Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

§µO Anh tuÊn

NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ

SỐ KHÁC HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM

PHÂN HÌNH PHỨC

Chuyên ngành: Giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên- Năm 2011

LỜI NÓI ĐẦU

Trong những năm gần đây, lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên khắp thế giới Sự phân tích nghiệm phân hình cuả phương trình hàm là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức

Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “ Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức” Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội

dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương I: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản của Nevanlinna,

Chương II: Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng

và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình

Ngoài kiến thức cơ sở, luận văn được trình bày dựa theo hai bài báo sau :

1/ P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional

equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82,

ser A (2006)

2/ Alain Escassut and E Mayerhofer, Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49,

No 14,15 November 2004, pp 991-996

Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS TSKH Hà Huy

Khoái Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong suốt

quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy!

Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng bảo

vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình

Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Khoa Sau đại học của trường Đại học Sư phạm, khoa Toán cùng các thầy cô giáo đã tạo điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn của mình

Xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp cao học Toán-K17 Đại học

Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong suốt thời gian viết luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong quá trình làm luận văn

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

CHƯƠNG I HAI ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA NEVANLINNA

1.1 Hàm phân hình

nếu hàm ( ) f z chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính

điểm đó

Điểm bất thường cô lập z a của hàm ( ) f z được gọi là

a) điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của ( ) f z khi z dần đến a

b) cực điểm của ( ) f z nếu lim ( )

Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn Hàm ( ) f z được gọi là hàm phân hình trong miền D nếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số điểm bất thường là cực điểm

Nếu D thì ta nói ( ) f z phân hình trên  , hay đơn giản, ( ) f z là hàm phân hình

, ( )

zD f z có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh hình Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp các hàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là A ( ) Tập hợp các hàm phân hình trên  sẽ tạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu

là M ( )

Định nghĩa 1.2 Điểm z0 gọi là cực điểm cấp m>0 của hàm ( ) f z nếu trong

hình trong lân cận của z0 và h z( )0 0

Tính chất 1.1 Nếu ( ) f z là hàm phân hình trên D thì f z( ) cũng là hàm phân hình trên D Hàm ( ) f z và f z( ) cũng có các cực điểm tại những điểm như nhau Đồng thời, nếu z0 là cực điểm cấp m>0 của hàm f z thì ( ) z0 là cực điểm cấp m+1 của hàm f z( )

Tính chất 1.2 Cho hàm ( ) f z chỉnh hình trong  , điều kiện cần và đủ để

( )

f z không có các điểm bất thường khác ngoài cực điểm là f z là hàm ( )

hữu tỷ

1.2 Công thức Poisson – Jensen

Định lý 1.1 Giả sử ( ) f z là hàm phân hình trong hình trònz  R,

0  R , có các không điểm a( 1,2, ,M); các cực điểm

Khi f  0 0 hoặc  công thức trên thay đổi chút ít

Thật vậy, nếu f  0 0 hoặc f  0   hàm ( )f z có khai triển tại lân cận 0

z dạng :

  ( )

f z C z    Xét hàm   R f z 

cấp của hàm ( )f z tại điểm z0G, kí hiệu

(1) z0 là 0 điểm cấp k của f z ord f z0 k k 0

(2) z0 là cực điểm cấp k của f z ord f z0  k

1.3 Hàm đặc trƣng – Định lý cơ bản thứ nhất

Định nghĩa 1.3 Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa :

logxmax 0;logx

Ta có : logx log x log 1

    1   1log f 0 m R f, m R, N R f, N R,

k k

k k

k k

“độ lớn tập hợp tại đó f z  nhận giá trị gần bằng a” Trong khi đó vế phải của đẳng thức trong Định lý cơ bản thứ nhất có thể xem là không phụ thuộc a

Vì thế Định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình f z  nhận

mỗi giá trị a (và giá trị gần a) một số lần như nhau

1.4 Định lý 1.4 (Định lý cơ bản thứ hai)

Giả sử r là một số dương, ( ) f z là hàm phân hình trong  ; a a1, 2, a q

là các số phức phân biệt Khi đó ta có:

CHƯƠNG II

NGHIỆM PHÂN HÌNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI HỆ SỐ KHÁC

HẰNG VÀ PHÂN TÍCH HỮU TỶ CỦA HÀM PHÂN HÌNH

2.1 Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng

Định nghĩa 2.5

+ Giả sử f z là hàm phân hình khác hằng số trên ( )  , ta định nghĩa

 ,

S r f là một đại lượng xác định thoả mãn S r f , o T r f( ( , ))khi r 

có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn

+ Giả sử a j là hàm phân hình khác không, nghiệm phân hình f của phương trình hàm được gọi là nghiệm chấp nhận được nếu điều kiện

 , j  , 

T r a S r f thoả mãn với mọi hệ số của phương trình

+ Hàm phân hình aa z  là một hàm nhỏ của f nếu T r a , S r f ,

Để chứng minh Định lý 2.7 trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề 2.1 Giả sử rằng f là hàm phân hình khác hằng và n,m là số nguyên

dương nguyên tố cùng nhau Giả sử rằng a0,b0 là hàm nhỏ đối với f Nếu

hàm nhỏ  đối với f thoả mãn an,bm , trong đó N r f , a g, b là

kí hiệu hàm đếm thu gọn của tất cả không điểm chung của f-a và g-b

trong đó các c i (i=0,…, n-1) là những hàm nhỏ của f Bằng cách so sánh hệ số

của hai vế của phương trình f n  a (f ) ( )P f thì ta có c n-1 =1, c j =n-1-j

,j=0,1,…,n-2 và a=c 0 , do đó a=n Hoàn toàn tương tự ta có b=m

Giả sử rằng N r f( , n a f, m b)S r f( , ), đặt z là không điểm chung của

f n – a và f m – b, tức là f n( )z a z( ) f m( )z b z( )0 do đó z là không điểm của a m

Dẫn tới n(m – 1)  2m , mâu thuẫn với điều kiện n > 2m + 3

Nếu hàm hữu tỉ h ở phương trình (2.6) là rút gọn được thì sẽ tồn tại một hàm

nhỏ đối với h thoả mãn c = a n và 2

n m m

m n

a h g

Do n,m là nguyên tố cùng nhau, phương trình z n – m – 1 =0 và z n – 1 =0 có nghiệm phân biệt ngoại trừ z = 1

Cho r j , j=1,…,2n–m–2 là tất cả các nghiệm của chúng Khi đó với mỗi điểm r j

a

  Do đó h m = a 1 /a 2 

nhau, và hàm hữu tỉ a 1 , a 2 , a 3 và a 4 (0), phương trình sau đây :

f n a f1 n m a g2 n a g3 n m a4 0 (2.9) không có nghiệm phân hình siêu việt f và g

Định lý 2.8 Giả sử a 1 , a 2 , a 3 là hàm phân hình và a 1  0 hoặc a 3 0 Nếu bộ

ba số nguyên dương (n,m,k) thoả mãn k>1,m<n và n>k(m+2)/(k – 1) hoặc

n<k(m – 2) khi đó phương trình sau :

f n a f1 n m a g2 k a3 (2.10) không có cặp nghiệm phân hình (f,g) chấp nhận được

Định lý 2.9 Giả sử a là hàm phân hình khác hằng, và P(z) là một đa thức

z z z

mãn phương trình (2.12) đối với mọi hàm hữu tỉ khác hằng a

Định lý 2.10 Giả sử trong phương trình (2.12) mà a(z) là hàm phân hình

khác hằng, P(z) là một đa thức có bậc n có dạng :

P z( ) (z z1)n1(zz2) (2.13) trong đó z 1 và z 2 là những số phức phân biệt, khi đó mọi cặp nghiệm của phương trình (2.12) được viết dưới dạng :

trong đó h là hàm phân hình tuỳ ý sao cho a(z) là hàm nhỏ của h

Nếu như hàm nhỏ a(z) trong phương trình (2.12) được thay thế bởi aekhi đó ta có định lý sau :

Định lý 2.11 Giả sử rằng a(z) là hàm phân hình khác hằng, P(z) là đa thức

có bậc là n

với công thức (2.11) Nếu k>1 và n>4k+2 thì với mọi hàm nguyên  thì phương trình sau :

P(f) = ae P(g) (2.14) không có cặp nghiệm phân hình f và g chấp nhận được thoả mãn a là một hàm nhỏ đối với f và g

Các Định lý 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 nói về điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm phân hình chấp nhận được khác không , chứng minh chi tiết của các định lý có thể xem ở [6]

2.2 Sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình

Định nghĩa 2.6 Giả sử F A B/   x với A B,  x và gcdA B, 1

(ước chung lớn nhất) Ta đặt deg F max deg  A ,deg B 

Cho P x Ta biểu thị   P là số các số không phân biệt của P

Giả sử F  A B/ với A B,   x và gcdA B, 1

Ta đặt  F min   A , B 

Giả sử  , là những hàm từ   tới   Nếu   thì tồn tại hàm 

khác từ   tới   và tập hợp con H của   của độ đo Lơbe bằng không,

Ta định nghĩa quan hệ thứ tự là quan hệ hầu khắp nơi trừ ra một tập có

độ đo Lơbe bằng không.

Nếu   thì tồn tại hàm  khác từ   tới   và tập hợp con H của

   (ta gọi  là quan hệ tương đương)

Định nghĩa 2.7 Cho E là một trường đóng đại số, ta đặt F  A B/ ,

(4) Với mọi j1,k ta có G d F c j và D d 0 với mỗi không điểm d của '   '

n T r f N r f b N r f



Chứng minh của Định lý 2.12 được trình bày ở [3], [5], [7]

Định lý 2.13 Giả sử F G,   x thoả mãn điều kiện M đối với c1, ,c k và đặt pdeg F q, deg G Giả sử tồn tại hai hàm , f gA ( ) , thoả mãn

   

F f G g khi đó kq p

Chứng minh

Để chứng minh Định lý 2.13 trước hết ta chứng minh các bổ đề sau :

Bổ đề 2.2 Cho E là một trường đóng đại số, F A B G/ , C D/  x , và

Chứng minh của Bổ đề 2.3 được trình bày ở [3], [5], [7]

Bổ đề 2.4 (Bổ đề cơ bản) Cho E là một trường , giả sử F A B/  x , gọi

c là không điểm của F ’ thoả mãn F c 0 khi đó c sẽ là không điểm của 1/F ’

, với cùng bội

Chứng minh của Bổ đề 2.4 được trình bày ở [4]

Bổ đề 2.5 Cho E là một trường đóng đại số, F A B G/ , C D/ E x và

gcd A B, gcd C D, 1, thoả mãn điều kiện M ’ đối với c1, ,c k Khi đó 1/F,1/G cũng thoả mãn điều kiện M ’ đối với c1, ,c k

Chứng minh

Theo Bổ đề 2.4, c1, ,c k là các không điểm của 1/F ’ Ta thấy điều kiện

(1-3) rõ ràng thoả mãn bởi 1/F,1/G Do đó ta cần chỉ ra thoả mãn điều kiện (4‟)

Cho u là không điểm của '     '

C F c D, do đó điều kiện (4‟) thoả mãn bởi F,G

Ta có F c j G u , do đó 1/F c j 1/G u  Hơn nữa từ điều kiện (4‟) ta

có D u C u   0 đối xứng đối với C và D  Bây giờ ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.13

Ta giả sử F  A B G/ , C D/ , và gcdA B, gcdC D, 1, C và D monic

Theo Bổ đề 2.2 với mỗi j1,k ta có thể phân tích dạng :

F x F c j thành  s j  

j j

xc R x , (2.1) với s j 2,R c j j 0, và tương tự ta có :

không điểm chung Từ (2.3), với mỗi j 1,k , bất kỳ không điểm của D(g) là một cực điểm của F(f) của cùng bậc, do đó nó là một cực điểm của R j f



 

Theo giả thiết  

1

1

k j j



  nên suy ra kq p 

Định lý 2.14 Giả sử F A B G/ , C D/  x với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1,

C và D là monic, thoả mãn điều kiện M đối với c1, ,c k , đặt

thoả mãn giả thiết của Định lý 2.14 , trong đó F , G được thay tương ứng

Do đó ta có thể giả sử rằng F c j   0, j 1,k mà không mất tính tổng quát,

Định lý 2.15 Giả sử F A B G/ , C D/   x với gcd(A,B)=gcd(C,D)=1

và C và D là monic, thoả mãn điều kiện M ’ đối với c1, ,c k , đặt

Bây giờ ta giả sử có giả thiết của Định lý 2.15 Do điều kiện M ’, áp dụng Bổ

đề 2.5 ta có thể thay thế F , G bởi 1/F , 1/G tương ứng Vì chúng cũng thoả mãn điều kiện M ’

Do đó ta có qk  p k  C 1, nên qk  p k  G 1 

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna và áp dụng để tìm nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và sự phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức Cụ thể là :

+ Trình bày một số điều kiện để phương trình hàm không có nghiệm phân hình khác không

+ Trình bày lại một số lớp phương trình tồn tại nghiệm phân hình chấp nhận được

+ Trình bày một số điều kiện để hàm phân hình có phân tích duy nhất Những kết quả trên được trình bày theo các bài báo của P Li and C.-C Yang, Eayerhofer – Escassut

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[ 1 ] H.H.Khoái, Bài giảng Lý thuyết Nevanlinna

[ 2 ] H.T Phương, Bài giảng Giải tích p-adic

Tiếng Anh

[ 3 ] A.I Markushevich Theory of Functions of a complex Variable,

Vol II Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J , U.S.A 1965

[ 4 ] E Mayerhofer Rational Decomposition of p-adic Meromorphic

Functions, SCMJ, 2004, 1

[ 5 ] I Laine Nevanlinna Theory and Complex Differential Equations,

Walter de Gruyter, Berlin, New York.

[ 6 ] P Li and C.-C Yang, Admissible solutions of functional equations of Diophantine type (Preprint)

[ 7 ] R Nevanlinna Le théorème de Picard-Borel et la theorie des

functions méromorphes Gauthiers-Villars, Paris 1929

[ 8 ] P Li and C.-C Yang, Meromorphic solutions of functional equations with nonconstant coefficients Proc Japan Acard., 82, ser A (2006) [ 9 ] Alain Escassut and E Mayerhofer Rational Decomposition of Complex Meromorphic Function Complex Variables, Vol.49, No.14,15November

2004, pp 991-996

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương I : Hai định lý cơ bản của Nevanlinna ……… ……… 3

1.1 Hàm phân hình ……… 3

1.2 Công thức Poisson – Jensen ……….….4

1.3 Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất ……….6

1.4 Định lý cơ bản thứ hai ……… ……9

1.5 Số khuyết ……….….9

Chương II :Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng và phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức ………… … ….11

2.1 Nghiệm phân hình của phương trình hàm với hệ số khác hằng….….11 2.2 Phân tích hữu tỷ của hàm phân hình phức ……… ….… … ….16

KẾT LUẬN ………24

TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… 25