Lí thuyết vế độ linh động của lỗ trống trong giếng lượng tử vuông góc sisi1 x gesix ở nhiệt độ thấp

Bằng việc sử dụng phương pháp biến phân, luận văn sẽ dẫn ra được biểu thức giải tích về sự phân bố của hạt tải và tán xạ của chúng trong giếng lượng tử vuông góc.. Từ đó giải thích các t

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Lê Thị Khánh Ngọc

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến

TS Trần Thị Hải, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo cho em trong suốt quá

trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này

Em cũng xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong tổ Bộ môn Vật lí và Khoa KHTN đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em hoàn thiện luận văn này

Cuối cùng, em xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên

và chia sẻ khó khăn cùng em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 7 năm 2017

Tác giả

Lê Thị Khánh Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

4 Nội dung nghiên cứu 2

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được cấu trúc gồm 3 chương 2

CHƯƠNG I: LÍ THUYẾT VỀ ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA HẠT TẢITRONG HỆ HAI CHIỀU 4

1.1 Hạt tải trong cấu trúc bán dẫn dị hai chiều 4

1.2 Hiện tượng vận chuyển của hạt tải trong hệ hai chiều 6

1.2.1 Các cơ chế tán xạ 6

1.2.2 Độ linh động của hạt tải điện 9

CHƯƠNG 2ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA KHÍ LỖ TRỐNG TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ VUÔNG GÓC CÓ CHIỀU CAO HỮU HẠN 13

2.1 Giếng lượng tử vuông góc chiều sâu hữu hạn 13

2.1.1 Hàm sóng trong giếng lượng tử vuông góc 13

2.1.2 Hàm điện môi 15

2.2 Các cơ chế tán xạ của khí lỗ trống trong giếng lượng tử vuông góc có chiều cao hữu hạn 17

2.2.1 Không trật tự hợp bán dẫn (Ally disorder) 17

2.2.2 Độ nhám bề mặt (Surface roughness) 20

2.2.3 Thế biến dạng khớp sai 24

2.2.4 Tán xạ do tạp chất bị ion hóa 27

CHƯƠNG 3TÍNH SỐ ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA LỖ TRỐNG TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ VUÔNG GÓC Si/Si1-xGex /Si Ở NHIỆT ĐỘ THẤP 30

3.1 Các tham số thực nghiệm 30

3.2 Hàm sóng 30

3.2 Độ linh động của hạt tải 31

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 3.1: Hàm sóng trong giếng lượng tử vuông góc có chiều cao hữu

hạn

Hình 3.2: Độ linh động do tán xạ gây bởi độ nhám bề mặt

Hình 3.3: Độ linh động gây ra bởi thế biến dạng khớp sai DP

Hình 3.4: Độ linh động gây ra bởi thế không trật tự hợp kim bán dẫn

Hình 3.5: Độ linh động tổng cộng của hạt tải gây ra bởi tất cả các cơ

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Khoa học công nghệ nano là một ngành khoa học đang được quan tâm và thúc đẩy phát triển mạnh mẽ hiện nay, công nghệ nano đã mở ra một bước ngoặt mới, con đường mới cho ngành khoa học nó đã mở ra một triển vọng mới trong việc ứng dụng những dụng cụ thông tin kỹ thuật có những chức năng mà trước kia chưa từng có Các dòng máy tính điện tử ngày càng được nâng cấp nhờ tăng được mật độ và tốc độ xử lý thông tin bằng cách thu nhỏ kích thước của những thành tố cơ bản Sự hoạt động của các cấu trúc nano có độ linh động cao được quy định bởi các tính chất vận chuyển của chúng

Các kênh dẫn với độ linh động cao là một trong những vấn đề thách thức của vật lý bán dẫn hiện đại và có tầm quan trọng lớn đối với việc ứng dụng các thiết bị, máy móc Để nâng cao phẩm chất của các linh kiện, không những phải tăng mật độ hạt tải mà còn phải tăng độ linh động của hạt tải Độ linh động lớn

sẽ giúp giảm toả nhiệt và cho phép chúng ta chế tạo những linh kiện có tốc độ chuyển mạch nhanh[9] Độ dẫn điện được tính theo công thức:

Muốn tăng độ dẫn điện, không những phải tăng mật độ hạt tải n mà còn phải

tăng độ linh động của hạt tải Vậy vấn đề sống còn của vật lý bán dẫn là phải tìm cách nâng cao được độ linh động

Mục đích đề tài là đưa ra lý thuyết nghiên cứu về độ linh động của lỗ trống trong giếng lượng tử vuông góc Si/Si1-xGex/Si có chiều cao hữu hạn ở nhiệt độ thấp Bằng việc sử dụng phương pháp biến phân, luận văn sẽ dẫn ra được biểu thức giải tích về sự phân bố của hạt tải và tán xạ của chúng trong giếng lượng tử vuông góc Từ đó giải thích các thí nghiệm gần đây về tính chất vận chuyển của hạt tải trong giếng lượng tử, đặc biệt là sự phụ thuộc của độ linh động vào độ rộng kênh dẫn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số cơ chế tán xạ của hạt tải trong giếng lượng tử vuông góc Si/Si1-xGex/Si ở nhiệt độ thấp

Tính toán độ linh động của hạt tải và so sánh với các kết quả thực nghiệm

về hiện tượng vận chuyển của hạt tải trong cấu trúc trên

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong nghiên cứu lý thuyết hiện đại, sự xuất hiện của các phương pháp cũng như công cụ tính toán hiện đại cho phép nghiên cứu định lượng các mô hình gần với thực tế hơn song không vì thế mà các phương pháp của vật lý lý thuyết mất đi vai trò đã có Trong luận văn tác giả kết hợp giữa phương pháp giải tích truyền thống và phương pháp tính số

i) Phương pháp giải tích:

Bằng cách phát triển các công cụ toán học mới thích hợp để mô tả ảnh hưởng của pha tạp điều biến trong giếng lượng tử vuông góc, tác giả tìm được nghiệm biến phân của hệ phương trình Schrodinger-Poisson cho hạt tải trong giếng lượng tử vuông góc

Với các hàm bao (envelop functions) nhận được bằng phương pháp biến phân tác giả có thể dẫn ra biểu thức mô tả ảnh hưởng của pha tạp lên phân bố hạt tải

và độ linh động của chúng trong giếng lượng tử bán dẫn vuông góc dưới dạng giải tích

ii) Phương pháp tính số Phương pháp tính số cho phép kiểm tra kết quả giải tích, nghiên cứu định lượng sự phát triển của bài toán trong các điều kiện khác nhau bằng cách sử dụng phần mềm toán họcmathematica.Mặt khác, phương pháp tính số các mô hình thực (hoặc gần thực) cho ta các kết quả để so sánh với thực nghiệm

4 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được cấu trúc gồm 3 chương

Chương I: Lý thuyết về độ linh động của hạt tải trong hệ hai chiều

Chương II: Độ linh động của khí lỗ trống trong giếng lượng tử vuông góc có chiều cao hữu hạn

Chương III: Tính số về độ linh động của lỗ trống trong mô hình giếng lượng tử vuông góc Si/Si1-xGex/Si ở nhiệt độ thấp

CHƯƠNG 1

LÍ THUYẾT VỀ ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA HẠT TẢI

TRONG HỆ HAI CHIỀU 1.1 Hạt tải trong cấu trúc bán dẫn dị hai chiều

Trong giếng lượng tử, khí lỗ trống bị giam cầm theo phương z (phương nuôi của vật liệu) với thế giam cầm V( z):

với :

b

V z là thế giam cầm xuất hiện do chênh lệch về đỉnh vùng hóa trị giữa giếng

và rào, thường kí hiệu V0,

H

V z là thế Hatree,

xc

V z là thế giam cầm do tương tác trao đổi

Hàm sóng và năng lượng của lỗ trống được giải từ phương trình SchrÖdinger

ở đây ta đã bỏ qua sự khác nhau của m z trong các lớp vật liệu khác nhau, tức là

bỏ qua sự phụ thuộc của m z vào z

Thực hiện tách biến ta được :

n

D D

E3 2 1 (1.3)

Trong đó : E2D là năng lượng chuyển động của lỗ trống trong mặt phẳng x, y,

D

E1 là năng lượng của lỗ trống theo phương z

Như vậy, mặc dù bậc tự do theo phương z của lỗ trống bị đóng băng nhưng

nó vẫn có kích thước quãng tính theo phương đó, chính là bó sóng n (z) theo

phương z Còn trong mặt phẳng x, y thì lỗ trống là tự do hoàn toàn:

m k

lúc này việc giải bài toán 3 chiều được quy về bài toán hai chiều trong mặt

phẳng x, y và bài toán 1 chiều theo phương z Tuy nhiên giữa hai bài toán này

không độc lập mà có mối quan hệ mật thiết với nhau Mặc dù bậc tự do theo

phương z của lỗ trống bị đóng băng nhưng khí lỗ trống lại là một bó sóng theo

phương này nên nó ảnh hưởng rất lớn đến chuyển động bị tán xạ của khí lỗ

trống trong mặt phẳng x, y, điều này sẽ được thể hiện rõ trong nội dung của

phải liên tục trên toàn miền giếng và rào thế

Như vậy, khi biết thế giam cầm V( z) cho miền z ( , )thay V( z) vào

phương trình SchrÖdinger ta tìm được hàm sóng n (z), từ đó ta sẽ tính được ảnh hưởng của bó sóng n (z) đến chuyển động bị tán xạ trong mặt phẳng x, y của

khí lỗ trống Tóm lại, chúng ta phải giải quyết hai bài toán: tìm thế giam cầm

theo phương z (bài toán 1 chiều) và các cơ chế tán xạ trong mặt phẳng x, y (bài

toán hai chiều)

1.2 Hiện tƣợng vận chuyển của hạt tải trong hệ hai chiều

1.2.1 Các cơ chế tán xạ

Đối với khí điện tử hai chiều ở nhiệt độ thấp, các hạt có năng lượng xấp xỉ bằng năng lượng Fermi mới tham gia trực tiếp quá trình dẫn điện vì chúng có khả năng lớn nhất để nhận năng lượng từ trường ngoài và chuyển lên mức cao hơn Tuy nhiên hạt tải chuyển động được xem xét không chỉ đơn thuần như là một chất điểm mà phải là một bó sóng có kích thước Vì vậy hạt tải chịu ảnh hưởng bởi các nguồn tán xạ khác nhau, tương ứng với các trường thế tán xạ tác động lên độ linh động của hạt tải Việc chỉ ra đầy đủ các cơ chế tán xạ sẽ xác định chính xác độ linh động, tức là độ dẫn điện của các vật liệu Trong luận văn này chúng tôi xét đến các cơ chế tán xạ sau đây:

Tán xạ trên các tạp ion hoá(Ionized impurity) có: Tạp nền (background

impurity) và tạp được pha vào có chủ ý (doping impurity)

Ta đã biết trong quá trình nuôi tinh thể, môi trường bị nhiễm bẩn làm xuất hiện các tâm tạp phân bố ngẫu nhiên trong mẫu đóng vai trò là nguồn tán xạ lên khí điện tử hai chiều Va chạm của hạt tải và tâm tán xạ có thể là va chạm đàn hồi hoặc không đàn hồi Va chạm là đàn hồi khi động năng của các hạt tham gia được bảo toàn Nếu động năng của các hạt sau khi va chạm lớn hơn hoặc nhỏ hơn trước khi va chạm thì va chạm là không đàn hồi Các tâm tán xạ (tạp ion hóa) thường không định xứ trong mặt phẳng màng mỏng mà ở một khoảng cách

nào đó đến màng mỏng Trong các cấu trúc MOS tạp chất có thể là những ion

được gọi là điện tích nội tại, luôn luôn tồn tại trong lớp ôxit và với nồng độ coi như ít thay đổi trong một vùng nghèo có kích thước lớn hơn rất nhiều so với chiều dày lớp đảo (lớp tích tụ điện tích), còn trong các cấu trúc pha tạp có chủ ý các ion tạp chất bị loại bỏ một cách có chủ định khỏi mặt phẳng của khí điện tử Đây chính là phương pháp làm giảm ảnh hưởng của tán xạ gây bởi các ion tạp chất

Tán xạ do độ nhám bề mặt (surface roughness):

Độ nhám bề mặt phụ thuộc vào công nghệ chế tạo mẫu Theo phương pháp epitaxy chùm phân tử (MBE) thì độ nhám chỉ chiếm tỷ lệ đến vài phần trăm bề rộng của giếng, nhưng có thể chiếm tới 30 phần trăm trong phương pháp lắng đọng hóa học từ pha hơi (CVD) Vì vậy, bề mặt tiếp xúc giữa các vật liệu không thể đạt được độ phẳng tuyệt đối, cho dù kỹ thuật tạo mẫu ngày càng hiện đại Cơ chế tán xạ do độ nhám bề mặt được gây ra bởi bản chất không lý tưởng của bề mặt tiếp xúc Cho nên chuyển động của điện tử hay lỗ trống không thể tránh khỏi ảnh hưởng của độ sần sùi của bề mặt tiếp xúc Như vậy, với bất kỳ giếng lượng tử nào, độ nhám bề mặt sẽ làm thay đổi vị trí của rào thế một cách ngẫu nhiên và tạo một trường thế tán xạ đối với chuyển động của khí điện tử hay lỗ trống

Tán xạ bởi sự không trật tự hợp kim bán dẫn (Alloy disorder):

Thế tán xạ gây bởi sự không trật tự hợp kimbán dẫn sinh ra do ta ghép

các vật liệu khác nhau với các mức độ pha tạpkhác nhau để tạo thành giếng lượng tử Tán xạ do sự không trật tự hợp kim bán dẫn sẽ mạnh nếu như cả khí hạt tải và khối bán dẫn định xứ trong cùng một không gian

Tán xạ do thế biến dạng khớp sai(misfit deformation potential) và thế áp

điện(piezoelectric potential)

Khi ghép hai bán dẫn tinh thể với nhau trong tiếp xúc bán dẫn dị chất, để đảm bảo chất lượng mặt phân cách (giảm độ nhám bề mặt) và chất lượng tinh thể, người ta phải chọn các cặp chất bán dẫn có hằng số mạng tinh thể càng gần nhau càng tốt (sai khác không quá 7%) Tuy nhiên, sự sai khác không thể tránh khỏi của các hằng số mạng, thậm chí thêm cả yếu tố loại mạng tinh thể của các chất bán dẫn được dùng, dẫn tới việc sẽ có một số liên kết tinh thể nào đó tại mặt phân cách bị phá vỡ hay biến dạng Hiện tượng này ảnh hưởng lên chuyển

động của các hạt tải bị giam cầm theo phương z, nhưng chuyển động trong mặt phẳng (x, y) ở gần với bề mặt phân cách, như là một thế tán xạ mới với tên gọi là

thế tán xạ khớp sai

Hơn nữa, khi “lắp ghép” hai bán dẫn khác loại với nhau, có thể xảy ra hiên tượng phân bố không đồng đều các khối điện tích trái dấu, nhất là đối với các tinh thể có tính ion cao Ứng suất tồn tại ở mặt phân cách có thể gây nên sự tạo thành các lưỡng cực điện, tạo ra thế tán xạ áp điện đối với các hạt tải điện được xét Đây là các cơ chế tán xạ mới được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây

Phân loại tán xạ: tán xạ đàn hồi, tức là quá trình bảo toàn năng lượng trước và sau tán xạ: tán xạ không đàn hồi, tức là quá trình không bảo toàn năng lượng trước và sau tán xạ

Trạng thái của lỗ trống sau khi tán xạ bị thay đổi Gọi trạng thái đầu của lỗ trống

là với năng lượng hàm sóng:

Xác suất chuyển dời từ trạng thái sang trạng thái là trong một đơn

vị thời gian được xác định theo quy tắc vàng Fermi trong cơ học lượng tử:

), (

'

2

' 2

) (

là biến đổi Fourier hai chiều của thế tán xạ, khi đó:

V 00 (q) =

0 '

0 V n (z)2 (1.15)

1.2.2 Độ linh động của hạt tải điện

Tại nhiệt độ 0 K, độ linh động của lỗ trống được xác định qua thời gian sống vận chuyển :

, (1.16)

là khối lượng hiệu dụng của lỗ trống trong mặt phẳng x, y

Thời gian sống vận chuyển (hay thời gian sống cổ điển, thời gian hồi phục động lượng và thời gian tán xạ động lượng) là khoảng thời gian trung bình mà hạt tải vẫn bảo toàn hướng chuyển động trong điện trường

Tai 0 K, dưới mức Fermi bị lấp đầy, chỉ có những hạt nằm lân cận mức

Fermi mới tham gia vào quá trình tán xạ, khi đó k = k F và:

Nghịch đảo thời gian sống vận chuyển được tính theo công thức sau:

Thực hiện biến đổi tích phân và tính đến hiệu ứng chắn:

tương quan trong không gian véc tơ sóng; k Flà số sóng Fermi được xác định theo

nồng độ lỗ trống p s:k F 2 p s và năng lượng Fermi 2 *2

2

F F

k E

m



; là hàm điện môi, dùng để định lượng cho hiệu ứng chắn mà ta sẽ xét kỹ trong chương 2

Khí hạt tải hai chiều bị tán xạ bởi nhiều cơ chế tán xạ: không trật tự hợp bán dẫn (AD), thế biến dạng khớp sai (DP), độ nhám bề mặt (SR), tạp bị ion hóa (ID), khi đó thế tán xạ tổng cộng theotài liệu[1]:

U(q) = Utot(q) = UAD(q) + UDP(q) + USR(q) + UID(q) , (1.21)

và:

(1.22) Các thế tán xạ là ngẫu nhiên, cho nên trung bình theo thăng giáng là bằng không:

Mặt khác do các nguồn tán xạ là độc lập (thống kê) nhau nên:

từ đây ta có:

, (1.23) Khi đó, từ phương trình (1.19) ta dễ dàng chứng minh được độ linh động tổng cộng gây ra bởi cơ chế tán xạ theo quy tắc sau:

(1.24) gọi là quy tắc Matthiessen

Tuy nhiên, trong mô hình nghiên cứu của chúng tôi, do có hai lớp tiếp xúc giữa giếng và rào nên ảnh hưởng của độ nhám bề mặt phải được tính hai lần Tương tự như vậy, thế biến dạng khớp sai xuất hiện ở bề mặt tiếp xúc cũng phải được tính hai lần Vì vậy, trong trường hợp này độ linh động tổng cộng sẽ có dạng:

(1.25)

Ta biết rằng, độ dẫn điện, độ linh động được suy ra từ phương trình Boltzmann Đây là phương trình vi tích phân không tầm thường, sau khi tuyến tính hóa nó sẽ cho chúng ta bức tranh đơn giản về tác động của điện trường lên hạt tải Đặc biệt là sự xuất hiện của tham số gọi là „thời gian hồi phục xung lượng‟ Xác định được thời gian hồi phục xung lượng này theo quy tắc Matthiessen ta sẽ tính được độ linh động tổng cộng gây ra bởi các cơ chế tán xạ lên quá trình vận chuyển của hạt tải trong giếng lượng tử

Tại nhiệt độ đủ thấp, chúng ta tìm được độ dẫn điện được xác định theo phương trình:

(1.26)

Từ phương trình (1.26) thấy rằng độ dẫn tỉ lệ với nồng độ electron toàn phần

và tất cả các electron đóng góp như nhau để tạo thành dòng điện Mặt khác ở

0 K chỉ có các electron ở bề mặt Fermi mới tham gia vào quá trình dẫn điện Điều này dẫn tới nồng độ electron cao hơn sẽ làm gia tăng số electron và vận tốc electron ở bề mặt Fermi, vì thế độ dẫn cũng sẽ tỉ lệ với n

Từ đó ta định nghĩa độ linh động xác định bởi (1.16), trong đó e và m* là điện tích và khối lượng hiệu dụng của electron

CHƯƠNG 2

ĐỘ LINH ĐỘNG CỦA KHÍ LỖ TRỐNG TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ

VUÔNG GÓC CÓ CHIỀU CAO HỮU HẠN 2.1 Giếng lượng tử vuông góc chiều cao hữu hạn

2.1.1 Hàm sóng trong giếng lượng tử vuông góc

Ta chỉ xét khí lỗ trống bị giam cầm bởi thế giam cầm do chênh lệch về đỉnh

vùng hóa trị giữa giếng và rào V 0 và bỏ qua các thế giam cầm khác, khi đó giếng lượng tử có dạng vuông góc, tại nhiệt độ rất thấp, các lỗ trống chủ yếu nằm ở trạng thái cơ bản Đối với giếng lượng tử vuông góccó chiều cao rào thế hữu hạn, trạng thái cơ bản này đã được mô tả chính xác bởi hàm sóng (z) Tuy nhiên trong mô hình này, chúng tôi chọn hàm sóng có dạng đối xứng tại tâm của giếng thế:

)

(z (2.1)

ở đây k và là số sóng tương ứng ở trong giếng và hai bên rào; A và B là các

hằng số không thứ nguyên được xác định từ điều kiện chuẩn hóa, điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó tại z = - L/2:

Điều kiện chuẩn hóa:

+

⇔ I1 + I2+ I3 = 1

Tính các tích phân I1, I2, I3:

Từ đó, ta có :

(2.4)

ở đây a = kL và b = L là số sóng trong giếng và hai bên rào Mặt khác, từ

phương trình SchrÖdinger cho giếng lượng tử vuông khi thay V(z) bởi chiều cao

rào thế Phương trình SchrÖdinger cho thế

Từ phương trình trên ta thu được:

2.1.2 Hàm điện môi

Trong phần này ta xét đến hàm điện môi xuất hiện trong phương trình (1.19) Hàm điện môi là đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng chắn của khí lỗ trống hai chiều đối với các cơ chế tán xạ, và chắn ở đây là chắn động Một tập hợp các điện tích phân bố đều trong không gian sẽ tạo ra từ trường Khi có tác dụng của một nguồn ngoài nào đó thì hệ điện tích sẽ phân bố lại và phân bố trở nên không đều, hệ bị phân cực, sự phân cực tạo ra một trường phụ, trường phụ

có xu hướng chống lại nguồn đã sinh ra nó, tác dụng ngược chiều với trường chính Khi đó trường tổng hợp bao gồm trường chính cộng với trường phụ sẽ yếu hơn trường chính Đó là hiệu ứng chắn

Hiệu ứng chắn động được định lượng bằng hàm điện môi Đối với khí

lỗ trống hai chiều, biểu thức trong gần đúng pha ngẫu nhiên đã được đưa ra bởi tài liệu tham khảo có dạng như sau:

(2.6)

ở đây là nghịch đảo bán kính chắn Thomas-Fermi đảo hai chiều, với là hằng số điện môi của QW Hàm G(q) =

hiệu chỉnh trường ngoại theo các hiệu ứng rao đổi.Số hạng là thừa số

dạng chắn phụ thuộc vào sự phân bố của khí lỗ trống theo phương z, được xác

định bởi:

(2.7) Với hàm sóng được xác định trong (2.1), đồng thời đặt t = qL ta thu

được:

(2.8) với:

, (2.9)

(2.11)

Cuối cùng, hàm G(q) trong các phương trình (2.6) là hiệu chính trường cục

bộ khi tính đến tương tác trao đổi, tức là tương tác của các điện tử xuất hiện do nguyên lí Pauli Theo nguyên lí Pauli, không thể tồn tại quá hai hạt Fermion cùng nằm trong một trạng thái, điều này đã hạn chế khả năng di chuyển của các điện tích, làm giảm sự phân cực của hệ, làm yếu từ trường phụ, thế chắn vì thế

yếu đi Trong phép gần đúng Hubbard, G(q) có dạng :