Kiến thức chuẩn bị
Một số tính chất trong không gian Hilbert
Trong không gian Hilbert thực H, với mọi tập lồi, đóng, không rỗng C, ứng với mỗi điểm x thuộc H, tồn tại duy nhất một điểm gần x nhất thuộc C Toán tử chiếu P_C ánh xạ mỗi x thuộc H đến phần tử duy nhất gần x nhất trong C, đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hình chiếu của một điểm lên tập lồi đóng trong không gian Hilbert.
Từ định nghĩa ta có kx−P C xk ≤ kx−yk ∀y∈C. Để thấy rõ hơn tính chất "hình học" của phép chiếu ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.2 Giả sử C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H vàx∈H Khi đó:z=P C x⇔ hx−z,z−yi ≥0;∀y∈C.
Chứng minh Thật vậy, lấy y∈C tùy ý và đặty t =z+t(y−z), với 0 \liminf_{n \to \infty} \|x_n - x_0\|\$ với \$x \neq x_0\$.
Dãy hội tụ yếu bị chặn, do đó giới hạn trên là hữu hạn Để chứng minh bất đẳng thức, ta sử dụng đẳng thức \$||x_n - x||^2 = ||x_n - x_0 + x_0 - x||^2\$.
=kx n −x 0 k 2 +kx 0 −xk 2 +2hx n −x 0 ,x 0 −xi.
Số hạng cuối cùng dần tới0khin−→∞nên ta có điều phải chứng minh.
Một số cấu trúc hình học trong không gian Banach
nach Định nghĩa 1.2.1 Không gian Banach (X,k.k) được gọi là lồi chặt nếu với mọix,y∈X thỏa mãn kxk kyk kx−yk
0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x,y ∈ X, kxk ≤ 1, ||y| | ≤ 1, kx−yk>ε ta có x+y 2
Nhận xét 1.2.3 Rõ ràng không gianX lồi đều thì X lồi chặt.
Ví dụ 1.2.4 - Không gian R 2 với chuẩn kxk 2 q x 2 1 +x 2 2 là không gian lồi đều.
- Không gianR 2 với chuẩnkxk 1 =kx 1 k+kx 2 khoặc chuẩnkxk ∞ =max(|x 1 |,|x 2 |) là các không gian không lồi đều (ở đâyx= (x 1 ,x 2 )).
Mọi không gian Hilbert đều có tính lồi đều, một đặc tính quan trọng trong giải tích hàm Để định lượng mức độ lồi của hình cầu đơn vị, khái niệm môđun lồi được đưa ra Môđun lồi của không gian Banach X, ký hiệu là \$\delta_X\$, là một hàm số đặc trưng cho tính chất hình học của không gian đó.
Trong không gian Banach X, với mọi x, y thuộc X thỏa mãn \$\|x\| \le 1\$, \$\|y\| \le 1\$, và \$\|x-y\| \ge \varepsilon\$, đặc trưng lồi \$\varepsilon_0\$ của X, ký hiệu là \$\varepsilon_0(X)\$, được định nghĩa là cận trên đúng của tập hợp các \$\varepsilon\$ thuộc đoạn [0,2] sao cho hàm \$\delta_X(\varepsilon) = 0\$ \$\varepsilon_0\$ biểu thị độ dài lớn nhất của đoạn thẳng nằm trên mặt cầu đơn vị.
Nhận xét 1.2.7 - Không gian Banach X là lồi đều khi và chỉ khi δX(ε)>0 với mọi ε >0.
- Không gian BanachX là lồi đều khi và chỉ khiε 0 (X) =0.
Sau đây, ta có mối liên hệ giữa không gian lồi chặt và môđun lồi.
Tính chất 1.2.8 Không gian BanachX lồi chặt khi và chỉ khiδX(2) =1.
Chứng minh Giả sửX là lồi chặt vàkxk ≤1,kyk ≤1,kx−yk ≥ 2.
Dokx−yk ≤ kxk+k−yk ≤2nên kx−yk=2và kxk=k−yk=1.
=1vàX là lồi chặt nên ta có x=−y Suy ra x+y
Ngược lại, giả sử δX(2) =1 và x,y∈ X thỏa mãn kxk= kyk x+y 2
≤1−δX(kx−(−y)k) =1−δX(2). Vậyx=yhay X là lồi chặt.
Khái niệm tập cấu trúc chuẩn tắc, được giới thiệu bởi Brodskii và Milman vào năm 1948, định nghĩa một tập con D của không gian Banach X là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mọi tập con lồi, đóng, bị chặn H của nó với diam(H) > 0 đều chứa một điểm x ∈ H sao cho r_x(H) < diam(H), trong đó diam(H) là đường kính của tập H.
Nhận xét 1.2.10 Mọi tập hợp compact trong không gian Banach đều có cấu trúc chuẩn tắc.
Điểm bất động của ánh xạ không giãn
Định nghĩa 1.3.1 ChoClà một tập con không rỗng trong không gian Banach
E Ánh xạT :C −→E được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu tồn tạiδ ≥0sao cho kT x−Tyk ≤ δkx−yk ∀x,y∈C.
Nếuδ ∈[0,1) thì T được gọi là co.
Nếuδ =1thì T được gọi là không giãn.
Trong không gian Hilbert H, ký hiệu F(T) đại diện cho tập các điểm bất động của toán tử T, tức là tập hợp các điểm x sao cho T(x) = x Toán tử T: H → H được gọi là firmly-không giãn nếu thỏa mãn điều kiện \$$kT(x) - T(y)k^2 ≤ hx - y, T(x) - T(y)i\$$ với mọi x, y thuộc C.
Nhận xét 1.3.3 Ánh xạT là firmly - không giãn thì T là ánh xạ không giãn.
Trong không gian Hilbert H, nếu C là tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng, cùng với ánh xạ không giãn T: C → C, thì tập các điểm bất động F(T) là không rỗng Một tập lồi, đóng, bị chặn C trong không gian Banach E có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn nếu mọi ánh xạ không giãn T: C → C đều có điểm bất động Không gian E có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn khi mọi tập lồi, đóng, bị chặn của E đều có tính chất điểm bất động này Tính chất lồi của tập C là yếu tố then chốt để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động.
Trong không gian \$\mathbb{R}^2\$, xét đường tròn đơn vị \$C\$ và phép quay \$T\$ quanh tâm của \$C\$ với góc quay \$\alpha\$ (0 < \$\alpha\$ < 2\$\pi\$) Mặc dù \$C\$ là tập compact và \$T\$ là ánh xạ không giãn, nhưng \$T\$ không có điểm bất động Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động trên tập lồi, bị chặn, các tính chất hình học trong không gian Banach \$X\$ là cần thiết.
Ví dụ 1.3.8 Một tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach không đảm bảo có tính chất điểm bất động đối với ánh xạ không giãn.
Chứng minh Thật vậy, choc 0 là không gian các dãy số hội tụ về 0với chuẩn kxk=sup n
Cho x = (x n ) ∞ n=1 ∈ c 0, xét D = {x∈c 0 :kxk ≤1} là hình cầu đơn vị đóng trong c 0 Ánh xạ T : D −→ D được xác định như sau: với mỗi x = (x 1 ,x 2 , ,x n , ) ∈ D, T x = (1,x 1 ,x 2 , ,x n , ), và T x ∈ D T là ánh xạ không giãn, thậm chí là phép đẳng cự, vì kT x−Tyk=sup n.
|x n −y n |=kx−yk. Giả sử tồn tại điểm bất độngx ∗ trong D, tức làT x ∗ =x ∗ Khi đó
Từ đó suy ra x n ∗ =1 ∀n∈ N ∗ Hiển nhiên x ∗ ∈/ c 0 Vậy T không có điểm bất động trongD.
Tuy nhiên, với mọiC là tập lồi, đóng, bị chặn trong không gian BanachE vàT :C −→C là ánh xạ không giãn thì T luôn có điểm bất động xấp xỉ.
Tính chất 1.3.9 ChoC là tập lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của không gian BanachE và T là ánh xạ không giãn từC vàoC Khi đó inf{kx−T xk:x∈C}=0.
Chứng minh Cố định x 0 ∈C Với mỗi n∈ N ∗ , xét ánh xạ T n :C −→C xác định bởi
Vì \$T_n\$ là ánh xạ co trên \$C\$, tức là \$1−1 n kx−yk,∀x,y∈C\$, và \$C\$ là không gian mêtric đủ do tính đóng của nó trong không gian Banach \$E\$, theo nguyên lý ánh xạ co Banach, \$T_n\$ có điểm bất động \$x_n\$.
T xn. Suy rakx n −T x n k= 1 n kx 0 −T x n k ≤ 1 n diamC n→∞
Ta cũng có bổ đề sau.
Bổ đề 1.3.10 Nếu C là tập con lồi, đóng của không gian lồi chặt E và T :
C−→C là ánh xạ không giãn thì tập các điểm bất động F(T) củaT là đóng và lồi.
Để giải quyết vấn đề về điều kiện trên không gian Banach E để mọi tập lồi, đóng, bị chặn đều có tính chất điểm bất động, một số kết quả ban đầu đã được chứng minh (Kirk, 1965).
Định lý Browder-Gohde (1965) khẳng định rằng nếu C là một tập lồi, compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn E, và T là một ánh xạ không giãn từ C vào C, thì T có ít nhất một điểm bất động trong C.
Cho C là một tập lồi, đóng và bị chặn trong không gian lồi đều E Ánh xạ không giãn T: C → C có tập hợp các điểm bất động F(T) là lồi, đóng và khác rỗng.
Các hướng nghiên cứu về điểm bất động cho ánh xạ không giãn đã mở rộng sang các không gian có cấu trúc yếu hơn như không gian lồi địa phương và không gian metric siêu lồi, mang lại nhiều kết quả đáng chú ý.
Một số loại ánh xạ
Gần đây, Kohsaka và Takahashi [22] đã giới thiệu một ánh xạ phi tuyến, có nguồn gốc từ ánh xạ firmly không giãn trong không gian Hilbert, đóng vai trò quan trọng trong các bài toán liên quan đến tính chất không mở rộng của ánh xạ T: C −→ H (Định nghĩa 1.4.1).
2kT x−Tyk 2 ≤ kT x−yk 2 +kTy−xk 2 ,∀x,y∈C.
Chúng ta chú ý rằng ánh xạ như thế này đã thực sự được xác định trong không gian Banach. Định nghĩa 1.4.2 [26]Một ánh xạT :C −→H được gọi là lai nếu
3kT x−Tyk 2 ≤ kx−yk 2 +kT x−yk 2 +kTy−xk 2 ,∀x,y∈C.
Định lý điểm bất động cho ánh xạ là một chủ đề quan trọng trong toán học Aoyoma, Iemoto, Kohsaka và Takahashi đã giới thiệu ánh xạ λ - lai trong không gian Hilbert, mở rộng các lớp ánh xạ không giãn và không mở rộng Ánh xạ T được gọi là λ - lai nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức kT x−Tyk 2 ≤ kx−yk 2 +2λhx−T x,y−Tyi,∀x,y∈C, với λ là một số thực.
Kocourek, Takahashi và Yao đã giới thiệu một lớp ánh xạ phi tuyến tính, bao gồm cả ánh xạ λ - lai \$$[21]\$$ Theo định nghĩa \$$1.4.4\$$ của \$$[21]\$$, ánh xạ \$\$T :C −→H\$\$ được gọi là ánh xạ lai tổng quát nếu tồn tại \$\$\alpha, \beta ∈R\$\$ thỏa mãn bất đẳng thức \$\$\alpha kT x−Tyk 2 + (1−α)kTy−xk 2 ≤βkT x−yk 2 + (1−β)kx−yk 2\$\$ với mọi \$\$x, y ∈ C\$\$ Ánh xạ \$\$T :C −→H\$\$ như trên còn được gọi là ánh xạ \$\$ (\alpha, \beta)\$\$ - lai tổng quát.
Kocourek, Takahashi và Jao đã nghiên cứu định lý điểm bất động và định lý hội tụ yếu cho ánh xạ lai tổng quát trong không gian Hilbert Suzuki giới thiệu một lớp mới ánh xạ phi tuyến Định nghĩa 1.4.5 định nghĩa ánh xạ \(T : C \rightarrow C\) thỏa mãn điều kiện (C) cho mọi \(x, y \in C\), với \(C\) là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của \(H\).
2kx−T xk ≤ kx−yk ⇒ kT x−Tyk ≤ kx−yk.
Trong không gian Banach, ánh xạ được xác định đóng vai trò quan trọng (Định nghĩa 1.4.6, [14]) Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của H, điều này tạo cơ sở cho các phép toán và ánh xạ liên quan.
T :C −→C thỏa mãn điều kiện (B) nếu với mọi x,y∈C, ta có
2kx−T xk ≤ kx−yk ⇒ kT x−Tyk 2 +kx−Tyk 2 ≤ kT x−yk 2 +kx−yk 2
Chú ý rằng những ánh xạ phi tuyến này là tựa không giãn nếu tập các điểm bất động của nó là khác rỗng.
Điểm bất động tiệm cận của ánh xạ
Định nghĩa 1.5.1 [32] ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng củaH Và cho
Trong ánh xạ T: C → H, một điểm p ∈ C được gọi là điểm bất động tiệm cận của T nếu tồn tại dãy {x_n} ⊂ C sao cho x_n hội tụ yếu đến p và lim_{n→∞} ||x_n − T x_n|| = 0 Điều này định nghĩa điểm bất động tiệm cận thông qua sự hội tụ yếu của dãy và giới hạn của khoảng cách giữa các phần tử của dãy và ảnh của chúng qua ánh xạ T.
Trong toán học, tập các điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T được ký hiệu là \$Fˆ(T)\$ Ánh xạ \$T : C −→ C\$ được gọi là nửa đóng nếu nó thỏa mãn điều kiện \$Fˆ(T) = F(T)\$ Các kết quả nghiên cứu trước đó về các ánh xạ này đã được biết đến.
Mệnh đề 1.5.2 [27] Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H Và cho
T :C −→H là một ánh xạ lai tổng quát Khi đó Fˆ(T) =F(T).
Mệnh đề 1.5.3 [31] ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian
Hilbert thực H và T :C −→ H là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (C) Khi đó
Mệnh đề 1.5.4 [24] Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và T :
C−→C là ánh xạ thỏa mãn điều kiện (B) Khi đó Fˆ(T) =F(T).
Bài toán điểm cân bằng
1.6.1 Khái niệm bài toán điểm cân bằng
Trong không gian Hilbert thực H, với tích vô hướng và chuẩn xác định, xét tập lồi, đóng, không rỗng C và hàm F: C × C → R Điểm u ∈ C được gọi là điểm cân bằng nếu nó thỏa mãn một điều kiện cụ thể liên quan đến hàm F trên tập C.
Tập các điểm cân bằng của (1.1) được ký hiệu EP(F).
Năm 1961, KyFan đã đưa ra một câu trả lời cho sự tồn tại điểm cân bằng.
1.6.2 Bất đẳng thức KyFan và một số mệnh đề Định nghĩa 1.6.2.1 Cho C là một tập con lồi của không gian tuyến tính X. Hàm f :C−→Rđược gọi là hàm lồi nếu f ((1−t)x+ty) ≤(1−t) f(x) +t f(y)∀x,y∈C,∀t ∈[0,1]. Định nghĩa 1.6.2.2 Giả sử X là một không gian mêtric.
Hàm f : X −→(−∞,+∞] được gọi là nửa liên tục dưới nếu một trong hai điều sau được thỏa mãn
(i) Tập{x∈ X : f(x)≤α}là đóng trongX với mọiα ∈R.
≥ f (x 0 ) với mọi x 0 ∈X. Định nghĩa 1.6.2.3 Giả sửX là một không gian mêtric.
Hàm f :X →[−∞,+∞) được gọi là nửa liên tục trên nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
(i) Tập{x∈ X : f(x)≥α}là đóng trongX với mọiα ∈R.
(ii) lim x→x 0 sup f(x)≤ f (x 0 ) với mọi x 0 ∈X.
Mệnh đề 1.6.2.4 Bất đẳng thức KyFan (1961)
Giả sửX là không gian véctơ tôpô tách,C là tập lồi compact trongX và hàm
F :C×C→R Chúng ta giả định rằng F đáp ứng các điều kiện sau:
(i) F(x,y) tựa lồi theo xvới mỗi ycố định.
(ii) F(x,y) nửa liên tục trên theoyvới mỗi xcố định.
Khi đó tồn tại y ∗ ∈C sao choF(x,y ∗ )≥0,∀x∈C.
HàmF(x,y) được gọi là hàm tựa lồi theo biếnx với mỗiy cố định tức là với mọi y∈C,α ∈Rthì tập A α ={x∈C :F(x,y)≤α}là tập lồi.
Trong lý thuyết tối ưu, bài toán điểm cân bằng thường được đề cập đến, đặc biệt khi xét các lớp ánh xạ đơn điệu thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) Định nghĩa 1.6.2.5 mô tả hàm F: C × C → R, trong đó C là một tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các điều kiện cần thiết cho bài toán.
(A2) F là đơn điệu, nghĩa là:F(x,y) +F(y,x)≤0,∀x,y∈C.
(A4) Với mỗi x∈C,y7−→F(x,y) là hàm lồi và nửa liên tục dưới.
Ta đi xét hai mệnh đề do Blum và Oettli đưa ra trong [1] như sau.
Mệnh đề 1.6.2.6 khẳng định rằng với một tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Hilbert H và một hàm F: C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4), thì với mọi r > 0 và x ∈ H, tồn tại một phần tử z ∈ C sao cho một điều kiện cụ thể nào đó được thỏa mãn (điều kiện này không được nêu rõ trong đoạn trích).
F(z,y) +1 r hy−z,z−xi ≥0,∀y∈C. Để thấy rỏ tính chất của tập điểm cân bằng chúng tôi giới thiệu mệnh đề sau.
Trong không gian Hilbert H, mệnh đề 1.6.2.7 khẳng định rằng với một tập con lồi, đóng, khác rỗng C và hàm F: C × C → R thỏa mãn các điều kiện A(1) - A(4) với r > 0 và x ∈ H, ta có thể xác định một ánh xạ Tr: H → C.
∀x∈H Khi đó ta có các khẳng định sau:
(2) Tr là ánh xạ firmly - không giãn.
(4) EP(F) là đóng và lồi.
Chứng minh (1) Ta chứng minh T r là ánh xạ đơn trị.
Thật vậy, lấyx∈H vàr >0, giả sửz 1 ,z 2 ∈T r (x) Khi đó
Cộng hai vế của bất đẳng thức trên ta có
VìF là hàm đơn điệu nênF(z 1 ,z 2 ) +F(z 2 ,z 1 )≤0với mọiz 1 ,z 2 và bởir>0 ta có hz 2 −z 1 ,z 1 −z 2 i ≥0.
DoH là không gian Hilbert nên z 1 =z 2 VậyTr là ánh xạ đơn trị.
(2)Ta chứng minhT r là ánh xạ firmly - không giãn.
Thật vậy, lấyz 1 ,z 2 ∈H ta có
Cộng hai vế bất đẳng thức trên ta có
VìF là hàm đơn điệu nênF(T r z 1 ,T r z 2 ) +F(T r z 2 ,T r z 1 )≤0, suy ra hT r z 2 −T r z 1 ,T r z 1 −T r z 2 −z 1 +z 2 i ≥0.
(3)Trước tiên, ta chứng minh EP(F)⊂F(T r ).
Thật vậy, giả sửx∈EP(F)⊂C vàTrx6=x Lấyz =Trx và chọny=xtrong định nghĩa củaTrx, ta có
Cộng hai vế vớiF(x,z)ta có
F(x,z)≤0−1 rkT r x−xk 2 b>0,∀n∈ N Khi đó, ta có ku n+1 −u n k 2 ≤ u n+1 −u n ,x n+1 −x n +
suy ra ku n+1 −u n k ≤ kx n+1 −x n k+ 1 r n+1 |r n+1 −r n | ku n+1 −x n+1 k
≤ kx n+1 −x n k+1 b|r n+1 −r n |L, (2.4) trong đó L=sup{ku n −xnk:n∈N} Vì vậy, từ (2,1) chúng ta có kx n+1 −xnk ≤αnakx n −xn−1k+2|α n −αn−1|K
= (1−αn(1−a))kx n −x n−1 k+2K|αn−αn−1|+L b|r n −r n−1 |. Áp dụng bổ đề 2.2.1, chúng ta có n→∞lim kx n+1 −x n k=0.
Từ(2.4) và|r n −r n | →0 suy ra n→∞lim ku n+1 −u n k=0.
Vìxn =αn−1f(x n−1 ) + (1−αn−1)Sun−1, nên kx n −Sunk ≤ kx n −Sun−1k+kSu n−1 −Sunk
≤αn−1kf(x n−1 )−Su n−1 k+ku n−1 −u n k. Bởiαn →0, ta có||x n −Su n | | −→0 Chov∈F(S)∩EP(F) Khi đó ku n −vk 2 =kT r n x n −T r n vk 2
≤ hT r n xn−Tr n v,xn−vi
= 1 2 ku n −vk 2 +kx n −vk 2 − kx n −unk 2
, suy ra ku n −vk 2 ≤ kx n −vk 2 − kx n −unk 2
Do đó, từ tính lồi củak.k 2 , ta có kx n+1 −vk 2 =kα n f(x n ) + (1−α n )Su n −vk 2
≤αnkf(x n )−vk 2 + (1−αn) kx n −vk 2 − kx n −unk 2
≤αnkf(x n )−vk 2 +kx n −vk 2 −(1−αn)kx n −u n k 2 suy ra
(1−αn)kx n −u n k 2 ≤αnkf (x n )−vk 2 +kx n −vk 2 − kx n+1 −vk 2
≤αnkf (x n )−vk 2 +kx n −x n+1 k(kx n −vk+kx n+1 −vk).
Vì vậy kx n −u n k →0 Từ kSu n −u n k ≤ kSu n −x n k+kx n −u n k.
Ta có \$kSu_n - u_n k \rightarrow 0\$ Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng \$\lim_{n\to\infty} \sup \langle hf(z) - z, x_n - z \rangle \le 0\$, trong đó \$z = P_F(S) \cap EP(F)\$ và \$f(z)\$ Để chứng minh điều này, chọn dãy con \$\{u_{n_i}\}\$ của \$\{u_n\}\$ sao cho \$\lim_{i\to\infty} \langle hf(z) - z, x_{n_i} - z \rangle = \lim_{n\to\infty} \sup \langle hf(z) - z, x_n - z \rangle\$.
Dãy \$\{u_n\}\$ bị chặn nên tồn tại dãy con \$\{u_{n_i}\}$ hội tụ yếu tới \$w\$ Không mất tính tổng quát, giả sử \$u_{n_i} \rightharpoonup w\$ Từ \$S(u_n - u_{n_k}) \rightarrow 0\$ suy ra \$Su_{n_i} \rightharpoonup w\$ Ta chứng minh \$w \in EP(F)\$ Vì \$u_n = T_{r_n}x_n\$, ta có các kết quả liên quan đến \$T_{r_n}\$ và \$x_n\$.
TừA(2), chúng ta cũng có
1 r n hyưu n ,u n ưx n i ≥F(y,u n ), và do đó yưun i ,u n i ưx n i r n i
Vì u ni r −x ni ni →0vàu n i *w nên từ(A4)ta có
Lấyt với 00 Từ (2.5) và lim n→ ∞αn =0 nên tồn tại m∈N sao cho αnM
2. với mọin≥m Do đó kx n+1 −zk 2 ≤(1−β n )kx n −zk 2 + (1−(1−β n ))ε.
Tương tự, ta có kx m+n −zk 2 ≤ m+n−1 k=m ∏
Từ ∑ ∞ k=m β k =∞, chúng ta biết rằng ∏ ∞ k=m
(1−β k ) =0 Do đó n→∞lim supkx n −zk 2 = lim n→∞supkx m+n −zk 2 ≤ε. Bởiε >0là tùy ý nên n→∞lim supkx n −zk 2 ≤0.
Vì vậy{x n }hội tụ mạnh tớiz∈F(S)∩EP(F), trong đóz=P F (S)∩EP(F ) f(z).
Ta được điều phải chứng minh.
Từ định lý 2.2.2chúng ta có hai hệ quả sau.
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và S là ánh xạ không giãn của C vào H sao cho tập hợp các điểm bất động F(S) khác rỗng Giả sử f : H → H là ánh xạ co và dãy \{x_n\} được sinh bởi x_1 ∈ H và x_n = α_n f(x_n) + (1 − α_n)SP_C x_n.
∀n∈N, trong đó{α n } ⊂[0,1] và{r n } ⊂(0,∞)thỏa mãn n→∞lim αn =0,
Khi đó, {x n }hội tụ mạnh tớiz∈F(S), trong đóz=P F(S) f (z).
Chứng minh định lý bằng cách đặt \$F(x, y) = 0, \forall x, y \in C\$ và \$r_n = 1, \forall n \in \mathbb{N}\$ trong định lý 2.2.2 Khi đó, \$u_n = P_C x_n\$, và từ định lý 2.2.2, dãy \$\{x_n\}\$ được sinh bởi \$x_1 \in H\$ và \$x_{n+1} = \alpha_n f(x_n) + (1 - \alpha_n) S P_C x_n, \forall n \in \mathbb{N}\$, hội tụ mạnh tới \$z \in F(S)\$, trong đó \$z = P_{F(S)} f(z)\$.
Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F: C × C → R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) sao cho EP(F) khác rỗng Giả sử f: H → H là một ánh xạ co và {x_n}, {u_n} là các dãy sinh bởi x_1 ∈ H.
F(u n ,y) + r 1 nhyưun,unưxni ≥0,∀y∈C x n+1 =α n f (x n ) + (1−α n )u n n∈N, trong đó{α n } ⊂[0,1] và{r n } ⊂(0,∞)thỏa mãn n→∞lim αn =0,
Khi đó, {x n }và{u n }hội tụ mạnh tớiz∈EP(F), trong đóz=P EP(F) f (z).
Để chứng minh, ta đặt \$S_x = x\$ cho mọi \$x \in C\$ và \$r_n = 1\$ trong định lý 2.2.2 Từ định lý 2.2.2, dãy \$\{x_n\}\$ và \$\{u_n\}\$ xác định trong hệ quả 2.2.4 hội tụ mạnh tới \$z \in EP(F)\$, trong đó \$z = P_{EP(F)}f(z)\$ Điều này hoàn thành chứng minh.
Phương pháp lặp kiểu Takahashi - Tada cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động
Định lý hội tụ mạnh
Trong không gian Hilbert, định lý hội tụ mạnh được áp dụng để tìm điểm chung giữa tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn, với C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F là ánh xạ từ C × C vào R.
R thỏa mãn điều kiện (A1)−(A4) và S :C →H là ánh xạ không giãn sao cho F(S)∩EP(F)6=φ Giả sử {x n } và{u n } là các dãy sinh bởix 1 =x∈H vàun∈C sao cho
Dn={z∈H/hx n −z,x−xni ≥0}, x n+1 =P C n ∩D n (x), với mọin∈N, ở đây {αn} ∈[a,1] vớia nào đó thuộc(0,1) và{r n } ⊂ (0,∞) thỏa mãn lim n→∞infr n >0 Khi đó,{x n }hội tụ mạnh tớiP F (S)∩EP(F ) (x).
Dãy \$\{x_n\}\$ được định nghĩa đúng đắn, với \$C_n\$ đóng và \$D_n\$ lồi, đóng với mọi \$n \in \mathbb{N}\$ Tập \$C_n\$ cũng là tập lồi, do đó \$C_n\$.
Dn là tập đóng, lồi củaH,∀n∈N Chov∈F(S)∩EP(F) Vìun =Tr n xn nên ku n −vk=kT r n xn−Tr n vk ≤ kx n −vk,∀n∈N (3.1)
Từ đây ta có kw n −vk ≤(1−αn)kx n −vk+αnkSu n −vk
Vì vậy v∈Cn, suy ra
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng tỏ rằng F(S)∩EP(F) ⊂C n ∩D n ,∀n∈N bằng quy nạp.
VìF(S)∩EP(F)⊂C 1 vàD 1 =H nên ta có
Giả sử rằngF(S)∩EP(F)⊂C k ∩D k vớik∈N Khi đó tồn tạix k+1 ∈C k ∩D k sao cho x k+1 =P C k ∩D k (x).
Do đó, với mỗiz∈C k ∩D k , ta có hx k+1 −z,x−x k+1 i ≥0.
BởiF(S)∩EP(F)⊂C k ∩D k , nên với mọiz∈F(S)∩EP(F) ta có hx k+1 −z,x−x k+1 i ≥0, suy raz∈D k+1 Vì vậy
Từ đây và(3.3), ta có
F(S)∩EP(F)⊂C k+1 ∩D k+1 Điều này có nghĩa{x n } là dãy được định nghĩa một cách đúng đắn Từ mệnh đề 1.6.2,{u n }cũng là dãy được định nghĩa một cách đúng đắn.
Vì F(S)∩EP(F) là tập con lồi, đóng, khác rỗng củaH nên tồn tại duy nhất một z 0 ∈F(S)∩EP(F) sao cho z 0 =P F(S)∩EP(F) (x).
Bởix n+1 =P C n ∩D n (x), ta có kx n+1 −xk ≤ kz−xk
∀z∈C n ∩D n Vì z 0 ∈F(S)EP(F)⊂C n ∩D n nên kx n+1 −xk ≤ z 0 −x
∀n∈N Do đó, {x n } là dãy bị chặn Từ (3.1) và (3.2), suy ra {u n } và {w n } cũng là những dãy bị chặn.
Từ định nghĩa củaDn ta có xn =PD n (x) và vìx n+1 ∈Dn nên kx−xnk ≤ kx−x n+1 k
∀n∈N Vì{x n }là dãy bị chặn nên{kx−xnk}là dãy bị chặn và không giảm.
Vì vậy, tồn tạic∈Rsao cho c= lim n→∞kx−x n k.
Dox n =P D n (x),x n+1 ∈D n , và x n +x 2 n+1 ∈ D n ta có kx−xnk 2 ≤ x−x n +x n+1
Bởi lim n→∞kx−x n k=cnên n→∞lim kx n −x n+1 k=0 (3.5)
Lại vìx n+1 ∈C n , ta có kx n −w n k ≤ kx n −x n+1 k+kx n+1 −w n k ≤2kx n −x n+1 k.
Bởi(3.5) suy ra n→∞lim kx n −wnk=0 (3.6) Với v∈F(S)∩EP(F), từ mệnh đề1.6.3ta có ku n −vk 2 =kT r n xn−Tr n vk 2
= 1 2 nku n −vk 2 +kx n −vk 2 − kx n −u n k 2 o
, do đó ku n −vk 2 ≤ kx n −vk 2 − kx n −u n k 2
Vì vậy theo tính chất lồi củak.k 2 , ta có kw n −vk 2 ≤(1−αn)kx n −vk 2 +αnkSu n −vk 2
≤(1−αn)kx n −vk 2 +αn n kx n −vk 2 − kx n −u n k 2 o
=kx n −vk 2 −αnkx n −u n k 2 Bởi{α n } ⊂[a,1] suy ra akx n −u n k 2 ≤α n kx n −u n k 2 ≤ kx n −vk 2 − kw n −vk 2
≤ kx n −wnk {kx n −vk+kw n −vk}.
Từ đây và(3.6), chúng ta có n→lim∞ kx n −u n k=0 (3.7)
Vì lim n→∞infr n >0nên n→∞lim x n −u n rn
DoαnSun=wn−(1−αn)xn nên ta có aku n −Sunk ≤αnkSu n −unk=kw n −(1−αn)xn−αnunk
≤ ku n −xnk+kw n −xnk+kx n −unk
Từ(3.6) và(3.7), ta thu được n→∞lim ku n −Su n k=0 (3.9)
Dãy \$\{x_n\}\$ bị chặn nên tồn tại dãy con \$\{x_{n_i}\}\$ sao cho \$x_{n_i} \overset{w}{\rightarrow} x\$ Từ (3.7), ta có \$u_{n_i} \overset{w}{\rightarrow} x\$ Vì \$\{u_{n_i}\} \subset C\$ và \$C\$ là tập đóng và lồi nên \$C\$ đóng yếu, suy ra \$x \in C\$.
Chúng ta sẽ chứng tỏw∈EP(F) Bởiu n =T r n x n nên
Từ tính đơn điệu của F suy ra
Do đó yưu n i ,u n i ưx n i rn i
Từ(3.8) và điều kiện(A4), ta có
Chot với00 Khi đó, {x n } hội tụ tới P EP(F) (x).
Chứng minh ĐặtS=I vàαn=1trong định lý3.1.1, ta được điều phải chứng minh.
Hệ quả 3.1.3 cho tập lồi đóng C khác rỗng trong H và ánh xạ không giãn S: C → H với tập điểm bất động khác rỗng F(S) ≠ φ Cho dãy \{x_n\} và \{u_n\} với x_1 = x ∈ H và u_n ∈ C thỏa mãn bất đẳng thức ⟨y - u_n, u_n - x_n⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, và w_n = (1 - α_n)x_n + α_nSu_n.
Cn ={z∈H/kw n −zk ≤ kx n −zk},
D n ={z∈H/hx n −z,x−x n i ≥0}, x n+1 =P C n ∩D n (x), với mọin∈N, trong đó {α n } ⊂[a,1] vớianào đó thuộc (0,1) Khi đó, {x n } hội tụ mạnh tớiP F (S) (x).
Chứng minh Đặt F(x,y) =0 với mọi x,y∈C và r n =1 trong định lý 3.1.1 chúng ta có hệ quả3.1.3.
Định lý hội tụ yếu
Để chứng minh định lý hội tụ yếu, chúng ta cần xem xét hai bổ đề quan trọng trước, theo khởi nguồn từ [16].
Bổ đề 3.2.1 [16] Cho{αn} là một dãy số thực như sau 00nên n→∞lim xn−un r n
Do {x n } là bị chặn nên tồn tại một dãy con {x n i } của {x n } hội tụ yếu tới w.
Từ kx n −u n k →0, ta cũng có u n i *w Bởi {u n i } ⊂C vàC là đóng yếu nên w∈C.
Ta chứng minh w∈ F(S)∩EP(F) Đầu tiên, như trong chứng minh định lý 3.1.1, ta ców∈EP(F) Bây giờ ta chứng tỏw∈F(S) Chov∈F(S)∩EP(F).
VìkSu n −vk ≤ ku n −vk ≤ kx n −vk, từ(3.11), ta có n→lim∞ supkSu n −vk ≤c.
Hơn nữa n→∞lim kα n (x n −v) + (1−αn) (Su n −v)k= lim n→∞kx n+1 −vk=c.
Từ bổ đề3.2.1, ta được n→∞lim kSu n −xnk=0.
Mặt khác, ta có kSu n −unk ≤ kSu n −xnk+kx n −unk.
Từ kết quả trên, ta suy ra \( w \in F(S) \), do đó \( w \in F(S) \cap EP(F) \) Tương tự, xét dãy con \( x_{n_j} \) sao cho \( x_{n_j} \to w_0 \), ta cũng có \( w_0 \in F(S) \cap EP(F) \).
Nếu w6=w 0 , từ định lý Opial ta có n→∞lim kx n −wk=lim inf i→∞ kx n i −wk< lim i→∞inf xn i −w 0
= lim n→∞kx n −wk, vô lý Vì vậyw=w 0 Điều này chứng tỏ rằng xn *w∈F(S)∩EP(F). Choz n =P F(S)∩EP(F) (x n ) Vìw∈F(S)∩EP(F) nên hx n −z n ,z n −wi ≥0.
Dùng (3.10) và bổ đề 3.2.2, chúng ta có rằng {z n } hội tụ tới w 0 ∈ F(S)∩
EP(F) Từ{x n }hội tụ yếu tới w, chúng ta có hw−w 0 ,w 0 −wi ≥0.
Từ đây, chúng ta thu được hai hệ quả trực tiếp của định lý 3.2.3
Hệ quả 3.2.4 ChoC là tập con lồi, đóng, khác rỗng củaH,F :C×C−→R là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện (A1)−(A4) sao cho EP(F) 6=φ Giả sử
{x n }và{u n }là các dãy sinh bởix 1 =x∈H vàu n ∈C sao cho
F(u n ,y) + 1 r n hyưu n ,u n ưx n i ≥0,∀y∈C, x n+1 =αnx n + (1−αn)u n , với mọin∈N, ở đây{α n } ⊂[a,b]vớia,bnào đó thuộc(0,1)và{r n } ⊂(0,∞) thỏa mãn điều kiện lim n→∞infrn>0.
Khi đó, {x n }hội tụ yếu tới w∈EP(F), ở đây w= lim n→∞P EP(F) (x n ).
Chứng minh ĐặtS=I trong định lý3.2.3, chúng ta có hệ quả3.2.4.
Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H và S: C → H là ánh xạ không giãn với tập điểm bất động F(S) khác rỗng Xét hai dãy \${x_n}\$ và \${u_n}\$ được sinh bởi \${x_1 = x \in H}\$ và \${u_n \in C}\$ sao cho \$\langle y - u_n, u_n - x_n \rangle \geq 0, \forall y \in C\$, dãy \${x_{n+1}}\$ được xác định bởi \${x_{n+1} = \alpha_n x_n + (1 - \alpha_n) S u_n}\$, với mọi \${n \in \mathbb{N}}\$, trong đó \${\{\alpha_n\} \subset [a, b]}\$ với a, b thuộc khoảng (0, 1).
Khi đó, {x n }hội tụ yếu tới w∈F(S), ở đâyw= lim n→∞P F(S) (x n ).
Chứng minh Đặt F(x,y) =0 với mọi x,y∈C và rn =1 trong định lý 3.2.3 chúng ta thu được hệ quả 3.2.5
Halpern cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ tựa - không giãn
Giới thiệu
Trong chương này, chúng ta tập trung vào phương pháp lặp kiểu Halpern để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ tựa - không giãn trong không gian Hilbert, đồng thời chứng minh định lý hội tụ mạnh cho dãy lặp này, giải quyết một phần vấn đề mở của Kurokawa và Takahashi.
[23] liên quan tới phương pháp lặp Halpern.
Định lý 4.1.1 cho tập lồi đóng C khác rỗng trong không gian Hilbert H và ánh xạ không giãn S: C → C với tập điểm bất động khác rỗng F(S) Với dãy \{α_n\} ⊂ (0,1) hội tụ về 0, dãy \{x_n\} được định nghĩa bởi x_{n+1} = α_n x + (1 - α_n) S x_n, ∀n ∈ N, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ S.
Khi đó, dãy{x n }hội tụ mạnh tới điểm bất động củaS.
Định lý hội tụ mạnh cho ánh xạ không mở rộng trong không gian Hilbert đã được chứng minh bởi Kurokawa và Takahashi [16] Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và T : C → C là ánh xạ không mở rộng, định lý 4.1.2 [20] xác định hai dãy {xn} và {un} trong C.
T k xn với mọi n=1,2 , trong đó{αn} ⊂(0,1), lim n→∞αn =0 và
Nếu F(T) là khác rỗng thì {x n } và {z n } hội tụ mạnh tới Pu, trong đó P là phép chiếu mêtric củaH lên F(T).
Gần đây, Yao và Shahzad đã giới thiệu một phương pháp lặp cho ánh xạ không giãn có nhiễu, điều này phản ánh thực tế là nhiễu luôn xuất hiện trong quá trình lặp do thao tác không chính xác Chương này tập trung vào nghiên cứu quá trình lặp để tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ tựa-không giãn trong không gian Hilbert, có xét đến yếu tố nhiễu.
ChoClà tập con lồi, đóng, khác rỗng củaH,F :C×C−→Rlà hàm hai biến vàT :C −→H là ánh xạ tựa không giãn Giả sử{x n }và{q n }là các dãy xác định bởiq 1 ∈H và
x n ∈C :F(x n ,y) + r 1 nhy−x n ,x n −q n i ≥0,∀y∈C, q n+1 :=αnu n + (1−αn) (βnx n + (1−βn)T x n ),∀n∈N, trong đó{αn}và{βn} là các dãy trong(0,1), {u n } ⊂H và{r n } ⊂[a,∞)với a>0nào đó.
Trước khi đi vào kết quả chính của chương, chúng ta cần có các bổ đề sau.
Bổ đề 4.1.3 [33] Cho{Γ n }là một dãy số thực không giảm tại vô cực, nghĩa là tồn tại một dãy con{Γ n i }của{Γ n }thỏa mãn Γn i