó Trong thực

tế, từ điều kiện kf (x) − f (y)k ≤ akx − yk với mọi x, y ∈ H và các điều kiệncủa nửa nhóm không giãn PC của tập con lồi đóng C trong H, có nghĩa là

kQf (x) − Qf (y)k ≤ kf (x) − f (y)k ≤ akx − yk

Một phương pháp tìm điểm bất động có tên phương pháp xấp xỉ mềmđược cơng bố Chen Song [24] tìm p ∈ F điểm bất độngcủa nửa nhóm khơng giãn {T (s) : s > 0} C Thuật... lồi đóng khác rỗng không gian Hilbertthực H, cho T ánh xạ không giãn C cho G hàm hai biến từ C × C đến(−∞, +∞) thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) cho EP (G) ∩ F (T ) 6= ∅.Cho f ánh xạ co C cho {xk}... = PEP (G)∩F Khi đó, Qf ánh xạ co từ H vào Trong thực

tế, từ điều kiện kf (x) − f (y)k ≤ akx − yk với x, y ∈ H điều kiệncủa nửa nhóm khơng giãn PC tập lồi đóng C H,