Khảo sát dao động của một sợi dây hữu hạn thông qua một số bài tập trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành vật lý

Trong bộ môn phương pháp Toán - Lý có sự giao thoa giữa toán và vật lý, do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm,

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Nguyễn Thị Ngọc- người cô đã luôn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt thời gian thực hiện luận văn

Em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giáo Bộ môn vật lý Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức đã giảng dạy suốt bốn năm qua

cung cấp cho em những kiến thức bổ ích

Cuối cùng xin cảm ơn sự quan tâm, động viên của gia đình, bạn bè trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh hóa , tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Phạm Thị Lê

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Giả thiết khoa học 2

5.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

6 Nội dung nghiên cứu 2

7 Phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN NỘI DUNG 4

Chương 1 LÝ THUYẾT 4

1.1 Lý thuyết phương trình vi phân, đại cương về các phương trình vật lý toán cơ bản 4

1.2 Lập phương trình dao động của dây 6

1.2.1 Bài toán 6

1.3 Khảo sát dao động tự do của sợi dây hữu hạn 8

1.3.1 Bài toán 8

1.3.2 Giải quyết bài toán 8

1.4 Xét ý nghĩa của nghiệm trong bài toán dao động tự do 12

1.5 Khảo sát dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn 13

1.5.1 Bài toán 13

1.5.2 Giải quyết bài toán 14

1.6 Khảo sát dao động tự do của sợi dây dài vô hạn – Bài toán Cauchy 18

1.6.1 Bài toán 18

1.6.2 Giải quyết bài toán 18

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP 20

2.1 Bài tập minh họa 20

2.2 Một số bài tập áp dụng 35

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết Vật lý học sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh nhiều ngành toán học mới Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết

Trong bộ môn phương pháp Toán - Lý có sự giao thoa giữa toán và vật

lý, do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên, khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để nghiên cứu vật lý

Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực học, Vật lý thống kê Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật Lý - Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này Việc giải một bài tập đòi hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ ở phần bài toán dao động của sợi dây

Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương pháp Toán - Lý là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động của sợi dây Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể

Đó là lý do tôi chọn đề tài: “Khảo sát dao động của một sợi dây hữu hạn

thông qua một số bài tập trong chương trình toán cho vật lý dành cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nắm được lý thuyết của phương trình vi phân

- Xây dựng phương pháp giải các bài tập phần dao động của sợi dây

- Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động của sợi dây cho sinh viên trong quá trình học tập học phần môn phương pháp Toán - Lý

- Giúp mở rộng kiến thức của bản thân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu và đưa ra cơ sở lý thuyết của các phương pháp để giải bài toán dao động của sợi dây

- Đưa ra hệ thống bài tập giải mẫu, bài tập tự giải có hướng dẫn và đáp số

về phần dao động của sợi dây

4 Giả thiết khoa học

Nếu áp dụng phương pháp phù hợp để giải, các bài tập trở nên đơn giản, dễ nhớ Từ đó giúp cho việc học tập trở nên nhẹ nhàng và đạt kết quả cao hơn

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Xét sợi dây có lực căng T với giả thiết sợi dây là đàn hồi, dao động là nhỏ để có thể bỏ qua sự tăng chiều dài của sợi dây, lực căng T là như nhau ở mọi tiết diện trong suốt quá trình dao động

- Phạm vi nghiên cứu: Trong trường hợp sợi dây là hữu hạn hoặc vô hạn

6 Nội dung nghiên cứu

- Lý thuyết về phương trình vi phân , đại cương về các phương trình vật lý toán cơ bản

- Lập phương trình dao động của sợi dây

- Khảo sát dao động tự do của sợi dây hữu hạn, một số bài tập về dao động

tự do của sợi dây dài hữu hạn

- Khảo sát dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn, một số bài tập về dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

- Khảo sát dao động tự do của sợi dây vô hạn – Bài toán Cauchy, một số bài tập về dao động của sợi dây dài vô hạn

7 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm tài liệu

- Nghiên cứu kỹ lý thuyết và từ đó đưa ra phương pháp giải ứng với từng bài tập cụ thể về dao động của sợi dây

PHẦN NỘI DUNG Chương 1 LÝ THUYẾT 1.1 Lý thuyết phương trình vi phân, đại cương về các phương trình vật lý toán cơ bản

Các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng, trong đó chứa hàm chưa biết (hàm nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập

Phương trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và đạo hàm riêng của nó

Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập:

trình (1.1) trong miền ấy về dạng:

) , (

1 1 1

1 2 2 2

2

G u F

u E

u D u u

2

u u

Nghĩa là D1 = E1 = F1 = G1 = 0

trình (1.1) trong miền ấy về dạng:

) , (

2 2 2

2 2 2 2

2

G u F

u E

u D u u

Phương trình này gọi là phương trình loại Hypebolic Dạng đơn giản nhất của phương trình này là phương trình dao động của dây

) , (

2 2 2 2

2

G u u

Nghĩa là D2 = E2 = F2 = 0

trình (1.1) trong miền ấy về dạng:

) , (

3 3 3

3 2

2

G u F

u E

u D

3 3

2

2

G

u E

x

u a

2

y

u x

u

Nhiều bài toán vật lý và kỹ thuật dẫn đến các phương trình này nên người

ta gọi chúng là những phương trình vật lý – toán cơ bản

Các phương trình (1.8), (1.9), (1.10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng

Các phương trình (1.8), (1.9) xuất hiện khi các quá trình là không dừng (biến đổi theo thời gian t) Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng không gian

x hữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt trong thanh hữu hạn) thì ta có hai loại điều kiện phụ sau:

a) Điều kiện ban đầu: cho biết trạng thái lúc t = 0

b) Điều kiện biên: cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian

Bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện ban đầu gọi là bài toán hỗn hợp

Nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn - < x < + thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu, bài toán này gọi là bài toán Cauchy

Phương trình (1.10) không chứa thời gian, cả hai biến x, y đều là biến số không gian Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng Để xác định nghiệm ta chỉ cần các điều kiện biên, bài toán này gọi là bài toán biên

Nghiệm của bài toán đặt ra phụ thuộc liên tục vào điều kiện biên và điều kiện ban đầu Các bài toán được thiết lập sao cho nghiệm của nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ

1.2 Lập phương trình dao động của dây

1.2.2 Giải quyết bài toán

Giả sử tại thời điểm t có dạng (hình vẽ)

Giả thiết dây đàn hồi, dao động của y là nhỏ,coi

chiều dài của dây không đổi, lực căng dây như nhau

trong suốt quá trình dao động Xét M1M2 có tọa độ

x1, x2 tương ứng Mỗi điểm trên sợi dây được mô tả

bởi hàm u = u(x, t)

Các lực tác dụng lên sợi dây: Lực căng T, trọng

u

T1 M1

Hình 1.1

* Lực căng dây tác dụng lên M1:

* Lực căng dây tác dụng lên M2:

Lực căng dây tác dụng lên M1M2 là:

u T x

u x

x u

2

1 1 2

2

2

) (

x

x

u

t x g dx

u

u m a m

1

2 2 2

2

).

, (

u dx dx

t x g dx

x

u

T

0 ) , (

2

1

2 2 2

2

dx t

u t

x g x

2

) , (

.

t

u t

2 2

2

t x g x

u T

Phương trình (1.16) gọi là phương trình mô tả dao động của dây với hệ số

là hằng số có vế phải Đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng hạng 2

Nếu không có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) = 0 thì (1.16) gọi là phương trình vi phân mô tả dao động tự do của dây

Nếu có ngoại lực tác dụng lên dây g(x, t) # 0 thì (1.16) gọi là phương trình

vi phân mô tả dao động cưỡng bức của dây

1.3 Khảo sát dao động tự do của sợi dây hữu hạn

1.3.1 Bài toán

Xét một sợi dây hữu hạn có chiều dài l, chiếm đoạn (0, l) trên trục x khi cân bằng, dây dao động tự do được gắn chặt ở hai đầu x = 0 và x = l thỏa mãn hai điều kiện:

* Điều kiện biên:

u

) (

0

'

x F u

t

t

Tìm hàm u = u(x, t)

1.3.2 Giải quyết bài toán

Vì dao động của dây là dao động tự do nên hàm u = u(x, t) mô tả dao động các điểm trên sợi dây là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai:

0

2

2 2 2

2

x

u a

t

u

(1.17) (Với: 0 x l, t > 0) Trong đó hàm u = u(x, t) thỏa mãn 2 điều kiện:

* Điều kiện biên:

u

t (1.19)

) (

0

'

x F u

t

t

(1.20)

Để giải phương trình (1.17) ta sử dụng phương pháp tách biến Furie:

u(x, t) = X(x).T(t)

'' ''

' '

'' '' ' '

.

;

.

;

T X T

X

T X T

X

u u

u u

tt t

xx x

Thay vào (1.17) ta được:

0 T '' a2X ''T

X (1.21)

Vì hàm u = u(x, t) 0 Chia cả hai vế của phương trình (1.17) cho a2XT ta được:

c X

cT a T

cX X

2 ''

''

* Giải phương trình:

0 '' cX

X (1.22.1) Với điều kiện:

< 0 Trường hợp 3: c = 2

= 0

Do trường hợp 1 và trường hợp 3 xuất hiện nghiệm tầm thường chỉ đúng với nghiệm toán học nên lấy c = - 2 để đảm bảo nghiệm duy nhất và liên tục Phương trình (1.22.1) có nghiệm tổng quát: X(x) = Acos x + Bsin x

Áp dụng điều kiện biên ta có:

0 0

1 0

; 0

k B x

X k( ) ksin

2 2

l

k c

0

2 ''

T l

a k T

Phương trình có nghiệm:

t l

a k D t l

a k C

k t l

a k b t l

a k

a kcos ksin sin

Với ak = BkCk; bk = BkDk

Nghiệm tổng quát của phương trình (1.17) ban đầu là tổ hợp chồng chập của tất cả nghiệm riêng:

) , ( )

,

(

1

t x u t

x

u

k k

x l

k t l

a k b t l

a k a

) (

1

l

k a x

f u

k k t

Nhân cả 2 vế với sink’ x/l, sau đó lấy tích phân theo x từ 0 l ta được:

xdx l

k x f xdx l

k x l

k a

l l

( sin

sin

Áp dụng điều kiện trực chuẩn của hệ hàm sin ta có:

' '

0

'

0

2 sin

sin

k khik

k khik l xdx l

k x l

k

l

k xdx

l

k x

l

a

0

sin ).

(

2

) ( sin

)

(

1 0

'

x F xdx l

k l

a k b x

F

u

k k t

k

b

0

sin ) ( 2

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình:

0 , 0

2 sin ,

0

0

0 ' 0 0

"

2

"

t l x

x l u

u

u u

u a u

t t t

l x x

xx tt

Từ các điều kiện trên ta tìm được:

t l

a k D t l

a k C

t

T

l

x k A

x

X

k k

k

k

k

sin cos

sin

Và nghiệm riêng có dạng:

x l

k t l

a k b t l

a k a t T x X

t

x

Nghiệm tổng quát tương ứng:

x l

k t l

a k b t l

a k a t

x u

Với ak, bk được xác định từ điều kiện ban đầu:

l b

a k k

2 ,

0

Vậy nghiệm của bài toán đã cho là:

x l l

at a

1.4 Xét ý nghĩa của nghiệm trong bài toán dao động tự do

Hàm u(x, t) mô tả dao động của sợi dây có dạng:

x l

k t l

a k b t l

a k a t

k t l

a k b t l

a k a t

k t l

a k b a

b t

l

a k b a

a b

a

k k k k

k

k k

2 2 2

2 2 2

x l

k t

l

a k b

a k2 k2 sin sin

t A

t l

a k

k

x l

k b a

a k A

k b a

A(x) k2 k2 sin

* Với k = 1, ta có:

t l

a A

t

x

u1( , ) 1(x)sin

x b

a

A1(x) 12 12 sin

Vị trí các nút được xác định khi A1(x) = 0

lk x k l

x l

,

0

(

2 1 2 2

1 2 1

sin

l x

l

x

l k x k

l

x l

x

b

* Với k = 2, ta có:

t l

a A

2

l

x l

x

Vị trí các bụng được xác định khi A2(x) đạt cực đại

4 ,

0

4 1 2 2

1 2 1

2

sin

l x

l

x

l k x k

l

x l

x

b

Xét tương tự với các trường hợp k = 3, 4, 5,…

1.5 Khảo sát dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

Tìm hàm u = u(x, t)

1.5.2 Giải quyết bài toán

Vì dao động của dây là dao động cưỡng bức nên hàm u = u(x, t) mô tả dao động các điểm trên sợi dây là nghiệm của phương trình vi phân cấp hai:

t x g x

u a

t

u

, 2

2 2 2

2

(1.23) Trong đó hàm u = u(x, t) thỏa mãn 2 điều kiện:

* Điều kiện biên:

u

t (1.25)

) (

0

'

x F u

k

sin

1 (1.27) Bởi mỗi sóng đứng uk đều thỏa mãn điều kiện biên (1.24) nên hàm u thỏa mãn các điều kiện biên này Nếu thay thế bằng chuỗi (1.27) vào phương trình (1.23), ta có phương trình

t x g l

x k t

T l

a k t T u

x k t

k

1

Khi đó ta có đồng nhất thức

1 1

2

"

sin sin

k k k

k k

l

x k t l

x k t

T l

a k t

T

Từ đó rút ra

t t

T l

a k t

2

2 2 2

"

(1.26) ( với k = 1,2,3,…), trong đó vế phải là hàm đã biết

Đối với các hàm chưa biết Tk(t), ta nhận được phương trinh vi phân thông thường, tuyến tính hạng 2 có hệ số bằng hằng số mà ta có thể giải dễ dàng Các điều kiện ban đầu của phương trình (1.26) có thể rút ra từ điều kiện ban đầu

) ( sin

u

k k t

t

và

) ( sin

0

0

' 0

'

x f l

x k T

u

k k t

t

Từ đó rút ra

l

k k

l

k k

b d l

k F

l

T

a d l

k f

l T

0 '

0

sin 2

sin

2 0

(1.27) Bây giờ hàm Tk(t) có thể hoàn toàn xác định từ phương trình (1.26) và các điều kiện (1.27)

Thay kết quả vào vào u(x,t) ta nhận được nghiệm của bài toán

Ví dụ 2

Cho thanh đàn hồi (0 x l)được treo thẳng đứng với đầu trên x = 0 gắn chặt, còn một đầu được thả tự do và cho rằng tại t = 0 vận tốc dịch chuyển của thanh là vo Tìm dao động dọc của thanh

Phương trình dao động của thanh có dạng:

) , (

"

2

"

t x g u

' 0

, 0

0 ,

0

v W

W

W

t t t

l x x x

(2) Nghiệm của hàm W(x,t) có dạng:

1 2 sin 2

1 2 sin 2

1 2 cos ,

k

k k

l

x k l

at k

b l

at k

a t

x

W

Theo điều kiện ban đầu ta có:

a k

lv dx

l

x k a

k

v b

t

t

k t

2 2 0 0

0 0

0

,

0

1 2

8 2

1 2 sin )

1 2 ( 4

0 0

0

2 2

0

2

1 2 sin 2

1 2 sin ) 1 2 (

1 8

,

x k l

at k

k a

lv t

x

W

Giải hàm V(x,t) thỏa mãn hệ phương trình:

0 ,

0

0 ,

0

0

0 ,

t

l x x

2

1 2 sin

0 2

1 2 sin ,

k k

l

x k t

T t

k k tt

l

x k t

T t

"

2

1 2 sin 4

1 2 ,

k

k xx

l

x k t

T l

k t

x

V

Thay vào hệ (3) và xét các điều kiện ta có:

0 0 0

V

0 0

0

"

k t

V

1 2 sin

k k

l

x k t

g

l k

k

g dx

l

x k l

g t

4 2

1 2 sin 2

0 0

2

"

2

1 2 sin 1 2

4 2

1 2 sin 2

1 2

k k

k k

l

x k k

g l

x k t

T l

a k t

T

1 2

4 2

T l

a k t

(4)

l

at k

R l

at k

Q P t

T k

2

1 2 sin 2

1 2 cosTrong đó: P,Q và R là các hệ số được xác định từ điều kiện ban đầu

0 0

0

0 0

0

'

R T

P Q Q

P T

k

k

Thay biểu thức Tk(t) vào (4) thì

2 3 3 2

1 2

16

a k

gl P

Vậy hàm Tk(t) có dạng:

l

at k

a k

gl t

T k

2

1 2 cos 1 1

2

16

2 3 3 2

Nghiệm V(x,t) có dạng:

3 2

3 2 3

3 3

2

2

1 2 sin 2

1 2 cos 1 2

1 16

2

1 2 sin ) 1 2 (

1 16

,

x k l

at k

k a

gl x

l

k k

a

gl t

x

V

1.6 Khảo sát dao động tự do của sợi dây dài vô hạn – Bài toán Cauchy

1.6.1 Bài toán

Xét một sợi dây dài vô hạn xác định trên toàn bộ trục số (- < x < + ) Tại thời điểm t = 0, sợi dây có một hình dạng ban đầu nào đó và mỗi điểm trên sợi dây được truyền một vận tốc ban đầu Sau đó sợi dây tự dao động (chuyển động của dây là chuyển động tự do), hàm f(x); F(x) xác định trên toàn bộ trục

số Tìm hàm u(x, t) mô tả dao động các điểm trên sợi dây

1.6.2 Giải quyết bài toán

Vì dây dao động tự do nên hàm u(x, t) mô tả dao động các điểm trên sợi dây là nghiệm của phương trình:

0

'' 2

u t

(1.29)

) (

0

'

x F u

t (1.30)

Để giải phương trình (1.28) ta đổi biến số như sau:

at x

at x

Khi đó hàm u(x, t) u( , ) Lấy đạo hàm theo x, t như sau:

) , (

x

u x

u

x

u

x x

x x

u x x

u

.

) , (

2

2

u u u

u

1 1

2

2 2

2

u u a

t

u

x x

t t

u t t

u

.

) , (

2 2

2

2 2

2

u a

(1.32) Thay (1.31), (1.32) vào (1.28) ta có:

0 0

4 4

2 2 2

2 2

2 2 2

a

u a

u a x

u a

t

u

d u

d u

) ( )

(

) (

0 0

Nghiệm của phương trình (1.28) có dạng:

) ( ) ( )

( )

( )

,

u

Chuyển về biến số cũ ta có:

u(x, t) = 1.(x – at) + 1.(x + at)

Nhận xét: Ta thấy nếu coi hai hàm 1, 1 là hai sóng nào đó thì nghiệm của bài toán là kết quả của việc chồng chập của hai sóng

* Một sóng 1.(x – at) là sóng truyền từ trái sang phải với vận tốc truyền a

là sóng thuận

* Một sóng 1.(x + at) là sóng truyền từ phải sang trái với vận tốc truyền a

là sóng nghịch

Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP

2.1 Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm dao động của sợi dây được gắn chặt tại x = 0 và x = l, nếu dạng

của sợi dây ban đầu là cung parabol f(x), và vận tốc ban đầu bằng 0 Với:

0 )

(

) ( )

f

Giải

Vì dao động cưỡng bức bao gồm dao động tự do kèm với dao động cưỡng

bức trong đó dao động cưỡng bức quy định biên độ của dao động tự do

v a s

v tt xx Trong đó: S(x,t) mô tả dao động cưỡng bức thỏa mãn

) , (

"

2

"

t x g s

gl

s x l

2 1

2a gl c