Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

Các bài toán tựa cân bằng tổng quát và ứng dụng

0130

Möc löc

1.1 Mët sè khæng gian cì b£n 4

1.1.1 Khæng gian metric 4

1.1.2 Khæng gian ành chu©n 5

1.1.3 Khæng gian Hilbert 5

1.1.4 Khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Hauss-dorff 6

1.2 nh x¤ a trà v  mët sè kh¡i ni»m li¶n quan 7

1.3 Mët sè ành l½ iºm b§t ëng cì b£n 10

2 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I 11 2.1 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan 11

2.1.1 °t b i to¡n 11

2.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 12

2.2 ành l½ tçn t¤i nghi»m 17

2.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan 19

3 B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II 32 3.1 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan 32

3.1.1 °t b i to¡n 32

3.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 33

3.2 ành l½ tçn t¤i nghi»m 36

3.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan 38

MÐ †U

Lþ thuy¸t tèi ÷u ¢ v  ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m r§t lîn cõa c¡c

nh  to¡n håc tr¶n th¸ giîi L½ thuy¸t n y ¢ th¥m nhªp v o r§t nhi·ul¾nh vüc trong thüc t¸ v  c¡c ng nh khoa håc k¾ thuªt kh¡c nhau.Trong thüc ti¹n cuëc sèng ai công muèn cæng vi»c h ng ng y cõam¼nh ÷ñc ho n th nh mët c¡ch tèt nh§t, v  t¼m ph÷ìng ¡n tèi ÷u ºthüc hi»n nâ Nh÷ vªy, måi ng÷íi công ph£i gi£i c¡c b i to¡n tèi ÷u cõam¼nh theo mët ngh¾a n o â V§n · quan trång nh§t °t ra èi vîi c¡c

b i to¡n nâi chung v  b i to¡n tèi ÷u nâi ri¶ng: Vîi i·u ki»n n o b ito¡n câ nghi»m, v  n¸u câ nghi»m i·u g¼ s³ x£y ra? L½ thuy¸t tèi ÷u v²c

tì ÷ñc h¼nh th nh tø nhúng þ t÷ðng v· c¥n b¬ng kinh t¸, l½ thuy¸t gi¡trà cõa Edgeworth tø n«m 1881 v  Pareto tø n«m 1906 Cì sð to¡n håccõa l½ thuy¸t n y l  nhúng khæng gian câ thù tü ÷a ra bði Cantor n«m

1897, Hausdorff n«m 1906, v  nhúng ¡nh x¤ ìn trà công nh÷ a trà tømët khæng gian n y v o mët khæng gian câ thù tü kh¡c vîi nhúng t½nhch§t n o â L½ thuy¸t trá chìi cõa Borel n«m 1921 v  Von Neumannn«m 1926, l½ thuy¸t v· l÷u thæng h ng hâa cõa Koopmans n«m 1947 l nhúng cæng tr¼nh ¦u ti¶n trong l¾nh vüc n y Nh÷ng ph£i nâi r¬ng chotîi nhúng n«m 1950 trð l¤i ¥y, sau nhúng cæng tr¼nh v· i·u ki»n c¦n

v  õ cho tèi ÷u cõa Kuhn- Jucker n«m 1951, v· gi¡ trà c¥n b¬ng v tèi ÷u Pareto cõa Deubreu n«m 1954, l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì mîi thüc

sü ÷ñc cæng nhªn l  mët ng nh to¡n håc quan trång v  câ nhi·u ùngdöng trong thüc t¸ Cho tîi nhúng n«m cuèi cõa th¸ k¿ 20, h ng tr«mcuèn s¡ch v  h ng ngh¼n b i b¡o vi¸t v· l¾nh vüc n y cung c§p cho tanhúng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu v  ùng döng trong nhúng l¾nh vüc kh¡c

nhau cõa c¡c ng nh khoa håc v  k¾ thuªt công nh÷ thüc t¸.

¦u ti¶n ng÷íi ta nghi¶n cùu nhúng b i to¡n li¶n quan tîi ¡nh x¤ ìntrà tø khæng gian Euclide câ sè chi·u húu h¤n n y sang khæng gian câ

sè chi·u húu h¤n kh¡c m  thù tü trong nâ ÷ñc sinh ra bði nân orthand÷ìng Trång t¥m l  b i to¡n:

T¼m ¯x ∈ D º f(¯x) = min

x∈D f (x)trong â f : D → R l  h m sè, D l  tªp con kh¡c réng cõa khæng gian

ành chu©n X Tø b i to¡n n y vîi c§u tróc kh¡c nhau cõa tªp D v t½nh ch§t cõa h m F , ng÷íi ta ph¥n lo¤i th nh nhi·u b i to¡n tèi ÷ukh¡c nhau nh÷: qui ho¤ch tuy¸n t½nh, qui ho¤ch ph¥n tuy¸n, qui ho¤ch

to n ph÷ìng, V  sau â ph¡t triºn ra c¡c b i to¡n kh¡c nh÷:

- B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Stampachia:

T¼m ¯x ∈ D sao cho hT (¯x), x − ¯xi ≥ 0, ∀x ∈ Dtrong â D ⊂ Rn, T : D → Rn

- B i to¡n c¥n b¬ng Blum- Oettli:

T¼m ¯x ∈ D sao cho f(x, ¯x) ≥ 0, ∀x ∈ Dtrong â D l  tªp lçi âng trong khæng gian v²c tì tæ pæ X, v  f :

D × D → R l  h m sè thäa m¢n f (x, x) = 0 B i to¡n n y bao gçmnh÷ nhúng tr÷íng hñp °c bi»t c¡c b i to¡n: tèi ÷u, c¥n b¬ng Nash, b ito¡n bò, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, Rçi ti¸p töc mð rëng choc¡c b i to¡n trong khæng gian câ sè chi·u væ h¤n vîi nân b§t k¼ Vi»c

÷a ra kh¡i ni»m v  chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i cõa c¡c lo¤i iºm húuhi»u cõa mët tªp hñp trong khæng gian câ thù tü sinh bði nân ¢ d¨ntîi vi»c nghi¶n cùu c¡c b i to¡n tèi ÷u kh¡c nhau

Sau â l½ thuy¸t n y ÷ñc ph¡t triºn cho nhúng b i to¡n li¶n quan

¸n ¡nh x¤ a trà trong khæng gian væ h¤n chi·u Nhúng ành ngh¾a, t½nhch§t, sü ph¥n lîp, c¡c ¡nh x¤ ìn trà d¦n d¦n ÷ñc mð rëng cho ¡nhx¤ a trà Berge ¢ ÷a ra c¡c kh¡i ni»m kh¡c nhau cõa ¡nh x¤ a trà

â l  t½nh nûa li¶n töc tr¶n, nûa li¶n töc d÷îi cõa ¡nh x¤ a rà T÷ìng

tü kh¡i ni»m lçi tr¶n, lçi d÷îi, Lipshitz tr¶n, Lipshitz d÷îi, t½nh kh£ vi,kh£ d÷îi vi ph¥n, công ÷ñc ÷a ra Tø nhúng kh¡i ni»m n y ng÷íi

ta t¼m ÷ñc nhúng i·u ki»n c¦n v  õ kh¡c nhau cho c¡c b i to¡n tèi

÷u, v  công x¥y düng ÷ñc l½ thuy¸t tèi ÷u cho nhi·u lîp b i to¡n nh÷lçi, Lipshitz, Rçi mð rëng k¸t qu£ cho c¡c b i to¡n tüa nh÷: b i to¡ntüa tèi ÷u, b i to¡n tüa c¥n b¬ng,

Möc ½ch cõa luªn v«n l  tr¼nh b y i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»mcõa b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I v  b i to¡n tüa c¥n b¬ng têngqu¡t lo¤i II çng thíi nghi¶n cùu mèi quan h» giúa hai b i to¡n n yvîi mët sè b i to¡n kh¡c nh÷ b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n, b ito¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n, Tø â cho ta c¡ch nh¼n bao qu¡t v· mèiquan h» giúa c¡c b i to¡n kh¡c nhau trong l½ thuy¸t tèi ÷u v²c tì.Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng v  t i li»u tham kh£o Cöthº l 

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng 2: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I

Ch÷ìng 3: B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i II

Cuèi còng, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o GS TSKHNguy¹n Xu¥n T§n, ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, t¤o måi i·u ki»n gióp

ï tæi ho n th nh luªn v«n n y Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban chõnhi»m Khoa Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n  Tr÷íng H S÷ph¤m  H Th¡i Nguy¶n còng c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o ¢ tham gia gi£ngd¤y kho¡ håc, xin ch¥n th nh c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, çng nghi»p v c¡c b¤n còng lîp cao håc To¡n K17 ¢ luæn quan t¥m, ëng vi¶n v  gióp

ï tæi trong suèt thíi gian håc tªp v  l m luªn v«n

1.1.1 Khæng gian metric

ành ngh¾a 1.1

a) Vîi méi c°p ph¦n tû x, y cõa tªp hñp X ·u câ x¡c ành theo mët quit­c n o â, mët sè thüc ρ(x, y),, gåi l  kho£ng c¡ch giúa x v  y;

b) Qui t­c nâi tr¶n thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau ¥y:

(i) ρ(x, y) > 0, n¸u x 6= y; ρ(x, y) = 0, n¸u x = y;

(ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y;

(i) ∀x ∈ X, k x k≥ 0 v  k x k = 0 khi v  ch¿ khi x = 0;

(i) hy, xi = hx, yi, ∀x, y ∈ X ( k½ hi»u hx, yi ch¿ sè phùc li¶n hñp cõa sèphùc hy, xi);

(ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y ∈ X;

Thªt vªy, câ thº gi£ thi¸t y 6= 0, λ ∈ K ta câ hx + λy, x + λyi ≥ 0.Cho n¶n

Tø â ta suy ra hx, xi.hy, yi ≥| hx, yi |2 Ta câ i·u c¦n chùng minh

Tø b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ kxk = phx, xi l  mët chu©ntrong khæng gian X Khæng gian ti·n Hilbert l  mët khæng gian ànhchu©n Do â, tr¶n â câ thº ành ngh¾a d¢y Cauchy v  t½nh ¦y õ Vªy

ta câ ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.4 Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ gåi l  khæng gianHilbert

1.1.4 Khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Haussdorff

ành ngh¾a 1.5 Cho tªp hñp X, gåi τ l  c¡c tªp con cõa X Khi â

X ÷ñc gåi l  khæng gian tæpæ n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ;

(ii) Vîi {Ut}t∈T ⊂ τ th¼ ∪

t∈TUt ∈ τ;(iii) Vîi ∀U1, U2 ∈ τ th¼ U1 ∩ U2 ∈ τ

Mët khæng gian tuy¸n t½nh thüc hay phùc câ thº çng thíi ÷ñc trang

bà mët c§u tróc tæ pæ v  mët c§u tróc ¤i sè (ph²p cëng hai ph¦n tû v ph²p nh¥n mët sè vîi mët ph¦n tû) Khi §y ta câ mët khæng gian vøatuy¸n t½nh vøa tæ pæ V§n · ¡ng chó þ l  hai c§u tróc â câ quan h»vîi nhau nh÷ th¸ n o º khæng gian n£y sinh ra nhi·u t½nh ch§t mîi Ta

câ ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.6 Ta nâi r¬ng mët tæ pæ τ phò hñp vîi c§u tróc ¤i sètrong khæng gian X, n¸u c¡c ph²p t½nh ¤i sè trong X li¶n töc trong tæ

pæ τ, tùc l  n¸u:

(i) x + y l  mët ¡nh x¤ li¶n töc cõa hai bi¸n x, y; nâi rã hìn, vîi måi l¥ncªn V cõa iºm x + y ·u tçn t¤i l¥n cªn Ux cõa x v  l¥n cªn Uy cõa ysao cho n¸u x0 ∈ Ux, y0 ∈ Uy th¼ x0 + y0+ ∈ V.

(ii) αx l  ¡nh x¤ li¶n töc cõa hai bi¸n α, x; nâi rã hìn, vîi måi l¥n cªn

V cõa αx ·u câ mët sè  > 0 v  mët l¥n cªn U cõa x sao cho n¸u

ành ngh¾a 1.8 Khæng gian tæ pæ (X, τ) ÷ñc gåi l  khæng gian dorff n¸u vîi méi x, y ∈ X, x 6= y bao gií công tçn t¤i l¥n cªn Ux cõa x

Hauss-v  Uy cõa y thäa m¢n Ux ∩ Uy = ∅

1.2 nh x¤ a trà v  mët sè kh¡i ni»m li¶n quan

Ph¦n n y tr¼nh b y ành ngh¾a v· ¡nh x¤ a trà, t½nh li¶n töc v  t½nhlçi theo nân cõa ¡nh x¤ a trà V  º thuªn ti»n cho vi»c theo dãi c¡cchùng minh ð ch÷ìng 2 v  ch÷ìng 3 chóng ta s³ ÷a ra mët sè ànhngh¾a li¶n quan ¸n ¡nh x¤ KKM

Trong c¡c ành ngh¾a d÷îi ¥y chóng ta luæn gi£ sû X, Y, Z, W l c¡c khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh, lçi àa ph÷ìng, Haussdorff D ⊂ X,

K ⊂ Z, E ⊂ W l  c¡c tªp con kh¡c réng v  C l  nân trong Y

Tr÷îc h¸t ta câ ành ngh¾a v· ¡nh x¤ a trà nh÷ sau

ành ngh¾a 1.9 K½ hi»u 2Y l  tªp t§t c£ c¡c tªp con cõa Y

nh x¤ F : X → 2Y m  ùng vîi méi x ∈ X cho mët tªp con cõa Y

÷ñc gåi l  ¡nh x¤ a trà

ành ngh¾a 1.10 Cho F : D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà.

• F l  C − li¶n töc tr¶n (ho°c C − li¶n töc d÷îi) t¤i x0 ∈ D n¸u vîib§t k¼ l¥n cªn V cõa 0 trong Y ·u tçn t¤i l¥n cªn U cõa x0 trong Xsao cho

F (x) ⊂ F (x0) + V + C(ho°c F (x0) ⊂ F (x) + V − C)vîi måi x ∈ U ∩ domf

• F l  C − li¶n töc t¤i x0 ∈ D n¸u F vøa l  C − li¶n töc tr¶n v  vøa

l  C − li¶n töc d÷îi t¤i x0

• F l  C − li¶n töc tr¶n, C − li¶n töc d÷îi, ho°c C − li¶n töc tr¶n

D n¸u nâ l  C − li¶n töc tr¶n, C − li¶n töc d÷îi, ho°c C − li¶n töc t¤i

∀x ∈ D

• F l  C − lãm tr¶n (ho°c C − lãm d÷îi) n¸u

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) − C(ho°c F (αx + (1 − α)y) ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) + C)vîi ∀x, y ∈ domF v  α ∈ [0, 1]

• F l  C − tüa lçi tr¶n tr¶n D n¸u vîi b§t k¼ x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] tacâ

F (x1) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2) + C(ho°c F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2) + C

• F l  C − tüa lçi d÷îi tr¶n D n¸u vîi b§t k¼ x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] tacâ

F (tx1 + (1 − t)x2)F (x1) ⊆ F (x1) − C(ho°c F (tx1 + (1 − t)x2) ⊆ F (x2) − C

ành ngh¾a 1.11 Cho F : K × D × D → 2Y, Q : D × D → 2K l  c¡c

¡nh x¤ a trà Cho C : K × D → 2Y l  ¡nh x¤ a trà nân

• F ÷ñc gåi l  (Q, C) − tüa lçi tr¶n theo ÷íng ch²o èi vîi bi¸n thù

ba n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {x1, x2, , xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, x2, , xn},

câ j ∈ {1, 2, , n} sao cho

F (y, x, xj) ⊆ F (y, x, x) + C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj)

• F ÷ñc gåi l  (Q, C) − tüa lçi d÷îi theo ÷íng ch²o èi vîi bi¸n thù

ba n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {x1, x2, , xn} ⊆ D, x ∈ co{x1, x2, , xn},

câ j ∈ {1, 2, , n} sao cho

F (y, x, x) ⊆ F (y, x, xj) − C(y, x), ∀y ∈ Q(x, xj)

ành ngh¾a 1.12 nh x¤ a trà F : D → 2X ÷ñc gåi l  KKM n¸uvîi b§t k¼ tªp húu h¤n {t1, t2, , tn} ⊂ D, d¨n ¸n co{t1, t2, , tn} ⊆

n

∪

j=1F (tj)

ành ngh¾a 1.13 Cho F : K × D × D → 2X, Q : D × D → 2K l c¡c ¡nh x¤ a trà F ÷ñc gåi l  Q − KKM n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n{t1, t2, , tn} ⊂ D v  x ∈ co{t1, t2, , tn}, câ tj ∈ {t1, t2, , tn} sao cho

0 ∈ F (y, x, tj), ∀y ∈ Q(x, tj)

ành ngh¾a 1.14 Cho F : K × D × E → 2X, Q : D × E → 2K l  c¡c

¡nh x¤ a trà F ÷ñc gåi l  Q − KKM têng qu¡t n¸u vîi b§t k¼ tªp húuh¤n {t1, t2, , tn} ⊂ E câ mët tªp húu h¤n {x1, x2, , xn} ⊂ D º vîi b§tk¼ x ∈ co{xi 1, xi2, , xik}, câ ti j ∈ {ti1, ti2, , tin} sao cho 0 ∈ F (y, x, tj),

∀y ∈ Q(x, tij)

ành ngh¾a 1.15 Cho R l  quan h» hai ngæi tr¶n K ×D Chóng ta nâir¬ng R l  âng n¸u vîi b§t k¼ d¢y suy rëng (yα, xα) → (y, x)v  R(yα, xα)x£y ra vîi måi α th¼ R(y, x) x£y ra

ành ngh¾a 1.16 Cho R l  quan h» tr¶n K × D × D Chóng ta nâir¬ng R l  Q − KKM n¸u vîi b§t k¼ tªp húu h¤n {t1, t2, , tn} ⊂ D v 

x ∈ co{t1, t2, , tn} câ tj ∈ {t1, t2, , tn} sao cho R(y, x, tj) x£y ra, vîimåi y ∈ Q(x, tj)

1.3 Mët sè ành l½ iºm b§t ëng cì b£n

Ph¦n n y tr¼nh b y nëi dung cõa hai ành l½ iºm b§t ëng cì b£n l 

ành l½ Park v  ành l½ Browder- KyFan

ành lþ 1.17 (Park [4]) Cho X l  khæng gian tæ pæ tuy¸n t½nh lçi

àa ph÷ìng, D l  tªp con lçi, ch§p nhªn ÷ñc, kh¡c réng cõa X v 

F : D → 2D l  ¡nh x¤ a trà com p­c acyclic vîi gi¡ trà kh¡c réng Th¼

∃¯x ∈ D sao cho ¯x ∈ F (¯x)

ành lþ 1.18 (Browder- KyFan [8]) Cho D l  tªp con kh¡c réng, lçi,comp­c cõa X v  F : D → 2D l  ¡nh x¤ a trà thäa m¢n c¡c i·u ki»nd÷îi ¥y

(i) ∀x ∈ D, x 6∈ F (x) v  F (x) l  lçi;

(ii) ∀y ∈ D, F−1(y) l  mð trong D

Th¼ ∃¯x ∈ D sao cho F (¯x) = ∅

Ch֓ng 2

B i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t

lo¤i I

Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I

v  i·u ki»n tçn t¤i nghi»m cõa nâ çng thíi ¡p döng b i to¡n n y ºchùng minh mët sè b i to¡n li¶n quan nh÷ b i to¡n quan h» tüa bi¸nph¥n lo¤i I, b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n lo¤i I,v.v düa tr¶n

t i li»u [7]

2.1 °t b i to¡n v  c¡c b i to¡n li¶n quan

2.1.1 °t b i to¡n

Cho X, Y, Z l  c¡c tªp kh¡c réng D ⊆ X, K ⊆ Z l  c¡c tªp con kh¡créng Gi£ sû

÷ñc gåi l  b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t lo¤i I, k½ hi»u (GQEP )I.Trong â c¡c ¡nh x¤ a trà S, T l  r ng buëc v  F l  ¡nh x¤ a tràth÷íng ÷ñc x¡c ành bði ¯ng thùc v  b§t ¯ng thùc, ho°c bði c¡c bao

h m thùc v  sü t÷ìng giao cõa c¡c ¡nh x¤ a trà

2.1.2 C¡c b i to¡n li¶n quan

D÷îi ¥y l  c¡c b i to¡n m  ta câ thº ÷a v· b i to¡n (GQEP )I b¬ngc¡ch x¡c ành ¡nh x¤ F th½ch hñp

1) B i to¡n tüa tèi ÷u lo¤i I

Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 2.1.1 Gi£ sû G : K × D × D → R l 

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ≥ G(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Th¼ i·u ki»n

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),s³ trð th nh

G(¯y, ¯x, ¯x) = min

z∈S(¯ x,¯ y)G(¯y, ¯x, z)

2) B i to¡n tüa c¥n b¬ng væ h÷îng

Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1) Gi£ sû g : K × D × D → R l 

B¬ng c¡ch x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà

M : K × D × D → 2X, F : K × D × D × D → 2Xnh÷ sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | g(y, x, z) ≥ g(y, x, t)}, (y, x, z) ∈ K × D × D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Th¼ b i to¡n (GQEP )I s³ trð th nh b i to¡n tr¶n v¼ khi â i·u ki»n

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),

l  t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n

g(¯y, ¯x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

3) B i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n

Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1) Gi£ sû R(y, x, t, z) l  quan h» giúa

y ∈ K; x, t, z ∈ D R l  quan h» th÷íng cho bði ¯ng thùc, b§t ¯ngthùc cõa h m sè, ho°c bði bao h m thùc, sü t÷ìng giao cõa c¡c ¡nh x¤

a trà

B i to¡n: t¼m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);

2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

3/ R(¯y, ¯x, ¯x, z) x£y ra, ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

÷ñc gåi l  b i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n lo¤i I v  ÷ñc  T Löc x²ttrong [5]

B i to¡n n y t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n (GQEP )I V¼ n¸u ta x¡c ànhc¡c ¡nh x¤ a trà

M : K × D × D → 2X, F : K × D × D × D → 2Xnh÷ sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | R(y, x, t, z) x£y ra}, (y, x, z) ∈ K × D × D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Th¼ hai i·u ki»n

B i to¡n: t¼m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);

2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

3/ H(¯y, ¯x, z) ⊂ G(¯y, ¯x, ¯x) + C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

÷ñc gåi l  b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n l½ t÷ðng tr¶n lo¤i I, ¢

÷ñc C J Lin v  N X T§n x²t trong [2]

Rã r ng (GQEP )I s³ trð th nh b i to¡n tr¶n n¸u ta x¡c ành c¡c

¡nh x¤ a trà

M : K × D × D → 2X, F : K × D × D × D → 2Xnh÷ sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | H(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Th¼ khi â i·u ki»n

H(¯y, ¯x, z) ⊂ G(¯y, ¯x, ¯x) + C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

5) B i to¡n bao h m thùc tüa c¥n b¬ng l½ t÷ðng tr¶n

Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1) Gi£ sû G : K × D × D → 2Y l 

¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà kh¡c réng v  C : K × D → 2Y l  ¡nh x¤ vîi gi¡trà nân, lçi kh¡c réng sao cho G(y, x, x) ⊆ C(y, x), ∀(y, x, x) ∈ K×D×D

B i to¡n: t¼m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

nh÷ sau

M (y, x, z) = {t ∈ D | G(y, x, z) ⊆ G(y, x, t)+C(y, x)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

V¼ khi â i·u ki»n

G(¯y, ¯x, z) ⊂ C(¯y, ¯x), ∀z ∈ S(¯x, ¯y),

l  t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n

0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

6) B i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n v²ctì têng qu¡t

Cho D, K, S, T nh÷ trong ph¦n 1) Gi£ sû C : K × D × D × D → 2Y

÷ñc gåi l  b i to¡n bao h m thùc tüa bi¸n ph¥n v²c tì têng qu¡t, ¢

÷ñc P H Sach v  L A Tu§n x²t trong [3]

B¬ng c¡ch x¡c ành c¡c ¡nh x¤ a trà

M : K × D × D → 2D, F : K × D × D × D → 2Ynh÷ sau

M (y, x, z) = {t ∈ S(x, y) | αi(G(y, x, t, z), C(y, x, t, z))};

F (y, x, t, z) = t − M (y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D.

Th¼ ta th§y (GQEP )I trð th nh b i to¡n tr¶n v¼ khi â i·u ki»n

l  c¡c ¡nh x¤ a trà vîi gi¡ trà kh¡c réng Hìn núa, n¸u

(i) S l  ¡nh x¤ a trà li¶n töc comp­c vîi gi¡ trà âng;

(ii) T l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi âng;

(iii) Vîi (x, y) ∈ D × K cè ành, ∃t ∈ S(x, y) sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z),

3/ 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y).

Chùng minh Ta ành ngh¾a ¡nh x¤ a trà M : D × K → 2D nh÷ sau:

M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)}, (x, y) ∈ D × K

Tø (i) v  (iv) suy ra M(y, x) l  tªp lçi kh¡c réng B¥y gií chóng tachùng minh M l  ¡nh x¤ a trà âng

Thªt vªy, gi£ sû xβ → x, yβ → y, tβ ∈ M (xβ, yβ), tβ → t, ta câ

t ∈ M (y, x) Tø tβ ∈ S(xβ, yβ), v  do S l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶nvîi gi¡ trà âng d¨n ¸n t ∈ S(x, y)

V¼ tβ ∈ M (xβ, yβ) n¶n 0 ∈ F (yβ, xβ, tβ, z), ∀z ∈ S(xβ, yβ)

T½nh nûa li¶n töc d÷îi cõa S v  xβ → xcho th§y vîi b§t k¼ z ∈ S(x, y),tçn t¤i zβ ∈ S(xβ, yβ) sao cho zβ → z Do â 0 ∈ F (yβ, xβ, tβ, zβ),

∀zβ ∈ S(xβ, yβ)

Tø (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z) v  ¡nh x¤ a trà F l  âng, suy ra

0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y) i·u n y chùng tä t ∈ M(y, x), v¼ vªy M

l  ¡nh x¤ a trà âng

Cuèi còng chóng ta ành ngh¾a ¡nh x¤ a trà P : D × K → 2D×K nh÷sau:

P (x, y) = M (y, x) × T (x, y), (x, y) ∈ D × K

Rã r ng M l  ¡nh x¤ a trà âng vîi gi¡ trà lçi, âng kh¡c réng, v¼vªy M l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng Do â ¡nhx¤ P l  t½ch cõa hai ¡nh x¤ nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng M v 

T công l  nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng (trong [4])

p döng ành l½ 1.17 suy ra tçn t¤i (¯x, ¯y) ∈ D × K vîi (¯x, ¯y) ∈

2.3 p döng cho c¡c b i to¡n li¶n quan

H» qu£ 2.2 Cho D l  tªp con lçi comp­c kh¡c réng cõa khæng giantæpæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng X, v  K l  tªp con lçi ch§p nhªn ÷ñccõa khæng gian v²ctì tæpæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng Z Cho

T : D × K → 2K;

G : K × D × D → 2X

l  c¡c ¡nh x¤ a trà N¸u c¡c i·u ki»n sau x£y ra:

(i) T l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng;

(ii) Vîi (x, y) ∈ D × K cè ành, ¡nh x¤ a trà G(y, x, ) : D → 2D l KKM;

(ii) G l  ¡nh x¤ a trà âng vîi gi¡ trà kh¡c réng Vîi (x, y) ∈ D × K cè

F (y, x, t, z) = t − G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Do G(y, x, ) l  KKM n¶n tø ành l½ Fan- KKM [5] ta suy ra

∩

z∈DG(y, x, z) 6= ∅

Do â tçn t¤i t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D i·u n y d¨n ¸n 0 ∈ F (y, x, t, z),

∀z ∈ D

Hìn núa, tªp {t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈G(y, x, z), ∀z ∈ D} = A l  lçi.

H» qu£ 2.3 Cho D, K, T nh÷ trong H» qu£ 2.2 G : K × D × D → 2X

l  ¡nh x¤ a trà N¸u c¡c i·u ki»n sau thäa m¢n:

(i) T l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶n;

(ii) Vîi (y, x) ∈ K × D cè ành, ¡nh x¤ a trà x − G(y, x, ) : D → 2D l KKM;

(ii) G l  ¡nh x¤ a trà âng vîi gi¡ trà kh¡c réng, v  vîi (x, y) ∈ D × K

Do â tçn t¤i t ∈ D sao cho 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D.

Tªp {t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈ (x −G(y, x, z)), ∀z ∈ D} = A l  lçi

Hìn núa, v¼ G l  ¡nh x¤ a trà âng n¶n F l  ¡nh x¤ a trà âng

p döng ành l½ 2.1 suy ra tçn t¤i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

2/ 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ D

i·u n y d¨n ¸n 0 ∈ G(¯y, ¯x, z), ∀z ∈ D

H» qu£ 2.4 Cho X, Z l  c¡c khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh lçi àa ph÷ìng

Gi£ sû ϕ : K × D × D → R l  h m sè li¶n töc Vîi (y, x) ∈ K ×D cè

ành, h m sè ϕ(y, x, ) : D → R l  tüa lçi v  ϕ(y, x, x) = 0 Khi â tçnt¤i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho: ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T (¯x, ¯y), v  ϕ(¯y, ¯x, z) ≥ 0,

M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t), ∀z ∈ S(x, y)}, (y, x) ∈ K×D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Vîi (y, x) ∈ K×D cè ành, S(x, y) l  tªp comp­c, ϕ(y, x, ) l  h m li¶ntöc Do â tçn t¤i t ∈ S(x, y) sao cho ϕ(y, x, t) ≤ ϕ(y, x, z), ∀z ∈ S(x, y)

i·u n y cho th§y M(y, x) 6= ∅ vîi méi (y, x) ∈ K×D Vîi (y, x) ∈ K×D

cè ành, ϕ(y, x, ) l  h m tüa lçi n¶n suy ra M(y, x) l  lçi

Hìn núa, câ thº d¹ d ng chùng minh M l  ¡nh x¤ a trà âng vîi gi¡

trà lçi, kh¡c réng, v¼ vªy F công l  ¡nh x¤ a trà âng

Tªp A = {t ∈ D | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} = {t ∈ D | t ∈

M (y, x)} = M (y, x) l  tªp lçi

p döng ành l½ 2.1 suy ra tçn t¤i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho: ¯x ∈ S(¯x, ¯y),

¯

y ∈ T (¯x, ¯y), v  0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

i·u n y cho th§y ϕ(¯y, ¯x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

H» qu£ 2.5 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z l  c¡c tªp con kh¡c réng, lçi, ch§p

nhªn ÷ñc B i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n câ nghi»m n¸u c¡c i·u ki»n

sau thäa m¢n:

(i) S l  ¡nh x¤ a trà comp­c, li¶n töc vîi gi¡ trà lçi, kh¡c réng;

(ii) T l  ¡nh x¤ a trà nûa li¶n töc tr¶n vîi gi¡ trà lçi, âng, kh¡c réng;

(iii) Vîi b§t k¼ (x, y) ∈ D × K, ∃t ∈ S(x, y) sao cho R(y, x, t, z) x£y ra

M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z) x£y ra, ∀z ∈ S(x, y)}, (y, x, z) ∈ K×D×D;

F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D

Tø i·u ki»n (iii) suy ra tçn t¤i t ∈ M(x, y), ∀z ∈ S(x, y) i·u

n y d¨n ¸n 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y) Hìn núa, câ thº th§y tªp

A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} = {t ∈ S(x, y) | t ∈

M (y, x), ∀z ∈ S(x, y)} l  lçi

B¥y gií chóng ta chùng minh M l  ¡nh x¤ âng Thªt vªy, gi£ sû

Tø (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z)v  quan h» R l  âng, ta câ R(y, x, t, z)x£y ra vîi ∀z ∈ S(x, y) i·u n y chùng tä t ∈ M(y, x), v¼ vªy M l  ¡nhx¤ a trà âng

p döng ành l½ 2.1 suy ra tçn t¤i (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho

1/ ¯x ∈ S(¯x, ¯y);

2/ ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

3/ 0 ∈ F (¯y, ¯x, ¯x, z), ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

i·u n y ngh¾a l  R(¯y, ¯x, ¯x, z) x£y ra, ∀z ∈ S(¯x, ¯y)

Chó þ 2.6 Quan h» R ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: R(y, x, t, z) x£y ra n¸u

0 ∈ F (y, x, t, z) N¸u måi gi£ thi¸t cõa ành l½ 2.1 tr¶n F ÷ñc thäa m¢n,

câ thº th§y r¬ng b i to¡n tüa c¥n b¬ng têng qu¡t l  k¸t qu£ trüc ti¸pcõa b i to¡n quan h» tüa bi¸n ph¥n

Thªt vªy, tø i·u ki»n (iii) cõa ành l½ 2.1 suy ra tçn t¤i t ∈ S(x, y)sao cho R(y, x, t, z) x£y ra ∀z ∈ S(x, y)

Gi£ sû (yβ, xβ, tβ, zβ) → (y, x, t, z), R(yβ, xβ, tβ, z)x£y ra, v  do â 0 ∈

F (yβ, xβ, tβ, zβ) Vîi F l  ¡nh x¤ a trà âng, d¨n ¸n 0 ∈ F (y, x, t, z).Nh÷ vªy, R(y, x, t, z) x£y ra, n¶n R l  âng

Vîi b§t k¼ (y, x) ∈ K×D Tªp A = {t ∈ S(x, y) | 0 ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈S(x, y)} th¼ A = {t ∈ S(x, y) | R(y, x, t, z)x£y ra, ∀z ∈ S(x, y)} l  lçi