Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

Một số kết quả về cận sai số của các hàm nửa liên tục dưới

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Phạm Ngọc Hưng

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ CẬN SAI SỐ CỦA CÁC HÀM

NỬA LIÊN TỤC DƯỚI

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng

Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - 2012

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS TS TrươngXuân Đức Hà Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến côgiáo, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS.TS Trương Xuân Đức

-Hà, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trìnhnghiên cứu của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn cácthầy cô trong khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính

để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đếngia đình, BGH trường THPT Thị xã Mường Lay - Điện Biên và các bạntrong lớp Cao học K4, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập và làm luận văn

Mục lục

1.1 Hàm nửa liên tục 5

1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland 6

1.3 Giải tích lồi 7

1.3.1 Tập lồi 7

1.3.2 Hàm lồi 8

1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi 9

1.4 Một số dưới vi phân hàm không lồi 10

1.4.1 Dưới vi phân Fréchet 10

1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ 13

1.4.3 Dưới vi phân tổng quát 14

2 Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số 16 2.1 Điều kiện độ dốc mạnh và dưới vi phân hàm lồi 16

2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh 16

2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi 23

2.2 Điều kiện dưới vi phân tổng quát 29

2.2.1 Điều kiện dưới vi phân tổng quát 29

2.2.2 Điều kiện dưới vi phân Fréchet 31

2.2.3 Điều kiện dưới vi phân xấp xỉ 36

3 Một số áp dụng 40 3.1 Mối liên hệ giữa cận sai số và tính chính quy metric 40

3.2 Phân tích độ nhạy 46

Tài liệu tham khảo 53

Mở đầu

Bài toán tìm điều kiện tồn tại cận sai số cho khoảng cách từ một điểmtới một tập mức của hàm nửa liên tục dưới đã được Hoffman nghiên cứulần đầu trong [10] Bài toán được phát biểu như sau: Cho một hàm nửaliên tục dưới f : X → R∪ {+∞} xác định trên không gian metric đủ X,chúng ta nói rằng f có một cận sai số toàn cục tại mức α nếu tồn tại sốthực dương τ thỏa mãn

τ d(x, [f (x) ≤ α]) ≤ (f (x) − α)+, ∀x ∈ X,trong đó [f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α}, d(x, [f ≤ α]) là khoảng cách từđiểm x đến tập [f ≤ α], và t+ = sup(t, 0)

Năm 1952, Hoffman đã đạt được các kết quả cho các hàm lồi đadiện dạng f (x) = max1≤j≤m(aTj x + bj), trong đó a1, · · · , am ∈ Rm và

b1, · · · , bm ∈ R Robinson [11] đã xét các hàm lồi không đa diện trongkhông gian định chuẩn thỏa mãn điều kiện Slater (infX f < α) với tập[f ≤ α] bị chặn và thu được kết quả sau

d(x, [f ≤ α]) ≤ r + ||x0||

θ (f (x) − α),trong đó θ > 0, f (x0) < α − θ, r là bán kính hình cầu gốc 0 chứa tập[f ≤ α] Tiếp đó Mangasarian [12], Auslender - Crouzeix [13] và Klatte

- Ly [14] đã thu được một điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số của hệtuyến tính với điều kiện tiệm cận Trong trường hợp không lồi, kết quảđầu tiên về cận sai số thuộc về Ioffe [15], Ng-Zheng [16] và Wu-Ye [5] Năm

1998, Penot nhận được kết quả trong trường hợp hàm tựa lồi Các tínhchất đầu tiên về cận sai số trong trường hợp hàm lồi được chứng minh bởiCorneia-jourari-Zalinesco [17], một số tính chất khác được thiết lập bởiLewis-Pang [18], Lemaire[19],Zalinesco [20] Sau đó, D.Aze nhận được một

số kết quả cho các hàm nửa liên tục dưới trong không gian metric đủ [1],[2].

Ngày nay, khái niệm cận sai số đóng vai trò quan trọng trong giải tíchbiến phân và toán học nói chung Nó có mối liên hệ mật thiết với các vấn

đề khác của toán học như: điều kiện tối ưu, tính chính quy metric, cực tiểu

ε - xấp xỉ, phân tích độ nhạy (sensitivity Analysis), điều khiển tối ưu Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách tổng quan, có hệthống những khái niệm và các kết quả cơ bản, quan trọng về cận sai sốtoàn cục đối với các hàm nửa liên tục dưới đã được đưa ra chủ yếu trong[1],[2], [3] Sau đó chúng tôi trình bày một số ứng dụng thể hiện mối liên

hệ giữa cận sai số và các vấn đề liên quan từ các bài báo [4],[5]

Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về các hàm nửa liên tục dưới,nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, một số khái niệm dưới vi phântổng quát của các hàm không lồi

Chương 2: Trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số chomột hàm nửa liên tục dưới và cho bài toán chứa tham số Các điều kiệnnày được thể hiện qua độ dốc mạnh, dưới vi phân của hàm lồi và dưới viphân tổng quát

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của cận sai số, đó là tìm điềukiện đủ của tính chính quy metric và ứng dụng phân tích độ nhạy của bàitoán tối ưu tổng quát

Do thời gian và khối lượng kiến thức lớn, chắc chắn bản luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tậntình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, năm 2012

Tác giả

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày khái quát những kiến thức vềhàm nửa liên tục dưới, nguyên lý biến phân Ekeland, giải tích lồi, dưới viphân Fréchet, dưới vi phân xấp xỉ Các kết quả chủ yếu được trích dẫntrong [6], [7],[8], [9]

Định nghĩa 1.1.2 Cho (X, d) là không gian metric, một hàm f : X →

R∪ {+∞} gọi là hàm nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu thỏa mãn

f (x0) ≥ lim sup

x→x 0

f (x),

trong đó lim sup

là hàm nửa liên tục dưới trên R

2) Cho Ω ⊂ X là tập đóng, khi đó hàm chỉ số của Ω

là hàm nửa liên tục dưới tại x = 2(nhưng không liên tục tại điểm này).Định lý 1.1.4 Cho (X, d) là không gian metric và hàm f : X → R ∪{+∞} Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) f là hàm nửa liên tục dưới trên X

(ii) epi(f ) = {x, α) ∈ X ×R : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X ×R.(iii) Cα(f ) = {x ∈ X : f (x) ≤ α} là tập đóng trong X

Định lý 1.1.5 Một hàm f (x) nửa liên tục dưới trên tập compact X phảiđạt cực tiểu trên tập ấy Một hàm f (x) nửa liên tục trên trên một tậpcompact X phải đạt cực đại trên tập ấy

Theo Định lý 1.1.5, nếu X là tập compact thì hàm nửa liên tục dưới

f phải đạt cực tiểu trên X Tuy nhiên nếu X không compact thì điều đókhông còn đúng Chẳng hạn chúng ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.2.1 Xét hàm số f : X = R × R → R xác định bởi f (x) =

x21+ (x1x2 − 1)2, ∀x = (x1, x2) ∈ X Khi đó, dễ thấy f là hàm liên tục và

f (x) ≥ 0, ∀x ∈ X, nhưng f không đạt cực tiểu trên X

Như vậy khi f bị chặn chúng ta có khái niệm cực tiểu xấp xỉ như sau:với ε > 0 cho trước, một điểm xε ∈ X được gọi là ε - cực tiểu xấp xỉ của

là cực tiểu chính xác của hàm "nhiễu" của f

Định lý 1.2.2 [8] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X →

R ∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và

d(x∗, x) ≤ f (x)

(iii) f (x∗) < f (x) +

λ

d(x, x∗), ∀x ∈ X\{x∗}

Ví dụ 1.3.2 Các tập sau đây đều là các tập lồi:

1) Hình cầu B(a, r) = {x ∈ X : ||x − a|| < r}

2) Các nửa không gian đóng

{x ∈ Rn :< a, x >≤ α}; {x ∈Rn :< a, x >≥ α},hay các nửa không gian mở

{x ∈ Rn :< a, x >< α}; {x ∈ Rn :< a, x >> α},trong đó a ∈ Rn, a 6= 0 và α ∈ R.

Định nghĩa 1.3.3 Tập con M của X gọi là một nón nếu x ∈ M, λ ≥ 0thì λx ∈ M Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi

Ví dụ 1.3.4 Các tập sau đây là các nón lồi gốc tại 0:

1) Rn+ = {x = (x1, x2, , xn), xi ≥ 0, i = 1, 2, , n} (orthan dương).2) M = {(x, y) ∈ R×R : y ≥ |x|}

Mệnh đề 1.3.5 Cho C là một tập lồi trong X, x0 ∈ C Khi đó tập

N (x0, C) = {t ∈ X∗ :< t, x − x0 >≤ 0, ∀x ∈ C}

là một nón lồi

Đặc biệt, nếu x0 ∈ intC thì N (x0, C) = {0}

Định nghĩa 1.3.6 TậpN (x0, C)được xác định trong Mệnh đề 1.3.5 đượcgọi là nón pháp tuyến của tập C

1.3.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.3.7 Hàm f : X → R∪ {+∞} gọi là hàm lồi nếu với mọi

x1, x2 ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2)

Hàm f được gọi là hàm lõm trên X nếu −f là hàm lồi

Định nghĩa 1.3.8 Hàmf : X → R∪ {+∞} gọi là hàm lồi, chính thườngnếu f là hàm lồi và domf 6= ∅

Ví dụ 1.3.9 Các hàm số sau đây là các hàm lồi:

d(x, C) = inf

C ||x − y||

Mệnh đề 1.3.10 Cho f : X → R∪ {+∞} Khi đó các khẳng định sau

là tương đương

(i) f là hàm lồi trên X

(ii) Tập trên đồ thị epif = {(x, α) ∈ X ×R : f (x) ≤ α} là tập lồi.(iii) f (

Định lý 1.3.11 Giả sử f : X → R∪ {+∞} là hàm lồi trên X Khi đóvới mọi α ∈ R∪ {+∞} tập mức dưới Cα := {x : f (x) ≤ α} là tập lồi.Nhận xét 1.3.12 Mệnh đề đảo của Định lý 1.3.11 nói chung không đúng.Chẳng hạn, hàm giá trị thực một biến f (x) = x3 hay f (x) = p|x| có tất

cả các tập mức dưới của nó là lồi, nhưng bản thân hàm đó không lồi trênR

1.3.3 Dưới vi phân của hàm lồi

Định nghĩa 1.3.13 Cho hàm lồi chính thường f : X → R∪ {+∞}, véc

tơ x∗ ∈ X∗ gọi là dưới gradient của f tại điểm x0 nếu thỏa mãn

< x∗, x − x0 >≤ f (x) − f (x0) với mọi x ∈ X

Tập tất cả các dưới gradient của f tại x0 được gọi là dưới vi phân của

f tại x0 và được kí hiệu là ∂f (x0) Hàm f được gọi là khả dưới vi phântại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅

Ví dụ 1.3.14 1) Hàm afinf : Rn →R, xác định bởi f (x) =< c, x > +α,với c, x ∈ Rn, α ∈ R có dưới vi phân với mọi x ∈ Rn và ∂f (x) = {c}.2) Dưới vi phân của hàm chỉ số IC(◦) của tập lồi C tại x0 ∈ C là

∂IC(x0) = N (x0, C)

3) Dưới vi phân của hàm f (x) = ||x|| là

∂f (x) =

({x∗ ∈ X∗ : ||x∗|| ≤ 1} khi x = 0{x∗ ∈ X∗ :< x∗, x >= ||x||, ||x∗|| = 1} khi x 6= 0

Định lý 1.3.15 Một hàm lồi chính thường f trên X có dưới vi phân khácrỗng tại mỗi điểm x0 ∈ int(domf )

Định lý 1.3.16 Cho f : X → R∪ {+∞} là hàm lồi Khi đó ta có cáckhẳng định sau:

(i) x∗ ∈ ∂f (x0) ⇔ (x∗, −1) ∈ Nepif(x0, f (x0)

(ii) ∂f (x0) là tập lồi đóng

(iii) ∂f (x0) = {(Df (x0))∗} nếu f khả vi tại x0

Định lý 1.3.17 (Điều kiện cần và đủ tối ưu) [6] Giả sử C là một tập lồitrong X và f : X → R∪ {+∞} là hàm lồi Khi đó, điều kiện cần và đủ

để x∗ ∈ C là điểm cực tiểu của f trên C là

0 ∈ ∂f (x∗) + NC(x∗)

1.4.1 Dưới vi phân Fréchet

Trong mục này chúng ta luôn giả thiết (X, || · ||) là không gian Banach,

X∗ là không gian đối ngẫu của X d∗ là metric liên kết với chuẩn đối ngẫucủa X∗, với x∗ ∈ X∗, x ∈ X ta kí hiệu < x∗, x >= x∗(x) Chúng ta nhắclại một số khái niệm trong [7], [9], [16]

Định nghĩa 1.4.1 [9] Cho X là không gian Banach thực và f : X →

R∪ {+∞} là hàm số Với x ∈ domf ta gọi tập hợp sau:

là dưới vi phân Fréchet của hàm f tại x Khi ∂F(x) 6= ∅ ta nói hàm f khảdưới vi phân Fréchet tại x

Ví dụ 1.4.2 1) Cho hàm số f (x) = max{x, 0}, x ∈ R Khi đó ∂Ff (0) =[0, 1] Thật vậy, với x∗ ∈ ∂Ff (0) ta có

Do đó không tồn tại x∗ để thỏa mãn (1.3) Vậy ∂Ff (0) = ∅

Mệnh đề 1.4.3 Dưới vi phân Fréchet là tập đóng và lồi

Mệnh đề 1.4.4 Nếu f là hàm khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet

là Df (x) thì

∂Ff (x) = {(Df (x))∗},trong đó (Df (x))∗ là hàm liên hợp của Df (x)

Mệnh đề 1.4.5 Nếu f là hàm lồi thì dưới vi phân Fréchet của hàm f tạiđiểm x0 trùng với dưới vi phân theo nghĩa của giải tích lồi, tức là

∂Ff (x0) = {x∗ ∈ X∗ :< x∗, u − x0 >≤ f (u) − f (x0), ∀u ∈ X}.Định nghĩa 1.4.6 [9] Cho Ω là một tập con khác rỗng của X và x ∈ Ω.Khi đó tập

(ii) Nếu ν ≥ f (x) và (x∗, λ) ∈ NF(x, ν), epif ) thì λ ≤ 0

(iii) Nếu λ 6= 0 trong (ii) thì ν = f (x) và −x∗/λ ∈ ∂Ff (x)

Nhận xét 1.4.11 Xét hàm số f (x) = −|x|, theo Mệnh đề 1.4.9(i) nếu

x∗ ∈ ∂Ff (0) thì (x∗, −1) ∈ NF((0, 0), epif ) Nhưng theo Ví dụ 1.4.7 thì

NF((0, 0), epif ) = {(0, 0)} Do đó ∂Ff (0) = ∅ Điều này phù hợp với Ví

1.4.2 Dưới vi phân xấp xỉ

Định nghĩa 1.4.12 [3] ChoX là không gian Banach,f : X → R∪{+∞}

là hàm số Khi đó hàm số xác định bởi công thức

f0(x, u) = lim

t&0 u→h

Ví dụ 1.4.14 Cho hàm sốf (x) = −|x|, x ∈ R Khi đó∂Af (0) = {−1; 1}.Định nghĩa 1.4.15 Cho C là tập con đóng của X và x0 ∈ C Chúng tagọi một A - nón pháp tuyến tại x0 được định nghĩa bởi

NA(x0, C) := R+∂Ad(x0, C)

Định lý 1.4.16 [3] Cho f : X → R là hàm số thỏa mãn điều kiệnLipschitz tại x¯ với hàm số Lipschitz kf Khi đó các khẳng định sau làtương đương

Định nghĩa 1.4.17 ChoX là không gian Banach và f : X → X ∪{+∞}

là hàm nửa liên tục dưới Ta gọi toán tử dưới vi phân tổng quát∂ : X ⇒X∗thỏa mãn các điều kiện sau:

(P1) Nếu f là hàm lồi thì ta có

∂f (x) = {x∗ ∈ X∗| < x∗, y − x > +f (x) ≤ f (y), ∀y ∈ X}.(P2) 0 ∈ ∂f (x), với x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f

(P3) ∂(f + g)(x) ⊂ ∂f (x) + ∂g(x), trong đó g là hàm lồi, liên tục nhậngiá trị thực và ∂-khả vi tại x

Nhận xét 1.4.18 Áp dụng Nguyên lý biến phân trơn, tính chất (P3)tương đương với tính chất sau

(Pc3) Nếu x ∈ domf là cực tiểu địa phương của f + g thì ∀ε > 0 tồntại x, y ∈ X, x∗ ∈ ∂f (x), y∗ ∈ ∂g(y) thỏa mãn:

||x − x|| ≤ ε, ||y − x|| ≤ ε, f (x) ≤ f (x) + ε, ||x∗ + y∗||∗ ≤ ε

Ví dụ 1.4.19 Các dưới vi phân sau đều thỏa mãn các điều kiện(P1)−(P3)1) Dưới vi phân Clarke - Rockafellar[16] ∂Cf (x) tại x ∈ domf của hàmnửa liên tục dưới f : X → R∪ {+∞}

inff (x + tv) − f (x)

3) Dưới vi phân Fréchet trên không gian Asplund trong Định nghĩa 1.4.1

và dưới vi phân xấp xỉ trong Định nghĩa 1.4.12

Chương 2

Điều kiện đủ cho sự tồn tại cận sai số

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về cận sai

số của các hàm nửa liên tục dưới Sau đó chúng tôi trình bày một số điềukiện đủ cho sự tồn tại cận sai số Các công cụ được sử dụng là độ dốcmạnh, dưới vi phân hàm lồi và dưới vi phân tổng quát Nội dung chủ yếutrong chương này được trích dẫn trong [1], [2], [3]

2.1.1 Điều kiện độ dốc mạnh

Trong phần này chúng ta luôn giả thiết (X, d) là không gian metric và

f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới

Với U ⊂ X và r ∈ (0, +∞] (tương ứng r ∈ [0, +∞)) chúng ta địnhnghĩa Br(U ) (tương ứng Br(U )) là lân cận mở (đóng) của U:

Br(U ) = {x ∈ X : d(x, U ) < r};

Br(U ) = {x ∈ X : d(x, U ) ≤ r},trong đó d(x, U ) := inf{d(x, y) : y ∈ U }, với quy ước d(x, ∅) = +∞.Khi U = {x} ta viết Br(x) và Br(x)

Với α ∈R ta đặt

[f ≤ α] := {x ∈ X : f (x) ≤ α};

[f < α] := {x ∈ X : f (x) < α}

được gọi là các tập mức đóng, mở của f.

Cho α, β ∈ R, α < β chúng ta đặt [α < f < β] := [f < β]\[f ≤ α]được gọi là "lát" giữa mức α và β Nếu β = +∞ ta viết

Định nghĩa 2.1.2 Cho X là không gian metric và f : R → R∪ {+∞}

là hàm nửa liên tục dưới với α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞} với α < β Ta gọi

σα,β(f ) là supremum của những số σ ∈ [0, +∞) thỏa mãn

Định nghĩa 2.1.3 Cho f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới và

Với x /∈ domf đặt |∇f |(x) := +∞

Ta gọi số thực mở rộng không âm |∇f |(x) là độ dốc mạnh của f tại x

Ví dụ 2.1.4 Cho hàm số f : R →R xác định bởi công thức

Mặt khác, do M là tập lồi nên ta chọn yn = λnz + (1 − λn)x ∈ M, λn ∈(0, 1], λn → 0 Ta có

Mệnh đề 2.1.6 Cho f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, U làtập con của X, α ∈ R, β ∈ R∪ {+∞}, α < β Khi đó

inf

[α<f <β]|∇f | ≥ inf

α≤γ<βσγ,β(f ) (2.4)Chứng minh Ta có thể giả sử inf

U ∩[α<f <β]

|∇f | < +∞ nên U ∩ [α < f <β] 6= ∅ và vế phải của bất đẳng thức là dương nên [f ≤ α] 6= ∅

Cho σ > 0 thỏa mãn

inf

U ∩[α<f <β]

f (x) − γd(x, [x, [f ≤ γ]) > σ, với mọi γ ∈ (α, β),

với x ∈ U ∩ [α < f < β] và đặt γn := f (x) − 1

n với n ∈ N đủ lớn sao cho

γn ≥ α Khi đó tồn tại xn ∈ [f ≤ γn] thỏa mãn

Từ định nghĩa của infimum chúng ta suy ra kết luận của mệnh đề

Trong trường hợp X là không gian metric đầy đủ, sử dụng nguyên lýbiến phân Ekeland[8] chúng ta thu được mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.1.7 Cho X là không gian metric đầy đủ và f : X → R ∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, với x ∈ X, σ > 0, r > 0 thỏa mãn

f (x) < inf

Br(x)

f + σr

Khi đó, tồn tại x ∈ Br(x) thỏa mãn |∇f |(x) < σ và f (x) ≤ f (x)

Chứng minh Lấy 0 < σ0 < σ, 0 < r0 < r sao cho

r (x)(x) ≤ σ0 < σ.Nhận xét 2.1.8 Nếu[f ≤ α] = ∅và[α < f < β] 6= ∅thìinf[α<f <β]|∇f | =

0, hay nói cách khác nếu 0 < inf[α<f <β]|∇f | < +∞ ⇒ [f ≤ α] 6= ∅

Thật vậy, do [f ≤ α] = ∅ nên infX f ≥ α (tức là f bị chặn dưới) Với

σ > 0nhỏ tùy ý vàr > 0ta luôn tìm đượcx ∈ X để f (x) < infB

r (x)f +σr.Theo Hệ quả 2.1.7 tồn tạix ∈ Br(x)sao cho|∇f |(x) < σ Doσ dương nhỏtùy ý nên infX |∇f | ≤ 0 Mặt khác theo (2.4) ta có inf[α<f <β]|∇f | ≥ 0.Vậy inf[α<f <β]|∇f | = 0

Mệnh đề 2.1.9 Cho X là không gian metric đầy đủ,f : X → R∪ {+∞}

là hàm nửa liên tục dưới, U là tập con của X, α ∈ R, σ > 0, ρ > 0 Giả

Định lý 2.1.10 Cho X là không gian metric đầy đủ, f : X → R∪ {+∞}

là hàm nửa liên tục dưới, α ∈ R, β ∈ R∪ {+∞}với α < β Khi đó

f (x) − γ < σd(x, [f ≤ γ])

Theo Mệnh đề 2.1.7 tồn tại x ∈ Br(x) thỏa mãn g(x) ≤ g(x) và

|∇g|(x) < σ Theo định nghĩa của r và do d(x, x) < r = d(x, [f ≤ γ]) suy

[α<f <β]|∇f | ≤ inf

[γ<f <β]|∇f | ≤ σγ,β(f ).Nhận xét 2.1.11 a) Định lý 2.1.10 cho ta một điều kiện đủ cho sự tồntại của cận sai số toàn cục của hàm nửa liên tục f giữa mức γ và β với

f (x) − f (y) ≥ σd(x, y) > 0

Khi đó, [f ≤ 0] 6= ∅ và σ0,ε(f ) ≥ σ

2.1.2 Điều kiện dưới vi phân của hàm lồi

Trong phần này chúng ta luôn giả sử rằng X là không gian Banach vớichuẩn || · ||, X∗ là không gian tôpô đối ngẫu của X, d∗ là metric liên kếtvới chuẩn đối ngẫu, với x ∈ X, x∗ ∈ X∗ kí hiệu < x∗, x >= x∗(x)

Mệnh đề 2.1.12 Cho X là không gian Banach, f : X → R∪ {+∞} làhàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới, với x ∈ X không phải cực tiểucủa f Khi đó

0 < σ < d∗(0, ∂f (x)) Suy ra x cũng không là cực tiểu của hàm lồi z →

f (z) + σ||x − z|| Do đó tồn tại z ∈ X thỏa mãn f (z) + σ||x − z|| < f (x)

Mệnh đề 2.1.13 Cho X là không gian Banach, f : X → R ∪ {+∞}

là hàm lồi, nửa liên tục dưới, α ∈ R, β ∈ R ∪ {+∞} với α < β Nếu[f ≤ α] 6= ∅ thì

Chứng minh Ta có thể giả sử inf

[f =α]

|∇f | > 0 do đó α > inf

X f.Thật vậy, vì |∇f |(x) = lim sup

y→x

f (x) − f (y)d(x, y) = lim supy→x

α − f (y)d(x, y) > 0nên α > f (y), ∀y ∈ X

Tiếp theo, chúng ta giả sử inf

[f >α]

|∇f | < +∞ nên tồn tại x ∈ [f > α] và

σ > 0 để σ > |∇f |(x) Với y ∈ [f ≤ α] đặt

g(y) := f (y) + σ||y − x||

Khi đó g(y) > f (x), ∀y ∈ [f ≤ α] Thật vậy, nếu ngược lại tồn tại

y ∈ [f ≤ α] thỏa mãn f (y) + σ||y − x|| ≤ f (x) thì ta có

|∇f |(x) ≥ f (x) − f (y)

||x − y|| ≥ σ.

Điều này mâu thuẫn với cách chọn số σ

Với ε ∈ (0, σ − |∇f |(x)), do g là hàm nửa liên tục dưới trên [f ≤ α]nên tồn tại x ∈ [f ≤ α] để

g(x) < inf

[f ≤α]g + ε

Áp dụng Định lý 1.2.2 với σ = ε, r = 1, tồn tại yε ∈ [f ≤ α] thỏa mãn

g(y) ≥ g(yε) − ε||y − yε||, ∀y ∈ [f ≤ α]

Do f là hàm lồi nên f (zε) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (yε) Suy ra

Để chứng minh kết luận thứ 2, chúng ta chỉ cần chứng minh

inf

[f >α]|∇f | ≥ inf

[α<f <β]|∇f | với bất kì β ∈ R.Thật vậy, ta có thể giả sử [f > α] ∩ domf 6= ∅, khi đó do [f < β] 6= ∅nên [α < f < β] 6= ∅

Với mọi γ ∈ (α, β) và [f = γ] 6= ∅ và sử dụng chứng minh ở trên ta thuđược