Mô hình toán kinh tế

Phần I : Mô hình toán kinh tế và phương pháp mô hình trong phân tích kinh tế. Câu 1. Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về: a.Hệ số co giãn, hệ số tăng trưởng, hệ số thay thế. b.Mô hình tối thiểu hóa chi phí của doanh nghiệp khi sản lượng cho trước, mô hình tối đa hóa sản lượng với chi phí cho trước. c.Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của doanh nghiệp. Câu 2. Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có các nội dung đã trình bày ở Câu 1, sau đó giải chi tiết các bài tập đó. Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT). Câu 3. Trình bày ngắn gọn nội dung của các kiến thức về: a.Bài toán QHTT (Mục đích giải, khái niệm, các dạng của bài toán QHTT, tính chất của bài toán QHTT). b.Bài toán đối ngẫu và ứng dụng của bài toán đối ngẫu vào việc giải bài toán QHTT. Câu 4. Cho 3 ví dụ là bài toán thực tế và thực hiện các yêu cầu sau cho mỗi bài toán: a.Lập mô hình bài toán QHTT cho bài toán thực tế (gọi là bài toán (P)). b.Giải bài toán QHTT (P) bằng phương pháp đơn hình. Viết bài toán đối ngẫu của bài toán (P) và giải bằng định lý đối ngẫu.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH

Câu 1 Trình bày ngăn gon nôi dung cua cac kiên thưc vê:

a Hê sô co gian, hê sô tăng trưởng, hê sô thay thê

b Mô hình tôi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp khi sản lượng cho trước,

mô hình tôi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước

c Mô hình tôi đa hóa lợi nhuận cua doanh nghiêp

Câu 2 Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có cac nôi dung đa trình bày ở Câu 1, sau đó

giải chi tiêt cac bài tập đó

Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT).

Câu 3 Trình bày ngăn gon nôi dung cua cac kiên thưc vê:

a Bài toan QHTT (Mục đích giải, khai niêm, cac dang cua bài toan QHTT,tính chât cua bài toan QHTT)

b Bài toan đôi ngẫu và ưng dụng cua bài toan đôi ngẫu vào viêc giải bài toanQHTT

Câu 4 Cho 3 ví dụ là bài toan thưc tê và thưc hiên cac yêu câu sau cho môi bài toan:

a Lập mô hình bài toan QHTT cho bài toan thưc tê (goi là bài toan (P))

b Giải bài toan QHTT (P) băng phương phap đơn hình

c Viêt bài toan đôi ngẫu cua bài toan (P) và giải băng đinh ly đôi ngẫu

a) Hê sô co gian, hê sô tăng trưởng, hê sô thay thế.

1 Hê sô co gian:

 Hê sô co gian riêng và toàn phân:

Để đo tỉ lê cua sư thay đổi tương đôi (tưc thời) cua biên nôi sinh với sư thay đổitương đôi cua 1 biên ngoai sinh, người ta dùng hê sô co gian (hê sô co gian riêng)

‐ Hê sô co gian riêng cua y theo x tai �0:

����(�0) = ��(���0)

� ��0

�(�0) (� = 1,2, , �).

Tai �0, khi ��tăng 1% còn cac biên khac không đổi thì y thay đổi xâp xỉ ����(�0) %

‐ Nêu hê sô co gian ����(�0) > 0 (< 0) thì x và y thay đổi cùng (ngược) chiêu

‐ Hê sô co gian chung (toàn phân) cua y theo �1, �2, , ��tai �0:

��(�0) =

�=1

�

����(�0)

Khi cac biên �1, �2, , ��cùng thay đổi 1% thì y thay đổi xâp xỉ băng ��(�0) %

‐ Hê sô co gian cua y (riêng hoặc toàn phân) phụ thuôc điểm chúng ta tính, tưc làphụ thuôc vào cac biên ngoai sinh Tuy nhiên, nêu quan hê giữa y và cac biênngoai sinh có dang: y = α0x1α1x2α2 xnαn với α0, α1, , αn là cac tham sô (danghàm Cobb - Douglas), khi đó có thể chưng minh được răng:

 Hê sô tăng trưởng: Nêu trong trường hợp mô hình có biên ngoai sinh là biênthời gian, khi này sư biên đông cua biên nôi sinh theo thời gian được đo băng hê

sô tăng trưởng (nhip tăng trưởng)

‐ Yêu câu: Cân đo lường tỉ lê (%) thay đổi cua biên nôi sinh theo đơn vi thời gian

‐ Xét hàm y = f(�1, �2, , ��, �) khả vi theo t

‐ Hê sô tăng trưởng cua y theo thời gian: ��=����.1�

Ý nghĩa: Hê sô tăng trưởng ry(%) đo tỉ lê biên đông cua biên nôi sinh theo thời gian

 Cac tính chât cua hê sô tăng trưởng:

‐ Xét hàm y = f(x1(t), x2(t), , xn(t)) Khi đó: ry = i=1n εxyirxi

3 Hê sô thay thê:

Xét hàm sô y = f(�1, �2, , ��) tai �0 Khi đó �(�0) = �0

‐ Yêu câu: Nêu cho hai biên ngoai sinh thay đổi và cô đinh cac biên khac sao chobiên nôi sinh y không thay đổi, tưc là � = �0 Yêu câu là đi xac đinh sư thay đổicua hai biên ngoai sinh với tỉ lê thay thê

‐ Tỉ lê (hê sô) thay thê này được goi là hê sô thay thê biên (lao đông và vôn,…)

‐ Ta có thể tính hê sô thay thê này dưa vào công thưc vi phân toàn phân:

Ta có cac kêt luận sau:

‐ Nêu MRS(i, j) < 0 thì tai �0 yêu tô y có thể thay thê được cho yêu tô j với tỉ lê

−MRS(i, j).Tỉ lê này cho ta biêt khi giảm (tăng) mưc xj môt đơn vi thì phải tăng(giảm) mưc xi bao nhiêu đơn vi để giữ nguyên mưc cua y và được goi là hê sôthay thê (cận biên) cua xivà xj

‐ Nêu MRS(i, j) > 0 thì tai �0 yêu tô y và yêu tô j bổ sung cho nhau với tỉ lêMRS(i, j).Tỉ lê này cho ta biêt khi tăng (giảm) mưc x môt đơn vi thì phải tăng

(giảm) mưc xi bao nhiêu đơn vi để giữ nguyên mưc cua y và được goi là hê sô

bổ sung (cận biên) cua xivà xj

‐ Nêu MRS(i, j) = 0 thì tai �0 yêu tô y và yêu tô j không thể thay thê hoặc bổsung cho nhau

b) Mô hình tôi thiểu hóa chi phí của doanh nghiêp khi sản lượng cho trước, mô hình tôi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước.

1 Mô hình tôi thiểu hóa chi phí cua doanh nghiêp khi sản lượng cho trước:

‐ Nôi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) và cac yêu tô đâu vào (PK, PL) chotrước Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) saocho chi phí là nhỏ nhât

‐ Mô hình: Xac đinh K, L ≥ 0 sao cho TC = PKK + PLL → min thỏa điêu kiênf(K, L) = Q trong đó Q, K, L là biên nôi sinh; TC, PK, PLlà biên ngoai sinh

‐ Phân tích mô hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange

‐ MC(Q0) = λ∗với Q0 là sản lượng tôi ưu và λ∗goi là nghiêm tôi ưu cua �

2 Mô hình tôi đa hóa sản lượng với chi phí cho trước:

‐ Nôi dung: Với mưc sản lượng dư kiên (Q) và cac yêu tô đâu vào (PK, PL) chotrước Doanh nghiêp cân lưa chon mưc sử dụng cac yêu tô đâu vào (K, L) saocho mưc sản lượng là lớn nhât

‐ Mô hình: Xac đinh K, L ≥ 0 sao cho Q = f(K, L) → max thỏa điều kiện PKK +

PLL = TC trong đó Q, K, L là biên nôi sinh; TC, PK, PLlà biên ngoai sinh

‐ Phân tích mô hình cưc tiểu hóa chi phí: Lập hàm Lagrange

‐ MC(Q0) = 1/λ∗là sản lượng tôi ưu và λ∗ là nghiêm tôi ưu cua �

c) Mô hình tôi đa hóa lợi nhuận của doanh nghiêp.

‐ Kí hiêu TR(Q) là doanh thu khi doanh nghiêp cung ưng và tiêu thụ trên thitrường mưc sản lượng Q Như đa nói, ta có cac đinh nghĩa doanh thu biên MR

và doanh thu trung bình AR sau đây: MR(Q) = dTRdQ ; AR(Q) = TRQ

‐ Goi TC(Q) là chi phí tương ưng với Q (có tính tôi ưu vê kinh tê) thì lợi nhuận sẽ

‐ Điêu kiên cân để có tôi ưu là:dTRdQ =dTCdQ (MR = MC)

1 Với thi trường canh tranh hoàn hảo

‐ Doanh nghiêp là người châp nhận gia nên gia ban sản phẩm P là biên ngoai sinh

và P không đổi theo mưc cung cua doanh nghiêp Doanh nghiêp căn cư vàohàm sản xuât, hàm chi phí và gia P để xac đinh mưc cung tôi đa hóa lợi nhuận

Ta có: TR(Q) = P.Q

‐ Điêu kiên tôi ưu: P = MC

Nghĩa là, đôi với doanh nghiêp canh tranh hoàn hảo, ho sẽ chon sản lượng đemcung ưng cho thi trường ở mưc mà chi phí biên băng gia ban

‐ Điêu kiên đu: �''(�) < 0 ⇔ MR' < MC'

2 Thi trường đôc quyên

‐ Do không có sản phẩm canh tranh thay thê nên doanh nghiêp có toàn quyênquyêt đinh gia ban và mưc cung để tôi đa hóa lợi nhuận, và mưc câu cua thitrường băng mưc cung cua doanh nghiêp, tưc là: P = P(Q).

Trong trường hợp này π(Q) = TR(Q) − TC(Q) → max có hai biên nôi sinh P và Q

‐ Thông thường P là hàm nghich biên cua Q nên tồn tai hàm ngược Q = Q(P).Thưc chât, cả hai hàm P = P(Q) và Q = Q(P) đêu thể hiên cùng môt môi quan hê,

đó là quan hê giữa gia và mưc câu cua thi trường

+ Nêu biểu diễn quan hê này băng hàm Q = Q(P) thì hàm này goi là hàm câu (xuôi)

Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đôc quyên quyêt đinh gia là P thì mưc câu cua thitrường (cũng là mưc cung cua doanh nghiêp sẽ là Q(P)

+ Nêu biểu diễn quan hê này băng hàm P = P(Q) thì hàm này goi là hàm câu(ngược) Ý nghĩa: Nêu doanh nghiêp đôc quyên cung ưng cho thi trường mưc Q thìphải đinh gia là P mới cân băng mưc câu cua thi trường

‐ Doanh thu: TR = P(Q).Q

‐ Điêu kiên tôi ưu: P(Q) + QdQdP = MC(Q)

‐ Điêu kiên đu: �''(�) < 0 ⇔ MR' < MC'

3 Hàm hai biên và thi trường canh tranh hoàn hảo

‐ Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xuât Q = f(K, L) trong đó K là vôn và L là laođông; gia vôn là PK, gia lao đông là PL; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp là P.Hay xac đinh mưc sử dụng vôn và lao đông để đat lợi nhuận cao nhât

‐ Đôi với doanh nghiêp canh tranh hoàn hảo ta có bài toan:

π = PQ − (PKK + PLL) = P f(Q, L) − (PKK + PLL) → max

‐ Điêu kiên cân để hàm hai biên tôi ưu ta phải có: P MPK = PKvà P MPL = PL

4 Hàm hai biên và thi trường canh tranh đôc quyên

‐ Giả sử doanh nghiêp có hàm sản xuât Q = f(K, L) trong đó K là vôn và L là laođông; gia vôn là PK, gia lao đông là PL; gia ban sản phẩm cua doanh nghiêp là P.Hay xac đinh mưc sử dụng vôn và lao đông để đat lợi nhuận cao nhât

‐ Đôi với doanh nghiêp đôc quyên, bài toan sẽ có dang:

‐ Đôi với doanh nghiêp canh tranh hoàn hảo ta sẽ có:����∗ = �∗.

Câu 2 Cho 5 ví dụ là 5 bài tập cụ thể có cac nôi dung đa trình bày ở Câu 1, sau đó

giải chi tiêt cac bài tập đó

Ví dụ 1: Môt doanh nghiêp đôc quyên có hàm chi phí biên MC = 3Q2− 2Q − 700hàm doanh thu trung bình AR = 2000 – Q trong đó Q là mưc sản lượng cua hang.a) Hay xac đinh hàm tổng chi phí TC nêu chi phí cô đinh FC = 30; hàm doanhthu biên MR

b) Hay xac đinh mưc cung và gia ban cua hang

c) Phân tích tac đông cua FC đên sản lượng tôi ưu và mưc lợi nhuận tôi đa cuadoanh nghiêp

d) Tai FC = 30, nêu FC giảm 2% thì sản lượng tôi ưu và mưc lợi nhuận tôi đa cuahang sẽ biên đông như thê nào?

Bài làma) TC = MCdQ = Q3− Q2 − 700Q + 30

TR = AR Q = (2000 − Q) Q = 2000Q − Q2 suy ra MR = dTRdQ = 2000 − 2Qb) Điêu kiên cân để lợi nhuận đat tôi đa:

Lợi nhuận tôi ưu: �∗= (2000�∗− �∗ 2

) − (�∗ 3

− �∗ 2

− 700�∗+ ��)

Vì ����∗ =− 1 < 0 nên FC tac đông ngược chiêu đên lợi nhuận tôi đa

d) Chi phí cô đinh không tac đông đên sản lượng tôi ưu

����∗ =��� ��∗ ���∗ = ( − 1)53970 ≈− 0,0005.30

Như vậy, tai FC = 30, nêu FC giảm 2% thì lợi nhuận tôi đa tăng 0,001%

Ví dụ 2: Cho hàm sản xuât Y(t) = 0,2K0,4L0,8

Trong đó K = 120 + 0,1t; L = 300 + 0,3t

a) Tính hê sô co gian cua Y theo K và L

b) Tính hê sô tăng trưởng cua vôn K, lao đông L và Y

c) Hay cho biêt hiêu quả cua viêc tăng qui mô sản xuât trong trường hợp này

Bài làma) Ta có: Y = 0,2K0,4L0,8

c) Ta có: �� = ��/�+ ��/� = 0,4 + 0,8 = 1,2.

Vậy: Trong điêu kiên cac yêu tô khac không đổi, nêu K và L tăng lên 1% thì Y tănglên 1,2%

Ví dụ 3: Môt doanh nghiêp đôc quyên có hàm câu P = 70 – 3Q và hàm tổng chi phí

TC = Q3 − Q AD, trong đó Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cao

a) Với AD = 4, hay xac đinh mưc sản lượng và mưc gia ban tôi ưu cua doanh

nghiêp

b) Phân tích tac đông cua chi phí quảng cao đên sản lượng và mưc gia ban tôi ưu.c) Tai mưc AD = 4 nêu chi phí quảng cao tăng 2% thì mưc sản lượng tôi ưu vàmưc gia ban tôi ưu sẽ thay đổi thê nào?

Bài làma) Với AD = 4, TC = Q3 − 2Q

Điêu kiên cân để lợi nhuận đat tôi đa:

P'(Q)Q + P(Q) = MC hay ( − 3)Q + 70 − 3Q = 3Q2 − 2

Giải phương trình ta được Q = 4 Thử điêu kiên đu ta thây đây cũng là điêu kiên đucua mô hình tôi ưu

b) Goi sản lượng và gia ban tôi ưu lân lượt là �∗và �∗

�∗là nghiêm cua phương trình:

c) Theo câu b, ����∗ =�����∗ ���∗ =2 AD(6�1 ∗ +6).���∗

ưu tăng 0,0166% và mưc gia ban tôi ưu sẽ giảm 0,0034%

Ví dụ 4: Hàm sản xuât cua doanh nghiêp có dang Q = 25K0,5L0,5 trong đó Q: sảnlượng, K: vôn, L: lao đông Cho gia vôn �� = 12, gia lao đông �� = 3

a) Tính mưc sử dụng K, L để sản xuât sản lượng �0 = 1250 với chi phí nhỏ nhât.b) Nêu gia vôn và lao đông đêu tăng 10% với mưc sản lượng như trước, mưc sửdụng vôn, lao đông tôi ưu sẽ thay đổi như thê nào?

c) Tính hê sô co gian cua tổng chi phí theo sản lượng tai �0

d) Phân tích tac đông cua gia vôn, lao đông tới tổng chi phí

là nghiêm cua mô hình tôi ưu

b) Nêu gia vôn và gia lao đông đêu tăng cùng tỉ lê thì điêu kiên (*) và (**) khôngđổi do đó nghiêm tôi ưu không đổi

c) ���� = �� ��� =��

��' ×��� Thay sô liêu trong giả thiêt ta được: ���� = 1

d) Ta có:�����

�= �∗, �����

� = �∗

Nên gia vôn, gia lao đông tac đông cùng chiêu đên tổng chi phí

Ví dụ 5: Môt doanh nghiêp sản xuât hai mặt hàng với sản lượng Q1, Q2, ban trongthi trường canh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí là TC = 2Q12+ 3Q1Q2 + 3Q22.Gia cac mặt hàng là P1 = 20 và P2 = 30

a) Tìm cac mưc sản lượng để lợi nhuận doanh nghiêp đat tôi đa

b) Tai cac mưc sản lượng ở câu a), nêu tăng sản lượng cả hai mặt hàng thêm 5% thìchi phí biên đông như thê nào?

c) Giả sử nhà nước đanh thuê trên tổng doanh thu cua công ty với thuê suât là t (0 <

t < 1) Khi đó nêu doanh nghiêp vẫn duy trì mục tiêu lợi nhuận tôi đa thì sản lượngcua cac mặt hàng là bao nhiêu?

Bài làma) Ta có hàm lợi nhuận:

A < 0 nên tai QQ12 = 2= 4 lợi nhuận cua doanh nghiêp đat cưc đai

b) Ta có đô co gian cua hai mặt hàng đôi với chi phí:

Hàm lợi nhuận đat cưc đai: π' Q = 0 ⇔ 1 − t P − TC' = 0 ⇔ 1 − t P = MC.Với mặt hàng thư nhât với sản lượng Q1 và gia P1 ta có:

Phần II : Bài toán Quy hoạch tuyến tính (QHTT).

Câu 3 Trình bày ngăn gon nôi dung cua cac kiên thưc vê:

a) Bài toán Quy hoạch tuyến tính.

Mục đích giải: Quy hoach tuyên tính là môt bô phận cơ bản và có nhiêu ưng dụng

trong thưc tiễn cua tôi ưu hóa Giải bài toan quy hoach tuyên tính được hiểu là tìmđược dù chỉ môt phương an tôi ưu; hoặc là chưng tỏ trên tập phương an hàm mụctiêu không bi chặn, tưc là hàm mục tiêu có thể nhận gia tri nhỏ tùy y đôi với bàitoan dang min (hoặc lớn tùy y đôi với bài toan dang max)

Cac thuật toan giải bài toan quy hoach tuyên tính không những giúp giải quyêt cacbài toan quy hoach tuyên tính tổng quat cỡ lớn mà nó còn là điểm xuât phat quantrong trong viêc nghiên cưu ly thuyêt giải cac bài toan tôi ưu tổng quat

Khái niệm: Bài toan QHTT dang tổng quat với n ẩn là bài toan có dang:

f(x) = c1x1+ c2x2 + + cnxn → max (min) (1)

��1�1 + ��2�2 + + ����� ≥≤

= �� (� = 1,2, , �) (2)

�� ≥ 0≤ 0

�ù� ý , � = 1,2, , � (3)

Trong đó:

(1) được goi là hàm mục tiêu cua bài toan

(2) được goi là hê ràng buôc chính cua bài toan Môi phương trình hoặc bât phươngtrình trong (2) được goi là môt ràng buôc cua bài toan

(3) được goi là hê ràng buôc dâu cua bài toan

(2) và (3) được goi là hê ràng buôc cua bài toan

Các dang cua bai toán QHTT:

1 Bài toan quy hoach dang chính tăc:

Dang chính tăc cua bài toan quy hoach tuyên tính tổng quat là bài toan

Tìm vectơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rnsao cho:

f(x) = c1x1+ c2x2 + + cnxn → max (min)

��1�1 + ��2�2 + + ����� = ��(� = 1,2, , �)

�� ≥ 0, � = 1,2, , �

Nhận xét Bài toan QHTT dang chính tăc là bài toan QHTT dang tổng quat trong đó:

‐ Cac ràng buôc chính đêu là phương trình

‐ Cac ẩn đêu không âm

2 Bài toan quy hoach dang chuẩn tăc:

Dang chuẩn tăc cua bài toan quy hoach tuyên tính tổng quat là bài toan

Tìm vectơ x = (x1, x2, , xn) ∈ Rnsao cho:

f(x) = c1x1+ c2x2 + + cnxn → max (min)

��1�1 + ��2�2 + + ����� = ��(� = 1,2, , �)

�� ≥ 0, � = 1,2, , �

Trong đó:

‐ Cac hê sô tư do đêu không âm

‐ Trong ma trận hê sô tư do có đu m vector côt đơn vi: �1, �2, , ��

⋮0, , �� =

00

⋮1Khi đó:

‐ Cac ẩn ưng với cac vector côt đơn vi được goi là cac ẩn cơ bản Cụ thể ẩn ưngvới vector côt đơn vi �� là ẩn cơ bản thư k

‐ Môt phương an mà cac ẩn cơ bản đêu băng 0 được goi là phương an cơ bản

‐ Môt phương an cơ bản có đu m thành phân dương được goi là không suy biên.Ngược lai môt phương an cơ bản có ít hơn m thành phân dương goi là suy biên

Tính chât cua bai toán QHTT:

Định lý 1: (Dâu hiêu vê sư tồn tai phương an cơ bản) Nêu bài toan QHTT có

phương an và hang cua ma trận hê ràng buôc băng n thì nó sẽ có PACB Từ đó suy

ra bài toan QHTT dang chính tăc nêu có phương an thì sẽ có phương an cơ bản

Định lý 2: (Tính hữu han cua sô phương an cơ bản) Sô phương an cơ bản cua môt

bài toan QHTT là hữu han

Định lý 3: (Dâu hiêu tồn tai phương an tôi ưu) Nêu bài toan QHTT có phương an

và gia tri hàm mục tiêu bi chặn dưới (trên) trên tập phương an khi f(x) → min (max)thì bài toan có phương an tôi ưu

b) Bài toán đôi ngẫu và ưng dung của bài toán đôi ngẫu vào viêc giải bài toán QHTT.

Bai toán đối ngẫu vao việc giải bai toán QHTT:

Cho (P) là bài toan QHTT có dang chính tăc như sau:

f(x) = c x + c x + + c x → max (min)

Chú y Bài toan (D) được lập từ bài toan (P) theo nguyên tăc sau:

1 Sô ẩn cua bài toan (D) băng sô ràng buôc chính cua bài toan (P) và sô ràng buôcchính cua bài toan (D) băng sô ẩn cua bài toan (P)

2 Hê sô cua ẩn �� trong hàm mục tiêu cua bài toan (D) là sô hang tư do �� trong hêràng buôc chính cua bài toan (P)

3 Cac hê sô cua cac ẩn và hê sô tư do trong ràng buôc chính thư j cua bài toan (D)

là cac hê sô tương ưng cua ẩn �� trong hê ràng buôc chính và hàm mục tiêu cua bàitoan (P)

4 Nêu (P) là bài toan max thì (D) là bài toan min và hê ràng buôc chính cua bàitoan (D) là hê bât phương trình với dâu ≥ Nêu (P) là bài toan min thì (D) là bài toanmax và hê ràng buôc chính cua bài toan (D) là hê bât phương trình với dâu ≤

5 Cac ẩn cua bài toan (D) đêu có dâu tùy y

Cách lập bai toán đối ngẫu:

Bài toan đôi ngẫu được lập trưc tiêp theo quy tăc sau, goi là quy tăc đôi ngẫu