Tính điều khiển được và ổn định hóa đối với các hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính

Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển.. Rất nhiều bà

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học

có nhiều ứng dụng quan trọng, mới được phát triển khoảng mấy thập kỷ gần đây Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là những mô hình và các phương pháp toán học được ứng dụng để giải quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển Rất nhiều bài toán trong khoa học, công nghệ kĩ thuật và kinh tế được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân chứa tham số điều khiển và cần đến những công cụ toán học để tìm lời giải

Một trong những vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất trong lý thuyết điều khiển hệ thống là bài toán điều khiển được, tức là nghiên cứu các lớp hàm điều khiển chấp nhận được sao cho dưới tác động của nó hệ thống được điều khiển về các vị trí, trạng thái mong muốn Bài toán điều khiển có liên quan chặt chẽ đến các bài toán khác, như bài toán ổn định

và ổn định hóa, bài toán điều khiển tối ưu

Dựa vào mục đích điều khiển của hệ thống người ta định nghĩa các khái niệm khác nhau của bài toán điều khiển được như: Điều khiển được toàn cục, đạt được hoàn toàn, điều khiển được về 0, điều khiển được địa phương,

Tính ổn định là một trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết định tính các hệ động lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ 19 bằng những công trình xuất sắc của nhà toán học Lyapunov Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các

hệ phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ động lực, bài toán ổn định các hệ điều khiển hay thường gọi là bài toán ổn định hóa cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng thực tiễn Dựa trên các kết quả về lý thuyết ổn định Lyapunov, người ta tìm lời giải cho bài toán ổn định hóa Từ những kết quả đầu tiên về quan hệ giữa tính ổn định và điều khiển được của các hệ điều khiển,nhiều kết quả thú vị và có nhiều ứng dụng trong các bài toán kỹ thuật và công nghệ đã được công bố

Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ rất lâu, khoảng

200 năm trở lại đây Tuy nhiên lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong

đó có phương trình vi phân đại số tuyến tính mới được thực sự quan tâm trong vòng 40 năm trở lại đây Phương trình vi phân đại số tuyến tính có rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình vi phân thường Ví dụ: Ma trận hệ số là ma trận suy biến, không khả nghịch, làm cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan sẽ phức tạp nhưng lại hấp dẫn Hiện nay, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng việc nghiên cứu hệ phương trình vi phân suy biến vẫn còn mang tính thời sự, bởi còn nhiều câu hỏi chưa giải đáp được

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống một

số kết quả nghiên cứu trong những năm gần đây Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, bachương và phần tài liệu tham khảo

Chương 1, trình bàykhái niệm về tính điều khiển được, khái niệm

về tính ổn định và ổn định hóa

Chương 2, nghiên cứu một vài tính đạt được và tính điều khiển được, của phương trình vi phân đại số

Chương 3, nghiên cứu tínhổnđịnh hoá, mối liên hệ giữa tính ổn định hóa và những tính chất ổn định hóa của các hệphương trình viphân đại số

Chương 1

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Chương này trình bày một số kết quả được dùng nhiều trong chương 2 và chương 3, đó là các khái niệm và một số tính chất cơ bản của tính điều khiển được, tính ổn định hóa đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.1 Các khái niệm về tính điều khiển được

Xét một hệ thống điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng:

xi( )t = A t( )x t( )+B t( )u t( ), t³ 0. (1.1)

Trong đó x t( )Î » n là véc tơ trạng thái, u t( )Î »m là véc tơ điều khiển,

n³m, A t( ), B t( ) là những ma trận có số chiều

( )n´n , n( ´m) tương ứng Một hàm véc tơ u t( ) xác định trên 0; là khả tích địa phương lấy giá trị trong » m sẽ được gọi là điều khiển chấp nhận được, thông thường là các hàm trong

L p(éë 0;¥),» m) Trong báo cáo, này để đơn giản cách viết

ta xét p= 2 và lớp hàm này ta kí hiệu là U.Xét hệ điều khiển tuyến tính

1.1 với giá trị ban đầu

x 0( )= x0 cho trước Như vậy ứng với mỗi điều khiển chấp nhận được u t bài toán cauchy của hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 luôn có nghiệm

x t,x( 0,u) tại thời điểm tđược cho bởi

Định nghĩa 1.1.1.Cho hai trạng thái

x0, x1Î » n , cặp

( )x0, x1 được gọi là điều khiển được sau thời gian t1 0, nếu tồn tại một điều khiển chấp nhận được u t sao cho nghiệm

x t,x( 0,u) của hệ thỏa mãn điều kiện

x 0,x( 0,u)=x0, x t(1, x0,u)= x1

Định nghĩa 1.1.2.Hệ điều khiển 1.1 gọi là điều khiển được hoàn toàn

GC nếu với bất kì hai trạng thái x x0, 1 sẽ tìm được một thời gian t1 0

sao cho x x0, 1 là điều khiển được sau thời gian t1

Trong trường hợp tồn tại một lân cận gốc

V 0( )Ì »n sao cho hệ 1.1 là điều khiển được hoàn toàn trong V 0 , thì hệ được gọi là điều khiển được địa phương LC

Định nghĩa 1.1.3.Hệ điều khiển 1.1 gọi là đạt được hoàn toàn GR nếu với bất kì trạng thái

x1 Î » n , tồn tại một thời gian t1 0 sao cho

1

0, x là điều khiển được sau thời gian t1

Định nghĩa 1.1.4.Hệ điều khiển 1.1 được gọi là điều khiển được hoàn toàn về 0 GNC nếu với bất kì trạng thái x0 Î »n , tồn tại một thời gian

t sao cho x0, 0 là điều khiển được sau thời gian t1

Một cách hình học, nếu ta định nghĩa tập Rt x0 là tập hợp tất cả các trạng thái xÎ »n mà từ đó hệ thống đạt được từ trạng thái x0 sau thời gian t1 0, tức là:

+ GC nếu

"x0 Î » n: R

( )x0 = »n;

+ GR nếu R

( )0 = » n; + GNC nếu

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng một kết quả cơ sở đầu tiên về tính điều khiển

được cho hệ điều khiển tuyến tính dừng dạng:

xi( )t = Ax t( )+Bu t( ), t³ 0 (1.3) Trong đó x t( )Î » n, u t( )Î »m, A,B là các ma trận hằng số có số chiều

tương ứng Đối với hệ dừng 1.3 theo công thức nghiệm 1.2 , ta có ma

Định lý 1.1.1.(Tiêu chuẩn hạng Kalman)Hệ tuyến tính dừng 1.3 là

điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi

ö ø÷, AB= 2

5

æ èç

ö ø÷

ö ø÷ = 2Nên hệ đã cho là GC

Thí dụ 1.1.2.Xét tính điều khiển được của phương trình cấp n

0 1

æ

è

ç ç ç ç ç ç

Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:

x t( )0 =x0,t³ 0 luôn có nghiệm.Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi công thức

y t( )-x t( ) < e , "t³t0

Nói cách khác, nghiệm x t là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ

có giả trị ban đầu đủx t gần với giá trị ban đầu của x t thì vẫn đủ gần

nó trong suốt khoảng thời gian t t0

Định nghĩa 1.2.2.Nghiệm x t của hệ 1.5 gọi là ổn định tiệm cận nếu

nó ổn định và tồn tại một số 0 sao cho với y0 x0 thì

limt®¥ y t( )-x t( ) = 0 Nghĩa là, nghiệm x t của hệ gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và mọi nghiệm y t khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu

x sẽ tiến tới gần x t khi t tiến tới vô cùng

Nhận xét rằng bằng phép biến đổi hệ phương trình 1.5 sẽ được đưa về dạng:

zi= F( )t, z (1.6) Trong đó F , 0 0,và khi đó sự ổn định của một nghiệm x t nào đó của hệ 1.5 sẽ được đưa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của

hệ 1.6 Để ngắn gọn từ nay ta sẽ nói hệ 1.6 là ổn định thay vào nói nghiệm 0 của hệ là ổn định Do đó, từ bây giờ ta xét hệ 1.5 với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là

f t,0( )=0,tÎ »+ Ta nói:

- Hệ 1.5 là ổn định nếu với bất kì

e >0,t0Î »+ sẽ tồn tại số 0( phụ thuộc vào ,t0)sao cho bất kì nghiệm x t :x t0 x0 của hệ thoã mãn

Định nghĩa 1.2.3.Hệ 1.5 là ổn định mũ nếu tồn tại các số M 0, 0

sao cho mọi nghiệm của hệ 1.5 với x t0 x0 thỏa mãn

x t( ) <Me-d( )t-t0 , "t³t0 Nghĩa là, nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọinghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

Ví dụ 1.2.1.Xét phương trình vi phân sau trong »

x

i

=ax, t³ 0

Nghiệm x t , với x t0 x0 cho bởi công thức

x t( )=x0e at

, t³ 0 Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a 0.Nếu a 0 thì hệ là ổn định Hơn nữa , hệ sẽ là ổn định đều( hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số

0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0

Ví dụ 1.2.2.Xét phương trình vi phân

xi( )t =a t( )x, t³ 0 Trong đó

a t( ): »+ ® » là hàm liên tục, nghiệm x t của hệ với điều kiện ban đầu x t0 x0 cho bởi

xi( )t = Ax t( ), t³ 0 (1.8) trong đó A là n n -ma trận Nghiệm của hệ (1.8) xuất phát từ trạng thái ban đầu x t0 cho bởi

x t( )= x0e A t( )-t0 , t³t0

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.8), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

Định lý 1.2.1.[2] Hệ (1.8) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của

tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là

ö ø÷ Vậy giá trị riêng của Alà 1, 2 Vậy hệ đã cho ổn định tiệm cận

Định lý 1.2.2.[2] Giả sử đa thức đặc trưng mà phương trình vi phân

(1.8) đã cho là

f z( )=z n+a1z n- 1 + +a n,

khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k k( 1, 2, , )n là dương thì phần thực của tất cả các nghiệm của f z là âm, tức là hệ đã cho ổn định tiệm cận, trong đó

det D1=a1, det D2 = det a1 a3

1 a2

æ èç

ö ø÷,

det D k = det

và a r = 0, nếu r >n

Ví dụ 1.2.4 Xét tính ổn định của phương trình vi phân

Định lý 1.2.3.[2] Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận

Y đối xứng xác định dương, phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dương X

1.3 Các khái niệm về tính ổn định hóa

Xét hệ điều khiển mô tả bởi hệ phương trình vi phân

xi( )t = f t, x t( ( ),u t( ) ), t³ 0

x t( )λ , u t( )λ m

ì í ï îï

(1.9)

Định nghĩa 1.3.1.Hệ (1.9) gọi là ổn định hoá được nếu tồn tại hàm

h x( ): »n® » m sao cho với hàm điều khiển này hệ phương trình vi phân

xi( )t = f t,x t( ( ), h t( ) ), t³ 0

là ổn định tiệm cận Hàm h x thường gọi là hàm điều khiển ngược

Trường hợp hệ (1.9) là hệ tuyến tính xi= Ax+Bu thì hệ là ổn định hoá được nếu tồn tại ma trận K sao cho ma trận (A+BK) là ổn định Các định nghĩa trên sẽ được định nghĩa tương tự cho hệ rời rạc

x k( )+ 1 = f k,x k( ( ),u k( ) ), kÎ »+ (1.10)

Như vậy mục đích của bài toán ổn định hoá là tìm các hàm điều khiển ngược h . hoặc ma trận K sao cho hệ là ổn định theo định nghĩa Lyapunov Ngay cả đối với hệ tuyến tính

Định lý 1.3.1.Hệ tuyến tính (1.11) là ổn định hóa được nếu nó điều

khiển được về 0hoàn toàn

Ví dụ 1.3.1.Xét hệ điều khiển (1.11) trong đó

A= 0 0

0 - 2

æ èç

ö ø÷, B= 0

1

æ èç

ö ø÷

û

ú = 1 < 2

Ví dụ trên chỉ ra rằng nếu hệ ổn định hóa được thì hệ đó chưa chắc đã

là GNC.Như vậy để hệ ổn định hóa được là GNC thì cần đòi hỏi điều kiện mạnh hơn tính ổn định hóa được.Đó chính là tính ổn định hóa mạnh

Định nghĩa 1.3.2.Hệ (1.11) là ổn định hoá mạnh nếu với bất kì số 0 , tồn tại ma trận điều khiển ngược K sao cho bất cứ nghiệm nào của hệ (1.12)là ổn định mũ theo chỉ số ổn định Lyapunov , tức là

x t,x( )0 £ Me-d( )t-t0 x

0 , "t³t0với M 0 nào đó

Tính ổn định hóa mạnh đòi hỏi tính ổn định mạnh của hệ theo bất cứ chỉ

số Lyapunov 0 nào Định lý sau đây chứng tỏ rằng các hệ ổn định hóa mạnh là điều khiển được về 0

Định lý 1.3.2.Giả sử hệ (1.11) là ổn định hóa mạnh, khi đó hệ là GNC

Chứng minh (Bằng phản chứng)

Giả sử hệ không là GNC, theo tiêu chuẩn hạng Kalman ta có

rank B, AB, , Aéë n- 1Bùû =k<n Khi đó, hệ (1.11) phân tích thành 2 hệ

bởima trận không suy biến Pnào đó, trong đó

rank B1, B1A11, , B1A11k- 1

éë ùû =k <n, tức là, hệ con thứ nhất (1.13) là GNC trên »k và

ö ø÷, PBÞ

B1

0

æ èç

ö ø÷ Xét ma trận K (m n)tùy ý với u Kx Hệ (1.12) khi đó cũng theo cách phân tích như trên với u Kx, hệ (1.11) sẽ phân tích thành các hệ con (1.13) trong đó

A®( A+BK)®( A11, A12, B1)

Do đó

ö ø÷ - B1K1 0

æ èç

ö ø÷

é ë

ê ê

ù û

ú ú

= det lI-( A11+B1K ) -A12

æ èç

ö ø÷

é ë

ê ê

ù û

ú ú

= det éë lI-( A11+B1K )ùû - det(lI-A22).Như vậy bằng phép biến đổi không suy biến, định thức của

A BK phân tích thành tích 2 định thức (A11 B K1 )và (A22 )

Ta có

l( )A22 Íl( A+BK) (1.14) Bây giờ ta sẽ chọn Knhư sau: Lấy tùy ý số 0thỏa mãn

d <max Re{ l , l Î l( )A22 }

Vì hệ là ổn định hóa mạnh nên với 0sẽ tồn tại ma trận Kđể A BK

là ổn định, tức là mọi nghiệm của hệ (1.12) thỏa mãn

x t,x( )0 £ M x0 e-d( )t-t0 , "t³t0, trong đó chỉ số ổn định Lyapunov

d =max Re{ l , l Î l(A+BK) }

Từ (1.14) ta có

d >max Re{ l , l Î l( )A22 } Điều này mâu thuẫn với cách chọn Định lý được chứng minh

Cho P là ma trận khả nghịch sao cho:

P-1KP= C 0

0 N

æ èç

ö ø÷

detC 0, Nluỹ linh

ö ø÷, W = 0 0

0 N

æ èç

ö ø÷

K I luôn chính quy

Nếu f t 0 và A I , Bài toán (2.1) có nghiệm khi và chỉ khi

x M = Im V Bây giờ chúng ta kýhiệuN= kerV

Nếu K A, là chính quy thì với phép biếnđổi

A I Hoàn toàn dễ thấy các tính chất sau của nhân:

N=

M = Im

Nếuk dim N ,thì Nlà ma trận k k là hình chiếu của » n

trên M là hình chiếu của » n trên N

Nếu K A, là chính quy và nếu KA AK, phương trình (2.1)có nghiệm nếu f t khả vi liên tụck- lần và với giá trị ban đầu có thể là nhữngđiểm

Đểđơn giản, ta sử dụng cáchviết x t q f, , thay vì Sẽ không

Dễ nhận thấy rằng giả thiếtK A, giao hoán là không bị hạn chế bởi vìnó được thỏa mãn bởi hệ (2.2)

2.2 Tính điều khiển đƣợc và tính đạt đƣợc đối với quá trình điều khiển K I B, ,

Mục này dành cho việcxét quá trình điều khiển K I B, , Chúng ta giả thiết rằng u t( )ÎU, không gian tuyến tính của những hàm số khả

vik lần với những giá trị trong »m

Từ (2.2), ta có tập hợp những điểm ban đầu có thể là tập xácđịnh bởi

chọn tuỳ ý và Do đó, ta cóđiều chứng minh dễ dàng

Do đó, ta cóđiều phải chứng minh

Bây giờ ta ký hiệu R0

( )t ={x t;q,u( ),qÎ »n ,uÎU Đểđơn giản,

Bây giờ ta định nghĩa:

D1= những điểm bắt đầu với q 0

Định nghĩa 2.2.2.Quá trình điều khiển K I B, , là (Ri -Dj )- đạt được khi

là R0 - đạt được

Bổ đề 2.2.5.Nếu det K 0, quá trình điều khiển K I B, , không thể là(Ri -Dj )- đạt được với j 1

Chứng minh.Lấy j 1 Khi đó, Dj NhoặcDj M Đối với mọii 1,Ri t

có hình chiếu khác không trên cả Nvà M Do đó, không thể xảy

Bổ đề 2.2.7.R0 t =R2 t = D0 , đối với mọi t 0

Bởi vìđối vớit cố định r

u t có thể chọn tuỳ ý Cho nên ta có thể thấy tínhtương đương của (R1-D0)- đạt đượcvà (R3-D0)-đạt được, và do đóđểđơn giản ta chỉ cần xét(R-D)-đạt được

Bây giờ ta xét K W K là một phép biển đổi khả nghịch trên n n V W,

Điều này chứng tỏ rằng

V W

Nghĩa là

R= span B, KB, , Kéë n- 1Bùû

Định lý 2.2.1.Các tính chất sau là tương đương

a Quá trình điều khiển K I B là (, , R-D)- đạt được

c Nếu $vλ n,lλ , sao cho

v*éëlI-K, Bùû =0 thì

(2.7)

Chứng minh Từ bổ đề trên, ta có sự tương đương của a và b là

hiển nhiên Ta sẽchứng minhđược b và c là tương đương