Hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề

Hiệu chỉnh bài toán cân bằng theo phương pháp điểm gần kề

ĐạI HọC THáI NGUYÊNtrư ờng đại học sư phạm

Phạm Tuấ n việt

hiệu chỉnh bài toán cân bằng

theo phư ơng pháp điểm gần kề

Luận văn thạc sỹchuyên ngành toán giải tích

Thái Nguyên - Năm 2011

ĐạI HọC THáI NGUYÊNtrư ờng đại học sư phạm

người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH lê dũng mưu

Thái Nguyên - Năm 2011

Mục lục

Lời nói đầu 4

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Không gian Hilbert 6

1.1.1 Chuẩn của không gian tuyến tính 6

1.1.2 Tích vô hướng 6

1.1.3 Không gian Hilbert .6

1.1.4 Một số ví dụ về không gian Hilbert 7

1.1.5 Tính trực giao và hình chiếu trong không gian Hilbert 8

1.1.6 Hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert 8

1.1.7 Phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính 9

1.1.8 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục 10

1.2 Các kiến thức liên quan đến giải tích lồi 12

Chương 2: Bài toán cân bằng 24

2.1 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm 24

2.2 Các trường hợp riêng 25

2.2.1 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác 25

2.2.2 Bài toán tối ưu 27

2.2.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 28

2.2.4 Bài toán bù phi tuyến 29

2.2.5 Bài toán điểm bất động Kakutani 30

2.2.6 Bài toán điểm yên ngựa 31

Chương 3: Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề 32

3.1 Phương pháp bài toán phụ 32

3.2 Hiệu chỉnh theo phương pháp điểm gần kề 38

3.3 Một số ứng dụng 44

3.3.1 Tối ưu lồi 45

3.3.2 Bao hàm thức đơn điệu 45

3.3.3 Vấn đề cân bằng Nash 46

Kết luận 47

Tài liệu tham khảo 48

Lời nói đầu

Bài toán cân bằng đã được nghiên cứu từ lâu bởi các công trình nghiêncứu của Ky Fan, Browder, Oettli và một số tác giả khác Gần đây bài toánnày càng được quan tâm nghiên cứu cả về mặt định tính và định lượng,vì những ứng dụng rộng rãi của vấn đề cân bằng Trên thực tế, có thể nóimọi sự vật, hiện tượng trong cuộc sống tự nhiên, xã hội đều hướng đến sựcân bằng Đặc biệt trong thời đại thông tin hiện nay, mọi hoạt động đều

có liên quan đến nhiều đối tác và lợi ích của các đối tác đều phụ thuộcnhau, nhiều khi mâu thuẫn, đối kháng nhau Một giải pháp tốt cho đối tácnày lại có thể không tốt cho đối tác khác Do đó để giải quyết mâu thuẫn,một giải pháp cân bằng thường dễ được mọi đối tác chấp nhận

Về mặt toán học, bài toán cân bằng được phát biểu khá đơn giản dướidạng bất đẳng thức Ky Fan Tuy nhiên nhiều bài toán rất quan trọng nhưbài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, bài toánminimax, và nhiều mô hình cân bằng, tăng trưởng kinh tế, giao thông vậntải v.v đều có thể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng

Một hướng nghiên cứu quan trọng trong bài toán cân bằng là vấn đềhiệu chỉnh Hiệu chỉnh là một kỹ thuật cơ bản để giải quyết các bài toánkhông có tính ổn định, theo nghĩa là các sai số nhỏ của dữ liệu, có thể dẫn

đến các sai lệch lớn về lời giải Nội dung chính của kỹ thuật hiệu chỉnh làthay thế bài toán không ổn định, khó giải quyết, bằng các bài toán ổn định

dễ giải quyết hơn Có một số phương pháp hiệu chỉnh, trong đó hiệu chỉnhtheo phương pháp điểm gần kề được sử dụng rất nhiều trong các lĩnh vựckhác nhau Gần đây phương pháp hiệu chỉnh này được mở rộng cho bàitoán cân bằng

Mục đích của bản luận văn này là nhằm giới thiệu các kiến thức cơbản nhất về bài toán cân bằng trong không gian Hilbert Luận văn nhấnmạnh vào mối liên quan giữa bài toán cân bằng và các bài toán đã nêu ởtrên Tiếp đến luận văn trình bày phương pháp giải bài toán cân bằng theonguyên lý bài toán phụ Cuối cùng, bản luận văn trình bày vấn đề hiệuchỉnh theo phương pháp điểm gần kề được đề xuất bởi Moudafi cho bàitoán cân bằng Nguyên lý bài toán phụ sẽ được sử dụng để giải các bàitoán đã được hiệu chỉnh trong phương pháp điểm gần kề

Bản luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 dành để trình bày các kiến thức bổ trợ về không gian Hilbert,các kiến thức về giải tích lồi sẽ được sử dụng trong các chương sau

Chương 2 dành giới thiệu về bài toán cân bằng, điều kiện tồn tại nghiệm

và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng

Chương 3, trước hết giới thiệu nguyên lý bài toán phụ cho bài toán cânbằng đơn điệu mạnh Sau đó, ở cuối chương, luận văn trình bày về hiệuchỉnh theo phương pháp điểm gần kề

Mặc dù tác giả đã cố gắng nỗ lực song bản luận văn này không tránhkhỏi những thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa các thầy cô giáo, các nhà nghiên cứu và bạn đọc quan tâm đến vấn đềnày

Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo viện Toán học Khoa sau đạihọc, các thầy cô giáo trường ĐHSP- ĐHTN đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ,tạo điều kiện trong quá trình tác giả học tập và hoàn thiện luận văn Tác giả xin được cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới ngườithầy: GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam) đã hướng dẫn,giúp đỡ và tận tình chỉ bảo cho tác giả hoàn thành bản luận văn này

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2011

Học viên

Phạm Tuấn Việt

Chư ơng 1

kiến thức chuẩn bị

Trong luận văn này, ta sẽ xét X là không gian Hilbert thực Sau đây,

ta nhắc lại một số kiến thức liên quan Các định lý không chứng minh cóthể tham khảo trong [3]:

1.1 Không gian Hilbert

1.1.1 Chuẩn của một không gian tuyến tính

Cho không gian tuyến tính X, ký hiệu k.k là một hàm xác định trêntoàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và có các tính chất:

Từ ba tính chất đầu trong 1.1.2 ta có:

(x + y, x + y) + (x − y, x − y) = 2(x, x) + 2(y, y)

Kết hợp với tính chất v) của 1.1.2 ta suy ra chuẩn trong không gian tiềnHilbert phải thỏa mãn điều kiện:

kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2)

Đẳng thức này được gọi là điều kiện bình hành.

Với hàm kxk = p(x, x) xác định một chuẩn trong không gian X, khi đó

X trở thành một không gian định chuẩn

Thật vậy, với mọi số thực α ta có:

0 ≤ (x − αy, x − αy) = (x, x) − 2α(x, y) + α2(y, y),hay

Do đó kxk đúng là một chuẩn Như vậy X là không gian metric

Không gian đầy đủ với tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert.1.1.4 Một số ví dụ về không gian Hilbert

1) Không gian Rn

p với x = (x1, , xn) và chuẩnkxk =

với p là số thực bất kỳ, 1 ≤ p ≤ +∞

Khi p = 2 ta thường ký hiệu En và gọi là không gian Euclid n chiều

2) Không gian các dãy số lp với x = (x1, , xn ) và chuẩn

là một không gian Hilbert khi p = 2

1.1.5 Tính trực giao và hình chiếu trong không gian Hilbert

Trong không gian Hilbert ta nói hai véc tơ x, y trực giao với nhau và

ký hiệu x ⊥ y, nếu (x, y) = 0

Ta có các tính chất đơn giản sau:

i) Nếu x ⊥ y thì y ⊥ x Ta có x ⊥ x ⇔ x = 0 Véc tơ 0 trực giao vớimọi véc tơ x

ii) Nếu x ⊥ y1, y2, , yn thì x ⊥ α1y1 + α2y2 + + αnyn

iii) Nếu x ⊥ yn, yn −→ y(n −→ ∞) thì x ⊥ y

iv) Nếu tập M trù mật trong X thì M⊥ gồm một phần tử duy nhất là

0, nghĩa là: x ⊥ M ⇒ x = 0

v) Nếu x ⊥ y thì kx + yk2 =k x k2 + k y k2 (Định lý Pythagore)Tiếp theo ta có khái niệm hình chiếu lên một không gian con

Định lý 1.1.1[3] Cho M là một không gian con đóng của một khônggian Hilbert X Bất kỳ phần tử x nào của X cũng có thể biểu diễn mộtcách duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M, z ∈ M⊥ trong đó y làphần tử của M gần x nhất, tức là kx − yk ≤ kx − uk, ∀u ∈ M

1.1.6 Hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

Một hệ {en}các phần tử của không gian Hilbert X gọi là hệ trực chuẩnnếu (ei, ej) = δij trong đó δij = 1với i = j và δij = 0 với i 6= j Như vậymột hệ trực chuẩn là một hệ trực giao và chuẩn hóa k ei k= 1, ∀i

Khi {en} là một hệ trực chuẩn thì với mọi x ∈ X, số ζi = (x, ei) được gọi

là hệ số Fourier của x đối với ei và chuỗi P∞

Định lý 1.1.3[3] (Riesz- Fischer) Cho {en} là một hệ trực chuẩn đầy

đủ trong không gian Hilbert X Nếu một dãy số {ξ} thỏa mãn điều kiện

1.1.7 Phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính

Ta có dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khônggian Hilbert như sau:

Định lý 1.1.4[3] (F Riesz) Với mỗi véc tơ a cố định thuộc một khônggian Hilbert X, hệ thức

f (x) = (a, x),xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian X, với

Hệ quả 1.1.1[3] Mỗi toán tử tuyến tính liên tục A trong không gianHilbert X xác định f(x, y) = (Ax, y) một phiếm hàm song tuyến tính liêntục f(x, y) nghiệm đúng kfk = kAk Ngược lại bất kỳ phiếm hàm songtuyến tính liên tục f(x, y) nào trên X cũng có thể biểu diễn một cách duynhất dưới dạng f(x, y) = (Ax, y) Trong đó A là một toán tử tuyến tínhliên tục trên X thỏa mãn điều kiện kfk = kAk.

1.1.8 Toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục

Cho một toán tử tuyến tính liên tục A trong không gian Hilbert X Ta

có (Ax, y) là một phiếm hàm song tuyến tính liên tục, cho nên có mộttoán tử tuyến tính liên tục duy nhất A∗ để cho:

Khi đó A = A∗ cho nên A cũng gọi là toán tử tự liên hợp

Ta nói một số λ là trị riêng của toán tử A, nếu phương trình A = λx cónghiệm x không tầm thường Khi ấy nghiệm x này gọi là một véc tơ riêngcủa A, ứng với trị riêng λ

iv) Tập hợp tất cả các véc tơ riêng của toán tử tuyến tính liên tục A ứngvới cùng một trị riêng λ làm thành (cùng với phần tử 0) một không giancon đóng của X bất biến đối với A Không gian con này gọi là không giancon riêng ứng với trị riêng λ

v) Nếu A là một toán tử đối xứng thì các véc tơ riêng của A ứng vớihai trị riêng khác nhau bao giờ cũng trực giao với nhau

vi) Nếu A là một toán tử đối xứng thì phần bù trực giao của mọi khônggian con bất biến đối với A cũng bất biến đối với A

Tiếp theo là khái niệm toán tử hoàn toàn liên tục

Nếu A là một toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert X thì

kxk ≤ K ⇒ kAxk ≤ kAkK

nghĩa là A biến mỗi tập bị chặn thành một tập bị chặn

Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert X là hoàn toàn liên tụcnếu nó biến một tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn Ta có cáctính chất sau:

i) Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục, toán tử B liên tục (tức là bị chặn)thì các toán tử AB, BA cũng hoàn toàn liên tục

ii) Nếu toán tử A hoàn toàn liên tục thì các toán tử A∗, AA∗, A∗Acũnghoàn toàn liên tục

iii) Nếu các toán tử A hoàn toàn liên tục và kAN − Ak −→ 0 thì toán

tử A cũng hoàn toàn liên tục

Ta xét một toán tử A vừa đối xứng vừa hoàn toàn liên tục trong không gianHilbert X Khi đó nó có tính chất:

i) Một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục A bao giờ cũng có một trịriêng λ với | λ |= kAk

ii) Tập các trị riêng của một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục cùnglắm là đếm được Nếu là đếm được thì tập đó làm thành một dãy hội tụ

trong đó mỗi ej là một véc tơ riêng ứng với một trị riêng khác 0 và Az = 0

Do đó mọi phần tử có dạng Ax đều có thể phân tích ra được theo các véctơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0:

Từ đó ta suy ra hệ quả sau:

Hệ quả 1.1.2.[3] Trong không gian Hilbert tách được, mọi toán tử đốixứng hoàn toàn liên tục đều có một hệ trực chuẩn đầy đủ véc tơ riêng

Định lý 1.1.6[3] Một toán tử tuyến tính A trong không gian Hilbert làhoàn toàn liên tục khi và chỉ khi nó là giới hạn (theo chuẩn) của một dãy

toán tử thoái hóa.

Ta nhắc lại một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm liên quan đến

sự hội tụ trên không gian Hilbert thực X:

Định nghĩa 1.1.1[3] Xét dãy {xn}n≥0 và x thuộc không gian Hilbertthực X Khi đó:

1) Dãy {xn}được gọi là hội tụ mạnh tới x, ký hiệu xn −→ x, nếu như:

i) Nếu {xn} hội tụ mạnh đến x thì cũng hội tụ yếu đến x

ii) Nếu {xn} hội tụ yếu đến x và

iv) Nếu không gian Hilbert X là không gian hữu hạn chiều thì sự hội

tụ mạnh và sự hội tụ yếu là tương đương

v) Nếu {xn}n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert X thì tatrích ra được một dãy con hội tụ yếu

vi) Nếu {xn}n≥0 là một dãy bị chặn trong không gian Hilbert hữu hạnchiều X thì ta trích ra được một dãy con hội tụ mạnh

1.2 Các kiến thức liên quan đến giải tích lồi

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích

và xây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng Trong phần này ta nhắclại một số kiến thức về giải tích lồi

Định nghĩa 1.2.1[9] Tập K trong không gian Hilbert X được gọi làlồi nếu như với mọi x, y ∈ K và λ ∈ (0, 1) ta có:

λx + (1 − λ)y ∈ K

Định lý 1.2.1[2] Tập lồi là đóng với phép giao, phép hợp, phép cộng,phép nhân với một số và phép lấy tổ hợp tuyến tính Tức là, nếu K, M làhai tập lồi trong X thì các tập sau cũng là tập lồi:

i) K ∩ M := {x : x ∈ K, x ∈ M}

ii) αK + βM := {x = αk + βm : k ∈ K, m ∈ M}

Định nghĩa 1.2.2[2] Tập K ⊂ X được gọi là nón nếu:

x ∈ K, λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ K

Một nón luôn chứa điểm gốc 0 ∈ X Tập K ⊂ X được gọi là nón lồi nếu

K vừa là nón vừa là tập lồi, tức là:

λ1x + λ2y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀λ1, λ2 ≥ 0

Định nghĩa 1.2.3[1] Cho f : X −→ R ∪ {+∞}, K ⊆ X

1) Hàm f là hàm lồi xác định trên tập lồi K nếu:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y),với bất kỳ x, y ∈ K và số thực λ ∈ (0, 1)

2) Hàm f là hàm lồi chặt trên tập lồi K nếu:

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y),với bất kỳ x, y ∈ K, x 6= y, λ ∈ (0, 1)

3) Hàm f là hàm lồi mạnh với hệ số β > 0 trên tập lồi K nếu:

dK(x) = infy∈Kkx − yk.

Khi đó nếu K là tập lồi thì dK là hàm lồi

Thật vậy, xét x, y ∈ X và λ ∈ (0, 1) bất kỳ Đặt z = λx + (1 − λ)y Khi

đó tồn tại các dãy {xk}, {yk} trong K sao cho:

Mệnh đề tiếp theo cho ta điều kiện cần và đủ để π là hình chiếu của x lên

K trong trường hợp K là tập lồi:

Mệnh đề 1.2.1[9] Giả sử K là tập lồi khác rỗng trong X Đặt

NK(x) = {w ∈ X | hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ K}

Khi đó π là hình chiếu của x lên K khi và chỉ khi x − π ∈ NK(π)

Chứng minh Giả sử π là hình chiếu của x lên K, lấy y bất kỳ thuộc

K Đặt:

yλ = λy + (1 − λ)π

Do K lồi nên yλ ∈ K, ∀λ ∈ (0, 1) Theo định nghĩa hình chiếu ta có:

kx − πk2 ≤ kyλ− xk2 = k(π − x) + λ(y − π)k2.Khai triển vế phải và giản ước ta thu được:

λky − πk2 + 2 hπ − x, y − πi ≥ 0

Cho λ tiến tới 0 ta thu được bất đẳng thức hx − π, y − πi ≤ 0 Điều này

đúng với y ∈ K bất kỳ nên suy ra x − π ∈ NK(π)

Ngược lại, giả sử x − π ∈ NK(π) Khi đó với mọi y ∈ K ta có:

kx − yk2 = k(x − π) + (π − y)k2

= kx − πk2 + kπ − yk2 + 2 hx − π, π − yi

≥ kx − πk2 + kπ − yk2 ≥ kx − πk2.Suy ra π là hình chiếu của x trên K

Từ mệnh đề trên, ta có nhận xét rằng khi K lồi thì hình chiếu của x lên

K nếu tồn tại là duy nhất Thật vậy, giả sử π và π0 đều là hình chiếu của

Vậy π là hình chiếu của x trên K.

Phép tương ứng mỗi điểm x với hình chiếu của nó trên K được ký hiệu là

PK và được gọi là phép chiếu Euclide Theo chứng minh mệnh đề trên, ta

có tính chất sau đây của hình chiếu:

Phần tử f0(x) được gọi là đạo hàm của f tại điểm x

Hàm f được gọi là khả vi trên X nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc X.Mệnh đề 1.2.2[9] Xét hàm f : X −→ R Khi đó:

i) Nếu f liên tục thì f nửa liên tục dưới

ii) Nếu f khả vi thì f liên tục và

= f (xt) − f (x) − hf

0(x), xt − xit

= f (xt) − f (x) − hf

0(x), xt − xi

xt − x kyk. (1)Do

lim

t→0kxt − xk = 0,nên:

lim

t→0

f (xt) − f (x) − hf0(x), xt − xi

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Mệnh đề sau cho ta mối quan hệ giữa hệ số lồi của một hàm và đạo hàmcủa nó:

hf0(y) − f0(x), y − xi ≥ ηkx − yk2

f (y) − f (x) ≥ hf0(x), y − xi + η

2kx − yk2.ii) → i)

Giả sử f thỏa mãn điều kiện ii) Lấy t ∈ (0, 1) bất kỳ và đặt:

z = (1 − t)x + ty

Khi đó:

y = z + (1 − t)(y − x)và

Cộng vế hai bất đẳng thức trên ta thu được:

hf0(x + th) − f0(x), thi ≥ ηkthk2 = t2kx − yk2

⇒ hf0(x + th) − f0(x), hi ≥ ηtkx − yk2.Vậy:

Hàm f lồi có thể coi là lồi mạnh với hệ số 0 Do đó ta có hệ quả:

Hệ quả 1.2.1[9] Với hàm f : X −→ R ∪ {+∞} khả vi, các mệnh đềsau tương đương:

i) f là hàm lồi

ii) ∀x, y ta có bất đẳng thức:

f (y) − f (x) ≥ hf0(x), y − xi iii) ∀x, y ta có bất đẳng thức:

hf0(y) − f0(x), y − xi ≥ 0

Kết quả tiếp theo cho ta điều kiện cho lời giải bài toán tối ưu hàm lồi:

Mệnh đề 1.2.4[9] Xét hàm f : X −→ R là hàm khả vi trên K với K

là tập con lồi của X Khi đó ta có:

Nếu x∗ là nghiệm của bài toán cực tiểu f trên K thì:

hf0(x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ K

Hơn nữa, nếu f lồi thì điều kiện trên cũng là điều kiện đủ

Chứng minh Giả sử f(x∗) là cực tiểu của f trên K Xét y ∈ K bất

Cho t tiến tới 0+ ta có điều kiện cần

Bây giờ giả sử f lồi và x∗ thỏa mãn điều kiện đã nêu Ta có:

Cho t tiến tới 0+ ta được: hf0(x∗), y − x∗i ≤ f (y) − f (x∗)

Từ đó, suy ra f(x∗) ≤ f (y), ∀y ∈ K hay x∗ là nghiệm của bài toán cựctrị

Nhận xét Trong trường hợp f lồi chặt, lời giải cho bài toán cực tiểu

f nếu tồn tại sẽ là duy nhất Thật vậy, giả sử x, x0 là hai lời giải của bàitoán cực tiểu f, ta có:

f (x + x

0

2 ) ≥ f (x)và

f (x + x

0

2 ) ≥ f (x

0)

Cộng vế hai bất đẳng thức trên ta thu được:

Điều này dẫn tới mâu thuẫn, suy ra điều cần chứng minh

Các khái niệm sau là mở rộng của các khái niệm đạo hàm và khả vi:

Định nghĩa 1.2.5[9] Xét hàm f : X −→ R ∪ {+∞} và x ∈ X Phần

tử w ∈ X được gọi là dưới đạo hàm của f tại điểm x nếu như:

hw, y − xi ≤ f (y) − f (x), ∀y ∈ X

Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại điểm x kí hiệu là ∂f(x)

Nếu ∂f(x) 6= ∅ thì f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm x

f được gọi là khả dưới vi phân nếu f khả dưới vi phân tại mọi điểm

Ta có mệnh đề nói lên tính khả dưới vi phân của hàm lồi:

Mệnh đề 1.2.5[9] Nếu f : X −→ R là hàm lồi thì ∂f(x) khác rỗngvới mọi x ∈ X hay là f khả dưới vi phân

Định nghĩa 1.2.6[2] Cho K ⊂ X, f : K −→ R, K 6= ∅ Một điểm

x∗ ∈ K được gọi là cực tiểu địa phương của f trên K, nếu tồn tại một lâncận mở U của x∗, sao cho:

f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ K ∩ U

Điểm x∗ được gọi là cực tiểu tuyệt đối của f trên K nếu:

f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ K

Định lý 1.2.2[2]

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên một tập lồi đều

là điểm cực tiểu tuyệt đối

ii) Nếu x∗ là điểm cực tiểu của hàm lồi f trên tập lồi K và x∗ ∈ R Kthì 0 ∈ ∂f(x∗)

Định lý 1.2.3[2] Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có

điểm cực biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên

Tiếp theo ta chuyển sang các khái niệm liên quan đến hàm hai biến trênkhông gian Hilbert X:

Định nghĩa 1.2.7[8] Cho K là tập lồi khác rỗng của không gian Hilbert

Cho hàm h : X −→ R, X là không gian Hilbert thực Khi đó:

F (x, y) := h(x) − h(y) là hàm đơn điệu nhưng không đơn điệu chặt

F (x, y) := h(x) − h(y) − 1 là hàm đơn điệu chặt nhưng không đơn điệumạnh

Thật vậy, do:

F (x, y) + F (y, x) = −2 < 0, ∀x, y ∈ X,nên F đơn điệu chặt Giả sử tồn tại hệ số τ > 0 thỏa mãn:

F (x, y) + F (y, x) ≤ −τ kx − yk2, ∀x, y ∈ X

Suy ra:

τ kx − yk2 ≤ 2, ∀x, y ∈ X

Chương 2

bài toán cân bằng

Bài toán cân bằng có ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhaucủa toán học ứng dụng Nó là sự mở rộng của nhiều bài toán khác như: bàitoán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng Nash Sau đây là nội dung của bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan.2.1 Bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm

Định nghĩa 2.1.1[8] Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trongkhông gian Hilbert X và hàm số F : K ì K −→ R ∪ {+∞} thỏa mãn

F (x, x) = 0, ∀x ∈ K Bài toán cân bằng được định nghĩa như sau:

i) K là tập đóng, bị chặn

ii) Tồn tại một tập con bị chặn, khác rỗng M của K sao cho với mỗi

x ∈ K \ M với F (x, y) < 0

thì bài toán cân bằng (EP ) có nghiệm

Định lý 2.1.1[6] (Định lý tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng)

Chứng minh