Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic

Áp dụng phép biến đổi laplace giải bài toán biên ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Hữu Việt

ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP

CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên - 2011

Mục lục

1.1 Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường 5

1.1.1 Định nghĩa hàm gốc 5

1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace 6

1.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 8

1.1.4 Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc 12

1.1.5 Biến đổi Laplace của tích chập 14

1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược 17

1.2 Hàm suy rộng 18

1.2.1 Định nghĩa hàm suy rộng 18

1.2.2 Các ví dụ 19

1.2.3 Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng 20 1.3 Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach 20

1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng 21

1.4.1 Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact 21

1.4.2 Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach 22

1.4.3 Công thức nghịch đảo 24

1.4.4 Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm suy rộng 25 1.4.5 Điều kiện của hàm ảnh 27

Chương 2 Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1 Đặt bài toán 30

2.1.1 Đặt bài toán tổng quát 302.1.2 Trường hợp hệ số của phương trình không phụ

thuộc vào t 322.2 Áp dụng biến đổi Laplace giải bài toán biên-ban đầu hỗn

hợp cho phương trình parabolic 342.2.1 Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp eg = 0 342.2.2 Trường hợp eg 6= 0 372.3 Một vài ví dụ 382.3.1 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt

(Ω = Rn) 382.3.2 Bài toán phân bố nhiệt độ bên trong một thanh

kim loại 40

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaPGS - TS Hà Tiến Ngoạn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thànhkính nhất đến thầy Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học

mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quátrình làm luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy

cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm TháiNguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệViệt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đạihọc Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và làm luận văn này

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, BanGiám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang -

Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làmluận văn

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoànthiện hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Học viên

Nguyễn Hữu Việt

Mở đầu

Luận văn trình bày tổng quan cơ sở phép biến đổi Laplace đối với cáchàm số một biến t xác định trên nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữuhạn và phụ thuộc vào tham số vectơ x

Trên cơ sở đó, dùng phép biến đổi Laplace như một công cụ để luậnvăn trình bày việc nghiên cứu tính giải được và tính duy nhất nghiệmcủa bài toán biên-ban đầu hỗn hợp của phương trình parabolic tuyếntính cấp hai, khi hệ số của phương trình không phụ thuộc vào biến thờigian t

Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [5] Bố cục củaluận văn gồm 2 chương:

• Chương 1 của Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace đối vớihàm số thông thường, nhắc lại các khái niệm về hàm suy rộng, hàmsuy rộng nhận giá trị trong không gian Banach và phép biến đổiLaplace đối với hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach

• Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên-ban đầu hỗn hợpcho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số khôngphụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi Laplace đểbiểu diễn nghiệm của bài toán và một số ví dụ áp dụng

Chương 1

Phép biến đổi Laplace

1.1 Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường1.1.1 Định nghĩa hàm gốc

Định nghĩa 1.1 Hàm một biến thực f (t) được gọi là hàm gốc nếu thoảmãn ba điều kiện sau :

1) f (t) = 0 với mọi t < 0 Điều này được đặt ra vì trong thực tế tthường là biến thời gian

2) f (t) liên tục từng khúc trong miền t ≥ 0

Điều này có nghĩa là nếu lấy một khoảng (a,b) bất kì trên nửa trụcthực t ≥ 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn cáckhoảng nhỏ, sao cho trong mỗi khoảng nhỏ f (t) liên tục và tại mút củamỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn một phía

3) f (t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞ Nghĩa là tồn tại

M > 0, σ0 > 0 sao cho

|f (t)| ≤ M eσ0 t

trong đó σ0 được gọi là chỉ số tăng của f (t)

Rõ ràng σ0 là chỉ số tăng thì mọi số σ1 > σ0 cũng là chỉ số tăng

Ví dụ 1.1 Hàm bước nhảy đơn vị

Tuy nhiên hàm số sau :

f (t)η(t) =  0 nếu t < 0

f (t) nếu t ≥ 0

là một hàm gốc

1.1.2 Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace (hay còn gọi là toán tử Laplace) được địnhnghĩa như sau

Định nghĩa 1.2 Giả sử f (t) là hàm gốc xác định với mọi t > 0 Biếnđổi Laplace của hàm số f (t) được định nghĩa và ký hiệu là

f (t) e−ptdt hội tụ tuyệt đối

Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace F (p) và

tại mọi điểm p thuộc các miền trên.

Vì vậy F (p) giải tích trong miền Re(p) > σ0

Nhận xét 1.1 Từ Ví dụ 1.2 suy ra các hàm sơ cấp cơ bản như f (t) = tm,

f (t) = sin t, f (t) = cos t đều có biến đổi Laplace L{f (t)η(t)} Do đóthay vì viết đầy đủ L{f (t)η(t)} ta có thể viết tắt L{f (t)} Chẳng hạn

ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)}

Ví dụ 1.3 Biến đổi Laplace của hàm f (t) = 1 là

+∞

0

= 1p

Ví dụ 1.4 Cho hàm f (t) = t, biến đổi Laplace của f (t) là

Ví dụ 1.5 Cho hàm f (t) = tn, biến đổi Laplace của f (t) là

1.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Tính chất 1.1 Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính Nếu f (t) vàg(t) có biến đổi Laplace thì Af (t)+Bg(t) cũng có biến đổi Laplace (A, B

là các hằng số) và

L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AL{f (t)}(p) + BL{g(t)}(p) (1.4)Chứng minh Gọi F (p), G(p) lần lượt là ảnh của f (t) và g(t) qua phépbiến đổi Laplace Theo định nghĩa

Do tính chất tuyến tính của tích phân nên ta có

Nếu F (p) = L{f (t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có

ω

p2 + ω2

Tính chất 1.3 Phép biến đổi Laplace có tính dịch chuyển ảnh Nếu

F (p) = L{f (t)}(p), thì với ∀a ∈ C ta có

L{eatf (t)}(p) = F (p − a) (1.6)Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 ta có

số và F (p) = L{f (t)}(p) thì ta có

L{f (t − τ )}(p) = e−pτF (p) (1.7)Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 ta có

Ví dụ 1.12 Hàm xung (impulse) là hàm chỉ khác 0 trong một khoảngthời gian nào đó

0 nếu t > bHàm xung đơn vị trên đoạn [a,b] là

có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị

L{f0(t)}(p) = pF (p) − f (0) (1.9)

Tương tự áp dụng công thức (1.9) cho L{f(n−1)(t)}(p) ta được

L{f(n)(t)}(p) = p2L{f(n−2)}(p) − pf(n−2)(0) − f(n−1)(0)

Áp dụng công thức (1.9) liên tiếp như vậy thì cuối cùng ta được

L{f(n)(t)}(p) = pnF (p) − pn−1f (0) − pf(n−2)f0(0) − − f(n−1)(0)

1.1.5 Biến đổi Laplace của tích chập

a Định nghĩa tích chập của hai hàm gốc

Định nghĩa 1.3 Tích chập của hai hàm gốc f (t) và g(t) với t ≥ 0 làhàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức

(f ∗ (g ∗ h))(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t) (1.13)Tính chất 1.8 Nếu f (t) và g(t) là hai hàm gốc thì tích chập của chúng(f ∗ g)(t) cũng là hàm gốc.

c Biến đổi Laplace của tích chập

Định lý 1.4 Nếu F (p) = L{f (t)}(p) và G(p) = L{g(t)}(p) thì ta có

L{f ∗ g}(p) = F (p)G(p) (1.14)Chứng minh Theo Định nghĩa 1.3 ta có

Xét tích phân bên vế phải Vì ứng với t cố định thì tích phân theo τ lấy

từ 0 đến t, sau đó cho t biến thiên từ 0 đến +∞ nên vế phải tích phânlặp lấy trong miền quạt G: 0 < arg(t + jτ ) < π

4 Vì khi Re(p) > σ + 1thì do tính chất của tích chập, tích phân lặp này hội tụ tuyệt đối Dovậy, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân

pF (p)G(p) = L{f (0)g(t) + f0 ∗ g} (1.15)

pF (p)G(p) = L{g(0)f (t) + f ∗ g0} (1.16)Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh công thức (1.15) và do tính chấtđối xứng ta suy ra công thức (1.16)

Theo công thức đạo hàm của hàm gốc (1.9) ta có

1.1.6 Phép biến đổi Laplace ngược

Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trướcthành một hàm ảnh Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại Tức

là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc Tuy nhiên, không phải hàmnào cũng có thể là hàm ảnh được Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để mộthàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó

a Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa 1.4 Cho hàm F (p), nếu tồn tại hàm gốc f (t) sao choL{f (t)}(p) = F (p) thì ta nói f (t) là biến đổi Laplace ngược của F (p) và

b Quan hệ giữa gốc và ảnh

Định lý 1.6 Nếu f (t) là một hàm gốc với chỉ số tăng σ0 và L{f (t)} =

F (p) thì tại mọi điểm liên tục t của hàm f (t) ta có

c Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược

Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có

biến đổi ngược Chẳng hạn hàm F (p) = p2 không thể là ảnh của hàmgốc nào vì lim

Re(p)→∞F (p) = ∞

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổingược

Định lý 1.7 Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau :

i) F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re(p) > σ0

ii) |F (p)| ≤ MR với mọi p thuộc đường tròn |p| = R và lim

R→∞MR = 0.iii) Tích phân

σ+i∞

R

σ−i∞

F (p)dp hội tụ tuyệt đối

Khi đó F (p) có biến đổi ngược là hàm gốc f (t) cho bởi công thức

i) Tồn tại tập compact K ⊂ R sao cho suppϕn ⊂ K, với ∀n

ii) ∀k ∈ N: Dkϕn(t) hội tụ đều đến Dkϕ(t) trên K

Tập D cùng với sự hội tụ trên được gọi là không gian các hàm cơ bản.Định nghĩa 1.6 Gọi D0 = D0(R) là tập gồm tất cả những phiếm hàmtuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản D Tập D0 cùng với

sự hội tụ yếu trong D0 được gọi là không gian các hàm suy rộng Trong

đó sự hội tụ yếu trong D0 được định nghĩa như sau :

Dãy (fn)n=1,2, ∈ D0 được gọi là hội tụ về f ∈ D0(viết là fn → f khi

n → ∞ trong D0) nếu ∀ϕ ∈ D thì

hfn, ϕi → hf, ϕi khi n → ∞

với ϕ(t) ∈ D(R), là hàm suy rộng thuộc D0(R).

Chứng minh Giả sử suppϕ ⊂ [−A, A] Khi đó tích phân

K

f (t)ϕ(t)dt

Do đó, phiếm hàm tuyến tính trên là liên tục

Ví dụ 1.20 Giả sử f ∈ Lp(R) với 1 ≤ p ≤ +∞ Khi đó phiếm hàmtuyến tính f (ϕ) xác định bởi công thức

f (ϕ) = hf, ϕi =

Z

R

với ϕ(t) ∈ D(R), là hàm suy rộng thuộc D0(R)

Trong đó Lp(R) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và đo được trên

R sao cho

kf kLp ≡



Z

Chứng minh Ta có Lp(R) ⊂ L1loc(R), với mọi 1 6 p 6 ∞ Thật vậya) Trường hợp p = ∞ Hàm f (t) ∈∞ (R), nên bị chặn đều trên R và

6 (b − a)1qkf (t)kLp (R),trong đó 1 ≤ p, q < +∞ và 1

p +

1

q = 1.

Do vậy f (t) khả tích trên [a, b]

1.2.3 Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng

a Phép tính đạo hàm

Cho f ∈ D0, khi đó đạo hàm cấp k của f , kí hiệu là f(k) được định nghĩatheo công thức sau

hf(k), ϕi = (−1)khf, ϕ(k)i (1.22)

b Phép nhân với hàm khả vi vô hạn

Cho ψ(t) là hàm khả vi vô hạn trên R Khi đó phép nhân hàm f ∈ D0với ψ(t) được định nghĩa theo công thức sau

1.3 Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach

Cho E là một không gian Banach Tương tự như trên, ta ký hiệuD(R) là không gian các hàm C∞ trên trục thực, nhận giá trị thực và cógiá compact Khi đó không gian D0(E) được gọi là không gian của cácánh xạ tuyến tính liên tục từ D vào E, và được gọi là không gian cáchàm suy rộng nhận giá trị trong E Trong không gian D0(E) cũng có thểđịnh nghĩa hai phép toán là: phép tính đạo hàm và nhân với hàm khả

vi vô hạn bất kỳ giống như trong D0(R)

Ví dụ 1.21 Cho f (t) ∈ D0(R), a ∈ E Khi đó phiếm hàm f (t)a ∈ D0(E),trong đó

hf (t)a, ϕ(t)i = hf, ϕia

Ví dụ 1.22 Cho a ∈ E Xét phiếm hàm δa(t) được định nghĩa bởi

hδa(t), ϕi = ϕ(0)a (1.24)Khi đó, δa(t) ∈ D0(E)

1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng

1.4.1 Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compactĐịnh lý 1.8 (Định lý Paley-Wiener) Giả sử ϕ(t) ∈ D(R), trong đóD(R) là tập các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên R, tức là vớimọi A > 0 thì

suppϕ ⊂ [−A, A] ⊂ R,trong đó,

|F (p)| 6 CNeA|Re(p)|(1 + |p|)−N (1.26)Khi đó ∃ϕ(t) ∈ D(R), suppϕ ⊂ [−A, A] với

L{ϕ(t)}(p) = F (p)

Ta ký hiệu L(D(R)) là tập hợp các hàm F (p) giải tích trên C sao chothoả mãn (1.25), trong đó A > 0 là một hằng số phụ thuộc F (p).

Cho dãy {Fn(p)} ⊂ L(D(R)) Ta nói Fn(p) → 0 trong L(D(R)) nếu nóthoả mãn hai điều kiện sau

i) ∃A > 0 chung cho mọi Fn(p) trong bất đẳng thức (1.26)

ii) Với ∀N ∈ N thì

sup

C

(e−A|Re(p)|(1 + |p|)N|Fn(p)|) → 0, khi n → ∞

Tập hợp L(D(R)) với sự hội tụ trên là không gian vectơ tôpô

1.4.2 Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng

nhận giá trị trong không gian BanachNhư ta đã biết ở phần trước, biến đổi Laplace của một hàm f (t) đượcxác định bởi công thức

trong đó σ + iτ là một biến phức (thường được ký hiệu là p)

Ta có thể mở rộng cận lấy tích phân ra toàn bộ trục thực bằng cách đặt

f (t) = 0 với ∀t < 0 Khi đó công thức (1.27) được viết lại như sau

F {g(t)}(τ ) =

Z

R

e−itτg(t)dt (1.30)

Ta ký hiệu D+0 là tập hợp các hàm suy rộng T trên trục thực thoả mãn

T = 0 trong (−∞, 0) Chẳng hạn δa(t) ∈ D+0 (E) Khi đó ta sẽ mở rộngphép biến đổi Laplace cho các hàm suy rộng T ∈ D+0 (E)

Giả sử f (t) là hàm gốc thông thường và ϕ(t) ∈ D(R) Khi đó e−σtf (t) ∈

R

L{f (t)}(σ + iτ )L{ϕ(−t)}(σ + iτ )dτ

= 12πhL{f (t)}(σ + iτ ), L{ϕ(−t)}(σ + iτ )i (1.33)Giả sử T ∈ D0(E) Từ công thức (1.33) ta suy ra định nghĩa biến đổiLaplace đối với T như sau

Định nghĩa 1.7 Biến đổi Laplace của T ∈ D0(E), ký hiệu là L{T }(p)

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian L(D(R)) và đượcxác định theo công thức

Công thức (1.36) có thể được viết lại như sau

T = 12πiZ

γ

eptL{T }(p)dp, (1.38)

trong đó γ là một đường thẳng đứng {p; Re(p) = σ > σ0}

1.4.4 Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm suy rộng

Như trong phần trước ta đã biết, nếu f và g là hai hàm khả tích địaphương, đều triệt tiêu với t < 0 thì tích chập của chúng được định nghĩa(bất kể độ tăng của chúng tại vô cực) như sau

Định nghĩa 1.8 Giả sử T ∈ D0+(E) và U ∈ D0+(R) Tích chập T ∗ Uđược định nghĩa theo công thức

hT ∗ U, ϕi = hTs, hUτ, ϕ(s + τ )ii (1.40)

Ví dụ 1.24 Cho T = σa(t) ∈ D0(E), U ∈ D0(R) Khi đó ta có

Thật vậy theo công thức (1.33) ta có

hL{U ∗ ψ}, L{ϕ}i = 2πhU ∗ ψ, ϕ−i = 2πhUs, hψτ, ϕ−(s + τ )ii

Chứng minh Tương tự như trên ta sẽ chứng minh

hL{T ∗ U }, L{ϕ}i = hL{T }L{U }, L{ϕ}i,trong đó ϕ ∈ D(R)

1.4.5 Điều kiện của hàm ảnh

Định lý 1.11 Cho h(p) là một hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳngRe(p) > σ0, nhận giá trị trong không gian Banach E Khi đó hai điềukiện sau tương đương :

i) Tồn tại một hàm suy rộng T ∈ D+0 (E) có biến đổi Laplace chínhbằng h(p)

ii) Tồn tại số thực σ1 thoả mãn σ0 ≤ σ1 < +∞, một hằng số C > 0,

và một số nguyên k ≥ 0 sao cho với mọi số phức p, Re(p) > σ1 thì

kh(p)kE ≤ C(1 + |p|)k (1.44)Chứng minh i → ii : Do T có biến đổi Laplace nên ta có thể lấy

σ00 sao cho Ttexp(−σ00t) là hàm suy rộng nhận giá trị trong không gianBanach E Khi đó ta có thể đặt

Với σ1 > sup(σ0, σ00) và lấy σ = Re(p) ≤ σ1, ta có

Do w(p) là hàm khả tích theo biến τ trên trục thực, nên ta có thể đặt

γ 0

eptw(p)dp,trong đó γ0 là đường thẳng đứng Re(p) = σ

Trong khi xét sự triệt tiêu của w(σ + iτ ) khi τ → ±∞, ta có thể áp

Tập hợp L(D(R)) với hội tụ không gian vectơ tôpô

1.4.2 Biến đổi Laplace không gian hàm suy rộng

nhận giá trị không gian BanachNhư ta biết phần trước, biến đổi Laplace hàm... ϕ(0)a (1.24)Khi đó, δa(t) ∈ D0(E)

1.4 Biến đổi Laplace với hàm suy rộng

1.4.1 Biến đổi Laplace hàm khả vi vơ hạn có giá compactĐịnh lý 1.8 (Định lý Paley-Wiener)... D+0 tập hợp hàm suy rộng T trục thực thoả mãn

T = (−∞, 0) Chẳng hạn δa(t) ∈ D+0 (E) Khi ta mở rộngphép biến đổi Laplace cho hàm suy rộng T