Nghi¶N cøu v• topologic tr¶n c¡c không gian, làm rª hơn młi li¶n h» giœa c¡c topo tr¶n c¡c không gian, đặc bi»t đłi với c¡c không gian định chun và ti•n hilbert

Không gian tôpô tuyến tính là cấu trúc kết hợp giữa hai học phầnnày, ở đó cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất về khônggian topologic tuyến tính; Không gian liên hợp và các

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luậnvăn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Lê Thị Hạnh

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn,tác giả xin chânthành cảm ơn các thầy cô trường Đại học Hồng Đức, nơi tác giả đã hoànthành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình và tâm huyết củacác thầy, cô

Đặc biệt,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Đỗ Văn Lợi,người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình để tác giả có thể hoànthành luận văn này

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đãgiúp đỡ và chia sẻ với tác giả trong suốt thời gian học tập và hoàn thànhluận văn của mình

Thanh Hóa, tháng 08 năm 2015

Lê Thị Hạnh

Mục lục

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian tôpô 5

1.3 Các tiên đề tách 7

1.4 Không gian định chuẩn 8

1.5 Ánh xạ đẳng cấu 8

2 KHÔNG GIAN LIÊN HỢP VÀ CÁC TOPOLOGIC LIÊN QUAN 9 2.1 Trường hợp tổng quát 9

2.1.1 Không gian liên hợp của không gian topologic tuyến tính 9

2.1.2 Vài vấn đề liên quan đến không gian liên hợp thứ hai 15 2.1.3 Bài tập 17

2.2 Trường hợp các không gian định chuẩn và tiền -Hilbert 20

2.2.1 Không gian liên hợp của không gian định chuẩn 20

2.2.2 Không gian liên hợp của không gian Hilbert và tiền Hilbert 27

2.2.3 Bài tập 31

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính mà trọng tâm là không gian véc tơ và ánh xạ tuyếntính, cùng với không gian tôpô là hai trong số nhiều học phần trong chươngtrình đào tạo cử nhân ngành toán trong hệ thống giáo dục Việt Nam Cáckiến thức về không gian tôpô mang tính trừu tượng cao và là kiến thứcnền của nhiều môn khoa học Ánh xạ tuyến tính nói riêng và toán tử nóichung chiếm thời lượng lớn trong chương trình đào tạo cử nhân ngànhtoán Không gian tôpô tuyến tính là cấu trúc kết hợp giữa hai học phầnnày, ở đó cung cấp cho người đọc những kiến thức cơ bản nhất về khônggian topologic tuyến tính; Không gian liên hợp và các tôpô liên quan; Toán

tử tuyến tính liên tục giữa các không gian tôpô, cũng như một vài ứngdụng của chúng Nghiên cứu về không gian liên hợp và các topologic liênquan là cần thiết đối với học viên cao học toán nói chung và cao học toángiải tích nói riêng Đề tài này nhắc lại một số các kiến thức về topologictrên các không gian, làm rõ hơn mối liên hệ giữa các tôpô trên các khônggian, đặc biệt đối với các không gian định chuẩn và tiền Hilbert Một sốcác tính chất đặc trưng của chúng

Nội dung chính của luận văn bao gồm hai chương:

Chương 1.Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số các khái niệm, định lý cầnthiết để nghiên cứu nội dung chính

Chương 2 Không gian liên hợp và các topologic liên quan

Trong chương này chúng tôi trình bày không gian liên hợp và tương

quan giữa các topologic liên quan đến không gian liên hợp.Chứng minhmột số kết quả mở rộng, đưa ra một số bài tập và lời giải.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu về topologic trên các không gian, làm rõ hơn mốiliên hệ giữa các topo trên các không gian, đặc biệt đối với các không gianđịnh chuẩn và tiền Hilbert Một số các tính chất đặc trưng của chúng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu : Không gian topologic tuyến tính X, khônggian liên hợp của X, không gian liên hợp của không gian định chuẩn,không gian liên hợp của không gian Hilbert và tiền Hilbert, topologictrên các không gian, mối liên hệ giữa chúng

• Phạm vi nghiên cứu : Mối liên hệ giữa các không gian, mối tươngquan giữa các topologic trên các không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp chính được sử dụng trong quá trình nghiên cứu là tổnghợp các kiến thức từ các tài liệu khác nhau, đặc biệt tài liệu tham khảochính vẫn là tài liệu [1] (Đỗ Văn Lợi, (2014), Bài giảng không gian vectotopo, ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa, 185tr) Từ đó phân tích, so sánh đểlàm sáng tỏ vấn đề, rồi trình bày theo hệ thống logic của mình trên cơ sở

có sự định hướng, gợi mở của thầy hướng dẫn

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 ([3])Giả sử X là tập hợp tùy ý Khoảng cách d trong

X là một ánh xạ d: X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện

1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d)- được gọi là không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 ([3])Cho X là không gian metric, a ∈ X, r > 0 ta gọiHình cầu mở tâm a, bán kính r là tập S(a; r) = {x ∈ X : d(a, x) < r}

Hình cầu đóng tâm a, bán kính r là tập S[a; r] = {x ∈ X : d(a, x) ≤ r}

Định nghĩa 1.1.3 ([3]) Cho A ⊂ X, x ∈ X

- x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại hình cầu mở S(x, r) ⊂ A

- A được gọi là tập mở nếu mọi x ∈ A đều là điểm trong của A

- A được gọi là tập đóng nếu X\A là tập mở

- A được gọi là tập lồi nếu với mỗi t ∈ [0; 1] thì tA + (1 − t)A ⊂ A

- A được gọi là tập cân nếu với mỗi t mà |t| ≤ 1 thì tA ⊂ A

- Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất chứa A.Kí hiệu là convA

Dễ thấy convA = T

{K ⊂ E : K ⊃ A, Klồi}

- A được gọi là bị chặn nếu với mỗi lân cận U của 0 đều tồn tại α > 0

sao cho với mọi λ : |λ| > α ta có A ⊂ λU.

- Bao đóng của A, kí hiệu là A, dễ thấy A = A ∪ ∂A, trong đó ∂A là tậptất cả các điểm biên A

Định nghĩa 1.1.4 ([3]) G được gọi là lân cận của x nếu G mở chứa x Nhận xét - Điều kiện cần và đủ để tập A ⊂ X là lân cận của x ∈ X

là x là điểm trong của A

Định nghĩa 1.1.6 ([3]) Giả sử X là không gian metric A, B ⊂ X

A được gọi là trù mật trong B nếu B ⊂ A

A được gọi là trù mật khắp nơi trong X nếu A = X

Tập con A được gọi là không đâu trù mật nếu

0

A = Ø

Định nghĩa 1.1.7 ([3])Không gian mêtric X được gọi là khả ly nếu tồntại tập A ⊂ X,A đếm được và A = X

Định nghĩa 1.1.8 ([3]) Dãy điểm xn trong không gian mêtric Xđược gọi

là dãy Côsi (dãy cơ bản) nếu với mọi số ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho

∀m, n ≥ n0 ta có d(xn, xm) < ε hay lim

Chú ý Mọi dãy hội tụ đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.1.9 ([3])Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọidãy Côsi trong X đều hội tụ (có giới hạn trong X)

Định nghĩa 1.1.12 Tập A ⊂ X được gọi là compac nếu mọi dãy {xn} ⊂

A đều chứa một dãy con {xnk} ⊂ {xn} hội tụ đến một điểm thuộc A.Chú ý Tập compact là tập đóng, điều ngược lại không đúng

1.2 Không gian tôpô.

Định nghĩa 1.2.1 ([3])Cho X là một tập hợp khác Ø.Một họ τ các tậpcon của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất1) X ∈ τ và Ø ∈ τ,

2) τ đóng kín đối với phép lấy giao hữu hạn,tức là

Khi đó, cặp (X, τ ) (hay bản thân tập hợp X) là không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.2 ([3]) Mỗi tậpA ∈ τ được gọi là một tập hợp mở Phần

bù của tập hợp mở gọi là tập đóng

Nhận xét : Ø, τ là các tập hợp vừa đóng vừa mở

Định nghĩa 1.2.3 ([3])Điểm a là điểm trong của của tập hợp A nếu tồntại B mở sao cho a ∈ B ⊂ A Tập hợp mọi điểm trong của tập hợp A

được gọi là miền trong của A, kí hiệu là Int(A)

b) Điểm a được gọi là điểm ngoài của tập hợp A nếu nó là điểm trong của

Ac = X \ A Tập hợp mọi điểm ngoài của tập hợp A được gọi là miềnngoài của A, kí hiệu là Ext(A).

c) Điểm a được gọi là điểm biên của tập hợp A nếu nó không phải là điểmtrong cũng không phải là điểm ngoài của A Tập hợp mọi điểm biên củatập hợp A được gọi là biên của A và ký hiệu là ∂A

d) Bao đóng của tập hợp A kí hiệu là A và A = A ∪ ∂A, trong đó ∂A làtập các điểm biên của tập A

e) Điểm a được gọi là điểm tụ của tập hợp A nếu mỗi lân cận của điểm a

đều chứa vô số điểm khác nhau của A

Định nghĩa 1.2.4 ([3]) Cho không gian topologic ( X, τ) Họ con σ

(không chứa Ø) của τ được gọi là cơ sở của τ hoặc của không gian

( X, τ ), nếu mỗi tập hợp A ∈ τ đều có dạng hợp của một số tập hợp thuộc

σ, nghĩa là A = S

i∈I

Ui, Ui ∈ σ, I là tập hợp các chỉ số

Mệnh đề 1.2.5 ([3]) Cho σ là họ nào đó các tập hợp con của tập hợp

X (Ø không thuộc σ) Khi đó σ là cơ sở của một topologic nào đó trên X

khi và chỉ khi nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:

a) Mỗi phần tử a ∈ X đều thuộc ít nhất một tập hợp A ∈ σ

b) Nếu A1, A2 ∈ σ và a ∈ A1 ∩ A2 thì tồn tại A3 ∈ σ sao cho

a ∈ A3 ⊂ A1 ∩ A2

Định nghĩa 1.2.6 ([3]) Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, tập V ⊂ X

được gọi là lân cận của x nếu x ∈ V ∈ τ

Họ ϑ = {V : V là các lân cận của x ∈ X} gọi là cơ sở lân cận của x nếuvới mọi lân cận Ucủa x tồn tại V ∈ ϑ sao cho x ∈ V ⊂ U

Định nghĩa 1.2.7 ([3]) Dãy điểm {xn} hội tụ tới điểm a hay a là giớihạn của dãy {xn} (trong không gian topologic (X, τ )) và viết là: xn −→ a

hay limxn = a, nếu với mỗi lân cận U của điểm a đều tồn tại số nguyêndương n0 sao cho với mọi n ≥ n0 thì xn ∈ U

Khi trên X có topologic khác nữa thì sự hội tụ theo τ, kí hiệu là: xn −→

Định nghĩa 1.2.8 ([3]) Tập A trù mật trong tập B nếu B ⊂

−

A.Nếu A trù mật trong không gian X thì ta nói A trù mật khắp nơi

Nhận xét : Khi đã có một cơ sở σ của topologic τ thì để chứng minh

xn −→ a, ta chỉ cần chứng minh với mỗi U ∈ σ đều tồn tại n0 sao cho

∀n ≥ n0 đều có xn ∈ U

Định nghĩa 1.2.9 ([3]) Không gian topologic (X, τ ) được gọi là khả lynếu có một tập hợp con đếm được trù mật khắp nơi

Định nghĩa 1.2.10 ([3]) Cho f là ánh xạ từ không gian topologic (X, τ )

vào không gian topologic (Y, θ) Ta nói f liên tục tại điểm a ∈ X nếu vớimỗi lân cận V của điểm b = f (a) ∈ Y đều tồn tại lân cận U của điểm a

sao cho f (U ) ⊂ V

Ánh xạ liên tục tại mọi điểm được gọi là liên tục trên X

Khi f là song ánh, f và f−1 cùng liên tục thì ta nói f là đồng phôi Định lý 1.2.11 ([3]) a) Nếu (X, τ ) có một cơ sở đếm được thì nó làkhông gian khả ly

b) Đối với không gian metric thì tính khả ly tương đương với sự tồn tại cơ

sở đếm được

1.3 Các tiên đề tách.

Định nghĩa 1.3.1 ([4]) a)Ta nói không gian (X, τ )thỏa mãn tiên đề táchthứ nhất hay (X, τ ) làT1- không gian, nếu với 2 điểm tùy ý khác nhau trong

X đều tồn tại một lân cận chứa điểm này mà không chứa điểm kia

b) Ta nói không gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ hai hay (X, τ ) là

T2 - không gian, nếu với 2 điểm tùy ý khác nhau a, b trong X đều tồn tạilân cận U của a và lân cận V của b sao cho U ∩ V = Ø Ta còn gọi (X, τ )

là không gian Hausdorff

c) Ta nói không gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ ba, hay (X, τ ) là

T3 - không gian, nếu với mỗi điểm a ∈ X và tập hợp đóng A 6= Ø khôngchứa a đều tồn tại các tập mở U, V sao cho a ∈ U, A ⊂ V, U ∩ V = Ø.(Khi đó ta nói U, V là các lân cận không giao nhau của a và A)

d) Ta nói không gian (X, τ ) thỏa mãn tiên đề tách thứ tư, hay (X, τ ) là

T4 - không gian, nếu hai tập hợp đóng khác rỗng không giao nhau trong X

luôn có hai lân cận tương ứng không giao nhau

e) Không gian thỏa mãn T1 và T3 được gọi là không gian chính quy

f) Không gian thỏa mãn T1 và T4 được gọi là không gian chuẩn tắc

1.4 Không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.4.1 ([1]) Không gian tuyến tính X được gọi là không gianđịnh chuẩn, nếu được xét cùng với một ánh xạ ν : X −→ R+ biến mỗi

x ∈ X thành số thực không âm ν(x) = ||x|| thỏa mãn các điều kiện sau:1) ||x|| = 0 ⇔ x = 0

2) ||αx|| = |α| ||x||, ∀α ∈ R, x ∈ X

3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (Bất đẳng thức tam giác)

Khi đó ánh xạ ν được gọi hàm định chuẩn hay gọi là chuẩn trên X

Số ||x|| được gọi là chuẩn hay độ lớn của phần tử x

Khi đó (X, ||.||) là không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn là không gian metric với khoảng cách

d(x, y) = ||x − y||

Không gian định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach

Nhận xét: Nếu (X, ||.||) là không gian định chuẩn thì mọi không giancon tuyến tính Y của nó đều là không gian định chuẩn (với chuẩn thu hẹp

từ X lên Y.) Nếu (X, ||.||) là không gian Banach thì mọi không gian conđóng của nó đều là không gian Banach

Không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với : ||x|| = √< x, x >

1.5 Ánh xạ đẳng cấu

Ánh xạ f từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y (Vớichuẩn cùng được ký hiệu là ||.||) được gọi là đẳng cấu nếu nó là song ánhtuyến tính và bảo toàn chuẩn (||f (x)|| = ||x||, ∀x ∈ X)

Chương 2

KHÔNG GIAN LIÊN HỢP VÀ

CÁC TOPOLOGIC LIÊN QUAN.

Ký hiệu X∗ là tập hợp mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên khônggian topologic tuyến tính X Khi đó X∗ là không gian tuyến tính với phépcộng:

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

và phép nhân phiếm hàm với số:

(αf ) (x) = αf (x)

Ta gọi X∗ là không gian liên hợp của X

Với mỗi tập A 6= Ø và bị chặn trong X và với mỗi số ε > 0, đặt tập hợp:

U (A, ε) = {f ∈ X∗ : |f (x)| < ε, ∀x ∈ A} (2.1)

Ký hiệu σ0∗ là hệ gồm mọi tập hợp dạng (2.1)

Định lý 2.1.1 ([1]) Với mỗi phiếm hàm tuyến tính f trên không giantopologic X, các điều kiện sau là tương đương:

1) f liên tục

2) Kerf đóng

3) Kerf không trù mật khắp nơi

4) Tồn tại lân cận U của 0 sao cho tập hợp f (U ) bị chặn (trong R).Chứng minh a) Từ 1) =⇒ 2) hiển nhiên vì {0} đóng trong R và nghịchảnh của tập đóng qua ánh xạ liên tục cũng là tập đóng

Cách khác: Lấy x ∈ Kerf Khi đó,tồn tại {xn} ⊂ kerf sao cho xn → x

Do f liên tục nên f (xn) = 0 → f (x) = 0 Vậy x ∈ kerf

Vậy kerf = Kerf

b) Từ 2) =⇒ 3) Lấy a ∈ X \ kerf khi đó có ít nhất một lân cận V của 0

sao cho (a + V ) ∩ kerf = Ø nên kerf không trù mật trong X

c) Từ 3) =⇒ 4) Giả sử kerf không trù mật khắp nơi Khi đó có ít nhấtmột lân cận V của 0 (V luôn chứa một lân cận cân bằng U của 0) sao cho

Lấy {xn} hội tụ tới 0 Với mỗi k nguyên dương, chọn nk sao choxnk ∈ 1kU.Khi đó ta có f (xnk) ∈ f (1kU ) ⊂ (−Rk;Rk) nên f (xnk) → 0 = f (0)

Dễ thấy f (xn) → f (0), (n → ∞) Vậy f liên tục

Định lý 2.1.2 ([1])Tồn tại duy nhất một topologic tuyến tính τ∗ trên X∗,trong đó σ0∗ là cơ sở lân cận của 0 (phiếm hàm 0)

Chứng minh Ở đây chỉ chứng tỏ τ∗ thỏa mãn tiên đề T1 Giả sử ϕ ∈

X∗, ϕ 6= 0 Khi đó sẽ tồn tại a ∈ X : ϕ(a) 6= 0

Với A = {a} và ε = ||ϕ(a)|| thì lân cận :

U (A, ε) = {f ∈ X∗ : |f (x) < ε| , ∀x ∈ A} = {f ∈ X∗ : |f (a)| < ε}

của phiếm hàm 0 không chứa ϕ, từ đó suy ra sự thỏa mãn tiên đề T1

Định nghĩa 2.1.3 τ∗ được gọi là topologic mạnh trên X∗

Với τ∗ bản thân X∗ có không gian liên hợp của nó, ký hiệu là : X∗∗.Bây giờ , với mỗi bộ f1, f1, , fn ∈ X∗ và mỗi số ε > 0, xét tập hợp :

U (f1, f2, , fn; ε) = {x ∈ X : |fi(x)| < ε, i = 1, , n} (2.2)

Ký hiệu: σ00 là hệ gồm mọi tập hợp dạng (2.2) (Với những n nguyên dươngkhác nhau)

Định lý 2.1.4 Tồn tại duy nhất một topologic tuyến tính τw trên X, trong

đó σ00 là cơ sở lân cận của 0

0 Suy ra có tô pô yếu nhất τw trên

X (duy nhất) để họ trên là cơ sở của các điểm, đồng thời tô pô này tươngthích với phép toán của X

Định nghĩa 2.1.5 Topologic τw được gọi là topologic yếu trên X Sự hội

tụ theo τw trên X được gọi là hội tụ yếu Kí hiệu: xn −→

Chứng minh Chỉ cần chứng minh rằng xn →

w 0 khi và chỉ khi với mỗi

f ∈ X∗ đều có: f (xn) → 0

Điều kiện cần : Giả sử xn →

w 0 Khi đó, với mỗi U (f1, f2, , fk; ε) đều tồntại N sao cho khi n ≥ N thì xn ∈ U (f1, f2, , fk; ε) Đặc biệt với mỗi

Ta cần chứng minh mỗi tập mở trong τw cũng là tập mở trong τ Vì mỗi

f ∈ X∗ là liên tục nên mỗi tập hợp dạng{x ∈ X : |fi(x)| < ε}là mở trong

X theo topologic mạnh (cho ban đầu) Do đó, tập hợp dạng (2.2):

Giả sửf ∈ X∗.LấyB 6= Ømở trong R vàa ∈ f−1(B)khi đób = f (a) ∈ B

và tồn tại ε > 0 sao cho (b − ε; b + ε) ⊂ B

Xét U (f ; ε) Đây là tập hợp dạng (2.2)

Lấy x ∈ a + U (f ; ε) khi đó |f (x − a)| < ε hay f (x) ∈ (b − ε; b + ε)

Vậy a + U (f ; ε) là lân cận của a và bao hàm trong f−1(B)

Như vậy f−1(B) mở; từ đó suy ra tính liên tục của f Do đó mọi phiếm

hàm tuyến tính thuộc X∗ đều liên tục theo τw, tức là : Xw∗ ⊃ X∗.Vậy Xw∗ = X∗

(ii) Vì X và Xw có cùng không gian liên hợp nên có cùng hệ cơ sở lân cậncủa 0 gồm các tập hợp dạng (2.2), và vì vậy :(Xw)w = Xw

Định lý 2.1.9 Tập hợp A ⊂ X bị chặn yếu (tức là bị chặn trong Xw) khi

và chỉ khi với mỗi f ∈ X∗ đều có f (A) bị chặn trong R

Chứng minh Thuận: Giả sửA 6= Ø, bị chặn Khi đó,với mỗi tập hợp dạng

(2.2), và do đó với mỗi U (f ; ε), đều có A ⊂ λU (f ; ε) với λ > 0 đủ lớn.Như vậy A ⊂ λ {x ∈ X : |f (x)| < ε} = {y ∈ X : |f (y)| < λε} Do đó, với

x ∈ A thì |f (x)| < λε Nghĩa là f (A) ⊂ (−λε; λε) tức f (A) bị chặn.Đảo : mọi f ∈ X∗, f (A) bị chặn Lấy V là lân cận của 0 theo tô pôyếu, khi đó có u1, , uk ∈ X∗, ε > 0 : W (u1, , uk; ε) ⊂ V Theo giả thiết

ui(A), i = 1, , k bị chặn,∃ M > 0 : sup {|ui(x)| : x ∈ A, i = 1, , k} ≤ M

Suy ra Mε A ∈ W (u1, , uk; ε) Vậy A bị chặn yếu

Định lý 2.1.10 Trong không gian vô hạn chiều X mỗi lân cận yếu của

0 đều chứa một không gian con vô hạn chiều

Chứng minh Mỗi lân cận của 0 đều chứa những tập hợp dạng:

∃f ∈ X∗, α ∈ R : f (a) < α ≤ f (x), ∀x ∈ C (2.3)

Chứng minh Lấy lân cận U của 0 sao cho (a + U ) ∩ C = Ø.

Tồn tại lân cận lồi cân V sao cho V + V ⊂ U

Khi đó, V + C lồi và mở, đồng thời (a + V ) ∩ (V + C) = Ø

Vớib ∈ V +C,thìW = −b+V +C là lân cận lồi của0,(a−b+V )∩W = Ø

Xét phiếm hàm µW như sau :

µW(x) = inf {r > 0 : x ∈ rW }

( µW nói chung không phải phiếm hàm Minkowski vì W không đối xứng)

Ký hiệuY là không gian con sinh bởia−b(6= 0),tức làY = {λ(a − b), λ ∈ R},xác định phiếm hàm f1 trên Y bởi công thức:

f1(λ(a − b)) = λµW(a − b) (2.4)

Rõ ràng f1(y) ≤ µW(y), ∀y ∈ Y, tức là f1 là phiếm hàm tuyến tính bịchặn bởi µW trên Y Thác triển phiếm hàm này lên toàn bộ X sao chođiều kiện chặn không bị vi phạm (và vẫn giữ nguyên ký hiệu f1 ), ta được

f1 liên tục (do µW liên tục và do(2.4) )

Cũng từ (2.4) ta có µW(x) ≤ 1khi và chỉ khi |f1(x)| ≤ 1 Chú ý rằng khi

λđủ gần với 1 và nhỏ hơn 1 thì λ(a−b) ∈ a−b+V trong khiλ(a−b) 6∈ W,

trong đó Clw(A) ký hiệu phép lấy bao đóng theo topologia yếu

b) Nếu A là tập hợp lồi trong không gian topologic tuyến tính X (lồi cục

Chứng minh a) Lấy x ∈ Cl(A) ⇒ ∃ {xn} ⊂ A : xn −→ x Lấy V là lâncận của 0 theo tô pô yếu, khi đó :

V ⊃ W (f1, , fn; ε) = {x ∈ X, fi ∈ X∗ : |fi(x)| < ε, i = 1, 2, , n}

Do đó, tồn tại n0 đủ lớn để với mọi n ≥ n0 ta có

Fi, nhưng điều này có nghĩa là Clw(A) = Cl(A)

b) (i) Lấy a∈Cl(A) Áp dụng Định lý (2.1.11), ta có f ∈ X∗ và α ∈ R

sao cho: f (a) < α ≤ f (x), ∀x ∈ Cl(A)

Xét V = {x ∈ X : f (x) ≤ α} Đây là tập hợp mở theo τw, đồng thời chứa

a và không giao nhau với f (Cl(A)), nên cũng không giao nhau với f (A).Vậy a∈Clw(A) Từ đó suy ra Clw(A) ⊂ Cl(A)

Mặt khác theo a) ta được Clw(A) ⊃ Cl(A).Vậy Clw(A) = Cl(A)

Nhận xét: Nếu {xn} là dãy điểm trong A (nhớ rằng A lồi và X lồi cụcbộ) và xn −→

w a (không nhất thiết thuộc A) thì trong X cũng tồn tại dãy



x0n sao cho x0n −→

2.1.2 Vài vấn đề liên quan đến không gian liên hợp thứ hai

Nhận xét: X∗ là không gian topologic tuyến tính với topologic mạnh τ∗

(ứng với sự hội tụ mạnh) nên cũng có không gian liên hợp X∗∗

Ngoài ra, trong định nghĩa 2.1.5 , X được thay bởi X∗, ta cũng có trên

X∗ một topologic yếu τw∗ và tương ứng là sự hội tụ yếu; đó là topologicxác định bởi cơ sở lân cận σ00∗ của 0 ∈ X∗ gồm mọi tập hợp dạng:

U (f1∗, , fn∗; ε) = {f ∈ X∗ : |fi∗(f )| < ε, i = 1, , n} , (f1∗, , fn∗ ∈ X∗∗)

(2.5)Định nghĩa 2.1.13 Ta nói trên không gian X có đủ nhiều các phiếmhàm tuyến tính liên tục, nếu với mỗi x 6= 0 ∈ X đều tồn tại một phiếmhàm tuyến tính liên tục ϕ : ϕ (a) 6= 0

Định lý 2.1.14 a) Giả sử ánh xạ Φ xác định bởi: với x ∈ X thì ảnh của

nó là phiếm hàm tuyến tính Φx trên X∗ cho bởi công thức Φx(f ) = f (x)

Khi đó với mỗi x ∈ X thì Φx ∈ X∗∗, tức Φx là phiếm hàm tuyến tính liêntục trên X∗

b) Nếu trên X có đủ nhiều phiếm hàm tuyến tính liên tục thì:

Tiếp theo, giả sử fn →

f (x) 6= f (x0) , tức là Φ(x0)(f ) 6= Φ(x)(f )

Từ đây suy ra Φ(x0) 6= Φ(x) hay Φ là đơn ánh

Định nghĩa 2.1.15 Topologic τw∗ gọi là topologia dưới yếu, và sự hội tụtương ứng gọi là hội tụ dưới yếu (còn gọi là hội tụ ∗yếu) Nếu dãy {fn}

hội tụ dưới yếu tới f ta viết: fn →

w ∗ f

Định lý 2.1.16 (Điều kiện hội tụ dưới yếu)

fn →

w ∗ f khi và chỉ khi fn(x) → f (x), ∀x ∈ X

Đây là phiếm hàm tuyến tính vì ∀x, y ∈ C[0, 1], ∀α, β ∈ R ta có

f (αx + βy) = (αx + βy)(1) = αx(1) + βy(1) = αf (x) + βf (y)

a) Ta chứng tỏ f không liên tục tại 0 (hàm đồng nhất bằng 0)

Với mỗi n nguyên dương, xét hàm: xn(t) = tn

0 Khi đó dãy {xn(t)} hội tụ đều theo t tới hàm 0, nên

nó hội tụ tại t=1, tức là f (xn) → 0 Vậy phiếm hàm tuyến tính f liên tục.c) Ở đây xn → 0 có nghĩa là: xn(t) → 0, ∀t ∈ [0; 1]

Khi đó xn(1) → 0 hay f (xn) → 0 Vậy f liên tục

Bài tập 2.1.18 Cho X là không gian tuyến tính (chưa có topologic), X0

là một không gian con của không gian mọi phiếm hàm tuyến tính trên X