Các bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai và cấp ba với điều kiện biên tích phân

Bài toán cho phương trình phi tuyến cấp hai với điều kiện biên tích phân.. Mở đầuNhiều quá trình và hiện tượng quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng nhưvật lý, cơ học và một số lĩnh vực

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Dương Đình Tuyên

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS - TS Đặng Quang

Á Trong quá trình làm luận văn, Thầy không những là người hướng dẫn về mặtkhoa học mà Thầy còn luôn động viên, khích lệ tác giả khắc phục những khókhăn để hoàn thành luận văn này Tác giả xin cảm ơn và bày tỏ sự kính trọng,lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô đã giảng dạy lớp caohọc Toán Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức Tại đây tác giả nhận được nhiều

sự chỉ dẫn, góp ý quý báu là môi trường thuận lợi để tác giả hoàn thành luậnvăn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý đào tạo Sauđại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Giải tích của khoaKhoa khoa học Tự nhiên - Trường ĐH Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất

để tác giả hoàn thành đúng thời hạn luận văn của mình

Xin cảm ơn bạn bè và người thân luôn động viên giúp đỡ

Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019

Tác giả

Dương Đình Tuyên

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 3

1.1 Hàm Green 3

1.2 Một số nguyên lý về điểm bất động 6

Chương 2 Bài toán cho phương trình phi tuyến cấp hai với điều kiện biên tích phân 14

2.1 Một số kết quả bổ trợ 14

2.2 Sự tồn tại nghiệm 18

2.3 Ví dụ 23

Chương 3 Bài toán cho phương trình phi tuyến cấp ba với điều kiện biên tích phân 25

3.1 Một số kết quả bổ trợ 25

3.2 Sự tồn tại nghiệm 27

3.3 Ví dụ 33

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

Mở đầu

Nhiều quá trình và hiện tượng quan trọng trong các lĩnh vực ứng dụng nhưvật lý, cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình hóa toán học bởi cácphương trình, hệ phương trình vi phân thường phi tuyến với các điều kiện biênkhác nhau Chẳng hạn như Định lý về sự khuyếch tán nhiệt hay các vấn đề vềtìm mật độ trong các lĩnh vực hóa học, sinh học được mô tả bởi các bài toán giátrị biên với nghiệm dương của phương trình vi phân cấp hai; Hay trong các môhình kĩ thuật (như độ võng của dầm cong ) ta có thể thấy sự ứng dụng từ cácphương trình vi phân cấp ba

Trong số các phương trình vi phân thì phương trình vi phân phi tuyến cấphai, cấp ba với điều kiện biên tích phân được dùng nhiều trong việc mô tả cáchiện tượng trong các nghành khoa học ứng dụng Đã có nhiều nhà khoa họcnghiên cứu về vấn đề này như trong [1], [2], [8], [10], [12] Trong thời giangần đây các nhà khoa học quan tâm nhiều hơn đến các bài toán biên không địaphương (nonlocal), khi điều kiện biên liên quan đến giá trị của ẩn hàm trongtoàn khoảng mà bài toán được xét đến Điều kiện biên loại này thường chứa tíchphân của ẩn hàm Do đó, việc tìm hiểu và nghiên cứu về các bài toán biên vớiđiều kiện biên tích phân cho các phương trình vi phân là rất cần thiết

Chính vì vậy, luận văn đặt mục tiêu tìm hiểu về sự tồn tại nghiệm của cácbài toán cho phương trình phi tuyến cấp hai

u00(x) = f x, u(x), u0(x)
,

và phương trình phi tuyến cấp ba

u000(x) = f x, u(x), u0(x), u00(x)
Công cụ được sử dụng chủ yếu là các định lý điểm bất động

Luận văn có cấu trúc như sau:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận

văn gồm ba chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm hàm Green đối với một sốbài toán và một số nguyên lý về điểm bất động như nguyên lý Schauder; nguyên

lý Krasnoselskii Các kiến thức trong Chương 1 làm nền tảng cho các kết quả

sẽ được trình bày trong Chương 2 và Chương 3

Chương 2 và Chương 3 chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của cácbài toán biên phi tuyến với điều kiện biên tích phân cho phương trình vi phâncấp hai và cấp ba và trình bày một số ví dụ minh họa

Xét bài toán giá trị biên tuyến tính thuần nhất:

x∈ (a, b)

Định nghĩa 1.1.1 ([11]) Hàm G(x,t) được gọi là hàm Green của bài toán giá

trị biên (1.1) − (1.2) nếu xem G(x,t) là hàm của biến x và thỏa mãn các điềukiện sau với mọi t ∈ (a, b) :

(i) Trên [a,t) và (t, b], G(x,t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n

và thỏa mãn phương trình (1.1) trên (a,t) và (t, b), tức là

L[G(x,t)] = 0, x∈ (a,t) và L [G(x,t)] = 0, x∈ (t, b)

(ii) G(x,t) phải thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.2), tức là

Mi(G(a,t), G(t, b)) = 0, i= 1, 2, , n (iii) Tại x = t, G(x,t) và tất cả các đạo hàm riêng theo biến x tới cấp (n − 2) là

Định lý 1.1.2 [11] (Tồn tại và duy nhất) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất

trong ( 1.1) − (1.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại duy nhất hàm Green

tương ứng với bài toán.

Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất

Mối quan hệ giữa tính duy nhất nghiệm của (1.3) − (1.4) và bài toán thuầnnhất tương ứng được thể hiện qua định lí sau:

Định lý 1.1.3 [11] Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với (1.3) −

(1.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.3) − (1.4) có nghiệm duy nhất

được biểu diễn dưới dạng

Hàm Green được tìm dưới dạng sau

Hiển nhiên hàm Green này thỏa mãn điều kiện (i)

Do G(x,t) thỏa mãn điều kiện (ii) nên A1 = B1= 0 Do đó:

Do đó nghiệm của bài toán được biểu diễn dưới dạng:

Hàm Green được tìm dưới dạng sau

Hiển nhiên hàm Green này thỏa mãn điều kiện (i)

Từ điều kiện (ii) nên A1= B1= B2= 0 Do đó:

f(x) = 0,

một phương pháp hữu hiệu và quen thuộc là viết phương trình dưới dạng điểmbất động, ví dụ như

x= T (x) := x + f (x)

sau đó áp dụng các định lý điểm bất động đối với T

Đối với các bài toán cho phương trình phi tuyến cấp hai, cấp ba với điều kiệnbiên tích phân, ta xét hai định lý điểm bất động cơ bản, có vai trò quan trọng vàđược sử dụng phổ biến sau

a Định lý điểm bất động Schauder

Định lý điểm bất động Schauder là một phiên bản mở rộng của Định lýBrouwer áp dụng đối với các toán tử hoàn toàn liên tục trên một tập con lồi,khác rỗng và compact trong không gian Banach vô hạn chiều Định lý thườngđược sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình.Trước hết ta xét về khái niệm toán tử compact như sau:

Định nghĩa 1.2.1 [5] Cho X ,Y là các không gian Banach và cho toán tử

T : X ⊇ D(T ) → Y

Toán tử T được gọi là compact nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) T liên tục

(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối

Các toán tử compact đóng vai trò quan trọng trong Giải tích hàm phi tuyến.Thực tế có nhiều kết quả cho các toán tử liên tục trên RN được chuyển sang cáckết quả của không gian Banach khi thay bằng toán tử compact

Ví dụ 1.2.2 Giả sử

K: [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K ,trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < +∞, K = R, C

Kí hiệu:

M = {x ∈ C([a, b], K) : kxk ≤ R},với kxk = max

a≤s≤b|x(s)| và C([a, b], K) là không gian các ánh xạ liên tục

x: [a, b] → K

Z

a

K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b]

Khi đó S, T ánh xạ M vào C([a, b], K) là các toán tử compact

Định lý 1.2.3 ([5] Định lý điểm bất động Schauder (1930)) Giả sử M là tập con

khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn trong không gian Banach X Giả sử T : M → M

là toán tử compact Khi đó T có điểm bất động.

Định lý 1.2.4 ([5] Phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder) Giả

sử M là tập con khác rỗng, lồi, compact trong không gian Banach X Giả sử

T : M → M là toán tử liên tục Khi đó T có điểm bất động.

Định lý Schauder có nhiều ứng dụng quan trọng trong Giải tích hàm vàGiải tích số như chỉ sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân với tham sốbé

x(t) = µ

Z b a

F(t, s, x(s))ds +

Z b a

Xét bài toán giá trị đầu

Chứng minh. (Hướng chứng minh) Bài toán giá trị đầu (1.5) được viết lại dướidạng phương trình tích phân như sau

X = C[t0− c, t0+ c], M = {x ∈ X : kx − y0k ≤ b}, kxk = max

t0−c≤t≤t0+c|x(t)|.Hiển nhiên M bị chặn, lồi và đóng trong X Do đó T (M) ⊂ M và T là toán

tử compact Theo Định lý điểm bất động Schauder, T có một điểm bất động và

đó chính là nghiệm của bài toán giá trị đầu

b Định lý điểm bất động Krasnoselskii

Định nghĩa 1.2.6 [9] Cho X là không gian Banach (hữu hạn hoặc vô hạn chiều)

với chuẩn k.k K ⊂ X được gọi là nón lồi, đóng trong X nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau:

(i) Nếu x ∈ K thì λ x ∈ K với mọi λ > 0

Kí hiệu

Ka= {x ∈ K : kxk = a}, Kb= {x ∈ K : kxk = b}

Ka, Kbđượcgọi là biên trong và biên ngoài của K(a, b)

Định lý 1.2.7 ([9] Krasnoselskii (1960)) Cho K(a, b), T, Ka, Kb được xác định như trên Khi đó

(i) T có điểm bất động trong K(a, b) nếu

Bằng cách thay các điều kiện (i), (ii) trong Định lý trên bởi các điều kiệnkhác ta thu được các mở rộng của Định lý trên Ví dụ như:

- Trong [9], ta thay bởi các điều kiện sau :

(i’) T có điểm bất động trong K(a, b) nếu

x− T (x) /∈ K, ∀x ∈ Ka

−x + T (x) /∈ K, ∀x ∈ Kb.(ii”) T có điểm bất động trong K(a, b) nếu

T(x) 6≡ λ x, ∀λ > 1, ∀x ∈ Ka,

∃p ∈ K − 0 : x − T (x) 6≡ λ p, ∀λ ≤ 0; ∀x ∈ Kb.Ngoài ra Định lí 1.2.7 còn được mở rộng bằng cách mở rộng miền K(a, b).Xét định lý sau:

Định lý 1.2.8 [3] (Định lý điểm bất động Krasnoselskii trên nón ) Cho X là

không gian Banach, P ⊂ X là nón Giả thiết Ω1, Ω2 và T : P ∩ (Ω2\Ω1) → P

là toán tử hoàn toàn liên tục thỏa mãn hoặc một trong hai điều kiện sau:

Khi đó T có điểm bất động trong P ∩ (Ω2\Ω1).

Định lý sau cũng là một trong những mở rộng của Định lý điểm bất độngKrasnoselskii (trong trường hợp tổng của hai toán tử)

Định lý 1.2.9 [4] Cho U là tập mở trong một tập đóng, lồi C của không gian

Banach E Giả sử 0 ∈ U, F(U ) bị chặn và F : U → C được cho bởi F = F1+ F2, trong đó F1 : U → E liên tục và hoàn toàn liên tục và F2 : U → E là toán tử

co phi tuyến, tức là tồn tại hàm không giảm, liên tục φ : [0, ∞) → [0, ∞) sao cho

φ (z) < z với z > 0 ; kF2(x) − F2(y)k ≤ φ kx − yk , ∀x, y ∈ U Khi đó, hoặc

(i) F có điểm bất động trong U ; hoặc

(ii) Tồn tại u ∈ ∂U và λ ∈ (0, 1) sao cho u = λ F(u).

Nhận xét 1.2.10 Kỹ thuật thông thường để áp dụng Định lý điểm bất động

Krasnoselskii trên nón để thu được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán giá trịbiên là viết lại bài toán đã cho dưới dạng phương trình tích phân ( thường với sự

có mặt của hàm Green) Không gian Banach được chọn thường là không giancác hàm liên tục với chuẩn thích hợp và nón dương là tập các hàm dương liêntục hoặc một tập con thích hợp của tập các hàm dương liên tục Toán tử tíchphân là hoàn toàn liên tục trên nón Nếu tìm được các tập Ω1, Ω2 sao cho cácđiều kiện trong Định lý đều được thỏa mãn thì theo Định lý sẽ tồn tại điểm bấtđộng của toán tử tích phân và đó cũng chính là nghiệm dương của bài toán banđầu

x(t) > 0, 0 < t < 1.

Thật vậy, ta viết bài toán dưới dạng phương trình tích phân

x(t) =

Z 1 0

K(t, s) f (x(s))ds,trong đó K(t, s) là hàm Green tương ứng với bài toán cho phương trình

−x00(t) = 0với các điều kiện biên thuần nhất x(0) = x(1) = 0

Đặt

P= {x(t) ∈ C[0, 1] : x(t) ≥ 0} ,

Pε = {x(t) ∈ P : min

1/2−ε≤t≤1/2+εx(t) ≥ (1/2 − ε) kxk} ,

ở đây 0 < ε < 1/2 và kxk là chuẩn trong E = C[0, 1]

Ta có P, Pε là nón trong E, Pε ⊂ P Toán tử T : P → P được xác định như sau:

T x(t) =

Z 1 0

K(t, s) f (x(s))ds

Rõ ràng T hoàn toàn liên tục

Dựa vào cách xác định hàm Green ta chứng minh được

min

1/2−ε≤t≤1/2+εT x(t) ≥ (1/2 − ε)

Z 1 0

s(1 − s) f (x(s))ds

≥ (1/2 − ε) kT xk},

Vậy kT xk ≤ kxk với mọi x ∈ P mà kxk = r

Vì Rε > r nên với x(t) ∈ Pε thỏa mãn kxk = Rε ta có,

K(1/2, s) f (x(s))ds ≥ 24√

3

Z 1/2+ε 1/2−ε

Ω1 = {x(t) ∈ C[0, 1] : kxk < r},

Ω2 = {x(t) ∈ C[0, 1] : kxk < Rε0}

ta suy ra điều cần chứng minh

g0(s)y(s)dsy(1) − by0(1) =

Z 1 0

P= {u ∈ C(I); u(t) ≥ 0, t ∈ I}

Khi đó P được gọi là nón dương trong C(I)

Giả sử các điều kiện sau luôn thỏa mãn:

(H0) 1 + a > b > 1

(H1) g0, g1 là các hàm liên tục, dương sao cho hàm φ (t, s) được xác định bởi

φ (t, s) = k1(t)

1 + a − bg1(s) − k2(t)g0(s)

= 1

1 + a − b[(t + a)g1(s) − (t + b − 1)g0(s)], t, s ∈ Ithỏa mãn:

g0(s)σ0(s)dsy(1) − by0(1) =

Z 1 0

g1(s)σ1(s)ds

(2.4)

Bổ đề 2.1.1 Giả sử các hàm p, σ0và σ1là các hàm liên tục Nếu điều kiện (H0)

thỏa mãn thì bài toán trên có duy nhất một nghiệm được cho bởi:

g0(s)σ0(s)ds+ t+ a

1 + a − b

Z 1 0

Chứng minh. Đặt K = max(kk1k0, kk2k0) = max(1 + a, b

(iii) Lại do M < 1 nên từ điều kiện (H1) ta có:

kAyk0 ≤ M kyk0< kyk0.Điều này suy ra kAk ≤ M < 1, tức là (I − A) khả nghịch

Để biểu diễn (I − A)−1 ta dùng định lý về phương trình tích phân Fredholm

Ta có:

y(t) = (I − A)−1z(t) ⇔ y(t) = z(t) + (Ay)(t), t ∈ I

Từ định nghĩa của toán tử A ta có

y(t) = z(t) +

Z 1 0

R(t, s)z(s)ds,trong đó R(t, s) được cho bởi

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 2.1.4 Do φ (t, s) ≥ m với mỗi (t, s) ∈ I2 nên ta dễ dàng chứng minhđược

R(t, s) ≥ m

1 − m.

g0(s)y(s)dsy(1) − by0(1) =

Z 1 0

g0(s)y(s)ds+ k1(t)

1 + a − b

Z 1 0

g1(s)y(s)ds

(2.11)

Từ Bổ đề 2.1.1 ta có y ∈ C2(I) là nghiệm của bài toán (2.10) khi và chỉ khi

y∈ C(I) thỏa mãn phương trình (2.11)

Xét toán tử T : C(I) → C(I) được xác định như sau

(Ty)(t) =

Z 1 0

G(t, s) f (s, y(s))ds (2.12)Khi đó (2.11) trở thành

y(t) = (Ty)(t) − k2(t)

Z 1 0

g0(s)y(s)ds + k1

1 + a − b

Z 1 0

P0= {u ∈ P; min u(t) ≥ 1 − M

1 − mγ0kuk0, t ∈ I}

Dễ thấy P0 là nón Từ Bổ đề 2.1.3, ta có y là nghiệm của (2.13) khi và chỉ khi y

là nghiệm của phương trình

y(t) = (I − A)−1Ty(t), (2.14)tức là, y là điểm bất động của toán tử

S:= (I − A)−1T

Ta xét các điều kiện sau:

Cho hàm phi tuyến f : [0, 1] × [0, +∞) → [0, +∞) liên tục và thỏa mãn:

(H2) Tồn tại L1> 0 và α ∈ P với R 1

0 G(s, s)α(s)ds ≤ 1 sao cho

f(t, y) ≤ α(t)y(1 − M), ∀y ∈ (0, L1], t ∈ I (2.15)(H3) Tồn tại L2> L1 và β ∈ P vớiR 1

Định lý 2.2.1 Giả sử các điều kiện (H0), (H1), (H2), (H3) đều thỏa mãn Khi

đó bài toán ( 2.1) − (2.2) có ít nhất một nghiệm dương.

Chứng minh. Từ Bổ đề 2.1.3 ta có nghiệm của phương trình (2.14) (nếu có) sẽđược viết lại dưới dạng:

y(t) = (Ty)(t) +

Z 1 0

R(t, s)(Ty)(s)ds,hoặc tương đương với

y(t)(2.13)=

Z 1 0

G(t, s) f (s, y(s))ds +

Z 1 0

R(t, s)

Z 1 0

G(s, τ) f (τ, y(τ))dτds.Đặt

R(t, s)

Z 1 0

G(t, s) f (s, y(s))ds +

Z 1 0

R(t, s)

Z 1 0

Z 1 0

G(s, τ) f (τ, y(τ))dτds

≤ (1 + M

1 − M)

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds = 1

1 − M

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds (2.18)

Suy ra

kSyk0≤ 1

1 − M

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds (2.19)

Do G(t, s) ≥ γ0G(s, s) với mọi s,t ∈ I (Bổ đề 2.1.2) nên

(Sy)(t) ≥ γ0[

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds +

Z 1 0

R(t, s)

Z 1 0

G(τ, τ) f (τ, y(τ))dτds]

≥ γ0(1 +

Z 1 0

R(t, s)ds)

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds

≥ γ0(1 + m

1 − m)

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds = γ0

1 − m

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds.Suy ra

(Sy)(t) ≥ γ0

1 − m

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds (2.20)Kết hợp với (2.19) ta có:

(Sy)(t) ≥ γ0

1 − m(1 − M) kSyk0.Điều này chỉ ra rằng Sy ∈ P0

Do T là toán tử tích phân với hạch là hàm Green và toán tử (I − A)−1bị chặnnên S là hoàn toàn liên tục

Bây giờ ta xây dựng hai tập mở Ω1và Ω2

Lấy y ∈ P0với kyk0= L1 Từ bất phương trình (2.19) và điều kiện (H2) ta có:

(Sy)(t) ≤ 1

1 − M

Z 1 0

G(s, s) f (s, y(s))ds

≤ 1

1 − M

Z 1 0

G(s, s)α(s)y(s)(1 − M)ds

≤ kyk0

Z 1 0

G(s, s)α(s)ds ≤ kyk0.Suy ra

kSyk0≤ kyk0 Đặt

Ω2:= {y ∈ C(I); kyk0<∼L2}Với y ∈ P0 mà kyk0=∼L2 , ta có:

G(s, s) f (s, y(s))ds

≥ γ0

1 − m

Z 1 0

kSyk0≥ kyk0 với y ∈ P0∩ ∂ Ω2.Như vậy, toán tử S thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.8(i) nên S có điểmbất động trong P0∩ (Ω2\ Ω1) Điểm bất động này chính là nghiệm cần tìm củabài toán

Với L1 và L2 được xác định như trên, giả sử f thỏa mãn:

Định lý 2.2.2 Giả sử các điều kiện (H0), (H1), (H4) và (H5) thỏa mãn Khi đó

bài toán ( 2.1) − (2.2) có ít nhất một nghiệm dương.