Sự tồn tại các nghiệm soloton từ hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai và sóng tới

Chương này trình bày tổng quan về quang học phi tuyến như sự phân cực của ánh sáng trong môi trường phi tuyến, các hiệu ứng phi tuyến tiêu biểu.. Trình bày hệ thống về các quá trình trộn

- -

Nguyễn thị dung

sự tồn tại các nghiệm soliton từ

hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai và sóng tới

Luận văn thạc sỹ vật lý

Vinh, 2005

- -

Nguyễn thị dung

sự tồn tại các nghiệm soliton từ

hệ phương trình liên kết sóng họa âm bậc hai và sóng tới

Luận văn thạc sỹ vật lý Chuyên ngành: Quang học Mã số: 60.44.11

Người hướng dẫn khoa học:

TS Vũ Ngọc Sáu

Vinh, 2005

Trong quá trình học tập tại trường Đại Học Vinh tôi đã nhận được nhiều kiến thức quý báu từ các thầy cô giáo Điều đó đã động viên tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện luận văn

Bản luận văn này được hình thành nhờ quá trình nỗ lực phấn đấu của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS Vũ Ngọc Sáu Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo vì sự giúp đỡ quý báu đó

Xin chân thành cảm ơn đến các thầy giáo GS.TS Cao Long Vân, GS.TS Golsteins, PGS.TS Đinh Xuân Khoa, PGS.TS Hồ Quang Quý, PGS.TS Nguyễn Huy Công đã góp ý, chỉ dẫn cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý, ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian qua

Xin cảm ơn tập thể Cao học 11 Vật lý đã san sẻ niềm vui, giúp tôi vượt qua những khó khăn trong học tập và trong quá trình làm luận văn

Xin cảm ơn những người thân yêu đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Tháng 10 năm 2005 Nguyễn Thị Dung

Mục lục

Mở đầu 3 Chương I: Quang học phi tuyến và các soliton quang học 5

Chương III Sự tồn tại các nghiệm soliton từ hệ

phương trình liên kết sóng Hòa âm bậc hai và sóng tới 46

Mở đầu Trong những năm gần đây, quang học phi tuyến phát triển như vũ bão và

đã có những ứng dụng to lớn trong các lĩnh vực như công nghệ laser, viễn thông, truyền tải và xử lý thông tin Các vật liệu phi tuyến được tạo ra trở thành các thành phần cơ bản trong các hệ điện quang khác nhau Ngoài ra quang học phi tuyến đã trở thành một công cụ trong nghiên cứu cơ bản của các lĩnh vực khoa học như hoá học, sinh học… chưa nói đến chính lĩnh vực vật lý

Quang phi tuyến bao gồm các hiện tượng và các hiệu ứng xảy ra khi cho

ánh sáng có cường độ lớn đi qua môi trường Dưới tác động của trường ánh sáng cường độ lớn như trường bức xạ laser, các tính chất quang học của môi trường như chiết suất, độ phân cực sẽ trở nên phụ thuộc vào cường độ của trường Chính những sự phụ thuộc đó đã gây nên các hiệu ứng phi tuyến Tuỳ thuộc vào tính chất của môi trường và cường độ trường ngoài mà sẽ xảy ra những hiệu ứng phi tuyến khác nhau Các hiệu ứng phi tuyến có thể xảy ra như hiệu ứng Kerr, hiệu ứng Pockels, quá trình phát tần số tổng, phát tần số hiệu, phát hoà âm bậc hai, phát hoà âm bậc ba…

Phát hoà âm bậc hai trong tinh thể phi tuyến là một trong những hiệu ứng quan trọng Mặc dù phát hoà âm bậc hai được phát hiện từ rất sớm vào năm 1961

do Franken và các cộng sự tìm ra, nhưng đến nay những ứng dụng của nó vẫn ngày càng được mở rộng Ngày nay người ta đã thực hiện được việc nâng cao tần

số phát hoà âm bậc hai lên khá cao nhờ áp dụng một loạt các biện pháp kỹ thuật với việc lựa chọn các tinh thể phi tuyến có độ phẩm chất cao, sử dụng nhiều hệ quang học, và họ cũng đã tìm được những tinh thể phi tuyến cho phát hoà âm bậc hai Phát hoà âm bậc hai là một trong những biện pháp đơn giản để nâng cao tần số bức xạ của laser

Vì khi ánh sáng có cường độ lớn lan truyền trong môi trường thường xảy

ra những hiệu ứng phi tuyến như hiệu ứng nhiễu xạ, hiệu ứng tán sắc, hiệu ứng tự biến điệu pha…Nên khi ứng dụng ánh sáng cường độ mạnh vào kỹ thuật truyền tải và xử lý thông tin, tín hiệu có thể bị phá huỷ hoặc thay đổi Tuy nhiên trong

một số trường hợp, nếu ta lựa chọn môi trường và tín hiệu vào có tính chất phù hợp sẽ có những hiệu ứng triệt tiêu Khi đó tín hiệu lan truyền trong môi trường

sẽ có hàm bao xung không bị thay đổi, và ta gọi chúng là các soliton quang học Soliton quang học là một giải pháp hữu ích trong truyền tải và xử lý thông tin Vì vậy trong những năm gần đây, vấn đề tìm ta các phương trình cho nghiệm soliton

đang là một vấn đề tiêu điểm

Xuất phát từ lý do đó chúng tôi đã lựa chọn đề tài: “Sự tồn tại các nghiệm

Nội dung của luận văn được trình bày theo bố cục gồm: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo

Chương này trình bày tổng quan về quang học phi tuyến như sự phân cực của ánh sáng trong môi trường phi tuyến, các hiệu ứng phi tuyến tiêu biểu Viết

ra phương trình lan truyền ánh sáng trong môi trường phi tuyến Trình bày cơ sở

và phương trình lan tuyền của soliton không gian, thời gian

Trình bày hệ thống về các quá trình trộn sóng phi tuyến, thành lập hệ phương trình liên kết phát tần số tổng, tần số hiệu, phát hoà âm bậc hai cho trường hợp xung lan truyền bị hạn chế cả thành phần không gian và thời gian Giải các phương trình đó trong một số trường hợp cụ thể Đặc biệt là đã giải thích cặn kẽ về cơ chế phát hoà âm bậc hai theo quan điểm bức xạ lượng tử Giải thích hiệu ứng trộn bốn sóng theo quan điểm bức xạ lượng tử

liên kết sóng họa âm bậc hai và sóng tới

Trong chương này trình bày việc dùng kiểm chứng Painlevé kiểm tra tính khả tích của hệ phương trình liên kết sóng hoà âm bậc hai và sóng tới Từ kết quả thu được lựa chọn phương pháp giải hệ phương trình, cụ thể là bằng phương pháp song tuyến Hirota, tìm ra các nghiệm sóng dịch chuyển

được một lí thuyết hợp nhất và các phương trình mô tả đồng thời điện trường và

từ trường và ông đã chứng minh rằng giả thuyết của Faraday là đúng

Trường điện từ tại mỗi điểm trong không gian được đặc trưng bởi bốn véctơ Véc tơ cường độ điện trường E, véc tơ cảm ứng từ D, véc tơ cường độ từ trường H và véc tơ cảm ứng từ B Các đại lượng này là hàm của toạ độ và thời gian, chúng không biến thiên một cách tuỳ ý mà tuân theo những quy luật xác

định Quy luật biến thiên của chúng đã được Maxwell khái quát hoá bằng một

, ,

3 1

, ,

2 1 0

,

1 1 ,

,

t

t r D t r J t r H

t

t r B t

r E

t r B

t r t r D

D        

,

ở đây J ,

 

 

Các đặc trưng cơ bản của môi trường vật chất đươc thể hiện qua các tham

số điện từ của nó Nừu các tham số điện từ , ,  là hằng số thì môi trường được gọi là đồng nhất và đẳng hướng, khi đó các véctơ trường song song từng cặp với nhau E  D  B  H 

//

,

và  không phụ thuộc vào cường độ điện trường Và các phương trình (1.5) khi

đó sẽ là các phương trình tuyến tính

Trong trường hợp các tham số điện từ phụ thuộc vào cường độ trường thì

hướng khác nhau có giá trị khác nhau thì môi trường được gọi là không đẳng

Chúng ta sẽ có được cách mô tả tương đương các trường hợp chính xác hơn khi chúng ta đưa vào khái niệm phân cực của môi trường, là sự biểu hiện của môi trường trước sự nhiễu loạn gây ra bởi sự có mặt của trường Có thể coi một môi trường bất kì là tập hợp các điện tử và các ion dương Khi không có trường ngoài “trọng tâm” điện tích âm (đám mây điện tử) trùng với vị trí trọng tâm của

ion mang điện tích dương (hạt nhân) Khi có mặt trường ngoài, các ion dương chuyển động theo hướng của trường, còn các điện tích âm theo hướng ngược lại Trong các chất dẫn điện có một số điện tích tự do, dưới sự tác động của trường ngoài, chuyển động của các điện tích này tạo thành một dòng Còn trong các chất điện môi, có các điện tích liên kết với nhau, song tâm đám mây điện tử bị dịch chuyển khỏi hạt nhân Khi đó sẽ xuất hiện một lưỡng cực cảm ứng Chính tổng các lưỡng cực này cho ta sự phân cực của môi trường, lúc đó ta có thể viết:

) 1 (

0

   

cùng này đặc biệt thuận tiện vì cho phép ta khái quát hoá trong trường hợp các môi trường phi tuyến, lúc đó véc tơ phân cực sẽ bao gồm hai thành phần: phân cực phi tuyến và phân cực tuyến tính

phụ thuộc phi tuyến vào E 

Khi ta có thể bỏ qua P  NL

là khi cường độ các trường nhỏ, ta có quang học

, lúc đó ta có quang học phi tuyến Như vậy ta thấy rằng tính phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào môi trường mà còn phụ thuộc vào cường độ của các trường ngoài tác động Người ta lấy ngày quan sát được sự phát hoà âm bậc hai là ngày sinh của quang học phi tuyến Không phải ngẫu nhiên mà điểm khởi đầu của quang học phi tuyến sảy ra sau sự xuất hiện của laser đầu tiên, bởi lẽ như ta biết laser là nguồn bức xạ có cường độ lớn

1.2 Cơ sở của quang học phi tuyến

Đại lượng  trong phương trình (1.5) thể hiện sự phản ứng của môi trường khi có tác động của điện trường ngoài Dưới tác động của trường có cường độ

mạnh như trường bức xạ của laser các tính chất quang học của môi trường như chiết suất, độ phân cực sẽ phụ thuộc vào cường độ của trường Chính sự phụ thuộc vào cường độ trường của các tính chất quang học đã gây nên những hiệu phi tuyến Tuỳ thuộc vào tính chất của môi trường và cường độ của trường ngoài

mà sẽ có các hiệu ứng phi tuyến khác nhau

1.2.1 Sự phân cực của điện môi

ánh sáng lan truyền qua môi trường có cường độ mạnh thì phản ứng của

phụ thuộc vào cường độ trường ngoài Trong trường hợp điện môi tuyến tính, véctơ phân cực sẽ tỉ lệ

0

trường hợp trường tác dụng có cường độ nhỏ Khi cường độ ánh sáng lan truyền mạnh thì véc tơ phân cực thoã mãn quan hệ phi tuyến

Đồng thời sự phân cực này cũng tồn tại một thời gian nữa sau khi điện trường ngoài mất đi Như vậy là phân cực xuất hiện tại thời điểm t là kết quả tác động

) , ( )

, ( ) , ( ) , , , , (

) ,

2 1 0 )

(

n n

n n

tenxơ hạng (n+1) Mặt khác, nếu như xem diễn biến phản ứng của môi trường không phụ thuộc vào việc lựa chọn thời gian t của môi trường thì phương trình (1.10) có thể viết lại dưới dạng :

2 1 0 )

(

n n

n n

n

t i

erPdt

rP

erEdt

rE

,(

),()

,(

) ( )

P n  trong khai triển Fourier của thành phần phân cực bậc n là P n )(r ,t) với

thành phần E  ( r ,  ) trong khai triển Fuorier của trường tác dụng E  ( t r , ) ThayE  ( t r , ) của phương trình (1.12) vào phương trình (1.11) ta được:

2 1 ) ( 2

1 0 )

n n

n n

1 1

) ( 1

1 )

(

n

n n n

Phân cực phi tuyến bậc hai:

Theo phương trình (1.13) thì thành phần phân cực bậc hai P ( 2 ) ( r  , t ) có thể viết:

2 1

2 1 ) 2 ( 2 1 0 )

2

Đặt 12 1 2 thay vào phương trình trên ta được:

t i

e r E r

E d

d t

2 0

) 2

t i

e r E r

E d

t r

,

0 )

0 2 1

ở đây  2 biểu thị độ cảm bậc hai và là một tenxơ hạng ba

Theo một qua trình tương tự, ta có thể đưa ra dạng tổng quát của thành phần Fourier của phân cực bậc n :





Theo nguyên tắc, chúng ta có thể xem xét quan hệ giữa P n

 

 

như những hàm tuỳ ý theo thời gian, mối liên hệ thể hiện ở hàm hưởng ứng phân

là khai triển Fourier của hàm phân cực và trường trong

nói chung R (n ) không thể xác định theo lý thuyết (bằng việc sử dụng phương

xác định theo lý thuyết nếu biết độ hưởng ứng của mỗi phần tử riêng lẻ, cũng như đặc điểm thống kê của một tập hợp nhiều phần tử [3] Một ưu điểm nữa là khi chúng ta sử dụng biến đổi Fourier thay cho thời gian ta làm việc với tần số, một đặc trưng cơ bản của bức xạ điện từ

Lấy ví dụ về quá trình bậc hai, nếu giả thiết điện trường laser trong môi trường có dạng: E  ( t )  E 0e   t  c c

* 0 0 ) 2 ( 0 ) 2

P           i  t 

Ta thấy rằng phân cực bậc hai gồm: thành phần với tần số bằng không và

với tần số bội hai Nếu trường ánh sáng tới có hai tần số khác nhau:

2 1 ) ( 2 1 2

2 2 2

2 1 ) 2 ( 0 )

2 ) 0 (

2 ) (

2 ) (

) 2 (

) 2 (

* 2 2

* 1 1 ) 2 ( 0

* 2 1 ) 2 ( 0 2 1

2 1 ) 2 ( 0 2 1

2 2 ) 2 ( 0 2

2 1 ) 2 ( 0 1

E E E E P

E E P

E E P

E P

E P

0 



 (1.28) Tương tự như vậy đối với phi tuyến bậc ba, ta cũng có các quá trình khác nhau từ công thức

0 )

số nhỏ hơn hoặc bằng ba Các quá trình phát hoà âm bậc ba, quá trình hấp thụ hai photon, hiệu ứng tự hội tụ, hiệu ứng điện quang bậc hai

1.3 Phương trình lan truyền sóng trong môi trường phi tuyến

Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, chúng ta sẽ suy ra được phương trình lan truyền ánh sáng trong một môi trường phi tuyến Bắt đầu từ phương trình (1.3) lấy rot hai vế ta được:

t t

t r B t

2 2 0 2

2 2 0

2

2 0 2

2 0

, 1

) , ( 1 )]

, ( ) , ( [ )

, ( )

,

(

t

t r P c t

t r E c t r P t r E t t

r D t t

2 2

t c t r E t c t r E t

2 2

t c t r E t c t r

tính và phi tuyến của môi trường

Phương trình (3.34) là phương trình là truyền sóng áp dụng cho tất cả các môi trường thuần nhất Mỗi khi ánh sáng lan truyền trong môi trường phi tuyến các hệ số hấp thụ và phản xạ sẽ thay đổi phụ thuộc vào cường độ sóng tới

Nguyên lý chồng chất sẽ không còn đúng nữa Khi ấy sẽ xuất hiện những hiệu ứng mới bất thường như hiệu ứng tự hội tụ, hiện tượng trong suốt tự cảm, hiện tượng trộn sóng phi tuyến…

1.4 Một số hiệu ứng phi tuyến

Khi ánh sáng lan truyền trong môi trường phi tuyến, các hệ số hấp thụ và phản xạ sẽ thay đổi, tuỳ thuộc vào cường độ trường ngoài Vì vậy, có thể xảy ra các hiệu ứng khác nhau Đối với môi trường phi tuyến bậc hai sẽ xuất hiện một

số hiệu ứng như hiệu ứng chỉnh lưu quang học, hiệu ứng Pockels, quá trình trộn sóng phi tuyến bậc hai Đối với môi trường phi tuyến bậc ba sẽ xuất hiện một

số hiệu ứng như hiệu ứng Kerr, hiệu ứng tự hội tụ, hiệu ứng nhiễu xạ, quá trình trộng sóng phi tuyến bậc ba Trong phần này chúng ta chỉ xét đến vài hiệu ứng phi tuyến nổi bật Các quá trình trộn sóng chúng ta sẽ xét kỹ hơn ở chương sau

1.4.1 Hiệu ứng chỉnh lưu quang học

Khi nghiên cứu đến quá trình phân cực bậc hai trong phần trước ta thấy rằng nếu sóng tới là thành phần đơn sắc tần số , thành phần phân cực bậc hai sẽ bao gồm hai thành phần: thành phần tần số 2 và thành phần tần số bằng không

Chúng ta xét thành phần phân cực với tần số bằng không

0 0

2

P   

Thành phần phân cực P(0) không phụ thuộc vào thời gian

Có thể quan sát được hiện tượng chỉnh lưu quang học, khi cho chùm ánh sáng đi qua một môi trường phi tuyến đặt giữa hai bản cực của tụ điện, khi đó sẽ tạo ra một sự chênh lệch thế một chiều giữa hai bản cực của tụ điện đó[13] Sự phát sinh hiệu điện thế đó như là kết quả của một trường quang học cường độ lớn biểu diễn sự chỉnh lưu quang học (tương tự sự chỉnh lưu dòng điện xoay chiều hình sin thành dòng điện một chiều trong chỉnh lưu dòng điện bình thường) Một xung có công suất vài MW có thể sinh ra một hiệu điện thế vài trăm V

1.4.2 Hiệu ứng điện quang

Trong môi trường phi tuyến bậc hai, xét trường ngoài bao gồm hai thành phần: một thành phần tần số , có cường độ trường E() và một thành phần tần

số bằng không có cường độ trường E(0) (Trường tĩnh điện) Ta có thể xem E(0)

là trường điện và E() là trường quang học, thực tế thì cả hai thành phần đều là trường điện Khi đó theo công thức (1.26) thì véctơ phân cực trong môi trường chứa các thành phần tần số 0, , 2

4

36 1 0

0 2

0

2 0

2 0

*

* 2

E E P

E E E

E P

vì khi đó P(2)<< P(0) và P() Lúc đó P(t) là hàm tuyến tính của E(t) (hình 1.2) Có thể xem gần đúng P(E) là đường thẳng có hệ số góc bằng đạo hàm bậc nhất của P(E) tại E(t) = E(0)

P() =0 E() với  = 4(2)E(0), nó cho thấy độ tăng của độ cảm tỉ lệ với

0

2 1

I(0)

Hình 1.1 Quá trình chỉnh lưu quang học tạo ra giữa

hai bản cực của một tụ điện một hiệu điện thế

 

 

2 2

0

2

n n n

Môi trường đặt trong điện trường E(0) là môi trường tuyến tính hiệu dụng

Biểu thức này biểu diễn hiệu ứng Pockels trong môi trường phi tuyến,

như vậy vì chúng ta đã ngầm giả thiết môi trường là không tán sắc[13]

(2) là tenxơ độ cảm phi tuyến bậc ba Môi trường như vậy được gọi là môi trường Kerr Đặc trưng của môi trường phi tuyến bậc ba là véctơ phân cực chứa các thành phần tần số , 3 và tần số bằng không

 

   

 

   

0

2 3 0

0 3

4 3

E E P

E E P

Trong [2] khi mô tả các hiện tượng liên quan đến phân cực phi tuyến bậc

0 2 n E 

n

Và từ đó đã suy ra biểu thức liên hệ phụ thuộc của chiết suất n vào cường độ

0 2

4 n c n

n  

phi tuyến trong phân cực bậc ba, nó phụ thuộc vào tenxơ độ cảm điện

Sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ sóng điện từ lan truyền trong những môi trường phi tuyến kiểu này được gọi là hiệu ứng Kerr Nghĩa là hiệu ứng xảy ra mà chiết suất của môi trường tỉ lệ thuận với bình phương cường độ trường ngoài Khi xảy ra hiệu ứng Kerr có thể có những hiệu ứng kèm theo trong

đó sẽ có hiệu ứng tự hội tụ chúng ta sẽ xét ngay sau đây

Hiệu ứng tự hội tụ

Trong môi trường phi tuyến bậc ba, khi khai triển thành phần véctơ phân cực phi tuyến sẽ có một thành phần phân cực sau xuất hiện:

 

   

0

4 3

Thành phần phân cực này xuất hiện do hiệu ứng tự hội tụ, quan sát được trong tinh thể phi tuyến bậc ba Nếu một chùm ánh sáng có cường độ lớn tuyền qua một bản mỏng (môi trường phi tuyến) thì do hiệu ứng Kerr, chiết suất của môi trường thay đổi Nếu chùm ánh sáng có cực đại tâm thì chiết suất cũng cực

đại tâm

Bản mỏng có tác dụng như một thấu kính chiết suất thay đổi dùng để truyền ánh sáng có độ dịch chuyển pha khác nhau, gây nên độ cong của mặt đầu sóng Tiêu cự của thấu kính phụ thuộc vào công suất của sóng tới và độ dài của môi trường Tiêu điểm có thể nằm ngoài hay bên trong môi trường Trong trường hợp tiêu điểm nằm ngoài có thể làm cháy vật liệu( hình 1.4)

Hình 1.3 Môt trường phi tuyến bậc ba có tác dụng như một thấu kính

a

b

Một quá trình cạnh tranh với sự tự hội tụ là hiệu ứng nhiễu xạ trong môi trường, dưới tác động của hiệu ứng nhiễu xạ chùm tia sẽ bị rộng mở không gian

Sự triệt tiêu nhau một cách hoàn toàn của hiệu ứng nhiễu xạ và hội tụ sẽ dẫn đến hiện tượng tự chụm của ánh sáng [3]

1.5 Soliton quang học

Khi ánh sáng lan truyền trong môi trường phi tuyến, các sự thay đổi của các thông số của xung trong quá trình lan truyền bao giờ cũng chịu ảnh hưởng của nhiều hiệu ứng khác nhau Xét đối với các hiệu ứng không gian, đó là hiệu ứng tự hội tụ và hiệu ứng phân kỳ Đối với các hiệu ứng liên quan tới thời gian

đó chính là hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng tự biến điệu pha Trong quá trình lan truyền xung có thể bị nén lại hay bị mở rộng ra, tuỳ thuộc vào mối tương quan giữa các hiệu ứng đó Trong trường hợp đặc biệt, khi các hiệu ứng đó tự triệt tiêu lẫn nhau, lúc đó trong quá trình lan truyền xung trong môi trường sẽ có hình dạng không thay đổi và được gọi là Soliton - hay sóng cô đơn

Quan sát đầu tiên về sóng cô đơn được thực hiện vào năm 1834, khi kỹ sư người Scottlen tên là John Scott Rusell đã mô tả những ngọn sóng lớn lan truyền hàng dặm trên một con kênh hẹp mà hình dạng không bị thay đổi trong một thời gian khá lâu Phát hiện của Rusell đã tạo nên một cuộc tranh luận sôi nổi về việc

khoa học đã cố gắng tìm hiểu hiện tượng này như Airy, Bousog Đến năm 1895

từ những phương trình cơ bản của thuỷ động học D.J.Kortrueg đã dẫn ra phương trình sóng phi tuyến ut  12 uux  uxxx  0và tìm ra lời giải của phương trình này khi chuyển sang các biến vật lý sẽ mô tả được ngọn sóng mà Rusell đã quan sát

được Phương trình này được gọi là phương trình KdV Nghiệm của phương trình này là trường hợp đặc biệt cho cái gọi là sóng cô đơn

Lời giải soliton cho một phương trình có dạng f ( x  vt ) exp( px  qt  b0) Với x, t là các biến độc lập nhau còn p , b q , 0 là các hằng số

Việc nghiên cứu về các soliton đã phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây, nhiều ứng dụng kỹ thuật của các soliton đã được sử dụng và tiếp tục

nghiên cứu, bao gồm sự chuyển mạch soliton, sự nén xung, sự biến đổi bước sóng Các vấn đề vật lý liên quan tới đặc tính các soliton quang học là sự phát sinh hoà âm bậc hai,sự tương tác giữa ba sóng, hiện tượng trong suốt tự cảm, cùng với các soliton không kết hợp, các soliton khe

1.5.1 Soliton thời gian và phương trình lan truyền

Cơ sở hình thành soliton thời gian: Xung ánh sáng lan truyền trong môi trường tán sắc tuyến tính, hình dạng của nó sẽ liên tiếp bị thay đổi Bởi vì các thành phần tần số hợp thành xung sẽ lan truyền với vận tốc nhóm khác nhau và chịu các thời gian trễ khác nhau Trong khi đó, với môi trường phi tuyến không tán sắc, hình dạng của xung trong khi lan truyền không bị thay đôỉ mà chỉ có sự dịch chuyển tần số gây nên bởi hiện tượng tự biến điệu pha Tuỳ thuộc vào tính chất của môi trường mà tác động của các hiệu ứng này có thể cùng chiều hay ngược chiều nhau Trong trường hợp đặc biệt tác động của hai hiệu ứng này tự triệt tiêu lẫn nhau và sẽ cho ta soliton thời gian

Trong [6] chỉ rõ trong môi trường tán sắc dị thường, vận tốc nhóm giảm dần theo sự tăng của bước sóng Điều này sẽ dẫn đến trong quá trình lan truyền sườn trước của xung sẽ bị lệch về phía bước sóng dài và sườn sau sẽ bị dịch chuyển về phía bước sóng ngắn (hình 1.5)

Trong môi trường tán sắc thường, vận tốc nhóm tăng dần theo sự tăng của bước sóng Vì vậy sườn trước của xung trong quá trình lan truyền sẽ bị dịch về phía bước sóng ngắn, còn sườn sau sẽ bị dịch về phía bước sóng dài (hình 1.6)

E(t)

Môi trường tán sắc tuyến tính

Hình1.5 Sự mở rộng xung khi lan truyền trong môi trường tán sắc dị thường

t

Khi bỏ qua hiện tượng tán sắc trong môi trường phi tuyến xung lan truyền

có hình dạng và cường độ không bị thay đổi, nhưng pha của xung lại thay đổi do

sự phụ thuộc của chiết suất vào cường độ trường Chính sự tự biến điệu pha đã gây nên sự dịch tần, tuy nhiên sự dịch tần còn phụ thuộc vào dấu của hệ số chiết

tuyến ở phía sườn trước của xung tần số tăng thêm, nghĩa là dịch về phía tần số cao Ngược lại tần số của sườn sau lại giảm, dịch về phía tần số thấp

Khi các hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng tự biến điệu pha tác động đồng thời lên các thông số của xung trong quá trình lan truyền, ta thấy tác động của hai hiệu ứng này có thể tự triệt tiêu lẫn nhau trong môi trường tán sắc phi tuyến thoả mãn n2>0 và B0 ''  0(B0 ''là hệ số lan truyền )[6] (hình1.8)

E(t)

Môi trường phi tuyến không tán sắc

Hình1.7 Sự dich tần xung khi lan truyền trong môi trường phi tuyến không

tán sắc, có hệ số chiết suất phi tuyến dương

t

E(t)

Môi trường tán sắc tuyến tính

Hình1.6 Sự mở rộng xung khi lan truyền trong môi trường tán sắc thường

Hình1.8 Xung lan truyền trong môi trường tán sắc phi tuyến có n2>0 và 0’’<0

t

E(t) t

Bởi vì đối với loại xung có sự dịch chuyển tần số giống như sự dịch chuyển tần số gây bởi sự tự biến điệu pha, khi lan truyền trong môi trường tán sắc tuyến tính sẽ bị nén lại Chính vì vậy khi xung lan truyền trong môi trường tán sắc phi tuyến, nêú hiện tượng mở rộng xung gây bởi hiện tượng tán sắc được hiện tượng tự dịch chuyển tần số trung hoà ta sẽ có soliton thời gian

Phương trình lan truyền Soliton thời gian:

Trong [6] đã chỉ rất cụ thể, để thu được nghiệm soliton thì môi trường tán sắc phi tuyến phải thoả mãn điều kiện n2>0 và B0 ''  0 đồng thời chỉ ra quãng

trình lan truyền soliton thời gian đã được đưa ra rất cụ thể :

0 ) ' , ( ) ' , ( 2 ' 2

Phương trình lan truyền của soliton thời gian còn được gọi là phương trình

tượng phi tuyến và hiện tượng tán sắc)

1.5.2 Soliton không gian và phương trình lan truyền

Soliton không gian Trong [6] đã chứng minh được khi chùm ánh sáng cường độ lớn lan truyền trong môi trường phi tuyến kiểu Ken có hệ số chiết suất

chiết suất vào trường ngoài sẽ gây nên hiện tượng tự hội tụ Tuy nhiên trong quá trình lan truyền chùm tia còn chịu tác động của sự nhiễu xạ, chính sự nhiễu xạ đã gây nên hiện tượng tự phân kỳ chùm tia Khi tác động của hiệu ứng nhiễu xạ và hội tụ triệt tiêu nhau sẽ thu được soliton không gian Ta có thể thấy những tính toán rõ ràng trong [6] Sự triệt tiêu tác động của hai hiện tượng nhiễu xạ và sự hội tụ trên hình 1.9

Đối với môi trường có hệ số chiết suất n2<0 chúng ta không thu được soliton không gian Bởi vì khi ấy, ngoài sự phân kỳ do nhiễu xạ chùm tia còn bị phân kỳ do sự kết hợp giữa phân bố không gian của chùm tia và sự phụ thuộc của

chiết suất vào cường độ trường ngoài Có nghĩa là trong quá trình lan truyền chùm tia luôn bị phân kỳ

Phương trình lan truyền của soliton không gian

Cũng tương tự như trong trường hợp của soliton thời gian, phương trình lan truyền soliton thời gian đã được suy ra rất cụ thể [6] Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell, áp dụng gần đúng cho hàm bao biến thiên chậm và thu được phương trình lan truyền của soliton không gian trong môi trường phi tuyến Kerr

0 ) ' , ( ) ' , ( 2 ' 2

có thể sử dụng những phương pháp đã được lập trình trên máy tính như phương pháp tách bước Fourier và một số các biện pháp khác [6]

Hình 1.9 Tác động ngược chiều nhau của hiện tượng tự hội tụ

và nhiễu xạ cho ta soliton không gian

Chương II

Các quá trình trộn sóng phi tuyến 2.1 Các quá trình liên hợp

Trong chương I chúng ta đã xem xét các hiệu ứng trong đó chỉ có một tần

số trung tâm như hiệu ứng tự hội tụ, nhiễu xạ, tự biến điệu pha Tất cả các thành phần trường có cùng một tần số trung tâm và phân cực tổng hợp cũng có tần số này Trong chương này ta sẽ mở rộng cho các trường hợp khi chúng ta phải xem xét đến vài tần số khác nhau

Chúng ta bắt đầu từ phương trình sóng (1.34) dẫn ra trong chương I:

t c

E t c

2 2

lẫn phân cực phi tuyến P  NL

Trước hết ta viết véctơ cường độ điện trường tổng hợp ở dạng

ta sẽ giới hạn trong trường hợp các sóng lan truyền theo cùng một hướng, nghĩa

là các véctơ sóng trung tâm của các chùm sáng song song với nhau:

Thay phân bố này vào phương trình (1.34) ta sẽ thấy kết quả sẽ tách ra các phần dao động với những tần số khác nhau Để phương trình (1.34) thoả mãn trong bất kì thời điểm nào thì tổng của hệ số bên cạnh các phân cực dao động với các tần số khác nhau phải đồng nhất bằng không Khi đó (1.34) sẽ dẫn đến phương trình:

j

NL j j

t c t r E t c t r

2 2

,

1 ,

1 0

1

, ,

j j

2 2 0 2

2 2 0

t i j j

j j

e r P t r P

e r E t r E

j

j j

j



2 0

2 2

0

2 1 2

ở đây chúng ta sẽ giả thiết phân bố tần số trong mỗi xung là hẹp so với

hệ quả cơ bản khi xét đến sự phát sinh hoà âm bậc hai và hoà âm bậc ba, được coi là trường hợp của sự phát triển của tần số tổng

2.2 Trộn sóng phi tuyến bậc hai

2.2.1 Phát tần số tổng

Chúng ta sẽ chỉ ra phương trình lan truyền sóng phi tuyến mô tả các đặc tính tương tác phi tuyến, cụ thể là trường hợp phát tần số tổng Trong trường hợp này phân cực phi tuyến tỷ lệ bậc hai với cường độ trường Phương trình (2.5)

số tổng 3  1 2

Đối với phương trình của thành phần tần số 3, nghiệm của nó là sóng phẳng lan trường theo phương z

j

e A

tuyến P3NL có thể viết:

P NL  A A e ik 1 k 2z

2 1

2 0

A c

n A k z

A ik A

z

3 2 3 3

3

2 1

2 0 2 0

2 3 3

2

2 3 2 3

2 3

3 3 3 2

A c

n A k z

A ik z

2 1 2 2

2 3 3

2

2 3 2 3

2 3

3 3 2

A ik z

khi đó ta có phương trình:

c k

i z

2 3 3

c k

i z

2 2 2

  A A e i kz

c k

i z



2 3 2 2 1

2 1 1

Thực chất ở đây để đưa ra được các phương trình này chúng ta đã thêm giả thiết các chùm sóng là các xung bị nén không chỉ trong không gian mà cả thời gian Và ta cũng đã bỏ qua các sự hấp thụ năng lượng của xung trong môi trường lan truyền, sự khác biệt của các vận tốc nhóm và tất cả hiệu ứng thời gian, cũng như những hiệu ứng không gian theo hướng vuông góc với phương lan truyền

Bây giờ chúng ta xem xét sự lan truyền đồng thời ba xung trong một môi trường phi tuyến bậc hai (Hình 2.1) Giả thiết môi trường có độ dài l, và sóng lan truyền theo hướng z Các phương trình mô tả sự biến thiên của hàm bao riêng biệt chính là các phương trình (2.10), (2.11), (2.12)

Các phương trình được giải chính xác trong trường hợp chung nhất, tức là

Trong trường hợp này, ta có thể giới hạn đến trường hợp đặc biệt bằng cách giả thiết rằng một trong các hàm bao mô tả sóng rất mạnh đến mức có thể bỏ qua sự thay đổi biên độ của nó trong khi lan truyền trong môi trường phi tuyến Để xác

kz i

e A K z

kz i

e A K z





3 1

2 2 2 1

2 1 1 2 2 2 3

2 2 3

2

;

i K A c k

i

Lời giải các phương trình (2.13), (2.14) sẽ đơn giản hơn nếu giả thiết trường hợp hợp pha lý tưởng k = 0 Đạo hàm hai vế phương trình (2.14) theo z rồi thế vào phương trình (2.13) ta được:

2 1 2 2 4 3 1

2 2

2 3

2 1 1 3 1 2 1 2

A A

K K z

1 K z

A A

Bk z

1 1

1 1

3 1

* 2 2 2 2 1 3

2 3 1

* 2 2 2 1

2 1

2 2 2 4 3

1

2 2

n i A

A k

k i A i

c k c

2 2

* 2

2 2

2

* 2

A

A A

A A A

A A

A A

Do vậy ta có: 1

   

2 1 3

3 1 3





e kz A

n

n i

Nghiệm cho bởi (2.18), (2.19) có dạng như hình vẽ 2.2

nghiệm của các phương trình (2.13), (2.14) có dạng:

1

kz i igz

e B z A

e F z A

2 0 cos

0

(2.23) sin

0 2 0 cos

0

2 3

1

3 3

3

2 1

3

1 1

1

kz i

kz i

e gz A

g

k i A g

K gz A

z

A

e gz A

g

k i A g

K gz A

e gz A

Cường độ sóng của tần số tổng sẽ là:

2 3

A

2 1

   

 

2

2 3 2 1

2

kz i

e gz g

K A

z A I





2 3

g

K

với hai trường hợp k = 0 và k = 4k

Có thể thấy rõ điều này khi so sánh hai biểu thức (2.8) và (2.6), ta thấy

Nghĩa là khi điều kiện hợp pha được thực hiện và sóng tần số tổng được phát ra có năng lượng cao Trong thực tế do hiệu ứng tán sắc nên chúng ta luôn

bù vào hiệu ứng của tán sắc trong tinh thể phi tuyến bậc hai

Với ba sóng 1, 2 và3 = 1+2 có thể thu được điều kiện hợp pha với phát tần số tổng từ quan điểm bức xạ lượng tử bằng cách xem xét bảo toàn năng lượng photon và xung lượng của ba sóng quang học Quá trình cơ bản trong trường hợp này có thể xem xét như những nguyên tử hai mức ở bước thứ nhất

k =4k

k=0

2 3

A

z

Hình 2.3

số 2, trong khi một phân tử của môi trường phi tuyến chuyển từ trạng thái cơ bản sang trạng thái kích thích Bước thứ hai khi phân tử này trở về trạng thái cơ

quá trình cơ bản thì những trạng thái lượng tử của phân tử là không thay đổi, sự chuyển hoá năng lượng và xung lượng chỉ xảy ra giữa những photon bị hấp thụ

và photon được sinh ra Do đó ta có:

2 1 3

k k k

h h

3 3

2 2

Giả sử trường sóng tới gồm hai thành phần tần số 1 và 2 với 1<2, thì

tổng các tần số, ta cũng giới hạn đến trường hợp đặc biệt khi một trong các sóng

Mức kích thích