Nghiên cứu về sự ổn định và ổn định hóa đối với một lớp phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ

Bài toán ổn định hóa của hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ.. Cùng với sự phát triển của lýthuyết điều khiển toán học người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Nguyễn Viết Sáng

Lời cảm ơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Hoàng Văn Thi người thầy đã chỉbảo tận tình và cho tác giả những nhận xét quí báu để tác giả có thể hoànthành bản luận văn này một cách tốt nhất

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở khoa Khoa học Tựnhiên, trường Đại học Hồng Đức, những người đã tận tình giúp đỡ tác giảtrong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thànhluận văn một cách thuận lợi

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và tập thể giáo viêntrường PTTH Lương Đắc Bằng - Hoằng Hóa - Thanh Hóa đã luôn tạo điềukiện, giúp đỡ, động viên trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Ký hiệu trong luận văn

λmax(P) : Giá trị riêng lớn nhất của ma trận đối xứng P

λmin(P) : Giá trị riêng nhỏ nhất của ma trận đối xứng P

kxk : chuẩn Euclide của véctơ x

E :ma trận đơn vị

AT: Chuyển vị của ma trận A

Với các ma trận đối xứng A, B,C ∈ Rn×n, chúng ta ký hiệu A > B ⇔

A− B > 0 ⇔ A − B là ma trận xác định dương, trong đó 0 là ma trậnkhông cấp n × n

Mục lục

Ký hiệu trong luận văn iii

Mở đầu 1

Chương 1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 3

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa 3

1.1.1 Bài toán ổn định 3

1.1.2 Phương pháp ổn định Lyapunov 5

1.1.3 Bài toán ổn định hóa 6

1.2 Bài toán ổn định, ổn định hóa đối với hệ có trễ 8

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 8

1.2.2 Bài toán ổn định hóa của hệ phương trình điều khiển có trễ 10

Chương 2 Ổn định của hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ 12

2.1 Phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ 12

2.2 Giải tích ổn định của hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ 13

Chương 3 Bài toán ổn định hóa của hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ 26

3.1 Ổn định hóa cho hệ với trạng thái đo được 27

3.2 Ổn định hóa đầu ra 29

3.3 Áp dụng 31

3.4 Ví dụ số 33

Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

Lý thuyết ổn định của hệ phương trình vi phân là một trong nhữnghướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kỹ thuật.Các công trình nghiên cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỷXIX bởi nhà toán học người nga Lyapunov Cùng với sự phát triển của lýthuyết điều khiển toán học người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định của hệđiều khiển hay còn gọi là ổn định hóa các hệ điều khiển Từ đó đến nay, haitính chất này đã trở thành một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyếtđiều khiển hệ thống về cả lý thuyết lẫn ứng dụng, thu hút sự quan tâm củanhiều nhà toán học trong và ngoài nước

Trong thực tế, các hệ động lực phần lớn được mô tả bởi các phươngtrình toán học phi tuyến, phương trình vi tích phân, phương trình vi phântrung tính Vì vậy sự ổn định hóa của hệ phương trình vi phân trung tínhcũng nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Lyapunov đã đưa rahai phương pháp nghiên cứu hệ vi phân là phương pháp nghiên cứu thôngqua số mũ Lyapunov và phương pháp dựa vào sự tồn tại của một lớp hàmtrơn đặc biệt (gọi là hàm Lyapunov)

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực học, bàitoán ổn định hay còn gọi là bài toán ổn định hóa cũng được quan tâmnghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn

Hiện tượng chậm về thời gian xuất hiện nhiều trong hệ thống vật lý

Vì thế, ổn định và ổn định hóa đối với hệ có trễ về thời gian đã nhận được

chú ý đáng kể và đã là một trong những chủ đề được quan tâm nhiều nhấttrong lý thuyết điều khiển Đây là ứng dụng lý thuyết, vì hiện tượng làmchậm trễ được gặp thường xuyên trong cơ học khác nhau, vật lý, sinh học,

y học, nền kinh tế và hệ kỹ thuật, như bệnh dịch ADIS, làm ổn định máybay, công nghệ hóa, khống chế dịch bệnh, được phân phối lưới, suy rộng

mô hình, điều khiển bằng tay, dao động vi sóng, mô hình laze, lưới thầnkinh, lò phản ứng hạt nhân, mô hình động lực dân số, làm ổn định tàu Hơnnữa, thường xuyên chậm trễ thời gian là nguồn gốc của sự không ổn định

và nguồn gốc sinh ra giao động trong nhiều hệ

Trong thực hành, giải tích của mô hình toán học thường là bước quantrọng cho kỹ sư điều khiển như điều khiển hệ Tuy nhiên, mô hình toán họcluôn chứa một vài phần tử không chắc chắn Tính bất định này có thể là docộng tính

Do đó, giải tích ổn định và ổn định hóa mạnh với các hệ trễ khôngchắc chắn đã trở thành tiêu điểm trong việc nghiên cứu những năm gầnđây

Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu về sự ổn định và ổn định hóa đốivới một lớp phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ Luậnvăn ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục, tài liệu tham khảo còn có bốcục trình bày theo 3 chương sau:

Chương 1, trình bày một số khái niệm cơ bản về tính ổn định và ổnđịnh hóa được đối với các lớp hệ phương trình vi phân thường và hệ phươngtrình vi phân có trễ

Chương 2, dành cho việc nghiên cứu và trình bày các kết quả về tính

ổn định đối với hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ.Chương 3, dành cho việc trình bày các điều kiện đủ đối với tính ổnđịnh hóa được của hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn cótrễ

Chương 1

Bài toán ổn định và ổn định hóa

Chương này, dành cho việc trình bày các khái niệm cơ bản, một sốkết quả kinh điển và phương pháp nghiên cứu cơ bản về tính ổn định và ổnđịnh hóa được của lớp hệ phương trình vi phân thường và lớp hệ phươngtrình vi phân có trễ

1.1 Bài toán ổn định và ổn định hóa

1.1.1 Bài toán ổn định

Xét hệ phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái; f : R+× Rn → Rn là hàm véctơ chotrước

f(·) thỏa mãn điều kiện : ∀(t0, x0) ∈ R+× Rn hệ (1.1) có nghiệm duynhất đi qua điểm (t0, x0) và nghiệm thác triển được ∀t ≥ t0 Khi đó nghiệm

này được ký hiệu bởi x(t;t0; x0).

Với x0(t) là nghiệm của hệ (1.1), z(t) = x(t) − x0(t) hệ (1.1) chuyển

về dạng

˙z(t) = f (t, z(t) + x0(t)) − f (t, x0(t)) (1.2)Đặt F(t, z(t)) = f (t, z(t) + x0(t)) − f (t, x0(t)) thì F(t, 0) ≡ 0 và nghiệmz(t) ≡ 0 của hệ (1.2) sẽ tương ứng với nghiệm x0(t) của hệ (1.1)

Do đó, thay vì nghiên cứu tính ổn định của nghiệm x0(t) của hệ (1.1)thì ta nghiên cứu nghiệm z(t) ≡ 0 của hệ (1.2)

Vì vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử f (t, 0) ≡ 0 tức là hệ(1.1) có nghiệm 0 Khi đó ta có các định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.1 [1] Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu với

bất kỳ số ε > 0, t0 ≥ 0, đều tồn tại δ = δ (ε,t0) sao cho mọi nghiệmx(t,t0, x0) với kx0k < δ , thì ta có kx(t,t0, x0)k ≤ ε, ∀t ≥ t0

Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định

và ∃δ0> 0 (phụ thuộc vào t0) sao cho mọi nghiệm x(t,t0, x0) với kx0k < δ0thì lim

t→+∞kx(t,t0, x0)k = 0

Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0 và

số α > 0 sao cho

kx(t,t0, x0)k ≤ N.e−α(t−t0 )kx0k, t ≥ t0, (1.3)khi đó N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định;

α , N được gọi chung là các hệ số của sự ổn định Lyapunov

Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm của hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệmcận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).Ngay từ công trình đầu tiên, Lyapunov đã đưa ra một tiêu chuẩn quantrọng cho tính ổn định mũ của hệ tuyến tính dừng dạng:

˙

dựa vào các giá trị riêng của ma trận A.

1.1.2 Phương pháp ổn định Lyapunov

Cho hệ phương trình vi phân

˙x(t) = f (t, x(t)), t ≥ 0, (1.5)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái của hệ, f : R+× Rn → Rn là hàmvéctơ cho trước với giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 Ký hiệuK là tập các hàmliên tục tăng ngặt a(·) : R+→ R+, a(0) = 0

Định nghĩa 1.1.2 [1] Hàm V (t, x) : R+× Rn → R khả vi liên tục và thỏamãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.5) nếu:i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa

iv) ∃ c(·) ∈K : ˙V(t,x) ≤ −c(kxk), ∀(t,x) ∈ R+× Rn với mọi nghiệmx(t) của hệ (1.5)

thì V (t, x) được gọi là hàm Lyapunov chặt của (1.5)

Sau đây là những kết quả ổn định đầu tiên của Lyapunov

Định lý 1.1.3 [2] Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thì hệ ổn định Hơn nữa,

nếu hàm Lyapunov chặt thì hệ ổn định tiệm cận.

Định lý 1.1.4 [1] [23] Nếu hệ (1.5) có hàm Lyapunov thỏa mãn

1.1.3 Bài toán ổn định hóa

Xét một hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân sau

˙x(t) = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.6)trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều khiển.Hàm điều khiển u(·) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn[0, s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm

Hàm f : R+× Rn× Rm → Rn là hàm véctơ cho trước được giả thiếtthỏa mãn f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0

Định nghĩa 1.1.5 [1] Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hóa được

nếu tồn tại g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân sau (thường gọi

là hệ đóng, closed-loop system)

˙x(t) = f (t, x(t), g(x(t))), t ≥ 0, (1.7)

là ổn định tiệm cận.

Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược

Định nghĩa 1.1.6 [1] Hệ điều khiển (1.6) được gọi là ổn định hóa được

dạng mũ nếu tồn tại g : Rn → Rmsao cho hệ (1.7) là ổn định mũ

Như vậy, hai vấn đề đặt ra đối với bài toán ổn định hóa là điều kiện nàothì hệ ổn định hóa được và cách xác định điều khiển ngược này như thếnào

Khi hệ (1.6) là hệ điều khiển tuyến tính dừng ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), thìđiều kiện kinh điển của Kalman để hệ này ổn định hóa được là hệ ký hiệu[A, B] là điều khiển được toàn cục, tức là hạng của ma trận [B, AB, , An−1B]bằng n , và công thức xác định điều khiển ngược là u(t) = −T1BTL−1T

1 x(t)với LT1 =

˙

P(t) + AT(t)P(t) + P(t)A(t) − P(t)B(t)BT(t)P(t) + I = 0,

khi đó điều khiển ngược sẽ là u(t) = −12BT(t)P(t)x(t)

Nếu một hệ ổn định mũ (hoặc ổn định hóa được dạng mũ) với số mũ

ổn định α cho trước thì hệ đó được gọi là hệ α− ổn định (hoặc α− ổn địnhhóa được)

1.2 Bài toán ổn định, ổn định hóa đối với hệ có

trễ

1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ

Hệ phương trình vi phân thường (1.1) mô tả mối quan hệ giữa biếnthiên thời gian t, trạng thái của hệ thống x(t) và vận tốc thay đổi của trạngthái ˙x(t) tại cùng một thời điểm t Song, trên thực tế, các quá trình xảy ratrong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ, đều mang ít nhiều tính

di truyền Vì vậy khi mô tả các quá trình này, chúng sẽ được biểu diễn bằngcác phương trình vi phân có trễ

Giả sử một hệ phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (0 ≤ h < ∞) Với x(·)

là một hàm liên tục trên R+, nhận giá trị trong Rn Chúng ta xây dựng hàm

xt ∈ C := C([−h, 0], Rn) như sau

xt(s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0]

Như vậy, xt là một quỹ đạo trên [t − h,t] của hàm x(·) với chuẩn trong

C được xác định bởi kxtk = sup kx(t + s)k, s ∈ [−h, 0]

Khi đó hệ phương trình vi phân có trễ mô tả sự phụ thuộc của vận tốcthay đổi tại thời điểm t vào trạng thái của hệ thống trong khoảng thời giantrước đó [t − h,t] được cho dưới dạng:

˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0, (1.8)trong đó f : R+× C → Rn Một nghiệm x(·) của hệ (1.8) đi qua điểm(t0, Φ) ∈ R+× C được ký hiệu là x(t0, Φ)(·) Khi đó, hàm giá trị ban đầucủa nghiệm này trong khoảng [t0−h,t0] chính là hàm Φ, tức là x(t0, Φ)(s) =x(t0+ s) = Φ(s), ∀s ∈ [−h, 0]

Ta cũng giả thiết rằng hàm f (·) thỏa mãn điều kiện với mỗi điểm (t0, Φ) ∈

R+× C hệ (1.8) có nghiệm duy nhất đi qua điểm này và nghiệm kéo dàiđược với mọi t ≥ 0.

Tương tự như hệ phương trình vi phân thường, ta cũng giả thiết

f(t, 0) ≡ 0, tức là hệ (1.8) có nghiệm 0 Khi đó ta cũng có các khái niệm

ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ (1.8) như sau:

Định nghĩa 1.2.1 [1] Nghiệm 0 của hệ (1.8) được gọi là ổn định nếu với

bất kỳ số ε > 0, t0∈ R+, đều tồn tại δ = δ (ε,t0) > 0 sao cho mọi nghiệmx(t0, Φ)(t) với Φ ∈ C thỏa mãn kΦk < δ thì ta có kx(t0, Φ)(t)k ≤ ε, ∀t ≥ t0.Nghiệm 0 của hệ (1.8) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và

∃δ0 > 0 (phụ thuộc vào t0) sao cho mọi nghiệm x(t0, Φ)(t) với Φ ∈ C thỏamãn kΦk < δ0 thì lim

t→+∞kx(t0, Φ)(t)k = 0

Nghiệm 0 của hệ (1.8) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số N > 0 và số

α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0, Φ)(t) của hệ đều thỏa mãn

kx(t0, Φ)(t)k ≤ N.e−α(t−t0 )kΦk, t ≥ t0 (1.9)

Để ngắn gọn thay vì nói nghiệm 0 của hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệmcận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.8) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).Tương tự như với hệ phương trình vi phân thường, ta cũng có phươngpháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.8)

Cho V : R+× C → R là một hàm liên tục và x(t0, Φ) là một nghiệmcủa hệ (1.8) đi qua điểm (t0, Φ)

Đạo hàm bên phải của V dọc theo nghiệm của (1.8) là

Định lý 1.2.2 [1] Giả sử f : R+×C → Rn đi từ R+× B (B là tập bị chặn

trong C ) vào tập bị chặn trong Rn Nếu tồn tại hàm V : R+× C → R sao

cho:

i) Tồn tại λ1, λ2> 0 : λ1kx(t)k2 ≤ V (t, xt) ≤ λ2kxtk2;

ii) ˙V(t, xt) ≤ 0, với mọi nghiệm x(t) của (1.8),

thì hệ (1.8) là ổn định và nghiệm của nó là bị chặn, tức là

∃N > 0 : kx(t0, Φ)(t)k ≤ NkΦk, ∀t ≥ t0

Nếu điều kiện ii) được thay bằng điều kiện:

iii) ∃λ3> 0 : ˙V(t, xt) ≤ −2λ3V(t, xt) với mọi nghiệm x(t) của (1.8), thì hệ

trong đó x(t) ∈ Rn và véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều khiển, xt ∈

C, f : R+× C × Rm → Rn là hàm véctơ cho trước thỏa mãn điều kiện,

f(t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0

Hàm điều khiển u(·) thuộc lớp hàm khả tích bậc hai trên các đoạn hữu hạn[0, s], ∀s ≥ 0 và lấy giá trị trong Rm

Định nghĩa 1.2.3 [1] Hệ điều khiển ngược (1.10) được gọi là ổn định hóa

được nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ phương trình vi phân đóng

˙x(t) = f (t, xt, g(x(t))) (1.11)

là ổn định tiệm cận

Định nghĩa 1.2.4 [1] Cho số α > 0 Hệ (1.10) được gọi là α− ổn định

hóa được nếu tồn tại hàm g : Rn → Rm sao cho hệ đóng (1.11) là α− ổnđịnh

Định lý 1.2.5 [1] Xét hệ phi tuyến ˙x= f (x, u), trong đó x ∈ X = Rn, u ∈

Chương 2

Ổn định của hệ phương

trình vi phân trung tính

không chắc chắn có trễ

Chương này, dành cho việc nghiên cứu và trình bày các kết quả về tính

ổn định đối với hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ.Các kiến thức chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [18]

2.1 Phương trình vi phân trung tính không chắc

chắn có trễ

Xét hệ phương trình vi phân trung tính không chắc chắn có trễ

˙x(t) = [A0+ ∆A0(t)]x(t) + [A1+ ∆A1(t)]x(t − h(t))+ [A2+ ∆A2(t)] ˙x(t − τ(t)) + Bu(t), t ≥ 0,x(t) = φ (t), t ∈ [−H, 0],

y(t) = Dx(t), t ≥ 0,

(2.1)

ở đây x ∈ Rn, xt là trạng thái tại thời điểm t được xác định bởi

∆Ai(t) = HiFi(t)Ei, (2.2)trong đó Hi và Ei, i ∈ {0, 1, 2} là các ma trận thực hằng cho trước,

Fi(t), i = 0, 1, là các hàm thực chưa biết phụ thuộc thời gian với số chiềuthích hợp, bị chặn, thỏa mãn:

Fi(t)TFi(t) ≤ I, i∈ {0, 1, 2} , ∀t ≥ 0, (2.3)trong đó ký hiệu A ≤ B có nghĩa là B − A là một ma trận đối xứng nửa xácđịnh dương

2.2 Giải tích ổn định của hệ phương trình vi phân

nên hệ (2.1) cùng với điều kiện (2.2), (2.3) và u(t) = 0 được viết lại nhưsau:

< 0 là tương đương với các bất đẳng thức

R(y) < 0, Q(y) − S(y)R(y)−1S(y)T < 0,

trong đó Q(y) = Q(y)T, R(y) = R(y)T, và S(y) đều phụ thuộc vào biến y.

Sau đây là một số tiêu chuẩn phụ thuộc trễ đối với tính ổn địnhtiệm cận của hệ (2.4) cùng với điều kiện (2.2)-(2.3)

Định lý 2.2.3 [18] Hệ (2.1) cùng với (2.2)- (2.3) và u(t) = 0 được gọi là

ổn định tiệm cận nếu kA2k + kH2k · kE2k < 1 và tồn tại các ma trận đối

xứng xác định dương P, Q, R, S, và các hằng số dương εi, i = 0, 1, 2, sao

cho điều kiện bất đẳng thức LMI đúng:

Các đạo hàm theo thời gian của Vi(xt), i = 1, 2, 3, 4 dọc theo quỹ đạo của

xT(t)P bA+ bATP+ P∆A0(t) + ∆AT0P

x(t)+ 2xT(t)P(A1−C + ∆A1(t))x(t − h(t))

(2.10)Một ma trận cấp 5n × 5n sau