Tối ưu hóa cấu trúc cho tán sắc phẳng trong vùng tán sắc thông thường của sợi tinh thể quang tử với cấu trúc suspended được bơm đầy bởi nước nguyên chất cho sự phát siêu liên tục trong vùng giữa hồng ngoại

TỐI ƯU HÓA CẤU TRÚC CHO TÁN SẮC PHẲNG TRONG VÙNG TÁN SẮC THÔNG THƯỜNG CỦA SỢI TINH THỂ QUANG TỬ VỚI CẤU TRÚC SUSPENDED ĐƯỢC ƠM ĐẦY BỞI NƯỚC NGUYÊN CHẤT CHO SỰ PHÁT SIÊU LIÊN TỤC TRONG VÙ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Lê Văn Hiệu, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực chưa từng được công bố trong các công trình khoa học khác

Tác giả luận văn

Mai Đăng Ngọc

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại trường Đại học Hồng Đức, tôi đã nhận được sự dạy giỗ, hướng dẫn nhiệt tình, sự giúp đỡ quý báu của thầy cô giáo, gia đình cùng bạn bè

Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc đến thầy giáo TS Lê Văn Hiệu - Bộ môn Vật lý, Khoa khoa học Tự nhiên, Đại học Hồng Đức Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình giúp đỡ tôi

hoàn thành luận văn này

Nhân dịp này, tôi cũng xin cảm ơn Ph ng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức, lãnh đạo khoa KHTN, ộ môn Vật l và các thầy cô đang công tác tại trường đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn bên tôi, động viên tôi hoàn thành khóa học và bài luận văn này

Trân trọng cảm ơn!

h nh H ng y 10 tháng 6 năm 2020

Tác giả luận văn

Mai Đăng Ngọc

MỤC LỤC

MỤC LỤC……… iii

CHỮ VIẾT TẮT……… v

MANH MỤC BẢNG BIỂU……….vi

DANH MỤC HÌNH VẼ……… vii

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG Ố……… viii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG HỌC 4

1.1 Sự lan truyền tuyến tính trong sợi quang 4

1.2 Điều kiện đơn mode 7

1.3 Tán sắc vận tốc nhóm 8

1.4 Mất mát trong sợi quang 11

1.5 Sự lan truyền phi tuyến trong sợi quang 12

1.6 Sự phát siêu liên tục trong sợi tinh thể quang tử 17

1.7 Các hiệu ứng phi tuyến 18

1.7.1 Tự điều chế pha (SPM) 19

1.7.2 Trộn bốn sóng (FWM) 20

1.7.3 Điều chế chéo pha (XPM) 21

1.7.4 Tán xạ Raman 22

1.8 Phương pháp số (Phương pháp Slip-Step-Fourier) 23

Chương 2 TỐI ƯU HÓA CẤU TRÚC CHO TÁN SẮC PHẲNG TRONG VÙNG TÁN SẮC THÔNG THƯỜNG CỦA SỢI TINH THỂ QUANG TỬ VỚI CẤU TRÚC SUSPENDED ĐƯỢC ƠM ĐẦY BỞI NƯỚC NGUYÊN CHẤT CHO SỰ PHÁT SIÊU LIÊN TỤC TRONG VÙNG GIỮA HỒNG NGOẠI 26

2.1 Giới thiệu 26

2.2 Mô hình sợi tinh thể quang tử với cấu trúc suspended được lấp đầy bởi nước nguyên chất 29

2.3 Tối ưu hoá cấu trúc suspended cho tán sắc phẳng trong vùng tán sắc thông thường được bơm đầy bởi nước nguyên chất 31 2.4 Phát siêu liên tục trong vùng tán sắc thường của sợi tinh thể quang tử với cấu trúc suspended được lấp đầy bởi nước nguyên chất 34 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

CÁC CHỮ VIẾT TẮT

FWM: Trộn bốn sóng GVD: tán sắc vận tốc nhóm SG: Sự phát siêu liên tục SPM: Quá trình tự điều chế pha SSFM: Phương pháp tách - ghép SRS: Tán xạ Raman

XPM: Điều chế chéo pha

ZDW: Bước sóng tán sắc bằng không

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1 Tham số hình học của SCF với cấu trúc thực tế 30 Bảng 2.2 Tham số hình học của các thiết kế sợi tinh thể quang tử cấu trúc suspended đƣợc làm từ As2S3 32

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Mặt cắt ngang và mặt cắt chiết suất của sợi quang học loại index [16] 8 Hình 1.2 Các vùng tán sắc trong sợi tinh thể quang tử [16] 10 Hình 1.3 Tán sắc trong sợi quang đơn mode Tán sắc tổng (D), tán sắc vật liệu (DM) và tán sắc ống dẫn sóng (DW) [9] 11 Hình 1.4 Phổ mất mát đo được của sợi silica ở chế độ đơn mode 12 Hình 1.5 Mô phỏng số của quá trình phát siêu liên tục của sự mở rộng của phổ (a) và thời gian (b) trong vùng tán sắc dị thường [23] 18 Hình 1.6 Mô phỏng số của quá trình phát siêu liên tục của sự mở rộng của phổ (a) và theo thời gian (b) với bước sóng bơm 700 nm trong vùng tán sắc bình thường 19 Hình 2.1 (a) Mặt cắt ngang của sợi tinh thể quang tử cấu trúc suspended, (b)

step-mô phỏng số sự sắp xếp cường độ ánh sáng trong mode cơ bản của sợi # F5 tại bước sóng bơm 1920 nm 30 Hình 2.2 Đường cong tán sắc của sợi tinh thể quang tử cấu trúc suspended được lấp đầy bởi nước nguyên chất với các tham số cấu trúc khác nhau 32 Hình 2.3 Mô phỏng số đặc tính tán sắc của sợi #F5 với các lỗ khí và các lỗ khí được bơm đầy bởi nước nguyên chất 33 Hình 2.4 Diện tích hiệu dụng và hệ số phi tuyến của sợi tinh thể quang tử cấu trúc suspended với các lỗ khí được bơm đầy bởi nước nguyên chất 34 Hình 2.5 Phân bố cường độ phổ của xung đầu ra với các năng lượng bơm khác nhau 35 Hình 2.6 Mô phỏng số của phổ đầu ra (a) và tiến triển theo thời gian dọc theo chiều dài sợi tinh thể quang tử cấu trúc suspended được bơm đầy bởi nước nguyên chất 36

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ

1 Bien Chu Van, Mai Dang Ngoc, Van Cao Long, Hoang Nguyen Tuan And Hieu Le Van, “Simulation Study Of Mid-Infrared Supercontinuum Generation At Normal Dispersion Regime In Chalcogenide Suspended-Core

Fiber Infiltrated With Water”, Communications in Physics, Vol 30, No 2

(2020), pp 151-159 DOI:10.15625/0868-3166/30/2/14857

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Sự phát siêu liên tục trong sợi tinh thể quang tử đã thu hút được rất nhiều sự chú trong những năm gần đây bởi vì những đặc tính mới lạ và các ứng dụng quan trọng của nó trong nhiều lĩnh vực như thông tin quang, y học, quang phổ học, công nghệ y sinh [8], [19], [20] Phương pháp chung để tạo ra các nguồn phát siêu liên tục là sử dụng sợi tinh thể quang tử được chế tạo từ silica hoặc các thủy tinh mềm có độ phi tuyến cao Tuy nhiên, silica không trong suốt trong vùng giữa hồng ngoại, độ phi tuyến tương đối thấp vì vậy phổ được tạo ra từ sợi silica thường bị giới hạn trong vùng bước sóng nhìn thấy và vùng gần hồng ngoại [8],[24] Trong khi đó các vật liệu thủy tinh mềm có độ phi tuyến cao có thể cho phép ta quan sát được phổ trong vùng giữa hồng ngoại nhưng nó thường yêu cầu một hệ thống bơm phức tạp vì vậy giá thành cao

Để khắc phục những hạn chế này, trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp lấp đầy các lỗ khí của sợi tinh thể quang tử bằng chất lỏng có độ phi tuyến cao Mặc dù phương pháp này đang được các nhà khoa học trên thế giới sử dụng rộng rãi trong những năm gần đây [17], [18], [25] Tuy nhiên sự tối ưu hóa cấu trúc với các đặc tính băng thông rộng, độ kết hợp cao của phổ trong các vùng khác nhau vẫn là một thách thức thật sự với các nhà khoa học

Kết hợp giữa phương pháp l thuyết và mô phỏng, chúng tôi thiết kế và tối ưu hóa cấu trúc sợi tinh thể quang tử cho cấu trúc suspended được bơm đầy bởi nước nguyên chất trong lớp vỏ để thu được các đặc điểm như tán sắc phẳng, băng thông rộng và độ kết hợp cao của phổ cho các xung cực ngắn femto giây Những nguồn này được sử dụng rộng rãi trong y học, hay quang phổ học [8]

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu quá trình lan truyền sóng trong môi trường phi tuyến kiểu Kerr, tìm lời giải cho xung đầu ra trong quá trình phát siêu liên tục khi một

xung cực ngắn lan truyền trong sợi tinh thể quang tử

- Đề xuất được cấu trúc sợi tinh thể quang tử khi các lỗ khí được lấp đầy bởi nước nguyên chất với các đặc tính tán sắc phẳng, băng thông rộng, độ kết hợp cao của phổ trong vùng giữa hồng ngoại với các xung cực ngắn femto giây

3 Phương pháp nghiên cứu

- Để thiết kế và tối ưu hóa cấu trúc sợi tinh thể quang tử với lỗ khí được lấp đầy bởi nước nguyên chất với các đặc tính tán sắc phẳng, băng thông rộng, đầu tiên, chúng tôi sử dụng phương pháp mô phỏng bằng cách sử dụng phần mềm mô phỏng MODE Solution để thiết kế cấu trúc sợi tinh thể quang tử Tiếp theo đấy, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số cấu trúc lên các đặc tính của sợi tinh thể quang tử như tán sắc, diện tích hiệu dụng, độ mất mát, bằng cách sử dụng các tính toán số

- Để tìm lời giải cho xung đầu ra khi sóng lan truyền qua môi trường phi tuyến chúng tôi sử dụng phương pháp Slip-Step-Fourier kết hợp với các tính toán số để giải phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát

- ên cạnh đấy chúng tôi cũng sử dụng phương pháp mô hình hóa để mô

tả hình dạng xung đầu vào khi so sánh với xung đầu ra của sự phát siêu liên tục trong sợi tinh thể quang tử

4 Dự kiến kết quả đạt được

Đề xuất được cấu trúc suspended của sợi tinh thể quang tử được lấp đầy bởi nước nguyên chất với các đặc tính tán sắc phẳng, băng thông rộng, độ kết hợp cao của phổ trong vùng giữa hồng ngoại với các xung cực ngắn femto giây

5 Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận chung và tài liệu tham khảo, luận văn có hai chương gồm :

Chương 1: Sự lan truyền ánh sáng trong sợi quang học

Chương 2: Tối ưu hóa cấu trúc cho tán sắc phẳng trong vùng tán sắc thông thường của sợi tinh thể quang tử với cấu trúc suspended được bơm đầy bởi nước nguyên chất cho sự phát siêu liên tục trong vùng giữa hồng ngoại

Chương 1: SỰ LAN TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG SỢI QUANG HỌC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách tổng quát về lý thuyết lan truyền ánh sáng trong một môi trường điện môi Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, bằng các tính toán số chúng tôi đưa ra phương trình sóng mô

tả sự lan truyền với hai thành phần: lan truyền tuyến tính và lan truyền phi tuyến được mô tả bởi phương trình Schrödinger phi tuyến tổng quát Tiếp theo, chúng tôi sử dụng phương pháp Slip-Step-Fourier để tìm lời giải cho xung đầu ra khi mô tả quá trình phát siêu liên tục Các hiệu ứng phi tuyến chính xảy ra trong sợi quang, đặc biệt là trong sợi tinh thể quang tử cũng được chúng tôi đề cập đến Nội dung của chương này được chúng tôi trình bày dựa

trên tài liệu tham khảo [10]

1.1 Sự lan truyền tuyến tính trong sợi quang

Sự lan truyền của sóng điện từ trong môi trường điện môi được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell:

t

B E

B

(1.4) Với: H B M

ta cũng giả sử rằng môi trường được tạo bởi các vật liệu không có tính chất

từ, khi đó M

= 0

Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, giải phương trình (1.1) bằng cách sử dụng các phương trình (1.2), (1.5), (1.6) chúng ta thu được phương trình sóng điện từ mô tả sự lan truyền ánh sáng trong sợi quang:

2

2 0 2

2 2

) , ( )

, ( 1 ) , (

t

t r P t

t r E c t r E

Trong trường hợp tổng quát, độ phân cực điện phụ thuộc vào điện

trường, khi đó chúng ta có thể khai triển độ phân cực P theo dãy Taylor dưới dạng:

( ) (E  0 E (2)E E (3)E E E

Với e là độ cảm điện môi của môi trường, (i)

là tenxơ độ cảm phi tuyến bậc

i Trong môi trường đồng chất, do tính chất đối xứng P( E) P(E)

, (r t 0 (1) t t E r t dt

3 2 1 3 2

1 3

1 1 ) 3 (

trình (1.7) với giả sửPNL  0

Để thuận tiện, phương trình (1.7) được biểu diễn lại dưới dạng:

0 ) , (

~ ) ( ) , (

~ 1 ) (  (1) 

trong đó ~(1)(  ) là biến đổi Fourier của (1)(t) Thành phần thực và thành phần ảo của nó có thể biểu diễn thông qua chiết suất n () và hệ số hấp thụ )

( 

 bởi công thức:

2

) 2 /

Từ các phương trình (1.13) và (1.14), chúng ta thu được:

~ ( )Re

2

1 1 ) (    (1) 

~ ( )Im

) (   (1) 



nc

trong đó Re và Im là viết tắt tương ứng của phần thực và phần ảo

Để đơn giản, khi giải phương trình (1.11), chúng ta thay thế ( ) bằng

~

2

2 2

c n

~ 1

~

2 0 2 2 2 2 2 2 2

E E

Trong trường hợp của sợi quang học, dựa vào nguyên lý chồng chất của sóng, nghiệm của phương trình (1.19) theo hướng z được biểu diễn dưới dạng:

) exp(

) exp(

) ( ) ( ) , (

~

z i im

F A r

trong đó A là hằng số chuẩn hóa và β là hằng số lan truyền được xác định bởi:

 2 2 1 / 2

0 2

) ( )

( )

m là một số nguyên và F(  ) là nghiệm của phương trình:

0 1

2

2 2 2 0 2 2

F d

trong đó n = n1 khi  a và n = n2 khi  a (với a là bán kính của sợi)

Như vậy, phương trình (1.18) mô tả sự lan truyền tuyến tính trong sợi

có thể được viết lại:

0

~ ) (

1.2 Điều kiện đơn mode

Cấu trúc sợi quang học cổ điển bao gồm hai phần chính: phần lõi ở trung tâm và phần lớp vỏ bao quanh Trong đó, lớp vỏ có chiết suất (n2) bé hơn so với chiết suất của lõi (n1) Loại sợi này thường được biết đến như loại sợi chiết suất bậc (Step-Index) để phân biệt chúng với sợi chiết suất biến đổi

là loại sợi có chiết suất của lõi giảm dần từ tâm ra đến biên giới hạn lõi – vỏ

Hình 1.1 biểu diễn sơ đồ mặt cắt ngang và mặt cắt chiết suất của sợi loại step-index

Trong trường hợp này, độ chênh lệch chiết suất tương đối giữa lõi và lớp vỏ được biểu diễn:

2

2 1

Một tham số quan trọng khác được gọi là tham số chuẩn hóa V, mô tả

số lượng mode lan truyền trong sợi quang học và được xác định bởi:

2 / 1 2 2 2 1

0a.(n n )

k

trong k0  2  / , a là bán kính lõi và  là bước sóng ánh sáng

Các giá trị của V tại các mode khác nhau có thể thu được bằng cách giải

phương trình trị riêng (1.25) Các kết quả đã chỉ ra rằng, để sợi làm việc ở chế

độ đơn mode thì tham số V tại bước sóng bơm phải có giá trị nhỏ hơn hoặc

bằng 2.045 (V c  2 405)

1.3 Tán sắc vận tốc nhóm

Tán sắc là một đặc tính vật l quan trọng của sự lan truyền ánh sáng trong sợi quang Đó là hiện tượng méo tín hiệu khi lan truyền trong sợi quang Nguyên nhân của hiện tượng này là do sự khác nhau về vận tốc lan truyền của các thành phần trong xung đầu vào Với các tần số khác nhau, chúng cần một thời gian khác nhau để lan truyền, điều này dẫn tới sự khác nhau của thời gian

trễ Trong sợi đơn mode, sự phụ thuộc của bước sóng vào hằng số lan truyền )

2

1 ) (

) ( ) (      0  1   0  2   0 2 

Các tham số 1 và 2 liên quan đến chiết suất n và các dẫn xuất của nó thông qua mối liên hệ:

) (

1 1



d

dn n

c c

n v g g

(

1

2 2



d

n d d

GVD là sự thay đổi của vận tốc nhóm theo tần số Điều này vô cùng quan trọng để tạo ra hai vùng tán sắc khác nhau Đối với 2> 0 thì thu được chế độ tán sắc bình thường, trong trường hợp này thành phần màu đỏ dịch chuyển nhanh hơn thành phần màu xanh Trong trường hợp ngược lại, vùng bước sóng ứng với 2 < 0 được gọi là chế độ tán sắc dị thường ước sóng ứng với 2= 0 được gọi là bước sóng tán sắc bằng không (ZDW)

Một định nghĩa khác về GVD cũng được sử dụng để mô tả sự tán sắc của sợi:

2

2 2

c d

d

Trong đó  là bước sóng, neff là chiết suất hiệu dụng được xác định bởi công thức (1.32)

Hình 1.2 Các vùng tán sắc trong sợi tinh thể quang tử [16]

D được gọi là hệ số tán sắc và có đơn vị là ps/nm/km, nó cho biết mức độ dãn

xung ánh sáng khi lan truyền tính trên một đơn vị độ rộng phổ và trên một đơn vị chiều dài sợi D có thể được viết dưới dạng tổng của hai thành phần được biểu diễn dưới dạng (hình 1.3):

DM được gọi là tán sắc vật liệu và được xác định bởi công thức :

2 2 2

dn d

n d d

dn c d

n dV

d V d

với n2g là chiết suất nhóm của lớp vỏ, V là tần số chuẩn hóa được cho bởi

phương trình (1.25),  được cho bởi phương trình (1.26) và

2 1

2 0

/

n n

n k b





 

Hình 1.3 Tán sắc trong sợi quang đơn mode Tán sắc tổng (D), tán sắc vật

liệu (DM) và tán sắc ống dẫn sóng (DW) [9]

1.4 Mất mát trong sợi quang

Mất mát trong sợi quang là một trong những đặc tính quan trọng của sợi quang ảnh hưởng đến thiết kế hệ thống thông tin quang vì nó xác định khoảng cách truyền dẫn tối đa giữa bộ phát quang và bộ thu quang hoặc bộ khuyếch đại quang trên đường truyền

Khi ánh sáng lan truyền trong sợi quang, công suất sẽ giảm dần dạng

hàm mũ theo khoảng cách Nếu P(0) là công suất quang được bơm ở đầu vào (tại z = 0) trong sợi quang có chiều dài L, công suất lan truyền PT được xác định bởi

) exp(

) 0

P

P L

T dB

trong đó L là khoảng cách dọc theo sợi và PT / P0 là tỷ lệ của công suất đầu ra

so với công suất đầu vào

Hình 1.4 Phổ mất mát đo được của sợi silica ở chế độ đơn mode

Hình 1.4 mô tả độ mất mát của sợi silica Sợi này có mất mát nhỏ nhất bằng 0.2dB/km ở bước sóng 1.55 µm Mất mát cao hơn ở các bước sóng ngắn hơn

và nó đạt mức vài dB/km trong vùng ánh sáng nhìn thấy

1.5 Sự lan truyền phi tuyến trong sợi quang

Trong trường hợp điện từ mạnh, chúng ta không thể giả sử PNL=0 Từ bây giờ chúng ta sẽ xem xét đến ảnh hưởng phi tuyến lên sự lan truyền sóng Xuất phát từ phương trình sóng (1.7) và sử dụng các phương trình (1.9), (1.18), nó có thể được viết dưới dạng [21]:

2

2 0 2

2 0 2 2 2

t

P t

P t

E c

của trường từ hàm bao biến đổi chậm bởi gần đúng biến đổi chậm; thứ ba, trường điện từ lan truyền dọc theo trục xác định

Bằng các điều kiện trên, giả sử bỏ qua mất mát Không mất tính tổng quát, xét điện trường lan truyền dọc theo trục x, khi đó trường điện có thể được viết dưới dạng:

.]

) exp(

) , ( [ ˆ 2

1 ) , (r t E r t i 0t c c

.]

) exp(

) , ( [ ˆ 2

1 ) , (r t P r t i 0t c c

.]

) exp(

) , ( [ ˆ 2

1 ) , (r t P r t i 0t c c

r E

dt t t i t

r E t t t

r P

xx

xx L

] ) (

exp[

) ,

(

~ ) ( 2

' )]

' ( exp[

) ' , ( ) ( )

, (

0 0

' ) 1 ( 0

0 '

) 1 ( 0

) , ( )

, ( ) , ( 4

3

0 2

3

P NL   xxxx     NL  (1.41) trong đó đóng góp phi tuyến vào hằng số điện môi được định nghĩa:

2 3

) , ( 4

3

t r E xxxx NL

0

~ ) (

~ n n E

0 ) 2

~

~ (ni  k

 trong các biểu thức (1.42) và (1.45) khi đó chiết suất phi tuyến n2 và hệ số hấp thụ hai photon 2 được biểu diễn dưới dạng:

) ,

(

~ ) , ( ) ,

(

~

0 0

r

trong đó A~(z,  )là hàm thay đổi chậm của z, 0 là hằng số lan truyền và F(x,

y) là phân bố theo không gian Phương trình (1.42) dẫn đến hai phương trình

dưới đây cho F(x, y) và A~(z,  ):

 ( ) 02 ~2 0

2 2 2

y

F x

0

~ )

~ (

n n n n

2

~

k

i E n

x F

dxdx y

x F n k

2

2 0

) , (

) , (

1 ) , (r t F x y A z t i 0z 0t c c

) (

~



  xấp xỉ bằng )

~

(

2 0   0

Hằng số lan truyền β phụ thuộc vào tần số Việc mở rộng  (  ) trong chuỗi Taylor về dạng sóng mang của tần số 0 theo phương trình (1.26)

Ý nghĩa vật l của phương trình (1.56) cho ta thấy mỗi thành phần quang phổ trong đường bao xung thu được, cường độ của sự dịch chuyển pha ảnh hưởng vào cả tần số và cường độ Khi đó biến đổi Fourier ngược của phương trình (1.56) có thể được thực hiện để có được phương trình lan truyền

2

1 ) ,

Trong phép biến đổi Fourier, bằng cách thay thế thành phần  0 bởi toán tử vi phân i(  / t) chúng tôi thu được phương trình của A(z, t):

A i t

A k

i t

A

k

k

k k

A A i t

A k

i A

2 1

x F

dxdy y

x F

A eff

4

2 2

) , (

) )

, (

Phương trình (1.59) được sử dụng để mô tả sự lan truyền trong các sợi đơn mode Nó thường được đề cập dưới dạng phương trình Schrödinger phi